32等差数列

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等差数列的性质及应用

等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。

它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。

本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。

一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。

2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。

3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。

二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。

例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。

2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。

例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。

3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。

例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。

三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。

求第5年的降雨量。

解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。

2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。

求这4次考试的平均分。

解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。

平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。

由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。

等差数列_PPT课件

已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意 n(n∈N＋)，an， bn，an＋1 成等差数列，且 an＋1＝ bn·bn＋1. (1)求证：数列{ bn}是等差数列． (2)设 a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
第(1)问可利用等式 2bn＝an＋an＋1，把 an，an＋1 用 bn－1， bn，bn＋1 代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问，可利用第(1)问的结论，先求 bn，再求 bn 和 an.
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中低档题.
[策略点睛]
[规范作答] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化6,2，－2. 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a
事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d ＝a1＋(n－1)d＝an.
2．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)．当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． d＝amm－－ann其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时， d＝0，公式也仍然成立．

等差数列

(2) 4, 8, 12, 16, 20 ,…
a1 4 d a 2 a1 4 an a1 (n 1)d 4 (n 1) 4
a n 4n
(3) 7, 4, 1, -2, -5, …
a1 7 d a 2 a1 3 an a1 (n 1)d 7 (n 1) ( 3)
Sn
n(a1 a n )
求和公式2： S n na 1
d
例在等差数列中： (1)已知 a1 5, a10 15，求 S10 ； (2)已知 a1 5, d 3，求 S 20 .
解 (1)S10
10 (a1 a10 ) 2 10 (5 15) 2
四、前n项的求和公式
Sn a1 a 2 a 3 an
求和公式1：
Sn
n(a1 a n ) 2
例求1ห้องสมุดไป่ตู้100的所有整数之和.
解 a1 1、d 1
S100 100 (1 100) 2
50 101 5050
2 将 an a1 (n 1)d 代入，得： Sn n(a1 a1 (n 1)d) 2 2na 1 n(n 1)d 2 n(n 1) 2
Sn 999 n(a1 a n ) 2 n( 20 54) 2
n 27
a 27 a1 26d
54 20 26d
d
34 26

17 13
4.在等差数列中 a15 10, d 2, 求S16 .
解 a15 a1 14d
10 a1 14 2 a1 38
a1 a4 a1 a1 3d 2a1 3 ( 2) 10 a1 8

高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用

高一数学复习考点知识讲解课件第2课时等差数列前n项和的性质及应用考点知识1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．答案1629解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．二、等差数列中前n 项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .知识梳理等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和； ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找； ②运用二次函数求最值．跟踪训练2在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．解(1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15，所以⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，所以当n ＝3或4时，前n 项和S n 取得最小值为S 3＝S 4＝－18.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列{}a n 的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？提示S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列．知识梳理1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )．例3已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10(10－1)2d ＝100，100a 1＋100(100－1)2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110(110－1)2d ＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 方法二∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法三由⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，构造新的等差数列b 1＝S 1010＝10，b 10＝S 100100＝110，则d ＝19(b 10－b 1)＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫－9910＝－1110，所以b 11＝S 110110＝b 10＋d ＝110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1110＝－1，所以S 110＝－110.方法四直接利用性质S n ＝m ，S m ＝n ，S m ＋n ＝－(m ＋n )，可知S 110＝－110. 反思感悟利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练3等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，S mm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝S mm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.1．知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用．(2)等差数列前n项和的最值问题．(3)等差数列中的片段和问题．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为()A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案D解析∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．2．等差数列{}a n 中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于()A ．12B ．18C ．24D ．30答案D解析根据题意，得在等差数列{}a n 中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，…也成等差数列，又由S 3＝3，S 6＝9，得S 6－S 3＝6，则S 9－S 6＝9，S 12－S 9＝12，则S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝3＋6＋9＋12＝30.3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()A.825两B.845两C.865两D.885两答案C解析设10个兄弟由大到小依次分得a n ()n ＝1，2，…，10两银子，由题意可得设数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和为S n ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＝6，S 10＝100，即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝6，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝865，d ＝－85.所以长兄分得865两银子．4．已知S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝－2，S 20222022－S 20202020＝2，则S 20212021＝________.答案2018解析∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，设其公差为d .∵S 20222022－S 20202020＝2，∴2d ＝2，d ＝1.∵a 1＝－2，∴S 11＝－2.∴S n n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.∴S 20212021＝2018.课时对点练1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于() A ．10B ．100C ．110D ．120答案B解析∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100.2．若等差数列{a n}的前m项的和S m为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A．30B．70C．50D．60答案C解析∵等差数列{a n}中，S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和S n()A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值答案B解析易知数列{2n－19}的通项公式为a n＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列．令a n＝0，得n＝192.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．已知在等差数列{}a n 中，前n 项和为S n ，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，则当S n 取最大值时，n 等于()A ．1010B ．1011C ．2020D ．2021答案A解析在等差数列{}a n 中，a 1>0，a 1010＋a 1011＝0，故公差d <0，所以a 1010>0，a 1011<0，所以当S n 取最大值时，n ＝1010.5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()A ．45B ．36C ．28D ．21答案D解析由题意分析可得a 1＝1，a 2＝1＋2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式a n ＝n ()n ＋12，a 6＝6×()6＋12＝21. 6．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．7．已知等差数列前n项和为S n，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.答案－13解析由性质S n＝m，S m＝n，S m＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.8．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S 9－S 6＝5.9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．10．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．11．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3S 6＝14，则S 6S 12等于() A.18B.726C.14D.12答案C解析由等差数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，设S 3＝k ，S 6＝4k ()k ≠0，则S 9＝3S 6－3S 3＝9k ，S 12＝3S 9－3S 6＋S 3＝16k ，所以S 6S 12＝14. 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 4＝S 9，当S n 最大时，n 等于()A ．6B ．7C ．6或7D ．13答案C解析因为S 4＝S 9，所以4a 1＋4×32d ＝9a 1＋9×82d ，化简得a 1＋6d ＝0，所以a 1＝－6d ，因为a 1>0，所以d <0，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－6dn ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－132dn ，它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n ＝132，因为n ∈N *，所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值．14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案10解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A ．7B ．8C ．9D ．10答案C解析设电梯所停的楼层是n (2≤n ≤12)，则S ＝1＋2＋…＋(n －2)＋2[1＋2＋…＋(12－n )]＝(n －2)(n －1)2＋2×(12－n )(13－n )2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－533n ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －5362－53224＋157，开口向上，对称轴为n ＝536≈9，故S 在n ＝9时取最小值S min ＝3×92－53×9＋3142＝40. 16．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .21 / 21 ∵S 7＝7，S 15＝75， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12. ∴T n ＝14n 2－94n .。

等差数列(学生版)

等差数列导引：若干个数排成一列,称为数列。

数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项练习：1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。

2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？练习：1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。

2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。

3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。

练习：1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。

2、计算5+10+15+20+⋯+190++200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)练习：1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99)3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。

高三数学数列的求和

11
1
(

)
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
5. 1 1 ( a b ) a b ab
五、分组求和法
通过把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。关键是分析通项
一、公式法 1. 等差数列求和公式：
Sn

na1
2
an

na1

nn 1
d 2
2. 等比数列求和公式：
Sn

na1 a1 1
qn
1 q
q 1 a1 anq q 1
1q
一、公式法
常见数列的前n项和公式
1 2 3 n n(n 1) ; 2

1 23

1 n (n
1)练习Leabharlann .求和1 Sn=2×5
1 +5×8
1 +8×11
1 + …+(3n-1) (3n+2)
常见的拆项公式
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k ) k n n k
3. 1
把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。
练习
1、求数列5,55,555, …,555…5的和
n个
an

5 9
10n
1
Sn

5 81
10n1

等差数列、等比数列的性质运用高考复习

20 ? ?A = m2 ? Am 2 + Bm = 30 ? ? ?? ? 2 ? A(2m) + B ? 2m = 100 ? B = 10 ? ? m ?
,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
解法四：S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+… +am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d. 由解法一知 d= 40 ,代入得 S3m=210. 2
1 2 n
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)记 Tn=C 1 b1+C 2 b2+C 3 b3+…+C n bn,求 lim n n n n
Tn n n →∞ 4 + b
n . Biblioteka 7.(★★★★)设{an}为等差数列， n}为等比数列， 1=b1=1,a2+a4=b3,b2· 4=a3,分别求出{an} {b a b 及{bn}的前 n 项和 S10 及 T10. 8.(★★★★★){an}为等差数列，公差 d≠0,an≠0,(n∈N*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证：当 k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证：数列参考答案难点磁场解法一：将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+ n(n ? 1) d,得：
2
},从而求得 an,即
“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想. 解：(1)设 y=

高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》

②如果顶点横坐标－2qp不是正整数，Sn 在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．
【练习 2】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值．
解：解法一：利用前 n 项和公式和二次函数的性质．由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d，解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169. ∴由二次函数的性质，得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
法三：因为等差数列前 n 项和 Sn＝an2＋bn＝a·nn＋ba，根据已知，可令 An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn.
∴a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
∴ab55＝6152kk＝6152. 法四：由AB22nn－－11＝abnn，有ba55＝AB99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解法二：由解法一，得 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－n≤10≥，0，得nn≤≥11321212
.
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－
2)＝169.
解法三：由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0，而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故 a13＋a14＝0. 由解法一，得 d＝－2<0，a1>0， ∴a13>0，a14<0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值，最大值为 S13＝13×25＋13×2 12×(－

数列中的规律

数列中的规律数列是数学中常见的概念，它是一组按照特定顺序排列的数。

数列中的规律是指数列中各项之间存在的一种有序的关系。

在数学中，研究数列的规律与性质有助于我们揭示数学的奥秘，深入理解数学的本质。

一、等差数列的规律等差数列是指数列中各项之间的差值恒定的特殊数列。

在等差数列中，每一项与前一项的差值固定为一个常数，这个常数被称为公差。

以等差数列的一般形式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示数列中的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。

等差数列的规律非常明显，每一项与前一项之间的差值恒定。

例如，数列2, 5, 8, 11, 14就是一个公差为3的等差数列。

二、等比数列的规律等比数列是指数列中各项之间的比值恒定的特殊数列。

在等比数列中，每一项与前一项的比值相等，这个比值被称为公比。

以等比数列的一般形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中 an 表示数列中的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列中的项数，r 表示公比。

等比数列的规律比较抽象，需要通过计算来确定。

例如，数列2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列。

三、斐波那契数列的规律斐波那契数列是一种特殊的数列，其规律是前两项之和等于第三项。

也就是说，斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。

斐波那契数列的一般形式表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(n)表示数列中的第 n 项，F(n-1) 表示数列中的第 n-1 项，F(n-2) 表示数列中的第 n-2 项。

斐波那契数列的规律特别有趣，常常可以在自然界和生活中找到它的身影。

例如，兔子繁殖、植物生长等都可以用斐波那契数列来描述。

四、其他常见数列的规律除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，数学中还存在其他各种各样的数列，它们具有不同的规律和特点。

例如，递归数列是一种通过递归关系来定义的数列，每一项都由前一项或前几项求得；自然数数列是一种最简单的数列，即从1开始，依次递增1。

华罗庚数学等差数列

华罗庚数学第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。

等差数列求解技巧

等差数列求解技巧等差数列是数学中常见的数列，其中每个相邻的两个数之间的差值相等。

在解决等差数列问题时，可以运用以下一些技巧来简化求解过程。

1. 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以简化计算，公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n个数，a1表示第一个数，d表示公差（相邻两个数的差值）。

2. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用以下公式进行计算：Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)其中，Sn表示前n项的和。

3. 基本特点：等差数列的一些基本特点可以帮助我们快速进行判断和计算。

- 等差数列中，任意三项的差值相等。

- 等差数列中，第n项与第1项的差值为(n-1)倍的公差。

- 等差数列中，每一项与它相邻的项的和都等于这两项的中间项。

4. 求解思路：在解决等差数列问题时，可以根据已知条件使用以下几种思路。

- 已知首项和公差，求第n项：使用等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1) * d，可根据已知的首项和公差求解第n项。

- 已知首项和第n项，求公差：使用等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1) * d，根据已知的首项和第n项，可以建立一个方程，从而求解公差。

- 已知首项和求和，求项数：使用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，根据已知的首项和求和，可以建立一个方程，从而求解项数。

- 已知项数和求和，求首项：使用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，根据已知的项数和求和，可以建立一个方程，从而求解首项。

- 已知前n项和，求前m项和：利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，可以通过求解前n项和Sn和前m项和Sm来求解前m项和的差值Sn - Sm。

- 判定一组数是否为等差数列：如果给定的一组数满足相邻两个数的差值相等，那么这组数就是一个等差数列。

小学数学中的等差数列与等比数列

小学数学中的等差数列与等比数列数学在小学阶段的学习是非常重要的，其中包括了等差数列和等比数列的学习。

等差数列和等比数列是数学中常见的序列形式，对于数学知识的理解和应用有着重要的作用。

本文将介绍小学数学中的等差数列和等比数列的概念、性质以及应用。

一、等差数列等差数列是指一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）的数列。

其中，首项为a，公差为d。

等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。

在小学阶段，对于等差数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解首先，学生需要理解等差数列的概念，即一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）。

可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中差值为3。

2. 判断等差数列学生需要学会判断给定的数列是否为等差数列。

可以通过观察相邻两项的差值是否相等来判断，如果相等则为等差数列。

同时，学生需要注意等差数列的公差是固定的，也就是说差值是保持不变的。

3. 求和公式学生需要了解等差数列的求和公式，即Sn=n/2(a+l)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，l表示末项。

通过掌握求和公式，可以简化对等差数列求和的计算。

二、等比数列等比数列是指一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）的数列。

其中，首项为a，公比为r。

等比数列的通项公式为An=a*r^(n-1)。

在小学阶段，对于等比数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解同样，学生需要理解等比数列的概念，即一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）。

可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中比值为2。

2. 判断等比数列学生需要学会判断给定的数列是否为等比数列。

可以通过观察相邻两项的比值是否相等来判断，如果相等则为等比数列。

同时，学生需要注意等比数列的公比是固定的，也就是说比值是保持不变的。

3. 求和公式学生需要了解等比数列的求和公式，即Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。

32 数列求和-分组求和法专题训练

专题32 数列求和-分组求和法专题训练【方法总结】分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个可求和的数列，先分别求和，然后再合并．(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为可求和的数列(等差或等比数列)，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是可求和的数列(等比数列或等差数列)，可采用分组求和法求和．【题型突破】1．已知数列{a n }为等差数列，其中a 5＝3a 2，a 2＋a 3＝8．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和．2．已知递增等比数列{a n }的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＝2，S 3＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．4．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．5．已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．6．由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3．7．若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)．(1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ． 8．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 9．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 3＝4，a 3是a 2－2与a 4的等差中项，若a n ＋1＝2n b(n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{}c n 满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{}c n 的前n 项和S n ． 11．(2019·天津)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0．已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)． 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n 2n ＋1＋1n (n ＋1)，其中n ∈N *，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ． 13．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *．(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n ．14．(2021·新高考Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25．(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．16．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．17．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且{b n }的前n 项和为S n ，2a 1＝b 1＝2，a 5＝5(a 4－a 3)，________．在①b 5＝4(b 4－b 3)，②b n ＋1＝S n ＋2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n －b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．19．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 4＝23，a 3＋a 5＝209，设b n ＝log 3a n 2(n ∈N *)． (1)求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)令T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…＋b 2n －1，求使T n >0成立的最小值n ．20．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数．(1)试判断数列{a n }是否为等比数列；(2)若a 2＝12，a 3＝1． ①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式；②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1b n ＋3b n ＋4＋b n ＋2·2n b ，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值．。

等差数列的前n项和公式(第3课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

【讲评】本例中，由于“每一圈比前一圈多 9 块”，因此每一圈的石板块数便组成了等差数列，而这 9 圈石板总数，便是该数列的前 9 项的和．因此，一个实际问题可建立等差数列的模型的必要条件是：是离散型的变量问题，且变量的相邻两个值的差是一个常数．
课后巩固
1．在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为( B )
(3)由(2)知，当 n≤17 时，an≥0；当 n≥18 时，an<0. 所以当 n≤17 时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当 n≥18 时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544. 故 Sn′＝3n32－n－33nn2（＋n5≤441（7）n≥，18）.
推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，
相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为 207 岁，请问大儿子多少岁，
其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄
为 an，则 a3＝( B ) A．17
B．29
C．23
D．35
解析依题意{an}为等差数列，且 d＝－3， S9＝9（a12＋a9）＝9a5＝207，∴a5＝23， ∴a3＝a5－2d＝29.故选 B.
方法二：由 an＋1＝2 Sn＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn，当 n≥2 时，(an－1)2＝4Sn－1， ∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an. ∴an＋12－an2－2an＋1－2an＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. ∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)． ∴{an}从第 2 项开始是以 a2＝3 为首项，2 为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)，又 a1＝1 满足上式，∴an＝2n－1.

等差数列项数计算公式

等差数列项数计算公式等差数列在数学中可是个相当有趣的家伙！咱们今天就来好好聊聊等差数列项数的计算公式。

先给大家举个例子哈，比如说有这么一个等差数列：3，7，11，15，19......那怎么知道它一共有多少项呢？这就需要用到咱们的项数计算公式啦。

咱们假设等差数列的首项为\(a_1\)，末项为\(a_n\)，公差为\(d\)，项数为\(n\)。

那项数\(n\)的计算公式就是：\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。

咱们就拿刚刚那个例子来说，首项\(a_1 = 3\)，公差\(d = 4\)（因为 7 - 3 = 4，11 - 7 = 4 等等），假设末项\(a_n = 35\)，那项数\(n\)就等于：\(\frac{35 - 3}{4} + 1 = \frac{32}{4} + 1 = 8 + 1 = 9\)，也就是说这个数列一共有 9 项。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这也太难了吧！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。

”然后我就带着他从最基础的等差数列开始，一项一项地分析，慢慢他就明白了。

其实啊，这个公式理解起来并不难。

比如说一个等差数列，每一项都比前一项多 5，首项是 2，末项是 52。

那我们先用末项减去首项，52 - 2 = 50，这 50 就是从首项到末项增加的数值总和。

然后除以公差 5，得到 10，这说明从首项到末项，一共增加了 10 次。

但是别忘了，首项本身也算一项，所以要再加 1，就是 11 项啦。

在做练习题的时候，有的同学会粗心，忘记加 1，结果就出错了。

还有的同学会把公差算错，这可得仔细喽！咱们再深入想想，这个公式为啥是这样的呢？其实就是通过一次次的差值计算，算出有多少个公差的间隔，再加上首项那一项，就是总的项数啦。

大家在运用这个公式的时候，一定要认真仔细，看清楚首项、末项和公差，别弄错了。

只要多练习几道题，熟练掌握，就会发现这其实是个很简单很有用的公式。

等差数列与等差数列的求和

等差数列与等差数列的求和等差数列（Arithmetic Progression）是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差值都相等的数列。

等差数列的求和是指将等差数列中的所有项相加的操作。

一、等差数列的定义等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项，a1为等差数列的首项，d为等差数列的公差。

二、等差数列的性质1. 公差的概念：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。

公差d可以用来确定等差数列中的任意一项。

2. 通项公式：根据等差数列的定义，我们可以得到等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。

这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中的某一项的值。

3. 求和公式：等差数列求和时，有一个重要的公式可以用来计算等差数列的前n项和Sn：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn为等差数列的前n项和，n为项数，a1为首项，an为末项。

三、等差数列的求和方法1. 如果给定等差数列的首项a1、末项an和项数n，我们可以直接利用求和公式计算等差数列的和。

例如：给定一个等差数列的首项为2，末项为10，项数为5，我们可以通过求和公式计算其和：Sn = (5/2)(2 + 10) = 302. 如果给定等差数列的首项a1、公差d和项数n，我们也可以通过递推的方式来计算等差数列的和。

递推计算的步骤如下：- 首先，计算等差数列的首项a1和末项an。

- 其次，计算等差数列的项数n。

- 然后，利用求和公式计算等差数列的和。

例如：给定一个等差数列的首项为3，公差为4，项数为6，我们可以通过递推的方式计算其和：a1 = 3an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1) * 4 = 23Sn = (6/2)(3 + 23) = 78综上所述，等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差值都相等的数列。

我们可以通过等差数列的通项公式和求和公式来计算等差数列中任意一项的值和前n项的和。

数列的规律与推理

数列的规律与推理数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。

在数学中，数列的规律和推理具有重要的意义，它们可以帮助我们了解数字之间的关系，揭示数学世界中的奥秘。

本文将探讨数列的规律与推理，并提供一些实例来加深理解。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻的两个数之间的差值保持不变。

换句话说，每一项都比前一项大（或小）相同的数。

等差数列的常见形式为An=a1+(n-1)d，其中An表示第n项，a1表示首项，d为公差。

例子1：考虑以下数列：1, 3, 5, 7, 9...这是一个等差数列，首项a1=1，公差d=2。

我们可以通过公式An=a1+(n-1)d来求得第n项。

例如，第6项A6=1+(6-1)2=11。

例子2：考虑以下数列：100, 90, 80, 70, 60...这也是一个等差数列，但是与例子1不同，公差为-10。

我们同样可以使用公式An=a1+(n-1)d，来求得第n项。

例如，第8项A8=100+(8-1)(-10)=20。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻的两个数之间的比值保持不变。

换句话说，每一项都等于前一项乘以一个常数。

等比数列的常见形式为An=a1*r^(n-1)，其中An表示第n项，a1表示首项，r为公比。

例子3：考虑以下数列：2, 4, 8, 16, 32...这是一个等比数列，首项a1=2，公比r=2。

我们可以通过公式An=a1*r^(n-1)来求得第n项。

例如，第6项A6=2*2^(6-1)=64。

例子4：考虑以下数列：81, 27, 9, 3, 1...这也是一个等比数列，但是与例子3不同，公比为1/3。

我们同样可以使用公式An=a1*r^(n-1)，来求得第n项。

例如，第8项A8=81*(1/3)^(8-1)=1/9。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项是1，之后的每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的常见形式为Fn=Fn-1+Fn-2，其中Fn表示第n项。

等差数列公式口诀

等差数列公式口诀等差数列是数学中常见的一类数列，其特点是每个数与前一个数之间的差值相等，这个差值被称为公差。

在求等差数列中的某些数值时，需要使用等差数列公式。

这份文档将探讨等差数列公式的口诀，帮助读者更加快捷地使用等差数列公式。

等差数列的定义等差数列是指一个数列中每个数与前一个数之间的差值相等，这个差值被称为公差。

例如：3，5，7，9，11，13是一个等差数列，公差为2。

等差数列的通项公式通项公式是等差数列中用于计算任意项的公式，可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

例如：5，8，11，14，17是一个公差为3的等差数列，可以使用通项公式计算其任意一项，比如第10项：a10=5+(10-1)×3 =5+27 =32等差数列前n项和公式等差数列前n项和公式是指等差数列前n项的和，可以表示为Sn=n/2×(a1+an)，其中Sn表示前n项和。

例如：1，3，5，7，9是一个公差为2的等差数列，其前3项和为：S3=3/2×(1+5) =9等差数列公式口诀为了更加快捷地记忆等差数列公式，我们可以使用一些简单的口诀。

下面列举几个比较常用的口诀：1. 通项公式口诀“倒着数d，顺着数a1”：即假设数列中第n项为an，公差为d，第一项为a1，则an=a1+(n-1)d。

例如：若一个等差数列的公差为5，第一项为10，第七项为40，可以根据口诀推得：40=10+(7-1)×52. 前n项和公式口诀“平均数乘项数”：即假设前n项和为Sn，第一项为a1，第n项为an，则Sn=n/2×(a1+an)。

例如：若一个等差数列的公差为2，第一项为3，其前7项和为：S7=7/2×(3+17) =703. 根据首项、末项、项数求公式口诀“先验收末项，再验收项数”：即可以先使用等差数列的通项公式计算公差d，再使用首项、公差和项数计算通项公式中的a1。