高二数学教案1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质1新必修4

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高中数学必修四《正切函数的图像和性质》优秀教学设计

附件：教学设计方案模板给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。

注: 有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。

②教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。

教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像; 进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。

通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出: 要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么?③投影仪展示完整图像。

目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。

(设计意图: 在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。

而根据知识的发生发展和获得结论这个过程，在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象)④总结正切函数的性质。

分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质(主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及) 。

一组总结后，其它各小组补充或改正。

培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。

判断下列语句是否正确: (1) y=tanx 在定义域上是单调增函数; (2) y=tanx 在在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上，再完成两个比大小的问题。

不求值，判断下列各式的大小①tan1380 tan1430，②tan(—13π4 ) tan(53) 引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图象，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。

(设计意图: 根据原来的教学经验，学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数，或者对第一象限的认识就认为是 0~2缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来)3.例题分析例 1: 求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间解:定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,312| 周期：2T =单调区间：51(2,2)33k k -+k z ∈ 例2不求值，比较下列函数值的大小（1）tan138与0tan 143 2）与由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

高二数学教案1.3.1正弦函数的图像与性质1新必修4

1.3.1正弦函数的图象和性质 (1)
一、教学目标：
1．知识目标：
正弦函数的图象
2．能力目标：
(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象
(2)会用五点法画出正弦函数的简图
3．情感目标：
发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系
二、教学重点、难点：
重点：用五点法画正弦曲线
难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线
三、教学方法：
借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。

以讲授法为主。

四、教学过程：。

最新人教版高中数学必修4第一章《余弦函数、正切函数的图象与性质2.正切函数的图象与性质》示范教案

示范教案整体设计教学分析本节课的背景是：这之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图象与性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．对正切函数，我们也遵循这一原则，先定义正切函数，再利用单位圆找出正切线，然后类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画出正切函数的图象．通过图象来研究它的主要性质．这样处理学生驾轻就熟，易于理解和掌握．通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象，以提高学生的学习兴趣，提高课堂教学质量．以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．学习正切函数的图象与性质，主要注意两点：一是通过正切线画函数的图象，掌握正切函数的性质；二是正切函数的图象的间断点和定义域，从数形两方面理解正切函数图象的特点(变化趋势)，理解语句“趋向无穷大的含义”．三维目标1．通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用．教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．推进新课新知探究提出问题(1)什么是正切函数？什么是正切线？正切函数的定义域是什么？(2)我们学习了正弦线、余弦线、正切线．你能画出四个象限的正切线吗？(3)我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？(4)我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？(5)你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？你能类比归纳出正切函数的主要性质吗？活动：教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习．明确正弦函数的定义．我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图象．那么有没有线段可以表示正切线呢？如图1，在直角坐标系中，设单位圆与x 轴正半轴的交点为A(1,0)，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点A(1,0)作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点．从图中容易看出：当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方；当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方．过点P 作x 轴的垂线，与x 轴交于点M ，那么，不论角α的终边在第几象限，都有∠AOT 与∠MOP 的正切值相等．我们称线段AT 为角α的正切线．问题(1)，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的．有了这些知识准备，然后根据作出的正切函数图象，类比正弦、余弦函数探究正切函数的性质，指导学生充分利用正切曲线的直观性．问题(2)，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.图1问题(3)，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－π2，π2]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－π2，π2)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间(－π2，π2)内的图象，如图2. 根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y ＝tanx ，x ∈(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z )的图象，我们称正切曲线，如图 3.可以看出，正切曲线是由通过点(π2＋kπ，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．图2图3问题(4)，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出函数y ＝tanx ，x ∈(－π2，π2)的简图．学生可看出有三个点很关键：(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，再画两条平行线x ＝－π2，x ＝π2，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．讨论结果：(1)略． (2)正切线是A T. (3)略． (4)能．(5)“三点两线”法．下面与学生一起探究正切函数y ＝tanx 的性质如下： (1)定义域根据正切函数的定义tanα＝yx ，显然，当角α的终边落在y 轴上任意一点时，都有x ＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为kπ＋π2，k ∈Z ，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ＋π2，k ∈Z }，而不是{α≠π2＋2kπ，k ∈Z }，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．(2)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间(－π2，π2)内，当x 小于π2，并且无限接近π2时，tanx 可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况，记作 tanx →＋∞.读作“tanx 趋向于正无穷大”；当x 大于－π2，并且无限接近－π2时，tanx 可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作tanx →－∞.读作“tanx 趋向于负无穷大”．这就是说，tanx 可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数y ＝tanx 的值域是实数集R . (3)周期性由诱导公式tan(x ＋π)＝tanx ，x ∈R ，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，可知，正切函数是周期函数，周期是π. 这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．(4)奇偶性由诱导公式tan(－x)＝－tanx ，x ∈R ，x ≠π2＋kπ，k ∈Z可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的对称中心是(kπ2，0)，k ∈Z .(5)单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－π2，π2)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k ∈Z 内都是增函数．提出问题(1)请同学们认真观察正切函数的图象特征，由形及数从正切函数的图象讨论它的性质． (2)设问：每个区间都是增区间，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子．活动：问题(1)，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反映了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k ∈Z ，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到哪一性质——是奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是(kπ2，0)，k ∈Z .问题(2)，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点．讨论结果：(1)略． (2)略．应用示例例1比较大小．(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－13π4)与tan(－17π5)．活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．解：(1)∵y ＝tanx 在90°<x<180°上为增函数， ∴由138°<143°，得tan138°<tan143°.(2)∵tan(－13π4)＝－tan 13π4＝－tan(3π＋π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 17π5＝－tan(3π＋2π5)＝－tan 2π5. 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tanx 在(0，π2)上是增函数，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5)．例2用图象求函数y ＝tanx －3的定义域．活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．图4 图5解：由tanx －3≥0，得tanx ≥3，利用图4知，所求定义域为[kπ＋π3，kπ＋π2)(k ∈Z )．点评：先在一个周期内得出x 的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，如图5.本节的重点是正切线，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种.图6tan(x －π3)的定义域．，则函数y ＝tant 的定义域是π2，k ∈Z }．，得x ≠kπ＋5π6.tan(x －π3)的定义域是5π例3求函数y ＝tan(π2x ＋π3)的定义域、周期和单调区间．活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将π2x ＋π3作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x 应满足π2x ＋π3≠kπ＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k ＋13，k ∈Z .所以函数的定义域是{x|x ≠2k ＋13，k ∈Z }．由于f(x)＝tan(π2x ＋π3)＝tan(π2x ＋π3＋π)＝tan[π2(x ＋2)＋π3]＝f(x ＋2)，因此，函数的周期为2.由－π2＋kπ<π2x ＋π3<π2＋kπ，k ∈Z ，解得－53＋2k<x<13＋2k ，k ∈Z .因此，函数的单调递增区间是(－53＋2k ，13＋2k)，k ∈Z .点评：同y ＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y ＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝πω.例4把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．活动：教师引导学生利用函数y ＝tanx 的单调性探究解题方法．也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：错解1：∵函数y ＝tanx 是增函数，又1<2<3<4，∴tan1<tan2<tan3<tan4. 错解2：∵2和3的终边在第二象限， ∴tan2，tan3都是负数．∵1和4的终边分别在第一和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．又∵函数y ＝tanx 是增函数，且2<3,1<4， ∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．解法一：∵函数y ＝tanx 在区间(π2，3π2)上是单调递增函数，且tan1＝tan(π＋1)，又π2<2<3<4<π＋1<3π2，∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二：如图7,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1，AT 2，AT 3，AT 4，图7∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这属于学生易错点．把正切函数y ＝tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．课堂小结1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．2．教师简要归纳，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本练习B 组3～6.设计感想 1．本教案的设计思路是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步地发散思考→探索提高．备课资料函数f(x)±g(x)最小正周期的求法若f(x)和g(x)是三角函数，求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：(一)定义法例1求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．解：∵y ＝|sinx|＋|cosx| ＝|－sinx|＋|cosx| ＝|cos(x ＋π2)|＋|sin(x ＋π2)|＝|sin(x ＋π2)|＋|cos(x ＋π2)|，对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋π2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π2. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T ＝2π|ω|，正切函数T ＝π|ω|.例2求函数y ＝1tanx－tanx 的最小正周期．解：y ＝1tanx －tanx ＝1－tan 2x tanx ＝2·1－tan 2x 2tanx ＝2tan2x ，∴T ＝π2.(三)最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f(x)±g(x)的最小正周期是T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最大公约数.3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期．例解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则T 1＝2π3，T 2＝2π5，所以y ＝sin3x＋cos5x 的最小正周期T ＝2π1＝2π.4求y ＝sin3x ＋tan 25x 的最小正周期．例解：∵sin3x 与tan 25x 的最小正周期是2π3与5π2，其最小公倍数是10π1＝10π，∴y ＝sin3x ＋tan 25x 的最小正周期是10π.(四)图象法例5求y ＝|cosx|的最小正周期.解：由y ＝|cosx|的图象，可知y ＝|cosx|的周期T ＝π.图8。

高中数学人教B版必修4教案：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 Word版含答案

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）理解余弦函数的图象与性质
（2）理解正切函数的图象与性质
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据正弦函数的图象、诱导公式推导出余弦函数的图象，并自己总结其性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，自己利用三角函数线得出正切函数的图象，并研究它的性质
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解余弦函数和正切函数的图象和性质，难点余弦函数和正切函数的图象和性质。

三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程。

2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)明目标、知重点 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.正弦函数、余弦函数的图象、性质对比R探究点一余弦函数的图象思考如何快速做出余弦函数的图象？答 (1)依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只须把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可.余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象.探究点二余弦函数的性质思考1 观看余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？答对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观看余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数.为争辩余弦函数y ＝cos x 的变化状况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来争辩余弦函数单调状况，再借助周期推而广之. 函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：观看图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线渐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线渐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间. 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ). 反思与感悟确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求简洁三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.解依据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z ). 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z ).∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z ). 例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域. 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 反思与感悟求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值. 跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值. 解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1. 探究点三正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1 观看正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发觉？答正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称. 思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数.依据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立.小结正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：争辩正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其全部的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )；且正弦曲线是轴对称图形，其全部的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其全部的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其全部的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ). 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得：x ＝k π2－π3，k ∈Z (k ∈Z ).令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )，则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0.∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得：φ＝π12－k π2(k ∈Z ). 令k ＝0，得：φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.反思与感悟关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值. 解由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ，它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )，即4π3－φ＝k π (k ∈Z ). ∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数答案 C2.假如函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z ).|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3.已知0≤x ≤2π，摸索究sin x 与cos x 的大小关系. 解用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .4.试比较cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π的大小. 解 cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π ＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. [呈重点、现规律]1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在争辩y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，留意接受整体代换的思想.如，它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.一、基础过关1.若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C 2.函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A.[2k π＋π，2k π＋2π] (k ∈Z )B.[k π＋π，k π＋2π] (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2 (k ∈Z ) D.[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 答案 D解析令u ＝－cos x ，则y ＝2u，∵y ＝2u在u ∈(－∞，＋∞)上是增函数，∴y ＝2－cos x的增区间，即u ＝－cos x 的增区间，即v ＝cos x 的减区间[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ).3.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin(2x ＋π2)B.y ＝cos(2x ＋π2)C.y ＝sin(x ＋π2)D.y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析由于函数周期为π，所以排解C 、D.又由于y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合.故选A.4.要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 5.函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 6.方程x 2＝cos x 的实数解有________个. 答案 2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.7.推断下列函数的奇偶性并求最小正周期. (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx －π2； (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π.解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＝sin πx ， ∴f (－x )＝sin(－πx )＝－sin πx ＝－f (x ). f (x )是奇函数.最小正周期T ＝2ππ＝2. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π＝－cos 23x ， ∴f (－x )＝f (x ).f (x )是偶函数.最小正周期T ＝2π23＝3π. 二、力气提升8.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4答案 A解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观看图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.9.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观看图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于________.答案 23解析首先由图象可知所求函数的周期为2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝⎛⎭⎫11π12，0代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的其次关键点， ∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝－9π4＋2k π.令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A cos π4＝－23， ∴f (0)＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝A cos π4＝23. 11.已知函数f (x )＝lg cos 2x . (1)求它的定义域、值域； (2)争辩它的奇偶性； (3)争辩它的周期性； (4)争辩它的单调性.解 (1)要使函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即－π2＋2k π<2x <π2＋2k π，k ∈Z ，－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z .由于在定义域内0<cos 2x ≤1， ∴lg cos 2x ≤0，∴函数的值域为(－∞，0].(2)∵f (－x )＝lg cos [2·(－x )]＝lg cos 2x ＝f (x )， ∴该函数是偶函数.(3)∵cos 2x 的周期为π，即cos 2(x ＋π)＝cos 2x . ∴f (x ＋π)＝lg cos 2(x ＋π)＝lg cos 2x ＝f (x ). ∴该函数的周期为π. (4)y ＝lg u 是增函数.当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，k π (k ∈Z )时，u ＝cos 2x 是增函数；当x ∈⎣⎡⎭⎫k π，π4＋k π (k ∈Z )时，u ＝cos 2x 是减函数. 因此，函数y ＝lg cos 2x 在⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，k π (k ∈Z )上是增函数；在⎣⎡⎭⎫k π，π4＋k π (k ∈Z )上是减函数. 12.设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值. 解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z ). 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在.令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤285π，223π上是减函数，∴a 的最大值是223π. 三、探究与拓展13.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：(1)(2)观看图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)假如确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试支配恰当的训练时间.解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适. 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24).(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，留意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应支配在11时到19时训练较恰当.。

人教B版高中数学必修四《1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质》_13

二、教学目标
教学目标：
1．了解正弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数的图象．
3. 正弦函数的简单运用.
教学重难点：
1.重点：利用“五点法”画正弦函数的图象．
2.难点：正弦函数图象的简单运用．
三、学习者特征分析
我授课的对象是文科学生。通过前面的学习，学生对正弦函数定义、三角函数线等有了一定的掌握。虽然学生的基础比较薄弱，学习动力不足，但是好奇、好动、好表现也是我校学生的一个共同特点，是教学应当利用的一个关键点。学生在课前仔细阅读教材，读本节课的知识有所了解。
阅读教材正弦函数图象的画法，复述画法
学生观看图象，思考并回答问题
两名学生板演五点法作图
其他学在笔记上画图（五点法）
分析思考图象变换后，五点法作图
规范五点法作图步骤，学生练习加深印象
通过对变换后的图象进行作图，让学生理解和掌握五点法作图，掌握正弦函数图象的精髓。
5.【随堂检测】
1.函数y＝sinx与直线y＝x有个交点。
教学设计
课题名称：正弦函数的图象
学科年级：
高二数学
教材版本：
人教B版
一、教学内容分析
《正弦函数的图象》出自人教B版高中数学教材必修四第一章第三节，是本课的重点内容之一，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后续内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的教学工具，与其他学科联系紧密。因此，本节课的学习有着极其重要的地位。
学生独自完成练习
当堂检测学生掌握情况
【归纳小结】
正弦函数图像的画法，关键的五点。
对本节课知识进行归纳总结
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质》

必修四正切函数图像及性质教学设计教学背景1．学生已经有了学习正弦函数和余弦函数的图象与性质的经验，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对正切函数性质与图象的研究中；2．学生已经掌握了正切函数的定义、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质和图象，体会研究函数方法，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备．教学目标1．知识与技能：通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．过程与方法：在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．情感态度与价值观：通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏中心对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用．教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．课时安排1课时错误!导入新课直接导入常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．复习回顾1.什么是角ɑ的正切线？在直角坐标系中，设单位圆与轴正半轴的交点为A1,0，任意角α的终边与单位段AT为角α的正切线。

圆交于点P，过点A1,0作轴的垂线，与角的终边或终边的延长相交于T点，则tan=AT2诱导公式()=+x πtan ()=-x tan知识探究1正切函数的图像思考1：正切函数的定义域是什么？思考2：正切函数=tan 是否为周期函数？2诱导公式()=+x πtan ()=-x tan思考3：类比正弦函数图像的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图像，具体应如何操作？教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间－错误!，错误!内的图象，如图1根据正切函数的周期性，把图1向左、右扩展，得到正切函数＝tan ，∈－错误!＋π，错误!＋π∈Z 的图象，我们称正切曲线，如图2可以看出，正切曲线是由通过点错误!＋π，0∈Z 且与轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．图1图22正切函数的性质下面让学生结合图像自己探究正切函数＝tan的性质：1定义域正切函数的定义域是{α|α≠π＋错误!，∈Z}，而不是{α≠错误!＋2π，∈Z}，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．2值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间－错误!，错误!内，当小于错误!，并且无限接近错误!时，tan可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况，记作tan→＋∞读作“tan趋向于正无穷大”；当大于－错误!，并且无限接近－错误!时，tan可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作tan→－∞读作“tan趋向于负无穷大”．这就是说，tan可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数＝tan的值域是实数集R3周期性由诱导公式tan＋π＝tan，∈R，≠错误!＋π，∈Z，可知，正切函数是周期函数，周期是π4奇偶性由诱导公式tan－＝－tan，∈R，≠错误!＋π，∈Z可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．5单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在－错误!，错误!内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间－错误!＋π，错误!＋π，∈Z内都是增函数．错误!思考1：正切函数在整个定义域上是不是增函数？正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间0，π上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点．思考2：一条平行于轴的直线与正切曲线相邻两支的交点的距离为多少？题型探究例1 求函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的定义域。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质》534

正切函数的性质与图象教学设计一、教材分析（一）本质《正切函数的性质与图象》是高中《数学》必修4第一章第四单元第三节的内容，他前承正弦函数、余弦函数的图象与性质，后启三角函数图象的平移伸缩变换。

本节课主要内容是从已学正切函数的相关知识（诱导公式、正切线等）的基础上，类比研究正弦函数、余弦函数图象与性质的方法，研究正切函数的主要性质,然后在此基础上描绘出函数的大致图象,再由图象完善函数的性质。

本节课从性质入手研究图象，是为了让学生更好得体会研究函数方法的多样性，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想能够体现的更加全面。

（二）地位与作用本节课是继正弦函数、余弦函数之后的又一三角函数，它与正弦函数、余弦函数一样，是重要的三角函数之一，学习本节内容既是对前面正弦函数、余弦函数图象和性质知识的延展，也是为学习后续知识作了铺垫学习正切函数有利于学生进一步掌握研究函数的基本方法，有利于学生掌握解决函数问题时，采用由性质到图象的不同的学习方法，并运用到今后的函数学习中去。

体现了新课程“注重培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力，进一步发展学生的数学实践能力”的要求。

二、教学目标分析利用类比思想方法研究正切函数的性质，然后根据性质画出正切函数的图象；掌握正切函数的性质和图象，学会画正切函数的简图，并会用正切函数的性质和图象解决相关问题。

由于在此之前学生已经学习了正切函数的定义，诱导公式、正切线等相关数学知识，且在前一节有了研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，基于此，要达成本节课的教学目标并不难，但本节是高中阶段由函数性质研究函数图象的第一课，这种方法学生自己恐怕想不到，所以在研究方法上教师要及时的给予引导，并告诉他们，之所以如此处理，主要是为了给他们提供研究数学问题更多的视角。

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余弦函数的图像与性质【教学目标】1能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像2能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质3能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义4会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法1平移法:余弦函数=co 的图像可以通过将正弦曲线=in 的图像向平移个单位长度得到如图2五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间1定义域为;2值域为;3单调增区间为,减区间为问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心1周期T= ;2偶函数;3对称轴为4对称中心为问题4:余弦函数的复合函数f=A coωφA>0,ω>0的对称轴、对称中心和单调区间1当ωφ=π时,即为对称中心;2当ωφ=π时,即为对称轴;3当ωφ∈[-π2π,2π]时,求得属于的区间为区间;当ωφ∈[2π,π2π]时,求得属于的区间为区间注:以上∈Z 【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出＝co ∈R的简图，并根据图像写出：1≥错误!时的集合；2－错误!≤≤错误!时的集合．解：用“五点法”作出＝co 的简图1过错误!点作轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于错误!，错误!点，在[－π，π]区间内，≥错误!时，的集合为错误!当∈R时，若≥错误!，则的集合为错误!2过错误!，错误!点分别作轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于错误!，∈Z，错误!，∈Z点和错误!，∈Z，错误!，∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－错误!≤≤错误!时的集合为：错误!规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．跟踪演练1求函数f＝g co ＋错误!的定义域．解由题意，满足不等式组错误!，即错误!，作出＝co 的图像．结合图像可得：∈错误!∪错误!∪错误!要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数＝og co 2的增区间．解：由题意得co 2>0且＝co 2递减．∴只须满足：2π139°>136°>0°，∴co 139°co 221°2co错误!＝co错误!π＝co错误!＝co错误!π，co错误!＝co错误!π＝co错误!＝co错误!∵00，又因为－1≤co≤1，显然3＋co>0，所以∈R二、填空题7．函数＝co在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是______________．[答案]－π，0][解析]∵＝co在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π[解析]co错误!＝co错误!＝－co错误!π，co错误!＝co错误!＝－co错误!，由＝co在[0，π]上是单调递减的，所以co错误!πco错误!三、解答题9．若函数f＝a－b in的最大值为错误!，最小值为－错误!，求函数＝1－a co b的最值和周期．[解析]1当b>0时，若in＝－1，f ma＝错误!；若in＝1，f min＝－错误!，即错误!解得错误!此时b＝1>0符合题意，所以＝1－错误!co2当b＝0时，f＝a，这与f有最大值错误!，最小值－错误!矛盾，故b＝0不成立．3当b co错误!>co1>co30°>coπD．co0>co错误!>co30°>co1>coπ[答案]D[解析]在[0，错误!]上，0co错误!>co错误!>co1>0又coπco错误!>co错误!>co1>coπ2．函数f＝－co的部分图像是[答案]D[解析]由f＝－co是奇函数，可排除A，＝错误!，则f错误!＝－错误!co错误!＝－错误!co错误!，即co－错误!0，∴∈R∴＝错误!的定义域为R2要使函数有意义，只要错误!即错误!由下图可得co≤错误!的解集为{|错误!＋2π≤≤错误!＋2π，∈Z}．in>错误!的解集为{|错误!＋2π<<错误!＋2π，∈Z}．它们的交集为{|错误!＋2π≤<错误!＋2π，∈Z}，即为函数的定义域．7．函数f＝错误!－错误!＋a co－co2021错误!的最大值为2，求实数a的值．[解析]令t＝co，由0≤≤错误!，知0≤co≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为＝－t2＋at＋错误!－错误!＝－错误!2＋错误!＋错误!－错误!，t∈[0,1]．1若错误!≤0，即a≤0时，当t＝0时，＝错误!－错误!＝2，解得a＝－6ma2若0<错误!<1，即0<a<2时，当t＝错误!时，＝错误!＋错误!－错误!＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去．ma3若错误!≥1，即a≥2时，当t＝1时，＝－1＋a＋错误!－错误!＝2，解得a＝错误!ma综上所述，可知a＝－6或错误!。

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余弦函数的图象与性质教学设计一、教材分析1、地位和作用本节选自人教B版普通高中标准实验教科书必修四第一章第三单元第二节。

本节余弦函数图像可根据诱导公式，通过对正弦函数的平移得到。

因此，余弦函数的图像和性质既是正弦函数的图像和性质的转化与巩固，又是余弦函数的基础。

因此，学好本节课不仅可以为我们今后学习正切、余切函数的性质打下基础，还可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，他对知识起到了承上启下的作用。

2、教学目标（1）知识和技能目标：了解平移法，掌握五点发作余弦函数的图像，利用余弦函数的图像进一步研究余弦函数的性质，并解决简单余弦函数的问题。

（2）过程与方法目标：类比正弦函数的性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法。

（3）情感态度与价值观目标：通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系。

3、教学重难点教学重点：会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和＝Acoω＋φ的图象教学难点：理解余弦函数的性质，会求余弦函数的单调区间及最值二、学情分析结合对新课标的理解制定如下的学情分析：（1）认知分析：学生已学习了正弦函数的图像和性质、正弦型函数以及其性质的运用这三者形成了学生思维的“最近发展区”。

（2）能力分析：学生已具备了一定的函数图像平移能力和三角函数诱导公式的应用能力，但在数学的分析能力和应用意识方面等需进一步培养。

（3）情感分析：大多数学生对数学学习感兴趣，能够积极参与到讨论与研究中来。

三、教法分析本节采用先学后教、小组讨论的教学方式，真正让学生知其所以然，还要提示学生预防运用时可能的错误，这样就从理论到实践架起一座桥梁。

四、学法分析本节课采用的是“自学-小组讨论-解决问题-小结”的学习方式。

在教师的有效引导下自主学习。

让学生带着思考题在规定的时间内学习指定的内容，提出在自学过程中的问题，然后小组讨论，若小组讨论不能解决，在课堂上寻求其他组和老师的帮助解决问题。

《余弦函数、正切函数的图像与性质》教案1

《余弦函数、正切函数的图象与性质》教案1一、教学目标知识与技能目标1.理解余弦函数的性质，能正确使用“五点法”“几何法”“图象变换法”画出余弦函数的图象。

2.通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象。

3.借助图象理解正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）。

过程与方法目标1.通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力。

2．培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

3.迁移、类比的能力。

4.绘图，观察，类比推理，探索知识。

情感、态度与价值观目标1.通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

2.渗透数形结合的思想，用数形结合的思想理解和处理问题。

3.学生养成看问题要从实际出发，尊重客观规律，懂得实践是认知的源泉；发现数学美；体验成功后的喜悦。

二、教学重点、难点本小结的教学重点是余弦函数的性质与图象，用“五点法”作函数()ϕω+=x A y cos 的图象，并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。

正切函数的图象及正切函数的主要性质难点是余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及()ϕω+=x A y cos 的图象画法。

三、教学方法：本节教学方法选用类比法，通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质，从而达到温故知新的教学效果。

四、课时2课时五、教学过程第1课时性质：1、定义域：R x ∈2、值域：[]1,1-∈y y 的最大值为1，最小值为1-3、周期：π2第2课时轴上与与）∵∴）∵函数∴。

高中数学1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质教案含解析新人教B版必修4

第1课时余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象把正弦函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数y ＝cos x 的图象，该图象叫做余弦曲线．2．余弦函数的性质期T ＝2πω.思考：在[0,2π]上画余弦函数图象的五个关键点是什么？[提示] 画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)．1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．0≤m ≤2 C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1B [∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m ≤1，解得0≤m ≤2.故选B.]3．比较大小：(1)cos 15°________cos 35°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3________cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.(1)> (2)< [(1)∵y ＝cos x 在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°，所以cos 15°>cos 35°.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，并且y ＝cos x 在x ∈[0，π]上为减函数，又∵0<π4<π3<π，∴cos π4>cos π3，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.][思路探究] 在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可． [解] 列表：1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x 轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．1．用“五点法”作函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图． [解] 按五个关键点列表、描点画出图象(如图)．【例2】求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 的单调递减区间． [思路探究] 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 化为y＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6形式，故只需求y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间即可．[解] y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，令z ＝x －π6，则y ＝cos z ，即2k π≤z ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴2k π≤x －π6≤2k π＋π，k ∈Z ，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋76π，k ∈Z .故函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间为2k π＋π6，2k π＋76π，k ∈Z .1．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．2．求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间． [解] y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.结合y ＝|cos x |的图象．由k π－π2≤x －π4≤k π(k ∈Z )得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )．所以函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).【例3】已知函数y 1＝a －b cos x 的最大值是2，最小值是－2，求函数y ＝－4a sin 3bx的最大值．[思路探究] 欲求函数y 的最大值，须先求出a ，b ，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解．[解] ∵函数y 1的最大值是32，最小值是－12，当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.因此y ＝－2sin 3x 或y ＝2sin 3x . 函数的最大值均为2.1．对于求形如y ＝a cos x ＋b 的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x 有具体范围限制时，需考虑cos x 的范围．2．求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．3．函数y ＝sin 2x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋22 [设cos x ＝t ，因为－π4≤x ≤π4，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以y ＝1－cos 2x ＋cos x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故当t ＝22，即x ＝±π4时，y max ＝1＋22；当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋22.]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？[提示] 正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y 轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．2．正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？[提示] 正弦曲线的对称中心坐标为(k π，0)，(k ∈Z )，其对称轴方程为x ＝π2＋k π，(k ∈Z )．余弦曲线的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π，(k ∈Z )． 3．如何求y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心及对称轴方程？[提示] 只需令ωx ＋φ＝k π＋π2即可求得其对称中心的横坐标．令ωx ＋φ＝k π，可求得其对称轴方程．【例4】已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值． [解] (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )，则f (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－2φ.∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2φ＝0. ∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z . 解得φ＝π12－k π2(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(或A cos (ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(或A cos (ωx ＋φ))的图象关于点(x 0，0)中心对称⇔f (x 0)＝0.4．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值．[解] 由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3－φ，它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π(n ∈Z )，即4π3－φ＝k π(k ∈Z )．∴φ＝4π3－k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.(教师用书独具)1．余弦曲线和正弦曲线的关系2．余弦函数周期性的释疑余弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期为2π. 3．余弦函数的奇偶性(1)余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y 轴对称． (2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 4．余弦函数单调性的说明(1)余弦函数在定义域R 上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．余弦函数最值的释疑(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x |≤1.(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝z ，将函数转化为y ＝A cos z 的形式最值.1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4xD [∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4.]2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0192π是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0192π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋1 009π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0192π是偶函数．] 3．函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的单调递减区间是________． [0，π] [y ＝cos(－x )＝cos x ，其单调递减区间为[0，π]．]4．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．[解] 列表：。

人教B版高中数学必修四《1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质》_13

教学设计---《正切函数的图像与性质》教材版本：人教B 版《正切函数的图像与性质》教学设计一．教材分析本文选自人教B 版必修4第一章《基本初等函数（Ⅱ）》1.3.2第二课时《正切函数的图像与性质》。

本节课是在前面系统的学习了正弦函数和余弦函数的图像及基本性质的基础上，又一个具体的三角函数的学习。

正切函数图像的研究方法继承了正弦函数图像的研究方法，即利用单位圆中的三角函数线，同时也有所改进，渗透了部分正切函数的性质，进而利用函数性质得出正切函数的图像。

同时也为后面已知三角函数值求角做好了铺垫。

本课是数形结合思想的有效载体，是对函数学习规律的总结与探索。

二．教学目标分析1. 利用单位圆中的正切线和正切函数的定义域、周期性、奇偶性画出正切函数图像；通过正切函数图像理解正切函数的性质。

2. 探究正切函数图像及性质过程中，渗透数形结合思想。

3. 体会事物之间相互联系、相互制约的关系4. 培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

三．学情分析1.基础：学生已经会利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像，利用图像观察函数性质。

2.优势：高中学生具备了一定的观察、分析和解决问题的能力，思维的目的性、连续性和逻辑性也已初步形成，具备了一定的数学核心素养。

3.对策:教师逐步启发式教学，学生动手作图、加深理解。

四．教学重难点（一）教学重点：正切函数的图像及其主要性质。

（二）教学难点：1.利用正切线画出函数tan ,(0,)2y x x π=∈的图像。

2.认识到直线2x π=±是此图像的两条渐近线。

五．教学手段多媒体课件（FLASH 动画）、展台、作图工具等。

六．教法与学法1.创设情境：创设数学情景，回顾正弦函数图像和余弦函数图像的画法。

2.问题引领教学：设置问题串，引导学生自主探究，循序渐进地解决问题。

3.比较教学法：类比正弦函数图像的画法，探究正切函数的图像，并加以改进完善。

七．教学过程.八、板书设计2、周期性3、奇偶性4、单调性5、对称性。

高二数学教案：正切函数的图像和性质1

课题：5.11 正切函数的图像和性质<1> 课型：新授课
教学目标：
1.熟记正切函数图像
2.熟记正切函数性质
教学重点：正切函数的性质
教学难点：理解正切函数的性质
教学方法：谈话法
教具：电教
板书设计：
课后记：
一、组织教学：
二、复习提问：
1. y=sinx 的性质
2. y=cosx 的性质
三、新授：y=tanx 的图像和性质
(一) y=tanx 的图像（看书，熟记形状）
画在黑板上—>
(二) y=tanx 的性质：
根据图像分析出y=tanx 的性质
1）定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且 2）值域：y ∈R
3）周期：T=π
4）奇偶性：∵tan(-α)=tan α
∴y=tanx 是奇函数
5）单调性：在⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππk k 2,2是增函数
四、小结：
要求学生当堂熟记性质并检查
五、作业：
背性质。

人教B版高中数学必修四《1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质》_1

正切函数的图象与性质教学设计一、教材分析1.教学内容分析本节是普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4第一章基本初等函数（Ⅱ）1.3节三角函数的图象与性质。

本节主要研究正切函数的图象和性质。

2.教材的地位与作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。

正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。

3.三维目标知识与技能（1）理解正切函数中的自变量取值范围；（2）掌握正切线的画法；（3）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；（4）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；（5）能熟练掌握正切函数的图象与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

过程与方法类比正弦函数图象的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图象；能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质。

情感态度与价值观使同学们对正切函数的性质有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

4．教学重点（1）能画出y＝tan x的图象，并借助图象理解正切函数的性质. （2）掌握正切函数的性质，会用函数的图象与性质解决问题.5. 教学难点熟练运用正切函数的图象与性质分析问题、解决问题二．教法分析由于高一学生，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑可行性和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习，获取结论。

在教学过程中采用讨论法、探究式教学，通过多媒体课件向学生提供具备启发式和思考性的问题。

要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

【B版】人教课标版高中数学必修四《余弦函数、正切函数的图象与性质(第2课时)》教案2-新版

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(2)
一、学习目标
1、通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象；
2、借助图象理解正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）。

二、学习重点、难点
重点：正切函数的图象及正切函数的主要性质
难点：利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线2
π
±=x 是此图象的两条
渐近线。

三、学习方法
通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象，利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线2
π
±
=x 是此图象的两条渐近线。

借助单位圆的
直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。

四、学习过程
的单
，。

人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计 (2)

人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计课程概述本课程介绍了余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等性质。

通过对两种函数的图像进行分析，让学生了解函数的周期性和单调性，掌握其在几何中应用的方法。

教学目标1.理解余弦函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.理解正切函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.掌握余弦函数和正切函数在几何中的应用。

教学重点1.余弦函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.余弦函数和正切函数在几何中的应用。

教学内容余弦函数的图像余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其形状与正弦函数的图像非常相似。

但是，余弦函数的图像在x轴上的交点较正弦函数的图像靠左，也就是说，余弦函数的最大值出现在x轴的0.5个周期之后。

余弦函数的基本性质1.定义域：$(-\\infty,+\\infty)$；2.值域：[−1,1]；3.周期：$2\\pi$；4.奇偶性：偶函数。

正切函数的图像正切函数的图像是一条连续的直线，其形状与余切函数的图像非常相似。

但是，正切函数的图像在x轴上的交点位于每个周期的中点。

正切函数的基本性质1.定义域：$\\{x|x\ eq k\\pi+\\frac{\\pi}{2}(k\\inZ)\\}$；2.值域：$(-\\infty,+\\infty)$；3.周期：$\\pi$；4.奇偶性：奇函数。

余弦函数和正切函数的应用1.余弦函数在三角函数的解析式中有广泛的应用；2.正切函数在物理、工程学等领域中有广泛的应用。

教学方法1.讲解结合举例；2.图像分析结合图形实例。

教学过程第一部分：余弦函数的图像和性质步骤一：引入余弦函数与正弦函数都是高中数学中常见函数，本课程我们将重点学习余弦函数的图像和性质，来了解余弦函数在几何中的应用。

步骤二：分析余弦函数的图像通过一组数据$(0,\\frac{\\pi}{2},\\pi,\\frac{3\\pi}{2},2\\pi)$，绘制出余弦函数的图像，通过展示余弦函数的图像，让学生了解余弦函数的周期性和单调性，同时，与正弦函数的图像进行比较，突出两者之间的异同点。