《高等数学》期末复习参考题

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

数学高数期末试题及答案

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

___高等数学期末试题附答案

___高等数学期末试题附答案___高等数学期末试题附答案一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当x趋向于无穷大时，下列函数为无穷小量的是（A）1/x-Cosx/Sinx (B) (1+x)/x (C) x^2-1 (D) x^(-1)2.函数f(x)在点x处连续是函数在该点可导的（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件3.设f(x)在(a,b)内单增，则f(x)在(a,b)内（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D）f'(x)>04.设f(x)在[a，b]内连续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在一点使f(ξ)=0成立。

ξ∈(a，b) （A）f(ξ)=0 (B) f'(ξ)=0 (C) f'(ξ)≠0 (D) f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a)5.广义积分∫a to +∞ dx/x^p (a>0)当（）时收敛。

（A）p>1(B) p<1 (C) p≥1 (D) p≤1二、填空题（15分，每小题3分）1、若当x趋向于无穷大时，1-1/(x-a)^2=x^2，则a=2；2、设由方程xy^2=a^2所确定的隐函数y=y(x)，则dy/dx=-a^2/x^2；3、函数y=2x+8/x (x>0)在区间(0,∞)单减；在区间(0,∞)单增；4、若f(x)=xe^(-λx)在x=2处取得极值，则λ=1/2；5、若a∫1 to 2f(x)dx=∫0 to 1 f(x)dx，则a=2.三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）1、lim x→∞ x∫x to 2x (et-1)dt/(1+x)^2；2、lim x→x/2 (cosx-cos2x)/(x^2-π^2/4)四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、y=d^2y/dx^2，其中y=ln(1+t^2)；2、y=t-arctan(t-4+x^2)；五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、∫1 to ∞ x^2/(1+x+arctanx)dx；2、∫0 to π/2 (cosx-cos2x)/(3-2sinx)dx；3、设f(x)=∫x^2 to 1 sint/t dt，计算∫0 to 1 xf(x)dx/(1+x+arctanx)^2 dx.六、讨论函数f(x)=cosx/(2-πx)，指出其类型。

高等数学期末复习题及答案

高等数学期末复习题及答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1、 .11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1lnarctan )(,d arctan2222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则设答(A )2、 [) ）答（和、　依赖于，不依赖于　依赖于　和　依赖于，不依赖于　依赖于　的值则，　上连续，且，在设函数tx s D s t C s t B t s A I t s dx s xt f s I x f st )()()()()00()(10)(0>>+=∞+⎰ 答( C )3、 cx x x x D cx x x x C c x x x x B cx x x x A I x d x I +⋅-+-+⋅-++⋅-++⋅++==⎰s e c t a n 21|t a n s e c |ln 21)(sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21tan sec ln )(sec tan 21|tan sec |ln 21)(,sec3 则设答( A )4、答（）等于是同阶无穷小，则与时，且当，，，有连续的导数，设4)(3)(2)(1)()(0)()()(0)0(0)0()(022D C B A k x x F x dt t f t x x F f f x f kx'→-=≠'=⎰ 答( C )5、）答（是等价无穷小，则的导数与时，若已知21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(02022--=''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x答( B )6、 )()()()()()()()()(0, 2cos 1)(lim,0)0(,0)(0 答的驻点但不是极值点　是的驻点不是的极小值点　是的极大值点是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x xx f f x x f x ==-==→ 答( Ｂ )7、（）答是单调的　不为极植取极大值　取极小值处必在函数)()()()(3)3cos cos 2()(0D C B A x dt t t x f xπ=+=⎰ 答( B )8、 .)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 11c e x D c x e C c e B c e A I x e e I xx xx xx++-+-++++-=+-=⎰则设答(C ) 9、）答（不为常数　恒为零为负常数　为正常数则设)()()()()(,s i n )(2s i n D C B A x F t d t e x F x xt d t⎰+⎰=π答( C )10、设函数在点处可导则它在处关于自变量改变量的微分等于答　y f x x x x d y A f x x f x B f x f x x C f x x D f x =+--+''(),()()()()()()()()()()()∆∆∆∆ 答()C11、极限的值为．；．　．　．．答（）l i m t a n s i n x x xxAB bCD →-∞030112答( C )12、设　则点　是的极大值点是的极小值点　是的驻点但不是极值点不是的驻点答 l i m ()()(),()()()()()(),,()()()x a f x f ax a x a A f x B f x C f x D f x →--=-=21 答( A )13、[] 答（）无穷多内零点的个数必为，在则函数，上连续，且，在设函数)( 2)(1)( 0)()()(1)()(0)()(D C B A b a dt t f dt t f x F x f b a x f xbxa⎰⎰+=> 答( B )14、 [] ）答（要条件　既不是充分也不是必　充分必要条件充分条件　必要条件的为奇函数是积分上连续，则，在设)( )()( )(0)()()(D C B A dx x f x f a a x f aa=-⎰- 答( B )15、)()()()( )())((0)(,0)()(0000 答必不取得极值能不取得极大值可能取得极大值也可　必有极小值必有极大值处则在的某邻域有定义且在函数D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='= 答()C16、 cx D c x x x C cx x B c xA I x x I ++-++==⎰2)(l n 21)(ln )(ln )(;1)( d ln 则设答( C ) 17、答（）确定定积分4)(2)(1)(0)(cos 0D C B A dx x ⎰π=答( C )二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分）1、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x x ee xf xx 处连续则　在，，设填: 1 2、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在，当，当填 : 1- 3、已知是的一个原函数c o s (),xxfx =⋅⎰x xxx f d cos )(则___________. ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⎰⎰)cos d(cos d cos )(x x x x x x x x f 填c xx +2)cos (21　4、⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。

高数的期末考试试题及答案

高数的期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 4x + 5C. 6x^2 + 5D. 6x^2 + 4x + 5答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B3. 曲线y = x^2 + 3x - 2在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/4答案：B5. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A6. 级数∑(1/n^2) 从n=1到∞是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 振荡的答案：A7. 函数f(x) = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1 + x + x^2/2B. 1 + x + x^2C. 1 + x + x^2/2! + x^3/3!D. 1 + x + x^2/2 + x^3/6答案：A8. 曲线y = ln(x)在点x=1处的切线方程是：B. y = x - 1C. y = 1 - xD. y = x答案：A9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：C10. 函数f(x) = √x的原函数是：A. x^(3/2)B. x^(1/2)C. 2x^(3/2)/3D. 3x^(3/2)/2答案：C二、填空题（每题2分，共10分）11. 若f(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x + 6，则f''(x) = ____________。

答案：12x^2 + 18x - 212. 函数y = e^(-x)的导数是 __________。

高数期末考试题及答案大全

高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求其在 $x=1$ 处的切线方程。

答案：首先求导数 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。

在 $x=1$ 处，导数值为 $f'(1) = -1$，函数值为 $f(1) = 0$。

切线方程为 $y - 0 = -1(x - 1)$，即 $y = -x + 1$。

试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。

答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 $x = \tan(\theta)$，$dx = \sec^2(\theta) d\theta$。

则 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta$。

利用二倍角公式，$\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}$。

积分变为 $\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C$。

《高等数学基础》期末试题及答案

《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。

答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。

答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。

答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。

答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。

答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。

解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。

12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。

高数期末考试复习题及答案

高数期末考试复习题一．单项选择题：（2×5=10分）1．极限1115lim -→x x 是（） A ． 0； B ． ∞+； C ． 5； D ．不存在且不是无穷大． 2．设⎰==x x f f dt tt tf x F 0)(,2)0(,cos )()(可微，则（） A ． )0(F 是极小值； B ． )0(F 是极大值；C ． )0(F 不是极值；D ．不能判定)0(F 是否为极值． 3．设)(x f 是可导的偶函数，且x 0>时，0)(<'x f ，则下列关系式一定正确的是（） A ． 0)(<'x f ； B ．当1-<x 时，)1()(-<f x f ； C ．当1-<x 时，)1()(->f x f ； D ．当1-<x 时，)1()(-'>'f x f ． 4．下列广义积分收敛的是（） A ． dx xxe⎰∞+ln ； B ． ⎰∞+exx dxln ； C ．⎰∞+ex x dx2)(ln ； D ．⎰∞+exx dxln ． 5．已知级数()αn nn +-∑∞=1111，则（） A ．当1≥α时，级数绝对收敛； B ．当10≤<α时，级数绝对收敛； C ．当10≤≤α时，级数条件收敛； D ．当10≤<α时，级数条件收敛．二．填空题（2×5=10分）1．函数x x e x f 22)(-=在]2,0[上的最小值为；2．⎰+dx xx 2cos 1tan = ；3．已知 n n n xx b e x ∑∞==1，则系数 =n b ； 4．d （）=dx ex+11；5．设函数)(x f 满足⎰--=102)(211)(dx x f x xx f ，则=)(x f ．三．计算题：（8×10=80分） 1．求)1(1sin 1lim 0--+→xx e x x x ． 2．求曲线⎩⎨⎧++-=++=)1ln(32arctan 322t t y tt x 在3=x 处的切线方程． 3．设y y x =+)arctan(2，求y ''． 4．求 ⎰++dx x x )4ln(2． 5．求dx x⎰++42111．6．证明: 当0>x 时，xxx +>+1arctan )1ln(． 7．设)(x f 在],[b a （)0b a <<上有连续的一阶导数，则存在),(b a ∈ξ使ab f a f b f ln)()()(ξξ'=-． 8．求幂级数nn x n ∑∞=+1)12(的收敛域与和函数，并求∑∞=+12212n nn ． 9．已知抛物线x y =2与直线012=+-y x 及其x 轴所围图形，求图形面积，及它绕x 轴旋转一周的立体体积．10．欲做一容积为3300m 的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的 2倍，问水池的尺寸应怎样设计，才能使总造价最低．参考答案一、1． D ； 2． A ； 3． B ； 4． C ； 5． D二、1． e 1 ； 2． C x ++23)1(tan 32 ； 3． )!1(1-n ；4． C e x x ++-)1ln( ； 5．x x2112π--．三、1．解：21sin 21lim )1(1sin 1lim 200==--+→→x xx e x x x x x x ． 2．解：3=x 时，t t arctan 323++= ，得0=t ，从而，2=y ．11121230223-=++++-===t x t t t dx dy，所求的切线方程是)3)(1(2--=-x y ，即 x y -=5． 3．解：y y x tan 2=+，y y y x 2sec 2'='+ 于是得 1sec 22-='y xy =y x 2cot 2， y y y x y y '⋅⋅-⋅⋅+='')csc (cot 22cot 222 =y y x y 3222cot csc 8cot 2-．4．解： ⎰++dx x x )4ln(2分部积分=dx x x x x x ⎰+⋅-++41)4ln(22 =C x x x x ++-++4)4ln(22． 5．解：令x t 21+=2ln 2)]1ln([1211131314-=+-=+=++⎰⎰t t dt ttdx x． 6．证明：只要证明当0>x 时，x x x arctan )1ln()1(>++ 即可．设x x x x f arctan )1ln()1()(-++=，),0(+∞∈x2221)1ln(111)1ln()(x x x x x x f +++=+-++='，当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),0[+∞上单调增加，从而当0>x 时，0)0()(=>f x f ，即当0>x 时，x x x arctan )1ln()1(>++． 7．证明：（方法一）设)(lnln )]()([)(x f abx a f b f x g --= )(x g 在],[b a （0>a ）上连续，在),(b a 上可导b a f a b f b g a g ln )(ln )()()(-==)(x g 在],[b a （0>a ）上满足罗尔定理的条件，于是得存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξg ，即0)(lnln )]()([)(=--=ξξf abx a f b f g 所以 abf a f b f ln )()()(ξξ'=-．（方法二）设x x g ln )(=，则由题设知)(x f ，)(x g 在],[b a （0>a ）上满足柯西中值定理的条件，于是得存在),(b a ∈ξ使ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--即 abf a f b f ln )()()(ξξ'=-． 8．解：收敛半径 13212lim =++=∞→n n R n 当1±=x 时，n n x n ∑∞=+1)12(级数发散，收敛域为()1,1-；∑∑∑∞=-∞=∞=++=+=1111)1()12()(n n nn nn nx x x n x n x s()222111)1(3)1()1()(x x x x x x x x x x xn n n n --='-+'-='+'=∑∑∞=∞=+911)41(21212==+∑∞=s n n n ．9．解：⎩⎨⎧=+-=0122y x xy 交点坐标为 )1,1(面积 31])12([102=--=⎰dy y y A 体积 ⎰⎰⎰⎰-+=-=--1021110211122)21(xdx dx x dx y dx y V x ππππ 6π=6321010210ππππ=-=-=⎰⎰xdx dx y V V x （0V 是圆锥体体积）． 10．解：设底圆半径为x ，周围单位造价为k ，总造价为y ，则底面单位造价为2k ，水池的高为2300x h π=， k x x k x y ⋅⋅+⋅=2230022πππ=xk x k 60022+πk x x dx dy )6004(2-=π，令0=dx dy ，解得驻点为3150π=x ，当水池的底圆半径3150π=x m ，m h 323)150(300π=时，能使总造价最低。

《高等数学(一)》期末复习题(答案)

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数（B) 偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小（B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小（D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时，下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是（ B ）.（A ）零个（B ）一个（C ）二个（D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族（B ）()f x 的的一个原函数（C ）一个常数（D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ）（D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C ）两无穷大量的和仍为无穷大量（D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数（D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减（B)在（+∞,1e）内单调递减（C ）在（0，+∞）内单调递减（D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ）（B ）（C ）（D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减（B)在(,0)-∞内单调递减（C ）在(,0)-∞内单调递增（D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导（C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）．（A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点（C) 无穷间断点（D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点（B) 跳跃间断点（C) 无穷间断点（D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导（B) 不连续且不可导（C) 不连续但可导（D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导（B) 不连续且不可导（C) 不连续但可导（D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小（B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小（D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数（B ）是偶函数，非奇函数（C ）既非奇函数，又非偶函数（D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数（B) 奇函数（C)偶函数（D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导；（B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导；（C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续；（D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。

期末高数试题及答案

期末高数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数是：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 4C. 3x^2 + 4x - 3D. 3x^2 + 4x + 3答案：A3. 曲线y = x^2在x = 2处的切线斜率是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2)的和是：A. π^2/6B. eC. ln(2)D. 1答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3，则f'(1) = 。

答案：-17. 函数y = ln(x)的原函数是：。

答案：xln(x) - x + C8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6与x轴的交点个数是：。

答案：39. 若级数∑(-1)^n/n从n=1到无穷收敛，则其和S满足：S = 。

答案：ln(2)10. 函数y = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：y = 1 + x + 。

答案：x^2/2三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 + 2x - 5在实数范围内单调递增。

答案：首先求导f'(x) = 3x^2 + 2，由于3x^2 + 2 > 0对所有实数x成立，因此函数f(x)在实数范围内单调递增。

12. 计算定积分∫(1到2) (2x + 1) dx。

答案：首先求不定积分，得到F(x) = x^2 + x + C。

然后计算F(2) - F(1) = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4。

《高等数学》复习参考题

第一章函数的极限与连续
一、选择题
1. 下列选项中， f x 与 gx 是同一函数的是（）.
A. f (x) = x, g(x) = x 2
B. f (x) = 4 ln x, g(x) = ln x 4
C. f x x 2 4 , gx x 2
x2
D.
f
x
1 1
x x
,
gx
1
1
x2
x2
7.在积分曲线族
dx xx
中，过点
(1,1)
的积分曲线是
y
_____
三、计算题
1. 求不定积分
(1) 4x3dx (2) (3x2 cos x ex)dx ； (3) x (x2 5)dx ；
(4) 3cos(3x 1)dx ； (5) 2xex2 dx ；
(6)
x dx ； 1 x
1
*4.判断函数
f
x
e
x 1
ex
1, 1
x
0,
在
x
0
处间断点类型.
1, x 0
第二章导数与微分
一、填空题
1.
若 f '(1) 1 ，则 lim x1
f ( x) f (1) x2 1
；
2.
设
f
( x0 )
2,
则 lim h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
；
3. 设函数 f x sin x ，则 f
ln 2 x ln 2
（16） lim x0
e2x 1
.
2x 1, x 0
2.
已知函数
f
x
x
2

高数期末试题及答案解析

高数期末试题及答案解析一、选择题1. 在一个三角形ABC中，已知∠C=90°，AC=4，BC=12。

则∠A 的正弦值是：A) 1/3B) 1/4C) 3/4D) 3/5解析：根据正弦定理，我们有sinA = BC/AC = 12/4 = 3。

故选项C) 3/4正确。

2. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(0))的值为：A) 7B) 5C) 3D) 1解析：首先计算g(0) = 2(0) - 1 = -1。

然后将g(0)代入f(x)中得到f(g(0)) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0。

故选项D) 1正确。

二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 74x - y = 1解析：首先将第二个方程的y单独解出来，得到y = 4x - 1。

将其代入第一个方程，得到2x + 3(4x - 1) = 7，化简得到14x - 3 = 7，进一步化简得到14x = 10，解得x = 10/14 = 5/7。

将x的值代入y = 4x - 1中，得到y= 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。

所以方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。

三、计算题1. 求不定积分∫(2x + 3)dx。

解析：根据积分的线性性质，可以将不定积分拆成两个部分：∫2x dx + ∫3 dx。

对于第一部分，根据幂函数的求导公式和积分的逆运算，得到∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。

对于第二部分，由于它是一个常数函数，其积分结果为该常数与x的乘积，即∫3 dx = 3x + C'，其中C'为常数。

所以不定积分∫(2x + 3)d x的结果为(x^2 + C) + (3x + C') = x^2 + 3x + C +C'。

2. 求定积分∫(0 to π/2) sin(x)dx。

高数的期末试题及答案

高数的期末试题及答案一、选择题1. 下列各组数中哪组是等差数列？A) 1, 4, 7, 10 B) 1, 2, 3, 5 C) 1, 3, 5, 7 D) 1, 4, 8, 16答案：C2. 函数f(x) = 3x^2 + 2x -1，求f(-1)=？A) -2 B) 3 C) 6 D) -6答案：B3. 在xy平面上，直线L1的斜率为2，经过点P(3, -1)；直线L2过点Q(4, 2)并且与L1垂直，求直线L2的斜率。

A) -0.5 B) 1 C) -1 D) 2答案：A4. 若a + b = 10，a^2 + b^2 = 34，则a^3 + b^3的值为多少？A) 200 B) 250 C) 270 D) 300答案：C5. 设a是等差数列的首项，d是公差，若a1 + a2 + ... + a10 = 100，且a2 + a4 + ... + a8 = 120，则d的值为多少？A) 5 B) 10 C) 20 D) 50答案：A二、填空题1. 若f(x) = 3x + 2，则f(4)的值为______。

答案：142. 曲线y = x^2 - 3x + 2的顶点坐标为______。

答案：(3/2, -1/4)3. 设一个等差数列的首项为a，公差为d，已知a1 + a2 + ... + an = 100，an = 10，n = 10，则d的值为______。

答案：14. 函数f(x) = x^3 - 2x + 1的零点个数为______。

答案：35. 设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∪ B的元素个数为______。

答案：4三、计算题1. 计算极限lim(x→∞)[(x^3 + 2x^2 + 1) / (3x^3 + x^2 + 1)]。

答案：1/32. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的导函数f'(x)。

答案：2x - 23. 已知等差数列的首项为a，公差为d，若a1 + a2 + ... + an = 100，an = 10，n = 10，求a的值。

高等数学复习期末试题含答案

高等数学试题(一)（含答案）一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分) 1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 2. limsin 2x xx →∞等于( ) A. 0 B. 1 C.12D. 23.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( ) A. x －y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<04.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导5.设函数f(x)=e 1－2x，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 6.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值7.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 8.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 9.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nn n =∞∑-+111()B. n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()10.方程y ′—y=0的通解为( )A. y=ce xB. y=ce －xC. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x11.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( )A. 0B. 14C.12D. 212.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e －x f(e －x )dx 等于( ) A. F(e －x )+c B. －F(e －x )+c C. F(e x )+c D. －F(e x )+c13.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是( ) A. y=1xB. y=|x|C. y=1－x 2D. y=x －1 14.设f t dt x ()0⎰=a 2x －a 2,f(x)为连续函数，则f(x)等于( )A. 2a 2xB. a 2x lnaC. 2xa 2x －1D. 2a 2x lna 15.下列式子中正确的是( )A. e dx edx xx112⎰⎰≤B.e dx edx xx112⎰⎰≥C.e dx edx xx0112⎰⎰=D.以上都不对16.下列广义积分收敛的是( ) A. cos 1+∞⎰xdxB. sin 1+∞⎰xdxC.ln xdx1+∞⎰D.121xdx+∞⎰17.设f(x)=e x --21，g(x)=x 2，当x →0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D. f(x)与g(x)是等价无穷小18.交换二次积分dy f x y dx yy (,)⎰⎰01的积分次序，它等于()A. dxf x y dyxx(,)⎰⎰1B. dxf x y dy xx (,)201⎰⎰C.dxf x y dy xx (,)⎰⎰1D.dxf x y dy xx(,)21⎰⎰19.若级数n n u =∞∑1收敛，记S n =i i u =∞∑1，则( )A. lim n n S →∞=0B.lim n n S S→∞=存在C.lim n nS →∞可能不存在D. ｛S n ｝为单调数列20.对于微分方程y ″+3y ′+2y=e －x ，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是( )A. y *=ae －xB. y *=(ax+b)e －xC. y *=axe －xD. y *=ax 2e －x 二、填空题(每小题2分，共20分)1. lim x x x →∞+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=121______。

高数期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ . 答案：)1ln(x -解：x e u f u -==1)(2,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax xx x ,则=a . 答案：1解：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022.3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim.答案：4解：4)]1()1([)]1()31([lim0=-+--+→x f x f f x f x4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,)(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.5、=⎰xx 22cos sin .答案：C x x +-cot tan解：C x x xdxx dx dx x x x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.二、选择题(每小题3分,共15分)答案： 1、 2、 3、 4、 5、。

1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.答案：A2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x xx f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点；(C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='.答案：D5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是：(A))()(x f dx x f dxd⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.答案：B三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f xx-=--422)2(,求)2(+x f . 答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f tt t tt t , (3分)于是42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f xxx xx . (6分)2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11coslim )1cos(lim (3分)11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n . (6分) 3、求极限)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， (3分)而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→nn n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→nn n n n n n n . (6分) 4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.答案：1解：xx x x x x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→xxx x x x . (6分)5、求函数xx y 1sin=的导数.答案：)11cos 1(21sin xx x xy x -=']1sin 1ln )1(1[cos 2ln 1sin x x x x x ex x+-=)1sin 1ln 1cos 1(21sin xx x x x x x +-=. (6分)6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x解：方程两边对x 求导得：02ln =-'+'+y yy xy , 将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)1(1-='-=y k , (3分) 从而法线方程为：)1(11-⋅-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分)7、求曲线12134+-=x x y 的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的．拐点为)1,0(,)34,1(．解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2-=-=''x x x x x f , (3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,34)1(=f ． (3分)(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3,1(．(6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6分) 8、计算⎰+xx dx)1(3．答案：C x x +-66arctan 66 俞诗秋解：⎰⎰⎰+===+=+==)1(6 ])(1[)()1(2352636366t t dtt x x dx x x dx x t t x (3分) ⎰⎰⎰+=-=+-+=2221 6 611)1( 6t dtdt dt t t ． C x x C t t +-=+-=66arctan 66arctan 66． (6分)9、计算⎰xdx e x 2sin ．答案：C x x e x +-)2cos 2sin 21(104 解：⎰⎰⎰+-=-=xdx e x e x d e xdx e x x x x 2cos 212cos 212cos 212sin (3分)⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x 2sin 412sin 412cos 212sin 412cos 21,∴C x x e xdx e x x +-=⎰)2cos 2sin 21(1042cos ． (6分)10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋解：总收益函数为25100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(1010=-=-===P P P PdP dQ Q P η, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 证明：显然]1,0[1)(C xe x f x ∈-=,由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x e x x f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=.证明: 令3)()(x x f x F =,623)(3)()(xx f x x f x x F -'=', 显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)2(8)2()1()1(F f f F ===, 由罗尔定理知：)2,1(∈∃ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.。

高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案【高数期末考试题及答案】一、选择题1. 高数的完整名称是什么？A. 高等数学B. 高级数学C. 高纯度数学D. 高度数学答案：A2. 常用的微积分法则中，“乘法法则”是指什么？A. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相加B. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相减C. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相乘D. 两个函数相乘的导数等于它们的导数相除答案：C3. 下面哪个是高数中常用的极限符号？A. $lim$B. $lag$C. $limt$D. $sum$答案：A4. 函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$的定义域是什么？A. $[-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$B. $(-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$C. $(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$D. $[-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$答案：D二、计算题1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+1$的导函数。

解答：将函数$f(x)$按导数的定义求导，得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$代入函数$f(x)$的表达式，化简得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x+\Delta x)^2-2(x+\Delta x)+1-(3x^2-2x+1)}{\Delta x}$展开并化简得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3x^2+6x \Delta x+3(\Delta x)^2-2x-2 \Delta x+1-3x^2+2x-1}{\Delta x}$合并同类项并约去，得到：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}6x+3 \Delta x-2$由于$\Delta x$趋近于0时，$3 \Delta x$和2趋近于0，所以最后的结果为：$f'(x)=6x-2$答案：$f'(x)=6x-2$2. 求函数$F(x)=\int_0^x\frac{1}{1+t^3}dt$的原函数。

高数期末考试题型及答案

高数期末考试题型及答案题型一：选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 5在x = 1处的导数是：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 1在x = 2处的切线斜率是：A. 5B. 3C. 1D. -1答案：A3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/12答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. cos(x) - sin(x) + CC. sin(x) + cos(x) + CD. -sin(x) - cos(x) + C答案：C5. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. π^2/6B. eC. 1D. 2答案：A题型二：填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是________。

答案：2，37. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式为________。

答案：1 + x + x^2/2! + x^3/6! + ...8. 函数y = ln(x)的不定积分是________。

答案：xln(x) - x + C9. 曲线y^2 = 4x的渐近线方程是________。

答案：y = ±2x10. 若∫f(x)dx = 3x^2 + C，则f(x) =________。

答案：6x题型三：简答题（每题5分，共10分）11. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。

答案：证明略。

12. 解释什么是拉格朗日中值定理，并给出一个应用场景。

答案：拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案第一部分：选择题1. 下面哪个函数在整个实数域上都是偶函数？A. sin(x)B. x^3C. ln(x)D. cos(x)答案：D. cos(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求其极大值点的横坐标。

A. x = -1/3B. x = 1/3C. x = 2/3D. x = 1答案：B. x = 1/33. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(e)的值。

A. eB. 1C. 0D. -1答案：B. 14. 函数f(x) = e^x + 2x，求f''(0)的值。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A. 25. 已知函数f(x) = (x - 1)e^x，在区间[0, 1]上的最大值点为x = a，最小值点为x = b，求a + b的值。

A. 1B. 0C. -1D. e答案：B. 0第二部分：计算题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx。

解：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C2. 求定积分∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx。

解：∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx = [x^3 - x^2 + x] |[0, 1] = 13. 求函数y = x^3在点x = 2处的切线方程。

解：首先求导，得到y' = 3x^2。

在x = 2处，斜率k = 3(2)^2 = 12。

切线方程为y - y1 = k(x - x1)，代入x = 2，y = 2^3 = 8，得到y - 8 = 12(x - 2)。

4. 求解方程sin(x) + cos(x) = 0的所有解。

解：sin(x) + cos(x) = 0sin(x) = -cos(x)tan(x) = -1x = π/4 + nπ，其中n为整数。

5. 计算θ = arctan(1) + arctan(2)的值。

解：利用反正切的加法公式，有θ = arctan((1 + 2)/(1 - 1*2)) = arctan(3/(-1)) = arctan(-3)。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学检测试题一 .选择题（每题 4 分，共 20 分）1x dx （1.）1A.2B.1C.0D.-1（ B）2，极限2x2 y limy ( x, y ) (0,0) x42A， 0B， 1C,0.5 D ，不存在（D）3.积分1dx()1xA.x ln 1x cB. 2(x ln 1x )cC.x ln 1x cD.-2(x ln 1x )c（ D）4.设f(x)的导数在 x=a 处连续，又lim f( x)2，则（）x a x aA. x=a 是f(x)的极小值点B. x=a 是f(x)的极大值点C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点D. x=a 不是f(x)的极值点(A)5.已知F(x)的一阶导数F' (x)在Ｒ上连续，且F(0)0 ，则 d0xF'(t)dt（）xA.xF' (x)dxB.xF' (x)dxC.[F(x) xF' (x)dx]D.[F(x)xF' (x)]dx（ D ）二．填空：（每题 4 分，共 20 分）xdxdy11. 若 D 是平面区域x, y | 0 x 1,1 y e ，则二重积分 Dy2（）lim(x2ax b)1， b-1；2、 xx 1，则 azzf x, y , 则z z3．设由方程 e xyz 0x （x z 1确定的隐函数）4，设 D( x, y) | x2y2a 2（ a ＞0，常数），若a2x2y 2dxdy2 ，则D3a= (-1)5 数列极限lim(cos 2cos 22cos 2n1 )nnnn n.2三．解答题（每题 5 分，共 20 分）x1. 设f ( x)在[a，b]上连续，且F ( x)(x t ) f (t )dt x [ a,b]a，试求出F ( x)解：x xF ( x) x f (t )dt tf (t)dta ax xF ( x) f (t) dt xf ( x) xf (x) f (t)dta aF (x) f (x)x9dx2. 求不定积分1x5x 2t 2 sin tdt 1lim0x4（5 分）3．求极限x 0x 2t 2 sin tdt14242lim0lim 1 xsin x2x lim 1 x sin x1解：x 0x 4x 04x3x 02x 2 2 -------（5 分）4．求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积解设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件2(xy yz xz) a2下求函数 V xyz的最大值构成辅助函数F(x y z) xyz(2xy2yz2xz a2)解方程组F x( x, y, z)yz2( y z)0F y(x, y, z)xz2( x z)0F z(x, y, z)xy2( y x)02xy 2yz2xz a2x y z 6 a得6这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在V 6 a3所以最大值就在这个可能的值点处取得此时36四．计算题．（共 20 分）1．求由曲线 y e x , y e x与直线x1所围成的平面图形面积及这个平面图形绕 x轴旋转所成旋转体体积．（10分）解：曲线y ex与y e x的交点为（0，1），曲线y e x与y e x和直线x 1的交点分别为（ 1，e）和（ 1，e1） ,所围平面图形如图阴影部分，取 x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为S1(e x e x )dx -----(e x e x ) |10 ( e e 12） --------- ----所求旋转体体积为V11 2 x ) dx)e2 x dx e---00( 1 e 2x 1 e2 x) |1(e 2e222 22） -dx2.计算（10 分）1x x101解：dx1t 4dt 151xx 1011 t10[ 1arcsin(t 5)] 101051d(t 5)1t 10五．证明题：（共 20 分）1．试证：2f (sin x)dx2 ．分）f (cos x) dx （ 8证明：令 x=u 则 2f (sin x)dx 02f (cosx)dxf (cosu) du 2f (cosu)du222 ．设函数f ( x )0,f ( x ) d x在上连续，且0，f ( x ) cos x dx 0.证明：在0,内方程 f(x)=0 至少存在两个根。

高等数学期末复习题与答案

高等数学2期末复习题一、填空题：1. 函数)3ln(12222y x y x z --+-+=的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 .2.设,)1(y x z +=则=∂∂yz(1)ln(1)y x x ++ . 3.函数22ln(1)z x y =++在点(1,2)的全微分(1,2)dz= 1233dx dy +4．设,),(22y x xy y x f +=+则=),(y x f .设22(,),yf x y x y x+=-则=),(y x f .5.设v e z u sin = 而 xy u = y x v += 则=∂∂yz[sin()cos()]xy e x x y x y +++ 6．函数 22y x z += 在点1,2处沿从点1,2到点2,32+的方向导数是1+7.改换积分次序⎰⎰=2022),(y ydx y x f dy ；11(,)y dy f x y dx -=⎰ .8．若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧,则⎰Lxydx =9.微分方程22(1)0x x e dy ye dx ++=的通解为 . 二、选择题： 1．y xy y x )tan(lim)0,2(),(→ 等于上下求导A ．2, B.21D.不存在 2．函数 y x z -= 的定义域是 DA ．{}0,0),(≥≥y x y x B.{}y x y x ≥2),(C.{}y x y y x ≥≥2,0),( D ．{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(3.=∂∂),(00|),(y x xy x f B A.x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B.xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C.x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000D. xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 0005.设)(22y x F z +=,且F 具有导数,则=∂∂+∂∂yzx z D A.y x 22+； B.)()22(22y x F y x ++； C. )()22(22y x F y x +'-； D. )()22(22y x F y x +'+. 6．曲线 t a x cos =,t a y sin =,amt z =,在 4π=t 处的切向量是 DA ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m - 7．对于函数xy x y x f +=2),( ,原点)0,0( AA ．是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点8．设I=dxdy y x D⎰⎰-+5221, 其中D 是圆环4122≤+≤y x 所确定的闭区域,则必有A ．I 大于零小于零等于零不等于零,但符号不能确定; 9. 已知L 是平面上不包含原点的任意闭曲线,若曲线积分 220L xdx aydyx y-=+⎰ ,则a 等于 .A -1B 1C 2D -210．若L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段,则曲线积分()Lx y ds +⎰=A ．0 C.211.设D 为,222y y x ≤+则=+⎰⎰dxdy y x f D)(22A.dx y x f dy y y )(222022+⎰⎰-； B. rdr r f d )(21020⎰⎰θπ；C. rdr r f d )(2sin 20⎰⎰θπθ； D. dy y x f dx )(222011+⎰⎰-.12. 微分方程()1x e y y '+=的通解为A.x ye c =；B.x ye x c -=+；C.()x y x c e -=+；D.x y cxe -= 13. 是微分方程x y y e -'''+=在初始条件01,1x x yy =='==-下的特解.A.12x y c c xe -=-；B.x y xe -=-；C.12x y xe -=-；D.1x y xe -=-. 三、计算题：1.设33(sin ,)x z f e y x y =+,求zx∂∂及z y ∂∂,其中f 具有一阶连续偏导数. 2．设sin sin x y u v x v y u+=+⎧⎨=⎩, 求 x u ∂∂, x v∂∂3．求旋转抛物面 122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程; 4．求函数322(,)339f x y x y x y x =-++-3的极值5．计算2Dxy dxdy ⎰⎰,其中D 是由圆周 422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域.6．计算2y De dxdy -⎰⎰,其中D 是以O0,0,A1,1,B0,1为顶点的三角形闭区域.7.计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ,其中Ω是三个坐标面与平面 1=++z y x 所围成的区域.8.计算 ⎰-+++-Ldy y x dx y x )1353()42(,其中L 为圆2522=+y x 的正向边界;9.计算曲线积分 33()(),Ly x dy x y dx +++⎰ 其中L 是从O0, 0沿上半圆x y x 222=+到A2, 0.10.验证：在整个xoy 面内,xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分,并求出这样的一个函数.11.求微分方程22(1)24x y xy x '++= 的通解.12.求解微分方程的特解： 22(3)20,(0)1y x dy xydx y -+== 13.解微分方程 23()()0yy y y ''''-+=.四、应用题：1.用钢板制造一个容积为V 的无盖长方形水池,应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.3.求抛物线242y x y x ==与曲线所围成的闭区域的面积.4.求抛物面226z x y =--与锥面z =所围成的立体的体积.高等数学2期末复习题答案一、填空题：1、22{(,)13}x y x y ≤+<2、(1)ln(1)y x x ++3、1233dx dy +4、22(1)2;1x y x y y--+ 5、[sin()cos()]xy e x x y x y +++6、1+ 注：方向导数0,00000()(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂7、402(,)x dx f x y dy ⎰⎰；01110(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy +-+⎰⎰⎰8、45注：01104(5L xydx x dx =+=⎰⎰⎰ 9、22(1)x y e C +=二、选择题：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; ; 11. C; ; 三、计算题：1.解：令33sin ,x u e y v x y ==+,则2. 解：两方程分别两边对x 求偏导数,注意,u v 是关于,x y 的二元函数,得1sin cos cos u v x x v u v x v y u x x ∂∂⎧=+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩ 即 1cos cos sin u v x xu v y u x v vx x ∂∂⎧+=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩这是以,u vx x∂∂∂∂为未知量的二元线性方程组; 当 11(cos cos )0cos cos J x v y u y u x v==-+≠-时,有111cos sin sin cos cos cos u x v vv x v x J x v y u ∂+==-∂+,111sin cos cos sin cos cos v v y uy u v x J x v y u∂-==-∂+ 3. 解：旋转抛物面 122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切向量于是,所求切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=,即 4260x y z +--= 法线方程为214421x y z ---==-4. 解：解方程组223690360f x x xf y y y ∂⎧=+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩,得四个驻点1234(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)P P P P --.又66,0,66xxxy yy f x f f y ''''''=+==-+. 对21(1,0),0,P AC B ->且0A >,则1(1,0)P 是函数的极小值点；对22(1,2),0P AC B -<,则2(1,2)P 不是极值点；对23(3,0),0P AC B --<,则3(3,0)P -不是极值点；对24(3,2),0P AC B -->,且0A <,则4(3,2)P -是函数的极大值点. 于是,函数有极小值(1,0)1395f =+-=-,极大值 (3,2)27827122731f -=--+++=.5. 解：利用极坐标变换,令cos ,sin x r y r θθ==,则dxdy rdrd θ=,且D 可表示为：02,22r ππθ≤≤-≤≤.于是2253021164sin 5315r ππθ-=⋅=. 6. 解：三角形区域D 由直线,1y x y ==及y 轴围成,选择先对x 积分,22221111011(1)22yy y yy De dxdy dy e dx ye dy e e -----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰.注：此题也可以参看课本167页例2的解法7.解题过程见课本124页例1.8. 解：(,)24,(,)3513P x y x y Q x y x y =-+=+-在L 围成的圆域D:2225x y +≤上全在连续的偏导数,1,3P Q y x∂∂=-=∂∂,从而 4Q Px y ∂∂-=∂∂.于是由格林公式,得(24)(3513)44425100LDDx y dx x y dy dxdy dxdy ππ-+++-===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.9. 解：33(,),(,)P x y x y Q x y y x =+=+,有1P Qy x∂∂==∂∂ 在整个xoy 平面上恒成立,所以曲线积分与路径无关,故可取x 轴上线段OA 作为积分路径.OA 的方程为0y =,且x 从0变到2,0dy =,从而3333()()()()LOAy x dy x y dx y x dy x y dx +++=+++⎰⎰22340144x dx x ===⎰.10. 解：(,)4sin sin 3cos ,(,)3cos3cos 2P x y x y x Q x y y x ==-,有4sin cos 3cos36sin 2cos3P x x y x y y ∂=⋅=∂,3cos32(sin 2)6sin 2cos3Q y x x y x∂=-⋅-=∂, 即有P Qy x∂∂=∂∂在整个xoy 平面上恒成立,因此在整个xoy 面内,xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分.取ARB 为积分路径,其中各点坐标分别为(0,0),(,0),(,)A R x B x y ,得13cos 2sin 3sin 3cos 23yx y y x =-⋅=-.11. 解法一：方程可改写为 2222411x x y y x x '+=++,这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解.由2201xy y x '+=+,分离变量,得221dy x dx y x =-+,两边积分,解得 121C y x =+. 用常数变易法,将1C 换成()C x .即2()1C x y x =+,22212()()1(1)x y C x C x x x ''=-++. 代入原方程,化简得 2()4C x x '=.故 34()3C x x C =+. 于是方程的通解为 3214()13y x C x =++. 解法二：方程可改写为 2222411x x y y x x '+=++. 这是一阶非齐次线性微分方程,其中22224(),()11x x P x Q x x x ==++.利用通解公式2232221414[(1)]()1113x x dx C x C x x x =⋅++=++++⎰.12. 课本212页第8题第1小题;解：原方程可写成 221320x x dxy y dy-+=.令x u y =,即 x yu =,有dx du u y dy dy =+,则原方程成为 2132()0du u u u ydy -++=,分离变量,得 221u dydu u y=-.两边积分,得21u Cy -=.代入xu y=并整理,得通解 223x y Cy -=. 由初始条件0,1,x y ==得 1C =-.于是所求特解为 322y y x =-. 13.解题过程见课本212页例5. 四、应用题：1.解法一：设水池的长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz=V,从而高Vz xy=,水池表面的面积S 的定义域{(,)0,0}D x y x y =<<+∞<<+∞.这个问题就是求二元函数S 在区域D 内的最小值.解方程组2222122()0,122()0.SV y V y x x x S V x V x yy y ∂⎧=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=-=∂⎪⎩ 在区域D 内解得唯一得驻点.根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长,,水池所用材料最省. 解法二：设水池的长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz=V,水池表面的面积S 的定义域}0,0,0),,{(>>>=z y x z y x D .此题就是求函数)(2yz xz xy S ++=在约束条件xyz=V 下的最小值.构造拉格朗日函数 2()()L xy xz yz xyz V λ=+++-.解方程组20,20(1)20,20(2) 220,220(3)0.(4) Ly z yz xy xz xyzxLx z xz xy yz xyzyLx y xy xz yz xyz zLxyz Vλλλλλλλ∂⎧=++=++=⎪∂⎪∂⎪=++=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=++=++=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎩即即即比较1,2,3式,得 x=y=2z,代入4式中,有32x V=,即x=于是,x,y,z只有唯一一组解2⎭.由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此,函数S在其唯一驻点⎭处必取得最小值.故当长方形水池的长,宽,.2.解题过程见课本98页例4.3.利用二重积分求闭区域的面积解：所求区域的面积为DA dxdy=⎰⎰,其中D为抛物线242y x y x==与曲线所围成的闭区域.两曲线交于两点0,0,1,2.选择先对x积分,于是,222220041141(2)4433yyDA dxdy dy dx y y dy===-=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰.4.利用三重积分计算立体的体积.解法一：所求立体的体积为V dxdydzΩ=⎰⎰⎰,其中Ω是抛物面226z x y=--与锥面z=所围成的立体.利用直角坐标计算.由226z x y=--与z=消去z,2=,即Ω在xoy面上的投影区域D为圆域224x y+≤.于是2222{(,,6(),4}x y z z x y x yΩ=≤≤-++≤.因此226()x yDV dxdydz dxdy dz-+Ω==⎰⎰⎰⎰⎰=22[6()Dx y dxdy-+⎰⎰用极坐标22222430001132(6)2(3)433d r r rdr r r r πθππ=--⋅=--=⎰⎰.解法二：所求立体的体积为 V dxdydz Ω=⎰⎰⎰,其中Ω是抛物面226z x y =--与锥面z =所围成的立体.利用柱面坐标计算. 由226z x y =--与z =消去z ,解得2=,即Ω在xoy 面上的投影区域D 为圆域224x y +≤.于是,在柱面坐标变换下2{(,,)6,02,02}r z r z r r θθπΩ=≤≤-≤≤≤≤.因此 22260r rV dxdydz d dr rdz πθ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222430011322(6)2(3)433r r r dr r r r πππ=⋅--=--=⎰.。