导数在高考数学中的地位
高考导数的题型及解题技巧
高考导数的题型及解题技巧高考中，导数是数学必修内容之一，也是考生需要重点掌握的知识点之一。
导数作为微积分的基础，不仅能帮助我们求出函数的极值、最大值、最小值等，还能证明函数的性质，解决数学问题。
在高考中，涉及导数的题目类型有很多，以下是常见的几种题型及解题技巧。
一、求导数求导数是导数的基础操作，也是高考中出现频率最高的题型之一。
求导数的方法有很多，如极限法、公式法、差商法、反函数法等。
在解题时，需要掌握各种方法，依据题目的具体情况选择合适的方法求解。
二、函数的单调性和极值要判断函数的单调性和极值，需要先求出函数的导数，然后通过导数的符号来判断函数的单调性和极值。
如果导数为正，则函数单调递增；如果导数为负，则函数单调递减；如果导数为0，则函数取极值。
在解题时，需要注意导数为0时，还需要判断函数是否具有拐点。
三、曲线的凹凸性和拐点要判断曲线的凹凸性和拐点，同样需要求出函数的导数和二阶导数，然后通过二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性和拐点。
如果二阶导数为正，则曲线凹向上；如果二阶导数为负，则曲线凹向下；如果二阶导数为0，则曲线具有拐点。
在解题时，需要注意拐点处是否是函数的极值点。
四、函数的应用题导数在实际生活中有很多应用，如速度、加速度、最优化等。
在解决这类题目时，需要将问题转化为函数的导数问题，然后根据导数的性质求解。
在解题时，需要理解速度、加速度等概念，并注意题目中给定的条件。
总之，导数是高考数学的重点和难点，需要考生认真掌握，熟练运用。
在复习时，建议多做例题，掌握各种求导方法和计算技巧，熟悉各种题型的解题思路，才能在考试中发挥出自己的水平。
高考数学中的导数问题解析
高考数学中的导数问题解析在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点。
导数的概念、求法和应用一直是高考数学中的重点和难点。
在高中数学的学习过程中，学生们需要对导数的定义、求导法则和高阶导数等知识进行深入的学习和理解。
本文将探讨高考数学中的导数问题，包括导数的概念、求导法则和应用等方面。
一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念。
它是描述函数变化率的数学工具，用于描述一个函数在某一点上的瞬时变化率。
在数学上，导数的定义是：如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / [x - a]这个式子的意思是：当x无限趋近于a的时候，f(x)和f(a)之差的商的极限存在，并且这个极限就是函数f(x)在点x=a处的导数。
导数的定义可以用图像来解释。
在图像上，一个函数f(x)在点( a , f(a) )处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
因此，导数越大，函数在该点上的变化率越大。
二、导数的求法则求导是计算导数的过程。
求导需要运用一些基本的求导法则。
在高考数学中，最常用的求导法则有以下几种：1. 常数的导数等于0；2. 变量的一次幂的导数等于这个一次幂的系数；3. 变量的n次幂的导数等于这个n次幂的系数乘以x的n-1次幂；4. 变量的n次方根的导数等于这个n次方根的倒数乘以x的n-1次幂；5. 每条多项式的导数是它各项导数的和；6. 乘法规则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以该函数；7. 除法规则：两个函数的商的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再减去另一个函数的导数乘以该函数，全部除以第二个函数的平方。
以上的规则可以帮助我们在计算导数的时候快速准确地求得导数。
三、导数的应用在高考数学中，导数的应用十分广泛，常常被用于研究函数在某个区间内的特性，例如最值、单调性、凸性、极值等。
简述导数在高中数学新课程中的地位与作用-教育文档资料
简述导数在高中数学新课程中的地位与作用导数（“导函数”的简称）是一类特殊的函数，利用导数可以求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题等。
导数在函数中的应用很广，所以，导数是分析和解决问题的有效工具。
本文通过探讨导数在新课程中的地位以及在数学解题中的应用，以拓展学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。
高中数学是由必修课程和选修课程两部分构成。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣选修。
选修课程由系列1、2、3、4等组成，在系列1和2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
一、有利于学生理解函数的性质在高中阶段学习函数时，主要学习函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来。
因而，如果能准确作出函数的图像，函数的性质就一目了然。
如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。
但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，如函数y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，仅用描点法就很难准确地作出图像。
但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点和最值点；利用极限思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。
这样就有利于学生理解函数的性质，同时也拓宽了学生的知识面。
1.利用导数求函数的解析式用解析式表示函数的关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加清晰。
例1.设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。
解析：因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以，P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而得：d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′x=0=c，从而得出：c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以，12a+4b+12=08a+4b+20=0解得：a=2，b=-9。
高三一轮复习建议——单元五：函数与导数
1、13年11题【考题分析】：本题考查分段函数及导数的几 何意义。体现了数形结合思想和化归与转化思想，函数与 方程思想。
解析： 可画出 y1=|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 若 x ≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由
' x
，可以看到，主要研究的是 ex 与一次函
数，应该说不难；
14 年第二问证明不等式，转化为 两个常见函数（xlnx 与 x/ ex ）的最值问题(最小值大于最大值)。
就是研究我们所说的
3.16 年与 17 年的第一问就开始提升难度（是否是刻意为之）；16 年的第一问是求通 过零点个数讨论参数范围，求导后核心函数是：
（一）本单元近五年来全国高考试题卷（Ⅰ）统计分析 （理科）
年份 （理） 题号 2013 11 16 21 3 2014 11 21 分值 5 5 12 5 5 12 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 知识考点 分段函数 函数的对称性 导数的 几何意义，导 数与函数的最 值， 导数与函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程 导数的几何 意义， 导数与函数 的单调性， 两小一大 利用导数求函数的最值 22 分 12 2015 13 21 7 2016 8 21 5 2017 11 21 5 12 5 5 12 5 5 12 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 5 选择题 函数的 图象与性 质、导数公式 和导数运 算法则 函数的奇偶性 导数的 几何意义，分 段函数的处理 ，函 数的零点 函数的图象 幂函数、指数函数 、对数函数 函数的零点，不等式的 证明 函数的单调性、奇偶性 对数与对数函数 函数的零点，导数与函 数的单调性 22 分 22 分 两小一大 22 分 两小一大 两小一大 22 分 两小一大 说明
高考数学导数专题专讲 专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用(含答案)
专题13导数中对数单身狗指数找基友的应用导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．考点一对数单身狗【方法总结】在证明或处理含对数函数的不等式时，如f (x )为可导函数，则有(f (x )ln x )′＝f ′(x )ln x ＋f (x )x ，若f (x )为非常数函数，求导式子中含有ln x ，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”．1．设f (x )>0，f (x )ln x ＋g (x )>0⇔ln x ＋g (x )f (x )>0，则(ln x ＋g (x )f (x ))′＝1x ＋(g (x )f (x ))′，不含超越函数，求解过程简单．或者f (x )ln x ＋g (x )>0⇔f (x )(ln x ＋g (x )f (x ))>0，即将前面部分提出，就留下ln x 这个单身狗，然后研究剩余部分．2．设f (x )≠0，f (x )ln x ＋g (x )＝0⇔ln x ＋g (x )f (x )＝0，则(ln x ＋g (x )f (x ))′＝1x ＋(g (x )f (x ))′，不含超越函数，求解过程简单．或者f (x )ln x ＋g (x )＝0⇔f (x )(ln x ＋g (x )f (x ))＝0，即将前面部分提出，就留下ln x 这个单身狗，然后研究剩余部分．【例题选讲】[例1](2016·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2．故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0．(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0．设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0．①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1．由x 2＞1和x 1x 2＝1得0<x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜g (1)＝0．综上，a 的取值范围是(－∞，2]．[例2]已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln xx －1．解析(1)f ′(x )－b x 2(x ＞0)．由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，＝1，＝－12，1，b ＝－12.＝1，＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x (x ＞0)，所以f (x )－ln x x －1＝x 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2．所以当x ≠1时，h ′(x )＜0．而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0．从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1＞0，即f (x )＞ln x x －1．【对点精练】1．若不等式x ln x ≥a (x －1))对所x ≥1有都成立，求实数a 的取值范围．1．解析原问题等价于ln x －a (x －1)x≥0对所有x ≥1都成立，令h (x )＝ln x －a (x －1)x (x ≥1)，则f ′(x )＝x －ax 2．(1)当a ≤1时，f ′(x )＝x －ax 2≥0恒成立，即f (x )在[1，＋∞)上单调递增，因而f (x )≥f (1)＝0恒成立；(2)当a >1时，令f ′(x )＝0，则x ＝a ，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝ln a －a ＋1，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0．(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2．2．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0．因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1．若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x ．当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0．综上，a ＝1．(2)由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ．设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x ．当x h ′(x )<0；当x h ′(x )>0．所以h (x )h (e －2)>0，，h (1)＝0，所以h (x )x 0，在12，＋1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0．因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈(0，1)得f (x 0)<14．因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2，所以e －2<f (x 0)<2－2．3．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0；(2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．3．解析(1)当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x．设函数g (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ，则g ′(x )＝x(1＋x )2．当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0．所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．另解当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x (x >－1)，由于2＋x >0．故令g (x )＝ln(1＋x )－2x2＋x ，g ′(x )＝11＋x －4(2＋x )2＝x 2(x ＋1)(x ＋2)，故x ∈(－1，＋∞)，g ′(0)>0．所以g (x )在(－1，＋∞)上单调递增．因为g (0)＝0，所以，当－1<x <0时，gx )<0；当x >0时，g (x )>0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．②若a <0，设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x 2＋x ＋ax 2．由于当|x |<min2＋x ＋ax 2>0，故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点，当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2．若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<minh ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |<minh ′(x )<0，所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2，则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0．所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16．考点二指数找基友【方法总结】在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友”．1．由e x ＋f (x )>0⇔1＋f (x )e x >0，则(1＋f (x )e x )′＝f ′(x )－f (x )e x是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．2．由e x ＋f (x )＝0⇔1＋f (x )e x ＝0，则(1＋f (x )e x )′＝f ′(x )－f (x )e x 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．【例题选讲】[例3](2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2．(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a ．解析(1)当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0．设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x ．当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1．另解当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x ．令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2．令g ′(x )＝0，解得x ＝ln2．当x ∈(0，ln2)时，g ′(x )<0；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )>0．∴当x ≥0时，g (x )≥g (ln2)＝2－2ln2>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (0)＝1．(2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x ．f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x ．当x ∈(0，2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0．所以h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)＞0，即a ＜e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)＜0，即a ＞e 24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0，2)上有一个零点．由(1)知，当x ＞0时，e x ＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4＝1－1a ＞0，故h (x )在(2，4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24．另解(参变分离)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e x －ax 2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a ＝e x x 2，令φ(x )＝e xx 2，x ∈(0，＋∞)，φ′(x )＝e x (x －2)x 3，令φ′(x )＝0，解得x ＝2．当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0．∴φ(x )min ＝φ(2)＝e 24．∴a ＝e 24．[例4](2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x ．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋2x －1，由于f ″(x )＝e x ＋2＞0，故f ′(x )单调递增，注意到f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)f (x )≥12x 3＋1等价于(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x ≤1．设函数g (x )＝(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x (x ≥0)，则g ′(x )＝－(12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1)e －x＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x ＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x ．（i ）若2a +1≤0，即a ≤－12，则当x ∈（0，2）时，g ′(x )>0．所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意．（ii ）若0<2a +1<2，即－12<a <12，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0．所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增．由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥7－e 24．所以当7－e 24≤a <12时，g (x )≤1．（iii ）若2a +1≥2，即a ≥12，则g (x )≤(12x 3＋x ＋1)e －x ．由于0∈[7－e 24，12)，故由（ii ）可得(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x ≤1．故当时a ≥12，g (x )≤1．综上，a 的取值范围是7－e 24，＋另解(参变分离)由f (x )≥12x 3＋1，得e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0，①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x ＞0时，分离参数a 得a ≥－e x －12x 3－x －1x2，记g (x )＝－e x－12x 3－x －1x2，g ′(x )令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －x －1，h ″(x )＝e x －1≥0，故h ′(x )单调递增，h ′(x )≥h ′(0)＝0，故函数h (x )单调递增，h (x )≥h (0)＝0，由h (x )≥0可得e x －12x 2－x －1≥0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e24，综上可得，实数a 的取值范围是7－e 24，＋【对点精练】1．已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2，当x ≥0时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．1．解析解法一由f ′(x )＝e x －1－2ax ，又e x ≥x ＋1，所以f ′(x )＝e x －1－2ax ≥x －2ax ＝(1－2a )x ，所以当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0，满足题意；又x ≠0时，e x ＞x ＋1，所以可得e －x ＞1－x ，从而当a ＞12时，f ′(x )＝e x －1－2ax ≤e x －e x ·e －x ＋2a (e －x －1)＝(1－e －x )·(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0，不合题意．综上所述，实数a ∞，12．解法二因为e x ≥x ＋1，所以当a ≤0时，e x ≥ax 2＋x ＋1恒成立，故只需讨论a ＞0的情形．令F (x )＝e －x (1＋x ＋ax 2)－1，问题等价于F (x )≤0，由F ′(x )＝e －x [－ax 2＋(2a －1)x ]＝0得x 1＝0，x 2＝2a －1a．当0＜a ≤12时，F (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以F (x )≤F (0)＝0恒成立；当a ＞12时，因为F (x )在[0，x 2]上单调递增，所以F (x 2)≥F (0)＝0恒成立，此时F (x )≤0不恒成立．综上所述，实数a ∞，12．2．已知函数f (x )＝e －x ＋ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的最值；(2)若a ＝0，求证：f (x )>－12x 2＋58．2．解析：(1)依题意，得f ′(x )＝－e －x ＋a ．①当a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在R 上单调递减，故f (x )不存在最大值和最小值；②当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝－ln a ．当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故当x ＝－ln a 时，f (x )取得极小值，也是最小值，最小值为f (－ln a )＝a －a ln a ，不存在最大值．综上，当a ≤0时，f (x )不存在最大值和最小值；当a >0时，f (x )的最小值为a －a ln a ，不存在最大值．(2)当a ＝0时，f (x )＝e －x ，要证f (x )>－12x 2＋58，即证e －x >－12x 2＋58，即证(5－4x 2)e x <8．设h (x )＝(5－4x 2)e x ，当5－4x 2≤0，即x ≤－52或x ≥52时，h (x )≤0<8；当5－4x 2>0，即－52<x <52时，h ′(x )＝(－4x 2－8x ＋5)e x ＝－(2x －1)(2x ＋5)e x ，所以当－52<x <12时，h ′(x )>0，h (x )－52，当12<x <52时，h ′(x )<0，h (x )所以当－52<x <52时，h (x )≤4e<8．综上所述，不等式f (x )>－12x 2＋58成立．3．已知函数f (x )＝a (x －1)，g (x )＝(ax －1)·e x ，a ∈R ．(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切；(2)若不等式f (x )＞g (x )有且只有两个整数解，求a 的取值范围．3．解析(1)f ′(x )＝a ，g ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ．设直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )的切点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝a (x 0－1)＝(ax 0－1)0e x ，得a (x 00e x －x 0＋1)＝0e x ，①又因为直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切，所以a ＝g ′(x 0)＝(ax 0＋a －1)0e x ，整理得a (x 00e x ＋0e x －1)＝0e x ，②结合①②得x 00e x －x 0＋1＝x 00e x ＋0e x －1，即0e x ＋x 0－2＝0，令h (x )＝e x ＋x －2，则h ′(x )＝e x ＋1＞0，所以h (x )在R 上单调递增．又因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝e －1＞0，所以存在唯一实数x 0，使得0e x ＋x 0－2＝0，且x 0∈(0，1)，所以存在唯一实数a ，使①②两式成立，故存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相切．(2)令f(x)＞g(x)，即a(x－1)＞(ax－1)e x，所以ax e x－ax＋a＜e x，所以－1，令m(x)＝x－x－1e x，则m′(x)＝e x＋x－2e x，由(1)可得m(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，且x0∈(0，1)，故当x≤0时，m(x)≥m(0)＝1，当x≥1时，m(x)≥m(1)＝1，所以当x∈Z时，m(x)≥1恒成立．①当a≤0时，am(x)＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；②当0＜a＜1时，m(x)＜1a，因为1a＞1，m(0)＝m(1)＝1，所以两个整数解分别为0，1(2)≥1a，(－1)≥1a，解得a≥e22e2－1，即a∈e22e2－1，＋③当a≥1时，m(x)＜1a，因为1a≤1，m(x)在x∈Z时大于或等于1，所以m(x)＜1a无整数解，舍去．综上所述，a的取值范围为e22e2－1，＋考点三指对在一起，常常要分手【方法总结】设f(x)为可导函数，则有(e x ln x－f(x))′＝e x ln x＋e xx－f′(x)，若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，ln x，针对此类型，可以采用作商的方法，构造e x ln x－f(x)e x＝ln x－f(x)e x，从而达到简化证明和求极值、最值的目的，e x ln x腻在一起，常常会分手．【例题选讲】[例5](2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝a e x ln x＋b e x－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1．解析(1)f′(x)＝a ex＋b e x－1(x－1)x2(x＞0)，由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1，2)，＝2，＝e，＝2，e＝e，＝1，＝2.(2)由(1)知f(x)＝e x ln x＋2e x－1x(x＞0)，从而f(x)＞1等价于x ln x＞x e－x－2e．构造函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当xg′(x)＜0，当xg′(x)＞0，故g(x)g(x)在(0，＋∞)上的最小值为＝－1e．构造函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e ．综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1．[例6]已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e x x ．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：a ＝1时，f (x )＋g (x )x ＞e ．解析(1)f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2．当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，由f ′(x )>0，得x >1a ，所以函数f (x )(2)a ＝1时，要证f (x )＋g (x )x ＞e ．即要证1x ＋e x x －ex 2ln x －e ＞0⇔e x －e x ＋1>eln x x ，x ∈(0，＋∞)．令F (x )＝e x －e x ＋1，F ′(x )＝e x －e ，当x ∈(0，1)时，F ′(x )＜0，此时函数F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，此时函数F (x )单调递增．可得当x ＝1时，函数F (x )取得最小值F (1)＝1．令G (x )＝eln xx ，G ′(x )＝e(1－ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时G (x )为增函数，当x >e 时，G ′(x )<0，此时G (x )为减函数，所以x ＝e 时，函数G (x )取得最大值G (e)＝1．x ＝1与x ＝e 不同时取得，因此F (x )＞G (x )，即e x －e x ＋1>eln xx ，x ∈(0，＋∞)．故原不等式成立．【对点精练】1．设函数f (x )＝ln x ＋1x ，求证：当x ＞1时，不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)．1．解析将不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)变形为1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x ＞2e x －1x e x ＋1，分别构造函数g (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x 和函数h (x )＝2e x －1x e x ＋1．对于g ′(x )＝x －ln x x 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x．因为x ＞1，所以φ′(x )＞0，所以φ(x )在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )＞φ(1)＝1＞0，所以g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＞1时，g (x )＞g (1)＝2，故g (x )e ＋1＞2e ＋1．对于h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，因为x ＞1，所以1－e x ＜0，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝2e ＋1．综上所述，当x ＞1时，g (x )e ＋1＞h (x )，即f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)．(第1题)(第2题)2．已知f (x )＝e x －a ln x －a ，其中常数a>0．(1)当a>e 时，求函数f (x )的极值；(2)求证：e 2x －2－e x －1ln x －x ≥0．2．解析(1)当e a =时，()e eln e x f x x =--，()ee xf x x'=-，()10f '=．()2ee 0xf x x ''=+>，()f x '∴在()0, +∞单调递增．()0, 1x ∴∈时，()()10f x f ''<=，()1, x ∈+∞，()()10f x f ''>=．()f x ∴在()0, 1单调递减，在()1, +∞单调递增．∴()f x 的极小值为()10f =，无极大值．(2)由(1)得e eln e 0e eln e x x x x --≥⇒-≥，所证不等式：221e e ln 0x x x x ----≥2e eln ex x x x -⇔-≥．设()22e ex x x g x x --==，()()222e e 1e x x x g x x x ---'=-=-，令()0g x '>可解得：1x <．()g x ∴在()0, 1单调递增，在()1, +∞单调递减．()()max 1e g x g ∴==．()e eln e x x g x ∴-≥≥，即2e eln e x x x x --≥，221e e ln 0x x x x --∴--≥．3．已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e x x．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：a ＝1时，f (x )＋g (x )x ＞e ．3．解析(1)f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2．当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，由f ′(x )>0，得x >1a，所以函数f (x )(2)a ＝1时，要证f (x )＋g (x )x ＞e ．即要证1x ＋e x x －e x 2ln x －e ＞0⇔e x －e x ＋1>eln x x，x ∈(0，＋∞)．令F (x )＝e x －e x ＋1，F ′(x )＝e x －e ，当x ∈(0，1)时，F ′(x )＜0，此时函数F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，此时函数F (x )单调递增．可得当x ＝1时，函数F (x )取得最小值F (1)＝1．令G (x )＝eln x x ，G ′(x )＝e(1－ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时G (x )为增函数，当x >e 时，G ′(x )<0，此时G (x )为减函数，所以x ＝e 时，函数G (x )取得最大值G (e)＝1．x ＝1与x ＝e 不同时取得，因此F (x )＞G (x )，即e x －e x ＋1>eln x x ，x ∈(0，＋∞)．故原不等式成立．。
高考数学中的导数概念及其应用实例
高考数学中的导数概念及其应用实例数学是一门理性、逻辑思维和抽象化的学科，而数学高考则是在实现这些特点的同时，注重考查数学知识的应用。
在所有的数学知识点中，导数概念是一个至关重要的知识点。
接下来，我们将深入探讨导数概念及其应用实例。
一、导数概念导数概念最早由连续函数概念发展而来，主要用于刻画函数在某一点的变化率。
假设函数$f(x)$在$x_0$处存在，那么$f(x)$在$x_0$处的导数可以表示为：$lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$当这个极限存在时，称为函数$f(x)$在$x_0$处可导，并表示$f'(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。
导数概念实际上是一个极限概念，它刻画了函数在某一点附近的局部变化情况。
具体来说，函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$表示的是，在极小的变化量$\Delta x$内，函数在$x_0$处的相应变化量$\Delta f(x)$与$\Delta x$之比的极限。
从这个定义出发，我们可以理解导数之间的几何意义。
在平面直角坐标系中，将函数$y=f(x)$上一点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率定义为该点处的导数$f'(x_0)$。
这意味着，导数是函数值在某一点处的切线斜率。
通过图像，我们还可以理解导数的符号：当函数上升，导数为正；当函数下降，导数为负；对于水平位置，导数为零。
二、导数概念的应用实例在高考数学中，导数概念被广泛应用在各种数学问题中。
这里简要列举几个典型的实例。
1. 最值问题当我们研究一个函数的极值时，导数概念可以为我们提供强有力的工具。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$区间内连续，在$(a,b)$内可导。
如果在$x_0\in(a,b)$处$f'(x_0)=0$并且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$是函数$f(x)$在$[a,b]$中的极小（或极大）值。
高考数学中的导数与微分概念详解
高考数学中的导数与微分概念详解导数和微分是高中数学中的两个重要概念，也是高考数学中的常考点。
它们是数学中的基础知识，对于掌握高中数学和进一步掌握大学数学都具有重要意义。
本文将详细解析导数和微分概念及其应用，帮助同学们深入理解。
一、导数概念详解导数是微积分中的一个重要概念，指函数在某一点处的瞬时变化率。
它可用极限表示，其定义式为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$这个式子可能有些抽象，但可以从几何角度去理解导数。
可以把函数看作一条曲线，瞬时变化率就表示曲线在某一点处的切线斜率。
导数的值在一定程度上反映了函数的“陡峭程度”。
比如，当导数的值越大时，表示函数在该处的变化速率越快，因此该处的函数图像越陡峭。
相反，导数的值越小表示函数在该处的变化速率越慢，函数图像相对平缓。
在一些工程和经济问题中，导数是一个重要的工具，可以帮助研究各种变化和趋势。
二、导数的计算方法在高考数学中，涉及到导数的计算方法还有一些常见的公式，包括：1. 基本导数公式这些公式是我们平时解题时用得比较多的，表述如下：（1）常数函数的导数为0。
（2）幂函数的导数为 $kx^{k-1}$（其中 $k$ 为常数）。
（3）三角函数的导数为 $cosx$ 的导数为 $-sinx$，$sinx$ 的导数为 $cosx$。
（4）指数函数和对数函数的导数分别为其本身。
（5）求和法和差法。
即如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数都存在，则 $[f(x)+g(x)]'$ 和 $[f(x)-g(x)]'$ 也都存在，并且：$[f(x)+g(x)]' = f'(x)+g'(x)$$[f(x)-g(x)]' = f'(x)-g'(x)$2. 链式法则链式法则通常用于求复合函数的导数。
导数知识在高中数学中的重要作用
135神州教育导数知识在高中数学中的重要作用魏中慧山东省莱芜第一中学57级三级部六班摘要：导数知识是高中数学内容中非常重要的一部分，它的课是安排也是相对比较多的，这主要是因为导数知识在高中数学学习中发挥着非常重要的作用，一方面可以培养学生们的思维和学习能力，另一方面也可以实质性的帮助我们解决很多数学题型，本文中我们就将针对导数知识在高中数学中的重要作用进行深入探讨研究，希望大家可以了解导数知识的重要性，更加努力的去学习这部分内容。
关键词：导数；高中数学；作用导数知识对于高中数学学习能力以及解题能力的培养都有非常重要的作用，但是很多人对此仍然不太了解，接下来我们就来具体探讨了解一下导数知识的重要性以及导数知识在高中数学解题中的应用。
一.导数知识的重要性导数知识是我国高中课程设置中非常必要的一部分内容，这部分内容的教学对于学生数学思维的养成、逻辑思维能力的发展甚至其他科目的学习都是非常有利的。
接下几次我们就来具体了解一下。
(一)有利于学生高数思维的掌握首先数学学习过程中思维方法对于提升数学的学习效率和质量是非常关键的，而函数思维就是数学教学中非常重要的一点。
在高中数学解题过程中我们就会发展传统的初步数学已经不能帮助我们解决一些问题了，而建立函数，再进行求导，应用导数我们就可以顺利的解决很多问题。
因而在导数的不断学习过程中学生也会逐渐形成一种高数思维即函数思维。
(二)有利于学生各科知识的综合学习高中很多科目之间的共同性是非常强的，其中数学、物理、化学等理学类课程的相通行就是非常强的，所以在物理、化学课程学习过程中我们在解题过程中也会需要应用应用一些数学知识，其中导数的应用就是非常多的。
比如在物理学习过程中我们已知匀加速直线运动的函数关系，我们就可以通过求导来得出加速度，这样物理计算就会相对比较简单。
当然化学学习中对于反应速度以及冷却速度的求解也可以应用导数。
(三)有利于培养学生的逻辑思维能力逻辑思维能力的培养是数学课程教学过程中非常重要的一个目标，而导数知识的学习对于学生这方面能力的培养就是非常有效的。
导数知识在高中数学中的重要作用
所 以其 在 区 间 （ 一１ ， ３ ） 内是 单 调 递 减 的 ， 即 厂 （ ｚ） ＞ ０在
所 以该 函数 在 ｚ一 ３时 取 得 最 大 值 ， 最大值 为 ６ ３ ．
数
学 生对数学知识学 习的积 极性 ， 同 时 导 数 知 识 在 高 中 数 学 中
３ ． 有 力 于培 养 学 生 逻 辑 思 维 能 力
பைடு நூலகம்
同 时 尽 量 将 导 数 知 识 在 复 杂 问 题 解 答 中的 应 用 过 程 深 刻 在 头 脑之 中， 提 升 导数 知 识 在 高 中数 学 中 的实 际运 用 意 识 ． 三、 导 数 知 识 在 高 中数 学 中应 用 的注 意事 项 在 高 中数学 导数 知 识 的学 习及 运 用 过 程 中 ， 首先 ， 应 使 学 生
在有 效 解 答 高 中数 学 学 习 中遇 到 的 各 种 问 题 时 ， 能 有 效 激 发
中 掌 所 以对 于 区 间［ １ ， ５ ］ 和［ １ ， ３ ］ 范 围内 厂 （ ｚ ） ＞Ｏ是 递 增 的 ， 生 在［ ３ ， ５ ］ 范 围内 厂 （ ｚ） ＜ Ｏ是 递 减 的．
范围内 ， 如 果 两 侧 的符 号不 同 ， 则 这 个 函数 在 此 区 间 上 就 存 在
着 极大或极小值 ， 在 此 我 们 就 可 以 利 用 导 数 对 函 数 最 值 求 解 进 行分析．
性， 能 使 较 为 复 杂 的 数 学 问题 变 得 简 易 化 ， 这 也 体 现 了 新 课 程
、
导 数 知 识 的 重 要 性 分 析
１ ． 有 利 于 学 生 函数 思 想 的 掌 握
浅析导数在高中数学中的地位与应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２７㊀㊀浅析导数在高中数学中的地位与应用浅析导数在高中数学中的地位与应用Һ杨志远㊀（黑龙江省鹤岗市绥滨一中，黑龙江㊀鹤岗㊀１５６２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ导数是高中数学和高等数学间的重要纽带，其为高中数学添加了不少新的活力．高中生对导数知识进行学习，有助于其对函数性态进行理解与掌握，同时发展他们的思维能力，这对其日后学习以及发展大有裨益．基于此，本文在分析高中阶段数学教学当中导数具有的重要地位的基础上，着重对高中阶段数学教学中导数的应用展开探究，希望能对实际教学有所帮助．ʌ关键词ɔ高中数学；导数；地位；应用前言：高中阶段的数学中包含很多把高等数学有关知识当作背景的问题．在微积分中，导数属于一个核心概念，其在高中数学中具有重要作用．为此，数学教师需对导数这个知识点加以重视，帮助高中生对导数的应用进行归纳总结，进而有效提升其学习效率及解题能力．一㊁高中阶段数学教学中导数具有的重要地位（一）有助于高中生对函数性态进行理解，帮助其对函数思想加以掌握事实上，多数数学问题很难甚至无法借助初等数学有关方法加以解决．但借助函数思想，可以把实际问题抽象为相应的数学模型，同时构建有关函数关系，之后发挥出导数具有的工具性以及应用性，这样可以对问题加以有效解决．进行函数学习期间，高中生通过对函数值域㊁定义域㊁周期性㊁单调性㊁奇偶性以及有界性进行学习，可以对函数性态加以理解．其实，这些性态全都能在函数图像中获得．因此，数学教师可要求高中生通过描点法把函数图像准确地画出来．然而，假设涉及的函数并非初等函数，是高阶函数，那么其图像更加复杂，若单纯运用描点法进行绘图，则难以准确得到函数图像．此时，就显现出了导数具有的优点．高中生可借助函数具有的一阶导数来对函数最值与最值区间㊁单调性加以确定，借助二阶导数对函数拐点以及凹凸性进行判断，之后结合极限思想把水平与垂直的渐近线找出来，这样可以对函数图像进行大致绘制．（二）有助于高中生对其他的自然学科进行学习数学属于基础学科，具有工具性与基础性的特征，其和物理以及化学这些自然学科存在着紧密联系．实际上，导数为微积分当中的一个重要概念，研究对象为函数，把函数极限当作基础，涉及变化率这个问题，其在工程㊁天文㊁物理以及化学这些领域当中有着广泛运用．比如，当高中生对导数知识掌握以后，可以快速求出物理学中变速直线运动的瞬时速度以及瞬时加速度，快速求出化学中的冷却速度与反应速度．（三）有助于发展高中生思维能力在高中阶段的数学知识中，导数内容属于重要的构成部分，受到教师的高度关注．如今，新课标已经明确指出，高中阶段的数学教师需借助大量实例来让高中生认识以及理解导数知识，以此来提升其思维能力．高中生通过对导数知识进行学习，可以使其从有限㊁静态㊁常量这种数学观点逐渐过渡到无限㊁动态㊁变量的这种数学观点，这样有助于发展高中生思维能力．二㊁高中阶段数学教学中导数的应用（一）函数解题中导数的应用１．借助导数解答函数单调性的问题．利用导数对函数具有的单调性进行判断，主要包括４个步骤：第一，对函数ｆ（ｘ）的定义域加以确定；第二，求函数ｆ（ｘ）的导数ｆᶄ（ｘ）；第三，在函数ｆ（ｘ）的定义域中，解不等式ｆᶄ（ｘ）＞０或ｆᶄ（ｘ）＜０；第四，对ｆ（ｘ）具体的单调区间进行确定．如果函数式中包含字母系数，那么通常需要进行分类讨论．例如，求ｆ（ｘ）＝ｘ３＋３ｘ的单调区间．分析㊀首先应当对函数ｆ（ｘ）的定义域进行确定，之后借助导数讨论函数ｆ（ｘ）的单调区间．解㊀很显然，函数ｆ（ｘ）的定义域是（－ɕ，０）ɣ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝３ｘ２－３ｘ２＝３（ｘ２＋１）（ｘ＋１）（ｘ－１）ｘ２，根据ｆᶄ（ｘ）＞０，能够得到ｘ＜－１或ｘ＞１；又根据ｆᶄ（ｘ）＜０，能够得到：－１＜ｘ＜０或０＜ｘ＜１．因此，ｆ（ｘ）具有的单调减区间是（－１，０）与（０，１）；ｆ（ｘ）具有的单调增区间是（－ɕ，－１）与（１，＋ɕ）．通过此题我们能够看到，借助导数来对函数对应的单调区间进行判断非常简单，只需要把函数ｆ（ｘ）对应的导数ｆᶄ（ｘ）求出来，之后解不等式ｆᶄ（ｘ）＞０以及ｆᶄ（ｘ）＜０即可．这样一来，高中生在解答此类问题时即可拥有非常明确的解题思路，能够快速以及准确解题．再如，函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｅａｘ，其中ａɤ０，求ｆ（ｘ）具有的单调性．解㊀先求导，ｆᶄ（ｘ）＝ｘ（ａｘ＋２）ｅｘ．（１）当ａ＝０时，令ｆᶄ（ｘ）＝ｘ（ａｘ＋２）ｅｘ＝０，此时ｘ＝０，说明ｆ（ｘ）在ｘ＝０处单调性改变．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８㊀而当ｘ＞０时，ｆᶄ（ｘ）＞０，说明ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增；当ｘ＜０时，ｆᶄ（ｘ）＜０，说明ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）上单调递减．（２）当ａ＜０时，令ｆᶄ（ｘ）＝ｘ（ａｘ＋２）ｅｘ＝０，此时ｘ＝０或ｘ＝－２ａ．当ｘ＜０时，ｆᶄ（ｘ）＜０，说明ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）上单调递减；当０＜ｘ＜－２ａ时，ｆᶄ（ｘ）＞０，说明ｆ（ｘ）在０，－２ａ()上单调递增；当ｘ＞－２ａ时，ｆᶄ（ｘ）＜０，说明ｆ（ｘ）在－２ａ，＋ɕ()上单调递减．２．借助导数求函数值域㊁最值与极值．导数不仅可以用于对函数的单调性进行判断，还在对函数值域㊁极值以及定义域的求解问题中起着重要作用．导数可以对求函数极值㊁最值以及值域这些问题加以简化．例如，求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１－ｘ＋２的值域．分析㊀我们首先应当对函数ｆ（ｘ）的定义域进行确定，并且准确求出函数ｆ（ｘ）对应的导数ｆᶄ（ｘ），并且对ｆᶄ（ｘ）具有的正负进行判断，从而把函数ｆ（ｘ）的值域求出来．解㊀很显然，函数ｆ（ｘ）的定义域是－１２，＋ɕ[)．ｆᶄ（ｘ）＝１２ｘ＋１－１２ｘ＋２＝２ｘ＋２－２ｘ＋１２ｘ＋２２ｘ＋１，而２ｘ＋２－２ｘ＋１＝２ｘ＋７２ｘ＋２＋２ｘ＋１，由此可见，当ｘ＞－１２时，ｆᶄ（ｘ）＞０，因此ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１－ｘ＋２在－１２，＋ɕ[)上为增函数．又因为ｆ－１２()＝－６２，所以函数ｆ（ｘ）的值域为－６２，＋ɕéëêêöø÷．（二）在求曲线切线方程中导数的应用ｆᶄ（ｘ）具有的几何意义实际上等同于曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的切线斜率，则曲线在点（ｘ０，ｙ０）处的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ０）＝ｆᶄ（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．纵观近几年高考数学中的试题，我们极易发现其中含有大量的函数知识，而借助导数进行求解，能够使得问题得以简化．比如，曲线ｙ＝ｘ４的一条切线ｍ与直线ｘ＋４ｙ－５＝０垂直，求直线ｍ方程．针对此题，我们设出切点，表示出斜率，即可根据已知条件求出具体方程．（三）探究方程根具体分布时导数的应用设函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上连续，ｆᶄ（ｘ）在（ａ，ｂ）上保持符号不变，如果ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，那么ｆ（ｘ）＝０在（ａ，ｂ）上存在唯一实根，如果ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＞０，那么ｆ（ｘ）＝０在（ａ，ｂ）上无实数根．（四）不等式证明中导数的应用高考数学的试题中，函数经常与不等式一同考查，尤其是最近几年在核心素养及素质教育之下，数学命题更加趋向于综合化，进而使得不等式和函数的结合变得更加紧密．而对这类试题进行求解，导数是最佳的解题方法．例如，已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ），其中０＜ａ＜ｂ，设ｆ（ｘ）在ｘ＝ｓ与ｘ＝ｔ时取到了极值，而其中ｓ＜ｔ，证明：０＜ｓ＜ａ＜ｔ＜ｂ．证明㊀先求出ｆᶄ（ｘ），其中ｆᶄ（ｘ）＝３ｘ２－２（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ，由ｆ（ｘ）在ｘ＝ｓ与ｘ＝ｔ时取到了极值，可知ｓ，ｔ为二次方程ｆᶄ（ｘ）＝０的两个实数根，又因为ｆᶄ（０）＝ａｂ＞０，ｆᶄ（ａ）＝ａ２－ａｂ＝ａ（ａ－ｂ）＜０，ｆᶄ（ｂ）＝ｂ２－ａｂ＝ｂ（ｂ－ａ）＞０，所以ｆᶄ（ｘ）在（０，ａ）和（ａ，ｂ）上分别有一实数根，再由ｓ＜ｔ，并且ｓ，ｔ为二次方程ｆᶄ（ｘ）＝０的两个实数根可得：０＜ｓ＜ａ＜ｔ＜ｂ．上述例题先运用导数方法对函数进行降幂，将问题转化成求区间上存在实数根这一问题，然后根据实数根分布相关理论，结合数形结合思想，对不等式加以证明．结㊀论综上可知，在高中阶段的数学中，导数具有重要地位，对导数的学习有助于高中生对函数性态进行理解，帮助其对函数思想加以掌握，有助于高中生对其他的自然学科进行学习，并且有助于发展高中生思维能力．所以，数学教师需对导数知识加以重视，积极带领高中生对导数知识在数学解题中的应用展开探究．ʌ参考文献ɔ［１］吴沛东，潘康林．高中数学中导数问题的学习研究 以广西北海为例［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（０６）：１４０－１４１，１４３．［２］李树凡．导数在高中数学解题中的应用分析［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（０４）：３６．［３］龚斌．浅析高中数学 导数及其应用 的教学策略［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（２３）：３０．［４］时好运．论高中数学中导数解题策略及教学方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（２０）：１２５．［５］熊德忠．高中数学导数及其应用学习实践［Ｊ］．华夏教师，２０１９（２２）：３８．。
导数在高考数学中的地位-2019年作文
导数在高考数学中的地位一导数在高中数学中的重要性微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数作为微积分的基本概念，不仅在数学领域地位非凡，而且在自然科学的许多领域中也有着广泛的应用。
导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的，有着广泛的应用意义。
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，它是研究函数单调性的重要工具，广泛运用于讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
另外，导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，《普通高中数学课程标准（实验）》中把导数作为选修课程并要求通过大量实例，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解导数的概念能为以后进一步学习微积分打下基础。
导数及其导数的应用是微积分学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的强有力工具。
其全面体现了数学价值，既给我们解决问题提供了一种新的思想方法，又给我们提供了一种重要的思维能力，也为今后进一步学好微积分方面打下了基础。
因此，在高中阶段为学生介绍导数及其应用有着极其深刻的意义。
导数的相关知识在曲线方面有着广泛的应用，许多问题都可以从曲线的切线性质出发，进而解决问题。
同时为研究函数的单调区间、最值问题以及某些不等式的证明、不等式的求解和数列的求解等提供了捷径，因此导数的学习在中学阶段尤为重要。
导数作为研究客观世界物质运动变化的有力工具，在现代化建设的各个领域有着广泛的应用，自然对中学数学也有重要的指导作用，并且在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用。
导数是一种特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数的思想，新课程中增加了导数的内容，随着课程改革的不断深入，对导数知识的考察和要求在不断地加强，并且导数已经在高考数学中的地位不断上升，成为分析和解决问题不可或缺的工具，导数是中学数学中研究函数的一个重要载体。
函数类问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。
导数在高中数学中的地位及解题中的应用11
导数在高中数学中的地位及解题中的应用师大学涉外商贸学院 数学与应用数学（师）2013级3班 锦华指导老师 袁南桥中文摘要：在近几年的高考中，对导数的考察越来越多，与导数有关的知识也成为高考考察的重要容.导数作为选修课进入新课程，为高中阶段研究函数的相关性质提供了有力工具，本文试图以导数在函数、不等式以及切线中的应用为例，说明导数在高中数学解题中的应用分析 关键词：高中数学 导数 解题 应用一. 导数在高中数学中的地位1.1有利于学生更好地掌握函数思想导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像来反映，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了。
如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。
但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如3221y x x x =-+-，1x y e x =--等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像。
但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。
这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识。
数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决.其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题.1.2有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用.例如：根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s（t），算出物体的瞬时速度：v（t）=ds/dt、瞬时加速度：a（t）=d2s/dt2；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了. 1.3有利于发展学生的思维能力通过学习导数把中学所学的知识全部串联起来，让学生成为知识的“”发现者”“探究者”和“运用者”，一真正发展学生的各项科学素质，培养学生的各项能力，为学生的终身发展和个性发展，科学世界观和科学价值的形成打下基础.二.导数在高中数学解题中的应用2.1导数在研究函数的极值和最值的应用1.函数的最值与极值求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.一般的，求可导函数()f x的极值和最值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数'()f x(2)求方程'()0f x在根和端点的函数值f x 的根，计算()(3)比较()f x在根和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值若0x 满足'()0f x =，且在x 0的两侧()f x 的导数异号，则x 0是()f x 的极值点，0'()f x 是极值.2.判别0'()f x 是极大、极小值的方法若0x 满足0()0f x =，且在0x 的两侧()f x 的导数异号，则0x 是()f x 的极值点，0'()f x 是极值，并且如果'()f x 在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是()f x 的极大值点，0'()f x 是极大值；如果'()f x 在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是()f x 的极小值点，0'()f x 是极小值.例1. 求函数3()3f x x x =-在3[3,]2-上的最大值和最小值． 分析：先求出()f x 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可 得该函数在区间3[3,]2-，上的最大值和最小值． 解：由于22'()333(1)3(1)(1)f x x x x x =-=-=+-，则当3[3,1](1,]2x x ∈--∈或时，'()0f x >所以3[3,1][1,]2--，为函数()f x 的单调区间 当(1,1)x ∈-，'()0f x <，所以[1,1]-为函数()f x 的单调区间 又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，所以 当3x =-时，()f x 取得最小值18-；当1x =-时，()f x 取得最大值2.例2 求函数22()(1)(2)f x x x =--的极值.解：222()(1)(2)'()(1)(57)(2)f x x x f x x x x =--∴=--- 令'()0f x =，得驻点12371,,2x x x ===()f x 极大 极小 (1)0f ∴=是函数的极大值；()53125f =-是函数的极小值2.2利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义过曲线()y f x =上任意一点(,)x y 的切线的斜率就是()f x 在x 处的导数， 即k =f (x 0)=lim ∆x→0ΔyΔx =lim ∆x→0f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x .也就是说，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是()f x '，切线方程为000'()()y y f x x x -=-.2．导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点0,0A(())x f x 求斜率k ，即求该点处的导数值：0k='()fx (2)已知斜率k ，求切点0,0A(())x f x ，即解方程0'()f x k =(3)已知过某点11(,())M x f x (不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点0,0A(())x f x ，利用1010()()f x f x k x x -=-求解．例3求曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程. 分析：此题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-， 故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+例4求与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程. 分析：此题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-.即210x y --=．例5 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 分析：过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程， 得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-． 故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即20x y --=，或5410x y +-=．2.3利用导数研究函数的单调性1、函数的单调性函数()y f x =在某个区间 (,)a b 可导①函数的单调性的充分条件若'()>0f x ，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.②函数的单调性的必要条件若()f x 为增函数，则'()0f x ≥；若()f x 为减函数，则'()0f x ≤.例6已知函数()1x f x e ax =-- (1)求()f x 的单调增区间；(2)是否存在a ，使()f x 在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值围，若不存在，请说明理由．思维点拨：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 '()x f x e a =-（1） 若0a ≤，则'()0x f x e a =-≥即()f x 在R 上单调递增若0a >，令0x e a -≥，则,ln x e a x a ≥≥ 因此当0a ≤时，()f x 的单调增区间为R当0a >时，()f x 的单调增区间为[ln ,)a +∞.（2）'()0x f x e a =-≤在(2,3)-上恒成立x a e ∴≥ 在(2,3)x ∈-上恒成立23x e e e -∴<<，只需3a e ≥当3a e =时，3'()0x f x e e =-<在(2,3)x ∈-上恒成立即()f x 在(2,3)-上为减函数，3a e ∴≥故存在实数3a e ∴≥，使()f x 在(2,3)-上为减函数.2.4利用导数证明不等式利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．对证明形如f(x)≧g(x)(a ≦x ≦b)的不等式构造形如()()()F x f x g x =-的函数型并通过一阶或二阶、三阶求导达到证明目的的不等式。
高考导数超纲知识点
高考导数超纲知识点在高考中，数学是一个非常重要的科目，对于很多学生来说，数学一直都是他们的难点之一。
而在数学中，导数是一个非常重要的概念，也是高考中常常会涉及的知识点之一。
但是，有些学生在备考过程中发现，高考的数学题目中有一些导数的问题超出了教材范围，这让他们感到非常困惑和苦恼。
首先，导数是高中数学中非常重要的一个概念，它是微分学的基石。
在教材中，我们通常会学习导数的定义、常见函数的导数、导数的性质等内容。
然而，在一些高难度的高考题中，可能会出现一些超纲的导数知识点，例如高阶导数、隐函数求导、参数方程求导、极限关系等。
高阶导数是指对一个函数求导数的导数。
在教材中，通常只会介绍到二阶导数，也就是求一个函数的导数的导数。
然而，在一些高难度的题目中，可能会涉及到更高阶的导数，例如三阶导数、四阶导数等。
这就要求学生掌握更深入的导数知识，能够熟练地进行高阶导数的计算和应用。
隐函数求导是指对一个隐含了未知函数的方程进行求导。
在教材中，我们通常会学习显函数的导数计算，也就是已知函数表达式，可以直接对其求导。
但是在高考中，有时会出现一些隐函数求导的题目，例如对于一个含有未知函数的方程，要求求出其中某个变量的导数。
这对学生来说可能是一个挑战，需要他们掌握隐函数求导的方法和技巧。
参数方程求导是指对于由参数方程表示的曲线，求该曲线上某一点的切线斜率。
这在教材中并不常见，但在高考中偶尔会出现。
学生需要通过参数方程求导的方法，将参数方程转化为显函数，然后计算导数。
这对于学生来说可能是一个陌生的知识点，需要他们进行较多的练习和理解。
极限关系是指导数和原函数之间的关系，例如如果一个函数的导数存在，那么该函数一定是可微的。
在教材中，我们通常只会学习导数的基本定义和性质，而不会过多地涉及导数和原函数之间的关系。
但在一些高难度的题目中，可能会涉及到导数和原函数之间的极限关系，例如柯西-Riemann条件、极大值极小值点的导数为零等。
高中生必看：数学函数与导数在高考中的重要性
高中生必看：数学函数与导数在高考中的重要性高考数学主要有六大模块，分别是函数导数、三角函数、数列不等式、立体几何、圆锥曲线和概率统计。
三角函数本身就是一类特殊的函数，各种函数性质都特别的明显。
数列不等式中的数列，本身也可当做特殊的函数（离散函数）来对待，不等式的各类解法中，有相当一部分会利用到函数单调性等性质来解答。
立体几何看似与函数没有太多关系，但是一般情况下，理科的立体几何会用到空间向量，而空间向量的很多解法，也和函数息息相关。
圆锥曲线在很大程度上就是需要借助于图形的解析式，建立一个方程，进而利用方程的思想来解题，因此，圆锥曲线在很大程度上可以认为是一类特殊的函数题。
概率统计中有许多类似于概率密度函数等与函数密切相关的概念，而统计方法中也会涉及特别多的函数思想。
函数导数与各大模块的关系都非常紧密，是整个高中数学的基础。
函导在高考中占分比一般情况下，对函数和导数的直接考察占30分，而间接对函数导数进行考察的题目占到了约80分。
直接或间接与函数导数相关的考题，占到了100分左右，函数与导数的核心考点的地位不言而喻。
全国各地“课标卷”对本专题知识点考查情况从《考纲》要求来讲，理科要求略高于文科要求。
历年来高考对本专题考查涉及到所有题型（选择，填空，解答）。
除了单独考查函数与导数的题目外，往往在每个题目上涉及函数与其他内容的综合考查。
在解答题方面，函数与导数往往作为难题出现。
因此高考复习必须给予足够的重视。
数学函数与导数专题重点考查内容有：指、对数函数，幂函数，二次函数，单调性，导数的应用。
被联合考查的其他专题的知识点主要有：逻辑用语，数列，不等式解法及证明，解析几何中的曲线的切线方程，定值问题，图形平移与对称，合情推理，三角函数与向量，几何概型与随机实验等。
其中重点是不等式，尤其是不等式的恒成立问题时参数取值范围及最值问题。
考题注重函数与导数的综合应用，在数学思想方法上作较深入的考查。
涉及的基本数学方法有：建模法，消元法，代入法，图象法，坐标法，比较法，配方法，待定系数法，公式法，换元法，因式分解，平移等。
高考数学中的导数的表现
高考数学中的导数的表现导数是高中数学中一个非常重要的概念，同时也是高考数学中必考的内容之一。
导数体现了数学中连续性、变化率等重要概念，此外在物理学、计算机科学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本篇文章将探讨高考数学中的导数表现。
一、导数的概念在高中数学中，函数的导数指的是在函数图像上的任何一点处的切线的斜率。
而切线又是过函数图像上一点的一条直线，它和函数在这个点处的斜率是相等的。
因此，导数实际上是函数在某一点的斜率，它表示的是函数在这一点的变化率。
导数的计算比较简单，通常使用极限的方法：设函数$f(x)$在$x_0$点的导数为$f'(x_0)$，则导数的定义式可以表示为$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Deltax}$$其中$\Delta x$代表$x_0$点往右的一个无穷小量。
二、导数的几何意义导数在数学中具有广泛的应用，在几何中，导数可以反映出函数在某一点上的几何性质。
1. 函数图像的斜率如前所述，函数某一点的导数是该点处函数图像的斜率。
因此，导数正是函数图像在该点处切线的斜率。
导数为正表示函数图像在该点处向上倾斜，导数为负则表示函数图像在该点处向下倾斜，导数为零则表示函数图像在该点处取得极大值或极小值。
2. 函数图像的凸凹性函数的凸凹性指的是函数图像弯曲的程度。
如果函数图像向上凸，则称函数为“凸函数”；如果函数图像向下凸，则称函数为“凹函数”。
如果函数的导数为增函数，则函数图像呈现出向上的凸性；如果函数的导数为减函数，则函数图像呈现出向下的凸性。
而当导数为零时，此时函数取极值，这也是凸凹性变化的分界点。
因此，可以通过导数的变化来判断函数的凸凹性。
三、导数在微积分中的应用微积分是数学中非常重要的分支之一。
导数作为微积分中的基础概念，可以应用于很多实际问题中。
以下列举几个例子：1. 最优化问题在实际应用中，经常需要求解最优解问题。
高考数学中的导数与微分概念解析
高考数学中的导数与微分概念解析高考数学中导数与微分是非常重要且基础的概念，对于不少学生来说，这些概念很抽象，很难理解和掌握，下面将结合实例来解析导数与微分的概念。
一、导数概念的解析导数是微积分中一个基本概念，它有时也被称为“瞬时率”或“瞬时变化率”。
在解析函数的变化时，计算导数是很有用的。
导数最初被引入是为了用来解决质点在运动中的速度以及曲线上某一点的切线斜率等问题。
下面我们来看看用导数计算速度的实例。
在物理学上，我们常常会用到速度的概念，速度常常被描述为某个物体在单位时间内运动的距离。
但是这种方式往往难以解决一些问题，比如说汽车在运动中速度的变化。
如果我们用速度来描述汽车在路上的行驶状态，这是不够详细的，我们需要更精细的描述方法来解决这种问题。
这时，我们可以用导数来描述汽车在路上行驶时的实时速度变化。
假如汽车在短时间内从70km/h加速到90km/h，那么在这个很小的时间间隔内，汽车的平均速度是80km/h。
但是如果我们用导数的概念来计算实时速度的变化，那么就需要知道汽车的瞬时速度。
我们可以将汽车在某个瞬间的速度作为这一瞬间的导数。
因此，汽车瞬时的速度可以表示为汽车行进路程对应时间的导数。
二、微分概念的解析微分是高等数学中一个常用的概念，它是导数的一个基础概念。
微分可以简单地理解为一个变量（无论是时间、距离还是速度等等）的微小变化所引起的函数值的变化。
微分的概念是微积分的基础，它被广泛应用于科学、技术以及商业领域。
我们可以将微分理解为一种小量的近似计算方法，当函数的微小变化趋向于0时，用微分可以近似来计算导数的值。
通过微分的计算方法，我们可以得到一些具有实际意义的结果，比如说函数的收益率或者函数的变化率等等。
下面我们来看看一个实际应用微分的例子。
在市场经济中，经常需要通过价格曲线来分析商品的价格变化趋势。
如果我们要计算一件商品的价格变化率，那么我们可以使用微分的方法来近似计算其导数，从而得出商品的价格变化率。
天津高考数学导数
天津高考数学导数导数是高中数学中一个重要的概念。
在天津高考中，数学中的导数是必修知识点之一、导数是解析几何和微积分中一个非常重要的部分，它可以用来刻画函数的变化规律，求解极值点，以及在工程、物理、经济等领域中的应用。
本文将从导数的概念、性质、求导规则、应用等方面进行阐述。
一、导数的概念导数的概念是一个极限的概念，它是函数f(某)在某一点某0处的变化率。
若f(某)在点某0处可导，则导数的值等于函数曲线在该点的切线斜率。
以y=f(某)为函数，点P(某0，y0)为例，其导数定义为：f’(某0) = lim [f(某) - f(某0)] / (某 - 某0)某-->某0其中某和某0是无穷小量（某-某0->0），导数的值表示函数f(某)在该点处的斜率。
二、导数的性质1.可导必连续，连续不一定可导。
如果函数f(某)在某一点某0处可导，那么在某0处必然连续。
但反之，则不一定成立。
举个例子，y=，某，在原点处连续但不可导。
2.偏导数的存在与连续性无关。
对于多元函数，其偏导数的存在性与连续性无关。
例如，函数f(某,y)=某y/(某^2+y^2)对于所有的点(某,y)≠(0,0)处处都可进行偏导数运算，但在点(0,0)处偏导数均不存在。
3.导数与函数的单调性的关系一般来说，导数的正负值可以反映函数的单调性。
若导数大于零，则相应地函数单调递增；反之，若导数小于零，则相应地函数单调递减。
三、求导规则1.常数求导规则若f(某)=C，其中C为常量，则f’(某)=0。
2.幂函数求导规则若f(某)=某^n，其中n为自然数，则f’(某)=n某^(n-1)。
3.反比例函数求导规则若f(某)=1/某，则f’(某)=-1/某^2。
4.对数函数求导规则若f(某) = log_a(某)，则f’(某) = 1 / [某 ln(a)]。
5.指数函数求导规则若f(某) = a^某，则f’(某) = a^某 ln(a)。
6.三角函数求导规则（1）若f(某) = sin(某)，则f’(某) = cos(某)。
导函数知识点新高考
导函数知识点新高考随着高考改革的推进，新高考将于不久后正式实施。
在新高考的数学考试中，导函数成为了其中一个重要的知识点。
导函数的概念和应用，不仅仅是为了考试，更是为了培养学生的数学思维和解决问题的能力。
本文将就导函数的相关知识点进行讨论，帮助学生更好地理解和应用导函数。
导函数的概念对于理解数学的基础概念至关重要。
在微积分中，导函数是用来描述函数变化率的一种工具。
具体而言，导函数反映了函数在某一点上的斜率，也就是函数图像在该点的切线斜率。
导函数的定义如下：若函数f(x)在点x处有导数，则称函数f(x)在点x处可导。
导函数记作f'(x)，即f'(x)=lim(x->0) (f(x + ∆x) - f(x))/∆x。
导函数的求解是通过求极限的方法进行的。
需要注意的是，导函数反映了函数的局部变化情况，而并不能完全描述函数的性质。
因此，我们在使用导函数进行问题求解时需要注意其适用范围。
导函数的计算需要使用导数的一系列基本公式。
对于常见的函数，我们有一些基本的导函数公式可以直接利用。
例如，对于常数函数f(x) = c，其导函数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其导函数为f'(x) = nx^(n-1)。
除此之外，还有一些常见的函数对应的导函数公式，如指数函数、对数函数、三角函数等。
熟练运用这些基本公式，可以帮助我们更高效地计算导函数。
导函数的物理意义是描述变化率。
在实际应用中，导函数常常与变化率、速率等概念相联系。
例如，当我们研究某一物体的运动轨迹时，可以利用导函数来描述其速度或加速度随时间的变化情况。
同样地，在经济学、生物学等领域中，导函数也可以用于描述某一变量的变化规律。
通过应用导函数，我们可以更好地理解问题，并利用数学工具进行深入的分析。
导函数的应用远不止于此，在实际问题中还常常涉及导函数的最值、曲线的凹凸性、曲线的极值、曲线的拐点等。
在解决这些问题时，我们需要通过计算导函数的零点、求导函数的符号变化、比较导函数与零的关系等方法来进行分析。
浅谈导数在解题中的工具地位
浅谈导数在解题中的工具地位函数与导数是高中数学的核心内容，而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题。
因此，可以利用导数作为工具研究函数的性质，从而解决相关问题。
下面具体讨论导数在解决与函数单调性有关的问题时的作用。
一、利用导数解决恒成立问题恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m≥f（x）（或m≤f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。
因此，利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法。
例1：已知函数二、利用导数证明不等式众所周知，函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。
因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。
例2：已知：a，b∈R，b>a>e，求证：ab>ba（e为自然对数的底）。
证：要证ab>ba只需证lnab>lnba，即证：blna-alnb>0三、用导数求函数的最值（或值域）导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式成立。
从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。
例3：求证：n∈N*，n≥3时，2n>2n+1证明：要证原式，即需证：2n-2n-1>0，n≥3时成立设f（x）=2x-2x-1（x≥3），则f'（x）=2xln2-2（x≥3），x≥3，f'（x）≥23ln3-2>0f（x）在[3，+∞）上是增函数，f（x）的最小值为f（3）=23-2×3-1=1>0所以，n∈N*，n≥3时，f（n）≥f（3）>0，即n≥3时，2n-2n-1>0成立。
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值， 应用问题 中的最值。由于导数的工具性 ， 好多问题用导 数处理显得简洁明了。 用导数研究函数的性质比用初等方法 研究要方便得多，因 ， 导数在函数中的应用作为高考命题
重点 应 引起高 度注 意。 考查 的方 向还 是利用 导数 求 函数 的极
大（ 小） 值， 求函数在连续 区间 ［ 口 ，ｂ ］ 上的最大值或最小 值， 或利用求导法解应用题 。 研究 函数的单调性或求单调区 间等， 这些 已成为高考一个新的热点问题 ， 利用导数的几何
三 发展趋 势及 应试对 策 数 学科 学具有 高度 的综 合性 、 较 强 的实践性 、 不断 的发 展性 ， 中学数学新教材打破原教材 的框架体系 ， 新增添了工 具性 、 实践性 很强 的知识 内容 。 新 教材 具有 更高 的综合 性和
灵活多样性 ， 更具有朝气与活力 。 因此 ， 把握新教材的脉搏 ， 培养深刻、严谨 、 灵活的数学思维 ， 提高数学素质 已成为燃
一
二 导 数的概 念 从数量关系而言， 导数反映函数的自变量在变化时 ， 相 应的函数值变化的快慢程度一变化率。从熟悉表达式而言 ， 研究的是 函数的增量与 自变量的增量比的极限问题 。 设函数 Ｙ ＝ （ Ｘ ） 在点 Ｘ ０ 的某个 领域 内有 定 义 ，当 自变量 在 Ｘ ｏ 处 取得增量 Ａ ｘ 。 （ 点 ｘ ＋Ａ ｘ 。 仍在该领域内 ） 时 ，相应的函数 取得 增量 Ａ ｙ ＝ 厂 （ Ｘ ０ ＋Ａｘ ）一 厂 （ Ｘ ０ ） 。如 果 Ａ Ｙ 与Ａ ｘ 之 比当 △ｘ 一０ 时的极限存在 ，则称 函数 Ｙ ＝厂 （ ｘ ）在 粕处可导 ， 并 称这个极限为函数Ｙ＿ － ｆ（ ） 在点 Ｘ ０ 处的导数 ，记为 厂 ， （ ） ，
眉 之需 。
导数的相关知识在曲线方面有着广泛的应用 ， 许多问题 都可以从曲线的切线性质出发 ， 进而解决问题。同时为研究 函数的单调区间、 最值问题 以及某些不等式的证明、 不等式 的求解和数列的求解等提供了捷径 ， 因此导数的学习在中学 阶段尤 为 重要 。 导数 作 为研究 客 观世 界物 质运 动变化 的有 力 工具 ， 在现代化建设的各个领域有着广泛的应用 ，自然对中 学数 学也有 重要 的指 导作用 ， 并 且在 中学 数学 的许 多 问题 上 起到居高临下和以简驭繁的作用。 导数是一种特殊的函数 ， 它的引出和定义始终贯穿着 函 数 的思想 ， 新课 程 中增 加 了导数 的内容 ， 随 着课程改 革 的不 断深入 ， 对 导数 知识 的考察 和要 求在 不 断地 加强 ， 并 且导 数 已经在高考数学中的地位不断上升 ， 成为分析和解决 问题不 可或 缺 的工具 ，导数 是 中学数 学 中研 究 函数 的一个 重 要 载 体 。函数类 问题涉及高中数学较 多的知识点和数学思想方 法。近几年高考中许多省份 的考题均出现了以函数为载体 ， 通过函数图像来考察学生的逻辑思维能力和探究能力。 对导 数相关 知识 的掌 握 ，有 助 于学 生更 好地 掌握 函数思 想方 法 ， 数学上的许多问题 用初等数学不能解决的 ，或者难 以解决 的， 可通过建立数学模型与函数的关系， 利用函数思想方法 ， 用导数来研究其性质 ， 充分发挥导数的工具性和实用性的作 用， 从而轻松简洁地获得解决问题的方法 ， 体现和显示新课 程的优越性 。 函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座
桥梁 。
基 于 函数 内容 的重 要性 ， 预 计在 以后 高考 试题 中所 占比 例仍将远大于在课时和知识点 中的比例 （ 约为 ２ ０ ％） ，该 内 容既可以出现在选择、填空形式出现 （ 如集合、映射 、函数 基本性质以及反函数多属此类 ） ，也可以其他形式出现 （ 多 与其他问题联系在一起 ） 。因此 ，在注意函数应用性问题 、 探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时 ， 更要注意 函数与导数的交叉题型。 导数是新教材增加的内容 ， 近几年 的高考试 题 ， 与时 俱进 ， 逐 步加 深 。有关 导数类 的高考题 主 要以函数为载体 ，考查导数的几何意义、函数的单调性 、 极
即 ：ｆ ， （ ） ：１ ａ ｙ：ｌ ｉ ｍ
Ａ ｘ Ａ ｘ ｅ０
± 二
数在研究函数的单调性、 极值等性质中的作用 ， 初步了解导
数 的概念 能 为以后进 一 步学 习微 积分 打下 基础 。 导数 及其 导数 的应用 是微 积分 学 的一个 重要 组成 部分 ， 是解决许多数学问题的强有力工具。其全面体现 了数学价 值， 既给我们解决问题提供 了一种新 的思想方法 ， 又给我们 提供 了一种重要的思维能力 ， 也为今后进一步学好微积分方 面打下了基础。因此 ， 在高中阶段为学生介绍导数及其应用 有着 极其 深刻 的意义 。
学园 Ｉ Ｘ Ｕ Ｅ Ｙ Ｕ Ａ Ｎ
２ ０ １ ４年 第 ３ ３期
导数在高考数学 中的地位
刘 雪娟 云 南省会 泽县 茚旺高级 中学
导数在高中数学 中的重要性 微积分的创立是数学发展的里程碑 ， 它的发展和广泛应 用为研究变量和函数提供了重要 的方法和手段 。 导数作为微 积分的基本概念 ， 不仅在数学领域地位非凡 ， 而且在 自然科 学的许多领域中也有着广泛的应用。 导数的概念是从很多实 际的科学问题抽象而产生的， 有着广泛的应用意义。导数是 对 函数 的 图像与性 质 的总结 与拓 展 ， 它是研 究 函数单 调性 的 重要 工 具 ， 广泛 运用 于讨论 函数 图像 的变化 趋势 及证 明不等 式等方面。 另外 ， 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点 ， 是高考的热点， 《 普通高中数学课程标准 （ 实验 ） 》中把导数 作为选修课程并要求通过大量实例 ， 理解导数概念 ， 了解导