1鼎盛-中考数学一轮复习【几何篇】12.解直角三角形

12.解直角三角形

按住ctrl 键 点击查看更多中考数学资源

知识考点：

本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。

精典例题：

【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA ＝5

2

，D 为AC 上一点，∠BDC ＝450，DC ＝6，求AB 的长。

分析：由∠C ＝900，∠BDC ＝450，可知DC ＝BC ＝6，再由sinA ＝AB BC ＝5

2

即可求出AB 的长。

解：在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠BDC ＝450

∴∠BDC ＝∠DBC ＝450 ∴DC ＝BC ＝6

在Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA ＝

AB BC ＝5

2

∴AB ＝2

5

6⨯＝15

变式：如图，在△ABC 中，∠B ＝900，C 是BD 上一点，DC ＝10，∠ADB ＝450，∠ACB ＝600，求AB 的长。

分析：设AB ＝x ，通过解Rt △ABC 和解Rt △ABD 即可。 解：设AB ＝x

∵∠B ＝900，∠ACB ＝600

∴BC ＝0

60cot ⋅x ＝x 3

3 又∵BD ＝BC ＋DC ∴103

3

+=

x x ∴3515+=x 答案：AB 的长为3515+

评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为x ，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。

【例2】如图，在△ABC 中，∠A ＝300，E 为AC 上一点，且AE ∶EC ＝3∶1，EF ⊥AB 于F ，连结FC ，则cot ∠CFB ＝（ ）

A 、

361 B 、321 C 、334 D 、34

1 分析：因为∠CFB 不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠CFB

例1图

D C

B

A 例1变式图

D C B

A

是它的一个锐角，由EF ⊥AB 联想到作EF 的平行线CD ，得到Rt △CDB 即可求解。

解：过C 作CD ∥EF 交AB 于点D

∴

3==EC

AE

FD AF ∴AF AF AE EC DF 3

1

=⋅=

由43==AC AE CD EF 可得EF EF AE AC CD 3

4

=⋅=

设EF ＝x ，由EF ⊥AF 可知△AEF 是Rt △，且∠A ＝300

∴x AE 2=，x AF 3=

∴x CD 34=

，x DF 3

1

=，CD ∥EF ，EF ⊥AB ∴CD ⊥AB ，△CFD 是直角三角形

在Rt △CFD 中，43

3

4331

cot ===∠x x

CD DF CFB

答案：D

【例3】已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝

35

2

，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝1200，试求AB 的长。

分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。

解：如图，作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则四边形ACED 是平行四边形。 ∴AD ＝CE ，DE ＝AC ，易证△ABC ≌△DCB ∴AC ＝DB ，BD ＝DE

∴△DBE 为等腰三角形 BE ＝BC ＋AD ＝18cm 分别过A 、D 作AG ⊥BC 于G ，DF ⊥BC 于F

∵∠BDE ＝∠BOC ＝1200，∴∠BDF ＝600

∴BF ＝2

1

BE ＝9cm ，AG ＝DF ＝33cm

在Rt △ABG 中，sin ∠ABG ＝

AB

AG

∴AB ＝

2

15

35

233sin ==∠ABG AG （cm ）

答：AB 的长是

2

15

cm 。 评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线等方法构造直角三角形，

例2图

例3图 G F E O D

C B A

从而把这些元素转化到直角三角形中解决。

探索与创新：

【问题】如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b 。证明：C ab S ABC sin 2

1

=∆ 证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形 ∴AC

AD

C =

sin ∴C b C AC AD sin sin =⋅=

又∵AD BC S ABC ⋅=∆21

∴C ab S ABC sin 2

1

=∆

评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理还可推出：B ac A bc C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===

∆（三角形面积公式） 跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝600，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是 。

2、在△ABC 中，∠B ＝300，tanC ＝2，AB ＝2，则BC 的长是 。

3、在△ABC 中，∠C ＝900，AB ＝2，BC ＝3，则tan

2

A

＝ 。 4、已知正方形ABCD 的两条对角线相交于O ，P 是OA 上一点，且∠CPD ＝600，则PO ∶AO ＝ 。

第1题图

D C B

A

第5题图

D C

B A

5、如图，在△ABC 中，∠B ＝600，∠BAC ＝750，BC 边上的高AD ＝3，则BC ＝ 。

6、等腰三角形的周长为32+

，腰长为1，则底角等于 。

二、选择题：

1、在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是（ ）

A 、2

B 、

22 C 、1 D 、2

1 2、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是3

2

，则AB AC 的值是

（ ） A 、

52 B 、53 C 、25 D 、3

2

问题图

D C

B A