2020届安徽省“江南十校”高三下学期5月综合素质检测数学(文)试题(含答案)

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2020届安徽省江淮十校高三下学期5月第三次联考数学(文)试题(解析版)

2020届安徽省江淮十校高三下学期5月第三次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21,B x x t t Z ==+∈，则AB =（） A ．1,0,1,2 B ．{}1,1-C ．{}21,x x t t Z =+∈D ．∅【答案】B【解析】利用交集的运算求解.【详解】因为集合B 为奇数集，所以{}1,1A B =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.2．复数z满足1222z ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则，求得1z =-，从而可得结果.【详解】因为1221z ⎛⎫- ⎪===-⎝⎭⎝⎭，对应点的坐标为(1,-，在第三象限，故选:C ．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知双曲线()222105x y a a -=>的左焦点F ，A 为右顶点，M 在双曲线上，若FM AF ⊥，且离心率为32，则AMF 的面积为（） A ．254 BC ．2D ．1【答案】A【解析】根据32e =，解得2a =，3c =，得到左焦点F ，右顶点A ，M 的坐标，然后由面积公式求解.【详解】因为32e =，= 解得2a =，3c =，则左焦点()3,0F -，()2,0A ，52M y =，所以()152523224AMF S =⨯+⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，离心率、渐近线方程，点到直线的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()212n S n an =--，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该数列的通项公式为（）A ．72n a n =-B ．61n a n =-C ．23n a n =+D ．6n a n =- 【答案】D 【解析】根据1,2,1n n n nS S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，及等比中项的性质计算可得；【详解】解：因为()212n S n an =--所以当2n ≥时，()11212n n n a S S n a -=-=---．由2a ，4a ，5a 成等比数列，则()()()2739a a a -=--，解得11a =，此时()516n a n n =--=-；当1n =时，()21111152n a S ==--=满足上式，所以6n a n =-，故选：D ．【点睛】本题考查等差与等比数列的定义，等差数列的前n 项和与通项公式，属于中档题． 5．在盲拼字卡游戏中，若拼字人不能感知和触摸出卡片上的汉字，则用标有汉字“一、一、心、意”的卡片能正确拼出成语“一心一意”的概率为（）A ．13B ．12C ．16D ．112【答案】D【解析】根据列举法列举出所有的基本事件，进而可求出结果.【详解】用汉字“一、一、心、意”可以构成12个等可能基本事件：一一心意、一一意心、一心一意、一意一心、心一一意，意一一心、一心意一、一意心一、意一心一、心一意一、心意一一、意心一一，则正确拼出成语“一心一意”的概率为112. 故选：D ．【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型. 6．设x ，y 满足约束条件0220x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．4B ．2-C ．2D ．0【答案】A【解析】画出可行域，由2z x y =+可得2y x z =-+，当动直线经过点A 时，故目标函数的最大值.【详解】作出可行域如图所示，由2z x y =+知，2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．结合可行域可知：当动直线经过点A 时，由022y x y =⎧⎨+=⎩，解得()2,0A ．故目标函数的最大值2204z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题目. 7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A ．16B ．32C ．163D ．803【答案】D 【解析】先根据三视图还原几何图，再利用多面体的体积公式求出结果即可.【详解】解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.所以21482ABC S =⨯=△；180488233V =⨯-⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查三视图的知识点，考查空间想象能力，属于基础题. 8．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正弦值为310，若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】D【解析】31010，则两直角边的长分别为3，1，从而求得大正方形的面积和4个三角形的面积，然后由几何概型的面积类型求解.【详解】设直角三角形中的已知锐角为θ，则310sin θ=， 10，则两直角边的长分别为3，1．则大正方形的面积是10，4个三角形的面积是113462⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，所以小正方形的面积是4，所以点取自小正方形内的概率是42105P ==，故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．设1F ，2F 是椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若在椭圆C 上存在点P 使得1212PF PF PF PF +=-，则椭圆C 的离心率取值范围为（）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由1212PF PF PF PF +=-，转化为在点P 使得12PF PF ⊥，进而可得结果. 【详解】由1212PF PF PF PF +=-知，即存在点P 使得12PF PF ⊥．记短轴端点为顶点和焦点1F ，2F 所对应的角为2θ，因此902180θ︒≤<︒，即45θ90︒≤<︒．而sin ,12e θ⎫=∈⎪⎪⎣⎭．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量的加减运算和椭圆的几何性质，考查了数形结合思想和计算能力，属于基础题目.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1111 (352019)++++，则判断框内应填入的条件是（）A ．1008?i >B ．1008?i ≤C ．1010?i ≤D ．1009?i >【答案】C【解析】框图首先给累加变量S 赋值为0，给循环变量i 赋值1，再一步一步往下执行，即可得答案；【详解】框图首先给累加变量S 赋值为0，给循环变量i 赋值1．判断框中的条件满足，执行01S =+，112i =+=；判断框中的条件满足，执行1013S =++，213i =+=；判断框中的条件满足，执行110135S =+++，314i =+=； …依次类推，令201921i =-，知1010i =，可得1010i =，判断框中的条件满足，执行1111352019++++，1011i =，此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是1010?i ≤．故选：C ．【点睛】本题考查算法中程序框图补足条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.11．已知函数()22cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的是（）A ．周期为2πB ．将()f x 图象向右平移6π个单位，所得图象关于y 轴对称 C ．对称中心为(),0122k k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈Z D ．将()f x 图象向左平移12π个单位可得到33sin 222y x =+的图象【答案】B 【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：()22cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 21cos 2332222x x ππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯+ 33cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()33cos 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其最小正周期22T ππ==，故A 错；把函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，得到函数33cos 2622y f x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则该函数偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 正确；令()232x k k πππ+=+∈Z ，解得()122k x k ππ=+∈Z ，对称中心为()3,1222k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 故C 错；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位后，得到函数33sin 21222y f x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以选项D 错误，故选:B ．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质的应用，属于中档题． 12．已知点P 在ABC 的边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=，且ABC 的面积为532，则sin PAB ∠=（）A ．3B ．3C ．57D ．357 【答案】D【解析】在APC △中，根据3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=，利用余弦定理得到AC PC AP ==，即APC △为等边三角形，再根据ABC 的面积为53，解得5BC =，从而得到3BP =，然后作AD BC ⊥交BC 于D ，在Rt △ABD 中利用勾股定理求得AB ，然后在APB △中，由余弦定理求解.【详解】在APC △中，因为3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=，设AC x =，则4PC x =，由余弦定理得：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得2x =，则AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，从而23APB ∠=π；因为153sin 232ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得5BC =，则3BP =，如图所示：作AD BC ⊥交BC 于D ，在等边APC △中，3AD =1PD =，在Rt △ABD 中AB =由余弦定理得222cos238AB AP BP PAB AB AP +-∠===⋅，所以sin PAB ∠=38. 故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,3a =-，()2,b m =，()1,1c =-，若()a b c +⊥，则m =______．【答案】6【解析】根据题意，得到()3,3a b m +=-，根据向量垂直的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为()1,3a =-，()2,b m =，()1,1c =-，所以()3,3a b m +=-，由()a b c +⊥知()330a b c m +⋅=-+-=，解得6m =，故答案为：6.【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 14．定义在R 上的奇函数()f x ，周期为5，且满足()13f =，()26f =，则()()()201820192020f f f -+=______．【答案】3-【解析】根据()f x 为奇函数，得到()00f =，再由周期为5，()13f =，()26f =求解.【详解】因为()f x 为奇函数，则()00f =，又因为周期为5，且满足()13f =，()26f =，所以()()()201820192020f f f -+，()()()404524045140450f f f =⨯--⨯-+⨯+，()()()()()210213f f f f f =---+=-+=-．故答案为：-3 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题. 15．若函数()32133f x x x x a =+-+的图象与直线2y =有3个不同交点，则实数a 的取值范围为______．【答案】1173a -<<【解析】先令()321323g x x x x a =+-+-，根据题意，得到函数()g x 有3个不同零点，对函数()g x 求导，根据导数的方法判定函数单调性，确定函数极值以及大致范围，即可求出结果. 【详解】因为函数()32133f x x x x a =+-+的图象与直线2y =有3个不同交点，令()321323g x x x x a =+-+-，则函数()g x 有3个不同零点，因为()()()22313g x x x x x '=+-=-+．由()0g x '>得1x >或3x <-；由()0g x '<得31x -<<，所以()g x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因此极大值为()37g a -=+，极小值为()1311g a =-；而x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()g x →+∞，故只需701103a a +>⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得1173a -<<. 故答案为：1173a -<<. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，熟记导数的方法判定函数单调性以及最值等即可，属于常考题型.16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD ⊥平面ABC ，6AD =，23AB =，则该球的表面积为______．【答案】84π【解析】设ABC 外接圆的圆心为E ，球心为O ，则OE ⊥平面ABC ，又由AD ⊥平面ABC ，得出//OE AD ，过点O 作OH AD ⊥于H ，得点H 是AD 的中点，由勾股定理可求得外接球的半径，从而得出答案. 【详解】由题意，设ABC 外接圆的圆心为E ，球心为O ，则OE ⊥平面ABC ，又因为AD ⊥平面ABC ，所以//OE AD ，过点O 作OH AD ⊥于H ，因为OD OA =，所以点H 是AD 的中点，又6AD =，所以3DH =，在ABC 中，120BAC ∠=︒，23AB AC ==，23AE OH =∴=，故()222223321DO OH DH =+=+=，该球的表面积为2484S R ππ==．故答案为：84π.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积或体积问题，常可以先确定球心的位置，再求出球的半径的大小，也可以根据几何体的特点采用割补的方法把不规则的几何体补充规则的几何体，从而快速确定球的半径，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a ，满足12a =，且1210n n a a +-+=．（Ⅰ）求证：数列{}1n a -为等比数列；（Ⅱ）设()2log 1n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2222nn n n S +-=+．【解析】（Ⅰ）将1210n n a a +-+=，变形为()1121n n a a +-=-，再利用等比数列的定义证明.（Ⅱ）由（Ⅰ）得到()112112n n n b n n --=++-=+，然后利用分组求和法求解.【详解】（Ⅰ）由1210n n a a +-+=，得()1121n n a a +-=-．而1110a -=≠．故数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112n n a --=，即121n n a -=+，则()112112n n n b n n --=++-=+，所以()()011123222n n S n -=+++++++，()()21121222122nn n n n n ⨯-++-=+=+-．【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及分组求和法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．在平行四边形ABC D '中，6AD =，3AB =，60DAB ∠=︒，沿BD 将BC D '△折起到BCD ，使得AB CD ⊥．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若点P 是三角形ABC 区域内一动点，求DP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33⎤⎥⎣⎦．【解析】（Ⅰ）通过余弦定理计算出BD ，由勾股定理可得AB BD ⊥，由CD AB ⊥结合线面垂直判定定理即可得结果；（Ⅱ）先得平面ABC ⊥平面BCD ，作DE BC ⊥交BC 于点E ，可得最小值，点D 到点A 的距离最大可得最大值，进而得结果. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABD △中，由余弦定理知：222136236272BD =+-⨯⨯⨯=，从而222AD AB BD =+，因此AB BD ⊥，则CD BD ⊥．又CD AB ⊥，而ABBD B =，所以CD ⊥平面ABD ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD ，AB 平面ABC ，从而平面ABC ⊥平面BCD ，作DE BC ⊥交BC 于点E ，则DE ⊥平面ABC ，则DE 为点D 到平面ABC 的距离，即为最小值，故min 33333DP DE ⨯===．而点D 到点A 的距离最大，故max 6DP DA ==因此DP 的取值范围是33⎤⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，点到面的距离问题，证得线面垂直是解题的关键，属于中档题.19．2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶，接触等途径．为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，动员居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送（配送费由政府补贴）．快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”．这两家公司“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送一件提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：（Ⅰ）求乙公司的快递员一日工资y （单位：元）与送件数n 的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（1）记甲公司的“快递员”日工资为X （单位：元），求X 的平均值；（2）小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【答案】（Ⅰ）120,08310710,83n y n n ≤≤⎧=⎨->⎩；（Ⅱ）（1）156.8元；（2）小王应当到乙公司应聘“快递员”工作，理由见解析．【解析】（Ⅰ）对n 分成083n ≤≤、83n >两种情况，结合题目所给条件求得乙公司的快递员一日工资y （单位：元）与送件数n 的函数关系.（Ⅱ）（1）根据平均数的计算方法计算出甲公司的“快递员”日工资X 的平均值. （2）根据平均数的计算方法计算出乙公司的“快递员”日工资Y 的平均值，Y X >，由此可知小王应当到乙公司应聘“快递员”工作. 【详解】（Ⅰ）由题意：当083n ≤≤时，120y =元；当83n >时，()120831010710y n n =+-⨯=-．∴乙公司的快递员一日工资y （单位：元）与送件数n 的函数关系为：120,08310710,83n y n n ≤≤⎧=⎨->⎩．（Ⅱ）（1）X 的所有可能取值为152，154，156，158，160．()11521015420156101584016020156.8100X =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（2）设乙公司的日工资为Y ，()11201000101010302050307030163100Y =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）由于到甲公司的日工资的平均值比乙公司的日工资的平均数低，所以小王应当到乙公司应聘“快递员”工作．【点睛】本小题主要考查分段函数模型的应用，考查平均值的计算，属于中档题.20．已知曲线C 上的任意一点P 到定点()1,0F 的距离比它到定直线2x =-的距离少1．（Ⅰ）求曲线C 的方程．（Ⅱ）已知()1,0A -，过点F 作直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．求证：直线AM ，AN 关于x 轴对称．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）根据曲线C 上的任意一点P 到定点()1,0F 的距离比它到定直线2x =-的距离少1．即点P 到定点()1,0F 的距离和它到定直线1x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求解.（Ⅱ）设:1l x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理，论证 0AM AN k k +=即可. 【详解】（Ⅰ）因为曲线C 上的任意一点P 到定点()1,0F 的距离比它到定直线2x =-的距离少1．所以点P 到定点()1,0F 的距离和它到定直线1x =-的距离相等所以曲线C 的轨迹为抛物线且2p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（Ⅱ）由于直线l 不与x 轴重合，可设:1l x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理得2440y my --=，因此124y y m +=，124y y =-．因为121212121122AM AN y y y y k k x x my my +=+=+++++，()()()()()12121212228802222my y y y m mmy my my my ++-+===++++则AM AN k k =-，即FAM FAN ∠=∠，故直线AM ，AN 关于x 轴对称．【点睛】本题主要考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系以及对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.21．已知函数()()2xf x x a e ax a =+--．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程；（Ⅱ）若2a ≥-时，证明：当0x ≥时，()0f x ≥．【答案】（Ⅰ）0x ey +=；（Ⅱ）证明见解析．【解析】()()22xf x x x a e a '=++-（Ⅰ）由()()2xf x x a e ax a =+--，结合0a =，得到()2xf x x e =，()()22x f x x x e '=+，进而求得()11f e -=，()11k f e'=-=-，写出切线方程. （Ⅱ）由()()2xf x x a e ax a =+--二次求导，根据2a ≥-，得到函数()f x 在[)0,+∞上的单调性求解. 【详解】()()22x f x x x a e a '=++-（Ⅰ）当0a =时，()2xf x x e =，()()22xf x x x e '=+．()11f e -=，故切点为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭切线斜率()11k f e'=-=-所以切线方程为()111y x e e-=-+，即在()()1,1f --处的切线方程为0x ey +=（Ⅱ）令函数()()()22xg x f x x x a e a '==++-，则()()242xg x x a x e '=+++当2a ≥-时，()()240g x x x '≥+≥，知()g x 在[)0,+∞上单调递增，因此()()min 00g x g ==，即()0f x '≥ 从而函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f ≥=故当2a ≥-时，对任意0x ≥时，恒有()0f x ≥．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与不等式证明，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为13cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和的2C 直角坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 交于M ,N 两点,求1C M MN ⋅.【答案】（1）1C 的普通方程为()2219x y -+=,2C 的直角坐标方程为20x y +-=；（2）-17.【解析】(1)根据22sin cos 1αα+=消去α即可. 展开cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再根据cos ,sin x y ρθρθ==化简即可.(2)根据垂径定理求出弦长MN ,再结合平面向量的数量积运算求解即可. 【详解】（1）由13cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩得13cos 3sin x y αα-=⎧⎨=⎩,消除参数α得1C 的普通方程为()2219x y -+=；展开cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,有cos sin 22ρθρθ+=从而2C 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由（1）知()11,0C ,则1C 到直线2C的距离2d ==从而MN ==. 故11172MN C M MN MC MN MN ⋅=-⋅=-⨯=-.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的互化,同时也考查了直线与圆结合平面向量求数量积的问题.属于中档题. 23．已知函数()1f x x a x =++-，a R ∈．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤；（2）对任意()0,3m ∈．关于x 的不等式()12f x m m<++总有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()5,3-．【解析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案. （2）由题意可知()min min 12f x m m ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，结合1224m m ++≥=与()()()11f x x a x a ≥+--=+，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式()4f x ≤即为214x x ++-≤，则()()2,214,x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或()21,214,x x x -<≤⎧⎨+--≤⎩或()1,214,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得522x -≤≤-或21x -<≤或312x <≤，故不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）对任意()0,3m ∈，关于x 的不等式()12f x m m<++总有解()min min12f x m m ⎛⎫⇔<++ ⎪⎝⎭而1224y m m =++≥=，当且仅当1=m m ，即1m =时取最小值，又()()()11f x x a x a ≥+--=+（当且仅当()()10x a x +-≤时取等号）故只需14a +<，得53a -<<，即实数a 的取值范围为()5,3-．【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.。

2020江南十校高三联考数学(文)试题及答案

2020年安徽省“江南十校”高三联考数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为（） A ．35 B ．45 C ．35i D ．45i2、设集合{}ln ,1y y x x A ==>，集合{}24x y x B ==-，则()RAB =（）A ．∅B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞3、设命题:p ()3,1a =，(),2b m =，且//a b ；命题:q 关于x 的函数()255x y m m a =--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（） A ．0 B ．1 C ．212+D ．12+ 5、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（） A ．18 B ．28 C ．32 D ．1446、若函数21x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点(),m n P ，且过点()Q 1,m n -的直线l 被圆C:222270x y x y ++--=截得的弦长为32，则直线l 的斜率为（） A ．1-或7- B ．7-或43 C ．0或43D ．0或1- 7、已知点()0,1A 、()2,3B -、()C 1,2-、()D 1,5，则向量C A 在D B 方向上的投影为（） AB．D． 8、已知函数()1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若对任意R x ∈，都有()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．29、已知函数()()()()12010x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =++在R 上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞ 10、在正方体1111CD C D AB -A B 中，①经过点A 垂直于平面1D A B 的直线也垂直于平面11D C B ； ②设O 为C A 和D B 的交点，则异面直线1AB 与1C O 所成的角是6π； ③若正方体的棱长为2，则经过棱11D C 、11C B 、1BB中点的正方体的截面面积为④若点P 是正方形CD AB 内（包括边界）的动点，点Q 在对角线1C A 上，且满足1Q C P ⊥A ，Q PA =P ，则点P 的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在R x ∈0=”的否定是． 12、()30log 2sin 330213++= ．13、若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则21y x +的取值范围为．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O →()11,0A →()21,1A -→()30,1A -→()41,1A --→()51,0A -→()61,1A -→()70,1A →()81,1A →()92,1A →⋅⋅⋅→()122,2A -→⋅⋅⋅→()162,2A --→⋅⋅⋅→()202,2A -→⋅⋅⋅→()253,2A →⋅⋅⋅，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为．15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ．在下列曲线中，“远离”直线:l 2y x =的曲线有．（写出所有符合条件的曲线C 的编号）①曲线C:250x y -+=；②曲线C:2924y x x =-+-；③曲线C:()2251x y +-=；④曲线C:1x y e =+； ⑤曲线C:ln 2y x =-．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 16f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()I 求函数()f x 的最小正周期；()II 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，3a =，C 3S ∆AB =求22b c +的值．17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．()I 求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；()II 根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；()III 现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 的底面圆半径为2，CD AB 为经过圆柱轴1OO 的截面，点P 在AB 上且13AP =APB ，Q 为D P 上任意一点．()I 求证：Q A ⊥PB ；()II 若直线D P 与面CD AB 所成的角为30，求圆柱1OO 的体积．20、（本小题满分13分）已知函数()()1ln 1a x f x a x x +=-+，其中0a ≥．()I 当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；()II 讨论()f x 在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，它的左焦点为()F ,0c -，直线1:l y x c =-与椭圆C 交于A ，B 两点，F ∆AB 的周长为3a ．()I 求椭圆C 的方程；()II 若点P 是直线2:l 3y x c =-上的一个动点，过点P 作椭圆C 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上一点()00,x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=）参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i i i i i ++==+--+，故选B 2.C ．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂> 故选C3.A ．命题:320,6p m m ⨯-==；命题2:55116q m m m --==-由得或，故选A4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，故选A 5.C ．由等比数列性质可知363961291512,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=, 故选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l 的距离d ==2870k k ∴++=，17,k =--或故选A7.D ．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC 在BD 方向上的投影为13AC BD BD -⨯==13=-,故选D 8. D ．1()sin cos cos 22f x a x a x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++ ()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称， ()(0),22g g a π∴=∴=，故选D9B ．()0()g x f x x a =⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=，故把y =[)0,1上的部分向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，故选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D B C BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，则过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN ，26S ==，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ A C ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q 为1A C 上定点，又PA PQ =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；故选D11.对任意x R ∈0≠．12.52 原式15sin(30)12322=-++=-+=．13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21y x +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21yx +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1以O 为中心，边长为4的正方形上共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2以O 为中心，边长为6的正方形上共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n 个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++ (88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-． 15.②③⑤ 对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的距离91d ==>，符合题意；对③：圆心()0,5C到直线l的距离d ==∴圆C 上的点到l 距离的最小11>，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32ln 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C的距离d ==，()ln 41,2∈，()3ln 41,2∴-∈，2,1d >∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x=， 0'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴==>符合题意。

2024 届安徽省“江南十校”联考数学

3．已知向量a,b 满足(1,)(3,1)m +=-=，a b a b ．若a b ，则实数m =（）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【解析】由于(1,)(3,1)m +=-=，a b a b ，所以11(2,),(1,)22m m +-==-a b ，又因为a b ，所以112022m m -+⋅+=，解得13m =．【答案】B ．4．已知函数π()3sin(2)(||2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ为A ．π6B ．π6-C ．π3D ．3π-【解析】将函数()3sin(2)(||0)f x x ϕϕ=+<的图像向右平移6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()sin(32)g x x πϕ=-+，因为()g x 是偶函数，所以2023k ππϕπ⨯-+=+，k Z ∈，即56k πϕπ=+，k Z ∈，又||2πϕ<，令1k =-，可得6πϕ=-．【答案】B ．5．酒驾严重危害交通安全．为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg ∼为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2/mg ml ．假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（精确到0.001．参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．7.963小时B ．8.005小时C ．8.022小时D ．8.105小时【解析】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg313lg 213lg 2x +>=--即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >【答案】C6．已知函数()1ln f x x x =-在点(1,1)-处的切线与曲线2(1)2y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为A ．{1,9}B ．{01,9}，C ．{1,9}--D ．{0,1,9}--【解析】由211'()f x x x =+得'(1)2f =所以切线方程是2(1)123y x x =--=-①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点；②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--即2(3)+1=0ax a x +-由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=得19a a ==或综上：019a a a ===或或【答案】B7．已知圆228120C x y x +-+=:，点M ．过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,,A B 则MA MB + 的取值范围为A ．)2-B ．(⎤⎦C ．()4-D ．(6⎤⎦【解析】设AB 的中点为点P ，则2MA MB MP += ，由垂径定理知CP OP ⊥，则可得点P 的轨迹E 为以OC 为直径的圆（圆C 内部的圆弧）其方程为22:(2)4(34)E x y x -+=<≤，则可得点M 到轨迹E 上点P 的距离取值范围为(⎤⎦，从而2MA MB MP += 的取值范围为(6⎤⎦．【答案】D 8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111n n a S n a +=+=，，11n n b a =+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为A ．1B ．32C ．76D ．2【解析】当1n =时，2112a a =+=当2n ≥时，11n n a S n -=+-所以11(1)n n n n a a S n S n +--=+-+-，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+则{1},2n a n +≥为等比数列，21, 1321,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩即2n ≥时，2132n na -+=⋅所以2211117117(1)23226326n n n T --=++++=-⨯< ，得76M ≥【答案】C二、多项选择题9．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重．则(第9题图1)(第9题图2)A ．该地区2023年5月有严重污染天气．B ．该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中．C ．该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中．D ．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月．【解析】对于A 选项可以从图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值得到判断（也可以通过异常值结合观察5月份的平均值高于中位数辅助判断）；对于B ，C 选项，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中；对于D 选项，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月．【答案】ACD10．已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴．经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则下列说法成立的是A ．2PQ BF QF=⋅B ．2PQ BC OQ =⋅C ．PF MF =D ．FN l ⊥【解析】对于A ，B 选项，设点(,)P x y ，而PQ =，而,2p BF p QF x ==-，2p BF QF p x ⋅=-，则A 选项错误，又2,BC p OQ x ==，则B 选项正确；对于C 选项，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而PF MF =；对于D 选项，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合PF MF =，可得菱形MFPH ，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥．【答案】BCD11．已知点S,A,B,C 均在半径为5的球面上，ABC ∆是边长为23的等边三角形，SA BC ⊥，32SA=，则三棱锥S-ABC 的体积可以为（）A ．33B ．335C ．33D ．51【解析】方法一：如图，设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，连接1,,AO SO AO ，延长1AO 交BC 于D ，连接SD ，则D 是BC 中点，所以,BC AD ⊥又BC SA ⊥，所以BC SAD ⊥平面，又因为BC ABC ⊂平面，所以SAD ABC ⊥平面平面，过S 作AD 的垂线，垂足为G ，则SG ABC ⊥平面，在1Rt AOO 中，1541OO =-=，设,AG d SG h ==,过O 作SG 的垂线，垂足为E ．若1A O 、在SG 的同侧，则在Rt SAG 中有2218d h +=，在Rt SOE 中有22(2)(1)5d h -+-=，联立得35215h d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33h d =⎧⎨=⎩，所以三棱锥S-ABC 的体积为335或33；若1A O ，在SG 的异侧，同理可解得35215h d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33h d =⎧⎨=⎩，与2d <矛盾（舍去）．【答案】BC ．方法二：设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，连接AO 并延长交大圆于F ，过S 作AD 的垂线，垂直为G ，可证得SG ABC⊥面（1）若点S 在直线AF 的上方，设,SAF FAG αβ∠=∠=，则11tan ,tan 32αβ==所以tan tan tan tan()11tan tan SAG αβαβαβ+∠=+==-，4SAG π∠=可得2sin 3232SG AS SAG =⋅∠=⋅=11333ABC V S SG ∴=⋅=（2）若点S 在直线AF 的下方，则11tan ,tan 32αβ==所以tan tan 1tan tan()1tan tan 7SAG βαβααβ-∠=-==+，2sin 10SAG ∠=可得23sin 105SG AS SAG =⋅∠==213ABC V S SG ∴=⋅= BC ．【答案】BC ．三、填空题12．从0,2,4,6中任意取1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数．在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为．【解析】若0在，则三位数有122312C A =；若0不在，则三位数有12333354C C A =．所以没有重复数字的三位数有66个，其中偶数的个数是124324C A =个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是2446611=【答案】411．13．若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023=f ______．【解析】由()2f x +为偶函数，得()2(2)f x f x -=+，由()15y g x =+-是奇函数，得()15(1)5g x g x +-=--+，即(2)()10g x g x -+=由()()22f x g x -+=，得()()22f xg x -=+相加得：(2)()6()f x f x -+=- *用2x +代换x 得(2)()6f x f x ++=-从而(4)(2)6f x f x +++=-故()4()f x f x +=所以4是()y f x =的一个周期故()2023=(3)(1)f f f =-结合() *式得(3)(1)3f f =-=-【答案】3-．14．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线2222:1x y E a b -=(00)a b >>，的右焦点F 的直线在第一、第二象限交E 的两渐近线分别于,M N 两点,且OM MN ⊥．若23OM MN ON +-=，则双曲线E 的离心率为．【解析】如图，设,2FOM MON αθ∠=∠=，因为OM MN ⊥，易知FM b =，tan b a α=，所以OM a =；又23OM MN ON a +-=，所以13MN ON a -=-，在直角OMN ∆中，利用勾股定理可得43MN a =，所以4tan 23θ=，求得1tan 2θ=（负值舍去），也即1tan 2tan b a αθ===四、解答题15．已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C sin cos A a C b c +=+．(1)求A ;(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15,30︒︒，旋转后相交于点D (如图所示)，且30DBC ∠=︒，求AD ．15.【解析】sin cos A a C b c+=+sin sin cos sin sin C A A C B C+=+又因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C=+=+sin cos sin sin C A A C C=+······································································（3分）由于sin 0C >cos 1A A =+，即1sin()62A π-=，又5666A πππ-<-<，则66A ππ-=，因此3A π=．······················································（6分）（2）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC ABC BAC =∠=∠在BDC ∆中，由于45BDC ︒∠=由正弦定理得sin sin BC CD DBC BDC=∠=∠·························································（10分）于是，在ACD ∆中，由余弦定理得：3AD =················（13分）16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,PB AB ==2AD PD ==,60BAD ∠= .（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：由余弦定理得2212212cos603BD =+-⋅⋅︒=所以222AD AB BD =+，222PD PB BD =+因此AB BD ⊥，PB BD ⊥又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB所以BD ⊥面PAB又因为BD ⊂平面ABCD故平面PAB ⊥平面ABCD ·····················································································（6分）（2）由于AB BD ⊥，PB BD⊥所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即PBA ∠0120=·······································（7分）在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F由平面PAB ⊥平面ABCD ，得BF ⊥平面ABCD以B 为坐标原点，,BA BD BF ，为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-则13(0,0,0),(0,3,0),(1,3,0)(,0,)22B DC P --，····················································（9分）设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，由于(1,3,0),BC =- 13(,0,)22BP =- 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即3013022x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，则1y z ==所以n = ···································································································（11分）设直线CE 与平面PBC 所成角为θ25(,)3636CE CP PE CP PD =+=+=- ||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n θ⋅∴=<>=⋅2335=因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5．························································（15分）17．某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1)；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱中产品均不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如果抽检的第1件产品为不合格，则拒绝整箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000元；整箱产品被拒绝，则亏损89元，求该100箱产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827,P Z μσμσ-+≈≤≤(22)0.9545,P Z μσμσ-+≈≤≤(33)0.9973.P Z μσμσ-+≈≤≤【解析】（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2(0,2)X N ，(4)(22)0.9545≤=-+≈P x P Z μσμσ≤≤，因此估计这批产品的合格率为95.45%．因此样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品．···········································(6分)（2）方法一：设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112()A A A ⋃．因此1121121121(())()()()(()P A A A P A P A A P A P A P A A ⋃=+=+59559710010099990=+⨯=．·····················································································(10分)设100箱产品通过检验的箱数为Z ，则893(100,)990Z B ．所以100箱利润1000(89)(100)10898900W Z Z Z =+--=-因此平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Z E Z =-=-=⨯⨯-89330=（元）．·················································································(15分)方法二：记一个整箱产品被拒绝为事件A ，则295210097()1990C P A C =-=···································(10分)设整箱产品的利润为随机变量ξ，则97(89)990P ξ=-=，97893(1000)1990990P ξ==-=所以97893884367()891000990990990E ξ=-⨯+⨯=设100箱该产品的利润为随机变量X ，则100X ξ=所以()(100)100()89330E X E E ξξ===（元）．··························································(15分)18．已知矩形ABCD中，AB BC ==，,,,E F G H 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，如图建立平面直角坐标系．直线,HF BC 上的动点,R S 满足,()OR OF CS CF λλλ==∈R ．(1)求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；(2)当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 的轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q ．设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN ∆面积的最大值．【解析】（1）设点P x y (,)，0R R x (,)，S S y )由OR OF λ=得R x =，即0R ,)由CS CF λ=得1S y )λ=-，即1S ))λ-当0λ≠时，直线ER y x :=-①直线GS y:=+②由①②消去参数λ得213y y x(+-=-即221062x y x()+=≠；当0λ=时，得交点0P(；综上：直线ER与直线GS交点P的轨迹方程：221062x y((,+=不含点···························(6分)（2）当3λ=-时，点20R(,)-，过点R的直线m可设为2x ty t(=-≠代入22162x y+=得22236ty y()-+=即22(3)420t y ty+--=设1112(,),(,)M x y N x y则12122242,33ty y y yt t-+==++由题得2(3,)Q y-则直线1221:(3)3y yMQ y y xx--=++所以令0y=得212111212(3)33ky x y x yxy y y y-+--=-=--·················································································(8分)又因为11121222x ty ty y y y,()=-=-+，代入上式得：122121112211212121()23(2)3232ky y y yy ty y ty y y yxy y y y y y++-----+-===---1212555222y yy y-+==--所以直线MQ过定点5(,0)2K-·······················································································(12分)由于121212115122224KMNS KR y y y y y y∆=-=-+-=-而12y y-=·····································(14分)令21(1)n t n=+≥12y y-=≤当且仅当2n =，也即1t =±等号成立此时4KMN S ∆=所以KMN ∆面积的最大值为4····················································································(17分)19．已知函数()(),x f x x a e x a R =--∈，()f x '是()f x 的导函数.（1）证明：()f x '在(,)-∞+∞上有唯一零点0x ；（2）设函数221()(1)(1)2x g x x ax e x x =-+-++.①当4,2e a -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x 的单调区间；②当4(,2e a -∈-∞时，讨论函数()g x 零点的个数.【解析】（1）()=(1)1xf x x a e '-+-由()0f x '=得，110x x a e -+-=令1()1xh x x a e =-+-，则1()10x h x e '=+>所以()h x 为R 上的增函数又11(1)0a h a e --=-<若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20a h a e ++=->若0a <，由于1a a ->-且11()12(120a ah a a a e e ---=--=-->综上：存在唯一零点0(,)x ∈-∞+∞，使得0()0h x =即()f x '在(,)-∞+∞上有唯一零点0x ．···································································(5分)（2）()(1)(1)(1)x g x x x a e x '=+-+-+1(1)(1)x x x x a e e =+-+-①由（1）知，1()1xh x x a e =-+-有唯一零点0x 且为增函数，所以()0g x '=的根为01,x -．又434(1)022e e h a e e ---=--≤--=-<，则01x >-所以由()0g x '>得01x x x <->或；由()0g x '>得01x x -<<所以函数()g x 的递增区间是0(,1),(,)x -∞-+∞；递减区间是0(1,)x -······································(9分)②由(0)0g =得0是函数()g x 的一个零点．（ⅰ）若42e e a --<<，由①同理可得01x >-当(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，则()g x 单调递增当0(1,)x x ∈-时，()0g x '<，则()g x 单调递减当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增又因为24()=(1)02a e g x g e+--=<极大值所以()g x 仅有一个零点0；（ⅱ）若a e =-，则(1)110h e e -=-++-=，即01x =-则()0g x '≥，所以(,)()x g x ∈-∞+∞时，单调递增.所以()g x 仅有一个零点0；（ⅲ）若a e <-，则(1)0h a e -=-->，所以01x <-当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增当0(,1)x x ∈-时，()0g x '<，则()g x 单调递减当(1,)x ∈-+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增所以022000001()=()(1)(1)2x g x g x x ax e x x =-+-++极大值02200001(1)(1)2x x ex e x x <++-++因为01x <-，所以22001111(1)(1)10222x x ++>-+-+=>当20010x ex ++<时，02200001(1)(1)02x x ex e x x ++-++<当20010x ex ++>时，0222200000000111(1)(1)(1)(1)22x x ex e x x x ex x x e ++-++<++-++2200000111(1)1(1)02222e x ex x x x <++---=--<所以()g x 仅有一个零点0．综上：当4(,2e a -∈-∞时，函数()g x 仅有一个零点0．·····················································(17分)。

安徽省江南十校2020届高三下学期综合素质检测(4月) 数学(文) Word版含答案

绝密★启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x＋3>1}，B＝{x|2x－1<1}，则A∩B＝A.(－∞，－1)B.(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)2.已知复数z＝i(2＋i＋i2)(i为虚数单位)，则z＝A.－1－iB.1＋iC.1－iD.－1＋i3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米4.函数f(x)＝cos22x xx x-+在[－2π，2π]上的图象大致为5.在2020年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为1，2，3，…，500，从中用系统抽样(等距抽样)的方法抽取20袋进行检测，如果编号为69的食品被抽到，则下列4个编号的食品中被抽到的是A.9号B.159号C.354号D.469号6.已知cos 5π＝a ，则sin 35π＝ A.a 21a - B.－a 21a - C.2a 21a - D.－2a 21a -7.已知a ＝log 32，b ＝ln3，c ＝2－0.99，则a ，b ，c 的大小关系为A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a8.执行下面的程序框图，则输出S 的值为A.112-B.2360C.1120D.43609.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。

2024安徽“江南十校”联考语文试题及答案

2024届安徽“江南十校”联考语文试题及答案安徽省江南十校2024届高三联考语文试题一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，18分)阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：中华文明探源工程对中华文明的起源、形成、发展的历史脉络，对中华文明多元一体格局的形成和发展过程，对中华文明的特点及其形成原因等，都有了较为清晰的认识。

同时，工程取得的成果还是初步的和阶段性的，还有许多历史之谜等待破解，还有许多重大问题需要通过实证和研究达成共识。

现在，我们运用生物学、分子生物学、化学、地学、物理学等前沿学科的最新技术分析我国古代遗存，使中华文明探源有了坚实的科技分析依据，拓展了我们对中国五千多年文明史的认知。

对文明起源和形成的探究是一个既复杂又漫长的系统工程，需要把考古探索和文献研究同自然科学技术手段有机结合起来，综合把握物质、精神和社会关系形态等因素，逐步还原文明从涓涓溪流到江河汇流的发展历程。

要加强统筹规划和科学布局，坚持多学科、多角度、多层次、全方位，密切考古学、人文科学和自然科学的联合攻关，拓宽研究时空范围和覆盖领域，进一步回答好中华文明起源、形成、发展的基本图景、内在机制以及各区域文明演进路径等重大问题。

长期以来，西方形成了一套文明理论，我们要加以借鉴，但不能照抄照搬。

中华文明探源工程提出文明定义和认定进入文明社会的中国方案，为世界文明起源研究作出了原创性贡献。

(选自习近平《把中国文明历史研究引向深入增强历史自觉坚定文化自信》) 材料二：中国考古学如要真正达到国史重建的目标，首先需要更新范式，为科技方法进入考古学形成的学科交叉提供问题导向。

考古学的历史重建与文献历史有本质的区别，其研究材料的物质性决定了必须依赖自然科学手段的帮助，以提炼其中不可直观的隐形信息。

而且，考古学与历史学相比，更加擅长探索环境、生业、技术、人口和社会复杂化的长时段发展。

对于科技考古工作者，应当熟悉和掌握当代考古学的新范式和新理论，努力为解决各种考古学难题提供关键信息。

安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考数学(文)试题

A． B． C． D．
6．设，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A．4B． C．2D．0
7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A． B． C． D．
8．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正弦值为，若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）
7．D
【解析】
【分析】
先根据三视图还原几何图，再利用多面体的体积公式求出结果即可.
【详解】
解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.
所以； .
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体体积的求法，考查三视图的知识点，考查空间想象能力，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据直角三角形中一个锐角的正弦值为，令斜边的长为，则两直角边的长分别为3，1，从而求得大正方形的面积和4个三角形的面积，然后由几何概型的面积类型求解.
19．2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶，接触等途径．为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，动员居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送（配送费由政府补贴）．快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪送件提成”．这两家公司“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送一件提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：

安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题文(含解析)

y2 c2
1
，
设点 Q 的坐标为(x,y) ,则 x2 2c2 2 y2 ，
所以
| PQ |
x2
y
c 2 2
2c2
2y2
y
c 2 2
y2 cy 9 c2 4
y
c 2
2
5 2
c2„
10 c
2
d 10 c, d 10
所以
2
c 2.
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，利用二次函数求最值，考
s 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 ,i 6
55555 2345
，结束循环，
故输出
s=
1 5
(1
2
3
4
5)
1
1 2
1 3
1 4
1 5
3
137 60
43 60
，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.
9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两
，
所以所给四个编号符合条件的是 k 19 时，19 25 (19 1) 469 号.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了系统抽样的概念和性质，属于中档题.
cos
a
3 sin
6.已知 5 ，则 5 （）
A. a 1 a2
B. a 1 a2
C. 2a 1 a2
D.
2a 1 a2
【答案】C
【解析】【分析】根据诱导公式及正弦的二倍角公式求解即可.
所以 sin C 2sin C c os C .

安徽省江南十校2023-2024学年高二下学期5月联考语文试题(含答案)

2024年5月江南十校高二联考语文试卷一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完场下面小题。

材料一：读者蒙重：作为生态学的学生，我会思考生态学的作用，这使得我产生了生态学好像并没有具体的应用场景和发展方向的疑惑。

另外，植物与海洋目前哪个更为重要？唐志尧：生态学是研究宏观生命系统结构、功能与动态的学科，其目的在于揭示宏观生命系统的格局、过程和秩序。

生态学是一门与人类生存和社会发展密切相关的学科，也是人类认识和改造世界的一种自然观。

生态学的母体是生物学，从学科服务于人类社会的角度看，它和以生物学为基础的另外两个学科——医学和农学，在阐明和调控生物体的生命规律的基础上，共同对人类诊断治疗疾病（医学）、提高农作物产量（农学）、改善人类生活环境质量（生态学）等实践活动提供支撑。

因此，生态学不只是象牙塔里的学问，还是能够解决实际问题、满足重大社会需求的学科，它为人类认识、保护和利用自然，维持可持续生物圈提供理论基础和解决途径。

生态学是生态文明建设最重要的理论基础。

伴随着环境、资源、生物多样性及气候变化等全球性问题的出现，生态学为研究这些问题，以及支撑社会发展和满足国家需求提供了重要基础。

“生态文明建设”“五位一体”发展总体布局、“新发展理念”等都需要强大的生态学学科作为理论支撑；“山水林田湖草沙生命共同体”“绿水青山就是金山银山”等理念，本身既是生态学的重要研究内容，更是国家和社会对生态学学科的新要求和新期盼。

可以说，这些关于生态文明建设的理念和举措体现了党和国家在保护生态、加强生态学学科支撑方面的坚强意志。

生态学必须呼应这一需求，为生态文明建设提供学科支撑和理论基础。

具体而言，生态学可以在退化生态系统的修复与重建、生物多样性的保护与利用、病虫害的治理与防控、生态系统服务的提升与维护、水体富营养化的预防与治理、重大生态工程的执行与评估、气候变化政策的制定与实施、国土空间规划与生态整治、生态产品价值化以及碳中和的实现途径等问题的解决方面，提供坚实的理论支撑。