运用特殊化方法解答数学客观题(之三)
巧借特殊值法,妙解高考真题
２０２３年８月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀巧借特殊值法,妙解高考真题◉张家港高级中学㊀黄㊀轶㊀㊀摘要:巧妙利用特殊值法,借助特殊值的选取,有时可以更加简捷地求解客观题．本文中结合２０２２年高考真题,剖析特殊值法的巧妙应用,总结特殊值法的解题技巧与规律．关键词:高考;特殊值;客观题;函数;三角;不等式㊀㊀特殊值法破解数学客观题,有其特殊的优势与美妙的体验,它是数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验等 四基 落实并上升到一定高度的特殊 产物 ,是特殊与一般思维的升华．特别在解决一些函数或方程㊁数列㊁三角函数或不等式等的选择题时,利用特殊值法,解题过程简洁明了,很好地提升解题速度与解题效益．下面结合２０２２年高考数学真题中一些客观题特殊值法的合理选用与巧妙应用加以剖析．１巧判函数图象例１㊀(２０２２年高考数学全国甲卷理科 ５)函数y ＝(３x －３－x)c o s x 在区间－π２,π２éëêêùûúú的图象大致为(㊀㊀)．A．㊀㊀B ．C ．D．分析:解决此类题的常用思维就是先根据函数的解析式判定函数的奇偶性,再借助特殊值的选取合理排除错误的选项．而此题两次利用函数特殊值的选取,即可将不满足函数值取值情况的图象完美地排除,实现巧妙判定函数图象的目的．解析:选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝(３１－３－１)c o s １＞０,由此排除选项C ,D ;再选取特殊值x ＝－１,得f (－１)＝(３－１－３１) c o s (－１)＜０,由此排除选项B ．故选择答案:A ．点评:巧妙选取特殊值来判断函数或方程所对应的函数图象问题,将特殊值所对应的函数值情况与点的位置特征加以联系与对比,排除不合理的图象选项．对于单选题,在利用特殊值法巧判函数或方程所对应的函数图象问题时,经常要多次利用特殊值的巧妙选取来合理排除,直到剩下最后一个正确答案为止．２判定函数关系式例２㊀(２０２２年高考数学北京卷 ４)已知函数f (x )＝１１＋２x,则对任意实数x ,有(㊀㊀)．A．f (－x )＋f (x )＝０㊀B ．f (－x )－f (x )＝０C ．f (－x )＋f (x )＝１D．f (－x )－f (x )＝１３分析:解决此类题的常用思维就是利用题设给出的函数关系式,结合选项中对应函数关系式代入,通过指数运算与变形来转化与验证,进而得以正确判定．而此题选取特殊值加以验证即可正确判定,从而减少数学运算量,这也是一种不错的技巧方法．解析:由函数f (x )＝１１＋２x,选取特殊值x ＝０,可得f (０)＝１１＋２０＝１２,代入各选项中进行验证,选项B ,C 成立;又选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝１１＋２１＝１３,f (－１)＝１１＋２－１＝２３,只有选项C 成立．故选择答案:C ．点评:在判定一些复杂函数关系式的成立问题时,为避免复杂的逻辑推理与繁杂的数学运算,经常借助一些特殊值的选取,代入函数关系式加以化简与求值,可以很好地优化解题过程,同时对于函数关系式的判定更加直接㊁有效．３４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年８月上半月㊀㊀㊀３求解相应函数值例３㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ６)角α,β满足s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β,则(㊀㊀)．A．t a n (α＋β)＝１B ．t a n (α＋β)＝－１C ．t a n (α－β)＝１D．t a n (α－β)＝－１分析:解决此类题的常用思维就是利用三角恒等变换公式对题设的三角函数方程加以变形与转化,进而结合化简的结果来分析与求解对应的三角函数值问题．而此题结合两次特殊值的选取,即可合理排除不满足条件的选取,简化公式变形与推理过程,优化数学运算．解析:s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β．①选取特殊值β＝０,代入①式,得s i n α＋c o s α＝０,即t a n α＝－１;再将β＝０分别代入四个选项,由此可以排除选项A ,C ．选取特殊值α＝０,代入①式,可得s i n β－c o s β＝０,即t a n β＝１;再将α＝０分别代入四个选项进行验证,由此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:这里很好地通过三角函数关系式中角的变化以及对应选项中的三角函数值不变的特征,利用两次特殊值的选取,结合选项中的三角函数值进行排除．借助特殊值法处理相关数学问题时,有时一次特殊值的选取不能直接达到目的,可以进行第二次特殊值的选取,直至剩下最后一个选项为止．４确定参数取值范围例４㊀(２０２２年高考数学浙江卷 ９)已知a ,b ɪR ,若对任意x ɪR ,a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,则(㊀㊀)．A．a ɤ１,b ȡ３B ．a ɤ１,b ɤ３C ．a ȡ１,b ȡ３D．a ȡ１,b ɤ３分析:解决此类题的常用思维就是绝对值不等式的函数图象化处理思维㊁参数的分类讨论思维等,过程复杂,讨论繁多．而此题利用特殊值的选取,代入题设的绝对值不等式加以化简,利用含参不等式恒成立的条件确定参数的取值情况,结合各选项中的参数取值范围即可验证与确定．解析:选取特殊值x ＝４,由a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,可得a |４－b |－３ȡ０．显然a ʂ０且b ʂ４,观察各选项可知,只有a ȡ１,b ɤ３符合这个结论．故选择答案:D ．点评:借助含参绝对值不等式中特殊值的选取,简化不等式,减少变量,借助不等式恒成立等相关知识确定相关参数的取值情况,再结合选项合理验证．在具体借助特殊值法确定参数取值范围的问题时,经常不能直接得到对应参数的取值范围,而是借助选项中参数不同取值范围加以验证与判断,合理排除,巧妙确定．５判断不等式成立例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 １２)(多选题)对任意x ,y ,x ２＋y ２－x y ＝１,则(㊀㊀)．A．x ＋y ɤ１B ．x ＋y ȡ－２C ．x ２＋y ２ɤ２D．x ２＋y ２ȡ１分析:解决此类题的常用思维就是不等式思维㊁配方思维或换元思维等,利用条件中的二元方程,结合基本不等式㊁完全平方公式或三角换元等方法来处理,解题过程较为繁琐．而此题利用特殊值法,根据满足二元方程条件下的特殊值的两次合理选取,即可正确排除对应的选项来达到正确判断的目的,简单快捷．解析:选取特殊值x ＝y ＝１,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ＋y ＝２ɤ１不成立,故选项A 错误;再选取特殊值x ＝－y ＝３３,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ２＋y ２＝２３ȡ１不成立,故选项D 错误;根据多选题 至少有两个选项是正确 的特征,故选择答案:B C ．点评:利用特殊值法破解一些数学的综合与创新问题时,有一定的 秒杀 效果,但要注意一般 可遇而不可求 ,不具有可推广性与普及性．如果一定要花大量时间去配凑特殊值,往往得不偿失．这里借助二元方程的结构特征,可以快速选取相应的特殊值来验证,综合多选题的特征,当确定其中两个选项为错误时,则另外两个选项肯定是正确答案．巧借特殊值法,可以在很大程度上简化繁杂的逻辑推理过程与复杂的数学运算过程,但也不能盲目任意选取特殊值,要吻合数学问题中特殊与一般思维之间的联系与转化,才能达到正确使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知识复杂层次,弱化基础知识难度,强化数学思想方法,优化数学解题过程,提升数学解题效益,节省宝贵考试时间,真正达到小题小做 小题巧做 小题快做 等良好解题效益．Z４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
特殊值法解数学题
特殊值法解数学题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--用特殊值法解题湖北省公安县斑竹当中学雷学池特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用．1．解选择题：例1 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ]A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c mC．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n解∵a＞b＞c＞0．m＞n＞0（m、n为整数）取特殊值，a=3，b=2，c=1，m=2，n=1得a mb n=32×21=18b nc m=21×12=2c n a m=11×32＝9∴a m b n＞c n a m＞b n c m故选B．2．确定多项式的系数例2已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值．解用特殊值法．当x=-1时，原式为8=c①当x=0时，原式为5=a＋b＋c②当x=1时，原式为4=4a+2b＋c③由①、②、③可知a=1，b=-4，c=8．3．判断命题的真假例3 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假．解取特殊值，当a=1时，原式左边为9，右边为1，因为9≠1，故原命题是假命题．4．解证定值问题例4 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程由①、②可得a=3，b=-2．练习用特殊值法解下列各题：2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值．4．已知 a＋ b＋ c≠ 0，求证：不论a、b、c取何实数时，三答案2．取x=0，左边为9，右边为8，9≠8．故不对．式得质证明．巧取特殊值解选择题山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例．例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是[ ]（98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c，∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）．例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ]A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0（94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）；再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）．（94年全国初中数学联赛题）则[ ]A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜NC．Q＜N＜P＜M D．N＜Q＜P＜M（第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题）解：∵ x＜y＜0，∴可取x=-2，y=-1并代入上式，则例5 如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是[ ]A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+bC．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a（95年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）解：∵a、b均为有理数，且b＜0，∴可取a=1，b=-1并代入上式，得a-b＝1-（-1）＝2，a＋b=1＋（-1）=0．∵0＜1＜2，∴a+b＜a＜a-b．故选（C）．例6二次函数y=ax2＋bx＋c的图象经过点（-2，1）和（2，3），且与y轴的交点为P，若P点的纵坐标是小于1的正数，则a的取值范围是[ ]（94年山东省初中数学竞赛题）。
用特殊化思想巧解高考数学选择题
但其结论唯一 或 题 设 条 件 中 提 供 的 信 息 时 ， 取一些符 合 条 件 的 恰 当 特 殊 值 （ 或 特 殊 角， 特殊 图 形 特 殊 位 置， 特 殊 点， 特 殊 方 程， 或特殊 数列， 特殊模型等 ） 进 行 处 理， 从而得出探求的结 函数 ， 论， 从而大大简化推理 、 论证的过程 ．
２ ） 为增函数的区间是 －狓
（ ）
］ Ａ．［ －１， １ ］ Ｂ．（ －∞ ， －１ １， ＋∞ ） ∪［ ］ ］ Ｃ．（ －∞ ， －１ ０， １ ∪［ ］ Ｄ．［ －１， ０ １， ＋∞ ） ∪［ 思路分 析 （ 设 特 殊 函 数） 这是一个抽象函 数问题 ， 涉 及 到 复 合 函 数 的 单 调 性， 要具体分析
０ １ ５ 年第 ３ 期 ２
数学教育研究
·６ ３·
用特殊化思想巧解高考数学选择题
沈 辉 张征红 （ 湖北省安陆市第二高级中学 ４ ） ３ ２ ６ ０ ０
近几 年 数 学 高 考 试 题 的 一 个 显 著 的 特 点 是 没有追求特别的 解 题 技 巧 ， 而是突出考查基本的 数学思想 和 方 法 ． 目 前， 很多学生对解答选择题 没有掌握一定的技 缺乏正确的解题 思 路 和 方 法 ， 巧， 既费时 又 容 易 出 错 ． 由于选择题的特点是在 已经给定 的 选 项 中 寻 找 正 确 的 答 案 和 不 要 求 书 写解题过程 ， 因此 在 解 题 方 法 上 有 一 定 的 特 殊 性 和技巧性 ． 数学教 育 家 希 尔 伯 特 曾 经 说 过 ： “ 在讨 我相信特殊化比一般化起着更为 论数学问题时 ， 重要的作用 ． ” 因此， 在用直接法解数学问题感到 困难时 ， 如 果 能 调 整 思 路， 采用特殊化策略去考 虑解题的 方 法 ， 往往能“ 柳 暗 花 明 又 一 村” ， 使问 本文 拟 就 如 何 运 用 特 殊 化 策 略 解 数 题迎刃而解 ． 学选择题在此浅作例谈 ． 例 １ 已 知 矩 形 的 四 个 项 点 犃（ ， ０， ０） 犅（ ２， ） ， ） 和 犇（ ） ， 一质点从 犃 ０ 犆（ ２， １ ０， １ 犅 的中点 犘０ 沿 与犃 依 犅 夹角 为θ 的 方 向 射 到 犅 犆 上 的 点 犘１ 后 ， 入 次反射到 犆 犇、 犇犃 和 犃 犅 上 的 点 犘２ 、 犘３ 和 犘４ （ 射解等于反射角 ） ， 设 犘４ 坐 标 为 （ ， 若 １＜狓 狓 ０） ４， ４ 则ｔ ａ ｎ ＜２， θ 的取值范围是 １ ２ ， １ Ｂ．（ ， ） （１ ３ ） ３ ３ ２ １ ２ ２ Ｄ．（ ， ） Ｃ．（ ， ） ５ ２ ５ ３ Ａ． 思路分 析 （ 取 特 殊 点） 结合矩形的对称性 可以考虑设 犘０ 射 到 犅 和反射的物理性质 ， 犆 的中 点上， 这 样 依 次 反 射 最 终 回 到 犘０ 这 样 一 种 临 界 １ 由题设条 情况 （ ） ， 此 时 容 易 求 出ｔ 狓 ａ ｎ θ＝ ， ４ ＝１ ２ １ 排除 、 、 ， 件知 ， ， 则ｔ １＜狓 ａ ｎ Ａ ＢＤ 故 θ≠ ， ４ ＜２ ２ 选 Ｃ． 方法提炼 在 解 选 择 题 时 用 特 殊 化 方 法 就 是考虑到 选 择 题 的 特 征 ， 把 题 干、 选项及四选一 的要求结 合 起 来 ， 创 造 性 地 解 题 的 一 种 方 法． 也 就是说 ， 当题目已知条件中含有某些不确定的 （ ）
巧借特殊值，妙解客观题——2020年高考数学
３０° ３０° ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
（ ） （ ） ６０° ６０°
６０° ６０°
Ｃ．３狀 ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀 Ｄ．６狀 ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
分析：由于π的近似值是比较熟悉的，通过选取特
４２ Copyrigh高t©中博看网 . All Rights Reserved.
术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数狀 充
分大时，计算单位圆的内接正６狀边形的周长和外切正
６狀 边形（各边均与圆相切的正６狀 边形）的周长，将它
们的算术平均数作为２π的近似值．按照阿尔·卡西的
方法，π的近似值的表达式是（ ）．
（ ） （ ） Ａ．３狀
３０° ３０° ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
Ｂ．６狀
二、开放探究问题
例２ （２０２０年高考数学北京卷第１４题）若函数
犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋φ）＋ｃｏｓ狓 的最大值为２，则常数φ 的
一个取值为
．
分析：直接利用题目条件选取比较熟知的特殊值
φ＝
π，代 入 ２
三
角函
数关
系
式，利 用
诱
导
公式
加
以
转
化，得 到 相 应 的 三 角 函 数 解 析 式 满 足 条 件，从 而 即 为
与判断．
四、学科融合问题
例４ （２０２０年高考数学全国卷 Ⅱ 理科第１２题）０
－１周 期 序 列 在 通 信 技 术 中 有 着 重 要 应 用．若 序 列
犪１犪２…犪狀… 满足犪犻 ∈ ｛０，１｝（犻＝１，２，…），且存在正整 数犿，使得犪犻＋犿 ＝犪犻（犻＝１，２，…）成立，则称其为０－１ 周期序列，并称满足犪犻＋犿 ＝犪犻（犻＝１，２，…）的最小正整 数 犿 为这个序列的周期．对于周期为 犿 的０－１序列
浅谈高考数学选择题中“特殊化法”的应用
浅谈高考数学选择题中“特殊化法”的应用特殊化法是指运用满足题设条件的某些特殊值对各选择支进行检验或推理，根据“一般成立?圯特殊成立，特殊不成立?圳一般不成立”的原理得到正确结论。
此法的主要特征是取特例（如特殊数值、特殊位置、特殊模型等），解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊，效果愈好。
下面举几个例子来说明用特殊化解题的方法。
一、特殊数值从条件或者选择支中，取一些方便于计算和推理的数值进行验证，从而否定答案，包括取特殊值构造特殊数列或构造特殊项数、取特殊的角等等。
有时候一次能成功，但是有时候必须取两次、三次甚至更多，切忌“一次成功”。
例１.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A.12B.10C.8D.2+log35解法１：由9=a5a6=a1q4×a1q5=a12q9，可得a1a2…a10=a110q1+2+3+…+9=a110q45=（a12q9）5=q5=310原式=log3a1a2…a10=10因此选Ｂ。
解法２：由等比中项性质可得9=a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7，原式＝log3（a 5 a 6 ）5=5log39=10。
这两种解法虽然都正确，都是把一道选择题当作一道解答题求解，并没有考虑到选项及选项只有一个是正确的这两个信息。
从这两个信息思考，不管这个数列的通项公式{an}是什么，答案都是唯一确定的。
既然如此，为什么不取一个特殊数列？解法3：令a5=a6=3，满足已知条件，此时是一个公比为１的等比数列，因此各项均为３，而log33=1，于是10个１相加得10，故选Ｂ。
解法3相对于前两个解法减少了运算量，甚至没有运算量，用的时间自然就少，解法自然就简捷。
二、特殊位置对于具有动态的问题，可以优先考虑问题极端情况，包括在中点、端点时的情形、在相等时取到最值的情形、在某个不断变换时的变化趋势和极限状态等。
特殊化思想在数学解答题中的运用
同理 ， Ｑ的 坐标 是 （ ， 点 ４
） ，
高串 ２ ０¨ 壤 第 ｛ ０期
数 攀 瀚 戮
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先考察一个最简单 的特殊情形——将两个边长相 等 的正 方形 ｓ 与 ． 剪 拼成一个正方形 ｓ ，可按下左 ｓ 。
（ ） 明 ： ＋ ｌ Ｍ；２ 证 明 ： ≥ — ；３ 当 ＝ １证 Ｉ ｂ￣ （） Ｉ ＜ （） １
方程是 ＋ １ 莩＝．
斗 ｊ
（）当 ｍ ０时 ，直线 ｚ ２ ＝ 的方程为 ｘ ｌ ＝ ，此时 ， ， Ⅳ
点 坐 分 是 １ ，１ ，Ａ 坐 是一 的 标 别 （孚）（－ 又 点 标 （ ， ， 孚）
ｙ
的圆被 轴截得 的弦长为定值 ６ ．
悦 在（） ２ 的解答 中是通过特殊探路 ， 然后由此
．
展 开 ．证 明满足条件的 圆的弦长也是定值 ６也可以直 ．
顶 点 为 Ａ。直线 Ａ Ａ Ｍ，Ｎ 与直 线 ｘ ４分 别 相 交 于 ＝
点 尸Ｑ， 问 当 ｍ 变 化 时 ， ＿ ，
图所示 的方法剪拼而成．
得Ｉ ｊ争 争 ① ｌ 一≤ … ６ ≤ ≤ 在＋ ， ， １≤ ＿ ｌＩ 中 ｝得 ≤６｝ 一 ｌ≤ 令 ６ 一 ＋ ３ 芝
２０ ， 时由图可知 ＭＮ是△４尸 ，）此 Ｑ的中位线 ， 因此 尸Ｑ ， ＿ 两点坐标分别是 （，） （ ， ３ ，以 Ｐ ４３ ， ４ 一 ） Ｑ为直径的厕（一
时， 试求出ｆ ｘ 的解 析式 ． （）
１ （） 明： 解析Ｉ１ 证
，
） ｌ 的最大值为 ，即 ）≤ ｌ
４２ｙ＝ ） ９过右焦点（，） ＋ １ ． ０ 由于圆（一 ） ＝ ４ 。 ９与 轴交 于 ＋
特殊法妙解高考客观题
教学参谋新颖试题2018年7月特殊法妙解&考客观题⑩江苏省口岸中学曹艳在解答高考数学客观题中，我们可以结合一些特殊元素来处理相关的问题，比如可以选取一些特殊值、特殊函数、特殊向量、特殊复数、特殊图像(或图形）等.通过特殊法来处理相关的数学问题，往往可以达到非常好的效果，且简单有效，快捷方便.任意一个考生都有一颗巧妙利用特殊法解决客观题的心.下面用特殊法剖析2017年高考真题.一、特殊值法在解决一些有关函数、不等式、数列、算法等选择题时，往往可以结合题目的条件，通过特殊值的选取结合题中对应的选项加以排除，进而达到确定正确选项的目的.往往可以简化过程、提升速度.[#2-#+3，#!1，例1(2017•天津理，8)已知函数八#)=| 2 ,!#+——，#>1，设a&R，若关于#的不等式(#)' 2+a在R上恒成立，则'的取值范围是（）.(A)-17，2](B)47 3916，16(C)[-2+r，2] (D)丨-2+T，3916分析：常规方法是根据分段函数（#)的图像展开，采用导数法或基本不等式方法来处理，过程繁杂，不易 判断.通过特殊值的选取，利用排除法来间接分析与判 断，从特殊到一般来确定.解析：由于关于#的不等式(#)'音柏在R上恒成立，当#(0时，得1'1!/(0)=3,解得-3!'!3,排除选项C、D；当#(2时，得b+l l!(2)=3,解得-4!'!2,排除选项B、D.故选择A.点评：通过特殊值的选取，回避复杂分段函数问题、绝对值不等式问题的交汇与综合，简化解答过程，正确 快捷得到答案.解决问题的关键是选取合理的特殊值使48十•？•!{：，■?高中问题的判断更为快速，以及减少特殊值的选取次数.二、 特殊函数法在解答一些有关抽象函数的选择题或填空题时，可 以选取满足条件的特殊函数加以验证，变抽象为具体，通过特殊函数发现规律，寻求解答方法.例2 (2017 •天津理-6)已知奇函数（#)在+上是增 函数，,(#)=#/(#).若 a=,(-lo g25.1)，-=,(2a8)，c$,(3)，则 a，-，c的大小关系为（）.(A)a<b<c(B)c<b<a(C)b<a<c(D)b<c<a分析:常规方法是根据题目条件来分析确定抽象函 数（#)的单调性，进而作出判断，过程比较烦琐.而根据 题目条件选择特殊函数法就显得简单快捷，易于操作.解析:取特殊函数（#)$#，则,(#)$#(#)=#2，从而,（）是R上的偶函数，且在（0，+%)上是增函 数，而0<208<21$2=log24<log25.1<log28$3，可得,(2。
数学考试技巧附案例习题解题技巧-特殊值法
数学考试技巧附案例习题解题技巧-特殊值法在数学研究中，“从特殊到一般”是重要的思想方法。
数学竞赛题，由于其难度，多少有些研究的性质。
于是对许多竞赛题目，“特殊值法”显得至关重要。
3.1 什么是“特殊值法”特殊值法，又称“和谐法”，就是对题目中所给的表达式，代入特殊值，寻找其规律。
特殊值，就是易于计算、求解的值。
对代数问题，往往是中值（平均值）、边值（最大最小）。
当自变量取特殊值时，函数值往往位于极值点（区间上的最大、最小值）。
对其它问题，就是规模较小，简单的，或具有特殊性质的代入值。
3.2 特殊值法的理论依据若函数f(x)为凸函数，由琴生不等式（导数法证明），有f(a1x1+a2x2+...+a n x n)≤a1 f(x1)+a2 f(x2)+...+a n f(x n). 即：对n个不同变量，他们和的函数与函数的和具有不等关系。
同样，对其他运算，也有类似的不等式存在。
特殊值法的证明，通用方法是导数法。
以3个变量的函数f(x,y,z)为例，设x+y+z=k为常数，x≥y≥z.其中x≥k/3, z≤k/3.先固定x，调整y,z, 即函数f(y,z).又y+z=k-x为常数，则有z=k-x-y,三元函数变为一元函数f(z). 求f(z)含z单项的导数f’(z),可得当z=(k-x)/2时，f’(z)=0; z<(k-x)/2时，f’(z)<0; z>(k-x)/2时，f’(z)>0. 即应用单调性可得，对0<z<k/3, y=z 时f(z)最大。
此时y=z=(k-x)/2. 这次调整使y,z相等。
同理，固定z, 可得x=y. 由此，x=y=z. 这是一种逐步调整的策略。
对于多元函数的情形，可类似的证明。
（详细推导步骤见单墫《利用导数证明不等式》，《中等数学》2006年第2期）由此，我们知道特殊值法的适用范围：当不等式的“一项”为单峰函数（中间值最大或最小）时，可使用特殊值法，此时最值取在均值处，而边值处为另一个最值。
专题03特例法-2019年高考数学(文)30分钟拿下选择、填空题
增函数；减函数 减函数 减函数；增函数 减函数 增函数；减函数 增函数 减函数 . 在解选择题、填
空题时我们可以根据此结论直接对常见函数进行单调性的判断
.
【备考警示】很明显，方法一要比方法二更简洁，比利用结论更直观
.
【例 3】（利用特殊数列） 已知数列 an 是等比数列，其公比为 q ，则“ q 1 ”是“数列 an 为单调递增
对于 D，由 a b 0, c2 0 ，所以 a b c2 0 是正确的，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解
答的关键，着重考查了推理与论证能力 . 通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断
.
【备考警示】本题在选取 a， b 的值时，一定要满足条件 a b ，才可以正确求解 .
an
a1q n
1
，故其单调性不仅取决于
a1的符号，还要考虑 q
0,1 还
是 q 1, ．所以本题直接求解比较困难，而选取特殊值，构造特殊数列会简单快捷得多
.
【例 4】（利用特殊位置） 在三棱锥 A BCD 中， 底面为直角三角形， 且 BC CD ，斜边 BD 上的高为 1，
三棱锥 A BCD 的外接球的直径是 AB ，若该外接球的表面积为 16π，则三棱锥 A BCD 的体积的最大值
方法探究
特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，
收到事半功倍的效果 .
特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍
条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择
2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第5讲客观题的解法(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第5讲 客观题的解法 题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．方法一 直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y思路分析 动点P 的轨迹方程→P 点满足条件→直接将P 点坐标代入化简即可 答案 A解析 设P (x ，y )，由题意得M (－1,2)，N (1,0)，O (0,0)， PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )，因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝1－x 2＋y 2， 整理得y 2＝4x . 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.方法二 特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6思路分析 AM →·NM →的值→某种特殊情况下AM →·NM →的值→取▱ABCD 为矩形答案 C解析 若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，所以AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则直线PM 与PN 的斜率之积等于________．思路分析 直线PM ，PN 斜率之积→特殊情况下的k PM ·k PN →取P 点为椭圆短轴端点答案 －34解析 取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)， 所以k PM ·k PN ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．例3 (1)(2020·天津)函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为( )思路分析 选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除 答案 A解析 令f (x )＝4x x 2＋1，则f (x )的定义域为R ， 且f (－x )＝－4x x 2＋1＝－f (x )， 所以函数为奇函数，排除C ，D.又当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B. (2)已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1.若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)思路分析 求b 的取值范围→取b 的特殊值→特殊情况验证排除答案 C解析 注意到直线l 恒过定点(0,1)，所以当b ＝1时，直线l 与椭圆C 恒有公共点，排除D ；若b ＝4，则方程x 24＋y 2b＝1不表示椭圆，排除B ；若b >4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.(3)(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A ．当x >0时，f (x )＝e x(1－x )B ．f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)C ．函数f (x )有2个零点D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2思路分析 观察选项，从易于判断真假的选项出发.答案 BD解析 对于C ，当x <0时，令f (x )＝0⇒x ＝－1，∴f (x )有3个零点分别为－1,0,1，故C 错误；对于A ，令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e －x (1－x )，又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝e －x (1－x )，∴f (x )＝e －x (x －1)，故A 错误．∵A，C 错误，且为多选题，故选BD. 排除法使用要点：,1从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,2当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值例法、验证法等常结合使用.方法四 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． 例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB．46πC．26πD.6π思路分析 求球O 体积→求球O 半径→构造正方体(补形)答案 D解析 如图所示，构造棱长为2的正方体PBJA －CDHG ，显然满足题设的一切条件，则球O 就是该正方体的外接球，从而体积为6π.(2)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是______________．思路分析 解f x >0→利用函数单调性结合已知含f x 的不等关系→构造函数 答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 构造函数g (x )＝f x x ， 则g ′(x )＝f ′x ·x －f x x 2. 根据条件，g (x )为偶函数，且x >0时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (－1)＝g (1)＝0.∴当0<x <1时，g (x )>0，∴f (x )>0，同理当x <－1时，g (x )<0，∴f (x )>0，故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 方法五 估算法因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算答案 B解析 头顶至脖子下端的长度为26cm ，可得咽喉至肚脐的长度小于42cm ，肚脐至足底的长度小于110cm ，则该人的身高小于178cm ，又由肚脐至足底的长度大于105cm ，可得头顶至肚脐的长度大于65cm ，则该人的身高大于170cm ，所以该人的身高在170cm ～178cm 之间，选B.(2)(2018·全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．243D ．54 3思路分析 V 三棱锥D －ABC 最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算答案 B解析 等边三角形ABC 的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h 应满足h ∈(4,8)，所以13×93×4<V 三棱锥D －ABC <13×93×8，即123< V 三棱锥D －ABC <24 3.选B.估算法使用要点：1使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值例法结合起来使用.2使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.。
特殊化方法在数学解题中的运用
积极思维、克服畏难情绪，发散思维、开拓脑洞
重点
培养学生在不同问题中，运用特殊化方法帮助解题的意识
难点
会选择合适的特殊值、特殊点、特殊位置等帮助解题
四、教学策略选择与设计
在本节课的学案设计中，我选择了“特殊化方法在数学解题中的运用”中的三个内容，主要讲解，其它内容出现在课后练习中作为补充，题目来源基本是九地市2016中考、2016-2017初三质检。
④特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程。但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程。于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想。
二、考情解读
普查2016年福建九地市中考卷和2016-2017初三质检考卷，每套都有题目可以运用到特殊化方法。字母取值的特殊化，在选择题中，代入特殊值，结合排除法帮助解题，如厦门市质检考第7题，南平质检第7/9题，福州质检卷第8/10题等；点或图形的特殊化，如厦门2016年质检第16、23题，南平质检第22题等；特殊化方法还可以提供探索、猜想的路径，过渡到一般帮助解题，如：厦门质检第24题等。此外，在解决大题时，特殊化方法还可以作为一种“不完全”的验证方法检验答案是否正确；在最值问题中，取特殊值（均值等）、特殊角、特殊点、特殊形状等帮助解题。如果运用灵活得当，特殊法方法可以在每份试卷中发挥威力、帮助考生解题。
利用特殊情况解题
以＋ｎ ＋口２ ４， ８ １ １—２０故可设 一 ４， ｎ一÷口 ０ ８则 ９ １ １
ｏ
１
若 ａ口 — ９则 ｌ ３ｌ ｌ ３２ … ＋ｌ ３ｌ一 ５６ ， ｏ ａ＋ ｏ ａ＋ ｇ ｇ ｏ ａ ｇ ０
（ ） ． （ １ Ａ） ２ （ １ Ｂ） ０ （ ８ Ｃ） （ ２ ｌｇ ５ Ｄ） ＋ ｏ 。
・
３ ・ ８
中学 数学 月 刊
２０ ０ ９年第 ６期
利 用 特 殊 情 况 解 题
张振 华 （ 东省 平度 市第二 中学 山 ２ ６４ ） ６７ ５
特殊化方法是 指由特殊情况 （ 数量或位置关
系） 求一 般结 论 ， 探 是平 时解 题 中不可 或缺 的一 种
思维 方法 ． 它来 分析 一个 复杂 问题 ， 用 对思 路 的形 成 往往具 有很 强 的启 发性 ； 用它 来解 客观 题 ， 时 有
（ ２ Ａ） ａ （ Ｂ）
厶“
（ ４ Ｃ） ａ
（ Ｄ）兰
“
分析 从一 般角 度难 以人 手 解决 ， 尝试取 故
１ ｋ ０ 故 ， 在其定义域内单调递减． ＜ ＜ ， （） 问题转化 为只需 比较 自变量 分别取 ｌ２ ，， Ｉ 时对应的函数值的大小． ｎ 显然 Ｉ ＜ １ ２ ｎ ＜ ，
ｏ 一
．
分析 题 目对 等 差 数列 ｛ 的 公 差 没有 任 ａ）
何 限制 ， 因此 ， 我们 可利用一种特殊 的等差数列 常数数列解答本题．
— —
解 因为数列 ｛ 是等差数列， 口 ＋ｎ ＋ ａ｝ 且 ｅ
１
例 ４ 在各 项均 为 正 数 的 等 比数 列 ｛ ｎ ）中 ，
例 ２ （０８年 高考全 国卷 Ⅱ 理 第 ４ ） ２０ 题 若
巧借特殊法,妙解客观题
在 解 决 一 些 以 函 数 、不 等 式 、算 法 等 为 背 景 的 客 观
题时，经常可以结合题目的相应条件，通过特殊值（包括
数值、角度、长度等）的选取，从而达到正确判定的目的.
特 别 在 判 断 一 些 函 数 图 像 、不 等 式 解 集 等 问 题 时 ，利 用
特殊值法破解选择题，往往可以简化过程、提升速度.
则
知
S10
=10a1
+45d
=100，S5
=5a1
+10d
=25，
可
得
S10 S5
=
100 =4，故填答案：4. 25
点评院其实袁本题利用条件确定公差与首项之间的
关系袁再利用等差数列的前n项和公式加以分析也可以
很好破解.通过特殊数列的选取袁化陌生为熟悉袁使得一
般性尧抽象性的数列问题特殊化袁使问题简单统一袁简化
例2 （2019·全国卷芋理·11；文·12）设（f x）是定义
域为R的偶函数，且在（0，+肄）单调递减，则（ ）.
蓸 蔀 A.f
log3
1 4
跃（f 2-
3 2
）跃（f 2-
2 3
）
蓸 蔀 B.f
log3
1 4
跃（f 2-
2 3
）跃（f 2-
3 2
）
蓸 蔀 C.（f 2-
3 2
）跃（f 2-
2 3
所 求 解 的 前 n项 和 的 比 值 又 是 具 体 的 ，从 而 可 以 通 过 选
取 特 殊 数 列 ———a1=1，这 样 处 理 起 来 更 为 熟 悉 ，过 程 更 为简单快捷.
解析院由于等差数列{an}满足a1屹0，a2=3a1， 取特殊数列———a1=1，则知a2=3a1=3伊1=3，可得公差 d=a2-a1=2，
运用特殊化方法解答数学客观题(之三)
为 与。 个 量 互 约， 然我 可以 据。 范 确 的 围， 我 两 变 是相 制 既 们 根 的 围 定 范 那么 们 也 根 范 来 定口 范围取 ・， ＝，， ，ｚ＋ 使函 （，。 能 据 的 围 确 的 ・ ２ ４ ，２ ｙ４ａ， 数在 。是 ＝ ｚ ＝ ＝ ）
一 … … ～ … 一 … 一 一 … … … … … … … “
．
解 时要 防止犯如 下错误 ：
求 解 ：看 看 ” “ 四个答 案 ，就 “ 出”其 中的奥妙 了： 看
１ 不讲方 法 ，盲 目验证 ． 些 同学也懂得 用选择 ． 有
【， 。） 一 ， 。） ０ ＋ 。 ｃ［２ ＋ 。 ｃ卜 ＋ ｃ【３ ＋ ，前 面的都 ５ ） 一 ， ）
．
２ 本题在排除 Ａ ． 、Ｄ 后 ，若再取 ｎ的特殊值验证
则是不 可行 的 ， 如 ： ｏ ± 例 取 ２检验 （ 因为 ２∈Ｂ， ２ 一
ｃ ，得 到 两 个 函 数 ｙ ｘ ） ＝－ １ ， 十 一 ，这 两 个 １
集 合 若满足条件则 可以排除选择其子集 ： 令 一 ．： ３ ＋
下 ，只有 一 个 交 点 ，显然 不 合 ，所 以有 ０ ａ １ ＜＜ ． （ ）不 妨 设 ０ ， ， ， ，且 ． ： Ⅲ Ｎ ） Ｘ ，则 ＭＮ １
，
＋ ｚ ｌ
一
３ １０ （ ］恒 立再 一要， ≥ 在 Ｅ０ 不 成 ．令。 一 ＋ ，
取 殊 字 验 在１。单 递 则 做 。 特 数 检 谁 （＋）调 增 会 错 因 ，。
为它们的一个单调递增 区间分别是 （，。 和 （ ／ ， ０＋。 ） 、
＋ 。 ， （ ， ） 。）在 １ ＋ 取特 殊数 字验证 其单调性很 难 区分 ，
高考数学专题突破：数学解题方法(特殊证法)
高考数学专题突破：数学解题方法（特殊证法）一．知识探究：1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。
数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。
简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。
用定义法解题，是最直接的方法。
2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。
数学题解析特殊化方法
数学题解析特殊化方法数学题解析特殊化方法您现在正在阅读的小学数学解题策略——特殊化方法文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!小学数学解题策略——特殊化方法数学大师希尔伯特曾讲:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。
我们寻找一个答案而未能成功的原因就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。
”由此可见，当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个较好的选择。
1 特殊化的基本思想特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。
特殊化作为化归策略，基本思想就是：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。
因此，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题之上，而获得一般性问题的解决。
正如波利亚所说：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集或仅仅一个对象。
”因此，特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其子类问题的过渡。
较为理想的特殊是其自身容易解决，且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。
所以，特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。
2 特殊化的具体运用特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从一般退到特殊，多数退到少数，空间退到平面，抽象退到具体……，正如华罗庚先生所说：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。
巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学
㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学Һ李文彬㊀（宿迁市钟吾初级中学，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是一门重要课程，通过学习有助于培养逻辑思维能力，激发出创新意识．初三数学内容多，而且学生面临着中考压力，为了能取得更高分数，在学习中要加强练习，特别是解题能力要增强．本文先介绍特殊与一般思想，再对初三数学客观题解法教学展开探讨，以不断提高学生解题能力，形成良好思维模式．ʌ关键词ɔ初三数学；特殊与一般思想；客观题；解法教学在现有教学环境下，学生已经形成了固有思维模式，知识灵活运用能力较低．在解答数学题时，对运用所学的公式㊁定理㊁法则等，缺乏深入了解．教师应发挥出特殊与一般思想的作用，对学生进行正确引导，提高对知识的认知水平，有效转变思维方式．教师应对特殊与一般思想进行研究，融入教学中去，提高学生的学习能力．一㊁特殊与一般思想人们在认识一种新事物的时候，往往都是从个例开始的，随着时间推移，在认识过程中总结出了经验和规律，层次也由浅到深㊁由现象到本质，这个过程被称之为由特殊到一般的过程．形成了正确认识后，用所得理论去解决实际中遇到的问题，这个过程被称之为由一般到特殊的认知过程．从特殊到一般再从一般到特殊的反复认知，是人们认识世界的基本过程之一，对于数学课程而言，一般到特殊的认知过程就是解决数学问题时所应用到的特殊与一般思想．数学具有严密性㊁精确性的特点，其中计算在数学学习中占据着重要位置，用于解决遇到的问题．从本质上来看，数学学习的过程是从特殊到一般再从一般到特殊的反复认知，从中总结出经验，促进知识内化吸收，增强自身数学素养［１］．二㊁初三数学客观题解法教学基本现状初三数学客观题类型较多，涉及所学的知识内容．教师为了让学生可以对题目正确解答，一般会传授技巧，学生只需要根据要求去解题就可以，不仅速度快，而且效率特别高，大部分学生都可以接受并运用．但是这种教学方法也存在弊端，学生对教师依赖性较强，形成了思维定式，很难进行转变．为了让学生掌握某一类题的解答方法，会花费大量时间去反复练习，当出现这类题时，学生可以很好地解答．但是思维方式会受到限制，缺乏灵活性，当题目形式发生变化时就不知如何去应对．现有的初三数学客观题解法教学方式可以取得一定成效，但还不是很完善，在很多方面都存在不足，所以要进一步完善，不断提升教学水平．特殊与一般这一数学思想在数学教学中的应用，能够有效改善传统客观题教学困境，培养学生的数学思维，提高其知识应用能力，为学生后续数学学习奠定基础．三㊁特殊与一般思想运用于初三数学客观题解法教学的意义特殊与一般思想是初中数学的六大重要数学思想之一，一般包含着特殊，特殊属于一般，在这一理论依据前提下，可以帮助学生更好地解题，大大提升了正确率．运用特殊与一般思想可以让学生思维更加灵活，从多个角度来认识知识，打破思维定式的限制．初三学生思维活跃㊁想象力丰富，特殊与一般思想符合他们的认知特点，发现知识间存在的联系和规律，有效用于学习中去，解题会变得更加轻松．数学思想是教学的核心，教师在课堂上不仅要传授知识，更要让学生学习数学思想，有助于增强数学素养，形成正确的认识．随着教学改革的深入，特殊与一般思想成为人们关注的焦点，和数学数学客观题解法教学有效融合［２］．意识到特殊与一般思想在数学教学中应用的价值，根据实际情况创新教学方法．四㊁巧用特殊与一般思想在初三数学客观题的解题教学中的对策结合当前初三数学客观题类型来看，教师在教学活动中渗透该数学思想时，可以结合实况，根据不同题型采取不同教学方法，开展针对性教学．笔者结合自身多年工作经验，通过以下内容详细论述特殊与一般思想在初三数学客观题的解题教学中的对策．（一）字母类选择题，可对字母赋特殊值求解例１㊀若在某数轴上，Ｐ，Ｑ分别表示实数ａ，ｂ，能得出下列哪项结论（㊀㊀）．图１Ａ．ａ＋ｂ＞０Ｂ．ａｂ＞０Ｃ．ａ－ｂ＞０Ｄ．｜ａ｜－｜ｂ｜＞０一般解法：对数轴进行观察，可以得知ａ＜－１，０＜ｂ＜１．之All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６数学学习与研究㊀２０２２ １３所以得出这一结论，主要依据是不等式性质和绝对值定义．特殊解法：通过图中信息可了解ａ＜－１，０＜ｂ＜１，我们可以对ａ和ｂ进行取值，分别为－１．５和０．５，得到ａ＋ｂ＝－１＜０，ａ－ｂ＝－２＜０，｜ａ｜－｜ｂ｜＝１＞０，ａｂ＝－０．７５＜０．所以选Ｄ．结论１㊀对于需要依靠数轴㊁图形来判断结果的客观题，可以根据题意取特殊点，前提是要在参数合理范围内，常见的特殊点有对称轴㊁交点㊁中间点等，而后开展验证工作．例２㊀（２ｘ）２化简后是（㊀㊀）．Ａ．ｘ４Ｂ．２ｘ２Ｃ．４ｘ２Ｄ．４ｘ一般解法：（２ｘ）２＝４ｘ２，所以选Ｃ．特殊解法：可以采用取特殊值的方式，将其代入算式进行验证，此时取ｘ＝１，可以先排除Ａ和Ｂ，取ｘ＝－１，排除Ｄ，正确答案是Ｃ．结论２㊀针对化简问题，因为属于恒等变形，可以采用代入特殊值的方法来进行验证取舍从而得出正确答案．例３㊀若直线ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１经过点（ｍ，ｎ＋３）和（ｍ＋１，２ｎ－１），而且０＜ｋ＜２，则ｎ的值可以是（㊀㊀）．Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６一般解法：根据已知可得ｎ＋３＝ｋｍ＋ｋ＋１①，２ｎ－１＝ｋ（ｍ＋１）＋ｋ＋１②，②－①得ｋ＝ｎ－４，又因为０＜ｋ＜２，所以０＜ｎ－４＜２，所以４＜ｎ＜６，正确答案是Ｃ．特殊解法：由题意可知，ｋ位于区间（０，２），基于此，我们取ｋ值为１，那么直线化成ｙ＝ｘ＋２，将其代入各选项中一一验证，得到只有选项Ｃ符合要求，因此本题选Ｃ．结论３㊀由上题我们可得出，当一道题目中存在多个参数，我们在思考的时候要从受限参数出发，取特殊值后将其代入题目验证，查看其是否满足题目要求［３］．（二）判断型或探索条件型的问题用特殊值断定例４㊀已知点Ａ（－１，ｍ），Ｂ（１，ｍ），Ｃ（２，ｍ＋１）在同一个函数图像上，这个函数图像可以是（㊀㊀）．一般解法：由题意可知Ａ（－１，ｍ），Ｂ（１，ｍ）属于关于ｙ轴的对称点，由右侧的Ｂ（１，ｍ），Ｃ（２，ｍ＋１）两点可知，ｙ随着ｘ的增大而增大，所以选Ｃ．特殊解法：取ｍ＝１，画出Ａ，Ｂ，Ｃ三点，对选项中的图像进行对比，最接近的是Ｃ项．结论４㊀对于含有参数的图像判断（定性）问题，可以通过对参数取特殊值，找到对应函数模型．例５㊀已知关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０有两个相等的实数根，下列判断正确的是（㊀㊀）．Ａ．１一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｂ．０一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｃ．１和－１都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｄ．１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根一般解法：根据方程有两个相等的实数根可得出Δ＝０，进而得出ｂ＝ａ＋１或ｂ＝－（ａ＋１）．当ｂ＝ａ＋１时，－１是方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根；当ｂ＝－（ａ＋１）时，１是方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根．再结合ａ＋１ʂ－（ａ＋１），可以得出１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根，所以选Ｄ．特殊解法：通过观察，可以想到常见方程ｘ２＋２ｘ＋１＝０，满足Δ＝０，可以知道，对于方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０，当ａ＝０，ｂ＝１（或者－１）时，都和题意相符，这时可以将方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０转化为ｘ２＋ｘ＝０，一根为０，另一根为１（或者－１），选项Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ是错误的，所以选Ｄ．结论５㊀在解决一元二次方程的根的问题时，明确参数满足条件后进行观察，提取出题设成立的特定条件，代入选项就可以解出答案［４］．（三） 任意点 问题做特殊化处理例６㊀如图２所示，点Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝６ｘ上的点，分别过Ａ，Ｂ作ｘ轴和ｙ轴的垂线段，如果图中阴影部分的面积为２，则矩形ＡＣＤＦ和矩形ＢＤＧＥ的面积的和为（㊀㊀）．图２一般解法：因为点Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝６ｘ上的点，所以ｘｙ＝６，Ｓ矩形ＡＣＯＧ＝Ｓ矩形ＢＥＯＦ＝６．因为Ｓ阴影ＤＧＯＦ＝２，所以Ｓ矩形ＡＣＤＦ＋Ｓ矩形ＢＤＧＥ＝６＋６－２－２＝８．特殊解法：根据阴影部分的面积是２，可设点Ａ横坐标为１，点Ｂ纵坐标为２，分别代入双曲线方程ｙ＝６ｘ求解．结论６㊀对于特定曲线上的动点有关的面积问题，可以根据其限制条件，进行赋值．All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀数学学习与研究㊀２０２２１３㊀图３例７㊀如图３所示，直线ｙ＝ｘ＋ｍ与双曲线ｙ＝３ｘ相交于Ａ，Ｂ两点，ＢＣʊｘ轴，ＡＣʊｙ轴，则әＡＢＣ面积的最小值为（㊀㊀）．一般解法：可设Ａａ，３ａ()，Ｂｂ，３ｂ()，将ｙ＝ｘ＋ｍ代入ｙ＝３ｘ，整理得ｘ２＋ｍｘ－３＝０，依据根和系数的关系得出ａ＋ｂ＝－ｍ，ａｂ＝－３，那么（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ＝ｍ２＋１２．再根据三角形的面积公式得出ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ㊃ＢＣ＝１２ｍ２＋６，利用二次函数的性质就可以求出当ｍ＝０时，әＡＢＣ的面积有最小值６．特殊解法：由ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ㊃ＢＣ，借助几何直观，看出当直线ｙ＝ｘ＋ｍ经过原点（即ｍ＝０）时ＡＢ最小．依据直线解析式的特征，әＡＢＣ是等腰直角三角形，得出ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ２，再由勾股定理可知ＳәＡＢＣ＝１４ＡＢ２．әＡＢＣ面积的最小值为６．结论７㊀求双曲线与特殊直线（斜率固定）的交点与平行于坐标轴的直线围成的直角三角形面积最值时，要和其他知识结合起来，对问题进行转变，仔细观察图形，利用直线通过特殊点时的特殊方程来求解［５］．五㊁教学反思（一）引导学生构建知识体系作为数学课程的基本思想，特殊与一般在不少定理㊁概念中都有所体现．从数的角度理解该思想，我们都知道一次函数的一般形式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋʂ０），在该等式当中包含有无数组特殊的值．从形的角度对该思想理解，在一条直线当中，由无数个特殊的点构成．基于此，教师在教学过程中，引导学生运用该思想解题时，可以通过设直线过点的方式，构建方程组，而后对某一值特殊化，从而解决数学问题．也可以在选择题当中，通过赋特殊值的方式进行排除选择．教师在教学过程中，一定要将课程之间的知识点连接起来，关注知识点间的联系，对学生的知识体系进行分析与研究，帮助学生理清特殊与一般思想，帮助其构建良好的认知结构．在对学生讲授法则㊁概念等相关知识时，需要针对性地引导，使其能够读懂隐含的关键词，为后续分析数学问题，解决数学问题奠定基础．（二）提炼策略以此提升学生的解题能力针对初三数学客观题而言，特殊与一般思想通常能够对学生的解题有所启示，帮助学生打开未知世界的大门．教师在特殊与一般思想的解题教学中，要引导学生体会特殊化让问题变得容易这一过程，寻找解决问题的切入点，从特殊到一般，从一般到特殊，培养学生的理性思维．华罗庚曾经说过，退到最原始但是不失去重要性的地方，将简单的㊁特殊的问题搞清楚之后，从简单问题的解决过程中或者解题思路与方向，从而 进 到一般性问题上来．例如针对勾股定理逆定理的证明而言，若学生按照正常解题思路，同一法是很难想到与理解的，但是在解题过程中先通过特殊数据画一般三角形与直角三角形，然后历经拼㊁叠，最终引导学生进行一般性的证明．在整个教学活动中渗透特殊与一般思想，学生在解题过程中也能够感受到数学思维之美，进而提高学生的数学解题能力．教师在教学活动中要始终明辨，数学思想方法始终存在于知识的发生过程中，在解答初中客观数学题时，要结合学情为学生创设良好的探究环境，提供相关典型材料，在教学过程中逐渐渗透特殊与一般思想，促使学生能够将该思想贯穿整个学习过程，最终变为一种自觉行为．六㊁结㊀语综上所述，本文主要探讨了巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学．可以看出，特殊与一般思想在解决数学客观题中有着较高应用价值，是一种很好的方法，可以引导学生养成良好思维习惯，快速理解题意，对题目条件进行转化，找到正确解答方法［６］．教师在传授特殊与一般思想时，要和教学内容联系起来，让学生主动去思考，慢慢解题水平就会有所提升，对学科有更深的认知，在数学考试中有更好的表现［７］．ʌ参考文献ɔ［１］林振德．巧用 特殊与一般思想 进行初三数学客观题解法教学［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（２）：１６－１７．［２］黄淑红．转化与化归思想在数学解题中的应用 一般与特殊的转化［Ｊ］．数学教学通讯，２０１５（２７）：５７－５８．［３］李伟．运用 特殊与一般 数学思想解决问题的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０１７（９）：２－４．［４］闫湛．在大学数学教学中渗透 由特殊到一般 的思想方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（３）：１３－１４．［５］张刚．特殊与一般思想在高考数学中的应用［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１８（６）：１９－２０．［６］叶红．特殊与一般思想［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（１）：１１８－１２１．［７］连佑平．特殊化思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．福建教育学院学报，２０１７（５）：５０－５３．All Rights Reserved.。
巧借三角函数定义妙解2024年高考题
巧用三角函数定义，妙解2024年高考题近年来，高考数学的题目越来越注重考查学生的综合运用能力和创新思维。
其中，三角函数作为高中数学的重要知识点，常常出现在高考试题中。
本文将通过巧用三角函数定义，妙解2024年高考题。
`x−1/3=y−1/4=z`(1)证明：AD⊥AE且DG⊥GF.(2)求证：∠DGF不是直角。
(3)设∠DGF=α，求平面DGF与平面ABC的夹角。
首先，我们需要利用三角函数的定义来解决这道题目。
对于一般的三角形ABC，我们可以利用向量AB和向量AC的点乘来求解夹角BAC的余弦值，然后通过反余弦函数求解夹角BAC的角度值。
(1)首先，我们可以通过坐标点A(1,3,1)和直线l的方程来求解线段AD和AE的方向向量。
分别计算得到：向量AD=(1-1,3-1/4,1-1/3)=(0,3/4,2/3)向量AE=(1-1,1-1/4,1-1/3)=(0,-1/4,-2/3)然后，我们可以通过计算这两个方向向量的点乘来判断它们是否垂直。
即：AD·AE=0*0+(3/4)*(-1/4)+(2/3)*(-2/3)=0由于AD和AE的点乘等于0，所以可以证明AD⊥AE。
同样的方法，我们可以计算线段DG和GF的方向向量，并判断它们是否垂直。
结果证明也成立。
(2)我们需要求解∠DGF的角度值。
根据题目已知条件，我们可以通过向量DG和向量GF的点乘来计算它们的夹角余弦值。
向量DG和向量GF 的计算结果分别为：向量DG=(4-1,-1/4-3,-2/3-1)=(3,-17/4,-5/3)向量GF=(4-1,1-3/4,1-2/3)=(3,5/4,1/3)接下来，我们计算两个向量的点乘，并通过反余弦函数求夹角DGF的角度值。
计算得到：DG·GF=3*3+(-17/4)*(5/4)+(-5/3)*(1/3)=46/8=23/4cos∠DGF = (DG·GF)/(，DG，*，GF，) ≈ (23/4)/(，(3, -17/4, -5/3)，*，(3, 5/4, 1/3)，)因为夹角DGF的余弦值不等于0，所以可以证明∠DGF不是直角。
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运用特殊化方法解答数学客观题(之三)
作者：彭建开
来源：《广东教育·高中》2010年第05期
参变量问题综合性比较强,在选择题中出现的频率很高,完全可以实现“巧解”,请看下面的例子:
例题 (上海2010届联考)若函数y=x-+在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是()
A. (-∞,-1]
B. [-1,+∞)
C. (-∞,1]
D. [1,+∞)
解析这是y=ax+的函数模型,应用广泛,往往需借助导数求单调性,过程比较复杂,不是解选择题的“首选”.其实,出题者在设计答案的时候,往往把各个答案设计得“似是而非”,这无形中使得各答案十分接近,互相联系. 如果通过对比分析“看出”其中的奥妙,我们就能迅速“看出”答案,计算量将大大减少,甚至不用计算.本题是要看哪个范围满足函数y=x-+在(1,+∞)上单调递增,我们可以
用选择支中的数值去检验是否满足题目的条件,求得正确答案.正因为如此,就要特别注意检验的方法,使检验的次数尽量少,检验的过程尽量简单.
我们先“看”四个选择支,B、C有0,A、D无0,先试a=0,得到函数的特殊形式y=x,显然在(1,+∞)单调递增,排除A、D.再“看”B、C,如果继续用a的其它数值验证,势必要对y=x-+的单调
性进行研究,这是我们在解选择题应该避免的.因为x与a两个变量是相互制约,既然我们可以根据a的范围确定x的范围,那么我们也能根据x的范围来确定a的范围.取x1=2,x2=4,y1=2,y2=4+,使函数在(1,+∞)是增函数,须2-8,排除C,故选B,整题的解法基本不用算,能直接“看出”答案.
反思根据题目特点迅速用0验证,体现了思维的敏捷性,特别是0在检验中发挥的作用不可小看,用0代入得到的形式往往非常简单,容易判断其性质.从用a的值验证x的范围,到反过来用x的值验证a的范围,体现了思维的发散性,在解题中要善于进行这样的转换.
解题时要防止犯如下错误:
1. 不讲方法,盲目验证.有些同学也懂得用选择支的数值去“验证”,可是因为不懂得验证的方法,像“盲人骑瞎马”,乱撞一阵,最后无法做出取舍导致做错. 应该对函数的结构和各个选择支的特点进行认真分析,找出差异,找准突破口,这是解题的关键.
2. 本题在排除A、D后,若再取a的特殊值验证则是不可行的,例如:取a=±2检验(因为
2∈B,-2∈C),得到两个函数y=x-+1,y=x+-1,这两个函数谁在(1,+∞)单调增呢,需用导数求解.若通过x取特殊数字检验谁在(1,+∞)单调递增则会做错,因为它们的一个单调递增区间分别是(0,+∞)和(,+∞),在(1,+∞)取特殊数字验证其单调性很难区分,导致做出错误选择.
变式练习1 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]恒成立,则a的取值范围是()
A. [0,+∞)
B. [-2,+∞)
C. [-,+∞)
D. [-3,+∞)
解析直接解法有多种,都比较繁,作为选择题,我们一概不用.我们完全可以根据选择题的特
点轻松求解:“看看”四个答案,就“看出”其中的奥妙了:[0,+∞)[-2,+∞)[-,+∞)[-3,+∞),前面的都是后面的子集,根据这个特点,只要按照-3、-、-2、0的顺序检验,就能快速求解,为什么要用这个顺序呢?因为如果先验证小的集合,即使满足条件也不能排除范围比它大的集合是否成立;而先验证范围大的集合,若满足条件则可以排除选择其子集:令a=-3,x2+ax+1=x2-3x+1≥0在x∈(0,]不恒成立.再令a=-,x2+ax+1=x2-x+1≥0在x∈(0,]恒成立,所以答案是C.
反思找到合理的顺序进行检验是本法解题的关键,防止盲目验证或从头至尾一个一个验证,本题尤其要注意不能选择集合的范围从小到大来检验.
变式练习2 (2010广州攻关训练)已知命题P:关于X的方程x2-ax+4=0有实根;命题Q:关于X的函数y=2x2+ax+4在[3,∞)是增函数.若“P或Q”是真命题,“P且Q”是假命题,则实数a的取值范围是()
A. (-12,-4]∪[4,∞)
B. [-12,-4]∪[4,∞)
C. (-∞,-12)∪(-4,4)
D. [-12,∞)
解析本题是命题、简易逻辑与二次函数的综合,由于要讨论,使得问题变得“扑朔迷离”,直接解题的话就会“陷入沼泽”,因此万不可“强攻”,应当“智取”:先“看”四个答案,A、B无0,C、D有0,所以先检验0.当a=0,命题P不成立,命题q成立,因此符合题意,故排除A和B,再“看”C、D, C没有-12,D有,所以先验证-12,P、Q都成立,不符合题意,所以选C.
反思本题虽然形式较复杂,由于解题的思路明确,所以解答过程十分简单,几乎就是“看出”来的,无需计算.
启示关于参变量问题的选择题,也包括其它与字母取值有关的选择题的解法,关键是思路的转换.若按照习惯思维直接去解题,计算量大、绕的弯多、花费时间长并且很可能做错或无功而返,若按照各选项的特点巧妙检验,很可能易如反掌,不同做法,真是“水火两重天”,遇到此类问题,
同学们不妨一试.
责任编校徐国坚。