课时练：导数的概念及其运算(1)教师版

合集下载

导数的概念及其意义、导数的运算

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x).( × )
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0). 又f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由yy00＝＋x10＝lnx10＋，ln x0x0，解得 x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值(范围)
1.函数f(x)＝ex＋1x 在x＝1处的切线方程为__y＝__(_e_－__1_)_x_＋_2__.
f′(x)＝ex－x12， ∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1， ∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
[cf(x)]′＝ cf′(x) .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝ y′u·u′x ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用结论
1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2.f1x′＝－[ff′x]2x(f(x)≠0).
第三章
考试要求
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如

导数的概念及其运算

一轮复习文科数学教学设计课题： 18（1）导数的概念及其运算主备人：审核人：复习目标1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2. 能根据导数定义求函数x y x y xy x y x y c y ======,,1,,,32的导数..知识梳理一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝0x 处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝0x 处的瞬时变化率xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000为函数y ＝f (x )在x ＝0x 处的导数，记作 f ′(0x )或0x x y =',即f ′(0x )＝x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.(2)几何意义函数f (x )在点0x 处的导数f ′(0x )的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点（0x ，f ′(0x )）处的切线斜率．(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)相应地，切线方程为 ))((000x x x f y y -'=-． 2．函数f (x )的导函数数f ′(x )＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0为f (x )的导函数.三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝)()(x g x f '±'； 2．[f (x )·g (x )]′＝)()()()(x g x f x g x f '+'； 3. [)()(x g x f ]′= )()()()()(2x g x g x f x g x f '-'. 再现性题组1．下列求导运算正确的是 ( B ) A ．211)1(xx x +='+B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．e x x 3log 3)3(=' D.x x x x sin 2)cos (2-=' 2．函数y＝x cos x －sin x 的导数为 ( B ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 3.（2008·全国）曲线423+-=x x y 在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ B ） A ．ο30 B.ο45 C. ο60 D.ο1204.(2010·全国卷Ⅱ)若曲线b ax x y ++=2在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( A ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－15.(2012·郑州联考)设x e x f x +=)(，若f ′(0x )＝2，则f (x )在点(0x ，0y )处的切线方程为12-=x y ．考点一、利用导数的定义求函数的导数6.利用定义法求函数xy 1=在x=1处的导数。

导数的概念及运算--附答案

3.1导数的概念及运算(学案）姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ；【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。

③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______，【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____．解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

高中数学课时训练(十二)导数的概念及其几何意义北师大版选修1-1(2021年整理)

2017-2018学年高中数学课时跟踪训练（十二）导数的概念及其几何意义北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学课时跟踪训练（十二）导数的概念及其几何意义北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学课时跟踪训练（十二）导数的概念及其几何意义北师大版选修1-1的全部内容。

课时跟踪训练（十二）导数的概念及其几何意义1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x等于( ) A ．2B ．1 C.错误! D 。

错误!2．设函数f （x ）＝ax ＋b ,若f (1)＝f ′（1)＝2，则f （2）等于( ）A ．1B ．2C ．4D ．63。

已知函数y ＝f （x ）的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是（）A ．f ′（x A ）〉f ′（xB ）B ．f ′(x A ）<f ′（x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B ）D ．不能确定4．已知曲线f (x )＝－错误!和点M （1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋45．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________.6．一运动物体的运动方程为s (t ）＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s ）,则该物体的初速度是__________m/s.7．已知函数f (x )＝错误!求f ′（1)·f ′（－1）的值．8．求曲线y ＝x 3在点（1，1)处的切线方程．答案1．选B 0lim x ∆→ 错误!＝f ′(1)＝1。

课时作业1：3.1.2 导数的概念

3．1．2 导数的概念1．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()．A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b3．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()．A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．04．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．5．已知函数f(x)在x＝1处可导，且f′(1)＝1，则f（1＋x）－f（1）x＝________．6．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．7．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()．A．(1，10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1，10)8．设函数f(x)可导，则f（1＋Δx）－f（1）3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1) C.13f′(1) D．f′(3)9．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________(填“相等”或“不相等”)．10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________．11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．12．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．答案解析：1．解析物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 A2．解析 ∵Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝a ＋Δx .∴f (x 0)＝ (a ＋Δx )＝a . 答案 C3．解析 f ′(0)＝ f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）2－3ΔxΔx＝ (Δx －3)＝－3.答案 C 4．解析 v 初＝s ′|t ＝0＝ s （0＋Δt ）－s （0）Δt＝ (3－Δt )＝3.答案 35．解析根据导数的定义，f （1＋x ）－f （1）x ＝f ′(1)＝1.答案 16．解 ∵Δy ＝⎣⎡⎦⎤1（x ＋Δx ）2＋2－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2 ＝－2x Δx －（Δx ）2（x ＋Δx ）2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx （x ＋Δx ）2·x 2，∴y ′＝ Δy Δx ＝－2x －Δx （x ＋Δx ）2·x 2＝－2x 3，∴y ′|x ＝1＝－2. 7．解析Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ 3（x0＋Δx ）2＋6（x 0＋Δx ）＋1－3x 20－6x 0－1Δx ＝3Δx ＋6x 0＋6，∴f ′(x 0)＝ Δy Δx ＝(3Δx ＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2＋6x ＋1，得y ＝－2.∴P 点坐标为(－1，－2)．答案 B8．解析根据导数的定义：f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝f ′(1)，f （1＋Δx ）－f （1）3Δx ＝13f ′(1)．答案 C9．解析 v 0＝ΔsΔt ＝ s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝v （t 0＋Δt ）－vt 0Δt ＝ v ·ΔtΔt＝v .答案相等10．解析由图及已知可得函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －2），0≤x ≤2，x －2，2＜x ≤6.利用导数的定义，所以f ′(1)＝ Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝Δx →0－2（1＋Δx －2）＋2（1－2）Δx＝－2.答案－211．解设运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴瞬时速度v ＝ ΔsΔt＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故v ＝at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 12．解由导数的定义知，f ′(x )＝ Δf （x ）Δx ＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝ Δg （x ）Δx ＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝3x 2.∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。

第1课时导数的概念及运算习题和答案详解

1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x .2．(2019·人大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D 解析 y′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D. 3．(2019·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.4．(2019·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线y ＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∴f′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)，∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)．整理，得(a －1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)；当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f′(1)＝－1，故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．(2019·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019 答案 D解析令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f′(x)＝1x ＋1，故f′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2019·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝3cosxB ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x ＋x 答案 C解析 A 项中，f ′(x)＝－3sinx 是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称；B 项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ＝3(x ＋13)2－13，其图像关于直线x ＝－13对称；C 项中，f ′(x)＝2cos2x 是偶函数，图像关于y 轴对称；D 项中，f ′(x)＝e x ＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y 轴对称．故选C.8．(2019·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为( ) A.32 B ．－32C ．－34D.43答案 D解析由f′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝12x 2·sinx ＋xcosx ，则其导函数f′(x)的图像大致是( )答案 C解析由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A ，B.又f′(0)＝1，故选C. 10．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C.12 D ．－1答案 A解析因为f′(x)＝e x －ae －x ，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.11．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B. 12．(2019·重庆一中期中)已知函数f(x)＝e x ＋ae －x为偶函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( )A ．ln2B ．2ln2C ．2 D. 2答案 A解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e x ＋ae －x ＝e －x ＋ae－(－x)，解得a ＝1，所以f(x)＝e x ＋e －x ，所以f′(x)＝e x －e －x .设切点的横坐标为x 0，则f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32.设t ＝ex 0(t>0)，则t －1t ＝32，解得t ＝2，即ex 0＝2，所以x 0＝ln2.故选A.13．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f′(0)＝________．答案－120解析 f′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析由题意，得f′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.16．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案 y ＝－2x －1解析由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx －3x ，则f′(x)＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f′(x 0)＝g′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 18．(2019·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．答案 (1)y ＝13x －32(2)直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，所以直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x02＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。

导数的概念及运算练习含答案

第1讲导数的概念及运算一、选择题1．设y＝x2e x，则y′＝() A．x2e x＋2x B．2x e xC．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A．－e B．－1C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－e C.1e D．－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1 B.1 2C．－2 D．2解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案 A二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0. 11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y ＝x－2的最小距离为()A．1 B.32 C.52 D. 2解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

高中导数的概念与计算练习题带答案

导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（）A ．1-B ．2-C ．2D ．02．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 24．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（） A ．1B ．2C ．eD ．1e5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（）A ．e -B ．1-C ．1D ．e7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-（5）1cos xy xe-=（6）11x x e y e +=-10．已知函数()ln(1)f x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数2()x x f x x e xe =+-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（）A ．1-B ．2-C ．2D ．0选B ．2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)解：由题意知，函数f （x ）＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′（x 0）＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f （x ）中可得P （1,0）．选D ．3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 2解：f （x ）的定义域为（0，＋∞）， f ′（x ）＝ln x ＋1，由f ′（x 0）＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 选B ．4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（） A ．1B ．2C ．eD ．1e解：∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 选A ．5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，… ∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2 012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， ∴f 2 013（x ）＝f ′2 012（x ）＝cos x . 选C ．6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（）A ．e -B ．1-C ．1D ．e解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x，∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B ．7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．解：由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点（1,0）处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．解：y ′＝e x ，设切点的坐标为（x 0，y 0）则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为（1，e ），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）1()2ln f x ax x x=-- （2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -=∵y ＝x e 1－cos x，∴y ′＝e 1－cos x＋x e 1－cos x（sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x.（6）11x x e y e +=-y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2. 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． f ′（x ）＝1x ＋1－1＝－x x ＋1f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：x （－1,0）0 （0，＋∞）f ′（x ）＋0 －f （x ）因此f （x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）．（2）证明由（1）知f （x ）≤f （0）．即ln （x ＋1）≤x设h （x ）＝ln （x ＋1）＋1x ＋1－1h ′（x ）＝1x ＋1－1x ＋12＝x x ＋12可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增．因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln （x ＋1）≤x .11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′（x ）＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f （x ）＝x －3x .（2）证明设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，由f ′（x ）＝1＋3x 2知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0），即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0）．令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）．所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12．设函数2()x x f x x e xe =+-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．解（1）函数f （x ）的定义域为（－ ∞，＋∞）， f ′（x ）＝2x ＋e x －（e x ＋x e x ）＝x （2－e x ），（2）由（1）可知因为，(0)1f =，(2)4241f e e e =+-=-< 所以，2min ()(2)4f x f e ==- 故24m e <-．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

导数的概念及运算知识点+例题全面分类

由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为_________.答案 16解析求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B. 6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．答案 y ＝12e x ＋e 2解析 f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2. ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)，即y ＝12e x ＋e 2. 9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．11。

课时作业3：3．1.2 导数的概念

3.1.2 导数的概念一、选择题1.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2.已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A.Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt叫做这段时间内物体的平均速度 C.Δs Δt不一定与Δt 有关 D.li m Δt →0 Δs Δt叫做这段时间内物体的平均速度 3.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A.f ′(x )＝aB.f ′(x )＝bC.f ′(x 0)＝aD.f ′(x 0)＝b4.质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A.4＋4t 0B.0C.8t 0＋4D.4t 0＋4t 205.已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，则x 0的值为( )A.0B.3C.3 2D.6 26.已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A.(1,10)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(－1,10)二、填空题7.一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________米/秒.8.如果函数f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，那么x 0的值是________. 9.已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.三、解答题10.已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0).11.一质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.12.用导数的定义求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数.13.已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值.答案精析1.C2.D3.C [Δf Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ＋b Δx ， f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δf Δx＝li m Δx →0 (a ＋b Δx )＝a .] 4.C [Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0) ＝4(Δt )2＋4Δt ＋8t 0Δt ， Δs Δt＝4Δt ＋4＋8t 0， li m Δt →0 Δs Δt＝li m Δt →0 (4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0.] 5.C [f ′(x 0)＝li m Δx →0Δf Δx ＝li m Δx →0 [13－8(x 0＋Δx )＋2(x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)Δx＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2(Δx )2Δx ＝li m Δx →0(－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0＝4，所以x 0＝3 2.]6.B [∵Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0 ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ， ∴li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 (6x 0＋3Δx ＋6) ＝6x 0＋6＝0.∴x 0＝－1，y 0＝－2.]7.108.34解析Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝Δx Δx (x 0＋Δx ＋x 0) ＝1x 0＋Δx ＋x 0，所以f ′(x 0)＝li m Δx →01x 0＋Δx ＋x 0＝12x 0＝33，所以x 0＝34. 9.1310.解 ∵Δf ＝(x 0＋Δx －1)2－(x 0－1)2 ＝2x 0Δx －2Δx ＋(Δx )2，∴Δf Δx ＝2x 0Δx －2Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－2＋Δx ，∴f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δf Δx＝li m Δx →0(2x 0－2＋Δx )＝2x 0－2，把x 0＝0代入上式，得f ′(0)＝2×0－2＝－2.11.解因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt＝4a ＋a Δt . 所以当t ＝2时，质点M 的瞬时速度为li m Δt →0 Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，所以a ＝2.12.解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 －11＋Δx ·(1＋1＋Δx ) ＝－11＋0×(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12. 13.解由导数的定义知，f ′(x 0)＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0， g ′(x 0)＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0.解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.。

2022数学课时规范练14导数的概念及运算文含解析

课时规范练14 导数的概念及运算基础巩固组1。

已知函数f (x ）在x=x 0处的导数为f'（x 0），则lim Δx →0f (x 0-mΔx )-f (x 0)Δx等于（） A 。

mf’(x 0） B.—mf'（x 0） C 。

-1mf’（x 0)D.1mf’(x 0）2。

函数f （x )=（2e x ）2+sin x 的导数是（） A.f'（x )=4e x+cos xB 。

f'（x )=4e x-cos xC 。

f'（x )=8e 2x+cos x D.f'(x )=8e 2x-cos x 3。

若f’（x 0)=—3,则lim h →0f (x 0+ℎ)-f (x 0-ℎ)ℎ=（ )A.—3 B 。

-6C.-9D.-124。

设函数f (x ）=ax 3+1。

若f'（1)=3,则a 的值为( ） A 。

0 B.1 C 。

2D.45。

（2020陕西西安中学八模，理5)已知函数f (x ）=x 2ln x+1-f'(1）x ，则函数f （x )的图像在点（1，f (1）)处的切线斜率为（ ) A 。

12B.—12C 。

12—3e D.3e —126.设函数f （x )在R 上可导,f (x )=x 2f’(1）-2x+1,则f （a 2—a+2）与f (1)的大小关系是（ ) A 。

f (a 2—a+2)〉f （1) B.f (a 2—a+2）=f （1） C 。

f （a 2—a+2)〈f (1）D.不确定7。

（2019全国3,文7,理6）已知曲线y=a e x +x ln x 在点（1,a e ）处的切线方程为y=2x+b ，则（） A.a=e ，b=—1 B.a=e,b=1 C 。

a=e -1，b=1D.a=e —1,b=—18.（2020北京二中月考，5)直线y=kx —1与曲线y=ln x 相切,则实数k=( ) A.—1 B.1 C 。

高三数学教案范文：导数的概念及其运算

高三数学教案范文：导数的概念及其运算教案标题：导数的概念及其运算教学目标：1. 理解导数的概念及其运算；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的概念；2. 导数的计算方法。

教学难点：1. 导数的计算方法。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念：导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化速率。

导数的概念和计算方法在解决实际问题中具有重要应用。

二、提出问题（5分钟）1. 通过实例引出导数的计算方法：假设有一段直线走进山谷，我们想知道在每个位置上，直线的斜率是多少？三、导数的定义（10分钟）1. 定义导数（以函数f(x)为例）：函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，表示函数曲线在点(x=a, f(a))处的切线的斜率。

2. 根据导数的定义，讨论导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点上的切线的斜率，也反映了函数在该点的变化趋势。

四、导数的计算方法（15分钟）1. 导数的计算方法：使用导数的定义，通过极限过程求得导数。

2. 计算导数的示例：（1）求常数函数的导数；（2）求多项式函数的导数；（3）求分式函数的导数。

五、导数运算法则（15分钟）1. 导数运算法则：（1）和法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；（2）积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；（3）商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；（4）复合函数的导数：若y=f(u)，u=g(x)，则y的导数为dy/dx = dy/du * du/dx。

六、应用导数解决实际问题（10分钟）1. 利用导数求函数的增减性和极值；2. 通过实例讲解应用导数解决实际问题的方法。

课时规范练14导数的概念及运算

1课时规范练14 导数的概念及运算基础巩固组1.(2019河南豫西名校联考一)已知函数f (x )在x=x 0处的导数为f'(x 0),则limΔx →0f (x 0-mΔx )-f (x 0)等于 ( )A.mf'(x 0)B.-mf'(x 0)C.-1mf'(x 0) D.1mf'(x 0)2.(2019福建宁德一中期中)函数f (x )=(2e x )2+sin x 的导数是( ) A.f'(x )=4e x+cos x B.f'(x )=4e x-cos x C.f'(x )=8e 2x+cos xD.f'(x )=8e 2x-cos x3.(2019黑龙江哈尔滨市六中期中)设f (x )=ln x.若f'(x 0)=3,则x 0=( )A.e 3B.3C.13D.ln 34.(2019湖南湘潭期末)设函数f (x )=ax 3+1.若f'(1)=3,则a 的值为( ) A.0B.1C.2D.45.(2019全国2,文10)曲线y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=06.(2019内蒙古集宁一中期中)函数f (x )=x sin x 在点(3π2,f (3π2))处的切线的倾斜角为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π67.(2019江西赣州期末)设函数f(x)在R上可导,f(x)=x2f'(1)-2x+1,则f(a2-a+2)与f(1)的大小关系是()A.f(a2-a+2)>f(1)B.f(a2-a+2)=f(1)C.f(a2-a+2)<f(1)D.不确定8.(2019贵州铜仁一中期中)已知曲线y=ln x在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()A.(e,1)B.(1,0),-1) D.(e2,2)C.(1e9.(2019江西新八校联考二)若f(x)+3f(-x)=x3+2x+1对x∈R恒成立,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为()A.5x+2y-5=0B.10x+4y-5=0C.5x+4y=0D.20x-4y-15=010.(2019福建泉州质检,14)若函数f(x)=x ln x+a在点(1,f(1))处的切线过点(2,2),则a=.11.(2019河南八市重点高中联考二,15)若一直线与曲线y=eln x和曲线y=mx2相切于同一点P,则实数m=.x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.12.若函数f(x)=12综合提升组13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=131)=()23A.13B.-23C.73D.-13或5315.(2019黑龙江大庆铁人中学期末)如图,y=f (x )是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=( )A.-1B.0C.2D.416.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 .创新应用组17.(2019湖南娄底高三模拟)已知函数f (x )=4e x +1+x 3+sin x ,其导函数为f'(x ),则f (2 020)+f'(2 020)+f (-2020)-f'(-2 020)的值为( ) A.4 040B.4C.2D.018.(2019江西南昌模拟)已知f (x )在R 上连续可导,f'(x )为其导函数,且f (x )=e x +e -x -f'(1)x ·(e x -e -x ),则f'(2)+f'(-2)-f'(0)f'(1)=( ) A.4e 2+4e -2 B.4e 2-4e -2 C.0D.4e 2课时规范练14导数的概念及运算1.B因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),所以limΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)Δx=-mlim -mΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)-mΔx=-mf'(x0).故选B.2.C因为f(x)=(2e x)2+sin x=4e2x2+sin x,所以f'(x)=(4e2x2)'+(sin x)'=8e2x+cos x.故选C.3.C∵f(x)=ln x,∴f'(x)=1.又f'(x0)=3,∴1x0=3,解得x0=13.故选C.4.B∵f(x)=ax3+1,∴f'(x)=3ax2.又f'(1)=3,∴3a=3,解得a=1.故选B.5.C当x=π时,y=2sin π+cos π=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.∵y'=2cos x-sin x,∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.∴曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.6.C由已知得,f'(x)=sin x+x cos x,则f'(3π2)=sin3π2+3π2cos3π2=-1.由导数的几何意义可知,切线的斜率k=-1.4设切线的倾斜角为α,则k=tan α=-1,所以α=3π.故选C.7.A由题意可知,f'(x)=2f'(1)x-2, 则f'(1)=2f'(1)-2,解得f'(1)=2.故f(x)=2x2-2x+1.所以函数f(x)在区间(12,+∞)上单调递增.因为a2-a+2=(a-12)2+7 4>1>12,所以f(a2-a+2)>f(1).故选A.8.B设点A的坐标为(x0,ln x0),曲线y=ln x在点A处的切线的斜率为k.∵y=ln x,∴y'=1x,∴k=y'|x=x0=1x0.又切线与直线x-y+1=0平行,∴1x0=1,解得x0=1,∴ln x0=0.故点A的坐标为(1,0).故选B.9.B∵f(x)+3f(-x)=x3+2x+1,①∴f(-x)+3f(x)=-x3-2x+1,②联立①②,解得f(x)=-12x3-x+14,则f'(x)=-32x2-1.∴f(1)=-12-1+14=-54,f'(1)=-32-1=-52.故切线方程为y+54=-52(x-1),即10x+4y-5=0.故选B.510.1因为f(x)=x ln x+a,所以f'(x)=ln x+1,所以f'(1)=1.又f(1)=a,所以切线方程为y=x-1+a.又切线经过点(2,2),所以2=2-1+a,解得a=1. 11.1曲线y=eln x的导数为y'=e,曲线y=mx2的导数为y'=2mx.由e=2mx,x>0,m>0,得x=√e2m,故切点P的坐标为(√e2m ,e 2 ).将点P的坐标代入y=eln x得,eln√e2m=e2,解得m=12.12.[2,+∞)∵f(x)=12x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+1.∵f(x)的图象存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+1-a=0有解,∴a=x+1x≥2(x>0),当且仅当x=1时,取等号.13.B设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象相切于点(x0,y0),则{kx0-1=y0,x0ln x0=y0,ln x0+1=k,解得{x0=1,y0=0,k=1.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.14.D∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若f'(x)的图象为③,则a2-1=0.67又对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f (-1)=-13.15.B 将点(3,1)的坐标代入y=kx+2得,3k+2=1,解得k=-13, 所以f'(3)=k=-13.因为点(3,1)在函数y=f (x )的图象上,所以f (3)=1.因为g (x )=xf (x ), 所以g'(x )=f (x )+xf'(x ),所以g'(3)=f (3)+3f'(3)=1+3×(-13)=0.故选B .16.4 当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x 相切位置时,切点Q 即为点P 到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=(x +4x )'=1-4x 2=-1(x>0),得x=√2(-√2舍).此时y=√2+√2=3√2,即切点Q (√2,3√2),则切点Q 到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|√1+1=4,即为所求最小值.17.B 因为f (x )=4x +x 3+sin x ,所以f (x )+f (-x )=4x +4e xx =4.又f'(x )=-4e x(e x +1)2+3x 2+cos x ,所以f'(x )-f'(-x )=0.所以f (2 020)+f'(2 020)+f (-2 020)-f'(-2 020)=4.故选B . 18.C 因为f (-x )=e -x +e x -f'(1)(-x )(e -x -e x )=f (x ),所以f (x )是偶函数. 对f (-x )=f (x )两边求导,得-f'(-x )=f'(x ),即f'(-x )=-f'(x ), 则f'(x )是R 上的奇函数, 故f'(0)=0,f'(-2)=-f'(2),即f'(2)+f'(-2)=0.所以f'(2)+f'(-2)-f'(0)f'(1)=0.故选C.8。

高考数学总复习课时训练 3-1 《导数的概念及运算》新人教B版选修1-1

2013年高考数学总复习 3-1 导数的概念及运算但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·龙岩质检)f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3.(理)(2011·青岛质检)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，故选B.2．(2011·皖南八校联考)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－7 [答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9， ∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.3．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2 D.12[答案] C[解析] k ＝y ′＝14x ＝12，∴x ＝2.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y ＝2x 2在点P (1，2)处的切线方程是( ) A ．4x －y －2＝0 B ．4x ＋y －2＝0C ．4x ＋y ＋2＝0D ．4x －y ＋2＝0 [答案] A[解析] k ＝y ′|x ＝1＝4x |x ＝1＝4，∴切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.4．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.23π C.π4 D.π6 [答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x ＝π4.(理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝sin x1＋cos x ，x ∈(0，π)，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.2π3C.π4D.π6 [答案] B[解析] y ′＝cos x ·1＋cos x －sin x ·－sin x1＋cos x 2＝11＋cos x ＝2，∴cos x ＝－12， ∵x ∈(0，π)，∴x ＝2π3.5．(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19C.13D.23 [答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x －3y －2＝0，令x＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.6．(文)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f a ＋1－f aa ＋1－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .(理)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1.由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z)．故A 正确．7．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立，则m 的取值范围为________．[答案] [－49，0)[解析] ∵f ′(x )＝9x 2＋4x ≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x )＝0的两根为x 1＝0，x 2＝－49，∴－49≤m <0.(理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .9．(2011·济南模拟)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 点(1,1)在曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n ，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝nn ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.10．(文)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12；又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎨⎧y ′|x ＝2＝0f 2＝0即⎩⎨⎧12a ＋4b ＋12＝08a ＋4b ＋20＝0解得a ＝2，b ＝－9所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0f 1＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0a ＝12，可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1(1，＋∞)f ′(x)－ 0 ＋f (x ) ↘极小值↗所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞).11.(文)(2011·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ． e 2D.e 22[答案] D[解析] y ′|x ＝2＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝1， ∴所求面积S ＝e 22.(理)(2011·湖南文，7)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－ 12 B.12C ．－22 D.22[答案] B[解析] ∵y ′＝cos xsin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x2＝1sin x ＋cos x2，∴y ′|x ＝π4＝12.12．(文)(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) [答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－x －2x>0，即⎩⎨⎧x >0x 2－x －2>0，解得x >2，故选C.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1} [答案] D[解析] 令φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数，φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}，选D.13．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a)在第三象限，故选C.(理)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A.14．(文)(2011·山东省济南市调研)已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 53[解析] 由题意知点M 在f (x )的图象上，也在直线2x －3y ＋1＝0上，∴2×1－3f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1，又f ′(1)＝23，∴f (1)＋f ′(1)＝53.(理)(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)． 15．(文)(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ，求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎨⎧f 1＝0f ′1＝－1，即⎩⎨⎧1－a ＋b ＋ab ＝03－2a ＋b ＋ab ＝－1，解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1，因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0，x 1) x 1(x 1，x 2) x 2(x 2,3) 3 f ′(x)＋－0 ＋f (x ) 0 递增错误!递减－239递增 6所以f (x )＝6；f (x )＝－23.(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .(理)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a2x0，由x 0＋2a ＝3a2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，则h ′(a )＝2a (1－3ln a )．由h ′(a )>0得，0<a <e 13，由h ′(a )<0得，a >e 13.故h (a )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e 13时取最大值h (e 13)＝32e 23.即b 的最大值为32e 23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －ax ＋3a x(x >0)．故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数，于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0，即当x >0时，f (x )≥g (x )．1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B.2．(2011·茂名一模)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12[答案] A[解析] ∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2，由条件知，g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A.3．(2010·新课标高考)曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13C.53 D ．－53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1.由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13. 5．(2011·广东省佛山市测试)设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )[答案] C[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在给定区间上是减函数，故选C.6．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.7．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1，∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β.[点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾． 8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.。

课时作业13：§3.1导数的概念及运算

§3.1导数的概念及运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.5．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3. 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．03．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π65．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－26．函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________．7.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.8．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则＋＋＝________.9．求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278B ．－2C ．2D ．－278 2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．()a f a '()b f b '()c f c '参考答案一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．C【解析】∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．B【解析】由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 3．C【解析】 ∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.4．1【解析】∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.5．解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3. 二保高考，全练题型做到高考达标1．B【解析】选B f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．B【解析】 f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．A【解析】 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．C【解析】因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．D【解析】 ∵f ′(x )＝1x， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.6．y ＝2e x －e【解析】 ∵f (x )＝x e x ，∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.7. 0【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13. 又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 8．0【解析】∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ，∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴＋＋ ()a f a '()b f b '()c f c '＝＋＋＝＝0. 9．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋x cos 2x . (2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．A【解析】设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和 k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 2．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1， ()()a a b a c --()()b b a b c --()()c c a c b --()()()()()()a b c b a c c a b a b a c b c ---+----故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

课时作业4：§3.1 导数的概念及运算

§3.1 导数的概念及运算A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案 B解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x. ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．(2014·大纲全国)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案 C解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0答案 D 解析对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112 B.16 C.13D.12答案 B解析求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B. 6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________. 答案 6解析对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．答案 y ＝12e x ＋e 2解析 f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2. ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)，即y ＝12e x ＋e 2. 9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过坐标点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0B.π4 C ．1D.π2答案 B解析由f (x )＝e x cos x ，得f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ．所以f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1，即倾斜角α满足tan α＝1.根据α∈[0，π)，得α＝π4. 12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′(π6)，则f (－π3)与f (π3)的大小关系是( ) A ．f (－π3)＝f (π3) B ．f (－π3)>f (π3) C ．f (－π3)<f (π3) D ．不确定答案 C解析依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′(π6)， ∴f ′(π6)＝－sin π6＋2f ′(π6)， ∴f ′(π6)＝12， ∴f ′(x )＝－sin x ＋1.∵当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是(－π2，π2)上的增函数，又－π2<－π3<π3<π2，∴f (－π3)<f (π3)． 13．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案 278解析设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k 1＝－a 和k 2＝274－a ，由题意，它们互为相反数得a ＝278. 14．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 15．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．。

课时作业1：§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算课时精练1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x答案 B解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确．2．(2020·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln xx 在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为() A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x ＋y －4＝0答案 D解析因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln xx 2.又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.3．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )答案 A解析 f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(x )为奇函数，排除B ，D ，又f ′⎝⎛⎭⎫π6＝π12－sin π6＝π12－12<0，故选A.4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6答案 C解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π故选C.5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是()A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0，故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x 答案 AC解析若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ . 答案 10解析切点坐标为(2，f (2))，∵切点在切线上，∴f (2)＝3×2＋1＝7，又k ＝f ′(2)＝3，∴f (2)＋f ′(2)＝10.8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≤0时，f (x )＝x 2－2x ，则曲线在点(2，f (2))处的切线方程为．答案 6x ＋y －4＝0解析 ∵f (－2)＝(－2)2－2×(－2)＝8，且f (x )为奇函数，∴f (2)＝－8，∴切点坐标为(2，－8)，又当x ≤0时，f ′(x )＝2x －2，∴f ′(－2)＝－6，又f (x )为奇函数，∴f ′(2)＝－6，∴所求切线的斜率k ＝－6，故所求的切线方程为y ＋8＝－6(x －2)，即6x ＋y －4＝0.10．(2020·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．答案 2解析设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1. ∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1,1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝ 2. 11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x 2，所以⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 C解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x .故选C.14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)解析 f ′(x )＝1－a 2x2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0， ∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1－a 2x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1,0)，即－⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a 2－8(－a )>0，解得a >0或a <－2.15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为．答案 34e --解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f ′(0)＝a ，又f (0)＝14， ∴f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝a (x －0)，即y ＝ax ＋14，故y ＝ax ＋14与g (x )＝－ln x 相切，设切点坐标为(x 0，y 0)，又g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1x 0，y 0＝－ln x 0，y 0＝ax 0＋14，解得340034e ,3,4e .x y a -⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

课时作业18：§3.1　导数的概念及运算

§3.1 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π答案 C解析因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．(2020·人大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线的斜率是( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 y ′＝(x ＋1)′(x －1)－(x ＋1)(x －1)′(x －1)2＝－2(x －1)2，故曲线在点(3,2)处的切线的斜率 k ＝y ′|x ＝3＝－2(3－1)2＝－12，故选D.3.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f (2)－f (1)2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)答案 B解析由图象可知，在(0，＋∞)上，函数 f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵f (2)－f (1)2－1＝a ，∴易知f ′(1)<a <f ′(2)．4．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫3π4，π B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π4 答案 A解析求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.5．(2019·重庆一中期中)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( ) A ．ln 2 B ．2ln 2 C ．2 D. 2 答案 A解析因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即e x ＋a e －x ＝e －x ＋a e－(－x )，解得a ＝1，所以f (x )＝e x ＋e －x ，所以f ′(x )＝e x －e －x .设切点的横坐标为x 0，则f ′(x 0)＝00e e xx －－＝32.设t ＝0e x(t >0)，则t －1t ＝32，解得t ＝2，即0e x＝2，所以x 0＝ln 2.故选A.6．(2019·东北三校联考)π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1答案 B 解析ππ2220011sin d cos d 222x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰π2011sin|22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝π4－12.7．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 020)＋2 020ln x ，则f ′(1)＝________.答案－2 021解析由题意，得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 020)＋2 020x ，所以f ′(2 020)＝2 020＋2f ′(2 020)＋1，解得f ′(2 020)＝－2 021，所以f ′(x )＝x ＋2 020x －4 042，所以f ′(1)＝1＋2 020－4 042＝－2 021.8．过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程为__________________．答案 x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 解析设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．即2x 30－3x 20＋1＝0，(2x 30－2x 20)－(x 20－1)＝0， (x 0－1)·(2x 20－x 0－1)＝0. 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.9．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为________．答案2解析当曲线y ＝x 2－ln x 在点P 处的切线与直线y ＝x －2平行时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－ln x 求导，得y ′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1,1)，故点(1,1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．10．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析封闭图形如图中阴影部分所示，则332220022d |0,33aax x x a a ==-=⎰解得a ＝49.11．已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，求实数a 的值．解因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，又f (e)＝e ，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.12．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解 (1)根据题意，得f ′(x )＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率 k ＝f ′(2)＝13，所以要求的切线方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又直线l 过点(0,0)，则(3x 20＋1)(0－x 0)＋x 30＋x 0－16＝0，整理得x 30＝－8，解得x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l 的斜率k ′＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．13．(2019·宜昌三校模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处的切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的大致图象是( )答案 A解析对f (x )求导，得f ′(x )＝12x －sin x ，则k ＝f ′(t )＝g (t )＝12t －sin t .由g (t )＝－g (－t )可知，k ＝g (t )为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，D ；又当t ＝π2时，g ⎝⎛⎭⎫π2＝π4－sin π2＝π4－1<0，排除C.故选A. 14．(2019·巴蜀期中)若曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t >0，所以1t＋t ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，所以3－a ≥2，即a ≤1.15．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝________. 答案 0或－1解析设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x ，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ，解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.16．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f (x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f (x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f (x)的切线方程为y＝9，所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。