【精品】2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
江西省宜市樟树中学、高安二中联考高二数学上学期期末
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．i是虚数单位，则复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．已知集合M={x|log2x＜3}，N={x|x=2n+1，n∈N}，则M∩N=（）A．（0，8） B．{3，5，7} C．{0，1，3，5，7} D．{1，3，5，7}3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：若x∈N*，则x∈Z．命题q：∃x0∈R，．则下列命题为真命题的是（）A．￢p B．p∧q C．￢p∨q D．￢p∨￢q5．若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零7．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2） D．8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．9．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）A．25 B．250 C．55 D．13310．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A．B．﹣C．﹣D．211．三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则•等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．212．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列．14．由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是．15．已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是．16．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+alnx（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）==，∴f（x）+xf′（x）=﹣=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列．【考点】类比推理．【专题】计算题．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．【解答】解：由于等差数列的定义是后一项减去前一项而等比数列的定义是后一项除以前一项在运算上升了一级故将差类比成比：则T4，，成等比数列故答案为．【点评】本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．14．由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2=x 所围成的图形的面积．【解答】解：先将y2=x化成：，联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案为：．【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．15．已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意可得向量的模长相等，进而可得∴（+）•（﹣）==0，可得结论．【解答】解：∵ =（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），∴||=||=，∴（+）•（﹣）==0∴+与﹣垂直，∴向量+与﹣的夹角为：90°故答案为：90°【点评】本题考查向量的数量积与夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．16．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由，得，从而求出A点坐标，再由点A在渐近线y=上，能求出双曲线的离心率．【解答】解：设点F（c，0），B（0，b），由，得=2（），∴，∴A（，），∵点A在渐近线y=上，则，解得e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．18．已知函数f（x）=x2+alnx（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+﹣，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得=（x＞0）令f′（x）＞0，则﹣1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，则x＜﹣1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+﹣，①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，设Φ（x）=﹣2x2，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围[0，+∞）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键．19．数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理．【专题】计算题；证明题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，那么n=k+1时，a k+1=s k+1﹣s k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，所以2a k+1=2+a k，所以，这表明n=k+1时，结论成立．由①②知对一切n∈N*猜想成立．…【点评】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连接A1C，交C1A于E，证明：DE∥A1B，即可证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABA1的一个法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，所以DE∥A1B，…又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…【点评】本题考查线面平行，考查平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P在椭圆C上，且=+，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得b=，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（ⅱ）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断．【解答】解：（1）由2b=2．得b=，即有=，a2﹣c2=2，所以，则椭圆方程为；（2）椭圆C的方程为2x2+3y2=6．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1）．C上的点P使=+成立的充要条件是P点坐标为（x1+x2，y1+y2），且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，又A、B在椭圆C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，故2x1x2+3y1y2+3=0．①将y=k（x﹣1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，于是x1+x2=，x1•x2=，y1•y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=．代入①解得k2=2，因此，当k=﹣时，l的方程为x+y﹣=0；当k=时，l的方程为x﹣y﹣=0．（ⅱ）当l垂直于x轴时，由+=（2，0）知，C上不存在点P使=+成立．综上，l的方程为x±y﹣=0．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程的求法，注意运用分类讨论的思想方法和直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2．其中x∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）当a＜0时，对于函数h（x）=f（x）﹣g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为k AB，若|k AB|≥1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；（Ⅲ）|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，构造H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，可得﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，分离参数，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），依题意得：a=2；…∴曲线y=f（x）在x=1处的切线为2x﹣y﹣2=0，曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y ﹣1=0．…∴两直线间的距离为=…（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，则当a≤0时，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，…又h（1）=0，故0＜x＜1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）﹣1，与题设矛盾．…当a＞0时，当，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0∴h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…∴h（x）≤∵h（1）=0，又当a≠2时，与不符．∴a=2．…（Ⅲ）当a＜0时，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，不妨设0＜x1≤x2，则|h（x1）﹣h（x2）|=h（x1）﹣h（x2），|x1﹣x2|=x2﹣x1，…∴|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，…令H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，∵（x＞0），…∴﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，∴a≤（2x2﹣x）min…又x＞0时，（2x2﹣x）min=∴a≤﹣，又a＜0，∴a的取值范围是．…【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考理数试题解析(解析版)
i12i 江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，则复数1ii+的虚部是A ． 12B ．C ．1D ．【答案】A 【解析】 试题分析：()()()1111111222i i i i i i i i -+==+++-=,虚数为12考点：复数及相关概念2.已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂= A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7} 【答案】D 【解析】试题分析：{}2{|log 3}|08M x x x x =<=<<{1,3,5,7}M N ∴⋂= 考点：集合的交集运算 3.若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当1x >时可得到11x<，反之不成立，所以p 是q 的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件4.已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z.命题q ：∃x 0∈R ，01()02x =.则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p ∧qC ． p q ⌝∨D ．p q ⌝∨⌝ 【答案】D 【解析】试题分析：命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z 是真命题，命题q ：∃x 0∈R ，01()02x =是假命题，所以p q ⌝∨⌝是真命题考点：复合命题的判定 5.若()261cos x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】B 【解析】 试题分析：()()222661010111cos |sin |221222x a dx xdx x ax x a a a ππ⎛⎫⎛⎫-=∴-=∴---=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰考点：定积分6.用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为 A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零 B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零 C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零 D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C 【解析】试题分析：反证法证明时，首先假设要证命题的结论的反面成立，即反设为,,a b c 三个实数中至少有两个小于零 考点：反证法7.已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭考点：归纳推理10.已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()xg x f x =，则()1g '= A.12B.12-C. 32-D.2【答案】A 【解析】试题分析：由函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=可知()()'111,1,2f f ==()()()()()()()()''''221111121112f x xf x f fg x g f x f ---∴=∴=== 考点：函数求导数及导数的几何意义11.三棱锥A-BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB CD等于A ．－2B ．2C ．－D ． 【答案】A 【解析】试题分析：()022cos 602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-考点：平面向量数量积的运算12.已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(),3-∞ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(-∞ 【答案】C 【解析】试题分析：()()()'00f x xf x xf x '+>∴>⎡⎤⎣⎦，设()()()0g x xf x g x =∴>，所以存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足函数()g x 单调递增，()()()22'11ln 222022g x xf x x x bx b g x x b b x x x==+-+∴=+->∴<+ ，即存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足max 112222b x b x x x ⎛⎫<+∴<+ ⎪⎝⎭，设12y x x =+，当2x =时取得最大值max 92y =99224b b ∴<∴< 考点：函数单调性与最值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，128T T 成等比数列． 【答案】84T T考点：类比推理14.曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是 【答案】13【解析】试题分析：两曲线的交点为()1,1所以面积)312312021211|33333S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义15.已知(cos ,1,sin )a αα=r ，(sin ,1,cos )b αα=r ，则向量a b +r r 与a b -r r的夹角是【答案】2π【解析】试题分析：222222cos 1sin 2,sin 1cos 2a b αααα=++==++= ()()220a b a b a b ∴+-=-=考点：向量夹角及向量的模16.设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =uu r uu u r，则双曲线的离心率为_____．【答案】2 【解析】试题分析：设点F （c ，0），B （0，b ），由2FA AB =uu r uu u r，得()()1222,333c b OA OF OB OA OA OF OB A ⎛⎫-=-∴=+∴ ⎪⎝⎭∵点A 在渐近线b y x a =上，则233b b c a = ，解得2ce a==． 考点：双曲线方程及性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a>0，命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (2,3) (2) (1,2] 【解析】试题分析：分别化简命题p ：a ＜x ＜3a ；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，解得2≤x ≤3．（1）若a=1，则p 化为：1＜x ＜3，由p ∧q 为真，可得p 与q 都为真；（2）￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，即可得出 试题解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a)(x －a)<0. ……2分又a>0，所以a<x<3a ，当a ＝1时，1<x<3，即p 为真命题时，1<x<3.由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩解得2342x x x -≤≤⎧⎨<->⎩或即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3. ……4分若p ∧q 为真，则1323x x <<⎧⎨<≤⎩⇔2<x<3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．………6分(2)因为非p 是非q 的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，于是满足233a a ≤⎧⎨>⎩……9分解得1<a ≤2，故所求a 的取值范围是(1,2]．……10分考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断 18.（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (0, 1)为单调递减区间，(1,＋∞)为单调递增区间 (2) [0，＋∞) 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（Ⅱ）由题意得()'222a g x x x x=+-，分函数g （x ）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a 的取值范围试题解析：(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时，f(x)＝x 2－2lnx ，所以f ′(x)＝2x －2x＝()()211x x x +-，……4分则当x ∈(0,1)时，f ′(x)<0，所以(0,1)为f(x)的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，(1，＋∞)为f(x)的单调递增区间．……6分 (2)由题意得g ′(x)＝2x ＋a x －22x，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．……7分 (ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，……9分 设φ(x)＝2x－2x 2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减， 所以φ(x)max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0. ……11分(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． 综上，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．……12分考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系 19.（本小题满分12分） 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【答案】(1) 13715211,,,,2482n n n a --=(2)详见解析(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．…7分②假设n ＝k(k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即1212k k k a --=，…8分那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋1212k k --＝11212k k +--.……10分∴a k ＋1＝1212k k +-，由①②可知，对n ∈N *，1212n k n a --=都成立．……12分考点：数学归纳法；数列递推式；归纳推理 20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． (1)求证：1A B ∥1ADC 平面；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．【答案】(1)详见解析(2) 【解析】试题分析：（1）连接1AC ，交1AC 于点E ，连接DE ，则DE ∥1A B ．由此能证明1A B ∥平面1ADC ；(2)首先求得平面ADC 1与平面ABA 1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角试题解析：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B＝(2,0，－4),…2分设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量…5分,因为110A B n ⋅=uuu r u r所以1A B ∥1ADC 平面；.……6分,(2)取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|＝1212n n n n＝23，……11分 得sinθ因此，平面ADC 1与平面ABA 1.……12分 考点：1.线面平行的判定；2.二面角求解 21.(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b += (a>b>0)，短轴长为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在椭圆C 上，且OP OA OB =+，求直线l 的方程；【答案】(1) 22132x y +=(2)x±y －＝0. 【解析】试题分析：（1）由题意可得b =，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；（2）设A ()11,x y ，B ()22,x y ．（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y=k （x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k ；（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由向量的加法运算，即可判断试题解析：(1)由2b ＝.得b ……1分c a =222a c -= …3分所以1a c ==椭圆方程为22132x y +=…………5分 （2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． (ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k(x －1)．…6分C 上的点P 使OP OA OB =+成立的充要条件是P 点坐标为 (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=，又A 、B 在椭圆C 上，即22221122236,236x y x y +=+=，故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.① …7分将y ＝k(x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝22623k k +，x 1·x 2＝223623k k -+，…9分y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝22423k k-+. 代入①解得k 2＝2，因此，当k 时，l x ＋y ＝0；当k 时， l x －y ＝0. …11分(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由()2,0OA OB +=知，C 上不存在点P 使OP OA OB =+ 成立．综上， l x±y ＝0. …12分 考点：椭圆的方程及简单性质 22.(本小题满分12分)已知函数2()ln ,(),f x a x g x x a R ==∈其中 .(1) 若曲线()()y f x y g x ==与 在1x = 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离． （2）若())1f x g x ≤-（对任意0x >恒成立，求实数a 的值；（3）当0a < 时，对于函数()()()1h x f x g x =-+ ，记在()h x 图象上任意两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) 2）2（3）1(,]8-∞- 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（Ⅱ）令h （x ）=f （x ）-g （x ）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a 的值；（Ⅲ）()()1212h x h x x x -≥-等价于()()1221h x h x x x -≥-，即()()1122h x x h x x +≥+，构造()()2ln 1H x h x x a x x x =+=-++，H （x ）在()0,+∞上是减函数，可得220x x a -++≤在x ＞0时恒成立，分离参数，即可求a 的取值范围 试题解析：（Ⅰ）x x g xax f 2)(',)('==,依题意得:a=2; ……………2分 曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x －y －2=0,曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分……………4分 （Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x) +1, ,则22'()2a a x h x x x x-=-=当a≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分 又h(1) =0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分 当a>0时,)0)(2)(2(2)('>-+=x x ax a x x h当20a x <<,,0)('>x h 当2ax >时,0)('<x h所以h(x)在⎛ ⎝上是增函数,在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数,∴h(x)≤ln 1222a a ah =-+因为h(1)＝0,又当a≠2时1≠ , (1)0h h >=与0h ≤不符.所以a ＝2.………8分（Ⅲ）当a<0时,由(2)知)('x h <0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数, 不妨设0<x 1≤x 2,则|h(x 1)－h(x 2)|＝h(x 1)－h(x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ∴|h(x 1)－h(x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h(x 1)－h(x 2)≥x 2－x 1,即h(x 1)＋x 1≥h(x 2)＋x 2,令H(x)＝h(x)＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数, ∵22'()21a x x aH x x x x -++=-+= (x>0),∴－2x 2＋x ＋a≤0在x>0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x)min ……………10分 又x>0时, (2x 2－x)min =18- ………11分∴a ≤－18,又a<0,∴a 的取值范围是1(,]8-∞-…………12分考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题：。
江西省樟树中学2016-2017学年高二数学上学期第四次月考试题 文
江西省樟树中学2018届高二第四次月考数学(文)试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设，若B A ⊆,则a 的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．2.已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则( )A ． 非p ：∃x ∈R ，cos x ≥1B ． 非p ：∀x ∈R ，cos x ≥1C ． 非p ：∃x ∈R ，cos x >1D ． 非p ：∀x ∈R ，cos x >1 3.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体 的表面积和体积分别为( ) A ． 24π cm 2,12π cm 3B ． 15π cm 2,12π cm 3C ． 24π cm 2,36π cm 3D ． 以上都不正确4.已知点P (x ，y )的坐标满足条件 则x 2＋y 2的最大值为( ) A.10 B.8 C.16 D.10 5.阅读右面的程序框图，则输出的S 等于( ) A.14 B.20 C.30 D.556.已知x 、y 的取值如右表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为213+=∧bx y ， 则b ＝( )A. －12B. 13C. 12 D. 17.已知向量b a ,,12==,且)25()(-⊥+,则b a 与的夹角为（ ）第5题图A ．3π B ．4π C ．2π D ．6π 8.设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A.－2 B.0 C.－2或0 D.－2或29.在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为 “x 2＋y 2<1”， 则P (A )等于( ) A ．4π B ． 2πC ． πD ． 2π 10.已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ． [4－23，4＋23] B ． [4－3，4＋3] C ． [4－22，4＋22] D ． [4－2，4＋2]11.已知数列{}n a 满足11=a ，且对任意的*∈N n m ,，都有mn a a a n m n m ++=+，则=++++20163211111a a a a （ ） A ．20164032B ．20184034C ．20184032D ．2017403212.设正实数x ， y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最大值时,z y x 212-+的最大值为( )A.0B.1C.49D.3 二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设f (x )＝ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f ＝___________．14.已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x y x ∈+=,,,则yx 41+的最 小值是______．15.已知1tan 2sin )(++=x b x a x f ,且4)2(=-f ，那么=+)2(πf 16.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这条抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)．三、解答题 （本大题共6小题，共70分。
江西省樟树中学、高安市第二中学高二数学上学期期中试
2017届樟树中学、高安二中 期中考试高二数学联考试题(理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1.命题“存在∈0x R ，02x ≤0”的否定是( )A ．不存在∈0x R, 02x >0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈0x R, 02x ≤0D ．对任意的∈0x R, 02x>02. 已知命题p ：x ≤1，命题q ：≥1，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件3.抛物线22ay x =的准线方程是1=x ，则a 的值是（ ）A ．18-B ． 18C ．-2D ．24.下列说法中，正确的是( )A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B ．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5.若βα,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线βα⊥⊥a a a ,,；②存在一个平面βγαγγ⊥⊥,,；③存在两条平行直线βα⊆⊆b a b a ,,,,且αβ//,//b a ；④存在两条异面直线αββα//,//,,,,b a b a b a 且⊆⊆．那么可以是βα//的充分条件的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角为( ) A 30° B 45° C 60° D 90°7.程序框图如下图，运行的结果为132=S ，若要使输出的结果为1320，则可能的修改方法是 ( )（第12图）A.在①处改为1,13==s kB.在②处改为10<KC.在③处改为)1(-⨯=K S SD.在④处改为2-=K K8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.59.如图，已知AB 是半圆O 的直径，P N M ,,是将半圆圆周四等分的三个分点，从P N M B O A ,,,,,这6个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（ ）A ．52 B ． 207 C．103D ． 4110.如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，， ，，若，则点在平面内的轨迹是 ( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．曲线的一部分D ．抛物线的一部分11.椭圆1121622=+y x 的长轴为21,A A ,短轴为21,B B ,将椭圆沿y 轴折成一个二面角,使得点1A 在平面221B A B 上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°12. 如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点QP ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( )ABC D二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 14.如图，四边形ABCD 为矩形，AB=，BC=1，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.15.表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 体积的最大值为 ．16.若曲线1942=+y y x 和曲线03=-+y kx 有三个交点，则k 的取值范围是________. 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？18.某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是:[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期中联考化学试题解析(解析版)
1．“低碳经济”是以低能耗、低污染、低排放为基础的可持续发展经济模式。
下列说法与“低碳经济”不符合．．．的是( )A．大力研发新型有机溶剂替代水作为萃取剂B．加强对煤、石油、天然气等综合利用的研究，提高燃料的利用率C．利用CO2合成聚碳酸酯类可降解塑料，实现“碳”的循环利用D．使用甲醇、乙醇混合型汽油可以减少对大气的污染【答案】A【解析】试题分析：A、有机溶剂比水污染大，不符合低碳经济，故正确；B、提高燃料的利用率，可减少能源的使用和污染物的排放，符合低碳经济，故错误；C、能减少CO2的排放，符合低碳经济，故错误；D、放出相同的热量，甲烷生成的CO2较少，利用甲烷更低碳，能减少CO2的排放，符合低碳经济，故错误。
考点：使用化石燃料的利弊以及新能源的开发等知识。
2．下列关于化学反应速率的说法正确的是()A．化学反应速率是指一定时间任何一种反应物的减小或任何一种生成物的增加B．化学反应速率0.8 mol/(L·s)是指1 s时某物质的浓度为0.8 mol/LC．对于任何化学反应来说，反应速率越大，反应现象就越明显D．根据化学反应速率的大小可以知道化学反应进行的快慢【答案】D【解析】试题分析：A、化学反应速率是指单位时间内反应物浓度的减小或生成物浓度的增加，故错误；B、是1s 内某物质浓度的变化为0.8mol·L－1，故错误；C、化学反应速率快，现象不一定明显，如NaOH和盐酸的反应，故错误；D、化学反应速率衡量化学反应进行快慢的程度，故正确。
考点：考查化学反应速率等知识。
3．下列说法中正确的是()A．在100 ℃、101 kPa条件下，1 mol液态水汽化时需要吸收40.69 kJ的热量，则H2O(g) ===H2O(l)的ΔH＝＋40.69 kJ·mol－1B．已知CH4(g)＋2O2(g)===CO2(g)＋2H2O(l)ΔH＝－890.3 kJ·mol－1，则CH4的燃烧热ΔH＝－890.3 kJC．H2(g)＋Br2(g)===2HBr(g)ΔH＝－72 kJ·mol－1其他相关数据如下表：则表中a为D．已知S(g)＋O2(g)===SO2(s)ΔH1，S(g)＋O2(g)===SO2(g)ΔH2，则ΔH2<ΔH1【答案】C【解析】试题分析：A、水蒸气转变成液态水放出热量，△H=－40.69kJ·mol－1，故错误；B、△H的单位不对，应为kJ·mol－1，故错误；C、△H=反应物的键能总和－生成物的键能总和=436＋a－2×369kJ·mol－1=－72kJ·mol－1，解得a=230，故正确；D、S(s)S(g) △H>0，因此△H1<△H2，故错误。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期中联考地理试题
2017届樟树中学、高安二中上学期高二期中联考地理试题第Ⅰ卷选择题本大题共25小题，每小题2分共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
图1为世界四个地点的坐标，据此回答1～3题。
1.作为大洲分界线的经线经过的地点是 ( )A.AB.BC.CD.D2.下列说法正确的是( )A.A点东西两侧地形不同，主要矿产的种类相同B.B点附近有一条自西北向东南的大河注入海洋C.自C点向南北两侧的自然带，依次为热带草原带、热带荒漠带、亚热带常绿阔叶林带D.D点东西两侧降水量大致相同3.关于四个点所在国家的叙述，错误的是 ( )A.A点、B点所在国地广人稀B.B点、D点所在国都有大牧场放牧业C.C点所在国金刚石矿产丰富D.A、B、D所在国都是世界主要的小麦出口国2010年4月15日“金砖四国”领导人第二次正式会晤在巴西利亚举行。
读“金砖四国”图，回答4～6题。
4．“金砖四国”领导人会晤期间，下列说法正确的是( )。
A．白昼时间由长到短依次是①③④②B．北印度洋海区洋流呈逆时针方向流动C．摩尔曼斯克海港开始解冻D．巴西热带草原上草木葱绿图1 图 25．上图数码③④所示地区与下列“常年平均风向”“工业分布示意图”连线正确的是( ) A ．③—丙—c 、④—丁—d B ．B ．③—乙—c 、④—甲—d C ．③—丁—d 、④—甲—a D ．③—甲—a 、④—丁—b 6．下列关于“金砖四国”平等合作、取得共赢的叙述正确的有( )。
a ．①所在国出口石油资源到中国b ．②所在国出口铁矿石到中国c ．中国出口煤炭资源到①所在国d ．中国从④所在国进口铁矿石 A ．abc B ．bcd C ．acd D ．abd读两区域示意图，回答7—8题。
7.甲、乙两地附近的气候状况是( )A ．甲地受信风、山脉的影响，形成热带雨林气候B ．甲地深受洋流、山脉的影响，气候带呈南北狭长分布C ．乙地主要受海陆热力性质差异的影响，夏季降水丰沛D ．乙地受东北信风、山脉的影响，形成热带沙漠气候 8.甲、乙两地沿岸洋流流向大致相同，下列现象可信的是A ．尼罗河中上游正值汛期B ．澳大利亚多数居民身穿羽绒服欢度圣诞节C ．墨西哥湾沿岸飓风活动频繁D ．地中海沿岸温和多雨读甲乙两地区地图，回答9-10题 9．结合所学的地理知识判断甲乙两图中的海峡风浪大小，叙述正确的是（ ）A ．巴斯海峡风浪大B ．库克海峡风浪大C ．两者差不多D ．随季节变化，两者风浪大小不同10．关于甲乙两图的说法正确的（ ）A ．塔斯马尼亚岛、北岛、南岛都是温带海洋性气候，但是南岛人口密度大。
2015-2016年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ＝B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρcosθ＝2 3．（5分）通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：由K2＝得，K2＝≈7.8参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．35．（5分）吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A＝“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B＝“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．7．（5分）下列类比推理的结论正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”；④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”．A．①②B．③④C．①④D．②③8．（5分）某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．120B．98C．63D．569．（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e11．（5分）若（2x﹣1）2015＝a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．（5分）如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V （t），则函数V（t）的导函数y＝V′（t）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，则P等于．14．（5分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝．16．（5分）有下列命题：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是24；②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；④已知（1+x）8＝a0+a1x+…+a8x8，其中a0，a1，…，a8中奇数的个数为2．其中真命题的序号是．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7距离的最小值．18．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．（12分）椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；＝（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ 1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c＝0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根的概率．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由于复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x＝1，故“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故选：C．2．（5分）已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ＝B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρcosθ＝2【解答】解：点P的极坐标（2，）的直角坐标为（，），故过点P且平行于极轴的直线的直角坐标方程为y＝，即ρsinθ＝，故选：A．3．（5分）通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：由K2＝得，K2＝≈7.8参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”【解答】解：∵由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈7.822，则7.822＞6.635，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：B．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x＝3对称，∴2a﹣3+a+2＝6，∴3a＝7，∴a＝，故选：A．5．（5分）吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：难题能被解决包括三种情况，一是两个人都解决难题，二是甲解决了难题而乙没有解决难题，三是乙解决难题而甲没有解决难题，它的对立事件是两个人都没有解决难题．根据互斥对立事件时发生的概率得到P＝1﹣＝故选：C．6．（5分）从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A＝“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B＝“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：从5张卡片中随机抽取2张共有C52＝10种方法，事件A＝“取到2张卡片上数字之和为偶数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数或两个偶数，共有C22+C32＝4种结果，则P（A）＝事件B＝“取到的2张卡片上数字都为奇数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数共有＝3种结果，则P（B）＝，所以P（B|A）＝故选：C．7．（5分）下列类比推理的结论正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”；④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”．A．①②B．③④C．①④D．②③【解答】解：（•）与向量共线，（•）•与向量共线，当，方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立，故①错误，可排除A，C答案；空间中，同垂直于一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故②错误，可排除D答案；故选：B．8．（5分）某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．120B．98C．63D．56【解答】解：∵4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类4﹣1，4﹣2，4﹣4三门课都不选，有C73＝35种方案；第二类4﹣1，4﹣2，4﹣4中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72＝63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63＝98种方案．故选：B．9．（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为x2+y2＝4x，化为（x﹣2）2+y2＝4，可得圆心C（2，0），半径r＝2．直线l的参数方程为（t为参数）．化为﹣4＝0．则圆心C到直线l的距离d＝＝1．∴若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为3．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1，故选：B．11．（5分）若（2x﹣1）2015＝a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由题意，令x＝，则0＝a0+a1+a2+…+a2015，令x＝0，可得a0＝﹣1，∴a1+a2+…+a2015＝1，由二项式定理可得a1＝4030，∴＝+（1﹣2015）＝．故选：C．12．（5分）如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V （t），则函数V（t）的导函数y＝V′（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：方法一，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为a＝＝，高为2，设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b，，则b＝t，则水面的面积为b2＝2t2，该容器内水的体积V（t）＝×2t2×t＝t3，当t＞1时，此时水面的边长为c，，则c＝（2﹣t），则水面的面积为c2＝2（2﹣t）2，该容器内水的体积V（t）＝（）2×2﹣×2×（2﹣t）2×（2﹣t）＝﹣×（2﹣t）3，∴y＝V′（t）＝2t2，（t≤1），y＝V′（t）＝2（2﹣t）2，（1＜t≤2），方法二，由题意得：V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），y＝tv（t）是关于t的3次函数，则y＝v′（t）是关于t的2次函数，故选：D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，则P等于．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，∴，∴7（1﹣p）＝6，1﹣p＝解得p＝．故答案为：．14．（5分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为3或．【解答】解：二项式的展开式的通项为T r+1＝（|a|x）3﹣r（﹣）r，∵展开式的第二项的系数为，∴|a|3﹣1（﹣）1＝，解得：a＝±1，当a＝﹣1时，＝x2dx＝＝[﹣1﹣（﹣8）]＝，当a＝1时，＝x2dx＝＝[1﹣（﹣8）]＝3，∴的值为3或．故答案为：3或．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝．【解答】解：根据题意，得P（AB）＝＝＝，∵P（A）＝＝＝，∴P（B|A）＝＝故答案为：16．（5分）有下列命题：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是24；②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；④已知（1+x）8＝a0+a1x+…+a8x8，其中a0，a1，…，a8中奇数的个数为2．其中真命题的序号是①②③④．【解答】解：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是4×3×2＝24；故①正确，②如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A32A22＝24种，如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，首先排5，有＝3种，然后排1和2，有A22A22＝12种，3×A22A22＝12种，共计12+24＝36种；故②正确；③将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A33＝6，根据分步计数可得共有4×6＝24，故③正确，；④由（1+x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8．可知：a0，a1，a2…a8均为二项式系数，依次是c80，c81，c82 (88)∵C80＝C88＝1，C81＝C87＝8，C82＝C86＝28；C83＝C85＝56；C84＝70∴a0，a1，a2…a8中奇数只有a0，a8两个，故④正确，故答案为：①②③④．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2＝1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t＝时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7化为x﹣2y＝7，M到C3的距离d＝＝|5sin（θ+φ）﹣13|，从而当cosθsinθ＝，sinθ＝﹣时，d取得最小值．18．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60＝9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60＝18人；∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，∴P（A）＝19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△P AC中，EO是中位线，∴P A∥EO而EO⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，所以，P A∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a．（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明P A∥EG．而EG⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，∴P A∥平面EDB．（2）证明；依题意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）＝λ（a，a，﹣a）．从而x0＝λa，y0＝λa，z0＝（1﹣λ）a．所以．由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．20．（12分）椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；＝（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ 1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2＝a2﹣c2＝1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ＝|x1|•|y1|＝1，又，解得，||2+||2＝2（x12+y12）＝2×（+2）＝5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4＝0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4＝2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2＝（x12+y12）（x22+y22）＝＝＝﹣3+8＝5，综上可得||2+||2为定值5．21．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c＝0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根的概率．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6＝36，满足条件的事件是使方程有实根，则△＝b2﹣4c≥0，即．下面针对于c的取值进行讨论当c＝1时，b＝2，3，4，5，6；当c＝2时，b＝3，4，5，6；当c＝3时，b＝4，5，6；当c＝4时，b＝4，5，6；当c＝5时，b＝5，6；当c＝6时，b＝5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2＝19，因此方程x2+bx+c＝0有实根的概率为．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数得到ξ＝0，1，2根据第一问做出的结果得到则，，，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根，这是一个条件概率，记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c＝0有实根”为事件N，则，，∴．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）＝1．又，所以f′（1）＝2e2，所以f（x）＝e2x+x2﹣2x．（4分）（2）∵f（x）＝e2x﹣2x+x2，∴，∴g′（x）＝e x﹣a．（5分）①当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在R上单调递增；（6分）②当a＞0时，由g′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（∞，∞）；当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．（8分）（3）解：设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）＝0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵，，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）＝0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）＝a+1＞0．①当1≤x≤e时，，设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．②当x＞e时，，设n（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，则，，∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）＝2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．综上：在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx．（12分）。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
江西省樟树中学2015-2016学年高二数学上册期末测试题1
知识改变命运i12i高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考数学理科试卷命 题 人：杨国生 考试时长：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位，则复数1ii+的虚部是A ．12B ．C ．1D ． 2. 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂= A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7}3. 若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z .命题q ：∃x 0∈R ，01()02x =.则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p ∧qC ． p q ⌝∨D ．p q ⌝∨⌝ 5．若()261cos x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于A ．1-B ．1C ．2D ．46．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零7.已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1知识改变命运8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59. 对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋作，则第2 016次操作后得到的数是A ．25B ．250C ．55D ．13310. 已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方()()xg x f x =，则()1g '= A.12B.12-C.32-D.211. 三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于 A ．－2 B ．2 C ．－2 3 D ．2 312.已知函数()()2ln x x b f x x+-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),3-∞C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．(-∞ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：知识改变命运设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，T 12T 8成等比数列． 14．曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是15. 已知(cos ,1,sin )a αα=r ，(sin ,1,cos )b αα=r，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是16．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =uu r uu u r，则双曲线的离心率为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.(本小题满分10分)设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间； (2)若g (x )＝f (x )＋2x在．……10分18．(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2x －2x＝x －x ＋x，……4分则当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，所以(0,1)为f (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，(1，＋∞)为f (x )的单调递增区间．……6分(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0. ……11分(ⅱ)若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．综上，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．……12分知识改变命运19．(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32. 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158. ……4分由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．……6分(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．…7分②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，…8分那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k－12k －1＝2k ＋1－12k －1.……10分∴a k ＋1＝2k ＋1－12k，由①②可知，对n ∈N *，a n ＝2n－12n －1都成立．……12分 20. (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4), (2)分设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．.……5分,因为110A B n ⋅=uuu r u r所以1A B ∥1ADC 平面；.……6分,(2)取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，……11分得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.……12分知识改变命运21. (1)由2b ＝2 2.得b ＝ 2 ……1分c a ＝33，222a c -= …3分所以1a c ==椭圆方程为22132x y +=…………5分 （2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．…6分C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6， 又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6， 故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.① …7分将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2，…9分y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k22＋3k2.代入①解得k 2＝2，因此，当k ＝－2时，l 的方程为2x ＋y －2＝0； 当k ＝2时， l 的方程为2x －y －2＝0. …11分(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立． 综上， l 的方程为2x ±y －2＝0. …12分 22．解：（Ⅰ）x x g xax f 2)(',)('==,依题意得:a =2; ……………2分 曲线y=f (x )在x =1处的切线为2x －y －2=0,曲线y=g (x )在x =1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分 两直线间的距离为55……………4分 （Ⅱ）令h (x )=f (x )－g(x ) +1, ,则xx a x x a x h 222)('-=-=当a ≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h (x )在(0,+∞)单调递减, (5)知识改变命运分又h (1)=0,故0<x <1时,h (x )>0,即f (x )> g(x )-1,与题设矛盾. ……………6分 当a >0时,)0)(2)(2(2)('>-+=x x a x a x x h 当20a x <<,,0)('>x h 当2a x >时,0)('<x h 所以h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上是增函数,在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上是减函数, ∴h (x )≤ln 1222a a ah =-+ 因为h (1)＝0,又当a ≠2时1≠ ,0)1()2(=>h a h 与0)2(≤a h 不符.所以a ＝2. ………8分（Ⅲ）当a <0时,由(2)知)('x h <0,∴h (x )在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x 1≤x 2,则|h (x 1)－h (x 2)|＝h (x 1)－h (x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ∴|h (x 1)－h (x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h (x 1)－h (x 2)≥x 2－x 1,即h (x 1)＋x 1≥h (x 2)＋x 2,令H (x )＝h (x )＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H (x )在(0,＋∞)上是减函数,∵xax x x x a x H ++-=+-=2212)(' (x >0),∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x >0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x )min ……………10分 又x >0时, (2x 2－x )min =81-………11分 ∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是]81,(--∞…………12分薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足z（1﹣i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=1，∴z（1﹣i）（1+i）=1+i，化为2z=1+i，∴．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为5：4：3：1，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生（）A．80人B．60人C．40人D．20人【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，根据大一、大二、大三、大四的学生比为5：4：3：1，利大二所占的比数除以所有比数的和再乘以样本容量【解答】解：由题意知，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生人数为：×260=80（人）．故选：A．【点评】本题考查分层抽样的应用，解题时要认真审题，是基础题．3．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2≥1C．∀x∈R，都有x2≥1 D．∃x∈R，使得x2＞1【考点】命题的否定．【专题】计算题；整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：∀x∈R，都有x2≥1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．抛物线x=ay2的准线方程是x=2，则a的值为（）A．﹣8 B．﹣C．D．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．【解答】解：抛物线x=ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=2，所以a=﹣，故选：B．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．5．曲线y=sinx在x=0处的切线的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，运用直线的斜率公式，即可得到倾斜角．【解答】解：y=sinx 的导数为y ′=cosx ， 即有在x=0处的切线斜率为k=cos0=1， 由tan θ=1（θ为倾斜角，且0≤θ＜π），可得倾斜角θ=．故选：B ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，属于基础题．6．400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，80）的汽车大约有（ ）A ．120辆B ．140辆C ．160辆D ．240辆 【考点】频率分布直方图．【专题】对应思想；数形结合法；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图求出时速在[60，80）的频率，再根据频率=求出对应的频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图得，时速在[60，80）的频率为（0.04+0.02）×10=0.6，时速在[60，80）的汽车大约有400×0.6=240．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是偶数【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定．【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选B．【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．8．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A={两个点数都不相同}包含的基本事件数，与事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6=30，事件B：至少出现一次3点，有10种，∴P（B|A）==，故选：D．【点评】本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事件A：两个点数互不相同，事件B：至少出现一次3点，以及P（B|A），比较基础．9．某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查，所得的数据如表所示：根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：（其中n=a+b+c+d）；当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A．有99%的把握说事件A与B有关B．有95%的把握说事件A与B有关C．有90%的把握说事件A与B有关D．事件A与B无关【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先利用公式计算K2，再与临界值比较可得结论【解答】解：K2=80×（50×10﹣10×10）2÷（60×20×60×20）≈8.88由于8.88＞6.635，所以有99%的把握说事件A与B有关．【点评】本题考查独立性检验的意义、收集数据的方法，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．10．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）A．k≥16 B．k＜8 C．k＜16 D．k≥8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈7 8 是第四圈15 16 否故退出循环的条件应为k≥16故选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣22a4acos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率1﹣．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．【解答】解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：×13=，∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：v=V﹣=8﹣正方体取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．14．在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 2.8．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出所剩数据的平均数，再求所剩数据的方差．【解答】解：七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为：（91+91+94+95+94）=93，所剩数据的方差为：[（91﹣93）2+（91﹣93）2+（94﹣93）2+（95﹣93）2+（94﹣93）2]=2.8．故答案为：2.8．【点评】本题考查数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．15．已知函数f（x）=ax2+3，若，则实数a的值为1．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；函数思想；极限思想；导数的概念及应用．【分析】由题意可知，f′（1）=2，求出函数的导函数，得到f′（1），列等式可得a值．【解答】解：由f（x）=ax2+3，得f′（x）=2ax，∴f′（1）=2a，又，∴2a=2，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查导数的定义，考查了极限及其运算，是基础的计算题．16．如图所示：一个边长为的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续．若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为．【考点】归纳推理．【专题】数形结合；归纳法；推理和证明．【分析】依次得到正方形的边长和正方形个数均成等比数列，公比分别为和2，利用数列的知识解出．【解答】解：第一次得到的正方形的边长为，共有1个，第二次得到的正方形边长为，共有2个，第三次得到的正方形边长为，共有4个，第四次得到的正方形边长为，共有8个，…由此可归纳得：依次得到正方形的边长成对比数列，公比为，依次得到正方形的个数成对比数列，公比为2．设第n次得到的正方形边长为a n，第n次得到的正方形个数为b n．则a n=（）n，b n=2n﹣1．令前n次得到正方形的个数为S n，则S n==2n﹣1．令S n=2n﹣1=255，则n=8．∴a8=（）8=．故答案为．【点评】本题考查了归纳推理，等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校羽毛球小组有男学生A，B，C和女学生X，Y，Z共6人，其所属年级如下：现从这6名学生中随机选出2人参加羽毛球比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来；（2）设M为事件“选出的2人性别相同”，求事件M发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）一一列举即可得到所有的种数，（2）找到选出的2人性别相同的所有可能结果，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）从6名学生中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}共15种．（2）选出的2人性别相同的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}共6种．因此事件M发生的概率为．【点评】本题考查了古典概率的问题，关键是不重不漏的列举所有的基本事件，属于基础题．18．（1）已知命题p：y=（a+2）x+1是增函数，命题q：关于x的不等式x2﹣ax﹣a＞0恒成立，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围；（2）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】数形结合；不等式的解法及应用；集合；简易逻辑．【分析】（1）若命题p为真，则a＞﹣2，若命题q为真，则﹣4＜a＜0，由于p∨q为真，p∧q为假，可得p与q一真一假，即可得出．（2）由题意，得命题p对应的数集为A=[﹣3，1]，命题q对应的数集为B；由于p是q的必要不充分条件，可得B⊊A，利用数轴即可得出．【解答】解：（1）若命题p为真，则a＞﹣2，若命题q为真，则﹣4＜a＜0，当p真q假时，，∴a≥0，当p假q真时，，∴﹣4＜a≤﹣2．综上，a的取值范围为{a|﹣4＜a≤﹣2，a≥0}．（2）由题意，得命题p对应的数集为A=[﹣3，1]，命题q对应的数集为B；∵p是q的必要不充分条件，∴B⊊A，利用数轴分析可得得﹣3≤m≤1．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法与性质，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．19．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．20．某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，求b，a的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．（参考公式：b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把x=10代入回归方程计算估计值．【解答】解：（1）∵，∴，；（2）由（1）知y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3．当t=10时，y=0.5×10+2.3=7.3（千元），答：预计到2016年，该区人均纯收入约7300元左右．【点评】本题考查了线性回归方程的求解和数值估计，属于基础题．21．已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点与上顶点分别为点A、B，且．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点（0，2）斜率为2的直线l交椭圆C于P、Q，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用两点的距离公式，结合a，b，c和离心率公式计算即可得到；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：（1）由已知，即，即4a2+4b2=5a2，即4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴；（2）由（1）知a2=4b2，可得椭圆C：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，a=2，∴椭圆C的方程为．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两点的距离公式和a，b，c的关系，考查椭圆方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的圆能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若y=f（x）在（3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若，设g（x）=ln（1﹣x）+f（x），且方程有实根，求实数b的最大值．【考点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求导f′（x）=x2﹣2x﹣2a≥0在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得，从而化为b=x（lnx+x﹣x2）在（0，+∞）上有解，从而讨论函数p（x）=x（lnx+x﹣x2）的值域即可．【解答】解：（1）∵f（x）在区间（3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=x2﹣2x﹣2a≥0，即2a≤x2﹣2x在区间（3，+∞）上恒成立．∵在（3，+∞）内，x2﹣2x＜3；∴2a≤3，即．（2）∵，∴，∴b=x（lnx+x﹣x2），令p（x）=x（lnx+x﹣x2），即求函数p（x）=x（lnx+x﹣x2）在（0，+∞）上的值域．令h（x）=lnx+x﹣x2，则，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1时h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，因此h（x）≤h（1）=0．又∵x＞0，故p（x）=xh（x）≤0，∴b≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了转化思想的应用及方程与函数的关系应用．。
江西省高安市第二中学2016届高三上学期第二次段考理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{M y y ==，(){}2log 2N x y x ==-，则()R C MN =（ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞C ．[]0,1D ．()[),02,-∞+∞【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可知，[0,)M =+∞，(,2)N =-∞，所以[0,2)M N =，从而求得()R C M N =()[),02,-∞+∞，故选D.考点：集合的运算.2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，则3a b +=（ ）A B ．4 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意有23a b +=222(3)6913913a b a a b b +=+⋅+=++=，所以313a b +=，故选C.考点：向量的数量积，向量的模. 3.下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若42=x ，则22-==x x 或”的逆否命题是“若22-≠≠x x 或，则42≠x ”．B ．若命题p :所有幂函数的图像不过第四象限，命题q :存在x R ∈，使得10lg x x ->，则命题p 且q 为真.C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件.D ．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：“所有能被2整除的数都不是偶数”． 【答案】B 【解析】试题分析：根据或的否定为且，所以A 不对，C 中应该是充分不必要条件，所以C 不对，根据全称命题的否定是特称命题，所以D 不对，因为在B 中，两个命题都是真命题，所以命题p 且q 为真，故选B. 考点：逻辑.4.若一元二次不等式()0f x <的解集为1{|1}2x x x <->或，则(10)0x f >的解集为（ ） A ．{|1lg 2}x x x <->或 B ．{|1lg 2}x x -<< C ．{|lg 2}x x >- D ．{|lg 2}x x <-【答案】D考点：一元二次不等式，指数不等式.5.函数()()223sin 4,f x a x bx a b R =++∈，若1lg20152016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()lg 2016f =（ ） A ．2019 B ．2011- C ．2015 D ．2015- 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意有()()f x f x -=，所以有()lg 2016f =1(lg 2016)(lg )20152016f f -==，故选C.考点：偶函数.6.如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin BAC ∠=，AB =，3AD =，则BD 的长为( )ABC． D． 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有sin sin()2BAC BAD π∠=∠+cos BAD =∠=ABC2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠189233=+-⋅=,所以有BD. 考点：诱导公式，余弦定理. 7.已知(,0),(0,)24ππαβ∈-∈，221tan sin 221tan αββ-=+，则有( ) A. 22πβα-= B. 22πβα+=C. 22πβα-=-D. 22πβα+=-【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可知11cos sin 222αβ=，即cos sin 2αβ=，结合角的范围，根据诱导公式可知22πβα-=，故选A.考点：倍角公式，万能公式，诱导公式.8.能够把圆O :2216x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”, 下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是( ) A ．()x x f x e e -=+ B ．()5ln 5x f x x -=+ C ．()tan 2xf x = D ．()34f x x x =+【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，可知图像关于原点对称的函数满足条件，选项B,C,D 中的函数都是奇函数，所以都是和谐函数，A 项的函数是偶函数，不是和谐函数，故选A. 考点：新定义.9.如图是函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭图像的一部分，对不同的[]12,,x x a b ∈，若 ()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】C考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质. 10.已知方程sin xk x=在(0,)+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是( ) A. 2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22cos βββ= D ．2cos 22sin βββ= 【答案】C 【解析】试题分析：结合图像，可知满足条件的k 是函数图像过坐标原点且与曲线且于3(,)2ππ区间上的一个点，根据斜率公式和导数的几何意义，有sin cos βββ-=-，整理变形，可知2sin 22cos βββ=，故选C.考点：导数的几何意义，数形结合思想.11.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ) A ．[]2,4 B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，1α=，满足()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”， 02β≤≤，又因为函数()23g x x ax a =--+图像恒过定点(1,4)-，要想函数在区间[0,2]上有零点，需22(0)30()30242g a a a a g a =-+≥⎧⎪⎨=--+≤⎪⎩，解得23a ≤≤，故选D. 考点：新定义，函数零点问题.12.已知函数()()4f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程()f x k =在区间()2,+∞上有两个根,a b ，其中a b <，则()2ab a b -+的取值范围是（ ）A.(2,2+ B ．()4,0- C ．()2,2- D ．()4,2-【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，画出函数图形，可知04k <<，24,4a b <<>，且满足(4)(4)a a b b -=-，即224()a b a b +=+，从而有()2ab a b -+=22211()()22ab a b a b -+=--，一定是小于零的，所以只能选B 项，故选B.考点：函数的综合问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()2sin 316ax x dx a +=-⎰，则正实数a 的值为 ．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意可得23(sin 3)(cos )|aa a ax x dx x x --+=-+=⎰3216a =，解得2a =.考点：定积分.14.已知向量,a b 满足(5,10),(3,6)a b a b +=--=，则b 在a 方向上的投影为 .【答案】【解析】试题分析：根据(5,10),(3,6)a b a b +=--=，求得(4,2),(1,8)a b =-=-，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为25a b a ⋅==. 考点：向量在另一个向量方向上的投影. 15.已知函数()()()()()1sin 3sin ,102sin x x f x gx ax a x++==+>+，对任意的[]21,1x ∈-，总存在13,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1(0,]2【解析】试题分析：22sin 4sin 3(sin 2)1()sin 2sin 2x x x f x x x +++-==++1sin 2sin 2x x =+-+，因为13,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2[1,2]x +∈，结合函数的单调性，可知函数()f x 的值域为3[0,]2，根据题意可得函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，即3[1,1][0,]2a a -+⊆，所以有实数a的取值范围是1(0,]2.考点：函数的值域，子集的条件.16.已知cos sin αβ+=sin cosαβ+的取值范围是D ，若x D ∈，则函数19log y =的最小值为___________. 【答案】12【解析】试题分析：设sin cos αβ+m =，与cos sin αβ+=平方作和，得222sin()3m αβ++=+，根据正弦函数的有界性，可知[1,1]m ∈-，从而[1,1]D =-==1x =-时，该式子取得最大值，即19log y =取得最小值1911log 32=.考点：三角函数的有界性，函数的最值问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题P ：函数()f x 为定义在(0,)+∞上的单调递减函数,实数m 满足不等式(1)(32)f m f m +<-.命题Q ：当[0,]2x π∈时，方程2cos 2sin m x x =-有解.求使“P 且Q ”为真命题的实数m 的取值范围.【答案】2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：该题需要根据题意，将两个命题均为真命题时求出对应的参数的取值范围，利用“P 且Q ”为真命题，求其公共部分即可得结果.试题解析：对于命题P ：由函数)(x f 为),0(+∞上的单调递减函数得132320m mm +>-⎧⎨->⎩，解得2332m <<； ………4分 对于命题Q ：当[0,]2x π∈时，[]sin 0,1x ∈，()[]222cos 2sin sin 2sin 1sin 122,1m x x x x x =-=--+=-++∈-， ………8分综上，要使“P 且Q ”为真命题，只需P 真Q 真，即233221m m ⎧<<⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得实数m 的取值范围是2,13⎛⎤⎥⎝⎦. 考点：函数单调性的应用，三角函数的值域，复合命题真值. 18.（本小题满分12分） 已知2sin ,2cos 1,cos ,2cos 122a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()f x a b =． （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，且()2,1a bf A ===，求边c ．【答案】（1）T π=，得单调增区间为： 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）1c =或1c =【解析】试题分析：第一问根据向量的数量积坐标运算式，求得函数的解析式，利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用其性质，求得最小正周期和单调增区间，第二问边长的大小，结合函数值，求得角A 的大小，利用余弦定理，求得边c .试题解析：（1）()()22sin cos 2cos 1sin 2cos 22f x a b x x x x x ππ⎛⎫==+--=+- ⎪⎝⎭sin 2cos 224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭………4分所以()f x 的最小正周期22T ππ==………5分 由222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得单调增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ………6分（2）2,a b a b ==< ∴02A π<<()214f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴sin 24A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又32444A πππ-<-<∴2,444A A πππ-==………8分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：246c =+-即220c -+=∴1c =+或1c =- ………12分考点：向量的数量加坐标运算式，倍角公式，辅助角公式，余弦定理. 19.（本小题满分12分）()log ,()2log (22),(0,1,)a a f x x g x x t a a t R ==+->≠∈.(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,41,4x t 时，)()()(x f x g x F -=的最小值是2-，求a 的值； (2)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<<2,41,10x a 时，有)()(x g x f ≥恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）51=a ， （2）2≥t . 【解析】试题分析：第一问将4t =代入函数解析式，对()F x 化简，得1()log 4(2)a f x x x=++，利用对勾函数在相应区间上的单调性求得其最值，需要对a 进行讨论，第二问将不等式转化，利用单调性，将不等式转化为2(22)x x t ≤+-22x t -+≤，转化为最值来处理即可求得结果.试题解析：（1）4,t =)()()(x f x g x F -==xx x x a a a 2)1(4log log )22(log 2+=-+)21(4log ++=x x a又()[]上单调递增在上单调递减在2,11,41214，x x x h ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，且()124h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴()()()min max 1116,254h x h h x h ⎛⎫====⎪⎝⎭………3分∴当时1>a 16log )(min a x F =，由log 162a =-解得41=a （舍去） ………4分 当时10<<a 25log )(min a x F =，由log 252a =-解得51=a………5分所以51=a ………6分（2）)()(x g x f ≥，即)22(log 2log -+≥t x x a a 2)22(log log -+≥∴t x x a a⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<<2,41,10x a ，2)22(-+≤∴t x x ， ………8分22-+≤∴t x x ，t x x ≤+-∴22，t x x ≤+-∴22，依题意有t x x ≤+-max )22(………10分而函数817)41(2222+--=+-=x x x y因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,2,41x x ，2max =y ，所以2≥t………12分考点：分类讨论的思想，恒成立问题的转化. 20.（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ∠=，OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．【答案】（1）1PM =或3PM =（2）30POM ∠=时，OMN ∆的面积的最小值为8-． 【解析】试题分析：第一问在三角形中，应用余弦定理，求得PM 的长，第二问在三角形中，应用正弦定理，将三角形的边用角来表示，应用三角形的面积公式，化简式子，结合角的取值范围，求得最值. 试题解析：（1）在OPQ ∆中，45OPQ ∠=，OM =OP =，由余弦定理得，2222cos 45OM OP PM OP PM =+-⋅⋅，得2430PM PM -+=，解得1PM =或3PM =． ………4分 （2）设,060POM αα∠=≤≤，在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠， 所以()()sin 452sin 45sin 45OP OM αα==++，同理()2sin 75ON α=+ ………6分()()11sin 2sin 45sin 75OMN S OM ON MON αα∆=⋅∠=++ ………8分)()()313145sin 45cos 45ααα==⎡⎤+++++⎢⎥……10分因为060α≤≤°，30230150α≤+≤， 所以当30α=°时，()sin 230α+的最大值为1， 此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=时，OMN ∆的面积的最小值为8-． ………12分QNMPO考点：余弦定理，正弦定理，三角形面积，函数的最值. 21.(本小题满分12分)已知函数()(1)ln(1)f x x x =--.（1）设函数()(1)()g x a x f x =--+在区间2[2,1]e +上不单调，求实数a 的取值范围； （2）若k Z ∈,且(1)(1)0f x x k x ++-->对1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】（1）)3,1( （2）3 【解析】试题分析：第一问函数在给定区间上不单调，等价于函数在给定区间上存在极值点，即导数等于零对应的方程在给定区间上存在零点，根据零点存在性定理，结合函数的单调性，从而求得实数a 的取值范围，第二问将恒成立问题转化为最值问题来求解，构造新函数，利用导数来完成.试题解析：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 ………1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<a a ∴的取值范围为)3,1(. ………4分（2）由题知1ln -+<x xx x k 对1>x 恒成立. ………5分令=)(x u 1ln -+x xx x 则=')(x u 2)1(2ln --+-x x x 令2ln )(-+-=x x x v xx x x v 111)(-=-='0)(1>'∴>x v x 即)(x v 在),1(+∞上递增 ………8分 又022ln 2)4(,013ln )3(>+-=<+-=v v )4,3(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),1(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增. ………10分1ln )()]([00000min -+==∴x x x x x u x u )4,3(1)2(00000∈=-+-=x x x x x0min )]([x x u k =<又k Z k ∴∈,的最大值为3. ………12分考点：函数的极值点，零点存在性定理，导数的应用，恒成立问题的转化. 22.(本小题满分12分) 已知函数()2ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，()33x x h x e ae =-，[]0,ln 2x ∈，求()h x 的极小值； (3)设()()()223F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点(),0m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在点()()00,x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.【答案】（1）a ≤（2）()h x的极小值为(ln 2h =-（3）()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. 【解析】试题分析：第一问根据函数在定义域内是增函数，等价于导数在定义域内大于等于零，利用基本不等式求最值，即可得结果，第二问求得导数等于零的点，讨论函数在相应的区间上的单调性，从而确定出函数在哪个点处取得极值，第三问关于是否存在类问题，先假设存在，最后推出矛盾，从而说明没有. 试题解析：（1）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+…… 2分又10,2x x x>+≥x =.故min 1(2)x x+=，所以a ≤……3分（2）由（Ⅰ）知，1a <≤令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+ ……4分由()0H t '=，得t =或t =（舍去），34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在(0,ln 也单调递减；2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在[ln 2]也单调递增；故()hx 的极小值为2h =-……7分（3）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……9分① ② ③④①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln2.mn k x m n =--由④得022.k x x =-所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……10分设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，即2(1)ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)ln 1m mn m n n-<+，此式与⑤矛盾. 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. ……12分 考点：函数单调的条件，函数的极值，导数的几何意义.高考一轮复习：。
江西省宜春市樟树中学、高安二中联考2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷(理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1)+（x+1）i为纯虚数"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知点P的极坐标为（2,），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ=B．ρsinθ=2 C．ρcosθ=D．ρcosθ=23．通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=得，K2=≈7.8P(K2≥k）0.050 0。
010 0。
001k 3。
841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．有99％以上的把握认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有99％以上的把握认为“爱好运动与性别无关”4．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P(ξ＜2a﹣3）=P(ξ＞a+2），则a 的值为（）A．B．C．5 D．35．吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内,学生甲内解决它的概率为,学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题,该题得到解决的概率为(）A．B．C．D．6．从标有数字3，4，5,6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数",事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数"，则P（B|A)=(）A．B．C．D．7．下列类比推理的结论正确的是()①类比“实数的乘法运算满足结合律",得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中,同垂直于一直线的两直线相互平行";③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列"，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”;④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点,直线PA,PB的斜率存在，则k PA．k PB为常数"，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在,则k PA．k PB为常数”．A．①② B．③④ C．①④ D．②③8．某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1,4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是(）A．120 B．98 C．63 D．569．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上,且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f(x）的导函数为f′(x），且满足f（x）=2xf′(1）+lnx,则f′（1）=(）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e11．若（2x﹣1)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm 匀速上升,记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t)，则函数V(t）的导函数y=V′(t）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则P等于．14．二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为．15．如图所示,EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”,则P（B|A）=．16．有下列命题:①乘积（a+b+c+d)(p+q+r）（m+n）展开式的项数是24;②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；④已知（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8，其中a0,a1,…，a8中奇数的个数为2．其中真命题的序号是．三、解答题(17题10分，18-22题每题12分,共70分）17．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．18．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数）分成六段[40，50），［50，60）…[90,100］后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在［70，80)内的频率,并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60,80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段［70，80）的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3)求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点,△OPQ的面积S△OPQ=1，则｜|2+｜｜2是否为定值,若是求出定值；若不是,说明理由．21．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II)求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．22．定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数g（x)的单调区间;（3）如果s、t、r满足|s﹣r｜≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1"比较范围大小即可．【解答】解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则,解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1)+(x+1）i为纯虚数”的充要条件．故答案为C．2．已知点P的极坐标为(2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是(）A．ρsinθ=B．ρsinθ=2 C．ρcosθ=D．ρcosθ=2【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点P的直角坐标为（，),过点P且平行于极轴的直线的直角坐标方程为y=，再化为极坐标方程．【解答】解：点P的极坐标（2，）的直角坐标为（，），故过点P且平行于极轴的直线的直角坐标方程为y=，即ρsinθ=,故选：A．3．通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表: 男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=得，K2=≈7。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考文数试题(原卷版)
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．复数z 满足(1)1z i -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．1122i -B ．1122i -+C ．1122i +D ．1122i -- 2．某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为5:4:3:1，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生A ．80人B ．60人C ．40人D ．20人3．命题“R x ∈∃，使得12<x ”的否定是A ．R x ∈∀，都有12<xB ．R x ∈∃，使得12≥xC ．R x ∈∀，都有21x ≥D ．R x ∈∃，使得12>x4．抛物线2x ay =的准线方程是2x =，则a 的值是A ．8B ．18C ．-8D ．18- 5．曲线sin y x =在0x =处的切线的倾斜角是A ．2πB ．4π C ． 6π D ．3π 6．400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)6080，的汽车大约有A ．120辆B ．140辆C ．160辆D ．240辆7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，都是偶数8．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}， 则=)|(A B PA ．1110B ．185C ．12D ．31 9．某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查， 所得的数据如下表所示：（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b b c a c b d χ-=++++（其中d c b a n +++=）； 当2 3.841χ> 时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当26.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关； 当2 3.841χ<时认为事件A 与B 无关．）A ．有99%的把握说事件A 与B 有关 B ．有95%的把握说事件A 与B 有关C ．有90%的把握说事件A 与B 有关D ．事件A 与B 无关10．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件可以是A ．16k <B ．8k <C ．16k ≥D ．8k ≥11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别 交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A B ．4 C D 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，该点到正方体中心的距离小于1的概率为_________．14．在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一 个最低分后，所剩数据的方差为_________．15．已知函数2()3f x ax =+,若0(1)(1)lim2x f x f x ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为_________．16的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续.若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为_________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）某校羽毛球小组有男学生A ，B ，C 和女学生X ，Y ，Z 共6人，其所属年级如下：．（1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来；（2）设M 为事件“选出的2人性别相同”，求事件M 发生的概率．18．（本小题满分12分）（1）已知命题1)2(:++=x a y p 是增函数，命题:q 关于x 的不等式02>--a ax x 恒成立，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围；（2）已知2|1:|≤+x p ，0))(1(:≤-+m x x q ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）设 3.2()21f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若()y f x '=的图像关于直线12x =-对称，且(1)0f '=． （1）求实数,a b 的值；（2）求函数()f x 的极值.20．（本小题满分12分）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）设y 关于t 的线性回归方程为y bt a =+，求,b a 的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．()()()121,n i i i n i i t t y y b a y bt t t ==⎛⎫-- ⎪ ⎪==- ⎪- ⎪⎝⎭∑∑参考公式： 21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点与上顶点分别为点A 、B ，且|||AB BF =． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过点(0,2)斜率为2的直线l 交椭圆C 于P 、Q ，且OP OQ ⊥，求椭圆C 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈． （1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3xb g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．：。
6学年上学期高二期中考试数学(理)试题(重点班)(附答案)
江西省高安中学2015——2016学年度上学期期中考试高二年级数学试题（理重）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，总共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，长轴为32，则椭圆C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=2．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A.12 B. 13 C. 14 D. 613. 抛物线241x y =的准线方程是（ ）A. 161-=yB. 1-=yC. 1-=xD. 161-=x4. 已知圆O ：2216x y +=，在圆O 上随机取两点A 、B ，使AB ≤ ）A ．159 B ．14C ．35D ．135.已知双曲线14222=-b y x 的右焦点与抛物线122y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )． A. 5B ．4 2C ．3D ．56.已知动点),(y x P 满足()()512431222++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．双曲线B ．抛物线 C.两条相交直线 D ．椭圆7. 阅读程序框图,若m 、n 分别是双曲线221364x y -=的 虚轴长和实半轴长，则输出,a i 分别是( )A ．12,3a i ==B ．12,4a i ==C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==8．已知抛物线C ：28y x =焦点为F ，A 是C 上一点，O 点为坐标原点，若△AOF 的面积为2，则=PF ( ) A ．52 B ．3 C ．72D ．4 9．给出下列几个命题： ①命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题;②命题:p 任意R x ∈，都有1sin ≤x ，则p ⌝“”：存在R x ∈0，使得1sin 0>x③命题p :存在R x ∈0，使得23c o s s i n 00=+x x；命题q :ABC ∆中，⇔Ａ＞ＢsinB sin ＞A ，则命题“q p 且⌝”为真命题④方程13522=++-m y m x 表示椭圆的充要条件是53<<-m ． ⑤对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确．．．的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能( ）11．如图，过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )．A ．x y 92= B ．x y 62= C ．x y 32= D ．x y 32=12.已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，且c F F 221=，若椭圆上存在点M 使得1221sin F MF sin F MF ca ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） 第11题图A.()12,0- B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22 C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛220， D.()112，-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知p ：4<-a x ，q ：065-2>-+x x ，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为________.14．双曲线22116y x m-=的离心率2=e ，则双曲线的渐近线方程为15．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离小于1的概率为_______ 16．如图，在空间四边形OABC 中，若8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,=∠OAC 4π，OAB ∠=3π， 则OA 与BC 所成角的余弦值为 ．三、解答题（本大题共6小题,共70分。
江西省高安二中、樟树中学联考高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件3．抛物线x=2ay2的准线方程是x=1，则a的值是（）A．﹣B．C．﹣2 D．24．下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣28．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.59．如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．10．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分11．椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60° C．45° D．30°12．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C． D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC 的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．16．若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．阿在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？18．某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72，88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．20．已知命题p：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）表示的曲线是双曲线；命题q：不等式3x2﹣m＞0在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=m，E为BC中点，且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先解不等式，结合集合的包含关系，判断即可．【解答】解：命题p：x≤1，由命题q：≥1，解得：0＜x≤1，故命题p是命题q的必要不充分条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题．3．抛物线x=2ay2的准线方程是x=1，则a的值是（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．【解答】解：抛物线x=2ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=1，所以a=﹣，故选：A．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．4．下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．【解答】解：对于A：众数有两个4和5，A是错误；对于B：B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，故B错误；对于C：可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C正确，对于D：频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故D错误；故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断④是否正确．【解答】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C【点评】本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．6．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题．【分析】由题意可得：，进而得到与| |，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题7．程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣2【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知1320=10×11×12三数的积故程序只需运行三次．运行三次后，k值变为10，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于1320=10×11×12，故判断框中应填k≤9，或者k＜10故：B．【点评】本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果，属于基础题．8．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】回归分析的初步应用．【专题】计算题．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．9．如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计．【分析】这是一个古典概型问题，我们可以列出从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，可能组成的所有三角形的个数，然后列出其中是直角三角形的个数，代入古典概型公式即可求出答案．【解答】解：从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP，3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=，故选：C．【点评】本题考查古典概型的概率问题，掌握古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键．10．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】由题意可得+2=10，即 PA+PB=40＞AB，再根据P、A、B三点不共线，利用椭圆的定义可得结论．【解答】解：由题意可得+2=10，即PA+PB=40＞AB=6，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选 B．【点评】本题考查椭圆的定义，直角三角形中的边角关系，得到PA+PB=40＞AB，是解题的关键．11．椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题．【分析】连接A10根据椭圆的性质可知A10⊥y轴，A20⊥y轴，推断出∠A10A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a和c，即|A10|和|0F|的值，进而在Rt△A10A2中利用求得cos∠A10A2进而求得∠A10A2．【解答】解：连接A10∵A10⊥y轴，A20⊥y轴，∴∠A10A2为两个面的二面角．|A10|=a=4，|0F|=c==2，∴cos∠A10A2==∴∠A10A2=60°，故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用，与二面角相关的立体几何的综合．解决二面角问题的关键是找到或作出此二面角．12．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中， =，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60 名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．14．如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．【考点】概率的基本性质；几何概型．【专题】计算题．【分析】由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：【点评】本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．15．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC 的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．【解答】解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．【点评】本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16．若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【考点】曲线与方程．【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】由题意，y≥0， =1，y＜0， =1，渐近线方程为y=±，作出图象，即可得出结论．【解答】解：由题意，y≥0， =1，y＜0， =1，渐近线方程为y=±，如图所示，曲线kx+y﹣3=0与=1联立，可得（9﹣4k2）x2+24kx﹣72=0，∴△=（24k）2+288（9﹣4k2）=0，∴k=±，结合图象，可得k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．【点评】本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，列举出所有的基本事件，列举出满足条件的事件，根据古典概型的公式，得到结果．（2）根据古典概型公式算出两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，把所得结果进行比较，得到结论．【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．【点评】本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件数．18．某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72，88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；函数思想；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积之和为1，求a．（2）根据平均数公式计算即可，（3）数学成绩在区间[72，88]上的人数，在88分以上的人数，然后求解该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，评为优秀．【解答】解：（1）由频率分布图可知：（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1⇔a=0.005…（2）由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73…（3）数学成绩在区间[72，80]的人数约为：数学成绩在区间[80，88]的人数约为：∴成绩评为良好的学生数约为：240+160=400；成绩评为优秀的学生人数约为∴评为良好的人数约为400人，评为优秀的人数约为90人…【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，求出两者的面积，即可得到概率．【解答】解：设“方程有两个正根”的事件为A，（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于，即，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，其面积为S（Ω）=12满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）2+b2＜16}，如图中阴影部分所示，其面积为S（B）=+=∴所求的概率P（B）=．【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．20．已知命题p：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）表示的曲线是双曲线；命题q：不等式3x2﹣m＞0在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到不等式组，解出即可．【解答】解：若p为真：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）可化为：，曲线为双曲线，则：（m+2）（m﹣1）＜0，∴﹣2＜m＜1…若q为真，3x2＞m在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，3x2＞3（﹣1）2≥m即m≤3…p∨q为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假…若p真q假，则，不等式无解…若p假q真，则，m≤﹣2，或1≤m≤3…综上可得：m≤﹣2，或1≤m≤3…．【点评】本题考查了双曲线以及函数恒成立问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=m，E为BC中点，且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据二面角的平面角的定义，可得二面角的棱垂直于平面角所在的平面，得线面垂直，再由线面垂直⇒面面垂直．（2）建立空间直角坐标系，给出相关点与向量的坐标，根据AE⊥DE，求出m的值，再求向量夹角的余弦值．（3）根据=λ，写出M的坐标，求出的坐标，根据条件MG⊥DE，MG⊥EA1确定是否存在λ．【解答】解：（1）证明：∵∠AEA1为二面角A1﹣ED﹣A的平面角∴A1E⊥ED，AE⊥ED，A1E∩AE=E，∴ED⊥平面A1AE，DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面A1AE．（2）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，），B（1，0，0），D（0，m，0），E（1，，0）．=（1，，﹣），ED=（），AE=（），∵AE⊥ED，，即﹣1+=0⇒m=2，则C（1，2，0），=（﹣1，0，0），cos===，∴异面直线A1E、CD所成的角为60°．（3）依题意得：G（），=λ，∴M（0，2λ，0）．=（，1﹣2λ，），假设存在λ满足题设条件，则，且，即，解得λ=，故存在实数λ=，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立．【点评】本题考查了利用向量坐标运算求异面直线所成的角，考查用向量法解决立体几何中的存在性问题，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，本题对向量的工具作用体现较好．22．已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可求得A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可求得弦长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以y A y B=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，结合二次函数的最值求法，属于中档题．。
江西省高安市第二中学2016届高三上学期第二次段考文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2log (1)2M x x =-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b += （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可知(0,5)M =，根据()2,M N b = ，可知2,5a b ==，所以有a b +=7，故选D.考点：集合的运算.2.命题：,2sin 1"x R x ∃∈≥“的否定是（ ）A ．,2sin 1x R x ∃∈<B ． ,2sin 1x R x ∀∈≥C ．,2sin 1x R x ∃∈≤D ． ,2sin 1x R x ∀∈<【答案】D 【解析】试题分析：根据特称命题的否定形式是全称命题，并且是其结论的反面，只有D 正确，故选D. 考点：特称命题的否定.3.将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位长度，所得函数是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，图像变换以后所得的函数为sin 2()cos 24y x x π=+=，所以是偶函数，故选B.考点：函数的图像变换，函数的奇偶性. 4.若01x y <<<,则 （ ）A ．log 3log 3x y <B ．33y x <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <【答案】C 【解析】试题分析：根据函数的性质，可知4411log log 3,33,log log ,()()44y x x y x y x y >><>，故选C. 考点：指对函数的性质. 5.函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是 （ ）【答案】C考点：函数图像的选取.6.已知(tan )sin cos f x x x =，则 (2)f = （ ） A.25 B ． 35 C ． 45 D ．45- 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，(tan )sin cos f x x x =222sin cos tan sin cos tan 1x x x x x x ==++，所以(2)f =25，故选A. 考点：函数值的求解. 7.已知1sin()63πθ+= ， 则2cos(2)3πθ-= （ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】A 【解析】试题分析：2cos(2)3πθ-=27cos(2)2sin ()1369ππθθ-+=+-=-，故选A. 考点：诱导公式，倍角公式.8.已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．),1()2,(+∞⋃--∞B ．)2,1()2,(⋃--∞C ．),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞D ．),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，'()f x 在(,1)-∞-上大于零，在(1,1)-上小于零，在(1,)+∞上大于零，而223x x --在(,1)-∞-上大于零，在(1,3)-上小于零，在(3,)+∞上大于零，所以0)()32(2>'--x f x x 的解集为),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞，故选D.考点：不等式的解集.9.已知21)4tan(-=+πα，且παπ<<2，则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于 （ ）A.552 B.1053- C.552- D.10103- 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，有1tan 11tan 2αα+=--，解得tan 3α=-，结合角的范围从而可以求得cos α=，所以)4sin(cos 22sin 2πααα--α===，故选C.考点：和角公式，同角三角函数关系式，倍角公式.10.设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C考点：函数的零点.11.定义两个实数间的一种新运算“*”：()lg 1010,x y x y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给 出如下结论： ①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=；③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是 （ ） A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：根据题中所给的条件，结合对数式的运算法则，可知三个结论都是正确的，故选D. 考点：新定义运算，对数的运算法则.12.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数： ①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x =，()2g x x =+；③x x f -=e)(，1()g x x=-； ④()ln f x x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ． ②③ D ．③④ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，函数在区间D 上存在友好点的条件是()()f x g x -的最小值小于等于1，而两个函数在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”，等价于其最小值就是1，①中2()()(1)1f x g x x -=-+满足条件，②中217()())24f x g x -=-+，没有友好点，③中11()()x x f x g x e e x x---=+=+存在无数个友好点，④中()()f x g x -ln x x =-ln x x =-，在1x =处取得最小值1，故答案为B. 考点：新定义.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()12333log (6)3x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((3))f f 的值为 【答案】3 【解析】试题分析：根据题意，3(3)log 31f ==，(1)3f =，故答案为3. 考点：求函数值.14.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114且α∈(0，π2)，α＋β∈(π2，π)，则cos β的值为_____．【答案】12【解析】试题分析：根据题意，sin()αβ+=sin α=，所以cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111147=-⋅+491982==. 考点：同角三角函数关系式，差角公式.15.已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意x ∈(0,+∞),都有()21=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f f ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛51f 的值是【答案】6 【解析】试题分析：由于()f x 为单调函数,又1(())f f x x-恒为常数，得知1()f x x-恒为常数，令1()(0)f x a a x -=> 由1(())2f f x x -=得知()2f a =，把x a =带入1()f x a x-=中，得到1()f a a a -=，12a a -=，解得1a =，1()1f x x =+，15x =带入得到1()65f =.考点：函数求值.16.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点x ，且0x < ，则a 的取值范围是 . 【答案】2a > 【解析】试题分析：根据题中函数特征，当0a =时，函数2()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负; 当0a >时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增; 2(0,)x a∈时函数单调递减，欲要使得函数有唯一的零点且为负，则满足32(0)10222()()3()10f f a aa a =>⎧⎪⎨=⋅-⋅+>⎪⎩，可解得：24a >，则2a >或2a <-（舍去）; 当0a <时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：2(,)x a∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减; 2(,)x a∈+∞时函数单调递增，显然存在正零点，故答案为2a >.考点：.函数的零点，导数在函数性质中的运用，分类讨论的运用.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（满分10分）设：p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ，其中0>a .：q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+-015808622x x x x . （1）若1=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32<<x ； （2）21≤≤a . 【解析】试题分析：根据题意，现将命题q 所对应的不等式组的解集先确定好，第一问将1=a 代入求得命题p 所对应的不等式的解集求出来，之后两集合求交得到实数x 的取值范围，第二问根据p 是q 的必要不充分条件，所以有不等式组的解集是不等式的解集的真子集，从而求得实数a 的取值范围. 试题解析：依题意知：a x a p 3:<< ………2分⎩⎨⎧>--<--0)5)(3(0)4)(2(:x x x x q ，所以⎩⎨⎧<><<3542x x x 或，即32<<x . ………4分 （1）当1=a 时，31:<<x p要使q p ∧为真，则须满足⎩⎨⎧<<<<3231x x ，解得：32<<x ； ………8分（2） p 是q 的必要不充分条件 ∴)3,()3,2(a a ⊂ ⎩⎨⎧≥≤∴332a a ，解得：21≤≤a . ………10分 考点：一元二次不等式及不等式组，复合命题真值表，充要条件. 18.（满分12分）已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答案】(1) [0，1＋22]；(2) m ＝－2【解析】试题分析：第一问先将m ＝0代入函数解析式，再进一步化简，利用倍角公式和辅助角公式，将函数解析式化简为f (x )＝22sin(2x －π4)＋12，根据题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的范围，进一步确定出函数在给定区间上的值域，从而求得结果，第二问利用倍角公式和辅助角公式将函数解析式化简函数解析式f (x )＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，根据tan α＝2，利用同角三角函数关系式和倍角公式，求得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，代入求得m 的值.试题解析：(1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]， 从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]．(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12， 由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2考点：倍角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，函数的性质. 19.（满分12分）若直线)0(>=m m y 是函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.（Ⅰ）求ω和m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,的对边．若0)2A（，是函数)(x f 图象的一个对称中心，且4=a ，求b c +的最大值．【答案】（Ⅰ）1,ω=1m =； （Ⅱ）8. 【解析】试题分析：第一问先利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用切点横坐标依次成公差为π的等差数列，所以其周期是π，利用公式求得1ω=，利用)0(>=m m y 是切线，所以1m =，第二问结合函数的性质，利用余弦定理，结合基本不等式求得结果.试题解析：（Ⅰ）1cos 21sin 2cos(2)226x x x ωπωω+-+，……3分由f(x)的图象与直线)0(>=m m y 相切，得1m =． …………4分 切点横坐标依次成公差为π的等差数列，所以周期=ππω2T=2, 所以1,ω=… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知cos(2)6x π+ f(x)=，2,,626x k x k k Z πππππ+=+=+∈ 令2得， 点0)2A（，是函数)(x f 图象的一个对称中心，又A 是⊿ABC 内角，,63A ππ∴==A 2. a=4,由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，2)316b c bc +-=即(，又2)2b c bc +≤（， 22()-3,()84b c b c bc b c +∴+≥∴+≤（） ……12分考点：倍角公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式.20.（满分12分）函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ，（的切线方程 为.13+=x y（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在[-3,1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）32()245f x x x x =+-+； （2）13； （3）0≥b . 【解析】试题分析：第一问利用切点在曲线上以及导数的几何意义和极值点的特点，建立等量关系式，求得参数的值，从而确定出函数解析式，第二问利用导数，确定出函数在给定区间上图像的走向，从而确定出函数的最大值，第三问函数在给定区间上单调增，等价于导数在给定区间上大于等于零恒成立，转化为最值问题，利用基本不等式求得结果.试题解析：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2， 过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ， 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ， 故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++3241323c b a b a c b a b a 即 ………3分 ∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（ 联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………4分 (2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.232-==x x 或 列下表：因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为2795)32(=f ， 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……8分 （3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2，由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时613)1(3132+-+-=-≥x x x x b而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立 0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……12分 考点：导数的应用，基本不等式.21.（满分12分）已知函数()f x 对任意的实数x 、y 都有()()()1f x y f x f y +=+-,且当0x > 时,()1f x >.(1)求证:函数()f x 在R 上是增函数；(2)若关于x 的不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,求m 的值.(3)若()12f =，求(2015)f 的值【答案】（1）应用定义证明，过程略；（2） 1m =；（3）2016【解析】试题分析：第一问应用单调性的定义来证明即可，第二问应用函数的单调性，将不等式转化为250x ax a m -+-<，根据其解集，利用两个和与两根积求得m 的值，第三问根据题中的条件，求得()1f n n =+，从而求得(2015)2016f =.试题解析：（1）证明：设12x x <，则210x x ->，从而 21()1f x x -> 21()10f x x -->()2121()f x f x x x =+-=⎡⎤⎣⎦()()1211()1f x f x x f x +-->故()f x 在R 上是增函数(2)不等式为()()25f x ax a f m -+<.则25x ax a m -+<, 即250x ax a m -+-<.……………………………………………………6分∵不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,所以方程250x ax a m -+-=的两根为3-和2，…………………8分于是32325a a b -+=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11a m =-⎧⎨=⎩，………………10分（3）在已知等式中，令,1x n y ==，得(1)()1f n f n +-=，所以得到()1f n n =+，故(2015)2016f =. 考点：用定义证明函数的单调性，应用单调性解不等式，求函数值.22.（满分12分）已知函数314()33f x x =+，g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2. (1)求函数f (x )过A (2,4)点的切线方程；(2)若g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3) 求函数g (x )的值域【答案】(1) 440x y --= ，20x y -+=；(2) 2a ≥-；(3) 1[,)2+∞.【解析】试题分析：第一问设出切点坐标，求出导数，利用点斜式求得切线方程，将点A (2,4)代入切线方程，求得切点坐标，从而得出切线的方程，第二问求出g ′(x )，令起一个函数名，求其导数，令其大于等于零恒成立，转化为函数的最值来处理，从而求得结果，第三问利用导数求得函数的单调性，从而求得函数的最值. 试题解析： (1)切线方程为440x y --= ，20x y -+=(2)g ′(x )＝2(x －a x ＋ln x x －a )，令F (x )＝x －a x ＋ln x x －a ，则y ＝F (x )在[1，＋∞)上单调递增．F ′(x )＝x 2－ln x ＋a ＋1x ，则当x ≥1时，x 2－ln x ＋a ＋1≥0恒成立，即当x ≥1时，a ≥－x 2＋ln x －1恒成立．令G (x )＝－x 2＋ln x －1，则当x ≥1时，G ′(x )＝1－2x2x <0，故G (x )＝－x 2＋ln x －1在[1，＋∞)上单调递减．从而G (x )max ＝G (1)＝－2. 故a ≥G (x )max ＝－2.(3)证明：g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2 ＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，令h (a )＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，则h (a )≥ x －ln x22.令Q (x )＝x －ln x ，则Q ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，显然Q (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则Q (x )min ＝Q (1)＝1. 则g (x )＝h (a )≥12.考点：导数的几何意义，导数的综合应用.高考一轮复习：。
江西省樟树中学2015-2016学年高二数学上册期末测试题1
i12i高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考数学理科试卷命 题 人：杨国生 考试时长：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位，则复数1ii+的虚部是A ．12B ．C ．1D ． 2. 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂= A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7}3. 若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z .命题q ：∃x 0∈R ，01()02x =.则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p ∧qC ． p q ⌝∨D ．p q ⌝∨⌝ 5．若()261cos x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于A ．1-B ．1C ．2D ．46．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零7.已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59. 对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是A ．25B ．250C ．55D ．13310. 已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方()()xg x f x =，则()1g '=A.12B.12-C.32-D.211. 三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于 A ．－2 B ．2 C ．－2 3 D ．2 312.已知函数()()2ln x x b f x x+-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),3-∞C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(-∞ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，T 12T 8成等比数列．14．曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是15. 已知(cos ,1,sin )a αα=r ，(sin ,1,cos )b αα=r，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是16．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =uu r uu u r，则双曲线的离心率为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.(本小题满分10分)设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间； (2)若g (x )＝f (x )＋2x在．……10分18．(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2x －2x＝x －x ＋x，……4分则当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，所以(0,1)为f (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，(1，＋∞)为f (x )的单调递增区间．……6分(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0. ……11分(ⅱ)若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．综上，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．……12分19．(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32. 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158. ……4分由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．……6分(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．…7分②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，…8分那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k－12k －1＝2k ＋1－12k －1.……10分∴a k ＋1＝2k ＋1－12，由①②可知，对n ∈N *，a n ＝2n－12都成立．……12分 20. (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4), (2)分设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．.……5分,因为110A B n ⋅=uuu r u r所以1A B ∥1ADC 平面；.……6分,(2)取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，……11分得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.……12分21. (1)由2b ＝2 2.得b ＝ 2 ……1分c a ＝33，222a c -= …3分所以1a c ==椭圆方程为22132x y +=…………5分 （2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．…6分C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6， 又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6， 故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.① …7分将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2，…9分y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k22＋3k2.代入①解得k 2＝2，因此，当k ＝－2时，l 的方程为2x ＋y －2＝0； 当k ＝2时， l 的方程为2x －y －2＝0. …11分(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立． 综上， l 的方程为2x ±y －2＝0. …12分 22．解：（Ⅰ）x x g xax f 2)(',)('==,依题意得:a =2; ……………2分 曲线y=f (x )在x =1处的切线为2x －y －2=0,曲线y=g (x )在x =1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分 两直线间的距离为55……………4分 （Ⅱ）令h (x )=f (x )－g(x ) +1, ,则xx a x x a x h 222)('-=-=当a ≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h (x )在(0,+∞)单调递减, ………………5分又h (1)=0,故0<x <1时,h (x )>0,即f (x )> g(x )-1,与题设矛盾. ……………6分当a >0时,)0)(2)(2(2)('>-+=x x a x a x x h 当20a x <<,,0)('>x h 当2a x >时,0)('<x h 所以h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上是增函数,在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上是减函数,∴h (x )≤ln 1222a a ah =-+因为h (1)＝0,又当a ≠2时1≠ ,0)1()2(=>h a h 与0)2(≤a h 不符.所以a ＝2. ………8分（Ⅲ）当a <0时,由(2)知)('x h <0,∴h (x )在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x 1≤x 2,则|h (x 1)－h (x 2)|＝h (x 1)－h (x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ∴|h (x 1)－h (x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h (x 1)－h (x 2)≥x 2－x 1,即h (x 1)＋x 1≥h (x 2)＋x 2,令H (x )＝h (x )＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H (x )在(0,＋∞)上是减函数,∵xax x x x a x H ++-=+-=2212)(' (x >0),∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x >0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x )min ……………10分 又x >0时, (2x 2－x )min =81-………11分 ∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是]81,(--∞…………12分。
江西省樟树中学、高安二中联考高二物理上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年江西省樟树中学、高安二中联考高二（上）期中物理试卷一．选择题（40分，其中1-7小题为单选题，每小题4分，8-10题为多选题全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分.）1．关于点电荷的说法，正确的是（）A．点电荷的带电量一定是1.6×10﹣19CB．大的带电体一定不能看成点电荷C．点电荷是一种理想化的物理模型D．实际存在的电荷都是点电荷2．下列关于电源电动势的说法错误的是（）A．电动势是用来比较电源将其它形式的能转化为电能本领大小的物理量B．外电路断开时的路端电压等于电源的电动势C．用内阻较大的电压表直接测量电源正负极之间的电压值约等于电源的电动势D．外电路的总电阻越小，则路端电压越接近电源的电动势3．如图所示的电场线，可判定（）A．该电场一定是匀强电场B．负电荷放在B点所受电场力方向向右C．A点的电势一定低于B点电势D．负电荷放在B点的电势能比放在A点的电势能大4．如图所示，甲带正电，乙是不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一起，置于粗糙的水平地板上，地板上方空间有垂直纸面向里的匀强磁场，现用一水平恒力F拉乙物块，使甲、乙无相对滑动一起向左加速运动，在加速运动阶段（）A．甲、乙两物块间的摩擦力不断减小B．甲、乙两物块间的摩擦力不断增大C．甲、乙两物块间的摩擦力保持不变D．乙物块与地面之间的摩擦力不断减小5．如图所示，两段等长细线串接着两个质量、电量相等的带电小球a、b，a带正电、b带负电，悬挂于 O 点．现在空间加上水平向右的匀强电场，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图（）A． B． C．D．6．如图所示，在虚线所包围的圆形区域内，有方向垂直于圆面向里的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不同的质子，这些粒子在磁场里运动的过程中，下列结论中正确的是（）A．运动时间越长的，其轨迹越长B．运动时间越短的，射出磁场的速率越小C．在磁场中偏转越小的，运动时间越短D．所有质子在磁场里运动时间均相等7．如图甲所示，在圆形线框的区域内存在匀强磁场，开始时磁场垂直于纸面向里．若磁场的磁感应强度B按照图乙所示规律变化，则线框中的感应电流I （取逆时针方向为正方向）随时间t的变化图线是（）A．B． C． D．8．如图，空间有垂直于xoy平面的匀强磁场．t=0的时刻，一电子以速度v0经过x轴上的A点，方向沿x轴正方向．A点坐标为（﹣0.5R，0），其中R为电子在磁场中做圆周运动的轨道半径．不计重力影响，则（）A．电子经过y轴时，速度大小仍为v0B．电子在t=时，第一次经过y轴C．电子第一次经过y轴的坐标为（0， R）D．电子第一次经过y轴的坐标为（0，﹣ R）9．如图所示，水平放置的平行金属板充电后在板间形成匀强电场，板间距离为d，一个带负电的液滴带电荷量大小为q，质量为m，从下板边缘射入电场，沿直线从上板边缘射出，则下列说法正确的是（）A．液滴做的是匀减速直线运动 B．液滴做的是匀速直线运动C．两板间的电势差为D．液滴的电势能减少了mgd10．小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图所示，P为图线上一点，PN为图线的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线．则下列说法中正确是（）A．随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大B．对应P点，小灯泡的电阻为R=C．对应P点，小灯泡的电阻为R=D．对应P点，小灯泡电阻为图中矩形PQOM所围的面积二．填空题（共2小题，共15分，第11小题5分，第12小题10分）11．在研究电磁感应现象的实验中所用的器材如图所示．它们是：①电流计、②直流电源、③带铁芯的线圈A、④线圈B、⑤电键、⑥滑动变阻器（用来控制电流以改变磁场强弱）．（1）试按实验的要求在实物图上连线（图中已连好一根导线）．（2）若连接滑动变阻器的两根导线接在接线柱C和D上，而在电键刚闭合时电流表指针右偏，则电键闭合后滑动变阻器的滑动触头向接线柱C移动时，电流计指针将（填“左偏”、“右偏”、“不偏”）．12．有一个电阻R x，其阻值大约在40Ω～50Ω之间，现要进一步准确地测量其电阻，需测量多组数据，手边现有器材如下：电源E（电动势12V，内阻为0.5Ω）；电压表（0～3～15V，内阻约为10kΩ）；电流表（0～0.6～3A，内阻约为1Ω）；滑动变阻器R1（阻值0～10Ω，额定电流2A）；滑动变阻器R2（阻值0～1750Ω，额定电流0.3A）；开关S和导线若干．（1）电压表的量程应选，电流表的量程应选，滑动变阻器应选用．（2）在虚线方框内画出实验电路图．（3）在实物图1中完成其余连线使之成为完整的实验电路．三、计算题（共45分要求写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能给分）13．在图所示电路中，电源电动势E=6V，内阻r=1Ω．D为直流电动机，其电枢线圈电阻R=2Ω，限流电阻R′=3Ω．当电动机正常工作时，电压表示数为0.3V．求：（1）通过电动机的电流是多大？（2）电动机输入的电功率、转变为热量的功率和输出机械功率各是多少？14．有一带电量q=﹣3×10﹣6C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服电场力做功6×10﹣4J．从 B点移到C点时电场力做功9×10﹣4J．问：（1）AB、BC、CA间电势差各为多少？（2）如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？15．如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一个质量为m带负电的小球从斜轨道上的A点由静止滑下，小球通过半径为R的圆轨道顶端的B点时恰好不落下来．已知轨道是光滑而又绝缘的，且小球的重力是它所受的电场力2倍．求：（1）A点在斜轨道上的高度h为多少？（2）小球运动到最低点时的对轨道压力为多少．16．如图，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力．（1）求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间；（2）若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值．2015-2016学年江西省樟树中学、高安二中联考高二（上）期中物理试卷参考答案与试题解析一．选择题（40分，其中1-7小题为单选题，每小题4分，8-10题为多选题全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分.）1．关于点电荷的说法，正确的是（）A．点电荷的带电量一定是1.6×10﹣19CB．大的带电体一定不能看成点电荷C．点电荷是一种理想化的物理模型D．实际存在的电荷都是点电荷【考点】元电荷、点电荷．【专题】定性思想；推理法；电场力与电势的性质专题．【分析】点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体，是实际带电体的理想化模型．在研究带电体间的相互作用时，若带电体的尺寸远小于它们之间的距离时，就可把带电体看成点电荷．点电荷是没有大小的带电体，是一种理想模型，实际的带电体（包括电子、质子等）都有一定大小，都不一定能看成点电荷．当电荷间距离大到可认为电荷大小、形状不起什么作用时，可把电荷看成点电荷．【解答】解：A、点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，元电荷是电量的最小值，点电荷的值可以等于元电荷，也可以是元电荷的整数倍，即点电荷的电荷量可多可少，故A错误．B、点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，物体能不能简化为点，不是看物体的绝对大小，而是看物体的大小对于两个电荷的间距能不能忽略不计，故大的带电体有时也可以看成点电荷，故B错误．C、点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，点是没有大小的，而实际物体总有大小，故点电荷是理想模型，故C正确；D、只有电荷满足物体的大小对于两个电荷的间距能不能忽略不计时才能看作点电荷；故D 错误；故选：C．【点评】带电体看作点电荷的条件，当一个带电体的形状及大小对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，是由研究问题的性质决定，与自身大小形状无具体关系．2．下列关于电源电动势的说法错误的是（）A．电动势是用来比较电源将其它形式的能转化为电能本领大小的物理量B．外电路断开时的路端电压等于电源的电动势C．用内阻较大的电压表直接测量电源正负极之间的电压值约等于电源的电动势D．外电路的总电阻越小，则路端电压越接近电源的电动势【考点】电源的电动势和内阻．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】电源没有接入电路时两极间的电压在数值上等于电源的电动势．电动势的物理意义是表征电源把其他形式的能转化为电能本领强弱，与外电路的结构无关．电源的电动势在数值上等于内、外电压之和．【解答】解：A、电动势是用来比较电源将其它形式的能转化为电能本领大小的物理量，定义公式为：E=，故A正确；B、根据闭合电路欧姆定律公式U=E﹣Ir，外电路断开时的路端电压等于电源的电动势，故B 正确；C、根据闭合电路欧姆定律公式U=，用内阻较大的电压表直接测量电源正负极之间的电压，电压值约等于电源的电动势，故C正确；D、根据闭合电路欧姆定律公式U=，外电路的总电阻越大，则路端电压越接近电源的电动势，故D错误；本题选错误的故选：D．【点评】电源没有接入电路时两极间的电压在数值上等于电源的电动势．电动势的物理意义是表征电源把其他形式的能转化为电能本领强弱，与外电路的结构无关．电源的电动势在数值上等于内、外电压之和．3．如图所示的电场线，可判定（）A．该电场一定是匀强电场B．负电荷放在B点所受电场力方向向右C．A点的电势一定低于B点电势D．负电荷放在B点的电势能比放在A点的电势能大【考点】电场线；电势；电势能．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】匀强电场的电场线为等间距的平行直线，沿电场线方向电势逐渐降低，负电荷所受电场力方向与电场强度方向相反，根据电场力做功判断电势能的变化．【解答】解：A、由于一根电场线无法知道电场线的疏密，故不能判定是匀强电场．故A错误．B、负电荷在B点所受电场力方向水平向左．故B错误．C、沿着电场线方向电势逐渐降低，则A点的电势高于B点的电势．故C错误．D、负电荷从A点移动到B点，电场力做负功，电势能增加，所以负电荷放在B点的电势能比A点的电势能大．故D正确．故选：D．【点评】解决本题的关键知道正电荷所受电场力方向与电场强度方向相同，负电荷所受电场力方向与电场强度方向相反．以及知道电场线的疏密表示场强的强弱，沿着电场线方向电势逐渐降低．4．如图所示，甲带正电，乙是不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一起，置于粗糙的水平地板上，地板上方空间有垂直纸面向里的匀强磁场，现用一水平恒力F拉乙物块，使甲、乙无相对滑动一起向左加速运动，在加速运动阶段（）A．甲、乙两物块间的摩擦力不断减小B．甲、乙两物块间的摩擦力不断增大C．甲、乙两物块间的摩擦力保持不变D．乙物块与地面之间的摩擦力不断减小【考点】力的合成与分解的运用；洛仑兹力．【分析】甲带正电，在向左运动的过程中，要受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可以判断洛伦兹力的方向，根据受力再判断摩擦力的变化．【解答】解：A、甲、乙两物块间没有相对的滑动，是静摩擦力，由于乙与地面之间的滑动摩擦力的增大，整体的加速度减小，所以对于甲来说，静摩擦力作为合力产生加速度，由于整体的加速度减小，所以甲、乙两物块间的摩擦力减小，所以A正确，BC错误；D、甲带正电，在向左运动的过程中，受到的洛伦兹力的方向向下，所以对乙的压力变大，乙与地面之间的为滑动摩擦力，压力变大，所以滑动摩擦力也变大，所以D错误；故选：A．【点评】甲运动要受到洛伦兹力的作用，从而使物体与地面间的压力变大，摩擦力变大，加速度减小，根据牛顿第二定律分析甲受到的静摩擦力即可．5．如图所示，两段等长细线串接着两个质量、电量相等的带电小球a、b，a带正电、b带负电，悬挂于 O 点．现在空间加上水平向右的匀强电场，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图（）A． B． C．D．【考点】匀强电场中电势差和电场强度的关系．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】以整体为研究对象，分析受力情况，确定上面绳子oa的方向，再以下面的小球为研究对象，分析受力，根据平衡条件确定下面绳子的方向．【解答】解：以两个小球组成的整体为研究对象，水平方向受到两个电场力，矢量和为零．竖直方向受到总重力，根据平衡条件得知，细线oa的拉力必定在竖直方向，所以细线oa的方向必须是竖直的．再以小球b为研究对象，由于带负电，该小球受到的电场力方向水平向左，则细线ab向左偏离竖直方向，故A正确，BCD错误．故选：A．【点评】本题一要灵活选择研究对象，二要分析受力．采用整体法和隔离法相结合的方法研究往往可以简便求解．6．如图所示，在虚线所包围的圆形区域内，有方向垂直于圆面向里的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不同的质子，这些粒子在磁场里运动的过程中，下列结论中正确的是（）A．运动时间越长的，其轨迹越长B．运动时间越短的，射出磁场的速率越小C．在磁场中偏转越小的，运动时间越短D．所有质子在磁场里运动时间均相等【考点】带电粒子在匀强磁场中的运动；牛顿第二定律；向心力．【专题】带电粒子在磁场中的运动专题．【分析】设磁场区域半径为R，轨迹的圆心角为α，则粒子在磁场中运动时间为t=，圆心角α越大，时间越长．根据几何知识得到轨迹半径r与R的关系，就能得到轨迹长度与时间的关系．带电粒子在磁场中偏转角等于轨迹的圆心角．【解答】解：设磁场区域半径为R，轨迹的圆心角为α．A、粒子运动的轨迹为S=rα=Rcot•α．粒子的运动时间越长，α越大，根据数学知识可以证明孤长S越短．故A错误．B、粒子在磁场中运动的时间为t=，而轨迹半径r=Rcot，当粒子的运动时间越短时，α越小，则知r越大，而r=，则速度v越大．故B错误．C、根据推论得知，带电粒子在磁场中偏转角等于轨迹的圆心角α，则在磁场中偏转越小的，轨迹的圆心角α，由t=知，运动时间越短．故C正确．D、由上分析知道，速度越大，轨迹半径r越大，而tan=，α越小，通过磁场的时间越短．故D错误．故选C【点评】本题要根据几何知识研究粒子运动的轨迹半径与磁场区域半径的关系，也可以通过作轨迹对比，得到轨迹的圆心角与运动时间、轨迹长度的关系．7．如图甲所示，在圆形线框的区域内存在匀强磁场，开始时磁场垂直于纸面向里．若磁场的磁感应强度B按照图乙所示规律变化，则线框中的感应电流I （取逆时针方向为正方向）随时间t的变化图线是（）A．B． C． D．【考点】法拉第电磁感应定律；闭合电路的欧姆定律．【专题】电磁感应与电路结合．【分析】当线圈的磁通量发生变化时，线圈中才会产生感应电动势，从而形成感应电流；当线圈的磁通量不变时，则线圈中没有感应电动势，所以不会有感应电流产生．【解答】解：磁感应强度在0到t1内，由法拉第电磁感应定律可得，随着磁场的均匀变大，由于磁感应强度随时间变化率不变，则感应电动势大小不变，感应电流的大小也不变；由于磁感线是向里在减小，向外在增大．所以由楞次定律可得线圈感应电流是顺时针，由于环中感应电流沿逆时针方向为正方向，则感应电流为负的．同理，磁感应强度在t1到t2内，感应电流不变，且电流方向为正．所以只有A选项正确，BCD均错误．故选：A【点评】感应电流的方向由楞次定律来确定，而其大小是由法拉第电磁感应定律结合闭合电路殴姆定律来算得的．8．如图，空间有垂直于xoy平面的匀强磁场．t=0的时刻，一电子以速度v0经过x轴上的A点，方向沿x轴正方向．A点坐标为（﹣0.5R，0），其中R为电子在磁场中做圆周运动的轨道半径．不计重力影响，则（）A．电子经过y轴时，速度大小仍为v0B．电子在t=时，第一次经过y轴C．电子第一次经过y轴的坐标为（0， R）D．电子第一次经过y轴的坐标为（0，﹣ R）【考点】带电粒子在匀强磁场中的运动．【专题】带电粒子在磁场中的运动专题．【分析】由于电子做匀速圆周运动，故其过y轴的速度大小是不变的．由此知道A正确；又由数学几何知识，可以得到经过y轴上对应的坐标．可判定BC；由数学几何知识可以得到达到y轴这段的圆心角，由此可以求得运动时间，可判定D．【解答】解：A、由于电子做匀速圆周运动，自始至终速度都不变，故其过y轴的速度大小是不变的．速度大小仍为v0 故A正确B、由几何知识可知，AB段的圆心角为：sinθ==，知θ=，故其运动时间为：t=T=×=，故B正确；C、由左手定则可以知道，电子往下偏做圆周运动，电子在磁场的运动轨迹如图：由数学几何知识可知：AC=O′A﹣O′C=R﹣=R，故电子第一次经过y轴的坐标为（0，﹣ R），故C错误D正确；故选：ABD．【点评】本题重点是要画出运动轨迹图，其余就是以几何关系来分析坐标，圆心角，等问题了，带点例子在磁场中的运动很多时候都是数学的几何问题占重要地位，能不能画出轨迹，找到圆心，是这类题成败关键．9．如图所示，水平放置的平行金属板充电后在板间形成匀强电场，板间距离为d，一个带负电的液滴带电荷量大小为q，质量为m，从下板边缘射入电场，沿直线从上板边缘射出，则下列说法正确的是（）A．液滴做的是匀减速直线运动 B．液滴做的是匀速直线运动C．两板间的电势差为D．液滴的电势能减少了mgd【考点】带电粒子在混合场中的运动；带电粒子在匀强电场中的运动．【专题】定性思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题．【分析】液滴沿直线运动，则其所受的合力方向与速度方向在同一直线上或合力为零，即可判断出电场力方向竖直向上，而且电场力与重力相平衡，由平衡条件和U=Ed求解电势差．【解答】解：A、液滴进入竖直方向的匀强电场中，所受的电场力方向竖直向上或竖直向下，因为微粒做直线运动，可知，电场力方向必定竖直向上，而且电场力与重力平衡，液滴做匀速直线运动，故A错误，B正确；C、液滴从下极板运动到上极板的过程中，由动能定理有qU﹣mgd=0，所以：U=，故C正确；D、液滴进入竖直方向的匀强电场中，重力做功﹣mgd，微粒的重力势能增加，动能不变，根据能量守恒定律得知，微粒的电势能减小了mgd．故D正确；故选：BCD．【点评】本题是带电粒子在电场中运动的问题，关键是分析受力情况，能判断出粒子做匀速直线运动是解题的关键．10．小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图所示，P为图线上一点，PN为图线的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线．则下列说法中正确是（）A．随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大B．对应P点，小灯泡的电阻为R=C．对应P点，小灯泡的电阻为R=D．对应P点，小灯泡电阻为图中矩形PQOM所围的面积【考点】闭合电路的欧姆定律；电阻率与温度的关系．【专题】恒定电流专题．【分析】小灯泡的伏安特性曲线上的各点与原点连线的斜率表示电阻，斜率增大，灯泡的电阻增大．任一状态灯泡的电阻R=．【解答】解：A、I﹣U图线各点与原点连线的斜率表示电阻，由题，此斜率减小，说明随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大．故A正确．B、C、D根据电阻的定义得到，对应P点，小灯泡的电阻为R=，R不等于切线斜率，R也不等于“面积”．故B正确，CD错误．故选AB【点评】对于线性元件，欧姆定律成立，即R==，对于非线性元件，欧姆定律不成立，R=≠．二．填空题（共2小题，共15分，第11小题5分，第12小题10分）11．在研究电磁感应现象的实验中所用的器材如图所示．它们是：①电流计、②直流电源、③带铁芯的线圈A、④线圈B、⑤电键、⑥滑动变阻器（用来控制电流以改变磁场强弱）．（1）试按实验的要求在实物图上连线（图中已连好一根导线）．（2）若连接滑动变阻器的两根导线接在接线柱C和D上，而在电键刚闭合时电流表指针右偏，则电键闭合后滑动变阻器的滑动触头向接线柱C移动时，电流计指针将左偏（填“左偏”、“右偏”、“不偏”）．【考点】研究电磁感应现象．【专题】实验题．【分析】（1）注意该实验中有两个回路，一是电源、电键、变阻器、小螺线管串联成的回路，二是电流计与大螺线管串联成的回路，据此可正确解答．（2）磁场方向不变，磁通量的变化不变时电流方向不变，电流表指针偏转方向相同，磁通量的变化相反时，电流表指针方向相反．【解答】解：（1）将电源、电键、变阻器、线圈A串联成一个回路，注意滑动变阻器接一上一下两个接线柱，再将电流计与线圈B串联成另一个回路，电路图如图所示．（2）闭合开关，穿过副线圈的磁通量增大，灵敏电流表的指针向右偏；由电路图可知，电键闭合后滑动变阻器的滑动触头向接线柱C移动时，滑动变阻器接入电路的阻值变大，通过线圈A的电流变小，磁场变弱，穿过线圈B的磁场方向不变，磁通量变小，则电流表指针向左偏．故答案为：（1）实物连接如图所示；（2）左偏．【点评】本题考查研究电磁感应现象及验证楞次定律的实验，对于该实验注意两个回路的不同．知道磁场方向或磁通量变化情况相反时，感应电流反向是判断电流表指针偏转方向的关键．12．有一个电阻R x，其阻值大约在40Ω～50Ω之间，现要进一步准确地测量其电阻，需测量多组数据，手边现有器材如下：电源E（电动势12V，内阻为0.5Ω）；电压表（0～3～15V，内阻约为10kΩ）；电流表（0～0.6～3A，内阻约为1Ω）；滑动变阻器R1（阻值0～10Ω，额定电流2A）；滑动变阻器R2（阻值0～1750Ω，额定电流0.3A）；开关S和导线若干．（1）电压表的量程应选0～15V ，电流表的量程应选0～0.6A ，滑动变阻器应选用R1．（2）在虚线方框内画出实验电路图．（3）在实物图1中完成其余连线使之成为完整的实验电路．【考点】伏安法测电阻．【专题】实验题．【分析】本题的关键是首先根据电源电动势的大小选择电压表的量程，然后根据欧姆定律求出通过待测电阻的最大电流来选择电流表的量程；题（2）的关键是根据与R v R A大小关系说明电流表应采用外接法，根据电流表能读数的最小电流和闭合电路欧姆定律求出电路中的最大电阻，说明滑动变阻器可以采用限流式或分压式．【解答】解：（1）由于电源的电动势为12V，所以电压表应选15V量程；根据I=可得，通过待测电阻的最大电流为：=0.3A，所以电流表应选0.6A的量程；根据闭合电路欧姆定律电路和电流表最小读数，可求出电路中需要的最大电阻为：R==Ω=60Ω，由于待测电阻电阻为40～50，所以滑动变阻器应用R1（2）由上面分析可知滑动变阻器可以采用限流式接法，也可以采用分压式接法，由于满足＜R v R A，所以电流表应用外接法，电路图如图所示：故答案为：（1）0～15V 0～0.6A R1。
高二数学上学期期中试题 理(创新班)-人教版高二全册数学试题
某某省高安中学2015——2016学年度上学期期中考试高二年级数学参考答案（创新班）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，总共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案 A D D A C B A C A C AB二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13 []6,1- 14 3－225 15 12343VS S S S+++ 16 ()112，- 三、解答题：本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）解 由p 令a x ax u +-=2①当0=a 时，x u -=值域为R 符合题意，②21004102≤<⇒⎩⎨⎧≥-=∆>a a a 综上所述，当p 为真命题是a 的取值X 围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡210， 由()022log :22≥-+-a x q 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 恒成立，令[]0,2-log 2∈=x t ，所以02≥+a 即2-≥a 当p 为真命题，q 为假命题时，则φ∈a当p 为假命题，q 为真命题时，则[)⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∈,210,2 a 综上所述：[)⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,210,2 a18.(本题满分12分)解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 、方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.19.（本题满分12分）（1）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，．∵AP BP =，∴PO AB ⊥ 又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒，∴ACB ∆是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO PO O =，∴AB PCO ⊥平面， 又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥ （2）由2AB PC ==，AP BP ==1PO =，OC =∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -，则(0,1,0)B ，C ，(0,0,1)P ，2,0)D -，∴(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(0,2,0)DC =设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则1n PC ⊥，1n DC ⊥，∴113020n PC z n DC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴z =0y =，∴1(1n = 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c =，则2n PC ⊥，2n BC⊥，∴223030n PC c n BC b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，∴c =b =2(1,n = ∴1212124cos ,||||2n n n n n n ⋅<>===⋅⨯20.（本题满分12分）解：（1）(0,)2p F 当l 的倾斜角为45时，l 的方程为y 设1122(,),(,)A x y B x y 222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x px p --=1212122,3x x p y y x x p p +=+=++= 得AB 中点为3(,)2D p pAB 中垂线为3()2y p x p -=--0x =代入得552y p ==2p ∴= （2）设l 的方程为1y kx =+，代入2x 2440x kx --=212122()444AB y y k x x k =++=++=+AB 中点为(2D k 2MDN ∠=α122S AB AB =α⋅=α⋅S AB ∴=α ∵D 到x 轴的距离221DE k =+∴222211cos 1122222DE k k k AB +α===-++ 当20k =时，cos α取最小值12，α的最大值为3π故S AB 的最大值为3π.21.（本题满分12分）22.（本题满分12分）解：（1）抛物线焦点的坐标为()1,0，则椭圆C的焦点在y轴上，设椭圆方程为()012222>>=+b a b x a y 由题意可得1=c ，2=a ，122=-=c a b ，所以椭圆方程为1222=+x y （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是122=+y x ，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是9163122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+019163112222y x y x y x 即两圆相切于点（1，0），因此所求的点T 如果存在，只能是（1，0），事实上，点T （1，0）就是所求的点，证明如下： 当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （1，0），若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=31x k y 设点()11,A y x ，()22,B y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=123122y x x k y ()029********=-+++⇒k x k x k ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+229123222212221k k x x k k x x 又因为=（x 1-1，y 1），=（x 2-1，y 2），=（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2=（x 1-1）（x 2-1）+k 2（x 1+）（x 2+）=0则TA ⊥TB ，故以AB 为直径的圆恒过点T （1，0），所以在坐标平面上存在一个定点T （1，0）满足条件。
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2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为（）A．B．C．D．3．（5分）若x＞0，y＞0，则“x2+y2＞1”是“x+y＞1”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x n是武汉市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的2014年的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上比尔．盖茨的2014年的年收入x n（约80亿美元），则这n+1个数据中，+1下列说法正确的是（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变5．（5分）经过抛物线y2=4x的焦点且垂直于直线3x﹣2y=0的直线l的方程是（）A．3x﹣2y﹣3=0 B．6x﹣4y﹣3=0 C．2x+3y﹣2=0 D．2x+3y﹣1=06．（5分）一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．D．8．（5分）如图是11月6日下午高安二中红歌会比赛中七位评委为某班级打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据的平均分为85分，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35 B．=0.7x+1 C．=0.7x+2.05 D．=0.7x+0.4510．（5分）如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（）A．8 B．4 C．2 D．111．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣212．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为．14．（5分）直线y=x+3与曲线﹣=1交点的个数为．15．（5分）如图，平行光线与水平地面成30°角，已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率为．16．（5分）高安二中高中年级早上7点早读，假设该校学生小x与小y在早上6：30﹣6：50之间到校且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小x比小y至少早5分钟到校的概率为．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．18．（12分）“世界睡眠日”定在每年的3月21日．2015年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站2015年3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算．分析中一部分计算见算法流程图．（1）求表格中m与n的值（2）求输出S的值（3）S的统计意义是什么？19．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．20．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆过（2，）且离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一点D，①求直线DA与直线DB的斜率之积②判断直线AD与直线BC的交点M是否在一条直线上？说明理由．22．（12分）已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x 0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是：“对任意的x∈R，2x＞0”．故选：D．2．（5分）椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得：a=1，=，∴c=．∴b2=a2﹣c2=，∴b=，故选：C．3．（5分）若x＞0，y＞0，则“x2+y2＞1”是“x+y＞1”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2+y2＞1，因为x＞0、y＞0，所以（x+y）2=x2+y2+2xy＞x2+y2＞1，∴x+y＞1成立，故充分性成立，可取x=y=，使x+y＞1成立，而x2+y2＞1不能成立，故必要性不成立综上所述，x2+y2＞1”是“x+y＞1”充分不必要条件故选：B．4．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x n是武汉市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的2014年的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上比尔．盖茨的2014年的年收入x n+1（约80亿美元），则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，x n是武汉市普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入，则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大．故选：B．5．（5分）经过抛物线y2=4x的焦点且垂直于直线3x﹣2y=0的直线l的方程是（）A．3x﹣2y﹣3=0 B．6x﹣4y﹣3=0 C．2x+3y﹣2=0 D．2x+3y﹣1=0【解答】解：设垂直于直线3x﹣2y=0的直线l的方程为2x+3y+c=0，由于直线l经过抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所以c=﹣2．故选：C．6．（5分）一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有16种结果（红1，红1）、（红1，红2）、（红1，白1）、（红1，白2）、（红2，红1）、（红2，红2）、（红2，白1）、（红2，白2）（白1，红1）、（白1，红2）、（白1，白1）、（白1，白2）（白2，红1）、（白2，红2）、（白2，白1）、（白2，白2）记“取出的两个球同色”为事件A，则A包含的结果有8种结果由古典概率的计算公式可得P（A）=故选：A．7．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选：B．8．（5分）如图是11月6日下午高安二中红歌会比赛中七位评委为某班级打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据的平均分为85分，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵由题意知，选手的分数去掉一个最高分和一个最低分有有83，80+a，86，80+b，88，87，∴选手的平均分是（83+80+a+86+80+b+88）=85，∴a+b=8，∴=[（a+b）（）=（40++）≥（40+2）=9．故选：D．9．（5分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35 B．=0.7x+1 C．=0.7x+2.05 D．=0.7x+0.45【解答】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故选：A．10．（5分）如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：方法一：特殊化，抛物线x2=4y的焦点是F（0，1），取过焦点的直线y=1，依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1的点是A（﹣2，1）、B（﹣1，1）、C（1，1）、D（2，1），∴|AB|×|CD|=1×1=1；法二：∵抛物线焦点为F（0，1），∴设直线为y=kx+1，直线与x2=4y联立得：y2﹣（4k2+2）y+1=0；∵|AB|=|AF|﹣1=y A，|CD|=|DF|﹣1=y B；∴|AB|•|CD|=y A y B=1．故选：D．11．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣2【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于1320=10×11×12，故判断框中应填k≤9，或者k＜10故选：B．12．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选：C．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为﹣．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）直线y=x+3与曲线﹣=1交点的个数为3．【解答】解：当x≥0时，曲线方程为﹣=1，图形为双曲线在y轴的右半部分；当x＜0时，曲线方程为，图形为椭圆在y轴的左半部分；如图所示，由图可知，直线y=x+3与曲线﹣=1交点的个数为3．故答案为3．15．（5分）如图，平行光线与水平地面成30°角，已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率为．【解答】解：已知桌面上有一个球，半径为R，一束平行光线与桌面成θ（）角，则球在桌面上的投影椭圆的离心率e=cosθ．如图，l1和l2是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C，分别与桌面交于点B和点D，则AC就是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长．过点A作AE∥BD，交l2于点E，则BD=AE．在Rt△AEC中，因为∠AEC=θ，所以AE=，即，又因为b=R，所以，所以e=cosθ=cos30°=．故答案为：16．（5分）高安二中高中年级早上7点早读，假设该校学生小x与小y在早上6：30﹣6：50之间到校且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小x比小y至少早5分钟到校的概率为．【解答】解：设小x到校的时间为x，小y到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x ≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小x比小y至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ADE，联立得，即D（15，20），联立得，即E（0，5），则S=×15×15=△ADE几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为==．故答案为：三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．【解答】解：∵m∈[﹣1，1]，∴∈[2，3]．∵对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1．故命题p为真命题时，a≥6或a≤﹣1．又命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，∴△=a2﹣8＞0，∴a＞2或a＜﹣2．从而命题q为假命题时，﹣2≤a≤2，∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．18．（12分）“世界睡眠日”定在每年的3月21日．2015年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站2015年3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算．分析中一部分计算见算法流程图．（1）求表格中m与n的值（2）求输出S的值（3）S的统计意义是什么？【解答】解：（1）m=200×0.30=60，n==0.1（2）首先要理解直到型循环结构图的含义，输入m1，f1的值后，由赋值语句：S=S+m i•f i可知，流程图进入一个求和状态．令a i=m i•f i（i=1，2，…，6），数列{a i}的前i项和为T i，即：T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.70，则输出的S为6.70．（3）S的统计意义是参加调查者的平均睡眠时间或参加调查者的睡眠时间的期望值．19．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．20．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆过（2，）且离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一点D，①求直线DA与直线DB的斜率之积②判断直线AD与直线BC的交点M是否在一条直线上？说明理由．【解答】解：（1）∵离心率为，∴∴a2=2b2…（2分）将代入椭圆方程得解得a2=8，b2=4故所求椭圆的标准方程为…（5分）（2）①设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵A，D都在椭圆上，∴，∴∴．…（10分）②M在定直线x=4上．…（11分）∵，∴∴直线AD的方程为①同理，直线BC的方程为②由②﹣①得整理得③∵∴x=4所以直线AD与BC的交点M在定直线x=4上．…（16分）22．（12分）已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以y A y B=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。