中值定理有关的证明题辅助函数法

与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍

一．积分法

例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，

满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅

分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-⋅--⋅=

左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令

22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-⋅--⋅

积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-⋅--⋅

证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-⋅--⋅

22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-⋅--⋅

则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且

22

()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得

22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅

说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取

2222

()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心

（2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈，

使得 22()()()2f b f a f b a ξξ

'-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅ 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理

二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章） 例 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+=

分析 本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能

由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的， 解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子

因为任给一个()0x ϕ≠，有

2()()0()[2()()]0f f f f ξξξϕξξξξ''+=⇔+=

从而求证式等价于2()()()()0f f ϕξξϕξξξ'+=

上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()()

2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ϕϕ'''=+'=+

令 ()

()

()2()()()()2u x u x u x x u x x x x x

ϕϕϕ''==⇒== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例） 所以 ()

()222

u x u x du u du

dx x dx x u x '=⇒==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =⇒=+⎰

⎰ 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =

证明：作辅助函数2()()F x x f x =, 2()2()()F x xf x x f x ''=+

22(0)0(0)0(1)1(1)0F f F f =⋅==⋅=

从而()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F = 由罗尔定理知：存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，得

22()()0f f ξξξξ'+=

又01ξ<<，上式两边同除ξ得 2()()0f f ξξξ'+= 说明：（1）微分方程是一阶微分方程

()()2u x u x x '=，通过分离变量法求解的 本题也可避开微分方程 上式化为()2

(ln ())(2ln )()u x u x x u x x

'''=⇒= 两个函数的导数相等，二者至多相差一个常数，即ln ()2ln ln u x x c =+ 2()u x cx = 右端加上ln c 只是为了去对数方便，没有什么特殊含义 （2）为了作辅助函数更加快捷，由求证式2()()0f f ξξξ'+= 将ξ替换成x ，考虑方程2()()0f x xf x '+= 得()2(ln ())(2ln )ln ()2ln ln ()f x f x x f x x c f x x

'''=-⇒=-⇒=-+ 去对数得，2()x f x c = (一定要让右端化为常数) 令左端为()F x ，即2()()F x x f x =

例：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：()()0f f ξξξ'+=

分析：（1）令()()()F x u x f x =，

()()()()()

()1()F x u x f x u x f x x f x f x '''=+'=⋅+⋅ ()f x 与()f x '的系数对应成比例

2()

()()[ln ()][]1()2u x u x u x x x u x x

u x ''''=⇒=⇒= 2l n ()l n 2

x

u x c =+ 取1c =，得22()x u x e = 辅助函数为2

2()()x F x e f x = （2）较为快捷的方式，将求证式中的ξ换成x ，考虑方程()()0xf x f x '+=

2()[ln ()][]()2f x x x f x f x '''=-⇒=- 2l n ()l n 4

x f x c ⇒=-+ 得 2

2()x e f x c = 左端为()F x ，即22()()x F x e

f x =

证明：辅助函数22()()x F x e f x =， 2

222

()()()x x F x xe

f x e f x ''=+ 12(0)(0)0(1)(1)0F f F e f ==== 从而()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F = 由罗尔定理知：存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，得

22

22()()0e f e f ξξξξξ'+=

化简得()()0f f ξξξ'+=