九年级一元二次方程方法篇伟达定理专题
关于一元二次方程韦达定理的专题
一、概述一元二次方程是初中数学中的重要内容，而韦达定理则是解一元二次方程的一种方法，也是代数学中的经典定理之一。
本文将详细介绍一元二次方程和韦达定理的相关知识，旨在帮助读者全面了解和掌握这一重要数学定理。
二、一元二次方程的定义与性质1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指含有未知数 x 的二次项、一次项和常数项的方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知的实数且a≠0，x 是未知数。
一元二次方程的解就是使方程成立的 x 的取值。
2. 一元二次方程的性质一元二次方程的解的个数可能有三种情况：有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解、没有实数解。
这种分类是根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac 的正负来确定的，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
三、韦达定理的概念1. 韦达定理的提出者韦达定理是由17世纪法国数学家维埃特·韦达（François Viète）提出的，他被誉为"代数学之父"。
2. 韦达定理的内容韦达定理是指一元二次方程的两个根（解）与系数之间的关系。
设一元二次方程为 ax^2 + bx + c = 0，其两个根分别为 x1 和 x2，根据韦达定理有以下等式成立：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a3. 韦达定理的应用韦达定理在解一元二次方程的过程中起到了重要作用，通过韦达定理，我们可以利用一元二次方程的系数来求出方程的根的和与积。
这为我们解一元二次方程提供了一种简便且直观的方法。
四、基于韦达定理的一元二次方程求解方法1. 利用韦达定理求一元二次方程的根通过韦达定理，我们可以利用一元二次方程的系数 a、b、c 来计算出方程的两个根，即 x1 和 x2 的值。
首先根据韦达定理的公式 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a，利用一些代数运算，我们即可得到方程的根的值。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。
9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。
11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。
12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
一元二次方程、韦达定理及应用
专题 一元二次方程及韦达定理【基本知识】1．一元二次方程符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）2．了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（3）利用直接开平方法解之。
4．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：242b b ac x a -±-= （240b ac -≥） 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。
我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的根的判别式。
6． 设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系： 12b x x a +=-，12c x x a⋅=； 7、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二找、三设、四列（列代数式、列方程）、 五解、六验、七答）8． 用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）巩固练习1．关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q < 2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅。
《韦达定理》专题
《韦达定理》专题1.（2012黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ，求11a b +的值．2. （2012四川南充8分）关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1=0的两个实数根分别为x 1,x 2．（1）求m 的取值范围．（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值.3. （2012湖北鄂州8分）关于x 的一元二次方程22x (m 3)x m 0---=.（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且｜x 1｜=｜x 2｜－2，求m 的值及方程的根。
4.（2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝m 的值和此时方程的两根．5. （2012黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2＋x －2013=0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为6. （2012山东枣庄4分）已知关于x 的方程2x mx 60+-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ．7. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2+2ax +b =0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是【 】A ．a =﹣3，b =1B ．a =3，b =1C ．3a=2-，b =﹣1D ．3a=2-，b =18. （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=09.（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【】A．﹣3 B．3 C．﹣6 D． 610. （2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c 的值分别为【】A．b=﹣1，c=2B．b=1，c=﹣2C．b=1，c=2D．b=﹣1，c=﹣2。
韦达定理、一元二次方程应用题
一、解一元二次方程1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x 二、根的判别式练习题三、根与系数的关系（韦达定理）1、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根是1x 、2x ，那么21x x += ，21x x ⋅= 。
2、已知1x 、2x 是方程04322=-+x x 的两个根，那么：21x x += ；21x x ⋅= ；=+2111x x ；=+2221x x ；=++)1)(1(21x x ；||21x x -= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a = 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且21x x +=－2，则m= ，21x x ⋅ = 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x 2=a 的方程，我们可以用直接法。
方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。
注意点：①二次项的系数为1，且a ≥0②假如a 为根式，注意化简。
例1：解方程：5x 2=1例2：解方程：x 2= 4-例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方： 〔x+ 2b a 〕2+c- 2()2b a=0 ③移项： 〔x+ 2b a 〕2=2()2b a-c ④用直接法求出方程的解。
X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a 进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程的解为：x 1x 2 注意点：① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
② 解题步骤要标准。
例:解方程：x 2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法对于一个方程，假如在构造上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比拟复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。
例1：解方程：〔x2+5x+2〕2+(x2+5x+2)-2=0例2：15、有理化方法：对于一个方程，假如含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。
【机构适用;新人教版九年级上学期】韦达定理及一元二次方程的应用
一、韦达定理[准备知识回顾]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=242b b aca-+-，x 2=242b b ac a---．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么a b x x -=+21,acx x =21．➢ 韦达定理的逆定理：如果实数21,x x 满足acx x a b x x =-=+2121，，那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根．利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． ➢ 韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21． 推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=++-x x x x x x ．知识重难点梳理韦达定理及一元二次方程的应用➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于21,x x 的对称式的值，如,2221x x +,1121x x +221212,x x x x +2112121211,,x x x x x x x x ---等等．说明：如果把含21,x x 的代数式中21,x x 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21,x x 的对称式．(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程． (5)已知两数的和与积，求这两个数．(6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值． (7)证明方程系数之间的特殊关系．(8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．根的符号的讨论：利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的两根为21,x x ，则：(1)当0,021>≥∆x x 且时，两根同号．①当0,0,02121>+>≥∆x x x x 且时，两根同为正数； ②当0,0,02121<+>≥∆x x x x 且时，两根同为负数． (2)当0,021<>∆x x 且时，两根异号．①当0,0,02121>+<>∆x x x x 且时，两根异号且正根的绝对值较大； ②当0,0,02121<+<>∆x x x x 且时，两根异号且负根的绝对值较大．题型一：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数． 1、已知方程5x 2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k 的值变式训练1．已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。
精品 九年级数学上册 一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程判别式和韦达定理一、知识内容提要1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为：△＝b2－4ac（1）△= b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根21242b b acxa-±-=，。
（2）△= b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根122bx xa==-。
（3）△= b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
2、一元二次方程根的判别式的主要应用方面：（1）判定方程根情况：根据方程或给定的条件，判定方程根的情况（不解方程）；（2）确定字母取值范围：利用判别式建立等式、不等式,确定含字母的一元二次方程中参数值或取值范围；（3）证明、探求参数条件：证明某种条件下方程根情况，或求参数满足条件等；（4）讨论根的性质：构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。
3、韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++acbxax的根与系数的关系设方程的两根为1x、2x，则acxxabxx=-=+2121,。
注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆acb，即方程必须有实数解。
4．韦达定理的逆定理: 以两个实数21xx，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：()021212=++-xxxxxx注意：（1）根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根（Δ≥0）为前提的，因此，运用韦达定理判定根具体条件必须考虑Δ≥0这一条件。
（2）运用韦达定理可以不解方程，求含有1x、2x的代数式值，常见变形如下：2122122212)(xxxxxx-+=+，21221221214)()(||xxxxxxxx-+=-=-，)(3)(21213213231xxxxxxxx+-+=+，21212111xxxxxx+=+二、考点分析（一）判别式的运用问题一、利用判别式,判定方程根的个数和情况.例1、不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴2710x x --=⑵294(31)x x =-（3）22320x x --+= （4）2(1)02m x m x -++=(m 为常数)例2.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断练习：⑴若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝__________；⑵若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 无实根，则k 的取值为__________；⑶若关于x 的一元二次方程21(1)04k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________；例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习：已知关于x 的方程 x 2－(k ＋1)x ＋2k －2＝0⑴求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ABC ，底边a ＝3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求△ABC 的周长。
一元二次方程的解法与韦达定理练习题
一元二次方程的解法与韦达定理【知识提要】1.一元二次方程你知道有哪些常用解法？2.还记得如何用配方法解方程吗？配方时需要注意些什么？3.韦达定理是什么？你能推导吗？使用韦达定理的前提条件是什么？【典型例题】例1 （1）一元二次方程的一般形式是____ ___.其解为1x =_ ______,2x =__ _____.（2）将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是_________.例2 用配方法解下列方程(1)0152=-+x x (2)01422=+-x x (3)036412=+-x x 例3 用公式法解下列各方程(1)01252=-+x x (2)061362=++y y (3)7962=++x x例4 用因式分解法解下列方程(1)022=+x x (2)22)12()1(-=+x x (3)4122=+-x x例5 用适当方法解方程：(1)x x 322=+ (2)232+=x x (3)02)3(2=-+y(4) )2(3)2)(1(2+=++x x x x （5）)3(215)3(2+-=+x x（6）01242=-+x x （7）0)12(532=++x x根与系数关系式一、填空题与选择题：1、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.2、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、3 C 、6 D 、94、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( )A.11B.17C.17或19D.19 二、解答题：5、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x（3）)31)(31(1221x x x x ++6、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.7、m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；8、已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。
【人教版】数学九年级全一册一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)随堂练习(课件版)
(2)如果方程的两实数根为 x1，x2，且 x12＋x22＝10，求 m 的值．
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝2m －2，x1x2＝m 2－2m. ∵x1 2＋x2 2＝(x1＋ x2)2－2x1x2＝10， ∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10. ∴m 2－2m －3＝0. ∴m＝－1 或 m＝3.
4.设 x1，x2 是方程 2x2＋4x－3＝0 的两个根，利用根与 系数的关系，求下列各式的值：
(1)x12＋x22；
解：∵x1，x2 是方程 2x2＋4x－3＝0 的两个根， ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－32 . (1)x12＋x22＝ (x1＋x2)2 －2x1x2
－3 ＝(－2)2－2× 2 ＝7.
第二十一章 一元二次方程
*第7课(选学) 一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理)
温故知新
1.方程的求根公式为：____x_＝__－_b_2±_a _Δ__(Δ_≥_0_)__，根的判别
式：__Δ_＝__b_2_－__4_a_c_．
2．探究两根和、两根积与 a，b，c 的关系：
(1)x1 ＋ x2 ＝－b＋
(2)若 x1＋2x2＝1，求 k 的值和方程的根．
解：∵x1 ＋2x2＝1，x1＋x2＝ 3， ∴x2＝－2，x1＝5. ∴x1·x2 ＝－k ＝－10. ∴k ＝10. 综上所述，k ＝10，x1＝5，x2＝－2.
5.(南充中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2m－2)x ＋(m2－2m)＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)1 ＋ 1 . x1 x2
1 ＋ 1 ＝x1＋x2 ＝4 . x1 x2 x1x2 3
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值. 变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x ---=有两个实数根，求k 的取值范围 二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知23-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x - 变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值 变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2 注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。
2023年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用(教师版含解析)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。
【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
初中数学 什么是一元二次方程的韦达定理
初中数学什么是一元二次方程的韦达定理一元二次方程的韦达定理是一种用于求解一元二次方程根的方法。
韦达定理基于一元二次方程的系数和根之间的关系，可以通过系数来计算方程的根的和与积。
下面将详细介绍一元二次方程的韦达定理及其推导过程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c 是已知的实数常数，x 是未知数。
一元二次方程的韦达定理可以总结为以下公式：根的和：x1 + x2 = -b / a根的积：x1 * x2 = c / a推导过程如下：1. 假设方程的两个根分别为x1 和x2，那么可以将方程表示为两个因式的乘积：ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)2. 将上式展开并化简，得到：ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x1 + x2)x + ax1x23. 将方程的两边进行比较，可以得出以下结论：b = -a(x1 + x2)c = ax1x24. 根据以上结论，可以得到一元二次方程的韦达定理：根的和：x1 + x2 = -b / a根的积：x1 * x2 = c / a韦达定理的应用：韦达定理提供了一种简单且直接的方法来计算一元二次方程的根的和与积。
这种方法在解决实际问题时非常有用，特别是当我们需要计算方程根的和与积来进一步分析方程的性质时。
以下是一些常见的应用场景：1. 利用根的和与积可以判断方程的解的情况。
例如，当根的和和根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
2. 韦达定理可以用于求解一元二次方程的根的和与积。
通过求解根的和与积，我们可以得到方程的根的具体数值，从而解决实际问题。
3. 韦达定理还可以用于拟合数据。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积，从而得到最佳拟合曲线的特征。
总结：一元二次方程的韦达定理是一种用于计算方程根的和与积的方法。
九年级一元二次方程之公式法与韦达定理
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（）．
A．x1= ，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2 ，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
区别：① 配方法要先配方，再开方求根．
② 公式法直接利用公式求根．
③ 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次因式等于0．
2、方法收获
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
一元二次方程之公式法与韦达定理
因式分解法解一元二次方程：
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，
再使________________________________，从而实现_________________，
这种解法叫做__________________。
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 51、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．x= B．x=
2、一元二次方程 ：
当 ____时，方程有实数根______________________________；
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系韦达定理和它的逆定理知识精讲试题
初三数学一元二次方程的根与系数的关系〔韦达定理和它的逆定理〕人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的根与系数的关系〔韦达定理和它的逆定理〕二. 教学目的：〔一〕通过观察、归纳，猜测根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据。
〔二〕使学生会运用根与系数关系解题。
三. 教学重点和难点：重点：根与系数关系的推导。
难点：根与系数关系的运用。
四. 教学过程设计：〔一〕复习根的判别式〔二〕新课从表格中找出两根之和x1＋x2与两根之积x1·x2和a，b，c的关系：1. 先从前面三个方程〔二次项系数是1〕观察x1＋x2，x1x2的值与一次项系数及常数项的关系。
〔两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项〕2. 再看后面三个方程〔二次项系数不是1〕，观察x1＋x2，x1x2的值与系数的关系。
〔在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律〕4. 证明上面的结论．求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明就可以了。
证明：设ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的两根为x1，x2，5. 假如方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．韦达定理：对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
韦达定理的逆定理：对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积。
【典型例题】例1 方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
解：答：方程的另一个根是753-=-k ，。
另解：因为2是原方程的根，所以5〔2〕2＋k ×2－6＝0，2k ＝－14，k ＝－7例2. 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的〔1〕平方和；〔2〕倒数和。
解：例3. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是212313， 。
解：例4. 方程x 2－12x ＋m ＝0的一个根是另一个根的2倍，那么m ＝______． 解：设方程x 2－12x ＋m ＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 1＝2x 2， 所以x 1＋x 2＝2x 2＋x 2＝12 所以x 2＝4，x 1＝8 故m ＝x 1x 2＝4×8＝32。
一元二次方程解法公式法,因式分解法,韦达定理
一元二次方程解法2知识点一：公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝a ac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，代入公式求出方程的根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．1：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4； (2)x (x ＋8)＝16；(3)x 2－35x ＝2； (4)4x 2－1＝0；(5)x 2＝7x ；(6)3x 2＋1＝23x ； (7)12x 2＋7x ＋1＝0．2．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．3．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．4．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝05. 证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．知识点二：因式分解法 只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法． 例.用因式分解法解方程2x 2－8x ＝0 ②（x+3）(x+2)=0 ③x(x-1)=0 ④x 2-2x-3=0 3x(x+1)+4(x+1)=02．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3） x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6) (x －1)2－4(x －1)－21＝0．知识点三：根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 4. 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值。
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九年级一元二次方程专题训练一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法 姓名： 班级：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -★★★6、若=∙=-+y x 则y x 324,0352 。
()m x m m x ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
）A.12322-=+x xB.()022=-xC.x x -=+132D.092=+x解下列方程（1）2(61)250x --= （2）281(2)16x -= （3）25(21)180y -=（4）21(31)644x += （5）26(2)1x += （6）25(21)180y -=)()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或0”，()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 0222=++a ax x例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x xD 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。
变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。
例3、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x 例4、解方程： ()04321322=++++x x例5、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 。
变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则yx y x -+的值为 。
（10）x 2－4x －21＝0；（11）(x －1)(x ＋3)＝12 （12）)3x 2＋2x －1＝0；（13）10 x 2－x －3＝0； （14）(x －1)2－4(x －1)－21＝0 （15）22)2(25)3(4-=+x x（16）0)21()21(2=--+x x （17） 0)23()32(2=-+-x x★1、下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y ★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或25、方程：2122=+xx 的解是 。
★★★6、已知06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求y x y x --362的值。
★★★7、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。
()002≠=++a c bx 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x（1）22540x x --= （2）210x x --=（3）23920x x -+=（4）2310y y ++= （5）210x x +-=（6）23610x x +-=（7）21(1)2(1)02x x ---+= （8）23610x x --=（9）22540x x --=★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 . ★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
)04,02≥-≠ac b a 且a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --（4）0822=--x x （5）22314y y -= （6）y y 32132=+说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成 c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
例1、 已知0232=+-x x ，求代数式()11123-+--x x x 的值。
例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
例4、用两种不同的方法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.例5、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .★★4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.★ ★★5、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。