晶格振动和晶体的热力学
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
第三章晶格振动和晶体的热学性质
当δ很小时，作二级近似
恢复力 ------简谐近似
----胡克定律 ( 为倔强系数)
研究一维单原子链的振动 模型：设一维单原子链中，原子间距(晶格常量)为a， 总长为 L = Na , N为原子总数（晶胞数 ） ，原子质量为m。
第n个粒子的受力情况：
运动方程：
2
m a / 2 q
与 速度 之间是线性关系
v ma / 2
（弹性波的特点）
声学支格波（声学波）: 长声学波为弹性波；频率较低
q 0, 0
(2)q空间的周期对称性
色散关系
2
qa sin m 2
具有周期对称性，周期为 2 / a
本章主要内容：
先讨论简谐晶体的经典运动，建立原子的运动方程，
得到 晶格振动的能量和频率并讨论其色散关系。 对简谐晶体进行量子力学处理，将多体问题化为单体 问题，并建立声子的概念（晶格振动波的能量量子） 晶格振动谱的实验测定原理和方法。
对晶体的热学性质，即比热、热膨胀和热导率等进行讨论
质量为M的原子编号为:· · ·n-1,1、 n,1、n+1,1、· · · 质量为m的原子编号为:· · ·n-1,2、 n,2、n+1,2、· · ·
2 设 1u n ,, 、 u n 是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
M u n ,1 2 u n ,1 u n , 2 u n 1, 2 m u n , 2 2 u n , 2 u n 1,1 u n ,1
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
注意：
（1）振子并不是组成固体的真实粒子，振子的振动代表简正坐标 的振动，并不是真实粒子的振动。格波的振动频率—简正坐标振 动的圆频率。 （2）简正变换的物理实质可以作以下解释： N个独立粒子——3N个无相互作用的简谐振子。 固体中每一个粒子受到其它N-1个粒子的作用。当作用力近似为 简谐力时，可将固体看成近似由3N个谐振子组成。条件： （a）简谐力近似，若不是，则格波不独立——声子由湮没，产生 （b）简正坐标的振动——集体运动的描述。
事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。 晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学 的前身就是比热理论。 从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型 ，Debye模型，——格波模型，最后形成 晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而 是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方 式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成 为固体许多领域的重要基础。 比如：声子的概念，元激发 概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。 结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性 质有着密切的关系。
mi i
Qi i2Qi 0
a
j
ij
Q j aij A sin( i t )
由此可见，全部原子都以一种频率运动，差别仅在于振幅和 相位的不同. 而且每个原子的真正位移是各种简正振动的叠加。 也可以这样理解：N个原子的热振动可看作是一个有３N个独 立简谐振动的叠加系统，系统总能量是３N个相互独立的谐振子的 能量和，即可以把N个粒子组成的相互作用能为V的固体看成是相 互独立的3N个谐振子的集合。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
杜隆—珀替定律
模型处理方法：把固体中的原子看成一组互相独立 的振子来处理，应用能量均分定理。设固体中有N个 原子，则晶体平均能量为： E = 3 Nk BT 则由热学知识可得：
⎛ ∂E ⎞ ⎟ = 3 Nk B CV = ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎠V ⎝
N＝6.023×1023，则摩尔比热CV＝24.9J/k•mol
即 h 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维 晶格，q只能取N个不同的值。 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N 个不同的值，对应N个
ω，因此，独立自由度数。
28
• 色散关系
把u n
••
= Ae
− i ( qna − ω t
miμi =
∑
3N
j =1
a ij Q
j
1 3N •2 T = ∑ Qi 2 i =1
1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
15
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉 格朗日函数
L = T −V
∂ Qi
Pi = ∂L
•
得到正则动量 : 哈密顿量可写成 :
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
6
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所 以固体实际上是由电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之 间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂 的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子的质量相差很大， 离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子 的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似，即：
第三章 晶格振动与晶体热学性质 lattice vibration and heat property
第三章 晶格振动和晶体的热力学性质
晶格中原子振动是以角频率为 的平面波形式存在， 这种波称为格波.
波长
格波方程 格波的意义
xn Aeit naq
连续介质中的机械波
晶体中的格波
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
3.1.3 晶格振动的色散关系 将 得
xn
d 2 xn i t naq Ae 代入 m dt 2 xn1 xn1 2 xn
波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波.
y A cos(t 0 )
类比于绳波
x y A cos[ (t ) 0 ] u
晶格振动 --- 晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称
为
晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献.
与比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
目录
第一章 晶体结构
第二章 晶体的结合
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 第四章 晶体缺陷 第五章 金属电子论 第六章 能带理论
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动. 实际晶体中的原子、分子都在其平衡位臵做微振动.
0 K下仍有振动, 零点能.
格波 --- 由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,而是以
牵一发而动全身
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. ---简谐近似 先考虑一维情况，再推广到三维情况。
§3.1 一维单原子链
3.1.1 运动方程
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间距(晶格常 量)为a，原子质量为m.
第n-2个原子 第n-1个原子 第n个原子 第n+1个原子 第n+2个原子
第三章晶格振动和热学性质
第n个原子和第n＋1个原子间的距离 a n 1 n
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U (a ) 发生相对位移
n 1 n
后，相互作用势能
U (r ) U (a )
1 d 2U 1 d 3U dU 2 U (r ) U (a ) (r a ) dr 2 ( r a ) 6 dr 3 2 dr a a
对于吸收声子过程，有
' ' k q k
' ' 对于产生(又称发射)声子过程，有 k k q
将常数ħ去掉，以上四式可化为以下两式
' k k q
'
当入射光的频率Ω及波矢κ一定．在不同方向(κ́的
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波 —— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
当波矢q增加一个 关系不变。
2 a
的整数倍，原子的位移和色散
为了保持这些解的单值性，限制 q
二、 一维复式格子
1.一维复式格子的格波解 两种原子m和M ( M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… m原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 同种原子间的距离a-晶格常数
两不同原子平衡位置的距离为b,力常数β1
只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子 和2n+1个原子的运动方程
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法 晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：一类 是光子散射方法，一类是中子散射方法．它们的原 理是相同的。 一、光子散射 格波与光波相互作用、相互交换能量的过程， 可理解为光子与声子的碰撞过程．设入射光子的频 率和波矢分别为Ω和κ，与频率为ω波矢为q的声子 碰撞后，光子的频率和波矢分别变成Ω ́及κ́．碰撞 过程中，能量守恒和准动量守恒。 对于吸收声子过程，有
晶格振动和晶体的热力学-To students
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑 到环链的循环性 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
则有 要求
2 q h —— h为整数 Na
波矢的取值范围
N N h 2 2
波矢
2 q h Na
3）选取Born-Von Karman边界条件，还可以抵消 有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏，从 而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的 内在禀性：平移对称性
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的
，每个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
晶格振动和晶体的热学性质
凌福日 lingfuri@
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3.1 一维晶格的振动 3.2 三维晶格的振动 3.3 简正振动 声子 3.4 晶格振动谱的实验测定方法 3.5 长波近似 3.6 晶格振动热容理论 3.7 晶格振动的非简谐效应 3.8 晶体的热力学函数
群速为0的波矢 的物理意义何在呢?
• 由于邻近原子振动的位相差为qa，即邻近原子散射的子波 的位相差为π，故被B反射的子波到达被A反射的子波时，
它们的位相相同（或相差2π的整数倍）。这种情形适用于
被其它晶格点所反射的子波，在 q= π/a 处，所有的散射子 波相长地干涉，结果反射取极大。这与X射线中的布拉格 条件相同，只不过这里是弹性波。从物理上看，由于反射 极大，它与入射波形成驻波，当然它的群速为零。可见，
预处理
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量 势场来描述电子对离子运动的影响。将电子的运动和离 子的运动分开 。基于将离子、电子划分为两个子系统 而分别加以处理的理论简化方案，分别形成了晶格动力 学和固体电子论两大分支。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 cos qa 2 M12 q
长 振波 动极方限向下相，同， B代A 表 了1 原表胞明质原心胞的中振两动个原子
长声学波代表了原胞质心的运动
当波长比晶格常数大很多时，qa = 1
2
q
a2q2
2M1 M2
色散关系与连续介质中的弹性波类似， 这也是声学波的名称来由
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
讨论: q 2 l
Na
(1)为了保持位移和频率的单值性，波矢仍
然被限制在 p q ；利用波恩-卡
门边界条件，可a 以得到a晶格振动的波矢数
目等于晶体的原胞数 (2)在复式格子中，一个波矢对应两个频率，
所以其格波模式是2N，2N也是原子的自由 度数。因此晶格振动的模式数目等于原子 的自由度数之和。
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
(8)短波极限，q 波长 2 2a
a
q
说明相邻两原子的位相相反
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
第三章晶格振动和晶体的热学性质[引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。
对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0C=的规律不符。
1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论，V认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0C=的规律的结论，但与低温V下3C T的实验结果不符。
1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质，~V晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3~C T的结果。
随后，玻恩及玻V恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。
晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。
因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。
由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。
这种近似称为绝热近似。
晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。
本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情况，最后讨论晶体的热学性质。
[本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程§3-1一维单原子链考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ϕ，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为：()∑≠=Nji ij x U ϕ21……………………………………………(3-1-2)式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将ϕ展开为：………………(3-1-3)于是有：()∑∑∑≠≠≠+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=j i ij ij j i ij ijj i ij u x u x x U 202200412121ϕϕϕ……………(3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格()()()+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=2220021ij ij ij ijijij ijij u x u x xu x x ϕϕϕϕϕ式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能，用U 0来表示，是U 的极小值，()∑≠=ji ij x U 0021ϕ…………………………………………………………………… (3-1-5) 第二项是i j u 的线性项，它的系数为：()∑≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂i j ij x 0ϕ，是所有其它原子作用在i 原子的合力的负值，当所有原子处在平衡位置上时，晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式（3-1-4）中不存在位移的线性项。
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析晶体是由周期性排列的原子或分子构成的固体物质，其热学性质与晶格振动之间存在着相互的联系和相干性。
本文将对晶体的热学性质和晶格振动的相干性进行分析和探讨。
一、晶体的热学性质晶体的热学性质是指晶体在温度变化下所表现出的性质和特点。
其中，热容、导热性、热膨胀等是最常见的晶体热学性质。
下面将对这些性质进行详细介绍。
1. 热容热容是指单位质量的晶体在温度变化下吸收或释放的热量。
晶体的热容受到晶格振动和晶格缺陷的影响。
晶格振动包括晶格的弹性振动、声子振动等，它们会影响晶体内部的能量传递和分布。
晶格缺陷包括点缺陷、面缺陷等，它们会散射热子和声子，影响晶格的热传导性能。
2. 导热性导热性是指晶体在温度梯度下传导热量的能力。
晶体的导热性与晶格振动的相干性密切相关。
晶格振动的相干性越高，晶体的热导率就越高。
晶体的导热性还受到晶体的宏观结构和缺陷等因素影响。
3. 热膨胀热膨胀是指晶体在温度变化下的尺寸变化。
晶体的热膨胀与晶体中原子的振动有关。
当温度升高时，晶体内原子的振动增强，原子之间的相互作用减弱，晶体的体积就会扩大。
晶体的热膨胀系数与晶格振动的相干性强弱密切相关。
二、晶格振动的相干性晶格振动是晶体中原子或分子围绕平衡位置做小幅振动而引起的能量传递和分布现象。
这些振动以声子的形式进行传递，其相干性对晶体的物理性质有重要影响。
晶格振动的相干性决定了晶格对热量和声波的传递情况。
当声子的相干性较高时，晶体的热导率会增加。
而当声子的相干性较低时，晶体中的散射会增加，导致热传导能力变弱。
因此，晶格振动的相干性是晶体热学性质的重要影响因素。
晶体中振动的相干性主要受到以下因素的影响：1. 晶格结构：不同晶体的晶格结构会影响振动的传播和相干性。
晶格结构越有序，振动的相干性越高。
2. 晶体缺陷：晶体中的缺陷会散射声子，降低振动的相干性。
例如点缺陷、面缺陷等都会对声子的传播和相互作用产生影响。
3. 温度：温度的变化会影响晶格振动的相干性。
晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析
晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析晶格振动和晶体的热容量之间存在着密切的关系。
晶体是由原子或分子组成的，而这些原子或分子之间通过化学键相互连接。
晶体中的原子或分子在平衡位置周围会围绕着振动，形成了晶格振动。
而晶格振动又会对晶体的热容量产生影响。
本文将对晶格振动与晶体的热容量之间的理论关系进行分析和讨论。
1. 晶格振动的基本理论晶格振动是指晶体内的原子或分子在平衡位置附近进行的振动。
晶格振动可以分为弹性振动和非弹性振动两种类型。
弹性振动是指原子或分子在平衡位置附近的小范围振动，其能量是守恒的；非弹性振动是指原子或分子在平衡位置附近的较大范围振动，其能量有耗散。
晶格振动可以用简谐振动模型进行描述。
简谐振动模型假设原子或分子在平衡位置附近的振动是线性且稳定的。
根据简谐振动模型，晶体中的原子或分子可以看作是质量为m的质点，其位置记作x，势能记作V(x)。
根据胡克定律，晶体中的原子或分子在位移为x时所受的力可以表示为F(x) = -dV(x)/dx，其中dV(x)/dx代表势能关于位移的导数。
根据牛顿第二定律可以得到运动方程：m(d^2x/dt^2) = -dV(x)/dx。
2. 晶体的热容量晶体的热容量是指单位质量晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量。
晶体的热容量可以分为等压热容量和等容热容量两种类型。
等压热容量是在等压条件下晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量；等容热容量是在等容条件下晶体发生单位温度变化时所吸收或释放的热量。
根据热力学理论，晶体的热容量与晶体内部的能量转移有关。
晶体的热容量可以通过振动模型来解释。
晶体的热容量主要与晶体中的振动模式和振动频率有关。
因为晶格振动与原子或分子之间的相互作用有密切关系，不同的振动模式会对应不同的能量转移方式，从而影响晶体的热容量。
3. 晶格振动与晶体的热容量关系的理论分析晶格振动与晶体的热容量之间存在着一定的关系。
晶格振动会改变晶体内部的能量传递方式，进而影响晶体的热容量。
晶格振动与晶体的热膨胀性质的晶格变形
晶格振动与晶体的热膨胀性质的晶格变形晶体是由原子、离子或分子排列有序构成的固体材料。
晶体的热膨胀性质是指在升温或降温时，晶体的体积、长度或形状发生变化的现象。
这种变化主要源自晶体结构中晶格的变形。
晶体的晶格可以看作是由原子、离子或分子组成的周期性排列。
在晶格振动中，晶体中的原子、离子或分子在平衡位置周围做微小的振动运动。
这种振动称为晶格振动或者晶体的内部振动。
晶格振动是晶体物理学中一个重要的现象，与晶体的许多性质密切相关。
晶格振动的频率和幅度决定了晶体的热力学性质，包括热膨胀性质。
晶体的热膨胀性质是晶体随温度变化时体积、长度或形状发生的变化。
晶体的热膨胀性质与晶格变形密切相关。
晶体的晶格在温度变化时发生微小的变形，从而导致晶体的体积、长度或形状发生变化。
晶体的热膨胀性质受到晶格振动的影响。
当晶格振动频率较高时，晶体的热膨胀性质较大，因为频率较高的晶格振动会引起晶格变形较大。
当晶格振动频率较低时，晶体的热膨胀性质较小。
晶体的热膨胀性质还与晶体结构的对称性有关。
具有较高对称性的晶体，其热膨胀性质较小。
这是因为高对称性的晶体结构在温度变化时晶格的变形相对较小。
晶体的热膨胀性质在工程应用中有广泛的应用。
例如，在制造精密仪器、精密机械和高精度测量仪器时，需要考虑晶体的热膨胀性质，以避免由于温度变化引起的尺寸变化而导致的误差。
总结起来，晶格振动是晶体中原子、离子或分子的振动运动。
晶体的热膨胀性质与晶格变形密切相关，晶体热膨胀性质随着晶格振动的频率和幅度而变化。
晶体的热膨胀性质在工程应用中具有重要意义。
此篇文章介绍了晶体的热膨胀性质，重点阐述了晶格振动与晶体的热膨胀性质之间的关系。
晶格振动的频率和幅度对晶体的热膨胀性质具有重要影响。
在工程应用中，了解晶体的热膨胀性质可以帮助我们设计出更加精确的设备和测量仪器。
(精选推荐)晶格振动和晶体的热力学
2
a
是用微观参数表示的弹性波的波速。 13
对于一维的连续介质，因位移引起的应变
u(x dx ) u(x ) dx
设介质的弹性模量c ,因形变产生的恢复力：
F
c u(x
dx ) dx
u(x )
c
du(x ) dx
同理，（x-dx）形变产生的恢复力：
F(x
dx )
晶格振动和晶体的热学性质
1
2
3
第3.5节 长波近似
本节主要内容: 3.5.1 长声学波 3.5.2 长光学波
4
在3.1中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置 附近做微振动的观点（不再是连续介质）,推出晶 格振动的声学波和光学波。
对长声学格波，其长波极限就是弹性波，即弹 性波与声学波在长波条件下，它们是必然的统一；
6
3.5.1 长声学波
7
一、长声学波
在§3.1 中，以一维双原子链为例，当q很小时，即 对于长波极限，得到声学波色散关系为
2
1
2
qa
(1)
mM
长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为
vp
q
2
mM
1
2
a(2)
β：恢复力常数，
d
u2 2n1
dt 2
2
mM
2
mM
q
2a
2
u2n
2
(8)
q
2a
u2 2n1
对于l为有限整数的情况，由试解（4）式，可得
u2nl e iq(l 1)a , u2n1
固体物理-第二章 晶格振动与晶体的热学性质
2n+2
m(d2u2n+1/dt2)=b[(u2n+2 -u2n+1)-(u2n+1-u2n)] M(d2u2n/dt2)=b[(u2n+1- u2n)-( u2n - u2n-1)]
2.1.3.1 2.1.3.2
2.1.一维晶格振动
由波恩-卡曼边界条件,所有的P原子等价, 所有的Q原 子等价, 分别满足上面两式的解为: u2n+1= Aei[q(2n+1)a-wt] n=1,2,…..N 2.1.3.3 u2n= Bei[q2na-wt] n=1,2,…..N 2.1.3.4 A,B分别是两种原子的振幅, 原子质量不同，振幅不同, 但其频率相同,波长相同, 把2.1.3.3，2.1.3.4式分别代 入2.1.3.1，2.1.3.2式化简后得: (2b-mw2)A- (2bcosqa)B =0 2. 1.3.5 -(2bcosqa)A+(2b-Mw2)B=0 2. 1.3. 6
2.2.三维晶格振动
2.2.1.基本思路 选一个原胞来研究。设原胞为含有n个原子的复式晶格. n个原子的质量分别为m1,m2,m3,…mn. 原胞以l(l1l2l3)标 志,表明它位于格点R(l)= l1a1+l2a2+l3a3 , 原胞中各原子 偏离格点的位移用u1(l), u2(l), …….un(l),表示, 与双原子 链一样，可以写出一个典型原胞中原子的运动方程: a mkü k(l) = …….. 2.2.1.1 k标明原胞中各原子，k的取值为：1,2,….n, a代表原 子位移在x,y,z 3个方向的分量 。方程的右边是原子位 移的线性齐次函数.方程解的形式和一维的情况完全相 似，可以写为:
(n-2) ( n-1) n (n+1) (n+2)
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
原子的振动实际上没有任何不同。
(7)长波极限，当 q 0 时，sin qa 2 qa 2
1
波速
v
a
m
2
角频率 a q v q
m
与连续介质中弹性波的色散关系一致
两原子间的相位差
qa
0 ，波长
2
q
一个波长范围内包含了许多原子
因此，长波极限下，一维单原子晶格的格波可 以看做是弹性波，晶体可以看做是连续介质
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
将试探解代入原运动方程可以得到色散关系
2
q
M1M 2
M1
M2
M12
M
2 2
2M1M
2
cos
qa
1 2
第三章_晶格振动与热学性质
fn ＝fnR － fnL ＝ (un+1－un) － (un－un-1)
＝ (un+1＋un-1－2un)
n-1 n n+1 n-1 n n+1 fnL fnR un-1 un un+1
10
第n个原子在平衡位置的运动方程为：
d un m 2 ( un 1 un 1 2un ) dt
得到：
M 2 A 1( B A ) ( A Be
)
m 2 B 2 ( Aeiqa B) 1 ( B A)
整理，得：
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0 (1 2e ) A (1 2 m ) B 0
a 一维单原子链
6
在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为un
n-2 n-1 n n+1 n+2
a
un-2
un-1
un
r un+1
un+2
一维简单晶格振动
r － a = un+1 －un的意义 表示相邻格点的相对位移： > 0：伸长；< 0：缩短
r = un+1 + a －un
7
序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：
e
iqNa
un Ae
i ( qnat )
1
a
q
2l q Na
a
l 是整数
N N l 2 2
允许的波矢数目等于N （原胞数）
21
二、一维复式格子
一维复式格子的格波解：
力常数 晶格常数
第3章 晶格振动与晶体热学性
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2
m
sin(
qa ) 2
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2 2 上式为标准的宏观弹性波的波动方程，其中 v t a m M
是用微观参数表示的弹性波的波速。
1
对于一维的连续介质，因位移引起的应变
u(x dx ) u(x ) dx
设介质的弹性模量c ,因形变产生的恢复力：
u(x dx ) u(x ) du(x ) F c c dx dx
同理，（x-dx）形变产生的恢复力：
du(x dx ) F(x dx ) c dx
设一维介质的线密度 ，考虑x与（x-dx）的一段，其质 量 dx ，作用在x处的动力学方程：
d u(x ,t ) dx F(x ) F(x dx ) dt
2 2
d u(x ,t ) du(x ,t ) du(x dx ,t ) dx c[ ] dt dx dx
P =ε0χE
二、长光学波 离子晶体的光学波描述原胞中正负离子的相对运动。它 伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，并影响长光学模 的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。
1）离子晶体的光频频率10-13s-1， 波长 线度
原胞的
2）长光波光频模能够对电磁波的传播产生重要的 影响
3）正负离子组成的声学波波动方程
对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的位相 集体运动， 对于一维复式格子，运动方程由下式表示
d 2 u2 n1 m u2 n 2 u2 n 2u2 n1 2 dt (3) 2 d u2 n 2 M u u 2 u 2 n 3 2 n 1 2 n 2 dt 2 其试解为：
本节介绍黄昆的长波方法，讨论由离子晶体的宏观特性
确定长光学模频率。 模型：设每个原胞中只有两个电荷量相等、符号相反的 离子。
1、离子晶体的宏观极化方程
由于正负离子相对运动，电荷不再均匀分布，半波长内， 正离子组成的布喇菲原胞同向位移，负离子组成的布喇菲原
胞反向位移。出现了以波长为周期的正负电荷集中的区域。
WT 0 (a ) W L 0 ( b ) (9) D 0(c ) E 0(d ) 将静电方程与黄昆方程联合求解： b11W b12 E (a ) W ( 6) P b21W b22 E (b)
2 m M
12
qa (1)
长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为
vp q
2 a (2) mM
12
β：恢复力常数， 2a：晶格常数。
d 2U dr2 a
长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。
即
m 2 A e iqa e iqa B 2 A ( 6) 2 iqa iqa M B e e A 2 B
可得两种不同原子的振幅比
A 2 M 2 B 2 m 2 , (7) iqa qa iqa qa B (e e ) A (e e )
u2 n1 Ae i q 2 n1a t ( 4) 原子的分离坐标 i q 2 n 2 a t u2 n 2 Be ( 2n+1)a
将（4）式代入（3），可得
d 2 u2 n 2 A iqa iqa M (e e ) 2 u2 n 2 2 dt B (5) 2 d u2 n1 B iqa iqa m ( e e ) 2 u A 2 n1 dt 2
正离子向左
a) 纵模
E
b) 横模
离子位移极化
P2 n 1,2 n P2 n 1,2 n
1 q ( ai 2 n 2 n 1 ) 2 1 q ( ai 2 n 2 n 1 ) 2
一个原胞内的离子位移偶极矩为：
1 P q (2 2 n 2 n 1 2 n 1 ) 2
研究长波近似的目的：揭示固体宏观性质的微
观本质 本节讨论 q → 0、λ→∞，即长声学波和长光学 波的情况。 —— 波长很长的声学波：长声学波
晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动
—— 波长很长的光学波：长光学波
光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动
3.5.1 长声学波
一、长声学波
在§3.1 中，以一维双原子链为例，当q很小时，即 对于长波极限，得到声学波色散关系为
M 2 q E eff
2 q 3 0 q E 2 1 1 3 0 3 0
2 q Eeff u
实际可视为一个方程，它们的一般表达式：
邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相
集体运动。
从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分
离坐标可视为连续坐标r，所以有
u2n l Ae i ( qr t ) u
于是，原子的运动方程可写为
2 2u 2 2 2 如何求？ 2 2 u q a u2 n l a 2 2 t m M m M r 2 2u u 2 2 v t 2 (12) t r
因此有以下关系：
即
WT WT 0 e i qr t WT 0 e i qr t i q r t iq WT 0 e iq WT 0(a ) (9) WL e i qr t WL0 iq WL 0(b) D 0 E P 0 (c)
对于长光学波，同种原子的位移相同，则：
P q ( )
q P ( )
电子位移极化
1 Pe ( E eff E eff ) E eff
离子晶体的宏观极化产生一个宏观极化电场 E，作用在某 离子上的电场称为有效电场Eeff,有效电场等于宏观电场减去该 离子本身产生的电场。 对立方晶系洛伦兹提出了求解有效电场 Eeff 的一个方法， 由理论分析得到：E
从黄昆方程可以看出，格波与电场耦合在一起，这种 耦合波具有何种特点？
黄昆方程具有平面波形式的解
W W0 e i ( q r t ) i ( q r t ) P P0 e ( 7 ) E E 0 e i ( q r t )
则可以把格波的纵向位移和横向位移分开，即位移W与波矢q
eff
1 E P (1) 3 0
其中P为宏观极化强度。
离子总的位移极化
q P P Pe ( ) E eff
1 1 P q E 1 3 0
再考虑离子的运动方程
( ) ( ) q E eff 2 q E eff M
对于l为有限整数的情况，由试解（4）式，可得
u2 n l e iq( l 1)a , u2 n1
u2 n l A iq( l 1)a e , u2 n1 B
l为奇数时； l为偶数时；
由色散关系，可知当q→0时， ω →0，由振幅比（7）式，可 得：
2 M 2 A lim 1 ( 9) lim iqa qa q0 B q0 ( e e )
m M a / 2a
1 2
2 a m M
2
1
3.5.2 长光学波
极化：电介质内的正、负电荷做微观的相对移动，结 果在电介质内部或表面出现带电的现象 P =∑Pe / ∆V 式中Pe 是分子电偶极矩， ∆V 是电介质内宏观小、 微观大的体积元。 实验表明，在各向同性电介质中的任一点， 极化强度P和电场E的方向相同且大小成正比
相垂直的部分构成横波WT，位移W与波矢q平行的部分构成纵
波 WL ：
W W L WT , P PL PT , E E L ET ( 8)
横波WT是等容波，它不引起晶体体积的压缩或膨胀，其散度
为零；
纵波WL是无旋波，其旋度为零； 晶体内无自由电荷，电位移矢量D无散。 横光频模不产生退极化场(忽略横向极化伴随的有旋场)。
因此当l为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都有 u2 n l 1(10) lim q 0 u2 n 1 上式说明： 在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程（8）
d 2 u2n l 2 2 2 q a u2n l (11) 2 dt m M
离子晶体的极化由两部分贡献构成： ①
离子位移极化:是正负离子的相对位移产生的电偶极矩，
这种极化称为离子位移极化，用e*u表示； u为正负离子的相 对位移， e*为离子的有效电荷。 ② 电子位移极化:是离子本身的电子云在有效电场作用下
发生畸变，即离子本身也成了电偶极子，这部分的极化为电 子位移极化。
晶格振动和晶体的热学性质
凌福日 lingfuri@
第3.5节 长波近似
本节主要内容: 3.5.1 长声学波 3.5.2 长光学波
在3.1中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置
附近做微振动的观点（不再是连续介质）,推出晶
格振动的声学波和光学波。
对长声学格波，其长波极限就是弹性波，即弹 性波与声学波在长波条件下，它们是必然的统一； 晶体出现宏观极化，是长光学纵波振动模中离 子的相对位移引起。
2 2
整理
d u(x ,t ) d u(x ,t ) c dt dx u(x ,t ) u(x ,t ) c t x
2 2 2 2 2 2 2 2
上述方程组是标准的波动方程，其解：
u(x ,t ) u e