(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望、方差(讲)理-含答案

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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十一章概率11.1随机事件的概率课件文

§11.1 随机事件的概率
内容索引
基础知识题型分类
自主学习深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.概率和频率 (1) 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件 A 出现的比 nA 例fn(A)＝___ n 为事件A出现的频率 . (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).
甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最
多购买了2种商品.
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
100＋200 ＝0.3. 1 000
(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解答
与(1)同理，可得：
200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 1 000 ＝0.2，
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统
计表：出险次数频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20 ≥5 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)
的估计值；
解答
事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
60＋50 由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 200 ＝0.55，
跟踪训练2
(2015· 北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购
买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十一章统计与概率11.2含解析

1．作频率分布直方图的步骤（1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差）．（2）决定组距与组数．(3）将数据分组．（4）列频率分布表．(5）画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．4．标准差和方差(1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．（2)标准差：s＝错误!。

（3）方差：s2＝错误!［(x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!)2](x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本平均数）．【知识拓展】1．频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示错误!，频率＝组距×频率组距。

（2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．(3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确，后者直观．2．平均数、方差的公式推广(1）若数据x1，x2，…，x n的平均数为错误!,那么mx1＋a，mx2＋a,mx3＋a,…,mx n＋a的平均数是m错误!＋a.（2）数据x1，x2，…,x n的方差为s2。

①数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差也为s2;②数据ax1,ax2，…，ax n的方差为a2s2.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √)(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( ×）(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．（√)（4）茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．（×）（5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √）（6）在频率分布直方图中,众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．（×)1。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第二节随机事件及其概率教案文解析版

１．事件的相关概念２．频数、频率和概率（１）频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率．３．概率的几个基本性质（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１.（２）必然事件的概率为错误!.（３）不可能事件的概率为错误!.（４）概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P（A＋B）＝１，P（A）＝１—P（B）．[小题体验]１．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于５”，则事件A包含的基本事件有________个．解析：由题意知，事件A包含的基本事件有（１,１），（１,２），（１,３），（２,１），（２,２），（３,１），共6个.答案：6２．如果从不包括大、小王的５２张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是错误!，取到方块的概率是错误!，则取到黑色牌的概率是________．答案：错误!３．一袋中装有１0个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球，其中有３个黑球，若从中随机摸出１个球，摸出红球的概率为0．２，则摸出白球的概率为________．解析：法一：设袋中红球的个数为x，则错误!＝0．２，所以x＝２．又黑球共有３个，所以白球有５个，所以摸出白球的概率P＝错误!＝0．５．法二：由题意得，随机摸出１个球，摸出黑球的概率为0．３．由对立事件的概率计算公式可得，摸出白球的概率为１—（0．２＋0．３）＝0．５．答案：0．５１．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．２．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[小题纠偏]１．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为80%，则下列解释正确的是________（填序号）．１明天本地有80%的区域降雨，２0%的区域不降雨；２明天本地有80%的时间降雨，２0%的时间不降雨；３明天本地降雨的可能性是80%；４以上说法均不正确．解析：１２显然不正确．因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.答案：３２．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于１60 cm的概率为0．２，该同学的身高在[１60,１7５]（单位：cm）的概率为0．５，那么该同学的身高超过１7５cm的概率为________．解析：由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过１7５cm的概率为１—（0．２＋0．５）＝0．３．答案：0．３错误!错误![题组练透]１．一箱产品中有正品４件，次品３件，从中任取２件．１恰有１件次品和恰有２件次品；２至少有１件次品和全是次品；３至少有１件正品和至少有１件次品；４至少有１件次品和全是正品．以上各组事件中是互斥事件的序号是________．解析：１４中的两事件互斥，２３中的两事件不互斥．答案：１４１“若x∈A，则x∈B”是必然事件；２“若x∉A，则x∈B”是不可能事件；３“若x∈B，则x∈A”是随机事件；４“若x∉B，则x∉A”是必然事件．其中正确的命题有________（填序号）．解析：由真子集的定义可知１３４是正确的命题．答案：１３４３．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案：A与B，A与C，B与C，B与D B与D[谨记通法]判断互斥、对立事件的２种方法（１）定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．（２）集合法１由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．２事件A的对立事件错误!所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．错误!错误![题组练透]１．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５℃，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0,２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0 ℃，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：超过３00瓶的概率为________．解析：当且仅当最高气温低于２５℃时，这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，由表格数据知，最高气温低于２５℃的频率为错误!＝0．6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．答案：0．6２．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（１）计算表中击中１0环的各个频率；（２）这位射击运动员射击一次，击中１0环的概率为多少？解：（１）由f＝错误!，得击中１0环的频率依次为0．8,0．9５,0．88,0．9２,0．89,0．90４．（２）由（１）知运动员击中１0环的频率在0．9附近浮动，故这位射击运动员射击一次，击中１0环的概率约为0．9．[谨记通法]１．频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．２．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法．错误!错误![典例引领]（２0１8·苏州期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0．２，目标未受损的概率为0．４，则目标受损但未完全击毁的概率为________．解析：设“目标受损但未完全击毁”为事件A，则其对立事件错误!是“目标未受损或击毁目标”，所以P（A）＝１—P（错误!）＝１—（0．４＋0．２）＝0．４．答案：0．４[由题悟法]求复杂互斥事件概率的２种方法（１）直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．（２）间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝１—P（错误!）求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法较简便．[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和（或差）．[即时应用]１．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为错误!，乙夺得冠军的概率为错误!，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·南京、盐城一模）某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．解析：设“甲、乙不在同一兴趣小组”为事件A，则“甲、乙在同一兴趣小组”为事件错误!.因为P （错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—P（错误!）＝错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·丹阳检测）已知随机事件A发生的频率为0．0２，事件A出现了１000次，由此可推知共进行了________次试验．答案：５0 000２．（２0１8·常熟期中）甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0．３，乙击中敌机的概率为0．５，敌机被击中的概率为________．解析：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P（A）＝0．３，P（B）＝0．５，∴敌机被击中的概率P＝１—P（错误!）P（错误!）＝１—（１—0．３）·（１—0．５）＝0．6５．答案：0．6５３．（２0１9·常州中学模拟）甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为错误!，甲、乙下成和棋的概率为错误!.则乙不输棋的概率为________．解析：∵甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为错误!，甲、乙下成和棋的概率为错误!，∴乙不输棋的概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·南京学情调研）某单位要在４名员工（含甲、乙两人）中随机选２名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为________．解析：从４名员工中随机选２名的所有基本事件共有6个，而甲、乙都未被选中的事件只有１个，所以甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!５．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0．6４，事件B发生的概率是事件A 发生的概率的３倍，则事件A发生的概率为________．解析：设P（A）＝x，P（B）＝３x，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝x＋３x＝0．6４．所以P（A）＝x＝0．１6．答案：0．１66．（２0１8·江安中学测试）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出１个球，摸出红球的概率为0．４２，摸出黄球的概率是0．２8．若红球有２１个，则蓝球有______个．解析：根据对立事件的概率计算公式得“摸出蓝球”的概率为１—0．４２—0．２8＝0．３，口袋内装有红球、黄球和蓝球的总数为错误!＝５0，则蓝球有５0×0．３＝１５（个）．答案：１５二保高考，全练题型做到高考达标１．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是５%和３%，则抽检一件是正品（甲级）的概率为________．解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝１—P（B）—P（C）＝１—５%—３%＝9２%＝0．9２．答案：0．9２２．（２0１9·泰州中学调研）某天下课以后，教室里还剩下２位男同学和２位女同学．如果他们依次走出教室，则第２位走出的是男同学的概率为________．解析：已知２位女同学和２位男同学走出的所有可能顺序有（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女），（男，男，女，女），（男，女，男，女），（男，女，女，男），所以第２位走出的是男同学的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出２粒都是黑子的概率为错误!，都是白子的概率是错误!.则从中任意取出２粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出２粒都是黑子”为事件A，“从中取出２粒都是白子”为事件B，“任意取出２粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!，即任意取出２粒恰好是同一色的概率为错误!.答案：错误!４．抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有１,２,３,４,５,6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为３点，则P（A＋B）＝________.解析：事件A为掷出向上为偶数点，所以P（A）＝错误!.事件B为掷出向上为３点，所以P（B）＝错误!，又事件A，B是互斥事件，事件（A＋B）为事件A，B有一个发生的事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝错误!.答案：错误!５．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0．6５，摸出黄球或白球的概率是0．6，那么摸出白球的概率是________．解析：设红、黄、白球各有a，b，c个，∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0．6５，摸出黄球或白球的概率是0．6，∴错误!∴错误!＝１—0．6＝0．４，错误!＝１—0．6５＝0．３５，∴摸出白球的概率P＝１—0．４—0．３５＝0．２５．答案：0．２５6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0．6５，P（B）＝0．２，P（C）＝0．１，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率为１—P（A）＝0．３５．答案：0．３５7．若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，则x＋y的最小值为________．解析：由题意，x＞0，y＞0，错误!＋错误!＝１．则x＋y＝（x＋y）·错误!＝５＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当x＝２y时等号成立，故x＋y的最小值为9．答案：98．一只袋子中装有7个红玻璃球，３个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为错误!，取得两个绿球的概率为错误!，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P（A）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!错误!9．某班选派５人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数0１２３４５概率0．１0．１6x y0．２z（２）若获奖人数最多４人的概率为0．96，最少３人的概率为0．４４，求y，z的值．解：记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为A k（k∈N，k≤５），则事件A k彼此互斥．（１）因为获奖人数不超过２人的概率为0．５6，所以P（A0）＋P（A１）＋P（A２）＝0．１＋0．１6＋x＝0．５6，解得x＝0．３．（２）由获奖人数最多４人的概率为0．96，得P（A５）＝１—0．96＝0．0４，即z＝0．0４．由获奖人数最少３人的概率为0．４４，得P（A３）＋P（A４）＋P（A５）＝0．４４，即y＋0．２＋0．0４＝0．４４，解得y＝0．２．１0．如图，A地到火车站共有两条路径L１和L２，现随机抽取１00位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）１0～２２0～３３0～４４0～５５0～60选择L１的人数6１２１8１２１２选择L２的人数0４１6１6４（２）分别求通过路径L１和L２所用时间落在上表中各时间段内的频率；（３）现甲、乙两人分别有４0分钟和５0分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：（１）共调查了１00人，其中４0分钟内不能赶到火车站的有１２＋１２＋１6＋４＝４４（人），用频率估计概率，可得所求概率为0．４４．（２）选择L１的有60人，选择L２的有４0人，故由调查结果得所求各频率为所用时间（分钟）１0～２２0～３３0～４４0～５５0～60L１的频率0．１0．２0．３0．２0．２L２的频率00．１0．４0．４0．１１２１２记事件B１，B２分别表示乙选择L１和L２时，在５0分钟内赶到火车站．由（２）知P（A１）＝0．１＋0．２＋0．３＝0．6，P（A２）＝0．１＋0．４＝0．５，P（A１）＞P（A２），故甲应选择L１；P（B１）＝0．１＋0．２＋0．３＋0．２＝0．8，P（B２）＝0．１＋0．４＋0．４＝0．9，P（B２）＞P（B１），故乙应选择L２.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现１到6点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为a，第二次出现点数记为b，则直线ax＋by＝0与直线x ＋２y＋１＝0有公共点的概率为________．解析：设“直线ax＋by＝0与直线x＋２y＋１＝0有公共点”为事件A，则错误!为“它们无公共点”，因为直线x＋２y＋１＝0的斜率k＝—错误!，所以错误!＝错误!，所以a＝１，b＝２或a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，所以P（错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!２．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝２—a，P（B）＝３a—４，则实数a的取值范围为____________．解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝２—a，P（B）＝３a—４，所以错误!即错误!解得错误!＜a≤错误!.答案：错误!３．（２0１8·梁丰中学测试）已知f（x）＝x２＋２x，x∈[—２,１]，给出事件A：f（x）≥a.（１）当A为必然事件时，求a的取值范围；（２）当A为不可能事件时，求a的取值范围．解：因为f（x）＝x２＋２x＝（x＋１）２—１，x∈[—２,１]，所以f（x）min＝—１，此时x＝—１．又f（—２）＝0＜f（１）＝３，所以f（x）max＝３．所以f（x）∈[—１,３]（１）当A为必然事件时，即f（x）≥a恒成立，故有a≤f（x）min＝—１，即a的取值范围是（—∞，—１]．（２）当A为不可能事件时，即f（x）≥a一定不成立，故有a＞f（x）max＝３，则a的取值范围为（３，＋∞）．。

【精选】江苏版高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差讲理

专题11.3 概率分布与数学期望、方差【最新考纲解读】次独立重复试验的模【考点深度剖析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。

2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．() (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．() (8)相互独立事件就是互斥事件．()(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．()(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .() (11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．() (12)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－133－1＝49.()(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．() (16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.×11.√12.×13.√14.√15.√16.√17.× 【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是() A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有()A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个【答案】A【解析】X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于() A.16 B.13 C.12 D.23 【答案】D【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 【答案】10【解析】P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______．【答案】272206．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为() A.38 B.27 C.28 D.37 【答案】B【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 【答案】A【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8. 8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】35【解析】设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p ＝35.10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．【答案】1211．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为() A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 【答案】A【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为()A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a 【答案】A 【解析】x1＋x2＋…＋x1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于()A ．5B ．8C ．10D ．16 【答案】B【解析】∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【答案】25【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．【答案】509【题根精选精析】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n）＝（n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P（＜X ＜）的值为.【答案】【解析】因为随机变量X的概率分布规律为（n ＝1,2,3,4），所以，所以.【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a 的值为.【答案】7【解析】由得，，解【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为.【答案】7【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：216542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.【解析】 (I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为(II)的取值为1，2，3.所以的分布列为故的数学期望为【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望.X的期望为．【基础知识】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．分布列的两个性质①，；②.【思想方法】1.求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2, 3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.考点2 二项分布及应用【2-1】【盐城2015调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是.【答案】【2-2】已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是.【答案】【解析】因为，所以在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率．【2-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为.【答案】【解析】由二项分布的期望和方差得，解的【2-4】【2015四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】试题分析：（1）由得，.所以的分布列为【2-5】【北京市西城区2015模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求的最小值；（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.所以的数学期望.（注：写出，，、、、. 请酌情给分）【基础知识】1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.(2)条件概率具有的性质：①；②如果和是两互斥事件，则．2．相互独立事件(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则，．(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(4)若，则与相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．【思想方法】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．3. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：(1) 、中至少有一个发生的事件为；(2) 、都发生的事件为；(3) 、都不发生的事件为；(4) 、恰有一个发生的事件为；(5) 、至多一个发生的事件为.【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解.因此牢记公式，，并深刻理解其含义．考点3 离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则的值为.【答案】n＝8，p＝0.2【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【3-2】设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是.【答案】60，【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X的概率分布列如右表，其中成等差数列，若，则_________.【答案】【3-4】【常州2015调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【3-5】【无锡2015模拟】在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【基础知识】1．均值若离散型随机变量X的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；若，则.2.方差若离散型随机变量X的分布列为则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．若，其中为常数，则也是随机变量，且．若服从两点分布，则．若，则．【思想方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；(2)求的每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值定义求出．3.六条性质(1) (为常数)(2) (为常数)(3)(4)如果相互独立，则(5)(6)4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.【易错问题大揭秘】1.随机变量取值不全致误典例(12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.2.独立事件概率求解中的易误点典例(12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n次独立重复试验，可导致求得P＝C35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果．规范解答温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝Ck n p k(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p 与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.[失误与防范]1掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．4．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．5．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第十二章概率、随机变量及其分布12.5 含答案精品

1．条件概率及其性质(1)对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0)．在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( × ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × )(5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( √ )1．袋中有3红5黑8个大小、形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为________．答案 27解析第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是______．答案 49解析所求概率P ＝C 13·(13)1·(1－13)3－1＝49. 3．(2015·课标全国Ⅰ改编)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．答案 0.648解析 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.4．(2016·镇江模拟)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为________________．(用式子作答)答案 C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135解析由S 7＝3知，在前7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135. 5．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．答案 12解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1－P (A B )＝1－12＝12.题型一条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.答案 (1)14 (2)14解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. (2)AB 表示事件“豆子落在△OEH 内”， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝△OEH 的面积正方形EFGH 的面积＝14. 引申探究1．若将本例(1)中的事件B ：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25， P (B )＝C 23C 25＝310，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.2．在本例(2)的条件下，求P (A |B )．解由题意知，∠EOH ＝90°，故P (B )＝14，又∵P (AB )＝△OEH 的面积圆O 的面积＝12×1×1π×12＝1， ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12π14＝2π.思维升华条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).(2016·无锡模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________．答案 79解析方法一设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79.题型二相互独立事件的概率例2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的概率分布；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的概率分布为(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的概率分布相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二 P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P (A )＝1－P (A )＝0.91.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2016·宿迁模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布．解 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为14，13，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝23.(2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10，则P (ξ＝6)＝14×13＝112，P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14，P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13，P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14，P (ξ＝10)＝14×13＝112.所以ξ的概率分布为题型三独立重复试验与二项分布命题点1 根据独立重复试验求概率例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布．解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. 故X 的概率分布为命题点2 根据独立重复试验求二项分布例4 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的概率分布为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．(2016·沈阳模拟)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的概率分布．解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， ∴P (A )＝C 23(13)2(23)1＋C 33(13)3＝727. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝(13)3＝127，P (X ＝1)＝C 13(23)1(13)2＝29， P (X ＝2)＝C 23(23)2(13)1＝49， P (X ＝3)＝(23)3＝827.因此X 的概率分布为16．独立事件与互斥事件典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是37，乙夺得冠军的概率是14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．(2)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．错解展示解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14，由A 、B 是相互独立事件，得所求概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝37×34＋47×14＋37×14＝1628＝47. (2)所求概率P ＝C 35×(23)3×(13)2＝80243. 答案 (1)47 (2)80243现场纠错解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14.∵A 、B 是互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则 P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. 答案 (1)1928 (2)881纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”． (2)区分独立事件与n 次独立重复试验.1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )＝________. 答案 12解析由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．(2016·常州模拟)如果X ～B (15，14)，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为________．答案 3或4解析 ∵P (X ＝3)＝C 315(14)3(34)12， P (X ＝4)＝C 415(14)4(34)11， P (X ＝5)＝C 515(14)5(34)10，从而易知P (X ＝3)＝P (X ＝4)>P (X ＝5)．3．已知A ，B 是两个相互独立事件，P (A )，P (B )分别表示它们发生的概率，则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率________． ①事件A ，B 同时发生； ②事件A ，B 至少有一个发生； ③事件A ，B 至多有一个发生； ④事件A ，B 都不发生．答案 ③解析 P (A )P (B )是指A ，B 同时发生的概率，1－P (A )·P (B )是A ，B 不同时发生的概率，即事件A ，B 至多有一个发生的概率．4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．答案 34解析设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.5．(2017·南通质检)设随机变量X 服从二项分布X ～B (5，12)，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是________．答案3132解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B (5，12)，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.6．(2016·无锡模拟)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论： ①3位病人都被治愈的概率为0.93； ②3人中的甲被治愈的概率为0.9；③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1； ④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12； ⑤3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92×0.1. 其中正确结论的序号是________．答案 ①②④7．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.答案1927解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 8．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．答案 18解析灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件A B C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＝18. 9．(2016·无锡模拟)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙二人相邻的概率是________．答案 14解析设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P (AB )＝2A 33A 55＝110，于是P (B |A )＝11025＝14.10．(2016·苏州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________. 答案 37解析由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3878＝37.11．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的概率分布．解依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人去参加甲游戏”为事件A k (k ＝0,1,2,3,4)．则P (A k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的概率分布是12.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本．所以X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，故X的概率分布为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×(1－0.8)＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.*13.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率．解(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝A B∪A B，A，B独立．根据投篮统计数据，P(A)＝0.6，P(B)＝0.4.P(C)＝P(A B)＋P(A B)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为0.52.。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第十二章概率、随机变量及其分布12.1 含答案精品

1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是________．答案1 5解析基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为315＝15.2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是________．(填序号) ①必然事件②随机事件③不可能事件④无法确定答案②解析抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．答案0.3解析因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．答案 0.5解析依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一事件关系的判断例1 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________．(2)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的____________条件．答案 (1)③ (2)充分不必要解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．(3)(2016·镇江模拟)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．①A与C；②B与E；③B与C；④C与E.解①由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．②事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E 是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．③事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．④由③的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有________组．答案 1解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件．题型二随机事件的频率与概率例2(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200 1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． (2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．(2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解方法一从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有 P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个．又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上求：(1)(2)至少3人排队等候的概率．解(1)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.24．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[7分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[10分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[14分]1．(2016·宿迁模拟)甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为15，甲、乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为________．答案 45解析乙不输棋的概率为1－15＝45.2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为________．答案 ②解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．答案1735解析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.4．(2016·常州模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是________． ①A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件．答案 ④解析由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，④正确．5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为________．答案 0.7解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：答案 0.53解析取到号码为奇数的卡片的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．答案 ③ ② ①8．(2016·苏州模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.9．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________．答案 (54，43]解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 10．(2016·江苏苏州五中期中)一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．答案 0.2解析记事件A ，B ，C 分别是摸出红球，白球和黑球，则A ，B ，C 互为互斥事件且P (A ＋B )＝0.58，P (A ＋C )＝0.62，所以P (C )＝1－P (A ＋B )＝0.42，P (B )＝1－P (A ＋C )＝0.38，P (A )＝1－P (C )－P (B )＝1－0.38－0.42＝0.2.11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.12．(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明) 解 (1)由题意及分层抽样可知，C 班学生人数约为 100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5，事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪ A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一 (利用互斥事件求概率) (1)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112.方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十一章统计与概率11.3含解析

1．两个变量的线性相关(1）正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3）线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线．2．回归方程（1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2）回归方程方程错误!＝错误!x＋错误!是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1)，(x2，y2),…,(x n，y n）的回归方程,其中a，^，错误!是待定参数．错误!3．回归分析（1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2）样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2，y2)，…,（x n，y n),其中（错误!，错误!)称为样本点的中心．（3）相关系数当r>0时，表明两个变量正相关；当r〈0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常｜r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验（1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2｝和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表）为2×2列联表构造一个随机变量K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．（3）独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系"的方法称为独立性检验．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×")(1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．（×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √)（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √）(4）某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃)之间的关系,得回归方程错误!＝－2。

2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第十章第三节第一课时随机事件的概率精品

3．抛掷一枚骰子，记 A 为事件“落地时向上的数是奇数”， B 为事件“落地时向上的数是偶数”，C 为事件“落地时向上的数是 3 的倍数”．其中是互斥事件的是 ________，是对立事件的是________．解析：事件 A，B 不可能同时发生，并且必有一个发生，因此事件 A，B 是互斥事件，也是对立事件．答案：A，B A，B
解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题．答案：①③④
2．下列说法中正确的是________(填序号)． ①事件 A，B 中至少有一个发生的概率一定比事件 A，B 中恰有一个发生的概率大； ②事件 A，B 同时发生的概率一定比事件 A，B 中恰有一个发生的概率小； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
[题组练透] 1．已知非空集合 A，B，且集合 A 是集合 B 的真子集，有
下面 4 个命题： ①“若 x∈A，则 x∈B”是必然事件； ②“若 x∉A，则 x∈B”是不可能事件； ③“若 x∈B，则 x∈A”是随机事件； ④“若 x∉B，则 x∉A”是必然事件．其中正确的命题有________(填序号)．
[即时应用]
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨
余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾
箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三
类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃 “可回收物” “其他垃圾”
圾”箱
箱
箱
厨余垃圾
400
第三节概率
第一课时随机事件的概率
概率 P(A)
概率
0≤P(A)≤1 1

江苏版2018年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差测理20171219455

专题11.3 概率分布与数学期望、方差一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）= .【答案】3 2【解析】3313123510102 EX=⨯+⨯+⨯=．2. 设随机变量的分布列如表所示，且EX=1.6，则a×b= .【答案】0.153. 随机变量X的分布列如下:其中a，b，c成等差数列，若EX=，则DX的值是. 【答案】4.若随机变量X ～B (100，p )，X 的数学期望EX =24，则p 的值是 .【答案】【解析】∵X ～B (100，p )，∴EX =100p .又∵EX =24，∴24=100p ，p ==.5. 若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为 . 【答案】3·2－10【解析】E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝32.6. 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为 . 【答案】1.2【解析】∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. 7. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .【答案】A 3【解析】方案A 1，A 2，A 3，A 4盈利的期望分别是:A 1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7； A 2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5； A 3:-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7； A 4:98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.所以A 3盈利的期望值最大，所以应选择A 3. 8. 已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为 . 【答案】73【解析】E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.9. 随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值是________．【答案】5910. 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p = 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 .【答案】 25【解析】DX=100p(1-p)≤100·()2=25，当且仅当p=1-p，即p=时，DX最大，为25.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

专题10-3 概率测-2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版

一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 . 【答案】4mn【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=2.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 【答案】32所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)448P X C ==⨯⨯=，239(2)()416P X ===， 393128162EX =⨯+⨯=4.在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .4【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即d 3=<，解得33k 44-<<，而[1,1]k ?，所以所求概率P =33224=.5. 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P == 6.抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则一次试验成功的概率是 . 【答案】597.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是.【答案】3π【解析】设阴影部分的面积为1S ，圆的面积ππ932==S ，由几何概型的概率计算公式得311=S S ，得π31=S .8.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 .109.某城市2012年的空气质量状况如下表所示：空气污染指数T ≤50时，空气质量为轻微污染．该城市2012年空气质量达到良好或优的概率为 . 【答案】35【解析】良与优是彼此互斥的，故空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.10.先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果记为(a,b)，其中a 表示第一次抛掷的结果，b 表示第二次抛掷的结果，则函数32()f x x ax bx c =+++有极值点的概率为 . 【答案】59【解析】先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果有36种，'2()32f x x ax b =++，函数()f x 有极值点，等价于24120a b ->，即23a b >，当2a =时，有1种；当3a =时，有2种；当4a =时，有5种；当二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

2018年高考数学(理)(江苏专用)总复习教师用书第十一章计数原理、随机变量及其分布第4讲随机变量的概率

第4讲随机变量的概率分布考试要求 1.取有限个值的离散型随机变量及其概率分布的概念，A 级要求；2.概率分布对于刻画随机现象的重要性，A 级要求；3.超几何分布及其简单应用，A 级要求．知识梳理1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，的概率分布，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的概率分布．(2)离散型随机变量概率分布的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.3．常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其概率分布为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件“X ＝r ”发生的概率为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －M C n N ，r ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布.1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (3)如果随机变量X 的概率分布由下表给出，则它服从两点分布．( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) 解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X 的取值不是0,1，故不是两点分布，所以(3)不正确．答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是________(填序号)． ①至少取到1个白球；②至多取到1个白球； ③取到白球的个数；④取到的球的个数．解析 ①，②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2. 答案 ③3．(选修2－3P48练习3改编)设随机变量X 的概率分布如下：则p 为________．解析由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.答案 144．已知离散型随机变量ξ的概率分布为则k 的值为________．解析由k n ＋k n ＋…＋k n ＝1，即nk n＝1，∴k ＝1. 答案 15．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X ＝1的概率为________．解析 P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35.答案 35考点一离散型随机变量概率分布的性质【例1】设离散型随机变量X 的概率分布为求：(1)2X ＋1(2)|X －1|的概率分布．解由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为(1)2X ＋1的概率分布(2)|X －1|规律方法 (1)个概率值均为非负数．(2)若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的概率分布可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出概率分布．【训练1】 (2017·苏州期末)设随机变量X 的概率分布如下表，则P (|X －2|＝1)＝________.解析由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋4＋3＝4，∴P (|X －2|＝1)＝P (X ＝1)＋P (X＝3)＝16＋14＝512.答案512考点二离散型随机变量的概率分布【例2】 (2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的概率分布．解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 的概率分布为规律方法求离散型随机变量(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2,3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用概率分布的性质检验所求的概率分布或某事件的概率是否正确．提醒求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】 (2017·常州期末)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的概率分布为考点三超几何分布【例3】 (2017·苏州测试)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布．解 (1)设事件A ：选派的三人中恰有2人会法语，则 P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知X 的取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的概率分布为规律方法超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．【训练3】 (2017·南通调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的概率分布．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则 P (A )＝C 13·C 27C 310＝2140.(2)依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.因此X 的概率分布为[思想方法]1．对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率． [易错防范]掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：1．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．2．要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误．3．超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．某射手射击所得环数X 的概率分布为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________．解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 0.792．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________．解析由已知得X 的所有可能取值为0,1，且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案 133．(2017·常州期末)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为：则q 的值为________．解析由概率分布的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.答案 32－3364．设离散型随机变量X 的概率分布为若随机变量Y ＝|X －2|解析由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0) ＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5. 答案 0.55．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”事件可以表示为________．解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 ξ＝66．(2017·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是________．解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.答案12357．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分辊为a －b ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.答案1335二、解答题9．(2017·苏北四市调研)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n )名， ∴P (A )＝6＋n 20＝25，解得n ＝2，∴m ＝4，用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”， ∴P (B )＝1－C 26C 29＝712.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2.∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的概率分布为300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． (1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的概率分布．解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c＝23. 答案 2312．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为________．解析因为P (X ＝n )＝an n ＋(n ＝1,2,3,4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.所以a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56.答案 5613．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的概率分布为________．解析 η的所有可能值为0,1,2. P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布为答案149个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设X 为取出的3个球中白色球的个数，求X 的概率分布．解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)X 可能的取值为0,1,2,3，X 服从超几何分布，所以 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (X ＝0)＝C 36C 39＝521，P (X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的概率分布为。

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7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75 ，连续两天为优良的概率是 0.6 ，
已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A． 0.8 B ． 0.75 C ． 0.6 D ． 0.45
()
【答案】 A
【解析】已知连续两天为优良的概率是 0.6 ，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气
2
3．随机变量 X 的分布列如下：
X －1 0 1
Pa
bc
其中 a， b， c 成等差数列，则 P(| X| ＝ 1) 等于 ( )
1112 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】∵ a， b， c 成等差数列，∴ 2b＝ a＋ c.
1
2
又 a＋ b＋c＝ 1，∴ b＝ 3，∴ P(| X| ＝ 1) ＝ a＋ c＝3.
【练一练】 1．袋中有 3 个白球、 5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是 ( ) A．至少取到 1 个白球 B．至多取到 1 个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数【答案】 C
2．从标有 1～10 的 10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X，那么随机变量 X 可能取得的值有 ( ) A． 17 个 B ． 18 个 C ． 19 个 D ． 20 个【答案】 A 【解析】 X可能取得的值有 3,4,5 ，…， 19 共 17 个．
3
质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得
0.6 P＝ 0.75 ＝0.8.
8. 如图，用 K， A1， A2 三类不同的元件连接成一个系统．当 K 正常工作且 A1，A2 至少有一个正常工作时，系
统正常工作．已知 K， A1， A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8 ， 0.8 ，则系统正常工作的概率为 (
变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背
景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变
.
【课前检测训练】
【判一判】判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打“√”或“×” )
(1) 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．
()
(2) 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．
()
(7) 条件概率一定不等于它的非条件概率． ( )
(8) 相互独立事件就是互斥事件． ( )
(9) 对于任意两个事件，公式 P( AB) ＝P( A) P( B) 都成立． ( )
(10) 二项分布是一个概率分布，其公式相当于 ( a＋ b) n 二项展开式的通项公式，其中 a＝ p，b＝1－ p.(
4．随机变量 X 等可能取值 1,2,3 ，…， n，如果 P( X<4) ＝0.3 ，则 n＝ ________.
【答案】 10
1 11 3 【解析】 P( X<4) ＝ P( X＝ 1) ＋ P( X＝ 2) ＋ P( X＝ 3) ＝ n＋ n＋n＝ n＝ 0.3 ，得 n＝ 10.
5．一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P( X＝ 4) 的值为 ______ ．
差． ( )
(16) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从
正态分布． (
)
(17) 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关． ( )
1. √ 2. √3. × 4. √5. × 6. √ 7. × 8. ×9. × 10. ×11. √ 12. × 13. √ 14. √15. √ 16. √ 17. ×
)
(11) P( B| A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率， P( AB) 表示事件 A，B 同时发生的概率． ( )
1 (12) 小王通过英语听力测试的概率是 3，他连续测试 3 次，那么其中恰好第 3 次测试获得通过的概率是 P＝
C13·
1 3
1·
1 1－3
3－ 1＝4.( 9
专题 11.3 概率分布与数学期望、方差
【最新考纲解读】
内容
要求 A BC
备注
离散型随机变量及其分 √
布列
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C 表示） .
超几何分布
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解
决相关的简单问题 . √
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一
定综合性的问题 .
概率统条件概率及相互独立事
√
计
件
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 .
n 次独立重复试验的模
√
型及二项分布
离散型随机变量的均值 √
与方差
【考点深度剖析】
1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。
()
(3) 某人射击时命中的概率为 0.5 ，此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布． ( )
(4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布． ( )
(5) 离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于
1.(
)
2. 随机
1
(6) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
)
(13) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．
()
(14) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变
量的平均程度越小． ( )
(15) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的均值， σ 是正态分布的标准
)
A． 0.960
B． 0.864
C． 0.720
D． 0.576
【答案】 B
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
27 【答案】
220
6．袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为 ( )
3223 A. 8 B. 7 C. 8 D. 7
【答案】 B
个小球，所以再摸到红球的概率为
. 7