河北省定州中学2016届高三数学下学期开学考试试题 理
河北省定州中学2016届高三下学期周练(六)数学试题
河北定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（六）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f 的大小关系是（ ）A ．122)(+--m mem m f >)1(f B ．122)(+--m me m mf <)1(fC ．122)(+--m m em m f =)1(f D ． 不确定2．设()()()F x f x g x =是R 上的奇函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(2)0g =，则不等式()0F x <的解集是（ ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-3．已知函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)<0的解集为()A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)4．在用数学归纳法证明不等式的过程中，当由n=k推到n=k+1时，不等式左边应增加 （ ）A ．增加了一项)1(21+kB ．增加了两项221121+++k kC ．增加了B 中的两项但减少了一项11+k D ． 以上都不对5． 如果复数m i im -+12是实数，则实数=m ( )A.1- B ． 1 C ．2-D.26．⎰-+22)cos (sin ππdxx x 的值为（ ）A ．0 B.4πC. 2D.47．函数f(x)=log a (x 3-ax) (a>0且a ≠1)在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,49 D.⎪⎭⎫⎝⎛49,1 8．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ 9．下列求导运算正确的是（ ）A ．(x+211)1x x+=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x )'=3x log 3e D ．(x 2cosx )'=－2xsinx10．下列说法正确的是（ ） A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(一)
河北定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（一）一、选择题：共12题每题5分 共60分1．设集合A={(x,y)|=1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B 的子集的个数是A.4B.3C.2D.12．函数y=的图象大致为A. B.C. D.3．已知R 是实数集,集合M={x|<1},N={y|y=t-2,t≥3},则N∩∁RM=A.[2,3]B.[2,+∞)C.(-∞,2]D.[0,2]4．已知集合A={x||x-1|<2},Z 为整数集,则集合A∩Z 中所有元素的和等于A.1B.2C.3D.45．设f '(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f '(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是A. B . C. D.6．(文)若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,4},则A∩∁UB=A.{1,2,3,4,5}B.{1,2,3,4}C.{2,4}D.{1,3}7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3,y x x =-∈RB.sin ,y x x =∈RC.13,y x x -=∈R D.1(),2x y x =∈R8．已知集合M={x|-2≤x<2},N={x|y=log2(x -1)},则M∩N=A.{x|-2≤x<0}B.{x|-1<x<0}C.{x|1<x<2}D.{-2,0}9．函数y=的定义域为____.A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)∪(0,1]10．若集合M={y|y=2x,x∈R},S={x|y=lg(x-1)},则下列各式中正确的是A.M∪S=MB.M∪S=SC.M=SD.M∩S=∅11．如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x12．已知函数f(x)=x2+2x+m(m∈R)的最小值为-1,则f(x)dx=A.2B.C.6D.7二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知函数 f (x)＝，若a,b,c互不相等，且 f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋的取值范围为 .14．设A、B是非空集合，定义}|{BAxBAxxBA∉∈=⨯且.已知{}22|xxyxA-==，{}0,2|>==xyyB x，则=⨯BA .15．已知集合A={x|x>0},B={x|x<3,x∈N},则A∩B= .16．对于集合M,定义函数fM(x)=对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)·fN(x)=-1}.已知则用列举法写出集合A△B为.三、解答题：共8题共70分17．(本题12分)已知函数f(x)=ln x+,k∈R.(1)若f(x)≥2+恒成立,求实数k的取值范围;(2)设g(x)=xf(x)-k,若对任意的两个实数x1,x2满足0<x1<x2,总存在x0>0,使得g'(x0)=成立,证明:x0>x1.18．(本题12分)(文)已知函数f(x)=-x3+ax2-4,a∈R.(1)当a=3时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值;(2)若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,求a的取值范围.19．(本题12分)已知函数（a＞0）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1.设xxgxf)()(=.（1）求a、b的值；（2）若不等式2)2(≥⋅-xx kf在]1,1[-∈x上有解，求实数k的取值范围.20．(本题12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.21．(本题12分)已知函数f(x)=ax2-ln x(a为常数).(1)当a=时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若a<0,且对任意的x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围(e为自然对数的底数).请考生在第 22、23、24 三题中任选一道做答，注意：只能做所选定的题目。
河北省定州中学高三下学期开学考试数学试题Word版含答案
河北定州中学2017-2018学年第二学期高三数学开学考试一、单选题1．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(0,B ，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当1242,,33x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时， ()()12f x f x =，则()12f x x +=A. B. 1- C. 1D.2．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为3π的直线与抛物线相交于两点,A B 两点，若8AB =，则抛物线的方程为A. 23y x =B. 24y x =C. 26y x =D. 28y x =3．若,x y 满足条件20{260 2x y x y x +-≥-+≥≤ ，则目标函数22z x y =+ 的最小值是A.B. 2C. 4D.6894．已知复数满足，则的最小值A.B. C. 4D.5．已知函数()211xx f x e x -=+ 若f （x 1）=f （x 2），且x 1＜x 2，关于下列命题：（1）f （x 1）＞f （﹣x 2）；（2）f （x 2）＞f （﹣x 1）；（3）f （x 1）＞f （﹣x 1）；（4）f （x 2）＞f （﹣x 2）．正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6．已知x ，y 满足221{1 0x y x y y +≤+≥-≤ 则z=x ﹣y 的取值范围是（ ）A. []B. [﹣1，1]C. [D. [﹣1,7．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ∈（﹣∞，0）时，不等式f （x ）+xf′（x ）＜0成立，若a=πf （π），b=（﹣2）f （﹣2），c=f （1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a ＞b ＞c B. c ＞b ＞a C. c ＞a ＞b D. a ＞c ＞b8的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. [2，+∞）B. （2，+∞）C. (D.)+∞9．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β下面命题正确的是（ ）A. 若l ∥β，则α∥βB. 若α⊥β，则l ⊥mC. 若l ⊥β，则α⊥βD. 若α∥β，则l ∥m10．若圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=1（a ∈R ，b ∈R ）关于直线y=x +1对称的圆的方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=1，则a +b 等于（ ）A. 4B. 2C. 6D. 8 11．已知函数()20{10lgxx f x x x >=-≤，则方程()22(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 312．已知a ， 0.30.22,0.3b c ==则,,a b c 三者的大小关系是( )A. b c a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c b a >>二、填空题13．若函数()()22422f x x x a x a =---+有四个零点,则实数a 的取值范围是____．14．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，对于x ∈R ，都有f （x +4）=f （x ）+f （2）成立，当x 1，x 2∈[0，2]且x 1≠x 2时，都有()()1212f x f x x x -- 给出下列四个命题：①f （﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴；③函数y=f （x ）在[4，6]上为减函数； ④函数y=f （x ）在（﹣8，6]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为_____．15．若,x y 满足约束条件0,{30, 30,y x y kx y ≥-+≥-+≥，且2z x y =-的最大值为4，则实数k 的值为__________.16．已知函数sin cos y a x b x c =++的图象的一个最高点是,44π⎛⎫⎪⎝⎭，最低点的纵坐标为2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位长度可以得到()y f x =的图象，则23f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________．三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间. 18．选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意的实数都有，求的取值范围.参考答案ACBBB DADCA 11．D 12．A13．()()2568,00,27⎧⎫-⋃+∞⋃-⎨⎬⎩⎭14．①②③④ 15．32- 16．5217．(1) ,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭ (2) 50,,,36πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(Ⅰ) ()1cos21sin 21226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令26x k ππ-=，得212k x ππ=+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭(Ⅱ)令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈又由于[]0,x π∈，所以50,,36x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故所求单调区间为50,,,36πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 18．（1）或.（2）解：（1）解不等式，即，等价于：或或解得，或，或.所以所求不等式的解集为或.（2）当时，.又因为对于任意的实数都有，所以的取值范围是.。
2016-2017年河北省保定市定州中学高三(下)第二次月考数学试卷(解析版)
•
C．
D．
5．已知函数 f（x）＝x（a﹣e ） ，曲线 y＝f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处 的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是（
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）
A． （﹣e ，+∞）
2
B． （﹣e ，0）
2
C． （﹣e ，+∞）
﹣2
D． （﹣e ，0）
﹣2
6．已知抛物线的焦点 F 到准线 1 的距离为 p，点 A 与 F 在 l 的两侧，AF⊥1 且 AF＝2p．B 是抛物线上的一点． BC 垂直 1 于点 C 且 BC＝2p． AB 分别交 1， CF 于点 D， E， 则△BEF 与△BDF 的外接圆半径之比为（ A． B． ） C． D．2 ）
B．a＞1
9．已知过抛物线 y ＝2px（p＞0）的焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，且 抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C，AA1⊥l 于点 A1，若四边形 AA1CF 的面积为 12 准线 l 的方程为（ A．x＝﹣ ） B．x＝﹣2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
，则
10．已知 f（x）是定义在 R 上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，则（ A．f（x）＞0 C．f（x）为减函数 11．函数 f（x）＝ 实数 a 的取值范围是（ A．R ） C．[e，+∞） D ．∅ B．f（x）＜0 D．f（x）为增函数
x
，二面角 ．
+kx （k 是常数， e 是自然对数的底数， e＝2.71828…） ．
在区间（0，2）内存在两个极值点，则实数 k 的取值范围是
16．某运动队对 A，B，C，D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布 前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说： “是 C 或 D 参加比赛” ； 乙说： “是 B 参加比赛” ；丙说： “是 A，D 都未参加比赛” ； 丁说： “是 C 参加比赛” ．若 这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是 三、解答题 17．已知函数 f（x）＝axlnx+b（a，b 为实数）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y ＝x﹣1． （1）求实数 a，b 的值及函数（x）的单调区间； （2）设函数 g（x）＝
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(五)
河北定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（五）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．一个球从32米的高处自由落下，每次着地后又回到原来高度的一半，则它第6次着地时，共经过的路程是 米．2．设O 是C ∆AB 的外心，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知2220b b c -+=，则C B ⋅AO 的范围是（ ）A ．1,24⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．12,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．12,4⎛⎤- ⎥⎝⎦ 3．已知数列{}n a 的各项都是正数，11a =，对任意的k *∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =，则数列{}k d 的通项公式为（ ）A ．1k k +B ．1k +C ．32k +D ．1k k +4．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为C H 与水平地面ABO 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A 、B 两地相距100米，C 60∠BA =，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为C 15∠OA =，A 地测得最高点H 的仰角为30∠HAO =，则该仪器的垂直弹射高度C H 为（ ）A．210+米 B． C． D．210米5．已知函数()2cos22f x x x m =--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C．2⎫⎪⎪⎣⎭ D．2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ 6．在等腰C ∆AB 中，C 90∠BA =，C 2AB =A =，C 2D B =B ，C 3A =AE ，则D A ⋅B E 的值为（ ）A ．43-B ．13-C ．13D ．437．数列2014，2015，1，2014-，⋅⋅⋅；从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2015项之和等于（ ）A ．2014B ．2015C ．1D ．08．C ∆AB中，若)sin C sin cos =A +A B，则（ ）A ．3πB =B ．2b a c =+C ．C ∆AB 是直角三角形D ．222a b c =+或2C B =A +9．等差数列{}n a 中，4791232a a a a +++=，则能求出值的是（ ）A ．12S B ．13S C ．15S D ．14S10．若0x y >>，m n >，则下列不等式正确的是（ ） A ．xm ym > B ．x m y n -≥-C ．x y n m > D．x 11．已知数列{}n a 的前n项和为31n n S =-（n *∈N ），则5a =（ ）A ．242B ．160C ．162D ．486 12．平面内已知向量()2,1a =-，若向量b 与a 方向相反，且25b =b =（ ）A ．()2,4- B ．()4,2- C ．()4,2- D ．()2,4-评卷人 得分 二、填空题：共4题 每题5分 共20分 13．给出下列命题：①函数a ax ax x x f -++=23)(既有极大值又有极小值，则30><a a 或； ②若xe x xf )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；③过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为13>-<a a 或; ④双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的离心率为1e ，双曲线12222=-a y b x 的离心率为2e ，则21e e +的最小值为22.其中为真命题的序号是 .14．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆225)3(22=+-y x 相切，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程是x y 3=,它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长 ．15．已知函数)()(3R x bx x x f ∈+=在[]1,1-上是减函数，则b 的取值范围是 ．16．若曲线92-=x y 与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围是 .评卷人 得分 三、解答题：共8题 共70分17．设函数21)2ln(21)(+=x x f ，数列}{n a 满足：*))((,111N n a f a a n n ∈==+．（1）求证:21>x 时，x x f <)(；（2）求证:121≤<n a （*N n ∈）；（3）求证:83)(111<⋅-+=+∑i ni i i a a a （*N n ∈）．18．已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ． （1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围．20．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．21．如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2．22．正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ，满足:*),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等差数列，kk m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列．（1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S；（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值； （3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．23．设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ． （1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立，求实数m 的取值范围．24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率； ②求AOB ∆面积的最大值．参考答案 1．94 【解析】试题分析：由题设第一次着地经过的路程是32米，第二次着地、第三次、第四次、第五次、第六次经过的路程分别为12,22,42,82,162⨯⨯⨯⨯⨯米,因此第六次着地后共经过的路程是94122242,8216232=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+米, 故答案应填：94．考点：1、数列求和的方法；2、运用所学知识分析解决实际问题的能力． 2．C 【解析】试题分析：设O 是C ∆AB 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO 交外接圆于D ．D A 是O 的直径，∴CD D 90∠A =∠AB =，C cos C D D A ∠A =A ，cos D D AB∠BA =A ，∴()111C D C D C D 222AO ⋅B =A ⋅A -AB =A ⋅A -A ⋅AB()2222222211111111C 222222224b c b b b b b b ⎛⎫=A -AB =-=--=-=-- ⎪⎝⎭ 2220c b b =->，∴02b <<，令()21124f b b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以当12b =时，有最小值14-．()00f =，()22f =，所以()124f b -≤<，所以C B ⋅AO 的范围是1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．考点：1、向量的数量积；2、二次函数.【方法点睛】设O 是三角形外接圆的圆心，延长AO 交外接圆于D ．D A 是O 的直径，∴CD D 90∠A =∠AB =，C cos CD D A ∠A =A ，cos D D AB∠BA =A ，∴()111C D C D C D 222AO ⋅B =A ⋅A -AB =A ⋅A -A ⋅AB 21124b ⎛⎫=--⎪⎝⎭．根据b 的范围求得()124f b -≤<，所以C B ⋅AO 的范围是1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 3．B【解析】 试题分析：21k a -，2ka ，21k a +成公比为kq 的等比数列，21k a +，22k a +，23k a +成公比为1k q +的等比数列，∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++=，又2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，∴212222k k k a a a ++=+．得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k k q q +=+，111k k k q q q +-=-，∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，又10a >，2d =，可求得：12q =，1111q =-，所以，11k kq =-，1k k q k +=．221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2121k k k a a k k q +==+，所以，2121k k k d a a k +=-=+．考点：1、等比数列；2、等差数列.【方法点睛】21k a -，2ka ，21k a +成公比为kq 的等比数列，可知21k a +，22k a +，23k a +成公比为1k q +的等比数列.212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++=，又2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，故212222k k k a a a ++=+，把2ka ，21k a +，22k a +均用21k a +表示，化简得112k k q q +=+，构造等差数列111111k k q q +-=--，求出1k k q k +=．从而()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()2121k k k a a k k q +==+，易知2121kk k d a a k +=-=+．4．B 【解析】试题分析：由题意，设C=A x ，则BC=40x -， 在C ∆AB 内，由余弦定理：222BC =2BA CABA CA COS BAC +-⋅⋅∠，即()2240=10000100x x x-+-，解得=420x ．在C H ∆A 中，C 420,301545A CAH =∠=+=，000903060CHA ∠=-=，由正弦定理：sin sin CH ACCAH AHC =∠∠，故该仪器的垂直弹射高sin sin AC CAH CH AHC ∠==∠考点：解三角形的实际应用.5．A 【解析】试题分析：()2cos 22=2sin 226f x x x m x m π⎛⎫=---- ⎪⎝⎭，函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，所以sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与直线y m =有两个不同的交点，结合图像可得m 的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：1、函数的零点；2、三角恒等变换. 6．A 【解析】试题分析：以A 为原点，C A 为x 轴，AB 为y 轴，建立直角坐标系，则()()()()200,02,20,11,03A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，,()2D 1123⎛⎫A =BE =- ⎪⎝⎭，，，,()24D 11233⎛⎫A ⋅BE =-=- ⎪⎝⎭，，. 考点：向量数量积的坐标运算.7．C 【解析】试题分析：根据数列的规律可知该数列的前几项为2014，2015，1，20142015-120142015--，，，，，⋅⋅⋅，可知该数列为周期为6的数列，一个周期的和为0，()()20155201420151201420151SS ==+++-+-=,故选C.考点：周期数列求和. 8．D 【解析】试题分析：)sin C sin cos =A +A B，因为()sinC sin sin cos cos sin A B A B A B=+=+,代入整cos -cos cos =0A B A B ，解得cos =0A -sin 0B B =，故=2πA 或=3πB ，选D.考点：解三角形. 9．C 【解析】试题分析：()479121152=32a a a a a a +++=+，故115=16a a +，故能求出值的是15S.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和. 10．D 【解析】试题分析：A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变；B 不正确，因为同向不等式相加，不等号方向不变；C 不正确，因为因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变. 考点：不等式的性质.【方法点睛】严格依据不等式的基本性质:性质1:如果,a b b c >>,那么a c > (不等式的传递性).性质2:如果a b >,那么++a c b c > (不等式的可加性).性质3:如果a b >，0c >,那么ac bc >；如果a b >,0c <,那么ac bc <.性质5:如果0a b >>,0c d >>,那么ac bd >.11．C 【解析】试题分析：()545543131162a S S =-=---=.考点：数列前n 项和. 12．B 【解析】试题分析：因为向量b 与a 方向相反，故设()()=2,0b x x x -<，()22b x ==2x =-，故向量()-4,2b =.考点：1、向量共线；2、向量的模. 13．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件证明平面PCD 内的直线⊥CD 平面PBC 即可；（2）可利用相似三角形想方设法在平面AEC 找一条直线与PB 平行．试题解析：证明：（1）因为,//AD CD AD BC ⊥， 所以CD BC ⊥ 又PB CD ⊥，PB BC B =，PB ⊂平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又⊂CD 平面PCD ，所以平面⊥PCD 平面PBC ． （2）连接BD 交AC 于O ，连OE 因为//AD BC ，所以BOD ADO ∆∆~ 所以::1:2DO OB AD BC == 又2PE ED =， 所以//OE PBOE ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC 所以//PB 平面AEC ，考点：1、线面平行的判定；2、线面及面面垂直的判定． 14．{2,8}- 【解析】试题分析：当0≥a 时，直线3+=ax y 单调递增且过定点)3,0(，而抛物线的开口向上，不等式0))(3(2≤-+b x ax 在),0[+∞不恒成立,故0<a ,此时0≥b ,否则不合题设,所以欲使不等式0))(3(2≤-+b x ax 在),0[+∞恒成立（当且仅当b a =-3,即92=b a 时才能满足）,注意到b a ,是整数,所以当9,1=-=b a 或1,3=-=b a 时，92=b a 成立，故8=+b a 或2-,答案应填：{2,8}-．考点：1、一次函数、二次函数的图象和性质；2、不等式恒成立的转化与化归；3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识．【易错点晴】本题借助不等式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题．解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数b a ,进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化．解题过程中还运用了题设中b a ,为整数这一条件，并以此为基点建立关于b a ,的等式求出了参数b a ,的值．解本题的关键是如何理解题设中“对任意),0[+∞∈x 不等式0))(3(2≤-+b x ax 恒成立”，并能建立与此等价的关于b a ,的等式．15．23【解析】试题分析：由x y y x x ++22可得2321221)21()21(122=-≥-+++=++x y x y x y y x x ，当且仅当21=x y ，即y x 2=时取等号，故x y y x x ++22的最小值为23，答案应填：23．考点：1、基本不等式的灵活运用；2、分式变形的运用和技巧． 16．12 【解析】试题分析：由AO AC AB 2=+可得0=+OC OB 时，即OC BO =，故圆心在BC 上且AC AB ⊥，注意到2||||==AO AB ，故32,4,6,3====AC BC C B ππ，12234326cos ||||=⨯⨯=⋅=⋅π，答案应填：12．考点：1、向量的几何形式的运算和数量积公式；2、圆的有关知识和解直角三角形． 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）借助导数运用函数的单调性进行推证；（2）运用数学归纳法进行推证；（3）运用不等式的缩放进行推证．试题解析：解：（1）令()()()11ln 222F x f x x x x=-=+-，则()122x F x x -'=，又12x >，可得()0F x '<． 即()F x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，故()102F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即()1,2x f x x ><当1n =时，1111,12a a =<≤成立．（2）假设()*n k k N =∈时，112k a <≤，当()*1n k k N =+∈时，()()111ln 222k k k a f a a +==+， 根据归纳假设112k a <≤，由（1）得： ()()1111111ln 2ln 2ln 212222222k a ⎛⎫⨯+<+≤⨯+ ⎪⎝⎭，即：1112k a +<≤，即1n k =+时命题成立．综上所述对*n N ∈命题成立（3）由()()1111,,,22n n n a a f a x f x x+<≤=><，可得：()1112n n n a f a a +<=<≤，从而1112i i a a a +++<，又10i i a a +->，故()()()2211111122i i i i i i i i i a a a a a a a a a ++++++-<-⋅=-，则有：()()2222221112231112nii i n n i a a aa a a a a a +++=-⋅<-+-++-∑()()2221112111131122228n n a a a ++⎛⎫=-=-<-= ⎪⎝⎭考点：1、函数及函数的求导运算； 2、数列与函数的关系及应用；3、数学归纳法及推理论证的能力． 18．（1）1,3=-=b a ；（2）4． 【解析】 试题分析：（1）借助绝对值不等式的解集求解；（2）运用柯西不等式求解．试题解析：（1）因为b a x <+||，所以a b x b a -<<--，故⎩⎨⎧-=+=-24a b a b ，解之可得⎩⎨⎧=-=13b a ，即b a ,的值分别为1,3-；（2）将⎩⎨⎧=-=13b a 代入bt at ++12可得t t t t ⋅+-⋅=++-143123，由柯西不等式可得16)4)(13()143(22222=+-+≤⋅+-⋅t t t t ，故4143123≤⋅+-⋅=++-t t t t ，（当且仅当t t -=43，即1=t 取等号）,即bt at ++12的最大值为4.考点：1、绝对值不等式的解法；2、柯西不等式的灵活运用．19．1⎡⎣． 【解析】试题分析：运用极坐标与平面直角坐标的互化，将极坐标方程化为直角坐标，再运用参数方程化为三角函数的最值求解．试题解析：解：曲线C 为4cos 2sin ρθθ=+∴曲线C 的直角坐标方程为22420x y x y +--=即()()22215x y -+-=，所以曲线C 是以()2,1为半径的圆故设2,1x y αα==则114x y πααα⎛⎫-==++ ⎪⎝⎭ ∴x y -的取值范围是1⎡⎣考点：1、极坐标方程与直角坐标的互化；2、圆的参数方程与直角坐标方程的运用；3、三角函数的最值及运用．20．12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．试题解析：解：由题意：11Ae e λ=，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦，∴30A =-≠，∴11212333321213333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）运用弦切角定理可获证；（2）借助三角形的相似推证．试题解析：证明: （1）因为弧AC =弧BD ,所以ABC BCD ∠=∠,又因为ABC ACE ∠=∠(弦切角等于同弧所对圆周角),所以BCD ACE ∠=∠;（2）在BCD ∆和ECA ∆中,因为BCD ACE ∠=∠,CDB CAE ∠=∠,所以ECA BCD ∆∆~,所以CA CDEA BD =,即CD AE CA BD ⋅=⋅,注意到CA BD =,所以CD AE BD ⋅=2.考点：1、圆中的有关定理和运用；2、相似三角形的性质及应用．22．（1）84；（2）1033；（3）存在4k =满足题设． 【解析】 试题分析：（1）依据题设确定所求数列中的项的特征，再利用数列和的定义求解；（2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数m ，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数m 的范围． 试题解析：解：（1）由已知*8,,2,16n k k m k N a n a a <∈===，故*1231,,,,,(,)k k a a a a a k m k N -<∈为：2，4，6，8，10，12，14，16；111,,,,,m m k ka a a a a -+公比为2，则对应的数为2，4，8，16， 从而12,,ma a a 即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；此时()821610,84842m m S +==++=（2）()*1231,,,,,,k k a a a a a k m k N -<∈是首项为2，公差为2 的等差数列，故*,,2n k m k N a n <∈=，从而2k a k=，而111,,,,,m m k ka a a a a -+首项为2，公比为2的等比数列且22m k k a -+=，故有222m k k -+=；即12m k k -+=,即k 必是2的整数幂又122+=⋅m k k ，要m 最大，k 必需最大，2016k m <<，故k 的最大值为102，所以1103410241021022222210+==⋅=⋅m ，即m 的最大值为1033（3）由数列1231,,,,,k ka a a a a -是公差为d 的等差数列知，()11k a a k d=+-，而111,,,,m m k ka a a a a -+是公比为2的等比数列，则km k a a -+⋅=112，故km a d k a -+⋅=-+1112)1(，即()()11121m k k d a +--=-，又()121113k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =，则()11112132212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即()()111112132212m k m k ka k a a +--⎡⎤+-=⨯-⎣⎦，则)12(6212211-=+⋅--+k m k m k k ，即1226211-⋅=+⋅-+-+km k m k k 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+--，所以6k <，将1,2,3,4,5k =，代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =， 综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式考点：1、数列求和的定义及等差、等比数列的知识；2、数列最值的求解和推理论证的能力及运用；3、存在型问题的求解方法；4、转化化归的能力、运算求解的能力和分析问题解决问题的能力．23．（1）10a b =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3）121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】试题分析：（1）依据题设建立关于b a ,方程组求解；（2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数m ，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数m 的范围．试题解析：解：（1）∵()x af x e x '=-，∴()1f e a '=-， 由题设得：()()110e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）得()ln 1x f x e x =--，∴()1(0)xf x e x x '=->，∴()()210x f x e x ''=+>，∴函数()f x '在()0,+∞是增函数，∵()120,1102f f e ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭，且函数()f x '图像在()0,+∞上不间断，∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：∴函数()f x 存在极小值()0f x（3）1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立，1,2x ⎡⎫⇔∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*）令()1ln ,,2x h x e x x x ⎡⎫=-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则()()ln 1x h x e x f x '=--=，∴结合（2）得：()()000min ln 1x h x f x e x '⎡⎤==--⎣⎦， 其中01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()00f x '=，即0010x e x -=， ∴00001,ln x e x x x ==-，∴()0000min 0011ln 112110x h x e x x x x x '=--=+->⋅=>⎡⎤⎣⎦， ∴()1,,02x h x ⎡⎫'∈+∞>⎪⎢⎣⎭，∴()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增． ∴()1122min 1111ln ln 22222h x h e e ⎛⎫==-=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，结合（*）有121ln 22m e ≥+，即实数m 的取值范围为121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ 考点：1、导数法求曲线的切线方程；2、函数的单调性与极值的关系；3、存在型不等式成立的参数范围的求解方法；4、转化化归能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查运用导数的有关知识在解决函数的相切、极值等问题中的具体运用，通过对函数的导数的研究，解决了函数中的直线与曲线相切的问题；利用导数值的的正负研究了函数的单调,第(2)问依据极值的定义，证明函数极值的存在性，有效地检测了推理论证的能力．第（3）问设置的存在型的不等式成立问题，求解时运用分类参数的方法将参数分离出来得到ln x m e x x ≥-，将问题转化为求函数x x e x h x ln )(-=的最小值问题，学生易犯的错误是求其最大值，有效地检测了运用导数解答数学问题的应用思想和意识，体现了函数与方程思想灵活运用，同时也考查学生综合运用所学知识分析解决问题的意识和能力．24．（1）22163x y +=；（2）①1k =-；②2．【解析】试题分析：（1）依据题设22=e 及点)1,2(P 在椭圆上建立方程组即可获解；（2）①可利用点差法或待定法进行求解可直接获解；②设直线AB 的方程为(),0,3y x m m =-+∈，再建立面积关于m 的函数，最后求其最值．试题解析：（1）由题意得：22222411c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=（2）①法一、设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，直线AB 的斜率为k 则22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2222121263x x y y --+=， ∴0022063x y k +⋅= 又直线1:,2OP y x M =在线段OP 上，所以0012y x =，所以1k =-法二、设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为()00y y k x x -=-，则()0022163y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()()()2220000124260k x k y kx x y kx ++-+--=，由题意，0∆>，所以()00122412k y kx x x k -+=-+∴()0002212k y kx x k -=-+， 又直线1:,2OP y x M =在线段OP 上，所以0012yx =，所以2122112k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，∴1k =-法三、设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为y kx m =+， 则22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()222124260k x kmx m +++-=，由题意，0∆> 所以122412km x x k +=-+ ∴()02212km x i k =-+ 又直线1:,2OP y x M =在线段OP 上，所以()0012y x ii =，M 在直线AB 上，∴()00y kx m iii =+解()()()i ii iii 得：1k =-②设直线AB 的方程为(),0,3y x m m =-+∈， 则22163y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴2234260x mx m -+-=， 所以12212043263m x x m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以12AB x =-=原点到直线的距离2m d =∴122OAB S ∆==当且仅当()0,3m =时，等号成立，所以AOB∆面积的最大值．考点：1、椭圆的定义及离心率等有关概念；2、直线与椭圆的位置关系；3、目标函数的最值及求解方法；4、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查的圆锥曲线中的代表椭圆的有关性质与知识，第（1）问中的问题借助题设建立方程组求出了基本量c b a ,,，体现了方程思想的运用；第（2）通过直线与椭圆的位置关系为平台，考查方程与函数思想和运算求解能力的运用，体现了有效考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，体现了知识运用的综合性、灵活性．。
2016-2017年河北省保定市定州中学高三(下)第一次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年河北省保定市定州中学高三（下）第一次月考数学试卷一、选择题1．（3分）如图，设地球半径为R，点A、B在赤道上，O为地心，点C在北纬30°的纬线（O'为其圆心）上，且点A、C、D、O'、O共面，点D、O'、O共线．若∠AOB＝90°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．2．（3分）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆+＝1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣43．（3分）5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（）A．53B．35C．5×4×3D．5×44．（3分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．4个5．（3分）若集合A＝{x|}，B＝{x|x2＜2x}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1} 6．（3分）一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）已知点，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是（）A．B．[﹣3，3]C．D．8．（3分）直角坐标系中，点的极坐标可以是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，＝（2，0），＝（﹣3，2），则•＝（）A．﹣6B．4C．9D．1310．（3分）下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足[f（x）]y ＝f（xy）”的是（）A．指数函数B．对数函数C．一次函数D．余弦函数11．（3分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．12．（3分）点（3，1），（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则（）A．a＜﹣7或a＞24B．﹣7＜a＜24C．a＝﹣7，24D．以上都不对二、填空题13．（3分）若x＞0，则的最小值为．14．（3分）对于命题：若O是线段AB上一点，则有||•+||•＝．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•＝，将它类比到空间情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有．15．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB 两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．16．（3分）已知a＞0，b＞0，c＞1且a+b＝1，则（﹣2）•c+的最小值为．三、解答题17．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．18．已知三个数成等差数列，其和为21，若第二个数减去1，第三个数加上1，则三个数成等比数列．求原来的三个数．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．20．在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积（Ⅲ）求直线DE与平面EMC所成角的正切值．21．已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2c sin A．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）当c＝2时，求：△ABC面积的最大值．22．已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a＝0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y＝x+m．（1）若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．23．已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．2016-2017学年河北省保定市定州中学高三（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）如图，设地球半径为R，点A、B在赤道上，O为地心，点C在北纬30°的纬线（O'为其圆心）上，且点A、C、D、O'、O共面，点D、O'、O共线．若∠AOB＝90°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：分别以OB、OA、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，，D（0，0，R），∴，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为．故选：A．2．（3分）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆+＝1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：由a2＝6、b2＝2，可得c2＝a2﹣b2＝4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2＝2px的焦点（2，0），∴p＝4，故选：C．3．（3分）5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（）A．53B．35C．5×4×3D．5×4【解答】解：根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，则5位同学共有3×3×3×3×3＝35种不同的选法，故选：B．4．（3分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．4个【解答】解：否命题：“若A∪B＝B，则A∩B＝A”为真命题；逆否命题：“若A∩B＝A，则A∪B＝B”为真命题．因此逆命题与原命题也为真命题．故选：D．5．（3分）若集合A＝{x|}，B＝{x|x2＜2x}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}＝{x|0≤x＜1}，又B＝{x|x2＜2x}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选：A．6．（3分）一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：一个由正数组成的等比数列，的前4项之和为前2项之和的5倍，可得：＝5，1+q2＝5，解得q＝2，故选：B．7．（3分）已知点，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是（）A．B．[﹣3，3]C．D．【解答】解：＝＝，∵，∴当时，＝3，当时，＝﹣3，∴z的取值范围是[﹣3，3]．∴故选B．8．（3分）直角坐标系中，点的极坐标可以是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直角坐标系中的点的坐标为，∴ρ＝2，tanθ＝﹣（），∴θ＝．∴直角坐标系中的点的极坐标为（2，）．故选：D．9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，＝（2，0），＝（﹣3，2），则•＝（）A．﹣6B．4C．9D．13【解答】解：由平行四边形ABCD得，•＝（﹣）•（+）＝﹣＝（9+4）﹣4＝9．故选：C．10．（3分）下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足[f（x）]y ＝f（xy）”的是（）A．指数函数B．对数函数C．一次函数D．余弦函数【解答】解：在指数函数中，y＝a x满足（a x）y＝a xy，故具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足[f（x）]y＝f（xy）”的是指数函数．故选：A．11．（3分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AF，＝﹣＝（+）﹣＝﹣（﹣）＝﹣，故选：C．12．（3分）点（3，1），（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则（）A．a＜﹣7或a＞24B．﹣7＜a＜24C．a＝﹣7，24D．以上都不对【解答】解：∵点（3，1）、（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧∴（3×3﹣2×1+a）•[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0∴（7+a）•（a﹣24）＜0∴﹣7＜a＜24故选：B．二、填空题13．（3分）若x＞0，则的最小值为4．【解答】解：∵x＞0，则≥2＝4，当且仅当x＝时，等号成立，故答案为4．14．（3分）对于命题：若O是线段AB上一点，则有||•+||•＝．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•＝，将它类比到空间情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有V O﹣BCD•+V O﹣ACD•+V O•+V O﹣ABC•＝．﹣ABD【解答】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维，面积变体积；由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•＝，我们可以推断若O为四面体ABCD内一点，则有V O﹣BCD•+V O﹣ACD•+V O﹣ABD•+V O•＝．﹣ABC故答案为：若O为四面体ABCD内一点，则有V O﹣BCD•+V O﹣ACD•+V O﹣ABD•+V O﹣ABC•＝．15．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB 两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．16．（3分）已知a＞0，b＞0，c＞1且a+b＝1，则（﹣2）•c+的最小值为．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝1，所以＝＝≥＝，又c＞1，则≥＝[2（c﹣1）++2]≥＝4+2，其中等号成立的条件：当且仅当，解得a＝、b＝2、c＝1+，所以的最小值是，故答案为：．三、解答题17．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝a x+x2﹣xlna，∴f′（x）＝a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）＝0，f（0）＝1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（3分）（2）由于f'（x）＝a x lna+2x﹣lna＝2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y＝2x单调递增，lna＞0，所以y＝（a x﹣1）lna单调递增，故y＝2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna＝0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y＝2x单调递增，lna＜0，所以y＝（a x﹣1）lna单调递增，故y＝2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna＝0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|＝（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＝f（0）＝1，（f（x））max＝max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）＝（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）＝a﹣﹣2lna，记g（t）＝t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）＝1+﹣＝（﹣1）2≥0（当t＝1时取等号），所以g（t）＝t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）＝0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）18．已知三个数成等差数列，其和为21，若第二个数减去1，第三个数加上1，则三个数成等比数列．求原来的三个数．【解答】解：三个数成等差数列，其和为21，设原来的三个数为x﹣d，x，x+d，由和为21得x＝7，又7﹣d，6，8+d成等比数列，可得36＝（7﹣d）（8+d），解得d＝4或﹣5，得原来三个数为3，7，11或12，7，2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F、G分别是棱AB、AB1中点，∴FG∥BB1，又∵FG∥EC，，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG．∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB；（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）设E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB1的法向量．由，得，取z＝2，得∵CA⊥平面C1CBB1，∴是平面EBB1的法向量，则平面EBB1的法向量∵二面角A﹣EB1﹣B的平面角余弦值为，则，解得m＝1（0≤m≤4）．∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE＝1．20．在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积（Ⅲ）求直线DE与平面EMC所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，EA⊂平面EAM，∴平面EAM⊥平面ABC，且平面EAM∩平面ABCAB．∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，则CM⊥平面CAM，∴CM⊥EM；（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，∴四边形ABDE为平面图形，且为直角梯形，由（Ⅰ）知CM⊥平面ABDE，∵AC＝BC＝BD＝2AE＝2，∴多面体ABCDE的体积V＝V C﹣ABDE＝；（Ⅲ）解：连结MD，∵AC＝BC＝BD＝2AE＝2，在直角梯形EABD中，AB＝，M是AB的中点．∴EM＝，MD＝，DE＝3，由EM2+MD2＝DE2，得DM⊥EM．∵CM⊥平面EMD，∴CM⊥DM，得DM⊥平面EMC，∴∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角．在Rt△EMD中，tan∠DEM＝．∴直线DE与平面EMC所成的角的正切值为．21．已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2c sin A．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）当c＝2时，求：△ABC面积的最大值．【解答】（I）解：由正弦定理得，（1分）将已知代入得sin C＝．（2分）因为△ABC为锐角三角形，所以0＜C＜，（3分）所以C＝．（4分）（II）证明：由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，（5分）即12＝a2+b2﹣ab，（6分）又a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab所以ab≤12．（8分）所以△ABC的面积S＝ab sin C＝ab≤3，（9分）当且仅当a＝b，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到3．所以△ABC面积的最大值为3．（10分）22．已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a＝0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y＝x+m．（1）若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．【解答】解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）2+（y﹣a）2＝4a（0＜a≤4），则圆心C的坐标是（﹣a，a），半径为2．直线l的方程化为：x﹣y+4＝0．则圆心C到直线l的距离是＝|2﹣a|．设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：L＝2∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为2．（2）因为直线l与圆C相切，则有，即|m﹣2a|＝2．又点C在直线l的上方，∴a＞﹣a+m，即2a＞m．∴2a﹣m＝2，∴m＝﹣1．∵0＜a≤4，∴0＜≤2．∴m∈[﹣1，8﹣4]．23．已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2＝1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，△＝16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，可得k≠0，∴，＝＝＝，∴为所求．。
河北省定州市高三数学下学期开学考试试题(高补班)
河北定州2016-2017学年第二学期高四数学开学考试一、单项选择题1．已知A ，B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120o，则E 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．2 2．设非零实数,a b ，则222a b ab +≥是2a bb a+≥成立的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为ˆˆˆya bx =+，方程中的回归系数ˆb （ ）A ．可以小于0B ．只能大于0C ．可以为0D ． 只能小于04．1F 、2F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于A 、B 两点，已知11BF AF ⊥，︒=∠301ABF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．226- B ．236- C ．26- D ．36-5．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α的值为( ) A .2425 B .1225C .1225-D .2425- 6．已知1a =r ，2b =r ，且()a ab ⊥-rr r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．23π7．化简)2cos()tan()2cos(απαπαπ-++的结果为 ( )1A1-B αtan C αtan -D8．sin163sin 223sin 253sin313+o o o o等于（ ） A.12-B.12C.32-D.329．幂函数y ＝f(x)的图像经过点(4，12)，则f(14)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．函数a ax x f 213)(-+=，在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是A ．511<<-a B ．51>a C ．51>a 或1-<a D ．1-<a11．下列说法正确的是（ ）.A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．梯形一定是平面图形D ．过平面外一点只有一条直线与该平面平行 12．如图，下列图案是几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）A ．1个B ． 2个C ．3个D ．4个二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为________．14．如果对任何实数k ，直线（3＋k ）x ＋（1-2k ）y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ． 15．给出一个算法： Input x If x ≤0 thenf (x )=4xElsef (x )=2xEnd if Print f (x ) End根据以上算法，可求得f (－3)+f (2)的值为________16．已知点(,)P x y 的坐标满足40,12,0,x y x y +-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为________.三、解答题17．如图，以原点O 和A （5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 和AB u u u r的坐标.18．设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）已知直线323y x =-与双曲线的右支交于,M N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=u u u u r u u u r u u u r，求t 的值及点D 的坐标．19．（12分）{}()222,2,11≥+==-naaaa nnnn数列（I）求证数列是等差数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nna2；（II）求数列{}n nSna项和的前；（III）{}为递减数列求证数列若nnnbanb,12-=。
河北省定州市高三数学下学期开学考试试题(高补班)
河北定州2016-2017学年第二学期高四数学开学考试一、单项选择题1．已知A ，B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为A ．2 C D 2．设非零实数,a b ，则222a b ab +≥是2a bb a+≥成立的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为ˆˆˆya bx =+，方程中的回归系数ˆb （ ）A ．可以小于0B ．只能大于0C ．可以为0D ． 只能小于04．1F 、2F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于A 、B 两点，已知11BF AF ⊥，︒=∠301ABF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．226- B ．236- C ．26- D ．36-5．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α的值为( ) A .2425 B .1225C .1225-D .2425- 6．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．23π7．化简)2cos()tan()2cos(απαπαπ-++的结果为 ( )1A1-B αtan C αtan -D8．sin163sin 223sin 253sin 313+等于（ ）A.12-B.12C. 9．幂函数y ＝f(x)的图像经过点(4，12)，则f(14)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．函数a ax x f 213)(-+=，在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是A B C 或1-<a D ．1-<a11．下列说法正确的是（ ）.A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．梯形一定是平面图形D ．过平面外一点只有一条直线与该平面平行 12．如图，下列图案是几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）A ．1个B ． 2个C ．3个D ．4个二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为________．14．如果对任何实数k ，直线（3＋k ）x ＋（1-2k ）y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ． 15．给出一个算法： Input x If x ≤0 thenf (x )=4xElsef (x )=2xEnd if Print f (x ) End根据以上算法，可求得f (－3)+f (2)的值为________16．已知点(,)P x y 的坐标满足40,12,0,x y x y +-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为________.三、解答题17．如图，以原点O 和A （5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 和AB 的坐标.18．设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知直线2y x =-与双曲线的右支交于,M N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．19．（12分）{}()222,2,11≥+==-naaaa nnnn数列（I）求证数列是等差数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nna2；（II）求数列{}n nSna项和的前；（III）{}为递减数列求证数列若nnnbanb,12-=。
河北定州中学—第二学期开学考试.docx
河北定州中学2015—2016学年度第二学期开学考试高三年级文科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1.已知集合 A= {x |- 1<x<2},{x | 0<x<C3}，则 A U B( )A.( -1，3)B.( - 1，0)C.(0,2)D.(2,3)2.i 是虚数单位，复数ii5225+-= A. -i B.i C. -2921-2920D. -214+2110i3.已知双曲线c:a x22-by22=1(a>,b>0)的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ） A. y=±41 B. y=±31x C. y=±21D. y =±x 4.已知向量a = (1，一 1)，向量b=(-1，2)，则(2a +b ）• a = （ ） A. - 1B. 0C. 1D.25.设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5=3 ,则S 5 = （ ）A.5B.7C.9D. 116.—个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为A.120cm 3B.80cm 3C.100cm 3D.60cm 37.某算法的程序框图如图所示，若输人的a ，b 的值分别为60与32,则程序执行后的结果是（ ) A. 0B. 4C. 7D. 288.已知等比数列{a n },满足a 1=41,a 3a 5=4(a 4-1)，则则a 2 = ( ） A. 2B. 1C. 21D. 819.设实数x ，y ；满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤+6142102y x y x y x ,则xy 的最大值为 （ ）A.225 B.249 C. 12 D. 1410.点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB = BC = AC= ，若四面体ABCD 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为 （ ）A. 16169 πB. 8πC. 16289 πD. 1625π11.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 （ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油12.已知函数F(x) = e x满足F(x)=g(x)+h(x)，且g(x)，h(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，若∀∈(0,2]使得不等式g(2x)- ah(x)>0恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ) A. (∞-, 2 ) B. (∞- , 2 ] C. (0, 2 ]D. ( ,+ ∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程L:y =bx + a ，则L 一定经过点P(x,y);③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程y = 0.lx + 10中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 增加0.1 个单位，其中真命题的序号是 .14.在三棱锥S —ABC 内任取一点P ，使得的概率是 .15.已知圆 C ： (x —3)2 + (y — 4) 2= 1 和两点 A (-m ，0)，B(m ，0) (m>0)，若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90°，则m 的取值范围是 .16.已知曲线x 在点(1，1)处的切线与曲线y=ax 2+ (a+2)x+l 相切，则a= . 三、解答题(本大题共6小题，共70分。
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(八)
某某定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（八）一、选择题：共12题每题5分共60分 1．以下四个命题中，正确的个数是（ ）①命题“若)(x f 是周期函数，则)(x f 是三角函数”的否命题是“若)(x f 是周期函数，则)(x f 不是三角函数”；②命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是“对于任意0,2<-∈x x R x ”；③在ABC ∆中，“B A sin sin >”是“B A >”成立的充要条件；④若函数)(x f 在)2017,2015(上有零点，则一定有0)2017()2015(<⋅f f .A ．0B ．1C ．2D ．32．若4,6==n m ，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）A ．1001B ．100C ．10D ．1 3．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17012f f π⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．23-B ．23+C ．31-D ．31+ 4．已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(1)(2x x f x e x f x ，把函数()()0p x f x x =-=的零点从小到大的顺序排成一列，依次为 ,,,321x x x ，则53x x +与42x 大小关系为（ ）A ．53x x +42x <B ．53x x +42x =C ．53x x +42x >D ．无法确定5．已知函数e e ax x f x(1)(2+=为自然对数的底数），函数)(x g 满足)(2)()(x f x f x g +'='，其中)(),(x g x f ''分别为函数)(x f 和)(x g 的导函数，若函数)(x g 在]1,1[-上是单调函数，则实数a 的取值X 围为（ ） A ．1≤a B ．131≤≤-a C ．1>a D ．31-≥a6．设向量21,e e 是两个互相垂直的单位向量，且221,2e b e e a =-=，则=+b a 2（ ） A ．22 B ．5 C ．2 D ．4 7．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值X 围是 A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 8．函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤=ππx x x x f x0),62sin(20,21)(若321,,x x x 是方程0)(=+a x f 三个不同的根，则321x x x ++的X 围是（ ）A ．)2,1(π- B ．)3,13(ππ- C ．)13,13(+-ππ D ．)16,6(+ππ9．函数xx x f )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 ( )A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）10．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且在区间 [0，2]上()f x x =，若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，则a 的X 围为（ ）A ．)4,2(B ．)22,2(C ．(6,22)D ．(6,10) 11．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ． (0,1) C ． (－1,0) D ．(1,2) 12．已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=（0a b >>），下列叙述中正确的是（ ） A.垂直于x 轴的直线与曲线C 存在两个交点B.直线y kx m =+（,k m R ∈）与曲线C 最多有三个交点C.曲线C 关于直线x y -=对称D.若),(),,(222111y x P y x P 为曲线C 上任意两点，则有02121<--x x y y二、填空题：共4题每题5分共20分 13．下列叙述： ①函数()sin(2)3f x x π=-的一条对称轴方程为12x π=-；②函数3()cos(2)2f x x π=-是偶函数；③函数()2)4f x x π=+，[0,]2x π∈，则()f x 的值域为2]；④函数cos 3()cos x f x x +=，(,)22x ππ∈-有最小值，无最大值.则所有正确结论的序号是.14．已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-,2),2(21,20,12)(1x x f x x f x 则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为____个.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122++=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式为______.16．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0220y x x y x ，则y x z 2+=的最大值为.三、解答题：共8题共70分17．已知函数)2(sin )(2e a ax x e xf x-+-=，其中R a ∈，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数.（1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当121≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f . 18．设函数()()ln ,xf x x axg x e ax =-=-，其中a 为实数.（1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值X 围； （2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,ABCD AD BC AD CD ⊥，且22,42,2AD CD BC PA ====，点M 在PD 上.（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45°，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.20．如图所示，MA 为以AB 为直径的圆O 的切线，A 为切点，C 为圆周上一点，OM BC //，直线MC 交AB 的延长线于点E .（1）求证：直线MC 是圆O 的切线； （2）若2=AB ，3=MA ，求线段BC 的长.21．某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.（1）估计直方图中网购金额的中位数；（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为X ，求X 的分布列与数学期望.22．已知各项均不为0的等差数列}{n a 前n 项和为n S ，满足542a S =，421a a a =，数列}{n b 满足n n b b 21=+，21=b .（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）设2nn n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 23．已知函数2ln 21)(x xx f +=.（1）求)(x f 的单调区间；（2）存在),1(,21+∞∈x x 且21x x ≠，使2121ln ln )()(x x k x f x f -≥-成立，求k 的取值X 围. 24．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知A c C a cos 2cos 3=，且3,52==c b . （1）求a 的值； （2）求)4sin(π+B 的值.参考答案 1．B 【解析】试题分析：对于①命题“若)(x f 是周期函数，则)(x f 是三角函数”的否命题是“若)(x f 不是周期函数，则)(x f 不是三角函数”，①错；对于②,命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-≤” ,②错；对于③，在ABC ∆中，当B A sin sin >时，由正弦定理sin sin a bA B=有a b >，由大边对大角有A B >,当A B >时,得a b >，由正弦定理有B A sin sin >，所以“B A sin sin >”是“B A >”成立的充要条件, ③正确；对于④，举例函数2()(2016)f x x =-，在)2017,2015(上有零点2016x =，但(2015)(2017)10f f ⋅=>不符合.故只有1个正确. 考点：1.四种命题的形式；2.特称命题的否定形式；3.充分条件与必要条件的判断；4.函数零点存在定理.【易错点晴】本题分为4个小题,都是对平时练习中易错的知识点进行考查,属于基础题.在①中,注意命题的否定与否命题的区别；在②中,是对特称命题的否定,已知:,()p x M p x ∃∈,否定:,()p x M p x ⌝∀∈⌝；在③中,注意正弦定理和大边对大角、大角对大边的运用；对于④,是考查零点存在定理,要说明这个命题是错误的,只需举出一个反例即可. 2．D 【解析】试题分析：当4,6==n m ，满足m n >,所以lg()lg101y m n =+==,输出结果为1,故选D. 考点：程序框图. 3．A 【解析】试题分析：由图象可知24,2612T ππππωω⎛⎫==+=∴= ⎪⎝⎭，由此可知()()2sin 2f x x ϕ=+，所以2sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,3k k πϕπ=-∈Z 又2πϕ<，所以3πϕ=-，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()17502sin 2sin 23,1232f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A. 考点：正弦函数的图象与性质. 4．B 【解析】试题分析：因为函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(1)(2x x f x e x f x ，所以()()()0010,1011,f e f f =-==+=()2f =()()()()()()()112,3213,4314,5415,f f f f f f f +==+==+==+=函数x x f x p -=)()(的零点即是()0f x x -=的根，所以3453542,3,4,2x x x x x x ===+=，故选B.考点：1、分段函数的解析式；2、函数的零点与方程的根之间的关系.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点与方程的根之间的关系，属于难题判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1)直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数,本题就利用了方(1)直接求解方程根的. 5．B 【解析】 试题分析：xx x x e ax ax e e ax axe x f 12)()1(2)(222--=+-='，所以函xe ax ax xf x f xg 12)(2)()(2++=+'='，因为)(x g 在]1,1[-上是单调函数，则当11≤≤-x 时，0)(≥'x g 恒成立或0)(≤'x g 恒成立.又因为01)0(>='g ，所以当11≤≤-x 时，0)(≤'x g 恒成立必定无解.所以必有当11≤≤-x 时，0)(≥'x g 恒成立，设12)(2++=ax ax x ϕ，当0=a 时，1)(=x ϕ成立；当0>a 时，由于)(x ϕ在]1,1[-上是单调递增，所以0)1(≥-ϕ得1≤a ；当0<a 时，由于)(x ϕ在在]1,1[-上是单调递减，所以0)1(≥ϕ得31-≥a .综上：131≤≤-a .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数. 本题是利用③求解实数a 的取值X 围为的. 6．B 【解析】试题分析：因为12e e ⊥,所以120e e ⋅=,()()()222221212221222442424545a b a ba ab b e e e e e e e e +=+=+⋅+=-+-⋅+=+⋅=．考点：向量的数量积运算． 7．A 【解析】试题分析：由已知函数21()ln(1||)1f x x x=+-+的定义域为()(),R f x f x -=∴函数()f x 为偶函数，且当0x >时，函数21()ln(1||)1f x x x =+-+单调递增，则根据偶函数的性质可知要使()(21)f x f x >-，则221()(21)21(21)13f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<，选A 考点：函数恒成立问题【名师点睛】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于中档题．解题时根据偶函数的性质得到()(21)21f x f x x x >-⇔>-是解题的关键 8．B 【解析】 试题分析：作出函数)(x f 图像（略），方程()0f x a +=有三个互不相等的实根等价于函数)(x f y =与直线y a =-图像有三个交点，由图像易知12a -<<-.当方程()0f x a +=存在三个不等的实根123x x x ，，时，其中有两根在区间[03π，）内，关于6x π=对称；一个根在区间10-（，）内，故321x x x ++的取值X 围是)3,13(ππ-，故选B.考点：分段函数的概念；指数函数、正弦函数的图象；数形结合思想；函数方程的概念. 9．B 【解析】试题分析：∵f 1ln 112ln220=+-=-（）（）＜，而f 2ln31lne 10=--=（）＞， ∴函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在区间是 （1，2），故选B ． 考点：函数的零点的判定定理. 10．D 【解析】试题分析：因为(4)()f x f x -=所以此函数为周期函数，且周期为4；因为在区间[0，2]上()f x x =，且函数()f x 为定义在上的偶函数，则在区间[20]-，上()f x x =-；当[]0,10x ∈时函数图像如图所示；要使方程有三个不同的根则有，解得610a <<.故选D.考点：函数的奇偶性和单调性. 11．B 【解析】试题分析：因为()010f =-<，()110f e =->，所以函数零点在区间()0,1.故选B. 考点：函数零点的判定定理. 12．B 【解析】试题分析：由题去绝对值的得：22222222222222221,111x y a b x y a b y x b a x y a b ⎧-=⎪⎪⎪+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪+=⎪⎩第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合方程可得图像，则易得：B 正确。
河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(七)
某某定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（七）评卷人得分一、选择题：共12题每题5分共60分1．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是（ ）A ．122-+ B ．122+ C ．1 D ．2 2．已知非零向量,a b 满足2a b = ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值X 围为（ ） A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |=（ ）A.8B.10C.14D.16 4．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--5．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x ya +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．12 C ．7 D ．13 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1)xf x e x =-；②函数()f x 有2 个零点； ③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞；④12,x x R ∀∈，都有12()()2f x f x -<． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值X 围为（ ）A ．(1,2)B ．(1,10)C ．(2,10)D ．(5,10) 8．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t-≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t -+的取值X 围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A 13 B 15 C ．2 D 310．已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值X 围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．3 C ．332 D ．2 12．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的，则m n 的值为（ ）ABC ．1D ．2评卷人得分二、填空题：共4题每题5分共20分13．若函数()33f x x x =-，则函数()f x 在[]0,2上的最小值为________．14．等腰直角三角形ABC 中，90,2,A AB AC D =︒==是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则()AD AB AC ⋅+=．15．如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为.16．直线y=a 与函数f （x ）=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值X 围是． 评卷人得分三、解答题：共8题共70分17．已知函数()2xe f x ax bx c=++，其中,,a b c R ∈.（1）若1,1,1a b c ===，求()f x 的单调区间；（2）若1b c ==，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，某某数a 的取值X 围；（3）若0,0,1a b c >==，若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()212112e f x f x a +<+<. 18．已知函数(),,nf x nx x x R =-∈其中, 2.n N n *∈≥（1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为(),y g x =求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实根12,,x x 求证：1221ax x n-<+-. 19．已知函数2(1)1()(0)(2x f f x e f x x e e '=⋅-⋅+是自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式 （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)2，点(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．21．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，其四个顶点组成的菱形的面积是42O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）求线段AB 长度的最小值；（3）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.22．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西030且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇. （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 23．已知向量(3sin,1)4x m =，2(cos ,cos )44x xn =.（1）若1m n ⋅=，求2cos()3x π-的值.（2）记()f x m n =⋅在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足(2)cos cos a c B b C -=，求()f A的取值X 围.24．某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x ,那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。
精选高三数学下学期开学考试试题
河北定州2016-2017学年第二学期高三数学开学考试一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是（ ） A ．若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3 C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 D．若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 2．已知集合{}0,1,A a =，{}22,B a =，若{}0,1,2,3,9A B =,则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知角α终边上一点P （-4，3），则sin()2πα+的值为（ ）（A ）45-（B ）35-（C ）45（D ）354．已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（ ）.A ①④②③.B ①④③②.C ④①②③.D ③④②①5．.在ABC ∆中，若2a c ==，120B =︒，则边b =（ ）A.B.C.16．设函数:f ++→N N 满足:对于任意大于3的正整数n ，()3f n n =-,且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数()f x 的个数为（ ）A.1B.3C.6D.87．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为 （ ） A ．-1 B ．1 C ． 3 D ．-38．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是奇函数但不是减函数C ．是减函数但不是奇函数D ．不是奇函数也不是减函数10．已知等边ABC ∆的两个顶点()()0,0,4,0A B ，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是（ ）A ．y =B ．)4y x =-C ．)4y x =-D ．)4y x =+11．若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 112．已知随机变量2(3,),(2)0.3,(24)N P P ξσξξ<=<<服从正态分布且则的值 等于（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.4二、填空题13．.函数)3(sin 12π+-=x y 的最小正周期是__________14．数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 01020-⋅⋅⋅n …的前_____项和为最大？15．曲线C 上的点到12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为4，则曲线C 的方程是16．长方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3=CE ，935cos =∠ACE ，且四边形11A ABB 为正方形，则球O 的直径为. 三、解答题17．为考察高中生的性别与是否喜欢体育课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生,得到如下22⨯列联表：（1）根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”？ （2）若采用分层抽样的方法从不喜欢体育课的学生中随机抽取5人,则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中，再随机抽取3人,该3人中女生的人数记为ξ,求ξ的数学期望. 18．为把中国武汉大学办成开放式大学，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者从事兼职导游工作，将这20志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：厘米）若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”且只有文学院的“高个子”才能担任兼职导游。
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河北定州中学2015—2016学年度第二学期开学考试
高三年级 理科数学试卷
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
( )
A. {X 0＜ x ＜1}
B. {X X ＜ 0 }
C. {x x ＞ 2 }
D. {x 1＜x ＜2} 2.在复平面内，复数Z 满足Z （1 + I )= |1+I |，则
z 的共轭数对应的点 ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.在各项均为正数的等比数列{A N }中，若a m+1 • a m-1 = 2a m (m(m ≥2)，数列{A N }的前N 项积为T N ，若T 2m-1—1=512,则M 的值为（ ） A.4 B. 5
C. 6
D.7
)(
A. [0, 2
] B. [-2,2] C. [-2,1] D. [-2,2]
5.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是
A. 2
B. 2
1C. -1 D. 1 在二项式（
+
项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
7.所对边的边长，若cos A + sin A- B
A sin cos 2
+=0,
则
c
的值是 2
3
D. 2
8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示 (单位:cm)，则该几何体的体积为( ) A. 120 cm 3
B. 80 cm 3
C. 100 cm 3
D. 60 cm
3 9.在△ ABC 中，BC=5，G ，O 分别为AABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.上述三种情况都有可能
10.平行四边形ABCD 中，· = 0，沿BD 将四边形折起成直二面角A — BD — C ，且 2AB 2
+|BD |
2
=4，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为
（ ）
A . 4
π C .4π D
.2π
11.已知双曲线C 的方程为
42
x
一
双曲线C 上点 P(x 0,y 0 ) (x 0 ＞0，y 0＞0)
满足 1
1
1PF MF PF ⋅
=
F
F MF
F F 221
1
1
∙
1
21
1
2F F MF F F ⋅
，则S △
PMF 1 - S △PMF 2 = ( )
A -1 B. 1 C. 2 D. 4 12.定义在 R 上的函数 f (X )满足 f (x + 2) =
2
1
f (X )，当 x ∈ [0,2)时，f (x )= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤---21,2
10,221|
23
|12
x x x x , 函数G （x)=x 2+3x 2
+m , 若∀s ∈ [ - 4，-2)，∃t ∈ [ - 4，
-2)，不等式F (S )—G (T )≥0成立，则实数M 的取值范围是
（ ） A. (∞-，-12] B. (∞- ，-4] C. (∞- ，8] D .( ∞-] 第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设a =
x 0
(sin x —1 + 2cos
2
2π)dx ，则(a-x
1)6• (x 2
+2 )的展开式中常数项是
( )
14.以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样,
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,
③某项测量结果ξ服从正态分布N (1，a 2
),P(ξ≤5)=0.81，则P ξ ≤ 3) =0.19,
④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系” 的把握程度越大。
以上命题中其中真命题的个数为 .
15.已知圆C ：(x -3) 2
+ (y —4) 2
= 1和两点A( -m ，0)，B(m ，0) (m ＞0)，若圆上存在点P ，使得 ∠APB —90°，则m 的取值范围是 .
16.f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)—f'(x) ＜1，f(0) = 2016,则不等式f(x) ＞2015 • e x
+ 1(其中e 为自然对数的底数）的解集为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a= (S n ，1)，b= (2n
— 1, 2
1
),满足条件a ∥b, (1)求数列{a n }的通项公式,
(2)设函数f(x)= (
21)x ，数列{b n }满足条件b 1=1,f(b n+1) = )
1(1--n b f . ①求数列{bn}的通项公式,
②设Cn =n n
a
b ， 求数列{ Cn }的前n 项和Tn.
18.(本小题满分12 分）
如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA 丄底面ABCD ，AB 垂直于AD 和 BC ，SA=AB = BC=2，AD = 1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM//平面SCD,
(2)求平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的余弦值,
(3)设点N 是直线CD 上的动点
，MN 与平面SAB 所成的角为0，求sin θ
的最大值.
19.(本小题满分12分）
(1)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表(单位•人):
(1)能否据此判断有97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5 — 7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6 - 8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率,
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X). 附表及公式
20.(本小题满分12分）
已知椭圆C: 22a x + 22
b
y = 1(a ＞b ＞0) 的离心率为21，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半
径的圆与直线x-y + 12 = 0相切. (1)求椭圆C 的方程,
(2)设A( -4,0)，过点R （3,0)作与X 轴不重合的直线L 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ
分别交直线M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为k 1，K 2 ,试问: k 1 K 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
21.(本小题满分10分)选修4一5 :不等式选讲
已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .
(1)求f(x)的单调区间,
(2)若k ∈Z ，且f(x-1)+x ＞k (1-3 )对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值, 1 -
2
明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE
交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.
(1)证明：DB = DC;
(2)设圆的半径为1，BC=3,延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆 的半径.
23.(本小题满分10分)选修4一4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:
ρsin θ = 2acos θ (a ＞0)，过点P( —2，一4)的直线L 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 224222 ,T (为参数），直线L 与曲线C 分别交于M ，两点.
(1)写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线L 的普通方程 ； (2)若PM, MN ,PN 成等比数列，求实数A 的值.
24.(本小题满分10分)选修4一5 :不等式选讲 已知函数 f(x)=| x + 1 | + 2 |x —1 | . (1)解不等式,f (x) ＜4 ;
(2)若不等式f(x) ≥ | a + 1|对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案及解析。