数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题
初中数学竞赛奥数基础讲座反比例函数(含解答)
反比例函数内容讲解1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质①当k>0时，函数的图象在第一、三象限，•在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加是减小；②当k<0时，•函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．3．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中，•只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式． 4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：y=kx（k ≠0）；•②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代入法解待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式y=kx中．例题剖析例1 如果函数y=k 222k k x +-的图象是双曲线，且在第二、四象限，•那么k 的值是多少？分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=kx，且k ≠0，若图象在第二、四象限，则k<0，故可求出k 的值．解：由反比例函数定义，得211221,200k k k k k k ⎧⎧=-=+-=-⎪⎨⎨<⎩⎪<⎩或所以k=-1，这时函数为y=-1x． 评注：函数y=k x m 反比例函数，则m=-1，k ≠0；若y=mkx 是反比例函数，则m=1，k ≠0．例2 函数y=kx 和y=kx（k<0）•在同一坐标系中的图象是（ ）分析：对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选（C ）． 解：（C ）．评注：由于两个函数中的k 是相同的，所以可以把k 分为两类进行讨论，当k>•0时的图象是什么？当k<0时的图象是什么？例3 如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线，x 轴，•正比例函数与垂线所围成的Rt △AOB 的面积是k 的一半． 解：105．评注：若k 取大于0的自然数1，2，3，……n ，则对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，S 3……S n ，则S 1+S 2+S 3+……+S n =(1)4n n ． 例4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图）•，•则四边形ABCD•的面积为________．分析：易知四边形ABCD 是一平行四边形，故可知其面积为S 的4倍，为一常数． 解：函数y=x 与y=1x的图象交点A 、C 的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以△AOB•的面积等于12，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2．评注：理解反比例函数中的不变量k 的几何意义是解题的关键． 例5 两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是1，3，•5，•…，•共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q 1（•x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．分析：解题关键是抓住点P 1，P 2，P 3，…，P 2005与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同．解：当点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在函数y=6x的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，...，4009•时相应的横坐标分别为666,,135， (6)4009．Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005）在函数y=3x的图象上，•且这些点的横坐标分别与点P 1，P 2，P 3，…，P 2005的横坐标相同，点Q 2005横坐标是64009．所以点Q 2005的纵坐标是y 2005=k x =34009624009． 评注：本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力．此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”．例6 设函数f （x ）对所有非零实数x ，有f （x ）+2f （1x）=3x ，求方程f （x ）=f （-x ）的解．分析：通过观察，发现x 与1x 互为倒数，把1x 换成x 后可得到关于f （x ）和f （1x）的两个方程，可以求解．解：由f （x ）+2f （1x ）=3x 得f （1x ）+2f （x ）=3x ， 联立两式，消去f （1x ），得3f （x ）=6x -3x ，所以f （x ）=2x-x ．从而方程f （x ）=f （-x ），可化为2x -x=-2x+x ，解得：x=经检验是方程的解．评注：本题由于方程比较特殊，抓住x 与1x互为倒数的特点是解题的关键．例7 反比例函数y=kx（k>0）在第一象限内的图像如图所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．设△POQ 的面积为S ，•那么S 的值与k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S 与k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由．分析：因为S △POQ =12·OQ ·PQ ，若设P 点坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │，又因为P•点在第一象限，所以x>0，y>0，因此可以得到S △POQ =12xy ，而由y=kx可以得到xy=k ，•于是可以确定S 与k 的关系式． 解：S 与k 之间的关系式为S=12k ， 设P 点的坐标为P （x ，y ），则OQ=│x │，PQ=│y │． ∵点P 在第一象限内，∴x>0，y>0， ∴OQ=x ，PQ=y ．∴S△POQ=12·OQ·PQ=12xy．又∵xy=k，∴S△POQ =12k．评注：反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握．例8如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．分析：由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=12x上，可以求得P•点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6）．又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）•代入即可求出一次函数的解析式，•△POQ的面积可以分成△PON与△QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到．解：（1）∵点P在反比例函数y=12x的图像上，且其纵坐标为6．∴12x=6解得x=2，∴P（2，6）．又∵点P在函数y=kx+4的图像上，∴6=2k+4，解得k=1．∴所求一次函数的解析式为y=x+4．（2）解方程组12124,62122, 6.,y x x x y y y x =+⎧=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎪⎩得 ∴点Q 的坐标为（-6，-2）． 令y=0，代入y=x+4，解得x=-4．∴函数y=x+4的图像与x 轴的交点是N （-4，0）．∴△PON 和△QON 的公共边ON=4，ON 边上的高分别为PA=6，QB=2． ∴S △POQ =S △PON +S △QON =12×4×6+12×4×2=16． 评注：本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键．例9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，•请根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）•药物燃烧时，•y•关于x•的函数关系式为________，•自变量x•的取值范围是__________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________．（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，•那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10•分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，•同时要学会看图形．解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数设y与x的解析式为y=kx（k≠0）∵点（8，6）在直线上，∴6=8k，∴k=34，∴y与x的解析式为y=34x（0<x≤8）．药物燃烧后函数为反比例函数设y与x的解析式为y=`kx（k′≠0），点（8，6）在曲线上，∴k′=8×6=48．∴y与x的解析式为y=48x（x>8）．（2）将x=1.6代入反比例函数解析式中y=481.6=30（分钟）答：从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室．（3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>10．即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，∴这次消毒有效．评注：本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．•解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型．例10 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？分析：观察表格发现“投入技改资金x ”与“产品成本y ”的积不变，•故表中数据满足反比例函数关系．解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6 7.2 2.5 2.46313.2k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ∴一次函数解析式为y=-2.4x+13.2． 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式 左边≠右边，∴其不是一次函数． 同理，其也不是二次函数． 设其为反比例函数，解析式为y=kx当x=2.5时，y=7.2可得7.2=2.5k，得k=18 ∴反比例函数为y=18x ． 验证：当x=3时，y=183=6，符合反比例函数．同理可验证：x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立．∴可用反比例函数y=18x表示其变化规律． （2）解：①当x=5万元时，y=185=3.6．∵4-3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2004年降低0.4万元．②当y=3.2时，3.2=18x，得x=5.625，∵5.625-5=0.625≈0.63（万元）．∴还需投入0.63万元．评注：这是一道渗透新课程理念的好题．它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付诸于具体实际的应用问题之中．较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力．例11 已知，如图所示，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，•点C在y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）的图像上，点P（m，n）是函数y=kx上的任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当S=92时，求点P的坐标；（3）写出S关于m的函数关系式．分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．解：（1）依题意，设B点坐标为（x0，y0）．所以S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3即B（3，3），所以x0y0=k，k=9；（2）①P （m ，n ）在y=9x上，S 正方形OEP1F =mn=9，所以S矩形OAGF =3n ，由已知可得S=9-3n=92，解得n=32，m=6，•所以P 1（6，32）． ②如图（a ）所示，同理可求得P 2（32，6）．（3）如图（b ）所示，当0<m<3时，因为点P 坐标为（m ，n ），所以S 矩形OEGC =3m ，S=S 矩形OEPF -S 矩形OEGC所以S=9-3m （0<m<3）如图（c ）所示，当m ≥3时，因为P 点坐标为（m ，n ） 所以S 矩形OAGF =3n ，mn=9，n=9m，所以S=9-3n=9-27m ． 评注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，•还应注意图形的分类讨论．例12 三个反比例函数（1）y=1k x ；（2）y=2kx ；（3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，•由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系．分析：由图象所在的象限可知：k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 与k 的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b 和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 解：k 3>k 2>k 1．评注：比较反比例函数的系数k 的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、•三象限的k 值比图象在二、四象限的k 值大，同一个象限内图象在外部的k•值比在内部的k 值大． 例13 已知点（1，3）在函数y=kx（k>0）的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E•是对角线BD 的中点，函数y=kx（k>0）的图象．经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m ．（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值．分析：由点P 在反比例函数上，可以先求出k 值，利用对称性可以求出点C 的坐标． 解：（1）因为点（1，3）在函数y=kx（x>0）的图象上， 所以3=1k，所以k=3； （2）因为点E 在函数y=3x 的图象上，所以E 点的纵坐标为3m．所以点E 的坐标为（m ，3m ），•设B 点的坐标为（b ，0），所以A 点的坐标为（b ，6m）． 因为A 点在函数y=3x 的图象上，所以6m =3b ，所以b=2m．所以C 点的横坐标为OB+BC=b+2（m-b ）=2m +2（m-2m ）=2m +m=32m ；（3）当∠ABD=45°时，│AB │=│AD │，所以6m =32m -2m=m ．所以m 2=6，又因为m>0，所以评注：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系．例14 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，•将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x的图象上，求点C 的坐标．分析：通过画图可发现：点A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B 、C 的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性． 解：本题共有4种情况．（1）如图①，过点A 做AD ⊥BC 于D ，∵AB=1，∠B=60°，∴BD=12，AD=2，∴点A 的纵坐标为2．将其代入y=x ，得x=2，即OD=2． 在Rt △ADC 中，DC=32，所以OC=72，即点C 1的坐标为（72，0）．（2）如图②，过点A 作AE ⊥BC 于E 则AE=2，OE=2，CE=32，所以OC=12．即点C 2的坐标为（12，0）．• 根据双曲线的对称性，得点C 3的坐标为（-72，0），点C 4的坐标为（-12，0）．所以点C 的坐标分别为：（72，0）、（12，0）、（-72，0）、（-12，0）．评注：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口．此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能． 巩固练习一、填空题1．若一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则抛物线y=x 2+kx+b•的对称轴位于y•轴的_______侧；反比例函数y=kbx的图象在第_______象限，在每一个象限内，y 随x•的增大而________． 2．反比例函数y=kx的图象经过点A （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，则A 点坐标为________． 3．如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．4．已知，点P （n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题： （1）点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是（n ，-2n ）；（2）点P 到原点O ； （3）直线y=-nx+2n 不经过第三象限； （4）对于函数y=nx，当x<0时，y 随x 的增大而减小；其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号） 二、选择题5．已知反比例函数y=1mx的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ） （A ）m<0 （B ）m>0 （C ）m<12 （D ）m>126．已知反比例函数y=kx的图象如图（a ）所示，则二次函数y=2k x 2-x+k 2的图象大致为（ ）7．函数y=-ax+a 与y=ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）8．如图，A 、B 是函数y=1x的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD•⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么（ ）（A ）S=1 （B ）1<S<2 （C ）S>2 （D ）S=29．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=4x（x>0）的图象相交于点A 、B ，•设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ） （A ）4，12 （B ）8，12 （C ）4，6 （D ）8，6 三、解答题10．如图，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，•且与反比例函数y=mx（m ≠0）的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．11．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=kx的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．12．已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数图像经过（a ，b ），（a+•1，b+k ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．13．反比例函数y=kx的图象上有一点P（m，n），其中m、n是关于t•的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点O，则该反比例函数的解析式为________．14．老师给出一个函数y=f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_______．15．已知反比例函数y=12x的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P（m，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和a+2，求a 的值．16．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？17．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．（1）求证：AF×BE=1；（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．18．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为（x，y），其中x>0，y>0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵a2+22ka=（a-ka）+2k（k为常数且k>0，a≠0），且（a-ka）2≥0，∴a2+22ka≥2k，∴当a-ka=0，•即a=a2+22ka取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小？并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m<0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的16？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．19．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．答案:一、1．右，二、四、增大 2．（-2，-2） 3．2 4．②、③、④二、5～9．CDCDA三、10．（1）A （-1，0），B （0，1），D （1，0）；（2）y=2x，y=x+1． 11．（1）将N （-1，-4）代入y=k x 中得到k=4，反比例函数的解析式为y=4x， 将M （2，m ）•代入解析式y=4x 中得m=2， 将M （2，2），N （-1，-4）代入y=ax+b 中，224a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得a=2，b=-2，• 一次函数的解析式为y=2x-2．（2）由图象可知：当x<-1或0<x<2时反比例函数的值大于一次函数的值．12．（1）k=2，y=1x； （2）解方程组121,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得x 1=1，x 2=-12（舍去）， 从而y=1，点A 的坐标为（1，1）；（3）符合条件的点P 存在，有下列情况：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OP 1=P 1A •得P 1（1，0）；②若OA 为腰，AP 为底，则由P 2（0），P 30）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由OP=2，P 4（2，0）．13．y=2x-． 14．可填入的答案为：y=1x （x>0）或y=-x+2或y=（x-2）2或y=│x-2│等均可． 15．（1）y=32x-7；（2）A （32a ，a-7），B （a+2，32a-4），C （a+2，122a +），D （a ，12a）． 由AB=CD ，得22+32=22+（122a +-12a）2， 即（122a +-12a）=±3，解方程得a=-4，a=2均为所求的值． 16．（1）由已知市场处于平衡，此时y=z 得100000x +6000=400x （x-25）（x+10）=0， ∴x 1=25，x 2=-10（•舍去），把x=25代入z=400x 中，得z=10000（千克）．• 一段时间内该地区农民的总销售收入=25×10000=250000（元）．（2）∵需求函数关系未变，∴平衡点仍在需求函数图象上．由已知此时价格为（a+25）元/千克，代入y=100000x +6000中得： 此时的需求数量y 1=10000025a ++6000（千克）． 又∵此时市场处于平衡，生产数量z 1=需求数量y 1， ∴此时的总销售收入为：（a+25）·（10000025a ++6000）=250000+6000a （•0<a<25）． ∴农民总销售收入增加了（250000+6000a ）-250000=6000a （元）．17．（1）过点E ，F 分别作y 轴，x 轴垂线，垂足分别为D 、C ，则△AOB ，△FCA ，△DBE•为等腰直角三角形．设P （x 0，y 0），则FC=y 0，DE=x 0，0，∴AF·0=2x 0y 0， 又y 0=012x ，即2x 0y 0=1，∴AF ·BE=1； （2）平行于AB 的直线L 的解析式为y=-x+b ，设L 与双曲线的惟一公共点Q 的坐标为（x ，y ）．联立12y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 得2x 2-2bx+1=0，由△=4b 2-8=0，得所以x=2，y=2，即Q 点的坐标为（2，2）． 18．（1）y=9x ，x>0； （2）S=π（x 2+y 2）=π [x 2+（9x ）2]≥18π， 当且仅当x=9x ，即x=3，S 最小=18π，此时，y=9x=3， 所以当点A 的坐标为（3，3）时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π．（3）存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，由已知得A （3，3），Q （0，2），P （-2m，0）， ∴S △PAQ =S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ =12 [（-2m +3）×3-1×3-2×（-2m ）]=3-1m． ∴3-1m =16×36，解得m=-13．19．（1）E （a ，1-a ），F （1-b ，b ）（2）当PM 、PN 和线段AB 相交时，S △EOF =S △AOB -S △AOE -S △BOF =12×1×1-12×1×（1-a ）-12×1×（-b ）=12a b +-．• 当PM 、PN 中一条与线段AB 相交，另一条与线段AB 的延长线相交时，也可求得S △EOF =12a b +-． （3）△AOF 一定和△BOE 相似，∵OA=OB=1，∴∠OAF=∠EBO ，，，∴点P在函数y=12x图象上，∴b=12a，即：2ab=1．∴AF OAOB BE=，∴△AOF∽△BEO．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF中，∠EOF=45°，∵△AOF和△BOE一定相似，•∴∠AFO=∠BOE而∠AFO=∠B+∠BOF，∠BOE=∠BOF+∠EOF，∴∠EOF=45°．。
【初中数学竞赛】 专题04 函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练(全国竞赛专用)解析版
【初中数学竞赛】专题04函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与y 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（）A ．1-B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-【答案】B【详解】解因0x =时，4y =-代入函数关系得2432k k -=+-，即(1)(2)0k k ++=，所以1k =-或2k =-．故应选D ．注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定10k +≠，从而错误地选择了B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b b y a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2y x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -【答案】B【详解】OAC OBD POOD PAOB S S S S =-- 长方形四边形．设(,),(,),(,)P a b A c d B e f ，则122,,ab k cd k ef k ===，所以12212111111222222PAOB S PC PD AC OC BD OD ab cd ef k k k k k =⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=--=-四边形．故选：B ．4．（2021·全国·九年级竞赛）若a b ¹2ab a b --）．A a b B ．a b -C a b--D ．0【答案】C【详解】依题意0,0a b ≤≤，所以22()ab a b a b a b --=-+-=-+-．故选：C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=，①且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ．②6．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，123A A ===4,k A A == ，已知1002005A=，则n 的值为（）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．41007．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（）A ．1h <B ．1h =C ．12h <<D ．2h >【答案】B【详解】解设A 的坐标为()2,a a ，点C 的坐标为()2,(|||| )c c c a <，则B 点的坐标为()2,a a -．由勾股定理可得()22222()AC a c a c =-+-，()22222()BC c a a c =++-，则22222(2)4AC BC AB a a +===，于是()()222222224a c a c a ++-=，即()22222a c a c -=-．由于22a c >，所以221a c -=，即斜边上的高h =（A 的纵坐标）-（C 的纵坐标）221a c =-=．注：（1）如图仅画出了0c a <<的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用勾股定理可得计算A 与B 的距离的公式为()()2222121AB x x y y =-+-．8．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c<a<bD ．不确定9．（2021·全国·九年级竞赛）设4,,1r a b c r r ≥=-==+是（）．A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】D10．（2021·全国·九年级竞赛）+，且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（）对．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．12．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________．【答案】20【详解】解因两条抛物线都与x 轴相交，故其判别式218a b =- 及22(2)4b a =- 都不小于零，即22222280,8,8440a b a b a b a b b a b a ⎧⎧-≥≥⎪⇒⇒+≥+⎨⎨-≥≥⎪⎩⎩．因,a b 都是正数，所以423(8)64644a b a a a ≥≥⇒≥⇒≥，及242b a b ≥≥⇒≥，所以22224220a b +≥+=，即22a b +的最小值为20．故应填20．注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常数，从而求出其最值．14．（2021·全国·九年级竞赛）代数式110x 的最小值是_______．15．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．16．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，点A C 、都在函数0)y x =>的图象上，点B D 、都在x 轴上，且使得OAB ,BCD △都是等边三角形，则点D 的坐标是_______．三、解答题17．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．18．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<．【答案】见解析【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明：()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ．21．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x，如果7=，那么10=的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．22．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值．【答案】5【详解】解()()()22222692445T x xy y y yz z z z =-++-++-++222(3)()(2)55x y y z z =-+-+-+≥．当6,2x y z ===时，T 取最小值5．注：例2~3中求最值的方法是常用的配方法．23．（2021·全国·九年级竞赛）求0x >时，228x x y x-+=的最小值．24．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了描点作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，取了自变量7个值：127x x x <<⋯<且213276x x x x x x -=-=⋯=-，分别计算了y 的值列出下表：x1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y51107185285407549717但由于粗心算错了其中一个y 值，请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理由．【答案】549是被算错y 的值，应该是551，理由见解析【详解】解设213276,i x x x x x x d x -=-==-= 对应的函数值为(1,2,,7)i y i = ，则()()22111i i i i i i i y y ax bx c ax bx c +++∆=-=++-++()()22i i i i a x d x b x d x ⎡⎤=+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()i adx ad bd =++，故()()221122i i i i adx ad bd adx ad bd ++⎡⎤⎡⎤∆-∆=++-++⎣⎦⎣⎦可见5142∆=被算错，故6549y =是被算错y 的值，应该是()5492220551+-=．26．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++ ．27．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++ 的最小值．28．（2021·全国·九年级竞赛）函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线1x =的右侧时，k 的取值范围．【答案】不一定，2k <-【详解】解不一定，例如，当0k =时，函数化为2y x x =-，它的图象与x 轴的交点为(0, 0)和(1,0)，不都29．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 为实数，且满足2023x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，求222x y z ++的最小值．【答案】14【详解】解由20,20x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩可得4,1,x z y z =-⎧⎨=+⎩于是22222222(4)(1)36173(1)1414x y z z z z z z z ++=-+++=-+=-+≥．当3,2,1x y z ===时，222x y z ++取最小值14．30．（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形OABC 中，//OA BC ，A ，B 两点的坐标分别是(13,0)A ，(11,12)B ，动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒3个单位长的速度沿OA 方向运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿线段BC 运动，线段OB 与PQ 的交点为D ，过D 作//DE OA 交AB 于E ，射线QE 交x 轴于点F ，设P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．（2）设以P A E Q 、、、为顶点的图形面积为y ，求y 关于运动时间t 的函数关系式，并求出y 的最大值．（3）当t 为何值时，PQF △为等腰三角形？请写出推理过程．【答案】（1）134t =或132t =，推理见解析；（2）当1303t <≤时，27782y t =-；当13113t <≤时，117182y t =-，y 的最大值为2792；（3）当98t =或4或32或34时，PQF △是等腰三角形，推理见解析【详解】解（1）设(011),3QB t t OP t =≤≤=，则1313303PA t t ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭或1331311 ) 3t t ⎛-<≤ ⎝．因//OA BC ，故当且仅当PA QB =时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，所以133t t -=或313t t -=，解得134t =，或132t =．（2）过点Q 作QG x ⊥轴于G ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则12QG =．①当1303t <≤时，QPF EAF y S S =- ．又因为//,//BC OA DE OA ，所以133QB QE QD QB t AF EF DP OP t =====，故3,334EH FE FE AF QB t QG FQ FE EQ =====+．而33129,13331344EH QG PF OA AF OP t t ==⨯==+-=+-=，所以1111271312397822222y PF QG AF EH t t =⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅=-．②当13113t <≤时，QAF EPF y S S =- ，同①类似地易得3,13,9AF t PF EH ===，所以11111173121391822222y AF QG PF EH t t =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=-．由①，②知11t =时，117279181122y =⨯-=为其最大值．（3）①若QP QF =，则GP GF =．而()(11)3114GP OG OP BC BQ OP t t t =-=--=--=-，()()(313)(11)42GF OF OG OP PF BC BQ t t t =-=+--=+--=+，所以11442t t -=+，即98t =．②若PQ FP =，而(3,0),(11,12)P t Q t -，。
高中数学奥林匹克竞赛讲座：27函数
竞赛讲座27－函数1.函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.(1)求函数的定义域例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数求自变量取值范围.解-2＜x＜-1，或-1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3，且x≠0，2.例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a＞0).解由若0＜a＜时,x∈[a,1-a];若a＞时,函数关系不存在.(2)关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1).分析若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3=(x2+1)2+3(x2+1)-1，∴f(x)=x2+3x-1，∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.②换元法令 x2+1=t，则x2=t-1.由f(x2+1)=x4+5x2+3有f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.例4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，f(x+1)=2x+1［a(x+1)2+b(x+1)+c］=2·2x［(ax2+bx+c)+2ax+a+b］=2f(x)+2·2x(2ax+a+b)由f(x+1)-f(x)=2x·x2有2x(ax2+bx+c)+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2，在上式中，令x=0得 2a+2b+c=0；①令x=1得 7a+3b+c=0；②令x=2得 14a+4b+c=0.③由①，②，③解出 a=1，b=-4，c=6，∴ a+b+c=3.(3)关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.例5 对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).解∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.例6 (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数( ).(A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E)是一非零实数解 f(x)+2f=3x.①以换x得 f+2f(x)= ②由①，②两式消去f得3f(x)=-3x，∴f(x)= -x.③又由f(x)=f(-x)，将③代入得-x=+x，即 -2x=0，2-x2=0，∴x=±.故应选(B).(4)求函数值例7(1986年北京高一竞赛题)f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，求f［-1］.解设,则2t+1=,即2t2+2t=55.∴2t5+2t4-53t3-57t+54=t3(2t2+2t)-53t3-57t+54=2t3+2t2-2t2-57t+54=55t-2t2-57t+54=-2t2-2t+54=-1.∴f()=(-1)1986=1.2.正比便函数、反比便函数及一次函数例8 (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.解设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，则 y=y1+=k1x+.将x=2，x=3代入y=y1+得∴ y=5x+例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0)有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.证明若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为y=a(x-)，故∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.∵x1y2-x2y1是有理数.∴y2-y1=0，即y1=y2，∴x1y1-x2y1=0.即(x1-x2)y1=0.若y1=0，则x1=，但这与假设矛盾，故不可能.∴y1≠0，从而x1=x2也不可能.∴y=ax+b不能有两组以上的有理数的对应值.3.二次函数关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.例10(1987年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中a，b，c是三角形的三边，且b≥a,b≥c.已知x=-这个二次函数有最小值为-，求△ABC三内角A、B、C的度数.解散由题设，二次函数图象的顶点坐标是（-，-），即（）.于是①②由①得a+b=2c，代入②得（b-c）+（b-a）=0.∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0,即 a=b=c.△ABC为正三角形,A=B=C=60°.例11 (1989年全国初中数学竞赛题)如图31-1,△ABC中,D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,证明:证明由已知可得DE∥AC，进而△EBD∽△ABC∽△DAC. ①∴②③∴于是有在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的.4.其它下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题.例12 (1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为a的正三角形中,设点P、Q、R 在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设，△PQR的面积为S.(1)用x、y、z表示S；（2）求S的最大值；（3）求S取最大值时，、、的值.解（1）S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ).∵S△ABC=a2，S△AQR=z（a-y）sin60°同样S△BRP=x·(a-z),S△CPQ=y(a-x).∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)]=a2-a(x+y+z)+(yz+yx+xy)=a2-a2+(yz+yx+xy)=(yz+yx+xy). ①（2）将z=a-x-y代入①消去z得S=[(a-x-y)(x+y)+xy]=-[x2+(y-a)y+y2-ay],∴S=-)≤当x+时，上式取等号，即x=y=z=时，Smax=a2，（3）根据（2），当S取最大值时，x=y=z=.在△CPQ内，CQ=，CP=.由余弦定理得最后，我们把视线转向分段函数的极值问题.例13（1968～1969年波兰竞赛题）已知两两互异的实数a1，a2，…，an.求由式子（x 为实数）y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定义的函数的最小值.解我们首先研究一个简单的事实：设a＜b，则u=|x-a|+|x-b|=u在a≤x≤b上每一点达到最小值:-a+b. ①下面我们来研究原命题:对a1,a2,…，an重新按从小到大排序为a1′,a2′,…an′.于是，当n为偶数，即n=2m时，将原函数重新记为y=（|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|+…+|x-am′|+|x-a′m+1）.令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i.又∵每一个区间都包含着下一个区间，即[a1,an][a2,an-1+…*am，am-1]（“”读作包含，如AB，读作A包含B），因此它们的公共区间为[am，am+1].由于在区间[am，am+1]每点上所有yi都取常数最小值，为了方便令x=am 或x=am+1于是y最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1=-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an.当n为奇数时，将原函数记为y=（|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|）+…+（|x-am′|+|x-a′m+2|）+|x-a′m+1|.类似上面的讨论，当x=am+1时，y最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.练习三十一（1）（1989年全国初中数学竞赛题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子的个数为（）. （A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上（2）曲线|y|=x2-1的图象（实线部分）大致形状是（）.（3）（1984年全国竞赛题）若则下列等式正确的是（）.（A）F（-2-x）=-1-F（x）（B）（C）F（x-1）=F（x）（D）F（F（x））=-x2.填空题（1）x，y为实数，.则x+xy+x2y的值是_________.（2）（据1990年全国初中竞赛题改）方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是实数)有两个实根α、β,且0＜α＜1,1＜β＜2,那么k的取值范围是______.3.已知f(a+b)=f(a)+f(b),且f(1)=1.求的值.4.已知函数y=|x-1|+|x-3|+.试求使y值恒等于常数的x值范围.5.(1983年全国竞赛题)已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(x)≤-1,-1≤f(2)≤5.求f(3)的范围.6.已知0≤x≤1,0≤y≤1,y-x≥,且x+y+z=1,求函数W=2x+5y+4z的最大、最小值.7.（1987年浙江初中竞赛题）二次函数f(x)=ax2+bx+c其中a≠0,且a、b、c为实数.对某一常数t，如有af（t）＜0,试证:f(x)有不同的两个实数根，其中一个实根比t小，另一实根比t大.8.（浙江初中竞赛题）函数f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(4-x).若方程f(x)=0恰有三个不同的实根，求这些实根的和是多少？9.（1985年江苏东台初中数学竞赛题）若z2-2mz+m+6=0的二实数根为a、b，试求(a-1)2+(b-1)2的最小值.10.（1983年重庆初中数学竞赛题）等边△ABC的边长为a有三个动点P、Q、R分别同时从A、B、C出发沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度作匀速直线运动.已知P点由A到B需1秒，Q点从B到C需2秒，R点由C到A需3秒，在一秒钟内，问开始运动多少时间△PQR的面积最小？最小面积是多少？）11.(1985年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形ABCD边长依次为2、2、3、1.问在四边形ABCD变形为各种凸四边形的过程中,BD的长的变化范围是什么?B到DC距离的变化范围又是什么?练习三十一１．Ａ．Ｄ．Ａ．２．３．４．当５．①②（１）＋（２）得③（２）＋（３）得－１６．由z=1-x-y,∴W=4-2x+y．要求Ｗ的最大、最小值，只需求y-2x的最大、最小值．设Ｐ（x,y）是坐标适合条件的点，则Ｐ在以为顶点的内（包括边界）．设t=y-2x,则y=2x+t.由t的几何意义Ｗ最大值＝５Ｗ最小值＝４．、∈∈８．四个根之和为１６．９．先由１０．∈１１．如图（a）ＢＤ最大时，Ｂ、Ａ、Ｄ在一直线上，ＢＤ＝３.。
高中奥数竞赛试题及答案
高中奥数竞赛试题及答案1. 已知函数\( f(x) \)在区间\( [0, 1] \)上连续，且满足\( f(0)= 0 \)，\( f(1) = 1 \)，求证：存在至少一个\( x_0 \in (0, 1) \)，使得\( f(x_0) = x_0 \)。
答案：根据介值定理，由于\( f(x) \)在\( [0, 1] \)上连续，且\( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，那么对于任意\( y \)在\( [0, 1] \)内，都存在\( x \)在\( [0, 1] \)内，使得\( f(x) = y \)。
特别地，取\( y = \frac{1}{2} \)，那么存在\( x_0 \)在\( (0, 1) \)内，使得\( f(x_0) = \frac{1}{2} \)。
由于\( f(x_0) \)可以取到\( [0, 1] \)内的所有值，因此必定存在\( x_0 \)使得\( f(x_0) =x_0 \)。
2. 计算不定积分\( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx \)。
答案：首先，我们对分母进行因式分解，得到\( x^2 + 2x + 2 = (x+ 1)^2 + 1 \)。
然后，我们使用代换法，设\( u = x + 1 \)，则\( du = dx \)。
代入原积分，得到\( \int \frac{1}{(u^2 + 1)^2}du \)。
接下来，我们使用分部积分法，设\( v = \frac{1}{u^2 + 1} \)，\( dw = \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du \)，则\( dv = -\frac{2u}{(u^2 + 1)^2} du \)，\( w = -\frac{1}{u^2 + 1} \)。
根据分部积分公式\( \int u dv = uv - \int v du \)，我们得到\( \int \frac{1}{(u^2 + 1)^2} du = -\frac{1}{u^2 + 1} + C \)。
高中奥数讲座三角函数
高中奥数讲座------三角函数徐贻林１．己知)0,(),,0(22ππβαβα-∈-∈+，分别求βαβα32,,+的范围．２．己知)0(cos cos ,sin sin ≠=+=+pq q p βαβα，分别求),tan(),sin(βαβα++求)cos(βα-的值．３．己知sin(x+20o )=cos(x+10o )+cos(x-10o )，求tanx 的值．４．求值：（1）14514314sin sin sin πππ （2）sin18o cos36o ．５．己知锐角βα,满足12424sin cos cos sin =+βαβα，求证：2πβα=+．６．设πθ<<0，求)cos 1(sin 2θθ+=y 的最大值．７．判断关于x 的方程)0(1cos sin 2πααα<<=+xx 的解的个数．８． 已知对任意实数x ，均有求证：22221, 1.A B a b +≤+≤９．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C， AB sin sin 都是方程logbx=log b (4x-4)的根，则△ABC （ ）A ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形１０．已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（ ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π１１．若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定１２．若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( ) A ．sin θ=11+-b ab B ．cos θ=11+-a abC ．tan cot θθ+=)1)(1(21)1(2++-+++b a ab b aD ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a１３．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是（ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定１４．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是( )A ．[0,]4πB ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ１５．在△ABC 中，1tan 2A =，310cos 10B =．若△ABC 的最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．45B ．35C ．25D ．5１６．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4１７．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是（ ）A ．]2 ,2[-B ．]1 ,1[-C ．]3,0[D ．]3,3[-１８．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C ．则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8１９．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，求sin 3.sin θθ２０．设,,,),,2,1(R n i R a i ∈=∈+γβα 且，0=++γβα 则对任意R x ∈，求值()() ()1111111nx x x x x x i i i i i i i a a a a a a ααβββγγαγ+++=⎛⎫++ ⎪++++++⎝⎭∑２１．设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin b a b x a x +=+求值2008200820062006sin cos x x a b +．２２．在ABC Rt ∆中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是 ．２３．已知)sin 3,cos 2(ααA ，)sin 3,cos 2(ββB ，)0,1(-C 是平面上三个不同的点，且满足关系式λ=，则实数λ的取值范围是 ．２４．设cos 2ϑ=，则44cos sin ϑϑ+的值是 ．２５．若41)12(sin )12(sin 22-=--+ππx x ，且)43,2(ππ∈x ，则tanx 的值为__________.．２６．已知sin cos θθ+=52,(2π＜θ＜π),则tan cot θθ-= ．２７．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，求1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x +的最大值是．２８．在平面直角坐标系xoy 中，求函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =的图像所围成的封闭图形的面积是．２９．设α、β、γ满足πγβα20<<<<，,cos()cos()cos()0,x R x x x αβγ∈+++++=若对于任意 求.γα-三角函数赛题选讲１．己知)0,(),,0(22ππβαβα-∈-∈+，分别求βαβα32,,+的范围．解：),0()()(32),,0(),,(232125244ππππβαβαβαβα∈--+=+∈-∈２．己知)0(cos cos ,sin sin ≠=+=+pq q p βαβα，分别求),tan(),sin(βαβα++求)cos(βα-的值．解：由己知得qp qp=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+-+-+22222tan cos cos 2cos sin 2βαβαβαβαβα222222222)(12)(1)tan()sin(p q pq q p pq q p q p q p q p--++==+==+∴βαβα由己知两式平方相加得：2)cos(2cos cos 2sin sin 222222-+=-⇒+=++q p q p c βαβαβα1)cos(222-=-∴+q p βα３．己知sin(x+20o )=cos(x+10o )+cos(x-10o )，求tanx 的值． 解：sin(x+20o )=2cosxcos10o⇒sinxcos20o +cosxsin20o =2cosxcos10o ⇒sinxcos20o =cosx(2cos10o -sin20o )3tan 20cos 20sin 20sin 20cos 320cos )2030cos(220cos 20sin 10cos 2====⇒-+--x４．求值：（1）14514314sin sin sin πππ （2）sin18o cos36o解：(1)7747277sin cos coscos sin 7472777273cos cos cos cos cos cos πππππππππππ-=-=81sin sin 778212121=-=⨯⨯ππ(2)sin18o cos36o =cos72o cos36o =4136sin 144sin 36sin 72cos 36cos 36sin 41==５．己知锐角βα,满足12424sin cos cos sin =+βαβα，求证：2πβα=+证明：依题意可设θθβαβαcos sin sin cos cos sin 22==则βθαβθαsin cos cos cos sin sin 22==两式相加得)(21)sin(2Z k k ∈+=+∴=+ππβθβθ222cos sin sin cos cos sin πβαβααββθ=+⇒=⇒=⇒=∴６．设πθ<<0，求)cos 1(sin 2θθ+=y 的最大值。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
奥赛培训资料(函数问题选讲)
数奥训练题（函数问题选讲）1. 已知二次函数a x x y +-=2的图像与x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是________________________.2. 已知c b a ,,是正整数,且二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴有两个不同的交点A,B. 若点A,B 到原点O 的距离都小于1,求c b a ++的最小值.3. 已知抛物线43:21+--=x x y C 和抛物线43:22+-=x x y C 交于A,B,点P 在抛物线1C 上,且位于点A,B 之间,点Q 在抛物线2C 上,也位于点A,B 之间.点Q 在抛物线2C 上，也位于点A ，B 之间.(1)求线段AB 的长(2)当PQ ∥y 轴时,求PQ 长度的最大值.4. 抛物线)0(2 a c bx ax y ++=经过点A(33-,0),B(0,3),与y 轴交于点C,且∠ACB ≥90°,设抛物线的顶点为D,在△BCD 中,边CD 上的高为h,求a 和h 的取值范围.5. 已知抛物线)0(2a c bx ax y ++=与直线4)1(2k x k y --=,无论k 取任何实数,比抛物线与直线只有一个公共点,那么抛物线的解析式是( )442.12.2..2222+-=+-=-==x x y D x x y C x x y B x y A6. 已知二次函数222n mx x y -+=(1)若此二次函数的图像经过点(1,1)且记m, n+4两数中较大者为P,试求P 的较小值.(2)若m,n 变化时,这些图像是不同的抛物线.如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,则过这三个交点作圆,证明:这些圆都经过同一交点,并求出该点坐标.7. 二次函数342+-=x x y 的顶点为P,过点(47,23-)的直线AB 与抛物线相切,且直线AB 经过第一,三,四象限,与x,y 轴分别交于A,B 两点,求点P 到直线AB 的距离.8. 已知抛物线)0,0(122:221 m a m am amx ax y C +++-=的顶点为A,抛物线2C 的顶点B 在y 轴上,且抛物线1C 和2C 关于P(1,3)成中心对称.(1)当a =1时,求2C 的解析式.(2)设2C 与x 轴正半轴交于点C,当△ABC 为等腰三角形时,求a 的值.9.已知三个自然数, 且满足为质数至少中，a ，c b a ,,⎪⎩⎪⎨⎧=-+--+-++-=-+②c a b c b a ①c b a c b a 44344322442886424)8844422(443)424(2 试求c b a ,,的值.10.已知在平面直角坐标系xoy 中,直线k kx y 432-+=与x 正半轴,y 正半轴分别交于A,B. P 是线段AB 上一点,PM ⊥x 轴于M,PN ⊥y 轴于N,则矩形OMPN 的面积最大值至少为?11.若不等式52172+-+x x ax .对11≤≤-a 恒成立,则x 的取值范围是( ).32.B x A ≤≤2≤x ＜3 C.-1≤x ≤1 D.-1＜x ＜112.已知正数2009,,,210222*********≤+++x x x x x x x x x 且满足,则58x x -的最大值为__________________.。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《函数》真题大全 (附答案)
全国各地初中（9年级）数学竞赛专题大全竞赛专题6 函数一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2B ．6C ．2或2-D ．6或6-2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2ky x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b b y a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1-B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．2510007．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988(2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤--+--⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1B ．2C ．4D ．68．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）．A ．221217x x += B ．22128x x +=C ．221217x x +< D ．22128x x +>9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h <B ．1h =C ．12h <<D ．2h >10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．4100二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则||||||||a b c abca b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则24411x x x y ++-+=的最大值是________．14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则||||a c c b -+-的值为______．16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 17．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,,,a a a 满足：12a =，2n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭102008+=，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________．18．（2021·全国·九年级竞赛）设333199519961997,0x y z xyz ==>，且2223333199519961997199519961997x y z ++111x y z++=_______． 19．（2021·全国·九年级竞赛）如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7，那么当2x =时，该式的值是_________．20．（2021·全国·九年级竞赛）函数23||7y x x =-+的图象与函数22336y x x x x =-+-+的图象的交点个数是_______．21．（2021·全国·九年级竞赛）不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是______．22．（2021·全国·九年级竞赛）如果一次函数y mx n =+与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，那么该直线与双曲线的另一个交点为________．23．（2021·全国·九年级竞赛）函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．24．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．25．（2021·全国·九年级竞赛）代数式21133110x x +的最小值是_______．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________． 三、解答题27．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 28．（2021·全国·九年级竞赛）试求1231997x x x x -+-+-++-的最小值．29．（2021·全国·九年级竞赛）当12x ≤≤2121x x x x +---30．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对每个人来讲，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小值？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯直接从楼梯上楼） 31．（2021·全国·九年级竞赛）求函数22233x y x x +=++的最大值和最小值．32．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有2个不同的交点A 和B ，若,A B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．33．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值．34．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x ，如果[]7x =，那么1610x ⎡=⎣的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．35．（2021·全国·九年级竞赛）如图，D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上任意一点，证明：,,AEF BFD CDE △△△中至少有一个三角形的面积不大于ABC 的面积的四分之一．36．（2021·全国·九年级竞赛）某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多少人在植树？37．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）． 38．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m ，n 17434m m n -+=，求n 的最大值． 39．（2021·全国·九年级竞赛）对于1,2,3,,i n =，有|| 1 i x <且有12||||||n x x x +++=122009||n x x x ++++．求正整数n 的最小值．40．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++的最小值．41．（2021·全国·九年级竞赛）平面内给定一个方向l 和一个凸图形F ，其面积为()S F ，内接于F 且有一边平行于l 的所有三角形中面积最大的记为，其面积记()S ．求最大正实数c ，使对平面内任意给定的凸图形F ，都有()()S c S F ≥⋅．42．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 是正数且1x y z ++=，比较149A x y z=++与36B =的大小，并问A 能否等于B ?43．（2021·全国·九年级竞赛）（1）证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2,,a a b c -都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论．44．（2021·全国·九年级竞赛）已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点(5,2)-，且对任意实数，这三个函数对应的函数值123,,y y y ，都有132y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．45．（2021·全国·九年级竞赛）点(4,0),(0,3)A B 与点C 构成边长是3,4,5的直角三角形．如果点C 在反比例函数ky x=的图象上，求k 可能取到的一切值． 46．（2021·全国·九年级竞赛）已知一次函数y ax b =+的图象经过点(3,32),(3),(,2)A B C c c --，求222a b c ab bc ca ++---的值．47．（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形OABC 中，//OA BC ，A ，B 两点的坐标分别是(13,0)A ，(11,12)B ，动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒3个单位长的速度沿OA 方向运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿线段BC 运动，线段OB 与PQ 的交点为D ，过D 作//DE OA 交AB 于E ，射线QE 交x 轴于点F ，设P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．（2）设以P A E Q 、、、为顶点的图形面积为y ，求y 关于运动时间t 的函数关系式，并求出y 的最大值． （3）当t 为何值时，PQF △为等腰三角形？请写出推理过程．48．（2021·全国·九年级竞赛）已知抛物线21:34c y x x =--+和抛物线22:34c y x x =--相交于A ，B 两点，点P 在抛物线1c 上，且位于点A 与点B 之间；点Q 在抛物线2c 上，也位于点A 与点B 之间． （1）求线段AB 的长；（2）当//PQ y 轴时，求PQ 长度的最大值．49．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 为实数，且满足2023x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，求222x y z ++的最小值．50．（2021·全国·九年级竞赛）函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线1x =的右侧时，k 的取值范围．竞赛专题6 函数答案解析一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2 B ．6C ．2或2-D ．6或6-【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：2420x x y -+，2420x x y -+=，240x -，20x y +=，即2,2x y x =±=-，于是()236x y x x x -=--==或6-． 故选：D ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2ky x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】OACOBDPOOD PAOB S S SS=--长方形四边形．设(,),(,),(,)P a b A c d B e f ，则122,,ab k cd k ef k ===，所以12212111111222222PAOB S PC PD AC OC BD OD ab cd ef k k k k k =⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=--=-四边形．故选：B ．3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设(,)Q a b ，则,OP a PQ b ==，且1b a=，所以111222OPQS OP PQ ab =⨯⨯=⨯=． 故选：C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b by a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解 依题意可得2220,,42,231,2,52()52338()223ba b a a b c b c a a b c ABC b a c b c b b b a c a b⎧⎪->⎧⎪>⎧⎪⎪=⎪⎪-⎪⎪=⇒+=⇒⇒+=⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪=⎩⎩⎪----=-⎪⎩是直角三角形．故应选D ．注：从前面的例题可以看出，解有关二次函数的最值问题，不仅要熟悉有关二次函数的性质，还要灵活运用相关的不等式知识、几何知识等，才能使问题得到顺利解决．5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1- B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-【答案】B【分析】 【详解】解 因0x =时，4y =-代入函数关系得2432k k -=+-，即(1)(2)0k k ++=，所以1k =-或2k =-．故应选D ．注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定10k +≠，从而错误地选择了B ．6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．251000【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】原式(20090)83(20091)83(20092008)83200920092009+⨯+⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦083183200883838383200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦083183200883083183200883832009200920092009200920092009⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯++++----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭83083183200883200983(122008)2009200920092009⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯++++----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭083183200883200983831004200920092009⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯+⨯----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭．显然，2009与83互质，083,183,,200883⨯⨯⨯除以2009有2009个不同的余数．所以，08318320088301200810042009200920092009⨯⨯⨯+++⎧⎧⎫⎧⎫+++==⎨⎨⎬⎨⎬⎩⎩⎭⎩⎭． 故原式200983831004100416674782328249075=⨯+⨯-=+=．7．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988(2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤--+--⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1 B ．2C ．4D ．6【答案】D【分析】 【详解】解：要使x 有意义，必须且只需(2)(1)0,(2)(1)0,(2)(1)0,1,110,21101a a a a a a a a a a a⎧--≥⎪⎧--=--≥⎪⎪⎪⇒≠⇒=-⎨⎨-≠⎪⎪≠⎩⎪+≠⎪-⎩． 所以1988198********05(1)1()(2)(2)1611(1)12x ⨯⨯-+=+=-=-=--+， 故x 的个位数字为6， 故选：D ．8．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）．A ．221217x x += B ．22128x x += C ．221217x x +< D ．22128x x +> 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由2244016k k =-⨯>⇒>．又因1212,4x x k x x +=-=，所以()2222121212281688x x x x x x k +=+-=->-=． 故选：D ．9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h < B ．1h = C ．12h << D ．2h >【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 设A 的坐标为()2,a a ，点C 的坐标为()2,(|||| )c c c a <，则B 点的坐标为()2,a a -．由勾股定理可得()22222()AC a c a c =-+-，()22222()BC c a a c =++-，则22222(2)4AC BC AB a a +===， 于是()()222222224a c a c a ++-=，即()22222a c a c -=-．由于22a c >，所以221a c -=，即斜边上的高h =（A 的纵坐标）-（C 的纵坐标）221a c =-=． 注：（1）如图仅画出了0c a <<的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用勾股定理可得计算A 与B 的距离的公式为()()2222121AB x x y y =-+-．10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．4100【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】2221[(1)2][(1)2]4(1)24(1)1A n n n n n +++-+=+-++=+， 2222[(3)2][(3)2]4(3)24(3)3A n n n n n +++-+=+-+=+=+， 2223[(5)2][(5)2]4(5)24(5)5A n n n n n +++-++-+++，同理451007,9,,21001199200520051991806A n A n A n n n =+=+=+⨯-=+=⇒=-=．故选：A ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 37【解析】 【分析】设等腰三角形的腰为x ，底为y ，周长被分为的两部分的长分别为n 和2n ，则222x x n x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或222x x n x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25(,),33n n x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭或4,33n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为25233n n ⨯<（此时不能够成三角形，舍去），所以4(,),33n n x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中n 是3的倍数．则三角形面积2221472336n n n S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0n ≥时，S 随着n 的增大而增大．所以3n =时．S 37 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则||||||||a b c abca b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 【答案】 4 -4 【解析】 【分析】 【详解】 因为1||a a =±，1||b b =±，1||c c =±，1||abc abc =±，所以44||||||a b ca b c -≤++≤． 当a ，b ，c 全为正时等于4，当a ，b ，c 全为负时等于4-，故其最大值是4，最小值是4-． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则24411x x x y ++-+=的最大值是________．32 【解析】 【分析】 【详解】因0x >，244222441111111x x x x y xx x x ++++==++++-+22222211121232x x x x x x+⋅+⋅等号成立当且仅当221(0)x x x =>，即1x =，所以0x >时，1y 32y 3232=+ 故答案为：0x >时，1y 32y 3232=+ 14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．【答案】1【分析】 【详解】 211(1)10211(0)y x x x x x x=-++-≥+⋅=>，等号当且仅当1x =且1x x =，即1x =时成立，故y 的最小值为1， 故答案为：1．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则||||a c c b -+-的值为______． 【答案】b a - 【解析】 【分析】 【详解】依题意，该抛物线开口向上，又当x a =或b 时，0y =．当x c =时，20y =-<，所以a c b <<，故||||a c c b c a b c b a -+-=-+-=-．故答案为：b a -．16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 【答案】43 【解析】 【分析】 【详解】因为PA CA ≤，PM CM ≤，故当P 处于BC 边顶点C 这一极端位置时，PM PA 十取最大值，最大值为32s CM CA =+=．如图4-1，作正'A BC ，设'M 为'A B 的中点，则由'PBM PBM ≌得'PM PM ，于是''PA PM PA PM AM +=+≥．连'CM ，则'ACM ∠='ACB BCM ∠+∠=603090︒+︒=︒，所以'AM =22'AC CM +=222(3)7+'7PA AM PM +≥=A 、P 、'M 共线时等号成立，即PA AM +的最小值为7t =22s t -=22(32)(7)3-=4317．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,,,a a a 满足：12a =，2n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭102008+=，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________．【答案】200620082 【解析】 【分析】 【详解】依题意11102008n n nn a a a a --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12008n n a a -= ①或11n n a a -=② 于是连续两次第②类变换互相抵消，保持原数不变，并且当连续三次变换依次是“第①类变换，第②类变换，第①类变换”时，其效果相当为进行一次第②类变换，故从12a =出发变到2008a ，一共要经过2007次变换，相当于进行若干次第①类变换和至多2次第②类变换，并且第②类变换只有第一次、最后一次进行才可能使2008a 最大．其中以前2006次进行第①类变换，最后一次进行第②类变换时，2008a 达到最大值200620082．18．（2021·全国·九年级竞赛）设333199519961997,0x y z xyz ==>，且2223333199519961997199519961997x y z ++111x y z++=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】解：因0xyz >，故3331995199619970x y z k ===>，则3331995,1996,1997k k k x y z ===， 3333333k k k k k kx y z x y z++， 两端三次方得3111111()x y z x y z++=++．又0,0,0x y z >>>，所以1111x y z++=．故答案为：1．19．（2021·全国·九年级竞赛）如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7，那么当2x =时，该式的值是_________． 【答案】17- 【解析】 【分析】 【详解】解：因为当2x =-时，535328257ax bx cx a b c ++-=----=， 所以328212a b c +=-＋，于是当2x =时，5353282512517ax bx cx a b c ++-=++-=--=-． 故答案为：17-．20．（2021·全国·九年级竞赛）函数23||7y x x =-+的图象与函数22336y x x x x =-+-+的图象的交点个数是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】第一个函数化为2237(0),37(0),x x x y x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩第二个函数化为26(03),266(03).x y x x x x ≤≤⎧=⎨-+⎩或 分别作它们的图象知，它们共有4个交点．或者分别解方程组(22237,37,(0),00)2666y x x y x x x x y x x y ⎧=++=-+<≤≤⎨=-+=⎩及2237,(3)266y x x x y x x ⎧=-+>⎨=-+⎩，可得4个交点为(1111(985,6285,(35),6,(35),6,(313),82222A B C D ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：4．21．（2021·全国·九年级竞赛）不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是______． 【答案】1y x =-- 【解析】 【分析】 【详解】二次函数化为2()1y x m m =++-，得顶点坐标为,1,x m y m =-⎧⎨=-⎩消去m 得1y x =--．故答案为：1y x =--．22．（2021·全国·九年级竞赛）如果一次函数y mx n =+与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，那么该直线与双曲线的另一个交点为________． 【答案】51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】将1,22x y ==代入,31y mx n ny x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得12,2261,m n n ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩于是1,23.n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解方程13,2312y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1,22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故另一交点为51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故答案为：51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．23．（2021·全国·九年级竞赛）函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．【答案】 2- 2 【解析】 【分析】 【详解】解 当3x ≤-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =-+-+-+=-+； 当32x -<≤-时，(1)(2)(3)y x x x x =-+-+++=-；当21x -<≤-时，(1)(2)(3)4y x x x x =-+++++=+； 当1x >-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =+++++=+．故|1||2||3|y x x x =+++++在(,2]-∞-上递减，在[2,)-+∞上递增，当2x =-时，y 取最小值2．故应填2,2-（如图）．注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数，再根据函数的增减性（一次项系数为正时递增，为负时递减）就不难得出所求函数的最大（或最小）值．如果作出其图象，那么其结果是一目了然的．②本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为||x a -表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，故|1||2||3|y x x x =+++++表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标分别为1,2,3---的点,,A B C 的距离之和．显然当P 与B 重合时，即2x =-时，这个距离之和为最小，其最小值为线段AC 的长度|(1)(3)|2---=．又如，若要求|9||8||3||1||5||6|y x x x x x x =-+-+-++++++的最小值，则它等价于求数轴上坐标为x 的点P ，分别到坐标为9,8,3,1,5,6---的各点,,,,,A B C D E F 的距离之和的最小值． 显然当P 在线段CD 上，即当13x -≤≤时，这个距离之和取最小值，并且最小值|9(6)||8(5)||3(1)|32AF BE CD =++=--+--+--=．24．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】解 令22365112x x y x x ++=++，去分母整理得 2(6)(212)2100y x y x y -+-+-=．若6y =，则①化为20=，矛盾．故6y ≠． 因为作为x 的方程①有实根x ，故()22(212)4(6)(210)410244(4)(6)0y y y y y y y =----=--+=---≥，即(4)(6)0y y --≤，解得46y ≤≤． 而6y ≠，所以46y ≤<．4y =代入①可得1x =-，故当1x =-时，y 取最小值4．故应填4．注：例5~7中求最值的方法叫做判别式法．这是求函数最值的重要方法之一．但应该注意的是，化简整理为一个关于x 的二次方程后（其余数是变量y 的函数），对其二次项系数是否为零应进行讨论，只有在二次项系数不等于零的情形才能应用判别式法（若使二次项系数等于0的y 的值存在，则这个值也是函数y 可取到的值，在求最值时，应将这个值考虑在内进行讨论）．25．（2021·全国·九年级竞赛）代数式21133110x x +的最小值是_______． 【答案】3223【解析】 【分析】 【详解】解 设21133110y x x =+，则()222(110)1133y x x +=+，即22222032233113y xy x +=⨯+⨯．关于x 的方程222322322031130x yx y ⨯-+⨯-=有实根，所以 ()()222222(220)432233113411332230y y y =--⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯≥（因为22220432234113+⨯⨯=⨯），所以3223y ≥． 当且仅当223x =y 取最小值3223 故应填322326．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】解 因两条抛物线都与x 轴相交，故其判别式218a b =-及22(2)4b a =-都不小于零，即22222280,8,8440a b a b a b a b b a b a⎧⎧-≥≥⎪⇒⇒+≥+⎨⎨-≥≥⎪⎩⎩． 因,a b 都是正数，所以423(8)64644a b a a a ≥≥⇒≥⇒≥，及242b a b ≥≥⇒≥，所以22224220a b +≥+=，即22a b +的最小值为20．故应填20．注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常数，从而求出其最值． 三、解答题27．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】分析 把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分． 证明 设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<． 若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．28．（2021·全国·九年级竞赛）试求1231997x x x x -+-+-++-的最小值．【答案】997002． 【解析】 【分析】 【详解】解：要求1219961997x x x x -+-+⋯+-+-的最小值，只要在数轴上找出x 所对应的点，使这点到1，2，3，…，1997所对应的点的距离之和最小即可． 如图1-1所示，当999x =时，原式的值最小，最小值为999199929999989999999991000999100199919969991997-+-+⋯+--+-+-+⋯+-+-＋99899721012997998=++⋯++++++⋯++(9981)99822+⨯=⨯997002=．29．（2021·全国·九年级竞赛）当12x ≤≤2121x x x x +--- 【答案】21x -． 【解析】 【分析】 【详解】解：令2121(12)A x x x x x +---≤≤，则 222212(21)21A x x x x x x =+-----22224422(2)x x x x x =--+=--()()22222241x x x x x =--=--=-，又0,12A x >≤≤，所以1A x =-30．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对每个人来讲，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小值？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯直接从楼梯上楼） 【答案】当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分 【解析】 【分析】 【详解】解易知这32人恰好是从第2层到第33层各住1人．对于每个乘电梯上下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数（事实上，设住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接上楼，s t <，则这2人不满意分数之和为3t ；若两人交换上楼方式，则2人不满意分数之和为33s t <，即不满意总分减小． 设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为3[12(33)]3(12)[12(2)]S x y x y =+++-++++++++--，其中3[12(33)]x +++-是住在第1x +层至第33层的人（共33x -人）的不满意总分之和，3(12)y +++是直接从楼梯上楼的人（共y 人）的不满意总分之和，12(2)x y +++--是从第2y +层至第1x -层的人（共2x y --人）的不满意总分之和，于是331(33)(34)(1)(2)(1)222S x x y y x y x y =--+++----222102231684x xy x y y =--+++ 222(102)231684x y x y y =-++++()221021215180308648y x y y +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭22102152(6)31631648y x y +⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭，且当27,6x y ==时，316S =．答：当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分．注：求含2个或2个以上变量的代数式的最大（小）值时，配方法是其中有效方法之一；另一种方法则是利用已有不等式将含有变量的代数式化为一个不大于（或不小于）一个常数c 的不等式，并能确定等号可以成立，则常数c 便是所求的最大值（或最小值）；第三种方法就是化为一元二次方程用判别式法（参看§5例4~7），等等．31．（2021·全国·九年级竞赛）求函数22233x y x x +=++的最大值和最小值．【答案】当2x =-时，y 取最小值2-；当0x =时，y 取最大值23，理由见解析． 【解析】 【分析】 【详解】将原式整理为关于x 的方程：2(32)(32)0yx y x y +-+-=．若0y =，则1x =-，即0y =是函数的一个值；若0y ≠，则因关于x 的方程有实根，所以2(32)4(32)(32)(324)0y y y y y y =---=---≥，即(32)(2)0y y -+≤，解得223y -≤≤．由此可看出0y =即不是最大值也不是最小值． 当2y =-时，由222233x x x +-=++，解得2x =-；当23y =时，由2222333x x x +=++，解得0x =．所以当2x =-时，y 取最小值2-；当0x =时，y 取最大值23．32．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有2个不同的交点A 和B ，若,A B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值． 【答案】11，见解析． 【解析】 【分析】【详解】设()()()1212,0,,0A x B x x x <，则1212120,0,00b x x ax x c x x a ⎧+=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪⋅=>⎪⎩． 又2402b ac b ac =->⇒>① 又因为121,1OA x OB x =<=<， 故121210,101cx x x x c a a-<<-<<⇒=<⇒<．② 因0a >，抛物线开口向上，故1x =-时，0y a b c =-+>，得b a c <+．而,b a c +均为正整数，故1a c b +≥+，于是由①得21()1a c ac a c +>⇒>，由②1a c >，即1a c >，于是22(1)(11)4a c >≥+=，所以5a ≥．又22514b ac >⨯，所以5b ≥．取5,5,1a b c ===时，2551y x x =++满足题目条件，故a b c ++的最小值为55111++=． 33．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值． 【答案】5 【解析】 【分析】 【详解】解 ()()()22222692445T x xy y y yz z z z =-++-++-++222(3)()(2)55x y y z z =-+-+-+≥．当6,2x y z ===时，T 取最小值5．注：例2~3中求最值的方法是常用的配方法．34．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x ，如果[]7x =，那么1610x ⎡=⎣的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）． 【答案】780【解析】 【分析】 【详解】因[]7x =，故2278,78x x <≤≤≤．而要使[16]10x =，即22101611,2.5 2. 75,2.5 2.75x x x ≤≤≤，故所求概率22222.75 2.25 1.31257871580p -===-． 35．（2021·全国·九年级竞赛）如图，D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上任意一点，证明：,,AEF BFD CDE △△△中至少有一个三角形的面积不大于ABC 的面积的四分之一．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明 记123,,,ABC AEF BFD CDE S S S S S S S S ====，于是11sin 21sin 2AE AF A S AE AFS AB ACAB AC A ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅．同理32,S S BF BD CD CE S BA BC S CA CB⋅⋅==⋅⋅， 所以1233222()()()S S S AF FB BD DC CE EA S AB BC CA ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 222222122264AF FB BD DC CE EA AB BC CA +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⋅⋅． 31234S S S S ． 由平均值原理得123,,S S S 中必有一个不大于S4．即证． 36．（2021·全国·九年级竞赛）某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多少人在植树？ 【答案】植树最少的那天有54人或24人植树． 【解析】 【分析】 【详解】设第4天有m 人植树，每人植树n 棵，则第4天共植树mn 棵；第3天有5m -人植树，每人植5n +棵，则第3天共植树(5)(5)m n -+棵．同理，第2天共植树(10)(10)m n -+棵；第1天共植树(15)(15)m n -+棵；第5天共植树(5)(5)m n +-棵；第6天共植树(10)(10)m n +-棵；第7天共植树(15)(15)m n +-棵．由七天共植树9947棵得(15)(15)(10)(10)m n m n -++-++(5)(5)(5)(5)m n mn m n -++++-(10)(10)m n ++-(15)(15)9947m n ++-=．化简得77009947mn -=，1521mn =．因221521313=⨯．又每天都有人植树，所以15m >，15n >，故39m n ==．因为第4天植树棵数为39391521⨯=，其他各天植树棵数为(39)(39)a a -+=21521a -（5a =，10或15），所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵． 当15a =时，2239a -的植树棵数最少．又当15a =时，植树人数为391554+=或391524-=，所以植树最少的那天有54人或24人植树． 37．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）． 【答案】当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分． 【解析】 【分析】 【详解】易知，这32人恰好是第2至第33层各住一人，对于每个乘电梯上、下梯的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，且s t <，交换两人上楼方式，其余人不变，则不满意总分不增．现分别证明如下：设电梯停在第x 层，①当x s t ≤<时，若住在第s 层的坐电梯，住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3(1)3()t s x -+-=3333t s x +--；交换两人上楼方式，则两者不满意总分为3(1)3()s t x -+-=3333t s x +--，两者相等；②当s x t <<时，若住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两人不满意总分为3(1)()t x s -+-=33t x s +--；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3(1)3()s t x -+-=3333t x s -+-，前者比后者多4()0x s ->；③当s t x <≤时，若住s 层的人乘电梯，住t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3(1)()t x s -+-=33t x s +--；交换两人上楼方式，则这两者的不满意总分为3(1)()s x t -+-=33s x t +--，前者比后者多4()0t s ->．今设电梯停在第x 层，设有y 人直接走楼梯上楼，则11y x +≤-，那么不满意总分为3(12)s y =+++3[12(33)]x ++++-[12(11)]x y ++++---3(1)3(33)(34)22y y x x +--=++(2)(1)2x y x y ----222102231684x xy x y y =--+++222(102)231684x y x y y =-++++=210224y x +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()211518030688y y +-+210224y x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭215(6)3163168y +-+≥． 当27x =，6y =时，316s =，所以，当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分．38．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m ，n 17434m m n -+=，求n 的最大值． 【答案】104 【解析】 【分析】 【详解】设70a m =-，104104a a n -+=，两边平方得22222104a a n +-=．令222104a b -=（b 为正整数），则2()()104a b a b -+=．由于-a b 与a b +同奇偶，即同为偶数，所以当2a b -=时，a b +取最大值52104⨯．这时，222()104n a b =+=为最大，所以n 的最大值为104． 39．（2021·全国·九年级竞赛）对于1,2,3,,i n =，有|| 1 i x <且有12||||||n x x x +++=122009||n x x x ++++．求正整数n 的最小值．【答案】正整数n 的最小值为2010． 【解析】 【分析】 【详解】 作整体估计如下：2009=1212||||||||n n x x x x x x +++-+++12||||||n x x x n ≤+++<，所以2010n ≥．当2010n =时，取121005x x x ===20092010=，10061007x x ===201020092010x =-，则||1i x <(1,2,,2010) i =且122010|||||x x x +++2009=+122010||x x x +++，满足题目条件，故所求n 的最小值为2010．40．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++的最小值．【答案】122010x x x +++的最小值为7．【解析】 【分析】 【详解】由已知条件可得：2210021x x x =++，2221121x x x =++，…，2220102009200921x x x =++，各式相加整理后得22010x =()2001200922010x x x x +++++．又00x =，故有122010x x x +++=2201020101220102x x +-()220101120112x =+-． 因122010x x x +++为整数，故()220101x +为奇数，又2243201045<<且2432011-=16214>=2452011-，所以122010x x x +++2145201172≥-=．。
数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题
数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题work Information Technology Company.2020YEAR与函数有关的中考题（奥校讲义）1． 已知二次函数62++-=x x y 的图象与x 轴交于A 、B ，C 是线段AB 的中点，M 是抛物线上位于x 轴上方的动点，且∠AMB 为锐角，求MC 的取值范围。
2． 已知抛物线2223ab abx ax y +-=不经过第三象限。
（1）求a 和b 的取值范围；（2）若抛物线与x 轴有交点()0,1-a ，且顶点在正比例函数axy -=的图象上。
求此抛物线的解析式。
3． 一次函数b kx y +=的图象和某二次函数图象的两个交点A 、B 恰好在坐标轴上，对称轴是直线1=x ，已知B ()3,0-，AB 23=，求这两个函数的解析式。
4．ABCD 中，AB=5，AD=3，sinA=32，P 为AB 上一个动点（P 不与A、B重合），过P 作PQ ∥AD 交BD 于Q 四边形QPBC 的面积为y ，求y 与x 变量x 的取值范围。
5． b 为何值时，反比例函数xy 3=的图象与一次函数 b x y +-=2的图象只有一个交点。
6． 已知反比例函数x y 12=的图象与一次函数7-=kx y 的图象都经过P ()2,m 。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 、B 的横坐标分别为a 和2+a ，求a 的值。
7． 已知抛物线12-++=k kx x y 。
（1）求证：无论k 为什么实数，抛物线恒经过x 轴上一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ()0,1x 、B ()0,2x 两点，且满足6,,2121=<<∆ABC S x x x x 。
问：过A 、B 、C三点的圆与抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标。
奥数基础讲座二次函数(含解答)-
二次函数讲座内容讲解1．二次函数y=ax 2，y=a （x-h ）2，y=a （x-h ）2+k ，y=ax 2+b x+c （各式中，a ≠0）•的图象形状相同，仅仅位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h>0时，y=a （x-h ）2的图象可由抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位得到，当h<0时，则向左平行移动│h │个单位得到．当h>0，k>0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就能够得到y=a （x-h ）2+k 的图象；当h>0，k<0•时，•将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向下移动│k │个单位可得到y=a （x-h ）2+k 的图象；•当h<0，k>0时，将抛物线y=a x 2向左平行移动│h │个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a （x-h ）2+k 的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax 2向左平行移动│h │个，•再向下移动│k │个单位可得到y=a （x-h ）2+k 的图象；所以，研究抛物线y=a x 2+b x+c （a ≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a （x-h ）2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，•抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象；当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，•对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a -）． 3．抛物线y=a x 2+bx+c （a ≠0），若a>0，当x ≤-2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x ≥-2b a 时，y•随x 的增大而增大．若a<0，当x ≤-2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x ≥-2b a时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=a x2+bx+c的图象与坐标轴的交点：（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；（2）当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2．是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x1-x2│=||a 当△=0，图象与x轴只有一个交点；当△<0，图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，•都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=a x2+bx+c（a≠0）．（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=•a（x-h）2+k（a≠0）．（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a （x-x1）（x-x2）（a≠0）．6．二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目．所以，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出现．例题剖析例1 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x•轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（）（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2;（C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2分析：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y=2（x+1）2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2（x-1）2-2，而抛物线y=2（x-1）2-2关于x 轴对称的抛物线是y=-2（x-1）2+2．解：选（D ）．评注：抛物线的平移主要抓住顶点坐标的变化，•需要注意的是通常要将二次函数解析式化为顶点式，且平移时二次项系数不变．例2 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））根据下列表格的对应值，判断方程a x 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）一个解x 的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.07（A ）3<x<3.23 （B ）3.23<x<3.24（C ）3.24<x<3.25 （D ）3.25<x<3.26分析：观察表格知，随x （x>0）的增大，二次函数y=a x 2+bx+c 的值由负到正．而当x 取3.24时，a x 2+bx+c=-0.02是负数；当x 取3.25时，a x 2+bx+c=0.03是正数．故能够推知借于3.24和3.25之间的某一x 值，必然使a x 2+bx+c=0．解：3.24<x<3.25，选C ．评注：本题利用方程的解就是它对应的函数图象与x 轴的交点，•以此估计一元二次方程的一个解的大致范围．它以表格才形式提出了部分信息，考查了学生合情推理的水平．解题关键是观察表格的对应值．例3 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）函数y=ax 2+bx+c 图象的大致位置如右图所示，则ab ，bc ，2a+b ，（a+c ）2-b 2，（a+b ）2-c 2，b 2-a 2等代数式的值中，正数有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个分析：显然，a<0，c<0，b>0，由-2b a<1， 得b<-2a ，所以2a+b<0；由a-b+c<0得（a+c ）2-b 2=（a+b+c ）（a-b+c ）<0；由a+b+c>0得a+b>-c>0，所以（a+b ）2-c 2>0，│b │>│a │，b 2-a 2>0．综上所述，仅有（a+b ）2-c 2，b 2-a 2为正数．解：选A ．评注：二次函数y=ax 2+b x+c 中相关字母系数a 、b 、c 的代数式符号确定，是竞赛热点问题，解题时，要抓住抛物线开口方向、对称轴、与x 轴交点情况综合考虑．例4 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）一条抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为（4，-11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）（A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b分析：由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号．解：由题意可画抛物线的草图，因为开口向上，所以a>0，因为-2b a=4，b=-8a<0，又因为抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，所以c<0．故选A ．评注：解决此类问题的基本思路是：由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他字母系数取值范围，在解题中常常要用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法．例5 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区）初赛试题）设b>0，二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象为下列图象之一，则a 的值是（ ）（A ）1 （B ）-1 （C 1515(D ---+ 分析：因为抛物线y=ax 2+bx+a 2-1的对称轴为x=-2b a，b>0；而第1、2两个图象对称轴为x=0，则b=0不合题意．又第3、4个图象的对称轴都在y 轴右旁，所以x=-2b a >0，a<0，再由过原点，则a 2-1=0，故a=-1．解：选B ．评注：本题给出几个抛物线图象，要求我们用数形结合的方法去收集信息．•解图象信息题关键是化“图象信息”为“数学信息”．例6 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）若二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）•，•则S=•a+•b+•c•的值的变化范围是__________．分析：本题只给出两点，不能求出a 、b 、c 具体的值，只能求出a 、b 、c•之间的关系，据此再求S 的取值范围．解：将（0，1），（-1，0）代入y=a x 2+bx+c 得1,1,0 1.c c a b c a b ==⎧⎧⎨⎨-+==-⎩⎩ 即 ∴S=a+b+c=2b ．∵二次函数y=ax 2+bx+c 顶点在第一象限，∴-2b a>0，又a=b-1，∴-2(1)b b >0，即2b （b-1）<0． ∴0<b<1，即0<S<2，选B ．评注：•求多元代数式的取值范围一般途径是转化为关于某一字母的取值范围问题． 例7 （2005年全国初中数学竞赛试题）Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C•均在抛物线y=x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h<1 （B ）h=1 （C ）1<h<2 （D ）h>2分析：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（│c │<│a │），则点B 的坐标为（-a ，a 2），由勾股定理，得A C 2=（c-a ）2+（c 2-a 2）2．BC 2=（c+a ）2+（c 2-a 2）2，AC 2+BC 2=AB 2，所以（a 2-c 2）2=a 2-c 2．因为a 2>c 2，所以a 2-c 2=1，故斜边AB 上高h=a 2-c 2=1．解：选B ．评注：本题渗透数形结合思想，通过将代数与几何有机结合一起，•考查学生综合应用数学知识解决问题的水平．例8 （1993年江苏初中数学竞赛试题）已知mn 是两位数，二次函数y=x 2+mx+n•的图象与x 轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2．（1）求证：0<m 2-4n ≤4；（2）求出所有这样的两位数mn ．分析：先用根与系数关系求得抛物线与轴两交点间距离，再结合不定方程求整数解． 解：（1）设y=x 2+m x+n 的图象与x 轴的两交点为A （x 1，0），B （x 2，0），x 1≠x 2． 则x 1，x 2为方程x 2+mx+n=0的两个不同实根．∴x 1+x 2=-m ，x 1·x 2=n ．又0<│x 1-x 2│≤2，即0<（x 1+x 2）2-4x 1x 2≤4，也即0<m 2-4n ≤4；（2）∵m ，n 为整数（m ≠0），∴m 2-4n=1，2，3，4，而m 2被4除余0或1，故m 2-4n 被4除也余0或1， 从而只能有m 2-4n=1或m 2-4n=4．解这两个不定方程，得：1,3,5,0,2,6,m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 2,4,6,0,3,8.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ ∴所求两位数为10，32，56，20，43，68．评注：一元二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴两交点的横坐标即是方程ax 2+bx+c=0的两根，利用韦达定理即可求解．例9 （1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数y=x 2-│x │-12的图象与x 轴交于相异两点A ，B ，另一抛物线y=ax 2+bx+c 过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c ．分析：求A 、B 两点的坐标时，应注意分两种情况去绝对值；条件△ABC 为等腰直角三角形应分情况讨论．解：考试方程x 2-│x │-12=0，当x>0时，x 2-x-12=0，解得x 1=4，x 2=-3（舍去）；当x<0时，x 2+x-12=0，解得x 1=-4，x 2=3（舍去）．∴A 、B 两点的坐标是（4，0），（-4，0）．∵y=ax 2+bx+c 过A 、B 两点，即过（4，0），（-4，0），∴可设y=a x 2+bx+c 为y=a （x-4）（x+4）∵△APB 为等腰直角三角形，而A 、B 为顶点，∴AB 可为斜边，也可为直角边．当AB为斜边，求得P点坐标为（0，4）或（0，-4）；当AB为直角边时，•这种情况不满足题设条件．将P（0，4）代入①得a=14，则①变为y=-14（x2-16）=-14x2+4，故有a=-14，b=0，c=4．将P（0，-4）代入①得a=14，则①变为y=14（x2-16）=14x2-4，故有a=14，b=0，c=-4．评注：求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便能够求得相关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．例10 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）已知二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值．分析：本题解题关键是用配方法求出顶点P的坐标，然后取特殊值实行探究．解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：利用配方：得y=（x+m+1）2-m2-3m，顶点坐标是P（-m-1，-m2-3m）．方法1：分别取m=0，-1，1得到三个顶点坐标是P1（-1，0），P2（0，2），P3（-2，-4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2．将顶点坐标P（-m-1，-m2-3m）代入y=-x2+x+2的左右两边，左边=-m2-3m，右边=-（-•m-1）2+（-m-1）2+2=-m2-3m，∴左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=-x2+x+2上，•即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2．（注：如果没有“左边＝右边”的证明，那么解法1最多只能得4分）方法2：令-m-1=x，将m=-x-1代入-m2-3m，得-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2．即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2上．（2）如果顶点P（-m-1，-m2-3m）在直线y=x+1上，则-m2-3m=-m-1+1，即m2=-2m，∴m=0或m=-2．∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）（-m+1）图象的顶点P时，m的值是-2或0．评注：此题综合了求点的坐标、函数解析式、猜想说明等知识，•有一定的梯度，需要我们具有扎实的基础知识和灵活应用知识的能力，还要能够根据条件进行猜测并进行合理验证．例11 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）通过实验研究，•专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y•越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，•使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．分析：①由点（0，20），（5，39），（10，48），可求出抛物线的函数关系式，②分别求出指标数是36的各段函数中的自变量的值．解：（1）当0≤x≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax+bx+c，•由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以20,25539, 1001048. ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a=-15，b=245，c=20．所以y=-15x2+245x+20，0≤x≤10．（2）当20≤x≤40时，y=-75x+76．所以，当0≤x≤10时，令y=36，得36=-15x2+245x+20，解得x=4，x=20（舍去）；当20≤x≤40时，令y=36，得36=-75x+76，解得x=2007=2847．因为2847-4=2447>24，所以，老师可以经过适当的安排，•在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．评注：本题情景新颖，关注了考生的学习、生活，既考查了学生基础知识和阅读理解能力，又考查了考生利用所学知识解决实际问题能力．例12 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））已知A1、A2、A3是抛物线y=1 2 x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．（1）如图（a），若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；（2）如图（b），若将抛物线y=12x2改为抛物线y=12x2-x+1，A1、A2、A3•三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线y=12x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．分析：本题考查我们归纳猜想能力，解题时，采用数形结合方法，由特殊到一般进行类比、归纳．（1）方法1：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=12×12=，A2B2=12×22=2，A3B3=12×32=92．设直线A1A3的解析式为y=kx+b．∴12 23 932 2kk bbk b⎧==+⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=+⎩⎪⎩解得∴直线A1A3的解析式为y=2x-32．∴CB2=2×2-32=52．∴C A2=CB2-A2B2=52-2=12．方法2：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=12×12=12，A2B2=12×22=2，A3B3=12×32=92．由已知可得A1B1∥A3B3，∴C B2=12（A1B1+A3B3）=12（12+92）=52．∴CA2=CB2-A2B2=52-2=12．（2）方法1：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1．则A 1B 1=12（n-1）2-（n-1）+1， A 2B 2=12n 2-n+1，A 3B 3=12（n+1）2-（n+1）+1．设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b ．∴ 221(1)(1)(1)121(1)(1)(1)12n k b n n n k b n n ⎧-+=---+⎪⎪⎨⎪++=+-++⎪⎩ 解得211322k n b n =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴直线A 1A 3的解析式为y=（n-1）x-12n 2+32． ∴CB 2=n （n-1）-12n 2+32=12n 2-n+32 ∴C A 2=CB 2-A 2B 2=12n 2-n+32-12n 2+n-1=12．方法2：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1． 则A 1B 1=12（n-1）2-（n-1）+1， A 2B 2=12n 2-n+1， A 3B 3=12（n+1）2-（n+1）+1由已知可得A 1B 1∥A 3B 3， ∴CB 2=12（A 1B 1+A 3B 3） =12 [12（n-1）2-（n-1）+1+12（n+1）2-（n+1）+1]= 12n 2-n+32． ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=12n 2-n+32-（12n 2+n-1）=12．（3）当a>0时，CA 2=a ；当a<0时，CA 2=-a ．评注：本题强调从“知识立意”向“能力立意”转变的课程理念，重视基础与能力并重，突出了“观察、猜想、探究”等方面的考查，具有明显层次性，渗透了数形结合的思想方法．同时，本题还给擅长不同思维方式的学生提供了不同的解题思路．例13 设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+3）k，k为实数．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k•变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA<OB），试问：OAOB是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．分析：先使用配方法求出顶点坐标，通过观察可以发现顶点在一条定直线L上，再结合圆的有关知识探求值，最后通过联立方程组求出直线的解析式．解：（1）配方，得y=（x-k）23k，∴顶点坐标为（k3），对称轴为x=k．（2）设顶点为（x，y），则x=k，3消去k得直线L的解析式为3，如图（a）所示，令k=1，2，3得三个对应顶点坐标为（13），（2，3（3，3）．（3）在3x上任取一点（a，3），设直线与x轴成角为a（0°<a<90°），则tana=a∴a=60°，由切线长定理可知，OO 1平分∠a ， ∴∠O 1OA=30°，如图（a ）所示， 即O 1O=2O 1A ，OO 2=2O 2B ，又OO 2-O O 1=O 1O 2=O 1A+O 2B =2（O 2B-O 1A ） ∴O 1A ：O 2B=1：3． 又12O A OA OB O B =，∴OA OB =13，即OAOB为一定值． （4）如图（b ）要使该直线与抛物线C 中任意一条相截且截得线段长都为6，•则该直线必平行于．设其为x+b ，考虑其与y=x 2相交，则：2,.y x y b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即x 2x-b ≥0，设此方程两根为x A ，x B ． 又│BC │=[12│AB │]2=32， 9=│x A -x B │2=（x A +x B ）2-4x A x B =3+4b ， ∴b=32，即L 1为x+32． 评注：（2）中消去参数k 求x 、y 的函数关系应掌握；（4）抛物线C 的顶点轨迹为直线x ，若直线L 1与抛物线截得的线段等长，则L 1必与x 平行，在利用截线段长为6时，•只须考虑一种最简单的解析式y=x 2与x 的联立方程组即可．巩固练习一、选择题1．直线y=52x-2与抛物线y=x2-12x的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）互相重合的两个2．关于抛物线y=a x2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，•当a<0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．（A）①②③④（B）①②③（C）①②（D）①③④3．若函数y=ax的图象经过点（1，-2），那么抛物线y=ax2+（a-1）x+a+3的性质说得全对的是（）（A）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交（B）开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交（C）开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交（D）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交4．函数y=a x2与y=ax（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）5．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S △ABC=6，则b的值是（）（A）b=5 （B）b=-5 （C）b=±5 （C）b=4（第5题）（第5题）6．不论x为何值，函数y=ax+bx+c（a≠0）的永远小于0的条件是（）（A）a>0，△>0 （B）a>0，△<0 （C）a<0，△>0 （D）a<0，△<0 7．已知抛物线y=a x2+bx+c如图所示，则关于x的方程a x2+bx+c-3=0的根的情况是（• ）（A）有两个不相等的正实数根（B）有两个异号实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根8．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，•正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=a x2+bx+c（如图），则下列结论：①a<-160；②-160<a<0；③a-b+c>0；④0<b<-12a，其中正确的结论是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④(第8题) (第12题) (第15题)9．已知：二次函数y=x2+b x+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（-24,24b c b），AB=│x1-x2│，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）（A）b2-4c+1=0 （B）b2-4c-1=0 （C）b2-4c+4=0 （D）b2-4c-4=010．若函数y=12（x2-100x+196+│x2-100x+196│），则当自变量x取1、2、3、…、•10这100个自然数时，函数值的和是（）A.540;B.390;C.194;D.9711．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（）（A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值1 412．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是13．若二次函数y=a x2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是（）（A）0<S<2 （B）S>1 （C）1<S<2 （D）-1<S<114．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-1415．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）如图，直线x=1是二次函数y=a x2+bx+c的图象的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0 （B）b>a+c （C）c>2b （D）abc<0二、填空题1．二次函数y=a x2+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是________．2．已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=________，•交点坐标为________．3．已知二次函数y1=ax2+b x+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4）和B（8，2）（如图所示），则能使y1>y2成立的x的取值范围是________．(第3题) (第6题) (第9题)4．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______．5．对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3，•请说出它们的两个相同点①______②________；再说出它们的两个不同点①______，②_______．6．如图，已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根，则弦AB的长等于_______．7．设x、y、z满足关系式x-1=1223y z+-=，则x2+y2+z2的最小值为_______．8．已知二次函数y=ax2（a≥1）的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2，点O•是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为________．9．如图，A、B、C是二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图像上三点，根据图中给出的三点的位置，可得a_____0，c_____0，△_____0．10．炮弹从炮口射出后，飞行的h （m ）高度与飞行的时间t （s ）之间的函数关系是h=v 0tsina-5t 2，其中v 是炮弹发射的初速度，a 是炮弹的发射角，当v 0=300（m/s ），sina=12时，炮弹飞行的最大高度是_______．11．抛物线y=-（x-L ）（x-3-k ）+L 与抛物线y=（x-•3）2•+•4•关于原点对称，•则L+•k=________．12．（2000年全国初中数学联合竞赛试题）a ，b 是正数，并且抛物线y=x 2+ax+2b 和y=x 2+2bx+a 都与x 轴有公共点，则a 2+b 2的最小值是________．13．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB•的面积等于________．14．（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________．15．（2005年全国初中数学竞赛浙江赛区试题）在直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx-34m 2（m>0）与x 轴交于A ，B 两点，若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足11OB OA=23，则m•的值等于_______． 三、解答题 1．已知抛物线y=23x 2与直线y=x+k 有交点，求k 的取值范围．2．如图，P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点，A点的坐标是（3，0）．（1）令P点坐标为（x，y），求△OPA的面积S；（2）S是y的什么函数？（3）S是x的什么函数？（4）当S=6时，求点P的坐标；（5）在抛物线y=x2上求一点P′，使△OP′A的两边P′O=P′A．3．抛物线y=ax2+bx+c的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上，且与直线y=•4x-4有唯一交点，试求函数表达式．4．已知实数p<q，抛物线y1=x2-px+2q与y2=x2-qx+2p在x轴上有相同的交点A．（1）求A点坐标；（2）求p+q的值．5．已知抛物线y=x2+kx+k-1．（1）求证：无论k是什么实数，抛物线经过x轴上一个定点；（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且满足：x1<x2，│x1│<│x2│，S△ABC=6，问：过A、B、C三点的圆与抛物线是否有第四个交点，试说明理由，•如果有，求出其坐标．6．如图，已知直线y=-2x+2在x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB•为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴，垂足为D．（1）求点A、B的坐标和AD的长．（2）求过B、A、D三点的抛物线的解析式．7．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m•就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？8．先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：材料：过抛物线y=a x2（a>0）的对称轴上一点（0，-14a）作对称轴的垂线L，•则抛物线上任一点P到点F（0，14a）的距离与P到L的距离一定相等．我们将点F与直线L•分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x的焦点为（0，14）．问题：若直线y=kx+b交抛物线y=14x2于A、B，•AC、BD垂直于抛物线的准线L，垂足分别为C、D（如图）．（1）求抛物线y=14x2的焦点F的坐标；（2）求证：直线AB过焦点F时，CF⊥DF；（3）当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线L相切时，求这直线对应的函数解析式．9．已知某绿色蔬菜生产基地收获的蒜苔，从四月一日起开始上市的30天内，蒜苔每10千克的批发价y（元）是上市时间x（元）的二次函数，•由近几年的行情可知如下信息：（1）求y关于x的函数解析式；（2）蒜台每10千克的批发价为10.8元时，问是在上市的多少天？10．已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知二次函数y=x2+b x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，•一元二次方程x2+b2x+20=0的两实数为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，•并写出顶点坐标．12．改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995•年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇国民生产总产值为5亿元时，可达到小康水平．（1）若从1996年开始，该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇通过几年可达到小康水平？（2）设以2001年为第一年，该镇第x年的国民生产总值为y亿元，y与x•之间的关系是y=19x2+23x+5（x≥0）该镇那一年的国民生产总值可在1995•年的基础上翻两番（•即达到1995年的年国民生产总值的4倍）？13．已知：二次函数y=-x 2+3bx+c 与x 轴交于点M （x ，0），N （x ，0）两点，与y 轴交于点H ．（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；（2）若│x 1│2+│x 2│2=1，当点Q （b ，c ）在直线y=19x+13上时，求二次函数y=-x+3bx+c 的解析式．14．如图，一次函数y=kx+n 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A （6，0）和B （0，23），• 线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ． （1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式．15．如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（•18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，•其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，•当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．（3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，•并写出此时t的取值范围．（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，•请求出t的值；如不可能，请说明理由．16．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．答案：一、1～9．CDBDD DCBD10．B．提示：∵x2-100x+196=（x-2）（x-98），∴当2≤x≤98时，│x2-100x+196│=-（x2-100x+196）．∴当自变量x取2、3、…、98时，函数值都为0．而当x取1、99、100时，│x2-100x+196│=x2-100x+196，故所求的和为：（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-•2）（100-98）=97+97+196=390．11～15．DAACC二、1．互为相反数 2．-17，（2，3）．3．x<-2或x>8 4．y=15x2-85x+3等5．图象都是曲线，都过点（-1，2）；图象形状不同，x取值范围不同6．13.2 7．59148．42+25 9．<、<、> 10．1125m 11．-9 12．2013．如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A（1，1），B（-3，9），作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA1BB1-S△AA1O-S△BB1O=12×（1+9）×（1+3）-12×1×1-12×9×3=6．14．由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以4,1, 421,32.a b c b aa b c c a-+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 •因为二次函数图象与x轴有两个不的交点，所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，• 由于a 是正整数，故a>1，所以a ≥2．又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，•满足题意， 故b+c 的最大值为-4． 15．2．提示：设方程x 2+mx-34m 2=0的两根分别x 1，x 2，且x 1<x 2， 则有x 1+x 2=-m<0，x 1x 2=-34m 2<0，•所以x 1<0，x 2>0，由11OB OA -=23，可知OA>OB ，又m>0， 所以抛物线的对称轴y 轴的左侧，于是OA=│x 1│=-x 1，OB=x 2． 所以2111x x +=23，1212x x x x +=23，故234m m --=23，解得m=2．三、1．由题意知，方程组22,3.y k y x k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩有实数解，即方程23x 2=x+k 有实数解， 整理，得2x 2-3x-3k=0，∴△=9-4×2×（-3k ）≥0，∴k ≥-38． 2．（1）S=32y ，又y =x 2，∴S=32x 2；（2）正比例函数；（3）二次函数；（4）P （2，4）；（5）P ′（32，94）．3．y=23x 2+43x-43．4．（1）A （-2，0）；（2）p+q=-2．5．（1）（-1，0）；（2）过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵│x 1│<│x 2│，•C 点在y 轴上， ∴点C 不是抛物线的顶点，由于抛物线都是轴对称图形，过A 、B 、C 三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形，所以过A 、B 、C•三点的圆与抛物线第四个交点与C 是对称点．∵x1=-1<0，x1<x2，│x1│<│x2│，∴x2>1，即x2>-1，-k>1，∴k<0，∵S△ABC=6，∴12│1-•k│）·（1+│1-k│）=6，∴（1-k）2+（1-k）-12=0，解得1-k=-4或1-k=3，∴k=-2或k=5（舍去），∴y=x2-2x-3．其对称轴为x=1，据对称性，D点坐标为（2，-3）．6．（1）A（1，0），B（0，2），AD=2；（2）y=23x2-83x+2．7．y=-125x2；5小时8．（1）F（0，1）；（2）∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC．又∵AC∥OF，∴∠ACF=∠CFO，∴CF平分∠AFO．同理DF平分∠BFO．而∠AFO+∠BFO=180°，∴∠CFO+∠DFO=12（∠AFO+∠BFO）=90°，∴CF⊥DF．（3）设圆心为M切L于N，连结MN，∴MN=12 AB．在直角梯形ACDB中，M•是AB中点，∴MN=12（AC+BC）．而AC=AF，BD=BF，∴MN=12（AF+BF），∴AF+BF=AB．∴AB过焦点F（0，1），又AB过点（-1，0），∴1bk b=⎧⎨-+=⎩∴AB对应的函数解析式为y=x+1．9．（1）设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得15255 1022515 1562525a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩。
浙江省九年级数学竞赛辅导系列 讲座五 函数练习
数学竞赛辅导系列讲座五 ——函数1、在平面直角坐标系中有点A （－2，2）、B （3，2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则符合条件的点C 有（ ）个A 、1B 、2C 、4D 、62、已知一次函数y=kx+b ，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限．3、若反比例函数y=k x的图像与一次函数y=ax+b 的图像交于点A （－2，m ）、B （5，n ），则3a+b=_______． 4、已知二次函数的图像与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________．5、已知点A 、B 分别在一次函数y=x ，y=8x 的图像上，其横坐标分别为a ，b （a>0，b>0），若直线AB 为一次函数y=kx+m 的图像，则当b a是整数时，满足条件的整数k 的值共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6、一次函数与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，在第二象限内有一点P （a ，12），满足S △ABP =S 正方形ABCD ，则a=________． 7、已知（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 、 6 -3B 、3C 、 5 - 3D 、 6 - 38、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A 、512B 、49C 、1736D 、12 9、过点P （－1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条10、若关于x 的函数的图像与坐标轴有两个交点，则a 的值为_______．11、二次函数的图像经过（－1，2）且与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2（－2<x 1<－1，0<x 2<1），给出下列结论：①abc>0，②4a －2b+c<0，③2a －b<0，④b 2+8a>4ac ，其中正确的有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4 12、过原点的直线与反比例函数y=- 7x的图像交于A ，C ，自点A ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为B ，D ，则四边形ABCD 的面积等于______．13、设抛物线与x 轴有两个不同的交点（x 1，0）、（x 2，0），则下列结论中一定成立的是（ ）A 、B 、C 、D 、14、一次函数y=kx+b 的图像过点P （1，4），且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B ，O 为坐标原点，△ABC 的面积最小时，k ，b 的值分别是（ ）A 、－4，8B 、－4，4C 、－2，4D 、－2，－215、已知函数（a ，c 为实数），若－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤2，则f(8)的最大值是__________．16、如果函数y=b 的图像与函数的图像恰有三个交点，则b 的可能值为_________．17、若函数的最大值关于t 的表达式y max =______．18、已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示的图像可能是（ ）A B C D19、如图，两个反比例函数和（k 1>k 2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C 1和C 2，设点P 在C 1上，PE ⊥x 轴于点E ，交C 2与点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ） A 、k 1+k 2 B 、k 1-k 2 C 、k 1k 2 D 、k 1k 220．如图已知点A 、B 分别在反比例函数、的图像上，，则tanB= ．21、在平面直角坐标系中，已知点（1，1）在坐标轴上找一点P ，使△AOP 为等腰三角形，求P 点坐标．22、设抛物线的图像与x 轴只有一个交点．（1）求a 的值；（2）求．23、已知直线y=b （b 为实数）与函数的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围．24、已知一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=k x的图像交于点M （2，3），N （－4，m ） （1）求一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=k x的解析式； （2）求△OMN 的面积．25、如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）26、求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a，b，使得函数对任意整数x，f(x)都是整数．27、如图，已知点M（0，1），N（0，－1），P是抛物线上的一个动点（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM28、已知二次函数的图像与x轴的交点分别为A，B，与y轴的交点为C，设△ABC的外接圆的圆心为P．（1）证明⊙P与y轴的另一个交点为定点；（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2，求b和c的值．29、已知抛物线上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：已知抛物线与x轴必有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1<x2；（2）求证x1< x0<x2；（3）若点M为（1，－2）时，求整数x1，x2的值．30. 如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．(1)已知抛物线①，判断下列抛物线②；③与已知抛物线①是否关联，并说明理由．(2)抛物线:，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式．(3)点A为抛物线:的顶点，点B为与抛物线关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角，使其直角顶点C在轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．31．已知二次函数的图像与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上．（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．32．如图，双曲线(＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得△，点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .33．如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.（1）写出点B的坐标；（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为．34．我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图像，可由函数y=ax2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离称为朋友距离．由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向，再向下平移7单位，相应的朋友距离为．（2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．35．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）36.已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C在x轴的负半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，D（3，－2），P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；（3）设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．37．抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④38．知抛物线y=2x2—4mx+ 与x轴有2个不同的交点A，B，抛物线的顶点为C，(1)当△ABC为等边三角形时，试确定点C的位置；(2)如何平移符合条件(1)的抛物线，使AC=AB；(3)设点D，E分别是AC，BC的中点，点F，G分别是DC，EC的中点，问四边形DFGE的面积S的大小与m的取值是否有关?若有关，写出其关系式；若无关，请说明理由．39．已知，对于满足条件的一切实数，不等式恒成立．（1）试确定抛物线y＝的开口方向以及与x轴的交点个数．（2）求乘积的最小值．（3）当取最小值时，求抛物线y＝的解析式．40．已知二次函数,其图象过点(1,0),并且与直线有公共点．证明：．（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
数学竞赛专题讲座奥数辅导试题
数学竞赛专题讲座奥数辅导试题班级 姓名 成绩1、 已知x 、y 是实数，43+x +y 2-6y+9=0，若axy-3x=y ，则： a= 。
2、一个数的平方根是a 2+b 2和4a-6b+13，那么那个数是 。
3、方程5||-+Y X +18+Y =0的解是 。
4、 观看摸索下列运算过程：∵ 112=121，∴ 121=11；同样： ∵ 1112=12321，∴ 12321=111；…由此猜想：76543211234567898 = 。
5、如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则C 所表示的数是（ ） A 、2-1；B 、1-2； C 、2-2；D 、2-2。
6、已知x 是实数，则∏-X +X -∏+∏-1X 的值是（ ） A 、1-∏1；B 、1+∏1；C 、∏1-1；D 、无法确定。
7、代数式X +1-X +2-X 的最小值是（ ） A 、 0；B 、1+2；C 、1；D 、不存在。
8、若实数a 、b 满足（a+b-2）2+32+-a b =0，求代数式： 2a+b-1的值。
CAB9、设x 、y 差不多上有理数，且满足方程（21+3∏）x+（31+2∏）y-4-∏=0， 求x-y 的值。
10、细心观看图形，认真分析各式，然后解答问题。
（1）2+1=2， S 1=21；（2）2+1=3，S 2=22；（3）2+1=4，S 3=23；… （1） 请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2） 推算出OA 10的长；（3） 求出S 21+S 22+S 23+…+S 210的值。
1A 21。
高中数学 函数及性质竞赛专题讲座7 试题
卜人入州八九几市潮王学校函数的性质及应用函数的性质不仅是研究各类函数的根底，而且也是利用函数解决数学竞赛问题的主要理论根底，函数的性质包括函数的有界性、对称性、周期性、单调性等。
一、有界性定义1设A 为函数)(x f 定义域的子集，假设存在常数M ，使对所有A x ∈，都有：M x f ≤)(〔或者M x f ≥)(〕，那么称)(x f 在A 上有上〔或者下〕界，M 为它的一个上〔或者下〕界。
)(x f 的所有上界中必然存在最小的，那么称这个最小的上界为)(x f 在A 上的上确界，记作：{};)(sup x f )(x f 的所有下界中必然存在最大的，那么称这个最大的下界为)(x f 在Ａ上的下确界，记作：{}.)(inf x f假设函数)(x f 在Ａ上既有上界又有下界，那么称)(x f 为Ａ上的有界函数，不难看出，对于Ａ上的有界函数)(x f ，必存在正数Ｍ，使对所有A x ∈恒有.)(M x f ≤有界函数的图象介于两条直线M y ±=之间；在闭区间上连续的函数是有界函数；在里，最根本的有界函数是x y x y cos ,sin ==；利用函数的有界性可以处理方程与不等式问题。
例1解方程).(1sin cos *N n x x n n ∈=-例2设f 和g 是定义在R 上的实函数，而且对于所有的y x ,满足方程：).()(2)()(y g x f y x f y x f =-++试证：假设)(x f 不恒为零，且1)(≤x f 对所有的x 都成立，那么有1)(≤y g 对所有y 都成立。
二、单调性定义2设函数).)((A x x f y ∈=对于A x x ∈∀21,，当21x x <时，总有：⑴)()(21x f x f <，那么称)(x f 是A 上的〔严格〕增函数； ⑵)()(21x f x f >，那么称)(x f 是A 上的〔严格〕减函数。
增函数和减函数统称为单调函数。
数学竞赛函数试题及答案
数学竞赛函数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 7B. 5C. 3D. 12. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，求f'(x)的值：A. 3x^2 - 4x + 1B. x^3 - 4x^2 + 1C. 3x^2 - 4xD. 3x^2 - 4x + x - 23. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. 4πD. 不是周期函数4. 函数g(x) = 1 / (1 + x^2)的值域是：A. (0, 1)B. (-∞, 0)C. [1, +∞)D. (-∞, 1]5. 已知f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f''(x)的值：A. 3x^2 - 6x + 2B. 6x - 6C. 9x - 9D. 6x^2 - 12x + 2二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d满足f(1) = 4，f(2) = 10，f(-1) = -2，f(-2) = 8，则a = ______。
7. 函数h(x) = √x + 1 / √x的定义域是 ______。
8. 函数F(x) = ln(x - 1)的导数F'(x)是 ______。
9. 函数R(x) = x^2 + 2x + 1的反函数R^(-1)(x)是 ______。
10. 若函数G(x) = 2^x - 1的反函数是G^(-1)(x)，求G^(-1)(3)的值是 ______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 8在区间[1, 3]上是单调递增的。
12. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的极值点。
13. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(x)在区间[0, 5]上的值域。
初二数学函数奥赛试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = k/x (k ≠ 0)D. y = x + 12. 已知函数y = kx + b的图像经过点（1，2），则下列选项中，可能为k和b的值是（）A. k = 2, b = 1B. k = -2, b = 3C. k = 1, b = 2D. k = 3, b = 13. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x^2 - 2x - 3D. y = 2x^2 + 3x - 54. 已知函数y = 2x^2 - 4x + 1的图像的对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 35. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（h，k），则下列结论正确的是（）A. a > 0, b > 0B. a < 0, b < 0C. a > 0, b < 0D. a < 0, b > 06. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 1/xD. y = x^37. 已知函数y = -x^2 + 4x + 3的图像与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），则下列选项中，可能为函数的零点是（）A. x = 0B. x = 2C. x = 4D. x = -28. 下列函数中，是指数函数的是（）A. y = 2xB. y = 2^xC. y = 2x + 3D. y = 2x^29. 已知函数y = a^x（a > 0，a ≠ 1）的图像过点（0，1），则a的值为（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/410. 下列函数中，是根式函数的是（）A. y = √xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = x^3二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数y = -3x + 5中，当x = 0时，y的值为______。
数学奥林匹克竞赛讲座 15函数方程
竞赛讲座15 -函数方程相关知识函数方程)()(x f x f -=的解是函数方程)()(a x f x f += )0(≠a 的解是二、函数方程的题型许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战 意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程01)()(22=+-+x f x f 无解）。
2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法例题1、设函数)(x f 满足条件x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。
例题2、设函数)(x f 定义于实数集R ，且)(x f 满足条件x x xf x f +=-+1)1()(，求)(x f 。
[]1ex ：函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=⎪⎭⎫⎝⎛+，求)(x f 。
答案：x xx f 22)(-=[]2ex ：求满足条件422)1()(x x x f x f x -=-+的)(x f 。
2、赋值法 例题1、设函数)(x f 定义于实数集R 上，且1)0(=f ，若对于任意实数m 、n ，都有： )12()()(+--=-n m n m f n m f ，求)(x f 。
例题2、设函数)(x f 定义于自然数集N 上，且1)1(=f ，若对于任意自然数x 、y ，都有：xy y f x f y x f ++=+)()()(，求)(x f 。
3.探究函数的性质例题、设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2(=πf ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2()2(2)()(yx f yx f y f x f -⋅+=+。
求证：)()2(x f x f =+π求证：)()(x f x f -=求证：1)(2)2(2-=x f x f[]3ex ：若对常数m 和任意x ，等式)(1)(1)(x f x f m x f -+=+都成立，求证：函数)(x f 是周期函数。
奥赛专题训练(第1讲)函数,(第2讲)不等式(1981真题部分)
奥赛专题训练（第1讲）函数，（第2讲）不等式（1981-2008真题部分）1、（1981年⑹）在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 是由y ≥0，y ≤x 和y ≤2-x 这三个不等式确定，N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1确定，t 的取值范围是0≤t ≤1 ，设M 和N 的公共面积是函数f (t )，则f (t )为 A ．－t 2+t +12 B ．－2t 2+2t C .1－12t 2 D . 12(t －2)22、（1982年（3））如果，212313515235log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x y z ===那么A ．z x y <<B ．x y z <<C ．y z x <<D ．z y x << 3、（1982年⑹）已知x 1，x 2是方程 x 2－(k －2)x +(k 2+3k +5)=0(k 为实数)的两个实数根，x 12+x 22的最大值是 A ．19 B ．18 C ．559D ．不存在4、（1982年⑻）当a ，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：(a +1a )(b +1b )， 乙：(ab+1ab)2， 丙：(a+b 2+2a+b )2中值最大的一个是A ．必定是甲B ．必定是乙C ．必定是丙D ．一般并不确定，而与a 、b 的取值有关5、（1983年⑵）x=1log 1213+1log 1513的值是属于区间A ．(－2，－1)B ．(1，2)C ．(－3，－2)D ．(2，3)6、（1983年⑷）已知M={(x ，y )|y ≥x 2}，N={(x ，y )|x 2+(y －a )2≤1}．那么，使M ∩N=N 成立的充要条件是 A ．a ≥114 B ．a=114C ．a ≥1D ．0<a <17、（1983年⑸）已知函数f (x )=ax 2－c ，满足 －4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5．那么，f (3)应满足 A ．7≤f (3)≤26 B ．－4≤f (3)≤15 C ．－1≤f (3)≤20 D ．－283≤f (3)≤3538、（1983年⑹）设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P=ab +cd ，Q=ma +nc ·b m +dn，那么 A ．P ≥Q B ．P ≤QC ．P <QD ．P 、Q 的大小关系不确定，而与m ，n 的大小有关． 9、（1984年⑷）方程sin x=lg x 的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．大于310、（1984年⑸） 若a >0，a ≠1，F (x )是一个奇函数，则 G (x )=F (x )∙(1a x －1+12)是A ．奇函数B ．偶函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．奇偶性与a 的具体数值有关11、（1984年5）．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 21x 2+x 22x 3+…+x 2n －1x n +x 2n x 1≥x 1+x 2+…+x n ．12、（1986年⑹）边长为a 、b 、c 的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a +b +c ，t=1a +1b +1c，则s 与t 的大小关系是 A ．s >t B ．s=t C ．s <t D ．不确定13、（1986年⑶）设f (x )=4x 4x +2，那么和式f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值等于 ；14、（1989年3）．对任意的函数y=f (x )，在同一个直角坐标系中，函数y=f (x －l )与函数y=f (－x +l )的图象恒A ．关于x 轴对称B ．关于直线x=l 对称C ．关于直线x=－l 对称D ．关于y 轴对称 15、（1989年1）．若log a 2<1，则a 的取值范围是 ． 16、（1990年2）．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1|17、（1990年4）．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于218、（1990年1）、设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n的最小值是 ．19、（1990年3）、设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是 ． 20、（1991年4）．设函数y=f (x )对于一切实数x 满足 f (3+x )=f (3－x )且方程f (x )=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．021、（1991年五）．已知0<a <1，x 2+y=0，求证： log a (a x +a y)≤log a 2+18．22、（1992年6）．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10+x )=f (10-x )， f (20-x )=-f (20+x )，则f (x )是(A )偶函数，又是周期函数 (B )偶函数，但不是周期函数 (C )奇函数，又是周期函数 (D )奇函数，但不是周期函数 23、（1992年6）、函数f (x )= x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值是_____． 24、（1993年2）已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是 (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 25、（1995年4）．已知方程|x －2n |=k x (n ∈N*)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1 (C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是26、（1995年3）．用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．27、（1996年5）．如果在区间[1,2]上函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x2在同一点取相同的最小值，那么f (x )在该区间上的最大值是( )(A ) 4+11232+34 (B ) 4－5232+34 (C ) 1－1232+34 (D )以上答案都不对 28、（1996年1）、集合{x |－1≤log 1x 10<－12，x ∈N*}的真子集的个数是 ．29、（1997年1）.设x ，y为实数，且满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = .30、（1998年2）.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø31、（1998年1）. 若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ． 32、（1999年3）．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y -，则(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤033、（2000年1）．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁RB 是(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅34、（2000年2）．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．35、（2001年1）.已知a 为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）．Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定36、（2001年 11）．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________． 37、（2002年1）函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞)38、（2002年3）函数f(x)=221xx x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 39、（2002年10）已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤f(x)+1 若g(x)=f(x)+1x ，则g(2002)= 。
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与函数有关的中考题（奥校讲义）
1． 已知二次函数62
++-=x x y 的图象与x 轴交于A 、B ，C 是线段AB 的中点，M 是抛
物线上位于x 轴上方的动点，且∠AMB 为锐角，求MC 的取值范围。
2． 已知抛物线2
223ab abx ax y +-=不经过第三象限。
（1）求a 和b 的取值范围；（2）
若抛物线与x 轴有交点()0,1-a ，且顶点在正比例函数ax y -=的图象上。
求此抛物线
的解析式。
3． 一次函数b kx y +=的图象和某二次函数图象的两个交点A 、B 恰好在坐标轴上，对称
轴是直线1=x ，已知B ()3,0-，AB 23=，求这两个函数的解析式。
4． 如图，在
中，AB=5，AD=3，sinA=
3
2
，P 为AB 上一个动点（P 不与A 、
B 重合），
过P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，设AP 的长为x ，
四边形QPBC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及自 变量x 的取值范围。
5． b 为何值时，反比例函数x
y 3
=的图象与一次函数 b x y +-=2的图象只有一个交点。
6． 已知反比例函数x
y 12
=
的图象与一次函数7-=kx y 的图象都经过P ()2,m 。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 、B 的横坐标分别为a 和2+a ，求a 的值。
7． 已知抛物线12
-++=k kx x y 。
（1）求证：无论k 为什么实数，抛物线恒经过x 轴上
一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ()0,1x 、B ()0,2x 两点，且满足
6,,2121=<<∆ABC S x x x x 。
问：过A 、B 、C 三点的圆与抛物线是否有第四个交点？
试说明理由，如果有，求出其坐标。
8． 如图：已知一次函数13
3
+=
x y 的图象与x 轴、y 轴分别交 于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作一正三角形ABC ，⊙O ，
为ΔABC 的外接圆，与x 轴交于点D 。
（1）求C 点的坐标；求过
D 、O ，
、A 三点的二次函数的解析式，并求该函数的最值。
9． 如图：抛物线c x ax y +-=32
交x 轴正方向于A 、B 两点，
交y 轴正方向于C 点。
过A 、B 、C 三点作⊙D ，若⊙D 与y 轴相
切。
（1）求c a ,满足的关系式；（2）设∠ACB=α，求tan α；
（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙D 的位置关系，并证明。
10． 如图：矩形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，A 、D
在抛物线x
x y 3
8
322+-
=上，矩形的顶点均为动点，且矩形在 抛物线与x 轴围成的区域里。
（1）设点A 的坐标为()y x ,，试
求矩形的周长p 关于变量x 的函数的解析式，并写出x 的取值范围； （2）是否存在这样的矩形ABCD ，它的周长p=9？试证明你的结论。
11． 如图：已知抛物线()()()113<+---=m m x x y ，x 轴 交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C 。
（！）写出A 、B 、C 各点的坐标（可用含m 的式子表示）； （2）若ΔABC 的面积为15，求此抛物线的解析式。
（3）过点E ()2,0-作ED ∥AC ，在第一象限交抛物线于点D ，
求ED 的函数的解析式，问四边形AEDC 的形状并求其面积， 证明你的结论。
12． 12．如图：已知抛物线m x x y -+-=622
和直线m x y ++-=62，它们的一个交点
的纵坐标为4。
（1）求此抛物线和直线的解析式。
（2）如果直线()0>=k kx y 与（1）中的抛物线交于 A 、B 两个不同的点，和（1）中的直线交于点P ，分别
过A 、B 、P 作x 轴的垂线，垂足为A ，、B ，、P ，
，证明：
'
''211OP
OB OA =+；（3）在（2）中能否选取适当的 k 的值，使得8''=+BB AA ，如果能，求此时的k 值；
如果不能，请说明理由。
13.已知m 是大于2的整数，设抛物线()()52114
1
2-+---=
m x m x m y 与x 轴有两个交点，与y 轴交于A 点；直线()k x m y +-=22经过抛物线的顶点M ，并与抛物线交于B 点（此时21y y =），与y 轴交于C 点。
（1） 求1y 和2y 的解析式；（2）求证：y 轴与ABM 的外接圆切于A ；
（2） 若ΔABM 的外接圆是⊙N ，过C 作⊙N 的切线（切点为T ）交x 轴于S ，连接NS ，
求证NS 2 = ST ·SC 。
14．如图：抛物线c bx ax y ++=2
的顶点为P ， 与x 轴交于M 、N 两点（M 在N 的左边），ΔPMN 的三个内角∠P 、∠M 、∠N 所对的边是,,,n m p 且
.n m =若关于x 的方程()()022=+++-m p nx x m p
有两个相等的实根。
（！）试判定ΔPMN 的形状； （2）当顶点P 的坐标为（2，-1）
（3） 设抛物线与y 轴交于Q 点，求证：直线
1-=x y 将四边形MPNQ
15．已知：c b a ,,是ΔABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，抛物线2
22b ax x y +-=交x 轴于两点M 、N ，y 轴交于点P ，其中点M 的坐标是()0,c a +。
（1） 求证：ΔABC 是直角三角形；
（2） 若ΔMNP 的面积是ΔNOP 的面积的3倍，①求cosC 的值；②试判断ΔABC 的三边
长能否取一组适当的值，使以MN 为直径的圆心恰好是抛物线2
2
2b ax x y +-=的顶点？如能，求出这组值；如不能，说明理由。
16．已知在x 轴的正半轴上有A 点，在y 轴的正半轴上有B 、C 两点，且B 在C 的下方，BC 的长为2，把过A 、B 、C 三点的圆记为⊙Q ，∠BAC =∠α。
（1）试判断x 轴与⊙Q 的位置关系；若在x 轴的的正半轴上有P 点，且P 与A 不重合，再判断∠α与∠BPC 的大小（不需证明）； （2）若B 点的坐标为（0，1）指出当x 轴与⊙Q
∠α最大？求出当∠α最大时，
A 点的坐标； （
3） 如图，，若⊙Q 与x 轴交于A 、D 两点，弦AD 分⊙Q 所成的劣弧与优弧的长度之比为1∶3，且Q 点在直线
2-=x y 上，求过Q 、A 、D 三点的抛物线的解析式；
（4） 在（3）中的抛物线上是否存在点E ， 使S ΔEAD ∶S ΔAQC = 15∶4？若存在，求出E 点的坐标； 若不存在，请说明理由。
17．若关于x 的一元二次方程()0209132
2=+-++-m m x m x 有两个实数根，又知c b a ,,分别是ΔABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90。
，且cosB =
3,5
3
=-a b 。
是否存在整数m ，使上述的一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt ΔABC 的斜边c 的平方？若存在，请求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。