311倾斜角与斜率

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高中数学 3.1.1直线的倾斜角和斜率

高中数学  3.1.1直线的倾斜角和斜率
l O
P
x
5
问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y
l O
P
x
6
一.直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
问题:在直角坐标系中,过点P的一条直 线 绕点P旋转,不管旋转多少周,他对x 轴的相对位置有几种情形,请画出来?
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900
18
例题分析
例1 如下图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
§3.1.1 直线的倾斜角和斜率
1
2
复习回顾
一次函数的图象有何特点? 给定函数y=2x+1,如何作出它的图像?
3
问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y
l
O P
x
4
问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )( x1 x 2 ) 的直线的 斜率公式为:
tan y 2 y1 x 2 x1 .

311_直线的倾斜角与斜率

311_直线的倾斜角与斜率
相等; (6)两直线的斜率相等,则它们的倾斜角
相等;
例4 下列说法正确的是( )D A 若直线L的倾斜角为α,则直线L的 斜率为 tan α.
B 若直线L的斜率为 tan α,若直线L 的倾斜角为α. C 若直线L的倾斜角为α=900,则直线 L必平行于y轴.
D 每一条直线L都存在倾斜角,但并 非每一条直线L都存在斜率.
P2(x2,y2),且直线P1P2与x轴不垂直,
即x1≠x2
yy P2P2
k y2 y1
PQα1 αθ QP1 α
x2 x1
x1 x2
o
xx
思考1:当直线P1P2平行于x轴或与 x轴重合时,上述公式还适 用吗?为什么?
思考2:当直线P1P2平行于y轴或与y 轴重合时,上述公式还适用吗? 为什么?
思考3:经过点A(a,b)、B(m,n) (a≠m)的直线的斜率是什么?
k bn nb am ma
思考4:对于三个不同的点A,B,C,
若 kAB kAC ,则这三点的位置关
系如何?
例题讲解
例1 已知点A(3,2),B(-4,1), C(0,-l),求直线AB,BC,CA的斜 率,并判断这些直线的倾斜角是锐 角还是钝角.
2.当倾斜角α=1200,1350,1500时, 这条直线的斜率分别等于多少?
3.当倾斜角α=900时,这条直线 的斜率等于多少?
四. 直线的斜率公式
思考:在直角坐标系中,经过两点 A(2,4)、B(-1,3)的直线
有几条?直线AB的斜率是多少?
yA

C
αo
x
1.直线的斜率公式
一般地,已知直线上的两点P1(x1,y1),
思考题
已知三点A(a,2)、B(3,7)、 C(2,9a)在一条直线上, 求实数a的值.

《倾斜角与斜率》课件

《倾斜角与斜率》课件

斜率在经济学中的 应用:描述价格、 需求、供给等变化 趋势
斜率在工程学中的 应用:描述斜坡、 斜面等倾斜角度
斜率在数学中的 应用:描述函数、 曲线等变化趋势
定义不同:倾斜角是直线与水平线之间的夹角,而斜率是直线的倾斜程度,即直 线与水平线之间的夹角的正切值。
取值范围不同:倾斜角的取值范围是[0, 90]度,而斜率的取值范围是实数集。
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01.
02.
03.
04.
倾斜角是表示直线或平面相对于水平面的倾斜程度的角 倾斜角是二面角中的一个角,其范围为0°到90° 倾斜角是直线与水平面之间的夹角,其范围为0°到90° 倾斜角是平面与水平面之间的夹角,其范围为0°到90°
倾斜角是斜率的正切值
斜率是倾斜角的正切值
倾斜角与斜率都是描述直线倾 斜程度的量
圆柱体:倾斜角是圆柱体侧面与底面的 夹角
球体:倾斜角是球体表面与水平面的夹 角
空间几何体:倾斜角是空间几何体与水 平面的夹角
斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量 斜率等于直线或曲线在该点的切线斜率 斜率等于直线或曲线在该点的导数 斜率等于直线或曲线在该点的斜率函数值
斜率公式:y=kx+b,其中k为 斜率,x、y为坐标
几何意义不同:倾斜角表示直线与水平线之间的夹角,而斜率表示直线的倾斜程 度。
计算方法不同:倾斜角的计算方法是通过三角函数计算,而斜率的计算方法是通 过直线的斜率公式计算。
倾斜角是斜率的正切值
斜率是倾斜角的正切值
倾斜角是斜率的倒数
斜率是倾斜角的倒数
倾斜角:表示直线与水平线的夹角,取值范围为0°到90° 斜率:表示直线的倾斜程度,取值范围为正无穷到负无穷 区别:倾斜角是角度,而斜率是比例 联系:倾斜角与斜率都可以用来描述直线的倾斜程度,但倾斜角更直观,而斜率更精确 应用:在几何图形中,倾斜角与斜率可以用来描述直线的倾斜程度,也可以用来计算直线的斜率、倾斜角等参数。

高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2

高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2

15.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k
满足( A ) A.k≥ 3 或k≤-4
4
B.k≥3/4或k≤ Leabharlann 1 43 C.-4≤k≤ 4
3 D. 4 ≤k≤4
解析
如图所示,过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C,作出直线PA,PB.
①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时,
14.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果
l1⊥l2,则a=_____-_6_或__5___.
解析 当k2=0时,由两直线垂直知直线l12≠0时,由k1·k2=-1,得a=-6.故a的值为-6或5.
3.1.1+3.1.2
刷易错
易错点 直线斜率与倾斜角关系理解不准确致误
3.1.1+3.1.2
刷基础
题型1 直线的倾斜角与斜率
1.下列说法正确的是( D ) A.一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角 B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为180° D.每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率
解析 对于A,一条直线向上方向和x轴正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角,A错误; 对于B,直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,B错误; 对于C,和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°,C错误; 对于D,每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率,如α=90°时,斜率不存 在,D正确. 故选D.
3.1.1+3.1.2
题型1 直线的倾斜角与斜率
D
刷基础

倾斜角与斜率 课件

倾斜角与斜率    课件

【解析】 (1)直线的斜率分别为 k1=tan60°= 3,k2=tan135° =-1;
(2)直线 AB 的斜率 kAB=-1-4-23=17; 直线 BC 的斜率 kBC=0--1--14=-42=-12; 直线 AC 的斜率 kAC=2-3--01=33=1. (3)当 m=2 时,直线 AB 的斜率不存在; 当 m≠2 时,直线 AB 的斜率 kAB=m4--32=m-1 2.
方法归纳
(1) 求 直 线 的 斜 率 通 常 有 两 种 方 法 : 一 是 已 知 直 线 的 倾 斜 角 α(α≠90°)时,可利用斜率的定义,即 k=tanα 求得;二是已知直线 所经过的两点的坐标时,可利用过两点的直线的斜率公式计算求 得.
(2)使用斜率公式 k=yx22- -yx11求斜率时,要注意其前提条件是 x1≠x2,若 x1=x2,即两点的横坐标相等时,直线斜率不存在.
倾斜角与斜率
知识点一 直线的倾斜角
1.直线 l 的倾斜角的概念 一个前提:直线 l 与 x 轴相交; 一个基准:取 x 轴作为基准; 两个方向:x 轴正方向与直线 l 向上方向. 2.倾斜角的范围 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0°.因此, 直线的倾斜角α的取值范围为[0°,180°).
【答案】 D
方法归纳
根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图;然后根 据定义找直线向上的方向与 x 轴的正方向的夹角,即为直线的倾斜 角.画图时一般要分情况讨论,讨论时要做到不重不漏,讨论二 直线的斜率 [例 2] (1)已知两条直线的倾斜角分别为 60°,135°,求这两条 直线的斜率; (2)已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,AC 的斜率; (3)求经过两点 A(2,3),B(m,4)的直线的斜率.

311倾斜角与斜率

311倾斜角与斜率

6
3
求直线斜率k的取值范围 .
y
解:当 时 ,
6
2
有 tan tan 即 k 3 .
6
3
当 2 时 ,
2
3
O
x
有 tan tan 2 即 k 3.
3
综上直线的斜率k的取值范围 ( , 3) ( 3 , ). 3
课后作业
1.教材P86练习(书上)
2.教材P89习题3.1A组1—4(作业本) 3.《同步解析与测评2》之3.1《基础测评》( 不含平行于垂直)
1
2
暑假结束了......
紧张的学习 ~即将开始
3
或许你会遇到很多困难
老师会陪伴着你、帮 助你~战胜困难取得 胜利!
4
预习...课前
听课...做好笔记(有笔记本)
复习...小结
作业...按时、独立完成
再预习
形成良性循环
课代表准备一个专用记录本
自备一本资料,补充题一律做在 笔记本上
5
聪明在于勤奋 天才在于积累
倾斜角:
A
在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直 线,如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾 斜角。
•概念分析
1. 倾斜角的顶点是x轴与直线的交点; 2. x轴绕交点旋转; 3. 旋转方向为逆时针; 4. x轴和直线重合时旋转终止; 5. 取最小正角.
y
当直线与x轴平行或重合时, 规定倾斜角为 0°.
0
l x
倾斜角的取值范围是 00 1800.
斜 率:
倾斜角不是90 °的直线,它的倾斜角的
正切叫做这条直线的斜率。
意义:斜率表示倾

3.1直线的倾斜角与斜率解析

3.1直线的倾斜角与斜率解析

x
一、直线的倾斜角:
1、定义:
y
当直线l与x轴相交时,
我们取x轴作为基准,x轴
正向与直线l向上方向之间 o
所成的角 叫做直线的
倾斜角。
l
x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时, 00 2.当直线与x轴垂直时, 900
按倾斜角分类,直线可分几类?
y
p
l
o
x
y
l
p
o x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
2、范围: 0 a 180
y
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答:斜率不存在,
因为分母为0。
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )
的直线的斜率公式:
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
(4)斜率公式:k
y2 x2
y1 x1
(或k
y1 y2 ) x1 x2
2、思想方法:类比;几何问题代数化
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用k来表示.
P2 P1
P1 P2
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1

311直线的倾斜角与斜率

311直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系里
点用坐标表示:
y
p(x, y)
x
l
x
直线如何用代数方法 o 来表示呢?
y
思考?
o
一条直线由哪些条
ห้องสมุดไป่ตู้
件确定呢?
直线的位置
我们知道,两点确定一条直线。
y
一点能确定一条
o
直线的位置吗?
x
过一点O的直线可以作无数条, 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义:
当直线L与X轴相交时,我们取X轴作为基 准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角(angle of inclination)
x
l
y
a o
注意两个方向: (1)直线向上方向; (2)X轴的正方向。
练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角为锐角 k>0; 倾斜角为钝角 k<0; 倾斜角为00 k=0.
角的大小 0° (0°,90°) 90° (90°,180°)
K的范围 0 (0,+∞) 不 (-∞,0) 存 在
K的增减性 —— 随角递增而 — 随角递增而
a 60 k tan 60 3
当a 90时
y
k ?
o
x
思考:当直线与 x 轴垂直时,
直线的倾斜角是多少?
a 90 tan a(不存在)

直线的倾斜角与斜率通用

直线的倾斜角与斜率通用

2023《直线的倾斜角与斜率通用》contents •直线倾斜角与斜率的概念•直线的倾斜角与斜率的计算•直线倾斜角与斜率的应用•直线倾斜角与斜率的扩展知识•直线的倾斜角与斜率的数学文化价值目录01直线倾斜角与斜率的概念直线倾斜角是直线与水平线的夹角,可以用希腊字母表示。

直线倾斜角的取值范围是0度到180度。

直线倾斜角的定义直线斜率是直线在平面直角坐标系中的变化率,可以用符号表示。

直线斜率的取值范围是负无穷大到正无穷大。

直线斜率的定义直线斜率与直线倾斜角之间存在一种对应关系,可以用公式表示。

当直线斜率大于0时,直线倾斜角为锐角;当直线斜率小于0时,直线倾斜角为钝角。

直线倾斜角与斜率的关系02直线的倾斜角与斜率的计算直线的倾斜角是直线与水平线的夹角。

直线的倾斜角的计算定义$\alpha \in \lbrack 0,\pi)$。

取值范围当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时,直线垂直于水平线。

特殊值计算公式$k = \tan\alpha$,其中$\alpha$是直线的倾斜角。

定义直线的斜率是直线在平面上的变化率。

特殊值当$\alpha = \frac{\pi}{2}$时,直线不存在斜率。

直线斜率的计算1直线倾斜角与斜率计算的特殊情况23当直线的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$时,直线垂直于水平线,其斜率不存在。

垂直线当直线的斜率为0时,直线的倾斜角为0,即直线与水平线重合。

水平线当直线的斜率不存在时,直线的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$或其终边在坐标轴上。

斜率不存在03直线倾斜角与斜率的应用平行垂直重合当两直线的斜率的乘积为-1时,两直线垂直。

当两直线的斜率相等且截距相等时,两直线重合。

03利用倾斜角与斜率判断直线的位置关系0201当两直线的斜率相等且截距不相等时,两直线平行。

求解最值在生产生活中,经常会遇到求解最值问题,结合倾斜角可更好地解决。

优化方案通过比较不同方案下直线的倾斜角,可选择最优方案。

311直线的倾斜角与斜率

311直线的倾斜角与斜率

2、直线的斜率定义: ktana (a90)
3、斜率k与倾斜角之间的关系:
a 0 k tan0 0
0 a 90 k tana 0
a
90
tana(不存在) k不存在
90 a 180 k tana 0
4、斜率公式: ky2y1(或 ky1y2)
x2x1
x1x2
问题1: 我们学过:x-y+1=0,它表示什么?
问题2: 如何在Leabharlann 面直角坐标系内确定它的位置?y
1
问题3:
-1 o
x
过(-1,0)点能不能确定一条直线?
1.直线的倾斜角
y
l
α o
直线l与x轴 相交时,取x轴为 基准,x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 x 角α叫做直线L 的倾斜角。
规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角 为0°
例题分析
3.从 M2, 2 射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 :P设 (x,0)
因为入射角等于反射角
y
KMPKPN
23 2x 8x
解得 x2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0 180
定义:我们把一条直线的的倾斜角的正切值
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:
ktan,001800
k,
倾斜角是90 °的直线没有斜率。 例如: l的 直 倾 线 斜 45,角 则为 斜率 k为 ta4n: 51
直线 l的倾斜1角 20,则 为斜率k为 ta: 1n203
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