浙江省温州市共美联盟2020-2021学年高二上学期期末数学试题

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浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(A卷)

2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。

2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改功，须将原填涂处用橡皮擦净。

3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题卷上无效。

选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(3,3-是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 2．已知空间的三个不共面的单位向量a ，b ，c ，对于空间的任意一个向量p ，（） A ．将向量a ，b ，c 平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上 B ．总存在实数x ，y ，使得p xa yb =+C ．总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a b =+++-D ．总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a c =+++-3．已知函数()f x 在2x =的附近可导，且()22lim22x f x x →-=--，()22f =，则()f x 在()()2,2f 处的切线方程为（）A ．260x y +-=B ．220x y --= C．260x y +-=D ．220x y -+=4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，且c 是a ，b 的等比中项，则在椭圆上使1290F PF ∠=︒的点P 共有（）A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个5．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，则“对于任意*n ∈N ，都是5n S S ≤”是“65a a <的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知椭圆1L ：2212516x y +=，椭圆2L 与椭圆1L 的离心率相等，并且椭圆1L 的短轴端点就是椭圆2L 的长轴端点，据此类推：对任意的*n ∈N 且2n ≥，椭圆n L 与椭圆1n L -的离心率相等，并且椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，由此得到一个椭圆列：1L ，2L ，⋅⋅⋅，n L ，则椭圆5L 的焦距等于（）A ．4365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．4465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．2365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．2465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭7．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =O 为BC 的中点，M 是棱11B C 上一动点，过O 作ON AM ⊥于点N ，则线段MN 长度的最小值为（） A ．364B ．62C ．334D 38．已知a ，b 为不相等的正实数，则下列命题为真的是（） A ．若e 1ba =+，则ab < B ．若11ln a b=-，则a b < C ．若()e 1e a b b a =+，则a b <D ．若()ln ln 1a b b a =+，则a b <二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=，下列说法正确的是（） A ．当12C C ≠时，直线1l 与2l 不重合B ．当12210A B A B -≠时，直线1l 与2l 相交C ．当12210A B A B -=时，12l l ∥D ．当12120A A B B +=时，12l l ⊥10．已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，下列说法正确的是（） A ．若a b ⊥，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b 上的投影向量为13b ，则4x =D ．若a 与b 夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭11．如图，已知点P 是椭圆2211612x y +=上第一象限内的动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y 轴上的动圆T 始终与射线1PF ，2PF 相切，切点分别为M ，N ，则下列判断正确的是（）A ．4PM PN ==B ．212PMPF PF ≤⋅C ．PMN △面积的最大值为3D ．当点P 坐标为(23,3时，则直线PT 的斜率是2312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()11431,2,n n n n a a a a n ++⋅=-=⋯，则（）A ．13n n a a +<B ．51243a <C ．1ln 1n n a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭D ．17114n S ≤<非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年温州市共美联盟高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年温州市共美联盟高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集U={x|x2−3x+2≥0}，A={x||x−2|>1}，B=|x|x−1x−2>0}，则A∩∁U B=()A. ⌀B. (−∞,1)C. (3,+∞)D. (−∞,1)∪(3,+∞)2.cos43π6=()A. √32B. 12C. −√32D. −123.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是()A. 个B. 个C. 个D. 个4.已知函数y=sin(2x+π3−2m)(m>0)为偶函数，则m的最小值为()A. π12B. π3C. 5π12D. 7π125.已知函数f(x)=、b为常数，a≠0，x∈R)在x=处取得最小值，则函数y=f(−x)是()A. 偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B. 偶函数且它的图象关于点(，0)对称C. 奇函数且它的图象关于点(，0)对称D. 奇函数且它的图象关于点(π,0)对称6.已知f(x)=sinx+cosx，f′(x)=3f(x)，f′(x)为f(x)的导数，则sin2x−3cos2x+1=()A. 139B. 116C. −149D. −1167.已知函数f(x)=2cos(ωx+π6)(ω>0)满足：f(83π)=f(143π)，且在区间(83π,143π)内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：P1：f(x)在[0,2π]上单调递减；P2：f(x)的最小正周期是4π；P3：f(x)的图象关于直线x=π2对称；P4：f(x)的图象关于点(−43π,0)对称．其中的真命题是()A. P1，P2B. P2，P4C. P1，P3D. P3，P48.已知log23=a，log38=b，则ab=()A. 4B. 3C. 2D. 19.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移π3个长度单位，所得图象对应的函数解析式为()A. f(x)=sin2xB. f(x)=−sin2xC. f(x)=sin(2x−2π3) D. f(x)=sin(2x+2π3)10.已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数．当x≥0时f(x)={x 2,0≤x≤1f(x−1)+1,x>1.若恰有5个不同的实数x1，x2，…，x5，使得f(x)=mx成立，则实数m的值为()A. √2−1B. 2√2−2C. 2−√2D. 3−2√211.已知函数f(x)不恒为零，对于任意x，y∈R，总有：f(x)+f(y)=f(x+y)，下列结论一定正确的是A. f(x)为偶函数B. f(x)为奇函数C. f(x)为增函数D. f(x)为减函数12. 下列函数中与y=x表示为同一函数的是()A. y=x2−xx−1B. √x2C. y=log22xD. e lnx二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）13. 设数列x n满足log2x n+1=1+log2x n(n∈N∗)，且x1+x2+⋯+x10=10，记x n的前n项和为S n，则S20=______ ．14. 设函数，则f(−6)+f(log211)=______．15. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +8e )=f(x)，当x ∈[0,4e ]时，f(x)=ex −2，则函数g(x)=f(x)−lnx 在(0,6)上的零点个数为______个．(其中e 为自然对数的底数，e =2.71828…)16. 已知函数f(x)=2sinx ，g(x)=sin(π2−x)，直线x =m 与f(x)、g(x)的图象分别交于M 、N 点，则|MN|的最大值是______ ．17. 给出下列命题：①函数y =sin(−2x)是偶函数； ②函数y =sin(x +)在闭区间[−，]上是增函数；③直线x =是函数y =sin(2x +)图像的一条对称轴；④将函数y =cos(2x −)的图像向左平移个单位，得到函数y =cos2x 的图像.其中正确的命题的序号是________．18. 在锐角三角形ABC 中，若sinA =2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）19. 如图，扇形AOB 中，半径为1，AB⏜的长为2，则AB ⏜所对的圆心角的大小为 (1) 弧度；若点P 是AB ⏜上的一个动点，则当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，<OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ >= (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）20. 已知tanα=2．(1)求sinα+cosαsinα−cosα的值；(2)若tan(α−β)=2，求tan(β−2α)的值．21. 已知函数f(x)=a x −a −x ，(a >0,a ≠1)，(1)判断函数f(x)的奇偶性．(2)若f(1)<0，试判断函数的单调性，并求使不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0恒成立的的取值范围． (3)若a =2，g(x)=a 2x +a −2x −2mf(x)，且g(x)在区间[1,+∞)上的最小值为−2，求m 的值．22. 已知函数．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最值．23. 已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[−5,5](其中a为常数)．(1)当a=−1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：A解析：解：全集U={x|x2−3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}，A={x||x−2|>1}={x|x−2<−1或x−2>1}={x|x<1或x>3}，B=|x|x−1x−2>0}={x|(x−1)(x−2)>0}={x|x<1或x>2}，则∁U B={x|x=1或x=2}，所以A∩∁U B=⌀．故选：A．化简全集U和集合A、B，根据补集和交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：cos43π6=cos(7π+π6)=cos(2π+π+π6)=cos(π+π6)=−cosπ6=−√32，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C．考点：函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．4.答案：C解析：解：函数y=sin(2x+π3−2m)(m>0)为偶函数，即π3−2m=π2+kπ，(k∈Z)，解得：m=−π12−12kπ，∵m>0，当k=−1时，m取得最小值，即m=5π12．故选C．利用诱导公式化简可得结论．本题主要考查了正弦函数的奇偶性，由函数y=sin(2x+π3−2m)(m>0)是偶函数得到−2m+π3=kπ+π2，k∈Z是解题的关键，属于基础题．5.答案：D解析：本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性．对于三角函数的基本性质要熟练掌握，这是解题的根本．函数y=的图象变换．解：已知函数，所以的周期为2π，若函数在x=处取得最小值，不妨设，则函数，所以是奇函数且它的图像关于点对称，故选D．6.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx+cosx，∴f′(x)=cosx−sinx，又f′(x)=3f(x)=3sinx+3cosx，∴cosx−sinx=3sinx+3cosx，cosx=−2sinx，tanx=−12．∴sin2x−3 cos2x+1=sin2x−3(cos2x+sin2x)cos2 x+( cos2x+sin2x)=−2sin2x−3cos2x2cos2x+sin2x=−2tan2x−32+tan2x=−2×14−32+14=−149，故选C．由条件f′(x)=3f(x)，求得tanx=−12，化简要求的式子sin2x−3cos2x+1=−2tan2x−32+tan2x，把tanx=−12代入−2tan2x−32+tan2x，运算可得结果．本题考查导数的求法，同角三角函数的基本关系的应用，求出tanx=−12是解题的关键．7.答案：B解析：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的值域和单调性，属于中档题．根据f(83π)=f(143π)，可得f(x)的图象的一条对称轴方程为再根据函数在区间(83π,143π)内有最大值但没有最小值，求得ω=12，再利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的值域和单调性，判断各个命题是否正确，从而得出结论．解：由函数f(x)=2cos(ωx+π6)(ω>0)满足：f(83π)=f(143π)，可得函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=11π3．再根据函数在区间(83π,143π)内有最大值但没有最小值，可得ω×11π3+π6=2kπ，k∈Z，且14π3−8π3<2πω，即ω=6k−1 211且0<ω<1，∴ω=12，f(x)=2cos(12x+π6).对于P1，在[0,2π]上，12x+π6∈[π6,7π6]，f(x)在[0,2π]上不单调，故P1不正确；对于P2，f(x)的最小正周期是2π12=4π，故P2正确；对于P3，当x=π2时，f(x)=cos5π12，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x=π2对称，故P3不正确；对于P4，当x=−4π3时，f(x)=cos(−π2)=0，故f(x)的图象关于点(−43π,0)对称；故P4正确，故选：B．8.答案：B解析：利用对数的换底公式即可直接求解．本题主要考查了换底公式在对数求值中的应用，属于基础试题．解：∵log23=a，log38=b，则ab=lg3lg2⋅lg8lg3=lg8lg2=log28=3，故选：B．9.答案：B解析：解：依题意，知A=1，14T=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，ω=2；又π3ω+φ=2kπ+π(k ∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k ∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=π3， ∴f(x)=sin(2x +π3)，∴将f(x)的图象向左边平移π3个长度单位，得y =f(x +π3)=sin[2(x +π3)+π3]=sin(2x +π)=−sin2x ，故选：B ．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．10.答案：B解析：解：∵函数y =f(x)是定义域为R 的奇函数．x ≥0时f(x)={x 2,0≤x ≤1f(x −1)+1,x >1．∴f(0)=0，若恰有5个不同的实数x 1，x 2，…，x 5，使得f(x)=mx 成立，则f(x)=mx 有且仅有两个正根，则m >0，且y =mx 的图象，与y =f(x)，x ∈[1,2]的图象相切，由y =f(x)=(x −1)2+1，x ∈[1,2]，故mx =(x −1)2+1有且只有一个解，即x 2−(m +2)x +2=0的△=0，解得：m =2√2−2，或m =−2√2−2(舍去)，故m =2√2−2，故选：B由已知中恰有5个不同的实数x 1，x 2，…，x 5，使得f(x)=mx 成立，可得f(x)=mx 有且仅有两个正根，则m >0，且y =mx 的图象，与y =f(x)，x ∈[1,2]的图象相切，进而可得答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中结合函数奇偶性的函数特征，分析出f(x)=mx 有且仅有两个正根，是解答的关键．11.答案：B解析：令x =y =0，则f(0+0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=2f(0) ∴f(0)=0 令x =−y ，则f(x −x)=f(x)+f(−x) ∴f(x)+f(−x)=f(0)=0 ∴f(−x)=−f(x) ∴y =f(x)是奇函数，故选B12.答案：C解析：本题考查了相同函数的判断，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和对应法则是否都相同，考查了推理能力，属于基础题．判断每个选项函数的定义域和对应法则是否和y=x的定义域和对应法则都相同，从而得出正确的选项．解：A.x−1≠0，x≠1，定义域不同，∴与y=x不是同一函数，该选项错误；B.√x2=|x|，对应法则不同，不是同一函数，该选项错误；C.y=log22x=x，定义域和对应法则都相同，是同一函数，该选项正确；D.e lnx的定义域为x>0，定义域不同，不是同一函数，该选项错误．故选：C．13.答案：10250解析：先由log2x n+1=1+log2x n(n∈N∗)，找到数列{x n}是公比为2的等比数列，再代等比数列的求和公式即可．本题考查了等比数列的求和公式，因为等比数列的求和公式和公比的值是否为1有关，所以在用等比数列的求和公式时，一定要先看公比是否为1，再代公式．解：由log2x n+1=1+log2x n(n∈N∗)，得，即数列{x n}是公比为2的等比数列．又x1+x2+⋯+x10=10，即x1(1−210)1−2=10．所以S20=x1(1−220)1−2=x1(1+210)(1−210)1−2=10×(1+210)=10250，故答案为10250．14.答案：192解析：本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．推导出f(−6)=1+log28=4，f(log211)=2log211−1=112，由此能求出f(−6)+f(log211)的值．解：∵函数∴f(−6)=1+log 28=4， f(log 211)=2log 211−1=112，∴f(−6)+f(log 211)=192．故答案为：192．15.答案：4解析：解：∵f(x)=f(x +8e )⇒T =8e ．又∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，即f(−x)=f(x)=f(x +8e ).⇒对称中心为(4e ,0). 则根据题意可得函数y =f(x)与函数y =lnx 的图象如下：则函数y =lnx 的图象与函数f(x)的图象在(0,6)内共有4个交点，故答案为：4．由f(x)=f(x +8e )得函数周期T =8e ；又因为函数为偶函数，则可得f(−x)=f(x)=f(x +8e )，可得对称中心为(4e ,0).根据题意画出函数f(x)在(0,6)上的图象，将零点问题转化为交点问题即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，同时熟练画出函数图象，将零点问题转化为交点问题是本题的关键．16.答案：√5解析：解：|MN|=|f(x)−g(x)|=|2sinx −sin(π2−x)|=|2sinx −cosx|=|√5sin(x −ϕ)|.(其中tanϕ=12)故|MN|的最大值是√5．故答案为：√5求出|MN|的表达式，利用辅助角公式化简表达式，然后求出表达式的最大值．这道题如果单纯的从图形上观察，很难观测到最值．注意到M、N两点的横坐标一致(不变因素)，因此|MN|=|f(x)−g(x)|，这样就转化为函数的最值问题了．17.答案：①③．解析：试题分析：①函数y=sin(−2x)，显然是偶函数，正确．②[−，]，则显然不是函数y=sinx的增区间，所以y=sin(x+)在闭区间[−，]上是增函数，错．③因为当x=时，2x+=，所以直线x=是函数y=sin(2x+)图像的一条对称轴正确．④将函数y=cos(2x−)的图像向左平移个单位得到的图像，因而此选项错误，故正确的命题序号为①③．考点：正余弦函数的图像及性质，以及三角函数图像的平移变换．点评：本小题考查的知识点较多，一要知识三角诱导公式，二要知道三角函数图像变换的规律：左加右减，上加下减.三要知道三角函数的性质，特别是对称轴及对称中心，单调区间，最值等．18.答案：8解析：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，则tanAtanBtanC=−2(tanBtanC)2，换元结合函数特性可求得最小值．1−tanBtanC解：由sinA=sin(π−A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，因为sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0，cosC>0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=−tan(π−A)=−tan(B+C)=−tanB+tanC 1−tanBtanC ②，则tanAtanBtanC =−tanB+tanC 1−tanBtanC ⋅tanBtanC ，由tanB +tanC =2tanBtanC 可得tanAtanBtanC =−2(tanBtanC)21−tanBtanC ，令tanBtanC =t ，由A ，B ，C 为锐角，可得tanA >0，tanB >0，tanC >0，由②式得1−tanBtanC <0，解得t >1，tanAtanBtanC =−2t 21−t =−21t 2−1t ，又1t 2−1t =(1t −12)2−14，由t >1得，−14≤1t 2−1t <0，因此tanAtanBtanC 的最小值为8．故答案为8．19.答案：2解析：解：由弧长公式得：θ=21=2，即AB⏜所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：A(1,0)，B(cos2,sin2)，设<OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ，则P(cosθ,sinθ)(0≤θ≤2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ−cosθcos2−sinθsin2=(1−cos2)cosθ−sinθsin2=2sin 21cosθ−2sin1cos1sinθ=2sin1sin(1−θ)，又0≤θ≤2，所以−1，≤1−θ≤1，当1−θ=1即θ=0时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2sin 21，故答案为：2，0．由弧长公式得：θ=21=2，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：A(1,0)，B(cos2,sin2)，P(cosθ,sinθ)(0≤θ≤2)，结合两角和差的正弦公式则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ−cosθcos2−sinθsin2=(1−cos2)cosθ−sinθsin2=2sin 21cosθ−2sin1cos1sinθ=2sin1sin(1−θ)，当1−θ=1即θ=0时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2sin 21，本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题． 20.答案：解：(1)∵tanα=2，∴sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=2+12−1=3．(2)若tan(α−β)=2，则tan(β−2α)=−tan(2α−β)=−tan[(α−β)+α]=−tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)tanα=−2+21−2×2=43．解析：(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα+cosαsinα−cosα的值．(2)由条件利用两角差的正切公式求得tan(β−2α)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题． 21.答案：解：(1)显然定义域为R ，f(−x)=a −x −a x =−f(x)，故该函数为奇函数．(2)由已知得a −1a =a 2−1a <0，所以0<a <1．∴f′(x)=(a x +a −x )lna <0，所以f(x)在R 上是减函数．结合(1)知f(x)是减函数，所以f(x 2+tx)+f(4−x)<0恒成立，即为x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0恒成立， ∴(t −1)2−4×4<0，解得−3<t <5即为所求．(3)当a =2时，令t =2x −2−x ，因为x ≥1，所以t ≥32．故g(x)=22x +2−2x −2m(2x −2−x )=(2x −2−x )2+2−2m(2x −2−x )=t 2−2mt +2，t ≥32．令ℎ(t)=t 2−2mt +2,t ≥32.该函数开口向上，对称轴为t =m ．①当m ≤32时，ℎ(t)在[32,+∞)上递增，ℎ(t)min =ℎ(32)=−2，解得m =2512(舍)；②当m >32时，ℎ(t)在[32,m)上递减，在(m,+∞)上递增，所以ℎ(t)min =ℎ(m)=−m 2+2=−2，解得m =2，符合题意．综上可知，m =2即为所求．解析：(1)先判断定义域是否关于原点对称，然后利用奇偶性的定义判断即可；(2)先研究f(x)的单调性，然后结合奇偶性，去掉“f ”符号，研究一个二次不等式恒成立问题即可；(3)利用换元思想，令t =2x −2−x 后，转化为研究一个二次函数在指定区间上恒成立问题．本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，并在此基础上研究不等式恒成立问题解题思路．同时考查学生运用转化思想、分类讨论思想的解题能力以及运算能力．属于中档题．22.答案：(1)(2)解析：解：(1)，；(2)23.答案：解：(1)当a=−1时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，得到对称轴为x=1，1∈[−5,5]内，∴f(x)min=f(1)=1，−5距离对称轴较远，∴f(x)max=f(−5)=37，∴f(x)min=1，f(x)max=37．(2)函数f(x)=x2+2ax+2的对称轴为x=−a，∵f(x)在定义域内是单调函数，∴对称轴在[−5,5]的两侧，∴−a≤−5或−a≥5，解得，a≤−5或a≥5，∴a的取值范围为：a≤−5或a≥5．解析：(1)a=−1时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，得到对称轴为x=1，再根据二次函数的图象和性质即可得f(x)的最大值和最小值；(2)对称轴为x=−a，根据f(x)在定义域内是单调函数，所以对称轴在[−5,5]的两侧，列出不等关系即可得答案．本题考查了二次函数的最值以及二次函数的单调性，对于二次函数的性质，一般利用它的图象，结合考虑它的对称轴与开口方向，属于基础题．。

2019-2020学年浙江省温州市温州中学高二下学期期末考试数学试题 word版

浙江省温州市温州中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题1．已知全集U Z =，集合{}1,0,1M =-，{}0,1,3N =，()UM N 等于（）A ．{}1-B ．{}3C ．{}0,1D ．{}1,3-2．若α是钝角，2cos 3α=-，则sin()πα-=（） A ．23B ．23-C ．5-D ．5 3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S ，则“10a >”是“20210S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥ 5．函数2()()xf x a R x a=∈+的图象不可能是（）6．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（） A ．1B ．9C ．1或9D ．77．已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，1S a =，3S b =，5S c =，则（）A ．2a c b +=B ．2ac b = C ．15310a c b +=D ．31510a c b +=8．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（） A ．2B ．4C ．23D ．439．斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A 是矩形，M 是线段AB 上的动点，记直线1A M 与直线AC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则（）A ．αβ≤，βγ≤B ．βα≤，βγ≤C ．αβ≤，βγ≥D ．βα≤，βγ≥10．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，121a a -=，且对任意的1,2i =及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3 B ．4C ．5D ．611．若()522410012521x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则5a =___________，1234a a a a +++=___________．12．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于__________，表面积等于__________．13．若正数a ，b 满足225ab a b =++，则ab 的最小值是___________，a b +的最小值是___________． 14．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为X ，则(3)P X ==___________，()E X =___________． 15．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．16．已知||2x ≤，||2y ≤，θ∈R ，则{}(,)cos sin 1x y x y θθ+=∣围成的区域的面积为___________．17．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．18．已知函数2()3sin cos cos (0)f x x xx ωωωω=->的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()03132f x =-，求0cos 2x 的值． 19．如图，已知三棱锥P ABC -，PC AB ⊥ ，ABC △是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒，点F 为线段AP 的中点．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足121a a ==，且满足2112nn n na a a a ++++=．（1）求3a ，4a ，并判断1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列？并说明理由．（2）记13n n n a b a ++=，*n N ∈，且12n b b b c ++⋅⋅⋅+<恒成立，求实数c 的取值范围． 21．如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ，记ABQ △，ABP △的面积分别为1S ，2S ，问：是否存在椭圆2C ，使得122S S =？请说明理由．22．已知函数2()2ln 3f x x x ax =+-+．（1）是否存在实数a 使得01x =为()f x 唯一零点？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若存在0(1,2)x ∈使得()00f x =，求证：027x a >-．2019-2020学年温州中学高二下学期数学期末试卷答案一、选择题 1-5: BDCBD 6-10: CCCBD二、填空题11．32，210 12．320cm ，297cm 2+13．25，10 14．1033，113 1516．4π- 17．()4,+∞ 三、解答题18．解析：（1）∵1cos 21()2sin 22262x f x x x ωπαα+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴22T cππ==，∴1ω=．（2）∵()0011sin 26232f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴0sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，又∵0sin 2632x π⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，∵02,62x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴06cos 263x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴00cos2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭613363+=-⨯⨯=-． 19．解析：（1）∵2AB =，4PB =，60PBC ∠=︒，∴23PC =，∴90PCB ∠=︒，即PC BC ⊥，又PC AB ⊥，∴PC ⊥平面ABC ，解答：（2）取BC 的中点D ，连结，AD ，分别以DB 、DA 所在的直线为x ，y 轴，以过点D 作PC 的平行线为z 轴，建立直角坐标系如图所示，则(1,0,0)B ，(0,3,0)A ，(1,0,0)C -，(1,0,23)P -， ∴13,,32F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝，33,,32BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝，易知平面PBC 的法向量为()0,1,0n =设直线BF 与平面PBC 所成的角为θ，则33||222sin 4||||936344BF n BF n θ⋅====⋅++．20．解：（1）32a =，44261a -+-．由2112nn n na a a a ++++=可得1211n n n n a a a a ++++=，故1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列．（2）因为1211n n n n a a a a ++++=，于是11(1)s nan n a +=+-=， ∴1n n a na +=．于是111321(2)(2)(1)n n n n n n n a a a b a n a n n a ++++++===+++111(2)(1)12n n n n ==-++++．故12111111111233412222n b b b n n n ++⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-=-<+++，于是实数c 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．00222:1x x y y l a b+=，即220222004b x b k a y a x =-=-，又12l l ⊥，所以212221b k k a -⋅==-，即2222222a b a c ==-，所以222a c =，即2e =．（2）设椭圆222212x y c c+=，即22222y c x +=，又()20010:42x xl y x x -=-，即2001:24x x l y x =-代入椭圆，得23422000120228x x x x x c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，300202p x x x x +=+，所以30002200222p x xx x x x -=-=++，220020124p x y x x -=-+，2200020122p AB p x d y y x x -=-=++，又()202002:4x l y x x x -=--，即200224x y x x =-++代入抛物线，得2200880x x x x +--=，008Q x x x +=-，即0008x x x =--，222016444Q Q x x y x ==++，020164Q AB Q d y y x -=-=+，又122S S =，所以2Q AB P AB d d --=，即22220000222000216142222x x x x x x x ⎛⎫+=+=+ ⎪++⎝⎭，化简得620024320x x --=，即()()2420004480x xx +--=，所以202x =+又4202002200228212p x c xx x x x --==++，所以()2222000132481482c x x x =++=+=+221=． 22．解：（1）若01x =为()f x 零点，则2(1)2ln1130f a =+-+=，即4a =，当4a =时，2()2ln 43f x x x x =+-+，2()240f x x x'=+-≥，所以此时，()f x 在定义域内单调递增，即01x =为()f x 唯一零点，故存在4a =，使得01x =为()f x 唯一零点．（2）∵()200002ln 30f x x x ax =+-+=，∴20002ln 3x x a x ++=，要证027x a >-，即证22000000002ln 34ln 27627x x x x x x x x +++-+>⋅-=． ∵0(1,2)x ∈，即证2200004ln 276x x x x >+-+，即证20004ln 760(*)x x x +-+<设2()4ln 76g x x x x -+-+，4()27g x x x'-+- 当(1,2)x ∈时，()0g x '<，即()g x 在(1,2)上递减，故()(1)0g x g <-，所以(*)式得证，故027x a >-．。

2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二下学期期末考试数学试题解析版

2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．（0，1）C．（1，2）D．∅2．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．123．在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2B．4C．6D．85．已知数列{na n}是正项等比数列，a1＝2，a2＝4，则a4＝（）A．32B．24C．6D．86．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．设P为双曲线C：＝1上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，＝16，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．30D．158．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞09．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（）A．2+πB．4+2πC．2+πD．4+π10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．11．已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝；若l1⊥l2，则a＝．12．已知向量、为单位向量，，若，则|＝；与所成角的余弦值为．13．若a＝log23，b＝log34，则4a＝；log2a+log2b＝．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C+c cos A＝2b cos B，且a+c ＝8，则角B＝，AC边上中线长的最小值是．15．已知函数f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，若对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，则a∈．16．已知a，b∈R+且＝1，则的最大值为．17．如图，点F为椭圆C：的左焦点，直线y＝kx分别与椭圆C交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e ＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若角，，求的值．19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．20．已知两个正项数列{a n}和{b n}．其中{a n}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．b12+b22+b32+⋯+b n2＝na n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足，c n•（b n+b n+1）＝6，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．21．过圆O：x2+y2＝4上的点作圆O的切线l，若直线l过抛物线E：x2＝2py（p ＞0）的焦点F．（1）求直线l与抛物线E的方程；（2）是否存在直线y＝kx+2与抛物线E交于A、B与圆O交于C、D，使|AB|＝4|CD|，若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．22．设a∈[0，4]，已知f（x）＝，x∈R．（1）若f（x）是奇函数，求a的值；（2）当x＞0时，证明：f（x）≤x﹣a+2；（3）设对任意的x1，x2∈R及任意的a∈[0，4]，存在实数m满足f（x1）•f（x2）＝m，求m的范围．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．（0，1）C．（1，2）D．∅解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x﹣1＜1}＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝（0，1）．故选：B．2．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．12解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．3．在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，则A＞B可直接推出cos A＜cos B．所以，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充分条件．同理由余弦函数在0度到180度上是减函数，则cos A＜cos B可直接推出A＞B．所以，“A＞B”也是“cos A＜cos B”的必要条件．故选：C．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2B．4C．6D．8解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V＝．故选：C．5．已知数列{na n}是正项等比数列，a1＝2，a2＝4，则a4＝（）A．32B．24C．6D．8解：设正项等比数列{na n}的公比为q（q＞0），令b n＝na n，则b1＝a1＝2，b2＝2a2＝2×4＝8，所以q＝＝＝4，所以b4＝4a4＝b1q3＝2×43，所以a4＝2×42＝32．故选：A．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，f（x）≥0恒成立，排除C，故选：A．7．设P为双曲线C：＝1上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，＝16，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．30D．15解：由双曲线的方程可得a2＝16，b2＝9，所以a＝4，b＝3，所以c2＝a2+b2＝25，所以c＝5，由题意可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，设＜，＞＝θ因为＝16，所以||||•cosθ＝16，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cosθ＝（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1||PF2|﹣2|PF1||PF2|cosθ，即100＝64+2|PF1||PF2|﹣32，所以|PF1||PF2|＝34，所以cosθ＝＝，所以sinθ＝，所以S＝|PF1||PF2|•sinθ＝×34×＝15，故选：D．8．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．9．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（）A．2+πB．4+2πC．2+πD．4+π解：S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，表示的图形是以（cos2α，sin2α）为圆心，半径为的圆的内部，因为sin2α+cos2α＝1，所以令x＝cos2α，y＝sin2α，则x+y＝1，所以圆心在如图所示的线段AB上，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域为四边形CDEF，和两个半圆，因为CD＝2，AB＝CF＝，所以S＝π×（）2+2×＝4+2π，故选：B．10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A 正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A＝135°利用余弦定理解三角形得AD1＝，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．11．已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝3；若l1⊥l2，则a＝．解：直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则，解得a＝3；若l1⊥l2，则2（a﹣1）+3a＝0，即a＝．故答案为：3；．12．已知向量、为单位向量，，若，则|＝；与所成角的余弦值为．解：由可得||²＝||²＝||²+4||+4＝1+4+4×＝7，所以||＝；设与所成的角为θ，则cosθ＝＝＝＝＝，故答案为：，．13．若a＝log23，b＝log34，则4a＝9；log2a+log2b＝1．解：∵a＝log23，∴2a＝3，∴4a＝（2a）2＝9，又b＝log34，∴，∴log2a+log2b＝log2ab＝log22＝1．故答案为：9，1．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C+c cos A＝2b cos B，且a+c ＝8，则角B＝，AC边上中线长的最小值是．解：（1）∵a cos C+c cos A＝2b cos B，∴由正弦定理，可得sin A cos C+sin C cos A＝2sin B cos B，即sin（A+C）＝sin B＝2sin B cos B，又∵B∈（0，π），∴sin B≠0，cos B＝，∴B＝．（2）∵D为BC的中点，∴，∴＝＝＝12，当且仅当a＝c时，等号成立，取得最小值，∴，∴AC边上的中线长的最小值为．故答案为：．15．已知函数f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，若对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，则a∈[0，+∞）．解：∵f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，即f（x1）min≥g（x2）max，∵g（x）＝4x﹣2在（0，1]上单调递增，∴g（x）max＝g（1）＝2，∴ax﹣x2+3≥2对于任意x∈（0，1]恒成立，即a≥x﹣对于任意x∈（0，1]恒成立，又h（x）＝x﹣在区间（0，1]上单调递增，∴h（x）max＝h（1）＝1﹣1＝0，∴a≥0，故答案为：[0，+∞）．16．已知a，b∈R+且＝1，则的最大值为3﹣2．解：由a，b∈R+且＝1，得a+b＝（a+b）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当，时，a+b取得最小值，∴的最大值为＝＝3﹣2．故答案为：3﹣2．17．如图，点F为椭圆C：的左焦点，直线y＝kx分别与椭圆C交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e ＝．解：设|OA|＝x，根据对称性可知|OB|＝x，在Rt△OAF中，，在Rt△AFB中，，设桶圆的右焦点为F′，由粗圆的对称性可知|AF|+|BF|＝|AF|+|AF′|＝2a，即（1），又因为∠ABF＝∠AFO，所以△AFO～△ABF，所以，即（2），联立（1）（2）可得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若角，，求的值．解：＝．（Ⅰ）．∵y＝sin x在上递增，∴当时f（x）递增，即f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ），∴，∵，∴，∴，∴＝．19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形因为P为AD的中点，所以BP⊥AD，取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD，又因为CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，又因为CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，所以BP⊥平面ACD；（2）解：由（1）可知CD⊥BD，取BC的中点F，则EF⊥DE，即EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BPC的法向量为，则，即，令x＝1，则，故，又，所以，故MP与平面BPC所成角的正弦值为．20．已知两个正项数列{a n}和{b n}．其中{a n}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．b12+b22+b32+⋯+b n2＝na n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足，c n•（b n+b n+1）＝6，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．所以，整理得（1+2d+1）2＝（1+d）（1+3d+6）．∴4（d+1）2＝（1+d）⋅（3d+7）．易知d＞0，∴4d+4＝3d+7d＝3，∴a n＝3n﹣2，由于当n＝1时，，∴b1＝1．当n≥2时，．∴对n＝1也成立．∴．（Ⅱ），∴．∴．21．过圆O：x2+y2＝4上的点作圆O的切线l，若直线l过抛物线E：x2＝2py（p ＞0）的焦点F．（1）求直线l与抛物线E的方程；（2）是否存在直线y＝kx+2与抛物线E交于A、B与圆O交于C、D，使|AB|＝4|CD|，若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．解：（1）显然切线l的斜率存在，设切线的方程为：y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y﹣k+1＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝，由题意可得2＝，解得：k＝﹣，所以切线l的方程为：x+y﹣4＝0，由抛物线的方程可得焦点，令直线l的x＝0，可得y＝4，所以，所以抛物线E的方程：x2＝16y．（2）假设存在y＝kx+2，则圆心（0，0）到直线y＝kx+2的距离．∴，，所以，所以．由题意＝4•4，解得k＝±1或．所以存在这样的k值满足条件，且为：k＝±1或．22．设a∈[0，4]，已知f（x）＝，x∈R．（1）若f（x）是奇函数，求a的值；（2）当x＞0时，证明：f（x）≤x﹣a+2；（3）设对任意的x1，x2∈R及任意的a∈[0，4]，存在实数m满足f（x1）•f（x2）＝m，求m的范围．解：（1）由f（x）为奇函数，可知f（0）＝0，∴a＝0．当a＝0时，f，．∴f（x）为奇函数，∴a＝0．（2）证明：令，则g（x）＝＝＝，∴．（3）先求的值域．根据yx2﹣4x+y+a＝0，△＝16﹣4y（y+a）≥0⇒y2+ay﹣4≤0，解得，∴．又任意的a∈[0，4]，当a＝4时，max＝12+8，∴，∴，即m∈[﹣4，12+8]．。

2020-2021学年浙江省高二下学期3月月考英语试题汇编-应用文写作专题Word版含答案

浙浙浙2020-2021浙浙浙浙浙浙浙浙3浙浙浙浙浙浙浙-浙浙浙浙浙浙浙浙江省湖州市德清县第三中学2020-2021学年高二3月月考英语试题七、应用文写作（共1小题，满分15 分）76. 假如你是李华，正在英国留学。

下周你所在的社区将举行以中医为主题的社区活动，目前正在招募志愿者。

请你用英文向主办方提出申请，内容包括：1. 提出申请；2. 介绍自己的优势；3. 期待加入。

注意：1.词数80 左右；2.可以适当增加细节，以使行文连贯。

参考词汇：中医traditional Chinese medicine (TCM)【答案】Dear Sir/Madam,I’m Li Hua, an international student from China. Hearing that you are recruiting volunteers for the activity about TCM, I cannot wait to apply to be one.I am competent for the job in that my parents happen to be TCM doctors. Brought up in the dense atmosphere of medicine, I’m equipped with abundant knowledge of how todistinguish various Chinese herbal medicines. Besides, I have the experience of being a volunteer guide for Americans. As a consequence, I’m convinced that I’ll live up to your expectations.I’d appreciate it if you could take my application into account. Looking forward to working with you.Y ours,Li Hua浙江省乐清市知临中学2020-2021学年高二下学期第一次月考英语试题第一节：应用文写作（满分15分）假如你是红星中学高三学生李华，你的英国笔友Jim获悉近年来中国的快递业发展迅速，想了解你身边的快递服务情况(delivery service)。

浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷) (解析版)

2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．3．已知函数，则f（x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（0，1）4．在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,终边与单位圆的交点为,则sin(π-α)＝( ) A．B．C．D．5．已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（）A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝8．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）A．10个B．15个C．20个D．25个二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]10．已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（）A．B．tan（π﹣θ）＝m C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（）A．1B．2C．3D．412．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝log a（x﹣b），g（x）＝b x﹣a的图象可能是（）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省9 1高中联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3y =+的倾斜角为（）A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2. 已知直线1:10l mx y +-=，()2:2310l m x my ++-=，m R ∈，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.椭圆2241x y +=的离心率为（）A ．34 B C ． 23D ．4. 在空间直角坐标系中，已知()()1,0,2,3,2,4M N --，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是（）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1--C . ()1,1,1--D ．()1,1,1 5. 已知m 为空间的一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C . 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥6. 方程2x =所表示的曲线大致形状为（）A ．B ．C .D ．7. 已知点F 为椭圆221:+184x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()222:218C x y ++=的一个交点，则PF =（）A ． 1BC . 2D ．8. 设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（）A ．①②③B ．②③④C .①②④D ．①③④9. 若三棱锥P ABC -满足，,,PA BC PB AC PC AB ===，则该三棱锥可能是（） A ．2,3,4AB BC CA === B ．3,4,5AB BC CA === C . 4,5,6AB BC CA === D ．以上选项都不可能10. 如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，若点,M N 分别为线段1BD ，1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为（）A ．23B ．CD ．1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.13.已知(),P m n 是椭圆2214x y +=上的动点，则23m n +的最大值是，点P 到直线:20l x y -+=的最小距离是___________.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若2PA AC ==，则PEEC= ，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.15.经过点()2,1M -作圆22:5O x y +=的切线，则切线的方程为．16.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为．17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知m R ∈，命题:p 方程22119x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 函数()2f x x x m =-+在[]2,2-上有零点.（1）若命题p 是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题,p q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.20. 如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD∆为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.21.如图，已知圆()()221:112C x y -++=，圆()()222:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.22.如图，已知椭圆22:143x y Γ+=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作AB 的垂线交y 轴于点C .（1）设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若1k =，直线l 经过椭圆Γ的左焦点，求1211k k +的值；（2）若AB =23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OMC ∆面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CABDD 6-10:DBCCA 二、填空题11. ()()1,1,1,3- 12. 26π+，)144π+13. 5，5 14. 3，3415. 250x y -+=16. 4 17. 13三、解答题18.解：（1）命题:91014p m m m ->+>⇒-<<，即实数m 的取值范围为()1,4-；（2）命题p 真：[]2,2x ∈-时，216,4m x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，p 真q 假时1,44m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，p 假q 真时[]6,1m ∈--，∴[]16,1,44m ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭. 19.证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ，所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG A C ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 20.解：（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由条件CP AD ⊥，又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD ⊥，∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，AD MH ⊥，∴MH ⊥面ACD ， ∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，不妨设1CD =，则CM MP CP ===，∴cos MCP ∠==∴sin 3MCP ∠=所以直线CM 与平面ACD21.解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .由条件=221243d d -=，所以2243⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =，所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；（2）设:l y kx =；则由()()22215y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()221240k x k x +++=，解得122240,1k x x k+==-+.其中2k ≠-，所以()222424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，由()()22112y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()221220k x k x ++-=，解得342220,1kx x k -==+，其中1k ≠，所以()222222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=-⎪+⎩消去k ，得：2220x y x y +++=，（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 22.解：（1）由已知可得直线l 的方程为：1y x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27880x x +-=，且121288,77x x x x +=-=-，所以12121212121212121221181113x x x x x x x x k k y y x x x x x x +++=+=+==+++++；（2）设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理可知21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，所以2443M kmx k =-+，线段AB 的中垂线方程为：221434343km m y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，整理得2143my x k m =--+，所以243C my k =-+.又由()222221212228412414234343km m AB x x x x k k k -⎛⎫=+-=+--= ⎪++⎝⎭，整理可得：2224343k k +-=+，即()222224314341k m k k +=+-+①，所以()22222411222434343OMD M km m k S OC x m k k k ∆===+++将①代入整理可得：2211112231432124OMC kk S k k k k k k∆=-=-++++，因为23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2k ⎤∈⎥⎣⎦，而我们知道，1112,3124y y k k kk==-++都是关于k 在2⎤⎥⎣⎦上的单调递减函数，所以当1k =时，OMC S ∆有最小值128，当k =时，OMC S ∆所以1,2842OMC S ∆⎡∈⎢⎣⎦.。

浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(A)含答案

2023学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷选择题部分上无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程10x y ++=，则倾斜角为（）A.45° B.60°C.120°D.135°【答案】D 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线10x y ++=的斜率为-1，设直线的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，因为[)0,πθ∈，所以3π1354θ== .故选：D.2.在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则()12AB BD BC ++=（）A.ADB.GAC.AGD.MG【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得2BD BC BG +=，代入即可得出答案.【详解】因为，点G 是CD 的中点，所以，2BD BC BG +=，所以，()12AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：C.3.已知函数()f x 满足()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭'，则π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】求出导函数，代入π3x =，即可得出答案.【详解】由已知可得，()πcos sin 3f x f x x ⎛⎫'+⎪⎝⎭'=，则ππππ1πcos sin 3333232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21nn S m =⋅-，则4a =（）A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】根据n a 与n S 的关系，求出当2n ≥时，12n n a m -=⋅，以及12n na a +=，22a m =.由等比数列的可得212221a m a m ==-，求出m 的值，代入得出12n n a -=，48a =.【详解】由已知可得，1121a S m ==-，当2n ≥时，()11121212nn n n n n a S S m m m ---=-=⋅--⋅-=⋅，所以，11222nn n n a m a m +-⋅==⋅，且22a m =.由{}n a 为等比数列，可知212221a ma m ==-，解得1m =.所以，11122n n n a --=⋅=，48a =.故选：C.5.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A.13B.12C.23D.2【答案】B 【解析】【分析】画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积，利用二次函数的图象和性质求解即可．【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为h ；圆柱的底面半径为r ，高为x ，画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，如图则r h x R h-=，∴h x xr R R R h h-==-．∴圆柱侧面积22π2π·2π·2π(0)x R S r x R R x x Rx x h h h ⎛⎫==-=-+<< ⎪⎝⎭．22ππ(0)22R h Rh x x h h ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭∴当2hx =时，圆柱侧面积最大，此时圆柱与圆锥的高之比为21x h =．故选：B.6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数．．．．，若五边形数所构成的数列记作{}n a ，下列不是数列{}n a 的项的是（）A.35B.70C.145D.170【答案】D 【解析】【分析】根据已知得出的前几项，进而得出递推公式11,132,2n n n a a n n -=⎧=⎨+-≥⎩.根据累加法求得通项公式为232n n na -=.分别令n a 取35，70，145，170，求出n 的正整数解的情况，即可得出答案.【详解】由已知可得，11a =，21154322a a a ==+=+⨯-，322127332a a a ==+=+⨯-，4332210331a a a ==+=+⨯+，所以，132,2n n a a n n -=+-≥.当2n ≥时，累加法求和如下11a =，214a a =+，327a a =+，L132n n a a n -=+-，两边同时相加可得，12312114732n n a a a a a a a n -++++=+++++++- ，整理可得，()232131473222n n n n na n -+-=++++-==.对于A 项，令23352n n-=可得，23700n n --=，解得5n =或143n =-（舍去）.所以，535a =，故A 项错误；对于B 项，令23702n n -=可得，231400n n --=，解得7n =或203n =-（舍去）.所以，770a =，故B 项错误；对于C 项，令231452n n-=可得，232900n n --=，解得10n =或293n =-（舍去）.所以，10145a =，故C 项错误；对于D 项，令231702n n -=可得，233400n n --=，解得*16n +=∉N （舍去）或*16n =∉N （舍去）.所以，170不是数列{}n a 的项，故D 项正确.故选：D.7.已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，125AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为（）A.2± B. C. D.1±【答案】B 【解析】【分析】求出F 坐标，设()()1122,,,A x y B x y ，直线斜率为k ，倾斜角为θ，结合图象得出12,sin sin y y AF BF θθ==，表示出直线的方程为()1y k x =+，与椭圆联立，根据韦达定理得出2122943k y y k -=+，进而推得222129sin 543k k θ=+，根据三角函数基本关系式化简，得出方程，求解即可得出答案.【详解】易知2a =，b =，1c =，点()1,0F -.不妨设()()1122,,,A x y B x y ，120,0y y ><，直线斜率为k ，倾斜角为θ，易知12,sin sin y y AF BF θθ==，且直线的方程为()1y k x =+，联立直线与椭圆的方程()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得，()22243690k y ky k +--=.根据韦达定理可得，2122943k y y k -=+.又1212122212sin sin sin sin 5y y y y y y AF BF θθθθ-⋅=⋅===，所以有12212sin 5y y θ=-，所以，222129sin 543k k θ=+.又22tan k θ=，代入可得，()()22222222129tan 12sin 12tan sin 54tan 35sin cos 5tan 1θθθθθθθθ===+++所以，()22229tan 12tan 4tan 35tan 1θθθθ=++，解得2tan 3θ=，所以23k =，k =.故选：B.8.若函数()xxf x a b =+在()0,∞+上单调递增，则a 和b 的可能取值为（）A.ln1.1a =，10b =B.ln11a =，0.1b =C.0.2e a =，0.8b =D.0.2e a -=， 1.8b =【答案】D 【解析】【分析】二次求导得到()ln ln xxf x a a b b '=+在()0,∞+上单调递增，要想()xxf x a b =+在()0,∞+上单调递增，只需()0ln ln 0f a b '=+≥，A 选项，构造()1ln h x x x =--，1x >，求导得到单调性，求出0.1ln1.10>>，得到10ln1.1100.11ab =<⨯=；B 选项，ln110.1ln11110ab ==<；C 选项，令()()1e x q x x =-，()0,1x ∈，求导得到其单调性，求出0.210.8e ab =<；D 选项，构造()e 1x w x x =--，()1,0x ∈-，求导得到单调性，得到0.2e 0.8->，从而求出0.21.8e 1.80.81ab -=>⨯>.【详解】()xxf x a b =+，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，()ln ln x x f x a a b b '=+，令()()g x f x '=，则()()()22ln ln 0x x g x a a b b '=+>恒成立，故()ln ln xxf x a a b b '=+在()0,∞+上单调递增，要想()xxf x a b =+在()0,∞+上单调递增，只需()0ln ln 0f a b '=+≥，即只需1≥ab ，A 选项，10ln1.1ab =令()1ln h x x x =--，1x >，则()1110x h x x x='-=->在()1,+∞上恒成立，故()1ln h x x x =--在()1,+∞上单调递增，故()()1.110h h >=，即0.1ln1.10>>，故10ln1.1100.11ab =<⨯=，A 错误；B 选项，由于ln1110<，故ln110.1ln11110ab ==<，B 错误；C 选项，0.20.8e ab =，令()()1e xq x x =-，()0,1x ∈，则()()e 1e e 0xxxq x x x '=-+-=-<恒成立，故()()1e xq x x =-在()0,1x ∈上单调递减，故()()0.201q q <=，即0.210.8e ab =<，C 错误；D 选项，0.21.8e ab -=，令()e 1xw x x =--，()1,0x ∈-，则()e 10xw x '=-<恒成立，故()e 1xw x x =--在()1,0x ∈-上单调递减，故()()0.200w w ->=，即0.2e 10.20.8->-=，故0.21.8e 1.80.8 1.441ab -=>⨯=>，D 正确.故选：D【点睛】比较大小或证明不等式常用的不等式放缩如下：e e x x ≥，e 1x x ≥+，()ln 10x x x ≤->，11ln1x x ≤-，111ln 11x x x⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭等，根据不等式特征，选择合适的函数进行求解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A.22142x y -=与22142x y += B.22142x y -=与22124y x -=C.22142x y +=与22124x y += D.240y x +=与220x y +=【答案】CD 【解析】【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.【详解】对于A 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；椭圆22142x y +=的离心率为22e ===≠，故A 错误；对于B 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；双曲线22124y x -=的离心率为2e ===≠，故B 错误；对于C 项，椭圆22142x y +=的离心率为22e ===；椭圆22124x y +=的离心率为2e ===，故C 项正确；对于D 项，方程240y x +=可化为抛物线24y x =-，方程220x y +=可化为抛物线22x y =-，而且抛物线的离心率均为1，故D 项正确.故选：CD.10.已知函数()323f x x x =+，则（）A.()13f ¢-=-B.()f x 有两个极值点C.()f x 在区间()3,3-上既有最大值又有最小值D.()()()511622f f f -+-+=【答案】ABD 【解析】【分析】求导得出导函数，代入=1x -，即可判断A 项；根据导函数得出函数的单调性，即可得出函数的极值，进而判断B 项；根据B 项的单调性与极值，结合函数的极值以及()3f -、()3f ，即可判断C 项；求出()51,1,22f f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，即可判断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，()236f x x x '=+，所以()1363f -=-=-'.故A 正确；对于B 项，解()0f x '=可得，0x =或2x =-.解()0f x '>可得，<2x -或0x >，所以()f x 在(),2∞--上单调递增，在()0,∞+上单调递增；解()0f x '<可得，20x -<<，所以()f x 在()2,0-上单调递减.所以，()f x 在2x =-处取得极大值，在0x =处取得极小值.故B 正确；对于C 项，由B 知，()f x 在2x =-处取得极大值，在0x =处取得极小值.因为()327270f -=-+=，()28124f -=-+=，()00f =，()3272754f =+=.显然()()32f f >-，所以，()f x 在区间()3,3-上没有最大值.故C 错误；对于D 项，因为325552532228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1132f -=-+=，32111732228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，()511622f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故D 项正确.故选：ABD.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a <，120a a +>，则下列命题正确的是（）A.若{}n a 为等差数列，则数列{}n S 为递增数列B.若{}n a 为等比数列，则数列{}n S 为递增数列C.若{}n a 为等差数列，则数列{}n a 为递增数列D.若{}n a 为等比数列，则数列{}n a 为递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，得到公差0d >，110a d a +>->，结合等差数列求和公式得到110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，A 正确，推出()11n n a a n +>≥得到C 正确；BD 选项，得到公比211a q a =<-，举出反例得到C 错误，由10a >，且11n na q a +=>，得到D 正确.【详解】因为10a <，120a a +>，所以20a >，且211a a a >=-，AC 选项，若{}n a 为等差数列，则公差210d a a =->，110a d a +>->，则()112n n n S na d -=+，110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，则数列{}n S 为递增数列，A 正确；由于21a a >，故21a a >，又0d >，故()102n n a a n +>>≥，则()11n n a a n +>≥，数列{}n a 为递增数列，C 正确；BD 选项，若{}n a 为等比数列，则公比211a q a =<-，不妨设2q =-，11a =-，则232,4a a ==-，故1313S S =->=-，则数列{}n S 不为递增数列，B 错误；由于1q >，故11n na q a +=>，又10a >，故数列{}n a 为递增数列，D 正确.故选：ACD12.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，2AC BC ==，ACBC ⊥，点,,E F T 分别为棱1A A ，1C C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC的中点，且1A E FC ==，则（）A.1//A B 平面EFTB.M ∈平面EFTC.点A 到平面EFT距离的最大值为2D.平面1B EF 与平面ABC所成角正弦值的最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】以点C 为原点建立空间直角坐标系，设()04CF t t =<<，利用向量法逐一分析判断即可.【详解】如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，设()04CF t t =<<，则4,2AE t BT t =-=，AB =，故4BT t BA =，所以4tBT BA =，则()()()()2,0,4,0,0,,2,0,0,0,2,0E t F t A B -，故()112,2,0,,04422t t BT BA t t ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，所以11,2,022T t t ⎛⎫-⎪⎝⎭，对于A ，()12,0,4A ，则()12,2,4A B =-- ，()111112,2,412,2,412244ET t t t t t A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1//ET A B，则1//ET A B ，又ET ⊂平面EFT ，1A B ⊄平面EFT ，所以1//A B 平面EFT ，故A 正确；对于B ，()0,1,0M ，则()()110,1,,,2,,2,0,4222FM t FT t t t FE t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，假设M ∈平面EFT ，则,,,M E F T 四点共面，所以存在唯一实数对(),λμ，使得FT FE FM λμ=+，即()()11,2,2,0,420,1,22t t t t t λμ⎛⎫--=-+-⎪⎝⎭，所以()12212242t t t t t λμλμ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪-=--⎪⎪⎩，解得14122t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,,,M E F T 四点共面，即M ∈平面EFT ，故B 正确；对于C ，()0,0,4AE t =-，设平面EFT 的法向量为(),,m x y z =，则有()2420m FE x t z m FM y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则,2y t x t ==-，所以()2,,1m t t =-，所以点A 到平面EFT 距离为m AEm⋅= 令()4,0,4p t p =-∈，则4t p =-，故m AEm⋅====，当127p =，即72p =时，max142m AEm ⎛⎫⋅ ⎪== ⎪⎝⎭ ，所以点A 到平面EFT 距离的最大值为2，故C 正确；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以()10,0,4AA =即为平面ABC 的一条法向量，()10,2,4B ，则()10,2,4FB t =-，设平面1B EF 的法向量为(),,n a b c =，则有()()12420240n FE a t c n FB b t c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1c =，则12,22a t b t =-=-，故12,2,12n t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面1B EF 与平面ABC 所成的角为θ，则111cos cos ,AA n AA n AA nθ⋅===，则sin θ==，当125t =时，()min 2sin 3θ=，所以平面1B EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为23，故D 错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32432S S S =+，且41a =，则公差d =______．【答案】1-【解析】【分析】根据已知可推得3422a a ==，进而得出答案.【详解】由32432S S S =+可得，()32432S S S S -=-，即342a a =，又41a =，所以32a =，431d a a =-=-.故答案为：1-.14.已知圆1C ：22870x y x +-+=和圆2C ：2260x y y m +++=外离，则整数m 的一个取值可以是______．【答案】6（答案不唯一，或7或8）【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列出不等式，求出整数m 的值.【详解】由题意，将两圆的方程化为标准方程：得：圆1:C ()2249x y -+=，圆2:C 22(3)9x y m ++=-，圆1C 的圆心为()4,0，圆2C 的圆心为()0,3-，圆1C 的半径为3，圆2C ，5=．所以3590m <->⎪⎩，解得59m <<，所以整数m 的取值可能是6,7,8．故答案为：6（答案不唯一，或7或8）.15.两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】建立空间坐标系，设点坐标的得到线段长度表达式，配方利用二次函数最小值.【详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，BC BE ∴⊥，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0A C F E (),,,0,2CM a BN b a b ⎡⎤==∈⎣⎦ ，∴(,0,1)22a a M -，(,,0)22b b N ．22222()(0)(1)212222b a ab a b MN a a b =-+-+-=+--+=223221()2433a b a ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，当222,33a b ==时，MN 最小，最小值为33；故答案为：3316.已知双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，l ：3y x =是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线1PF 与l 交于点Q ，12QF QF ⊥，则12tan 2F PF ∠=______．【答案】31-##13-+【解析】【分析】作出图形，合理转化条件，硬解出P 点的纵坐标，利用焦点三角形面积相等求解即可.【详解】如图连接2PF 设(3)Q x ，易知3y x =是C 的一条渐近线，3ba=，则3b a =，而2()1312b ce a a=+=+==，故2c a =，则双曲线的方程为222213x y a a -=，1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，则1(23)F Q x a += ，2(23)Q F x a x =-，由12QF QF ⊥得222x a x -4+3=0，解得x a =，则()Q a ，故133F Q k a ==，则1FQ的方程为(2)3y x a =+2a x -=，联立方程组2x a =-，222213x y a a-=，设22(,)P x y ，11(,)T x y ，可得22890y a -+=，故122y y +=，21298y y a =，由图易得21y y >，则2132y y a -==，解得234y a =，易知12122F PF S c =⨯=V ，由焦点三角形面积公式得12212123tan tan 22F PFb a S F PF F PF ==∠∠V ，22123tan2a F PF =∠，解得12tan 12F PF∠=.1四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的菱形，2π3ABC ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD =，M 为PB的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ；（2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见讲解.（2）24【解析】【分析】（1）利用直线与平面的垂直的性质，平面与平面的判断定理进行证明.（2）利用空间向量求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为PD⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，因为PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，因为AC ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PDB .【小问2详解】连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以MO 为PBD △的中位线，所以MO PD ∥，因为PD⊥平面ABCD ，所以MO ⊥平面PBD ，如图建立空间直角坐标系.根据题意有0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以13,,122CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知平面MAC 的一个法向量为()1,0,0n =，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则·sin cos ,4CP n CP n CP n θ==== ，所以CP 与平面MAC所成角的正弦值4.18.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：-=5，求该圆的方程．x y20【答案】或【解析】【详解】（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°圆P截x轴所得的弦长为，2|b|=，得r2=2b2，圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b2-a2=1．又因P（a，b）到直线x-2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圆的方程是，或（法二）设圆的方程为，令x=0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，从而有2b2-a2=1．又因为P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r 2=2b 2=2所求圆的方程是，或19.已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，112a =．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）13k <【解析】【分析】（1）证明111n na a +-为定值即可；（2）先求出数列{}n a 的通项，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n nb S S =-，利用单调法求出数列{}n b 的最小项即可得解.【小问1详解】因为11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为112a =，公差为1的等差数列；【小问2详解】由（1）得11n n a =+，所以11n a n =+，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，则()1221222211n n n n n n n n n b b S S S S a a a ++++++-=---=+-11111111023222232422324n n n n n n n n =+->+-=->++++++++，所以数列{}n b 是递增数列，所以()1212min 13n b b S S a ==-==，即()2min 13n n S S -=，所以13k <.20.已知函数()ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当0a >时，()4f x+<【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可得解；（2）由（1）可得当0a >时，()max 1f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，要证()4f x +<，只需要证明()max 4f x +<即可，即ln 30a+>，令()()ln 30g a a a =+>，利用导数求出()g a 的最小值即可得证.【小问1详解】函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0f x '>，则10x a<<，令()0f x '<，则1x a >，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；【小问2详解】由（1）可得当0a >时，()max 1ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，要证()4f x +<()max 4f x +<即可，即ln 30a -+-，即ln 30a +->，令()()ln 30g a a a =+>，则()1g a a '==，当04a <<时，()0g a '<，当4a >时，()0g a '>，所以函数()g a 在()0,4上单调递减，在()4,∞+上单调递增，所以()()min 4ln 423ln 410g a g ==+-=->，所以ln 30a +>，所以当0a >时，()4f x +<21.已知点()2A 在双曲线C ：22221x y a a -=上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）221x y -=（2）3(,1)4【解析】【分析】（1）由点()2A在双曲线C上，代入求得a的值，即可求解；（2）根据题意，设直线l为2y x m=+，联立方程组，由0∆>，求得12m<-，且21212,4(1)x x x x m+=-=+，利用弦长公式求得则PQ=，进而得到229S m=-，再由直线AP和AQ的方程，得到21MNm=-，求得AMN的面积3521Sm=-，进而得到122511,24209S mS m m=-<--+，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由点()2A在双曲线2222:1x yCa a-=上，可得22541a a-=，解得21a=，所以双曲线C的方程为221x y-=.【小问2详解】解：由直线l垂直于OA，可得直线l的斜率为12OAkk=-=，设直线l的方程为2y x m=+，且1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程组2221y x mx y⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，整理得224(1)0x m+++=，因为直线l与双曲线C的右支交于,P Q两点，则()()2212212Δ16(1)0410mx xx x m⎧=-+>⎪⎪+=->⎨⎪=+>⎪⎩，解得12m<-，可得21212,4(1)x x x x m+=-=+，则12PQ x=-===又由点A到直线220l y m -+=的距离为1293d m ==-，所以21292S PQ d m =⋅=-，直线AP的方程为2y x -=+，令0x =，可得2M y =+，直线AQ的方程为2y x -=+，令0x =，可得2N y =+则M N MN y y =-===21m==-，所以AMN 的面积3521S m =-，又由23312221S S S S S S S -==-，则12255111,(21)(29)24209S m S m m m m =-=-<----+，令()22542094(162f m m m m =-+=--，可得函数()f m 在1(,2-∞-上单调递减，且1(202f -=，所以()20f m >，所以123(,1)4S S ∈，即12S S 的取值范围为3(,1)4.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.22.设函数()()2e axf x x =-．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a ，b 的值；（2）若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；（3）设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．【答案】（1）1,2a b =-=（2）(],1-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，利用累加法分析证明.【小问1详解】因为()()2e ax f x x =-，则()()e 2e ax ax f x a x =+-'，则()02f =-，()012f a '=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.【小问2详解】令()()()22e 2axg x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1ax ax axg x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e 2e 1e 22ax ax ax ax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e0ax x +>，令()41e 2ax h x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0axg x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e 22e ax ax ax x a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax >，可知()()22e 0ax x a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.【小问3详解】由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20axx x -++>，令1a =，可得()2e 20xx x -++>，令12e 1x t =>，则2e ,2ln x t x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t t t -<+，令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。

浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题含答案

2020学年第二学期温州十校联合体期末联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸；5.参考公式：棱锥的体积公式13V Sh =，S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}21,B y y x x R ==+∈，则AB =（）A. ∅B. {}1,2C. {}1,2,3D. {}1,2,5,102.双曲线2220214y x -=的渐近线方程为（）A. y =B. 2y x =±C. 12y x =±D. 14y x =±3.下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）A. )lny x =B. tan y x =C. 33x x y -=-D. 31y x =+4.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且1q >”是“{}n a 为递增数列”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数1()2x f x x=-的图象大致是（） A. B. C. D.6. 已知ABC △的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的ABC △有两解的是（）A. 2a =，3b =，60C =︒B. 2a =，b =30A =︒C. 1a =，2b =，45A =︒D. 2a =，3b =，c Z ∈7. 设0a >，0b >，且21a b +=，则2aa b+（）A.有最小值为6B.有最小值为6C.有最小值为143D.有最小值为78.已知三次函数32()23(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，且(2020)2020f =，(2021)2021f =，(2022)2022f =，则(2023)f =（）A. 2023B. 2027C. 2031D. 20359. 如图，已知椭圆C ：2244x y +=4，过椭圆C 上第一象限的点M 作椭圆的切线与y 轴相交于P 点，O 是坐标原点，作PN OM ⊥于N .则OM ON ⋅（）A.恒为定值B.有最小值没最大值C.有最大值没最小值D.既没最大值也没最小值10.如图，在等腰直角三角形ABC 中，2BC =，90C ∠=︒，D ，E 分别是线段AB ，AC 上异于端点的动点，且//DE BC ，现将ADE △沿直线DE 折起至'A DE △，使平面'A DE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，下列选项中错误的是（）A. 'A DB ∠的大小不会发生变化B.二面角'A BD C --的平面角的大小不会发生变化C. 三棱锥'A EBC -的体积先变大再变小D. 'A B 与DE 所成的角先变大后变小非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.椭圆22143x y +=的左焦点F 坐标为__________，以F 为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为__________. 12.已知点(),P x y 在不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域M 内运动，则区域M 的面积为__________，4z x y =-的最大值为___________.13.某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是__________，其内切球半径为___________.14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S，若1a ，220210a a +=，则2022S =____________；当n S 取得最大值时，n =__________.15.已知函数1()4sin cos 2f x x x =⋅-，若()()0f x f x a ++=恒成立，则正数a 的最小值是__________. 16.设a R ∈，函数22,0(),0x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若函数[]()y f f x =恰有4个零点，则实数a 的值为__________.17.已知a ，b 是平面上的单位向量，则2a b a b -++的最大值是__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()2sin cos f x x x x =⋅. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f A =且3a =，求bc +的取值范围.19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为平行四边形，2BC =，4BE =，2AB =，M 是线段AC 的中点，点A 在平面BCDE 上的射影为线段BD 的中点.（Ⅰ）证明：//AE 平面BMD ；（Ⅱ）若直线AB 与平面BCDE 所成角为6π，求二面角A BD M --的平面角的余弦值. 20. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*2n n n S a a n N =+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1211(1)n n n n n a b a a +++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2332n T ≤≤.21. 如图，已知点()2,2P 是抛物线C ：22y x =上一点，过点P 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A 、B 两点，直线PA 的斜率为()0k k >.（Ⅰ）若直线PA 、PB 恰好为圆()2221x y -+=的切线，求直线PA 的斜率；（Ⅱ）求证：直线AB 的斜率为定值.并求出当PAB △为直角三角形时，PAB △的面积. 22. 已知函数()2()f x x ax b a R =++∈.（Ⅰ）若2a =，当0x >时，若不等式()()20f x x ⋅-≥恒成立，求实数b 的值；（Ⅱ）若0b =，且函数()y f x =在[]0,1上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()y f x =的图像在[]0,2上与x 轴有两个不同的交点，求224b ab b ++的取值范围.2020学年第二学期温州十校联合体期末联考高二数学卷评分标准与参考答案一、选择题（4×10＝40分） 1-5：CBCAD6-10：BBDAD9. A 【解析】不妨设切线PM 方程为y kx m =+，联立切线方程和椭圆方程，由0∆=，可求得1M m ⎫⎪⎪⎝⎭， 1OP OM ON OM ⋅=⋅=为定值.10. D 【解析】由三余弦定理可知选项A 正确；由三垂线法作出二面角'A BD C --的平面角，可知其大小为定值，选项B 正确.()''21111'(2)2(02)3233A BCEB A CE BC CE A E x x x x x V V --=⋅⋅⋅=-=-<=<三棱锥三棱锥，由二次函数单调性可知V 先变大再变小，选项C 正确.'A B 与DE 所成的角先变小后变大，选项D 错误.二、填空题.（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分） 11. ()1,0-，24y x =-； 12.12，4； 13.83，2 14. 0，1011； 15.2π；16. -；17. 15.【解析】根据()f x 图像可知，最小正周期为π. 16.【解析】数形结合.三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.解：（Ⅰ）()2sin cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期为π. 由222232kx x k ππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈. ∴函数的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （Ⅱ）由()2sin 203f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭及0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3A π=，由正弦定理可知sin sin sina b cA B C====b B=，c C=，由3Aπ=及ABC△为锐角三角形可得62Bππ<<.∴]sin)sin sin()b c B C B A B+=+=++1sin sin6sin2266B B B B Bππ⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.∵62Bππ<<，∴2363Bπππ<+<，∴sin126Bπ⎛⎫<+≤⎪⎝⎭，∴(6sin6b c Bπ⎛⎫⎤+=+∈⎪⎦⎝⎭.19.（Ⅰ）证明：设BD与CE相交于O点，由题意知AO⊥平面BCDE.连接MO，点M、O分别是AC、EC的中点，∴//MO AE.∵AE⊄平面MDB，MO⊂平面MDB.∴//AE平面BMD.（Ⅱ）∵AO⊥平面BCDE，直线AB与平面BCDE所成角为6ABOπ∠=.∴sin16AO ABπ=⋅=，cos6OB ABπ=⋅=.∵AO⊥平面BCDE，∴平面ABD⊥平面CBD.∴二面角A BD M--的平面角θ与二面角M BD C--的平面角ϕ互余.取线段OC中点F，连接MF，则MF⊥平面BCDE.取OB中点G，连接FG、MG.1122MF AO==，2DB OB==2BC=，4CD BE==，∴222CD BC BD=+.∴2CBDπ∠=，即BC BD⊥，∵//FG BC，∴FG BD⊥.又MF⊥平面BCDE，∴MGF∠就是二面角M BD C--的平面角.在Rt MFG△中，12MF=，112FG BC==，∴1tan2MFFGϕ==，sinϕ=.∴cos sinθϕ==.∴二面角A BD M--20.解：（Ⅰ）当1n =时，2111122a S a a ==+，解得11a =；当2n ≥时，()22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+.∴()()()()()222211111110n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------+=--+=+--=，∵{}n a 是正项数列，∴10n n a a -+>，∴11n n a a --=. ∴数列{}n a 是以1为首项1为公差的等差数列. ∴n a n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1121121(1)(1)(1)n n n n n n a n b a a n n +++++=-=-⋅+11(1)11(1)(1)(1)1n n n n n n n n ++++⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭，因此，1111111(1)1(1)122311n n n T n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+=+⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时，1(1)11111n n T n n +-=+=+++单调递减，此时1311,12n T n ⎛⎤=+∈ ⎥+⎝⎦；当n 为偶数时，1(1)11111n n T n n +-=+=-++单调递增，此时121,113n T n ⎡⎫=-∈⎪⎢+⎣⎭. ∴2332n T ≤≤. 21.解：（Ⅰ）依题意，PA ：2(2)(0)y k x k -=->，由直线PA 与圆()2221x y -+=1=，解k =（Ⅱ）设(),A A A x y ，(),B B B x y .联立直线PA 与抛物线方程22(2)2y k x y x -=-⎧⎨=⎩，消去x 可得：22440ky y k -+-=，∴44A P k y y k -=，22A ky k-=， ∴222(1)22,k k A k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 用k -代替k 可得：22B ky k +=-，∴222(1)22,k k B kk ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭. 因此，221222A B A B AB A B A B A B y y y y k y y x x y y --====--+-. 即直线AB 的斜率为定值12-. 1︒当90PAB ∠=︒时，由1AB k k ⋅=-得2k =，此时()2,2P ，1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,32B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得PA =AB =1152122PAB S PA AB ===△. 2︒当90APB ∠=︒时，可得1k =，此时()2,2P ，()0,0A ，()8,4B -，求得PA =，PB =111222PAB S PA PB =⋅=⋅=△. 3︒当90ABP ∠=︒时，无解.综上所述，当PAB △为直角三角形时，PAB △的面积为152或12. 22.（Ⅰ）若2a =，2()2f x x x b =++，不等式()()20f x x ⋅-≥恒成立. 当2x >时，20x ->，此时()0f x ≥，02x <<时，20x -<，此时()0f x ≤，∴()2440f b =++=，解得8b =-，经检验符合题意.（由图像直接得到()20f =也相应给分）（Ⅱ）若0b =，则2()y f x x ax ==+.因为[]0,1x ∈，当0a ≥时，2()f x x ax =+在区间[]0,1上单调递增；当0a <时，()222,0(),x ax x a f x x ax x ax x a⎧-+≤<-⎪=+=⎨+>-⎪⎩，所以要使()f x 在[]0,1上单调递增，则需12a-≥，即2a ≤-.所以满足条件的实数a 的取值范围是(][),20,-∞-+∞.（由数形结合得到a 的范围也相应给分）（Ⅲ）解：依题意，方程20x ax b ++=在区间[]0,2上有两个相异实根.设1x ，2x 是方程20x ax b ++=在区间[]0,2上的两个相异实根，则()()12()f x x x x x =--， ∴()()2121224(42)(0)(2)22b ab b b a b f f x x x x ++=++==--，不妨设1202x x ≤<≤，则()()221122121222022122x x x x x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫≤--<⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224b ab b ++的取值范围是[)0,1.。

浙江省温州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷

2021学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（A卷）选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 已知空间向量，，，则（）A. 4B. -4C. 0D. 23. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是（）A. B. C. D.4. 圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.5. 在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（）A. B. C. D.6. 四边形ABCD和ABEF都是正方形，且面面ABEF，M为线段AF上的点，当M从A向F运动时，点B到平面MEC的距离（）A. 越来越大B. 越来越小C. 先增大再减小D. 先减小再增大7. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.11. 小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的有（）A.B.C. 对于，存在，使得D. 整个过程小明行走的速度一直在加快12. 集合．记中的最大元素为，中的元素之和为，记集合A的元素个数为，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.非选择题部分三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．13. 已知直线与直线平行，则实数______．14. 写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______，①；②单调递增．15. 如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．16. 对任意，若不等式恒成立，则实数a的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．18. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．（1）求证：；（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．19. 一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比．（1）求分钟后的水温；（2）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）20. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m．21. 如图，曲线在点处的切线交x轴于点，过作斜率为的直线交曲线于点；曲线在点处的切线交x轴于点，过作斜率为的直线交曲线于点，…依次重复上述过程得到一系列点：，；，；…；，，…；记点．（1）求；（2）求与的关系式；（3）求证：．22. 已知函数．（1）若是的极值点，求a的值；（2）当时，求证：恰有两个零点，，且（其中是的极值点）．参考答案1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】BD10.【答案】ABC11.【答案】ABC12.【答案】BCD13.【答案】14.【答案】n.（答案不唯一）15【答案】416.【答案】17.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；【小问2详解】解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.18.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】证明：取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又因为面面，面面，面，所以面，又面，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】取的中点，连接，则，因为，所以，又面，则即为与平面BCD所成角的平面角，所以，所以，又面，所以，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，则，设平面的法向量，则，可取，设平面的法向量，同理可取，则，所以二面角的余弦值为.19.【答案】（1），（2）在水烧开后4到7分钟之间饮用最佳【解析】【小问1详解】由每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比，可设比例系数为k，则，故，设一分钟后的水温为，则，设分钟后的水温为，则，，即，所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，显然也适合该式，故，.【小问2详解】由题意可令：，即，两边取常用对数，则有，即，因为，故解得，即在水烧开后4到7分钟之间饮用最佳.20.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：根据题意可知：，解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】解：设，联立，消整理得，则，解得，，则，点到直线的距离，则，解得，所以若面积为，.21.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【小问1详解】，则，故直线的方程为，即直线的方程为，与联立得出解得.【小问2详解】由（1）可得，则直线的方程为，即直线的方程为与联立得出即，故【小问3详解】由（2）可得，解得，即则，，，，故由可得22.【答案】（1）；（2）证明过程见解析.【解析】【小问1详解】函数的定义域为，，由题意得：，解得：，经验证符合要求.【小问2详解】证明：函数的定义域为，，，令得：，令得：，即在上单调递减，在上单调递增，且，当时，恒成立，故存在，使得，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为，所以，令（），，令得：，令得：，所以，所以，则，故存在，，使得恰有两个零点，接下来证明：，因为，，消去得：，其中，所以，而，所以，故，证毕；接下来证明：，即，因为在上单调递增，所以只需证，即①，因为，即，代入①中得：，即：，显然成立，结论得证；综上：恰有两个零点，，且（其中是的极值点）.。

2020-2021学年温州市共美联盟高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年温州市共美联盟高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 两条平行线l 1：3x +4y −2=0，l 2：ax +6y =5的距离等于( ) A. 35 B. 75 C. 715 D. 4152. 已知点P 在离心率为2的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左支上，A(0,4√3)，F 是双曲线的右焦点，若△PAF 周长的最小值是20，则此时△PAF 的面积为( )A. 6√3B. 10√3C. 14√3D. 18 3. 已知圆O 的半径为2，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，设∠APO =α，那么2S △PAB ⋅1tan2α的最小值为( )A. −16+4√2B. −12+4√2C. −16+8√2D. −12+8√2 4. 设x ，y 满足约束条件{x −3y +6≥0x +y −6≤0x +3y −6≥0，则z =x −y 的最小值是( )A. 0B. −1C. −2D. −3 5. 已知a 、b 、c 是复数，且a ≠0，则“b 2−4ac >0”是“方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件6. 8.下列命题为真命题的是 A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且 //， //，则 //D.，使成立 7. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，则△ABF 2的周长是( )A. 2√3B. 4C. 6D. 88.若点M(x,y)满足√(x+3)2+y2−√(x−3)2+y2=4，则点M的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线9.已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题()①若m//l，n//l，则m//n；②若m⊥α，m//β，则α⊥β；③若m//α，n//α，则m//n；④若m⊥β，α⊥β，则m//α或m⊂α．其中假命题是()A. ①B. ②C. ③D. ④10.焦点是(0,±2)，且与双曲线−=1有相同渐近线的双曲线的方程是()A. x 2−=1B. y 2−=1C. x 2−y 2=2D. y 2−x 2=2二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.若变量x，y满足约束条件{y≤xx+y≤4y≥k，且z=2x+y的最小值为−6，则k=______．12.椭圆x2a2+y25=1的左焦点F在x轴上，直线x=m与椭圆交于点A，B，若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______．13.如图，圆O的割线PA过圆心O交圆于另一点B，弦CD交OB于点E，且△COE∽△PDE，PB=OA=2，则PE的长等于______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知直线l1：ax+2y−1=0，直线l2：x+by−3=0，且l1的倾斜角为π4，则a=；若l1⊥l2，则b=；若l1//l2，则两直线间的距离为．15.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，则双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为(1)，离心率为(2)．16.已知正三棱柱ABC−A′B′C′的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为；最小正周期为．说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．17. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1−BD−P的平面角为α，用图中字母表示角α为(1)，sinα的最小值是(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. (本题满分12分)已知的三顶点坐标分别为：(1)求的外接圆M的标准方程(2)已知过的直线被的外接圆M截得的弦长为，求直线的一般式方程19. 如图①，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．(1)在线段BD′上确定点F，使得CF//平面AED′，并证明；(2)求△AED′与△BCD′所在平面构成的锐二面角的正切值．20. 如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0,9)，其轨迹方程是y=ax2+c(a<0)，D=(6,7)为x轴上的给定区间．(1)为使物体落在D内，求a的取值范围；(2)若物体运动时又经过点P(2,8.1)，问它能否落在D内？并说明理由．21. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A−A1D−B的正弦值；(3)求点C到平面A1BD的距离．22. 已知圆E：(x+√2)2+y2=12，点F(√2,0)，点P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线交半径PE于点M.直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，原点O到直线l的距离为√3．2(Ⅰ)求动点M的轨迹方程；(Ⅱ)求△OAB面积的最大值．。

浙江省“温州十校联合体”2021-2021学年高二上学期期末考试数学试题

2021学年第一学期“温州十校联合体”期末考试联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线0133=+-y x 的倾斜角是（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.抛物线24y x =的焦点是（）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ． (0,2)3.设l ，m 是两条不同的直线，错误！未找到引用源。

是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若,l m m α⊥⊂,则l α⊥ B ．若,l m αα，则l m C ．若,l m m α⊂则l α D ．若l α⊥,m α⊥，则l m 4．“直线b x y +=与圆122=+y x 相交”是“10<<b ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线条数为（）A ．1B .2C ．3D ．46.双曲线22x 1169y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，在左支上过点1F 的弦AB 的长为5，那么2ABF 的周长是（）A ． 12B ． 16C ． 21D ． 267．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则直线BE 与平面1BCD 所形成角的余弦值为（） A 10 B ．15 C 310 D ．358.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线9.已知点错误！未找到引用源。

2020-2021学年浙江省温州市共美联盟高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年浙江省温州市共美联盟高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 函数y =log 2(−2x +1)的定义域为( )A. (0,12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (−∞,12)2. 设x 、y ∈R ，则“x ≥y ”是“|x|≥y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知平面α与β平面为两个不同的平面，m 与n 为两条不重合的直线，则下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//α，则m//βB. 若m//n ，n//α，则m//αC. 若m ⊥α，α//β，则m ⊥βD. 若α⊥β，m ⊥α，则m ⊥β4. 设变量x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥5x −10，则目标函数z =x +2y 的最小值为( )A. 1B. 2C. 5D. 75. 若tanθ=√2，则sin2θ1+cos2θ等于( )A. √2B. −√2C. √22D. −√226. 圆O 1：x 2+y 2−2x +6y =0和圆O 2：x 2+y 2−6x =0的公共弦AB 的垂直平分线的方程是( )A. 2x −3y +3=0B. 2x −3y −5=0C. 3x −2y −9=0D. 3x −2y +7=07. 在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 35B. −35C. 25D. −258. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =90°，D ，E 分别是BC ，AB 的中点，AB =AP =4，AC =3，设异面直线PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P −BC −A 为γ，则( )A. α<β<γB. α<γ<βC. β<α<γD. γ<β<α9.设点P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为()A. √5B. √53C. √3 D. √3310.若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则()A. a>0，ab=12B. a>0，ab=2C. a>0，a=2bD. a>0，b=2a二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设集合A={1,3}，B={a+2,5}，A∩B={3}，则a=______，A∪B=______．12.已知双曲线C：y2m2−x24=1的一个焦点为(0,3)，则双曲线C的离心率为______，渐近线方程为______．13.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，已知a=3，c=√2，sinB+sinA(sinC−cosC)=0，则A=______，S△ABC=______．14.在数列{a n}中，a n+1+(−1)n a n=2n−1，则数列{a n}的前20项之和为______ ．15.若函数f(x)=||x|−4x|在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M−m=______．16.已知非零平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足a⃗，b⃗ 的夹角为π3，c⃗−a⃗与c⃗−b⃗ 的夹角为2π3，|a⃗−b⃗ |=2√3，|c⃗−b⃗ |=2，则b⃗ ⋅c⃗的取值范围是______．三、多空题（本大题共1小题，共6.0分）17.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为(1)，最长棱的长度为(2)．四、解答题（本大题共4小题，共58.0分）18.已知函数f(x)=2sinx⋅[cos(x−π3)+cosx]．(1)求f(π6)；(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．19.如图，已知四棱锥P−ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PB= 2√2，E、O分别为PA，BD中点．(1)求证：OE//面PDC；(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．20.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且1a1，1a2，1a4成等比数列，数列{b n}满足：2S n=b n+a n(n∈N∗).(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式：(2)设c n=√a n−1b n，求证：c1+c2+⋯+c n<2√n(n∈N∗)．21.过抛物线C：y2=4x上一点P(除原点外)作抛物线C的切线l交y轴于点M，过M点作垂直于l的直线交抛物线C于A、B两点．(1)若P点的坐标为(1,2)，求点M坐标；(2)若x轴上有一点D(4,0)，连接PD延长交抛物线C于Q点，求S△OPQ的最小值．S△ABD答案和解析1.【答案】D，【解析】解：要使原函数有意义，则−2x+1>0，解得x<12)．∴原函数的定义域为：(−∞,12故选：D．可看出，要使得原函数有意义，需满足−2x+1>0，然后解出x的范围即可．本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：①若x≥y，∵|x|≥x，∴|x|≥y成立，∴充分性成立，②当x=−3，y=2时，|x|≥y成立，但x≥y不成立，∴必要性不成立，∴x≥y是|x|≥y的充分不必要条件，故选：A．根据充要条件的定义，结合不等式的性质，举实例，可得答案．本题考查的知识点是充要条件的定义，不等式的性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若α//β，m//α，则m//β或m⊂β，故A错误；若m//n，n//α，则m//α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，α//β，由直线与平面垂直的性质可得，m⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故D错误．故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系判断A与B；由直线与平面垂直的性质判断C；由直线与平面、平面与平面垂直的关系判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(2,0)，化z=x+2y为y=−x2+z2，由图可知，当直线y=−x2+z2过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．故选：B．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=2cos2θ−1，tanθ=√2，∴sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ2cos2θ=tanθ=√2．故选：A．根据已知条件，结合二倍角公式，即可求解．本题考查了三角函数的二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，即可求解．6.【答案】C【解析】解：圆O1：x2+y2−2x+6y=0的圆心O1(1,−3)，圆O2：x2+y2−6x=0的圆心O2(3,0)，所以O1O2的中点坐标为(3+12,−3+02)，即(2,−32)，k O 1O 2=0−(−3)3−1=32所以两圆的公共弦AB 的垂直平分线即是圆心O 1O 2所在的直线：y +32=32(x −2)，即3x −2y −9=0，故选：C ．由两个圆的方程可得圆心的坐标，再由圆的性质垂直弦，平分弦可得弦的中垂线即为两个圆心所在的直线，进而求出结果．本题考查圆的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−B)+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−C)+0=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−9−16=−25．故选：D ．利用已知条件通过向量的数量积，转化求解即可．本题考查向量的数量积的求法，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为D ，E 分别是BC ，AB 的中点，所以DE//AC ，则∠PCA =α，因为PA ⊥平面ABC ，则PD 在平面ABC 内的射影为AD ，则∠PAD =β，在平面ABC 内过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，连接PF ，则PF ⊥BC ，则∠PFA =γ，在Rt △PAC 中，tan∠PCA =tanα=PAAC ，在Rt △PAD 中，tan∠PDA =tanβ=PA AD ，在Rt △PAF 中，tan∠PFA =tanγ=PA AF ，因为AC ≠AB ，所以必有AF <AC ，AF <AD ，又AC >AD ，所以PAAC <PAAD<PAAF，即tanα<tanβ<tanγ，又α，β，γ∈(0,π2)，所以α<β<γ．故选：A．先利用异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的定义，找到对应的角，然后在三角形中利用边角关系比较大小即可．本题考查了空间角的求解与应用，解题的关键是掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力与运输能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意可得：点P到原点的距离|PO|=√a2+b2=c，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|−|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=√5a，∴e=ca=√5．故选：A．由题意结合圆的半径和双曲线的定义得到a，c的比值关系即可确定其离心率．本题主要考查双曲线的离心率的求解，圆的几何性质，双曲线的几何性质等知识，属于中等题．10.【答案】B【解析】解：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2．故选：B．由选项可知a>0，则原不等式等价于(x−2a )(|x|−b)≥0，由二次函数的性质可知2a=b，由此得解．本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】1 {1,3，5}【解析】解：∵集合A ={1,3}，B ={a +2,5}，A ∩B ={3}， ∴a +2=3，解得a =1， A ∪B ={1,3，5}．故答案为：1，{1,3，5}．由交集A ∩B ={3}，得到a +2=3，由此能求出a 和A ∪B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】3√55 y =±√52x【解析】解：双曲线C ：y 2m 2−x 24=1的一个焦点为(0,3)，可得m 2+4=9，解得|m|=√5，双曲线C 的离心率为：√5=3√55．渐近线方程为：y =±√52x.故答案为：3√55；y =±√52x. 利用双曲线的焦点坐标，求解m ，然后求解离心率，以及渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的应用，渐近线方程的求法，是基础题．13.【答案】4 2√2−1【解析】解：∵sinB +sinA(sinC −cosC)=0，即sin(A +C)+sinAsinC −sinAcosC =0， ∴sinAcosC +sinCcosA +sinAsinC −sinAcosC =0， ∴sinCcosA +sinAsinC =0， ∵0<C <π，sinC ≠0，可得：cosA =−sinA ，即tanA =−1， ∵0<A <π， ∴A =3π4，∵a =3，c =√2，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得9=b 2+2−2×b ×√2×(−√22)，整理可得b2+2b−7=0，∴解得b=2√2−1，(负值舍去)，∴S△ABC=12bcsinA=12×(2√2−1)×√2×√22=2√2−12．故答案为：3π4，2√2−12．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A，结合A的范围可求得A，利用余弦定理可求b的值，进而根据三角形的面积公式即可得解．本题考查了和与差公式的化简和正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14.【答案】210【解析】解：∵在数列{a n}中，a n+1+(−1)n a n=2n−1，∴a2−a1=2×1−1=1，a3+a2=2×2−1=3；a4−a3=2×3−1=5；a5+a4=2×4−1=7；…从而可得：a1+a3=2；a2+a4=8；a5+a7=2；a6+a8=24；…所以从第一项起，依次取相邻两个奇数项的和为2；从第二项起，依次取相邻两个偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列；故其前20项的和为：2×5+(8×5+5×42×16)=210．故答案为：210．在数列{a n}中，a n+1+(−1)n a n=2n−1，可得：a1+a3=2；a2+a4=8；a5+a7=2；a6+a8=24；……，从第一项起，依次取相邻两个奇数项的和为2；从第二项起，依次取相邻两个偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列；利用求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、分组求和方法、等差数列的定义与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】5【解析】解：f(x)=||x|−4x |⩾0，又f(2)=0，所以f(x)min =0，即m =0； f(x)=||x|−4x|⩽|x|+|4x|⩽5，当{|x|⋅(4x )<0|x|=1或|x|=4，即x =−1或x =−4时不等式取等号，所以f(x)max =5，即M =5．所以M −m =5−0=5，故答案为：5．根据f(x)=||x|−4x |⩾0，又f(2)=0可求最小值；根据f(x)=||x|−4x |⩽|x|+|4x |⩽5，可求最大值．本题考查函数的最值，考查对勾函数的性质，考查绝对值不等式的应用，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于中档题．16.【答案】(0,6+4√3]【解析】解：如图：以点O 为起点作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，由a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，c ⃗ −a ⃗ 与c ⃗ −b ⃗ 的夹角为2π3可知：四点O 、A 、B 、C 共圆，设半径为r ．在△OAB 中：AB sin∠AOB =2r ，∴r =2．由图可得：b ⃗ ⋅c ⃗ =(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1∈(0,6+4√3]. 故答案为：(0,6+4√3].以点O 为起点作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，由a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，c ⃗ −a ⃗ 与c ⃗ −b ⃗ 的夹角为2π3可知：四点O 、A 、B 、C 共圆，可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算、圆，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．17.【答案】832√3【解析】【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得几何体的体积以及最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．【解答】解：由三视图可得直观图，几何体的体积为：13×2×2×2=83．再四棱锥P−ABCD中，最长的棱为PA，即PA=√PB2+AB2=√22+(2√2)2=2√3，故答案为：83；2√3．18.【答案】解：(1)∵f(x)=2sinx⋅[12cosx+√32sinx+cosx]=3sinx⋅cosx+√3sin2x=32sin2x+√3⋅1−cos2x2=√3sin(2x−π6)+√32，∴f(π6)=√3sinπ6+√32=√3．(2))∵0≤x≤π2，∴−π6≤2x−π6≤5π6，∴−12≤sin(2x−π6)≤1，∴0≤√3sin(2x−π6)+√32≤3√32，∴f(x)的值域为[0,3√32]．【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的两角差公式和二倍角公式，将原式化简为f(x)=√3sin(2x −π6)+√32，将x =π6代入f(x)，即可求解． (2)由x ∈[0,π2]，可得2x −π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质，即可求解．本题主要考查了三角函数的恒等变换应用，以及正弦函数的性质，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：连接AC ，可得O 为AC中点，故OE//PC ，OE ⊄面PDC ，PC ⊂面PDC ，即OE//面PDC ． (2)AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A 且垂直底面ABCD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，设P(a,b ，c)，由PA =√2,PD =√2,PB =2√2，即{a 2+b 2+c 2=2a 2+(b −2)2+c 2=2(a −2)2+b 2+c 2=8⇒{a =−12b =1c =√32，故点P(−12,1,√32)，设平面PAB 的法向量为：n⃗ =(x,y ，z)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,1,√32),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(52,1,−√32) 即可得：n ⃗ =(0,√3,−2)，设直线PC 与平面PAB 所成角为α，即sinα=|cos〈PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=4√3√7⋅4√2=√4214．【解析】(1)连接AC ，可得OE//PC ，进而证明OE//面PDC ；(2)建系，设P(a,b ，c)，根据PA =√2,PD =√2,PB =2√2求出P 点坐标，再计算平面PAB 的法向量，利用向量夹角公式来求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间向量在立体几何中的应用，考查直观想象的核心素养，属于中档题．20.【答案】(1)解：因为1a1，1a2，1a4成等比数列，所以(1a2)2=1a1⋅1a4，则a22=a1a4，所以(a1+d)2=a1(a1+3d)，又a1=1，所以d=1或d=0(舍)，则a n=n，因为2S n=b n+a n，则n(n+1)=b n+n，故b n=n2；(2)证明：由题意，c n=√a n−1b n =√n−1n2<√nn2=√1n=2√n<√n+√n−1=2(√n−√n−1)，所以c1+c2+⋯+c n<2(√1−√0)+2(√2−√1)+⋅⋅⋅+2(√n−√n−1)=2√n，故c1+c2+⋯+c n<2√n(n∈N∗)．【解析】(1)利用等比中项以及等差数列的通项公式，求出d的值，从而求出a n=n，由等差数列的求和公式求出S n，从而得到b n；(2)由(1)求出c n，然后利用放缩法以及裂项相消法证明即可．本题考查了数列与不等式的综合应用，等差数列与等比数列通项公式以及求和公式的应用，放缩法证明不等式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵抛物线C为y2=4x，∴y=±2√x，不妨取y=f(x)=2√x，求导可得y′=√x，∵切点P的坐标为(1,2)，∴直线k MP=√1=1，∴直线MP的方程为y−2=(x−1)，即y=x+1，又∵M为直线MP与y轴的交点，∴M的坐标为(0,1)．(2)设切点为P(x0,y0)，则切线l为，y0y=2(x+x0)，∵M为切线l与轴的交点，∴当x M=0时，yM =2x0y0=2×14y02y0=y02，∴M的坐标为(0,y02)，∵P(x0,y0)，D(4,0)，∴直线PD方程为x=(y04−4y0)y+4，∵直线BM与直线MP垂直，又∵k MP=2y0，M的坐标为(0,y02)，∴直线BM的方程为y=−y02x+y02，又∵A，B，M三点共线，∴直线AB的方程也为y=−y02x+y02，设A(x A,y A)，B(x B,y B)，联立直线AB与抛物线方程{y=−y02x+y02y2=4x，可得y0y2−8y−4y0=0，由韦达定理可得，y A+y B=8y，y A⋅y B=−4，|y A−y B|=√(y A+y B)2−4y A⋅y B=4√4y02+1，设P(x P,y P)，Q(x Q,y Q)，联立直线PD与抛物线方程{x=(y04−4y0)y+4y2=4x，可得y2−(y0−16y)y−16=0，y P+y Q=y0−16y0，y P⋅y Q=−16，|y P−y Q|=√(y P+y Q)2−4y P y Q=|y0+16y0|，∵直线BM的方程为y=−y02x+y02，∴直线BM与x轴的交点N的坐标为(1,0)，∴ND=3，S△OPQ S△ABD =12⋅OD⋅|y P−y Q|12⋅ND⋅|y A−y B|=|y0+16y0|√4y02+1=023√y0+4=023√y0+4=13(√y02+4+√y0+4≥13⋅2√(√y02+4)√y0+4=4√33，当且仅当√y02+4=√y0+4时，即y02=8等号成立，∴S△OPQS△ABD 的最小值为4√33．【解析】(1)对抛物线求导，并将切点的横坐标代入导数中，可得切线的斜率，即可得直线方程，即可求解M的坐标．(2)根据已知条件，分别求出AB，PQ的直线，令两条直线分别与抛物线方程联立，再结合韦达定理和均值不等式，即可求解．本题考查了直线与抛物线的综合应用，以及均值不等式的使用，且计算量大，需要学生有较强的综合能力，属于难题．。

浙江省温州市十校联合体2020至2021高二下学期期末联考数学理试卷

浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

一、选择题（每小题4分，共40分）1．若集合{}R x x x M ∈≤=,42，{|13,}N x x x R =<≤∈，则=⋂N M （ ▲ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|12}x x <≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|2}x x <【知识点】集合的概念；一元二次不等式的解法；交集的定义. 【答案解析】B 解析：解：24,22,22;x x M x x=⋂N M {|12}x x <≤,故选B.【思路点拨】由已知条件解出集合M 再求交集即可. 2．下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是（ ▲ ）A ．x y 1=B ．y =C ．()ln 2y x =+D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【知识点】函数单调性的判断与证明．【答案解析】C 解析：解：A 中，xy 1=,在区间()0,+∞上为减函数；B 中，y =()0,+∞上为减函数；C 中，()ln 2y x =+在（-2，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也递增；D 中，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,+∞上为减函数.故选C.【思路点拨】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可． 3. 已知ABC ∆中，“1sin 2A >”是“6A π>”的（ ▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【答案解析】A 解析，则566＜＜．满足A >7A86＞，但sin 6A π>”的充分不必故选：A【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．4．已知圆的方程为22680x y x y ++-=，设该圆中过点(3,5)M -的最长弦、最短弦分别为,AC BD ，则BD AC +的值为（ ▲ ） A. 2610+B. 26210+C. 6210+D. 6410+【知识点】直线与圆的关系；圆的一般方程的应用.【答案解析】D 解析：解：该圆中过点M （-3，5）的最长弦AC ，就是圆的直径；最短弦分别为BD ，就是过该点与圆的直径垂直的弦长．圆的方程为22680x y x y ++-=，圆心（-3，4），半径为：5，∴|AC|=10，2222BD 2533542244 6.AC BD 10+故选：D ．【思路点拨】利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，求出弦长，求出直径，ACBD 的值5．已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，则下列命题不．正确．．的是( ▲ ) A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥n B ．若n m =⋂βαα,//，则n m // C ．若αβ⊥⊥m m ,，则βα// D ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.【答案解析】B 解析：解：A 选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B 选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m 与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行；C 选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；D 选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．综上，B 选项不正确故选B.【思路点拨】A 选项由线面垂直的条件判断；B 选项由线线平行的条件判断；C 选项由面面平行的条件判断；D 选项由面面垂直的条件判断． 6．将函数)62sin(π-=x y 图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是(▲ )A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=-【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换. 646]=sin （2x+3）．2x+3=k π+2，k ∈z ，x212，的一条对称轴的方故选：A ．【思路点拨】根据本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律可得所得2x+3），再根函数图象的一条对称轴的方程．7．设等比数列{n a }的前n 项和为n S 。

2020-2021学年温州市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年温州市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.命题“若a >b ，则2a >2b ”的逆否命题是( )A. 若a ≤b ，则2a ≤2bB. 若a >b ，则2a ≤2bC. 若2a ≤2b ，则 a ≤bD. 若2a ≤2b ，则 a >b2.球面上有三个点A 、B 、C. A 和B ，A 和C 间的球面距离等于大圆周长的. B 和C 间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R ，那么球心到截面ABC 的距离等于( )A.B.C.D.3.已知a ，b ∈R +，且直线ax +by −6=0与直线2x +(b −3)y +5=0互相平行，则2a +3b 的最小值为( )A. 12B. 25C. 13+2√6D. 12+4√34.下列命题中正确命题的个数是( )①和同一平面垂直的两个平面平行； ②和同一平面垂直的两条直线平行；③两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3，过左焦点F 1(−c,0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长F 1E 交抛物线y 2=4cx 于P ，Q 两点，则|PE|+|QE|的值为( )A. 10√2aB. 10aC. (5+√5)aD. 12√2a6.已知函数f(x)=e x x−t(lnx +x +2x )仅有一个极值点为x =1，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,13]∪{e3}B. (−∞,13]C. (−∞,12]D. (−∞,12]∪{e3}7.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点为F 1(−c,0)、F 2(c,0)，P 为直线x =a 2c上一点，F 1P 的垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为( )A. (0,√33)B. (0,√33]C. (√33,1)D. [√33,1)8.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AC=BC=4，PA=4√2，则二面角A−PB−C的大小的正弦值为()A. √22B. √23C. √63D. √339.已知函数y=x3−x2−ax+b在(0,1)处的切线方程为y=2x+1，则a+b=()A. −1B. 0C. 1D. 210.若动点P(x1,y1)在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点(0,−l)连线中点的轨迹方程为()A. y=2x2B. y=4x2C. y=6x2D. y=8x2二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.抛物线C1：x²=2py(p>0)与双曲线C2：x²−3y²=λ有一个公共焦点F，过C2上一点P(3√5,4)向C1作两条切线，切点分别为A、B，则|AF|⋅|BF|=______．12.已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱垂直于底面)ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱AA1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．13.如图：抛物线y2=4x的焦点为F，原点为O，直线AB经过点F，抛物线的准线与x轴交于点C，若∠OFA=135°，则tan∠ACB=______ ．三、多空题（本大题共4小题，共16.0分）14.已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，该圆锥内接于球O，过此圆锥顶点的截面三角形的最大顶角等于(1)；球O与圆锥的表面积之比为(2)．15.已知函数f(x)=xe x，则f′(x)=(1);函数f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为(2)16.一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是(1)；此三棱锥的最长棱的长度为(2)．17.已知直线l:y=kx+2经过点A(m,5)，B(5,7)，则m=(1)，直线l1:x−ay+6=0与直线l垂直的充要条件是a=(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.求过点A(0,1)且被圆C：(x−4)2+y2=25所截的弦长为6的直线方程．19.已知函数f(x)=(2x+1)e x+ax，g(x)=|f(x)|．(Ⅰ)当a=0时，求g(x)的单调区间；(Ⅱ)若g(x)的值域为[0,+∞)，求实数a的取值范围．20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，．(1)求证：面；(2)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO (Ⅰ)求证直线A、B恒过定点(0,1)(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=x−alnx+a3−1(a>0)．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；,+∞)上的单调性；(2)讨论函数f(x)在(1a(3)若函数g(x)=2x3−x2lnx−16x+20，求证：g(x)>0．参考答案及解析1.答案：C解析：解：命题“若a>b，则2a>2b”的逆否命题是“若2a≤2b，则a≤b”，故选：C．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题．2.答案：B解析：试题分析：如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径．下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=．∴|AB|=R，|AC|=R，|BC|=.在△ABC中，由于AB2+AC2=BC2.∴∠BAC=90°，BC是小圆ABC的直径.∴|ED|=，从而|OD|=.故应选B．考点：点到平面的距离；球的有关性质。

浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题答案

2020学年第一学期温州十校联合体期末联考高二年级数学评分标准与参考答案一、选择题(4×10=40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBBCCCDAB8. D 【解析】曲线表示单位圆在x 轴上方的部分（包括与x 轴的两个交点），借助圆的几何性质可求得距离最值（如右图）。

9.A 【解析】【解析】取线段DD 1的三等分点E （靠近D 1点），连接HE ,PE ，易得HE ⊥平面DCC 1D 1，2222PE HP HE =−= ，所以点P 在以E 为圆心22为半径的圆弧上（在侧面11DCC D 内），所以点P 到平面ADD 1A 1距离的最大值即为22. 111111132326V=HA A D h h ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≤。

选A 。

10. B 【解析】||||8||92||||1,1||||1||1||17PF PF PT PQ PT|+|QT|=PT|PQ PT PT PT −≤+≥==−≥+++ . 二、填空题.（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.(1,2), (,5)−−∞； 12．2，8 ; 13. 520 22，； 14．33y =，；15．433； 16．1[1,]e e+ ；17．20+813316. 【解析1】11x xe x e +≥−恒成立，原不等式看成关于a 的一元二次不等式，可得当[1,2]x ∈时，11xx x a e e −≤≤+恒成立，解得11a e e ≤≤+..【解析2】令1(),g()1xx f x e x x e=+=−，则原不等式即为[(x)a][g()a]0f x −⋅−≤.原不等式恒成立等价于把函数(),()y f x y g x ==的图像同时向上或者向下平移|a |个单位后，一个位于x 轴上方，一个位于x 轴下方，结合函数图像可得a 的取值范围.17.【解析】将四面体ABCD 放在长方体中（补成一个长方体，使得四面体的6条棱是长方体6个面的对角线）. 设长方体的长宽高分别为a,b,c 。

2019-2020学年浙江省温州市共美联盟高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省温州市共美联盟高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（） A ．210x y ++= B ．2420x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12，而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件；而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件，故选：A. 【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】解：双曲线22154x y -=，焦点在x 轴上，3c ==，所以双曲线的焦点坐标为()3,0±.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ．4．已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小，此时z 最小.即min 112z =--=-.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也比不要条件【答案】C【解析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论. 【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件.【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（） A ．αϕ≥ B ．αϕ>C ．αϕ<D ．αϕ≤【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角，而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M 是唯一的，则a =（）A．B．CD．3【答案】A【解析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可. 【详解】解：设动点(),M x y12=，化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆，且M 在直线20ax y a --=上，故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴3a =±，故选：A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD ：④二面角A BC D --：其中正确结论的个数为（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-u u u r ，()1,1,0BC =u u u r，1cos 2AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-u u u r ，()0,2,0BD =u u u r，∵0AC BD ⋅=u u u r u u u r，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =r，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()1,1,1t =r ，()1,1,0BC =u u u r ，设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,3BC t BC t BC tθ⋅====⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =r ，()0,1,1BA =u u u r ，()1,1,0BC =u u u r，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =u r，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得()1,1,1m =-u r ，cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅u r ru r r u r r ，∴6sin ,m n <>=u r r. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确. 故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（） A 3B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅，解得22b amc-=，2abnc=-，将222,b a abFc c⎛⎫-'-⎪⎝⎭，即2222,c a abc c⎛⎫--⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241 c a a bc a c b--=，化简可得2241ca-=，即有25e=，解得e=故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题11．经过两点A(2,3)，B(1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．【答案】－1 135°【解析】由斜率定义式得k＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角．【详解】由斜率定义得k＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tanα1,=-故3πα4=，即135°故答案为－1 ；135°【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题12．已知椭圆C：221169y x+=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.【答案】8 (0,【解析】利用椭圆方程求解a，b，c，推出结果即可. 【详解】解：椭圆C：221169y x+=，可得4a=，3b=，且焦点在y轴上，则该椭圆的长轴长：8，1697c =-=，焦点坐标()0,7±故答案为：8；()0,7±. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为 __________3cm .【答案】43 643【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,长度22244443++= ,体积为21644433⨯⨯=14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【答案】60︒ 120︒【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解. 【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ， ∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥，又ED AB ⊥，AB AC A =I ，AB Ì平面ACE ，AC ⊂平面ACE ， ∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥，∴3CE =，1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒：又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角，又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒.故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M e ，则M e 的方程为______.【答案】()()22345x y -+-=【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为35，45，55，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，5R =：设(),M a b ，则21026275555a b a b a b -++---===：解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=. 故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题．16．已知过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若2AF BF k+≥恒成立，则k 的最大值为______. 【答案】321【解析】由题意画出图形，再由2AF BF AF BF BF AB BF +=++=+，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解. 【详解】解：如图，由椭圆C ：2212x y +=，得2a =1b =，1c =.2AF BF AF BF BF AB BF +=++=+，∵AB 的最大值为2，BF 21， ∴2321AF BF +≥，又2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为321+. 故答案为：321. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______. 【答案】32【解析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM 的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=，设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上，又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为22001122OP x y =+ 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程2222004x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径2r =：又由()4,0A -，则AM 的最大值为14923244++=：故答案为：32【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．三、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=. （1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而523AC R =<=,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点（2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为212527-= 【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．如图，PA ⊥正方形ABCD 所在平面，M 是PC 的中点，二面角P DC A --的大小为45︒.（1）设l 是平面PAB 与平面PCD 的交线，证明CD l ∥；（2）在棱AB 是否存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN 长.【答案】（1）见解析（2）存在，35AN =【解析】（1）先证明//CD 平面PAB ，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A --的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设(),0,0N x ，求出平面的法向量，根据M DN C --的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴//CD AB ，又AB 在平面PAB 内，CD 不在平面PAB 内， ∴//CD 平面PAB ，又平面PCD 过直线CD ，且平面PAB ⋂平面PCD l =， ∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则()0,2,0D，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ，易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =u r，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =r ，又()1,1,1MD =--u u u u r ，()1,1,1NM x =-u u u u r，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，则可取1,,122x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，∴22112cos ,cos 6021142x m n m n m nx x -⋅===︒=⎛⎫++- ⎪⎝⎭u r ru r ru r r ，解得35x =-，故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且35AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题．20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点. （1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ：（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON 的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线.【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1，所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=，所以4y y '+=，4yy '=-，所以弦长()22114216168MN y y yy ''=++-=⋅+=，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4yy '=-，4y y =-'因为41OA y k y y ==-='-，244ONy y y k x y '''===''∴OA ON k k =，AO ，ON 又有公共点O ，所以A ，O ，N 三点共线. 【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若1AB =，3BC =，1AF FE EC ===.（1）求证：AC DE ⊥；（2）若1DE =，求BE 与面ACEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，1OE CE AF ===，2==AC BD ，从而CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ，从而EG AC ⊥，DG AC ⊥，由此能求出AC ⊥平面DEG ，由此能证明AC DE ⊥. （2）过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE 与面ACEF 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥，∵DG EG G =I ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ， ∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体，过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，2FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，B ⎫⎪⎪⎝⎭，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，23BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，平面ACEF 的法向量()0,0,1n =r，设BE 与面ACEF 所成角为θ，则21sin 2BE nBE nθ⋅===⋅u u u r r u u u r r ， ∴BE 与面ACEF 所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅u u u r u u u r的最小值．【答案】（1）221123x y+=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ310列一个方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB⋅u u u v u u u v的表达式()()()2222201144kAD EBk k+⋅=++u u u v u u u v，再求函数的最小值即得AD EB⋅u u u v u u u v的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b+=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得， ()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=， ∴AB 斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．消x 得，224820x x b ++-=．则12AB x =-== 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++, 由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=．于是()()212122282142112,1414k k k x x x x k k -++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y kx x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+．同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+．∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭u u u v u u u v ， ()222222011651442kk k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭, 当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅u u u v u u u v的最小值为165．点睛：本题的难点在求得()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++u u u v u u u v之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442kkk k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。

浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题

浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．准线为的抛物线标准方程是（）
A． B． C． D．
2．已知椭圆，下列结论正确的是（）
A．焦点坐标 B．长轴长为4
所以推不出“这条直线与平面平行”，
当直线满足与平面平行时，可以推出这条直线与平面内无数条直线异面，
所以“一条直线与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.
5．B
【分析】
根据线面关系的性质依次判断即可.
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
7．B
【分析】
由，得到，得出，代入椭圆的方程，求得，即可求解.
【详解】
由题意，可得，设，
因为，则，可得，即，
因为C在椭圆上，所以，即，
所以离心率为 .
故选：B.
【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
A．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
B．卫星向径的取值范围是
C．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
10．正四面体中，点Р为所在平面上的动点，若与所成角为，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.

2020-2021学年浙江省温州十校联合体高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年浙江省温州十校联合体高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知向量a ⃗ =(2,1，−5)，b ⃗ =(4,y ，z)，且a ⃗ //b ⃗ ，则y +z =( )A. −8B. −12C. 8D. 122. 直线x +2y +√3=0的斜率为( )A. 2B. −2C. 12D. −12 3. 下列求导运算不正确的是( )A. (x 2)′=2xB. (e x +ln3)′=e x +13C. (3x )′=3x ln3D. (sinx)′=cosx 4. 已知a 为实数，则“a >1”是“方程x 2a−1+y 23=1表示的曲线为椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知两条相交直线m ，n 和三个不同的平面α，β，γ，则下列条件成立推不出α//β的是( )A. 若m ⊥α，m ⊥βB. 若α//γ，β//γC. 若m//α，m//βD. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β6. 双曲线C ：x 2m −y 23=1(m >0)的离心率为2，则( )A. 双曲线C 的实轴长为1B. 双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0C. 双曲线C 的焦距为4D. m =37. 已知动点P(x,y)满足√x 2+(y −2)2+√x 2+(y +2)2=a +5a (a 为大于零的常数)，则动点P 的轨迹是( ) A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线8. 已知点P 是曲线√1−x 2−y =0上的动点，则点P 到直线3x −4y −10=0距离的取值范围是( )A. [1,75]B. [1,3]C. [75,135]D. [75,3]9.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1=1，P是侧面DCC1D1内一动点，且HP=√17，则四面体HA1D1P体积的最大值为()A. √2B. √72C. √7D. √17−310.已知椭圆C：x216+y212=1的左焦点为F，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆T：(x−2)2+y2=1上的动点，则|PF||PQ|的最小值是()A. 12B. 27C. 23D. √34二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若方程x2+2x+m=−y2+4y(m∈R)表示圆，则圆心坐标为______ ，实数m的取值范围是______ ．12.直线l：y=x+1与抛物线C：y2=−2px(p>0)交于A、B两点，若直线l经过抛物线C的焦点，则p=______ ，此时弦AB的长度为|AB|=______ ．13.某几何体的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为______ ，其外接球的半径为______ ．14.曲线y=2x +x2在点(1,3)处的切线方程为______ ，函数y=2x+x2的极小值为______ ．15.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1+1e2的最大值为______16.已知a∈R，对于任意的实数x∈[1,2]，不等式(e x+1e x−a)(x−a−1)≤0恒成立，则实数a的取值范围是______．17.在四面体ABCD中，AD=BC=4，AB=CD=2，AC=BD=x(x>0)，当x2=______ 时，四面体ABCD的体积最大．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知a>0，设命题p：当x∈(−∞,1]时，函数f(x)=−x2+ax单调递增，命题q：双曲线x2a2−y28=1的离心率e∈[3,+∞)．(Ⅰ)若命题p为真命题，求正数a的取值范围；(Ⅱ)若命题p和q中有且只有一个真命题，求正数a的取值范围．19.在三棱锥P−ABC中，G是底面△ABC的重心，D是线段PC上的点，且2PD=DC．(Ⅰ)求证：DG//平面PAB；(Ⅱ)若△PAB是以PB为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG与PB所成角的余弦值．20.如图所示，在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=6，D为线段AC的中点，E为线段BD的中点.连结AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD．(Ⅰ)求证：EF⊥AD；(Ⅱ)若M是线段AC的中点，求二面角C−DF−M的余弦值；(Ⅲ)点P在线段AC上，且满足EP//平面DFM，求AP的值．AC21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为2，直线l：y=kx+2交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点．(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；(Ⅱ)过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，点P为直线l1，l2的交点．(ⅰ)求证：点P在一条定直线上；(ⅰ)求△PAB面积的取值范围．22.已知函数f(x)=e x−a(lnx+1)(a∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(Ⅱ)a=e时，求证f(x)≥0恒成立；(Ⅲ)存在x0>1，使得x∈(1,x0)时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为向量a⃗=(2,1，−5)，b⃗ =(4,y，z)，且a⃗//b⃗ ，所以b⃗ =λa⃗，则有{4=2λy=λz=−5λ，解得y=2，z=−10，所以y+z=−8．故选：A．直接利用向量共线定理得到b⃗ =λa⃗，再利用向量相等的坐标表示求出y和z，即可得到答案．本题考查了空间向量共线定理的应用，涉及了空间向量的坐标表示以及空间向量相等的充要条件的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：直线x+2y+√3=0，即直线y=−x2−√32，故它的斜率为−12，故选：D．把直线的方程化为斜截式，可得它的斜率．本题主要考查由直线的方程求直线的斜率，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了基本函数的导函数，解题的关键是熟练掌握导数公式，属于基础题．根据基本函数的导函数公式对选项进行逐一求解，注意常数的导数为0，即可判定．【解答】解：(x2)′=2x，(e x+ln3)′=e x，(3x)′=3x ln3，(sinx)′=cosx，故选项B错误，故选：B．4.【答案】B【解析】解：因为方程x2a−1+y23=1表示的曲线为椭圆，所以a−1>0且a−1≠3，解得a>1且a≠4，因为(1,4)∪(4,+∞)⫋(1,+∞)，所以“a>1”是“方程x2a−1+y23=1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．先利用椭圆的标准方程的特征求出a的范围，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了椭圆标准方程的理解和应用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由两条相交直线m，n和三个不同的平面α，β，γ，知：对于A，由m⊥α，m⊥β，利用面面平行的判定定理得α//β，故A正确；对于B，由α//γ，β//γ，利用面面平行的判定定理得α//β，故B正确；对于C，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故C错误；对于D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，由m，n上相交线，利用面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：C．对于A，利用面面平行的判定定理得α//β；对于B，利用面面平行的判定定理得α//β；对于C，α与β相交或平行；对于D，利用面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2m −y23=1(m>0)的离心率为2，可得√m+3m=2，m>0解得m=1，所以D不正确；所以双曲线的实轴长为2，A不正确；双曲线的渐近线方程为y=±√3x，所以B不正确；双曲线的焦距为4，所以C正确，故选：C．利用双曲线的标准方程，结合离心率列出方程求解m，然后判断实轴长，渐近线方程，焦距，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．7.【答案】C【解析】解：因为a为大于零的常数，所以a+5a ≥2√a⋅5a=2√5，当且仅当a=√5时取等号，而方程√x2+(y−2)2+√x2+(y+2)2=a+5a 表示动点P(x,y)到点(0,2)，(0,−2)的距离和为a+5a，因为动点P(x,y)到点(0,2)，(0,−2)的距离和大于|2−(−2)|=4，所以动点P(x,y)的轨迹是椭圆．故选：C．根据基本不等式可求出a+5a的取值范围，然后根据椭圆的定义进行判定即可．本题主要考查轨迹方程，解题的关键是弄清椭圆的定义和根式的几何意义，同时考查学生的运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：曲线√1−x2−y=0是圆心(0,0)，半径为1的圆的上半部分，如图，点P是曲线√1−x2−y=0上的动点，则点P到直线3x−4y−10=0距离的最大值为：221=3，最小值为：√32+42=75．点P到直线3x−4y−10=0距离的取值范围是：[75,3]．故选：D．曲线表示单位圆在x轴上方的部分(包括与x轴的两个交点)，借助圆的几何性质可求得距离最值即可．本题考查圆与直线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．取线段DD1的三等分点E(靠近D1点)，连接HE，PE，判断HE⊥平面DCC1D1，说明点P在以E为圆心，2√2为半径的圆弧上(在侧面DCC1D1内)，求出点P到平面ADD1A1距离的最大值：2√2.然后求解几何体的体积．【解答】解：取线段DD1的三等分点E(靠近D1点)，连接HE，PE，易得HE⊥平面DCC1D1，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1=1，HP=√17，PE=√HP2−HE2=2√2，所以点P在以E为圆心，2√2为半径的圆弧上(在侧面DCC1D1内)，所以点P到平面ADD1A1距离的最大值：2√2．V=13⋅12HA1⋅A1D1⋅ℎ=16⋅1⋅3⋅ℎ≤√2．则四面体HA1D1P体积的最大值为√2．故选：A．10.【答案】B【解析】解：由圆T的方程可得：圆心T(2,0)，半径R=1，由椭圆的方程可得：a=4，c=2，则椭圆的右焦点为T，所以|PF|+|PT|=2a=8，根据圆的性质可得：|PQ|的最大值为|PT|+R=|PT|+1，所以|PF||PQ|≥|PF||PT|+1=8−|PT||PT|+1=9|PT|+1−1≥27，此时点P在椭圆的左顶点(−4,0)处，|PF||PQ|取得最小值为27，故选：B．由椭圆的方程求出a，c的值，再求出圆T的圆心和半径，则可得T为椭圆的右焦点，利用椭圆的定义以及性质还有圆的性质即可求解．本题考查了椭圆的定义以及性质，涉及到点与圆的位置关系的性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．11.【答案】(−1,2)(−∞,5)【解析】解：方程x2+2x+m=−y2+4y(m∈R)，即(x+1)2+(y−2)2=5−m，则圆心坐标为(−1,2)，根据5−m>0，求得m<5，故答案为：(−1,2)；(−∞,5)．由题意，把圆的方程化为标准方程，可得结论．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．12.【答案】2 8【解析】解：由抛物线C ：y 2=−2px(p >0)可得焦点坐标为F(−p2,0)，因为直线l 经过抛物线C 的焦点，所以0=−p2+1，即p =2；所以抛物线C 的方程为y 2=−4x ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y 2=−4x y =x +1，消去y 得x 2+6x +1=0，所以x 1+x 2=−6，所以弦AB 的长度为|AB|=p −x 1−x 2=2−(−6)=8．故答案为：2，8．根据抛物线的标准方程表示出焦点坐标，然后根据直线l 经过抛物线C 的焦点可求出p 的值，再联立方程组，结合弦AB 的长度为|AB|=p −x 1−x 2可求出所求．本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线中的弦长，同时考查了方程的思想和运算求解的能力，属于中档题．13.【答案】20； 52√2【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为四棱锥．如图所示：所以该几何体的体积V =13×5×4×3=20．设该几何体的外接球半径为R ，故(2R)2=32+42+52=50，解得R =5√22．故答案为：20；5√22．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和球的半径．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式，球和锥体的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14.【答案】y=3 3【解析】解：∵y=2x+x2，函数的定义域是{x|x≠0}，∴y′=−2x2+2x，∴y′|x=1=−2+2=0，故切线方程是：y−3=0(x−1)，即y=3；令y′>0，解得：x>1，令y′<0，解得：x<1且x≠0，故函数y=2x+x2在(−∞,0)，(0,1)递减，在(1,+∞)递增，故函数的极小值是3，故答案为：y=3，3．求出函数的导数，计算x=1时的导数值，求出切线方程，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查切线方程，是中档题．15.【答案】4√33【解析】解：不妨设P在第一象限，设PF1=r1，PF2=r2，在椭圆中：r1+r2=2a1，在双曲线中：：r1−r2=2a2，联立解得r1=a1+a2，r2=a1−a2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得cosπ3=r12+r22−4c22r1r2，∴12=2a12+2a22−4c22a12−2a22，即a12+3a22=4c2，∴(a1c)2+(√3a2c)2=4，∴1e1+1e2=a1c+a2c，∵(a1c +a2c)2=(a1c×1+√3a2c√3)2≤[(a1c)2+(√3a2c)2][12+(√3)2]=4×43=163，∴a1c +a2c≤4√33．故答案为：4√33．根据椭圆和双曲线的定义以及余弦定理和柯西不等式可得．本题考查了双曲线的性质，属中档题．16.【答案】[1,e+1e]【解析】解：因为对于任意的实数x∈[1,2]，不等式(e x+1e x−a)(x−a−1)≤0恒成立，①当a≤e+1e 时，由于e x+1e x≥a恒成立，故x−a−1≤0对x∈[1,2]恒成立，则a≥x−1恒成立，所以a≥1，故1≤a≤e+1e；②当e+1e <a<e2+1e2时，此时x−a−1≤2−(e+1e)−1<0，故应有e x+1e x≥a恒成立，但e x+1e x ∈[e+1e,e2+1e2]，当x=1时，e+1e−a<0，不符合题意；③当a≥e2+1e2时，则有x−a−1≤2−(e2+1e2)−1<0，则不等式(e x+1e x−a)(x−a−1)≥0，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为[1,e+1e]．故答案为：[1,e+1e]．对a的取值进行分类讨论，分别研究a≤e+1e ，e+1e<a<e2+1e，a≥e2+1e三种情况下不等式是否恒成立，即可得到答案．本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了学生分析问题的能力和推理的能力，属于中档题．17.【答案】20+8√133【解析】解：将四面体ABCD 放置在一个长方体中，如图，设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ，则{a 2+b 2=x 2a 2+c 2=4b 2+c 2=16，解得{ a 2=x 22−6>0b 2=6+x 22c 2=10−x 22>0，得12<x 2<20．则四面体ABCD 的体积V 为长方体体积的13，则V 2=(13abc)2=19a 2b 2c 2=19(x 22−6)(6+x 22)(10−x 22)，令t =x 22(6<t <10)，则9V 2=(t −6)(t +6)(10−t)=−t 3+10t 2+36t −360，令f(t)=−t 3+10t 2+36t −360，得f′(t)=−3t 2+20t +36，由f′(t)=0，可得t =10+4√133，则当t =10+4√133，即x 2=2t =20+8√133时，四面体ABCD 的体积最大．故答案为：20+8√133．把四面体ABCD 放置在一个长方体中，设出长方体的长、宽、高，由勾股定理列式求得长、宽、高，再由四面体的体积等于长方体的体积减去四个全等三棱锥的体积，可得四面体ABCD 的体积V 为长方体体积的13，求出V 2(用含有x 的代数式表示)，然后利用导数求最值．本题考查多面体体积最值的求法，训练了分割补形法及利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)命题p 为真命题时，函数f(x)=−x 2+ax 在(−∞,1]单调递增，f(x)的对称轴为x =a2，所以a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2,+∞)．(Ⅱ)当q 为真命题时，由双曲线性质得，c 2=a 2+b 2，e =ca ，所以e 2=1+8a 2≥9，解得0<a ≤1；由(Ⅰ)可知p 为真命题时，a ≥2；①当p 真q 假时，a ≥2且a >1，即a ≥2．②当p 假q 真时，0<a <2且0<a ≤1，即0<a ≤1．所以a的取值范围为(0,1]∪[2,+∞)．【解析】(Ⅰ)根据二次函数单调性判断；(Ⅱ)根据双曲线基本性质和命题的真假，解不等式组即可得到所求范围．本题以命题的真假判断为载体，考查了二次函数的单调性，考查了双曲线基本性质，属基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：连接CG并延长交AB于M点，连接PM，∵G是△ABC的重心，∴2GM=GC，∴CDPD =CGMG=2，∴DG//PM，∵PM⊂平面PAB，DG⊄平面PAB．∴DG//平面PAB．(Ⅱ)解：由(I)可知，DG//PM，所以DG与PB所成的角即为∠MPB．在直角△PAB中，令PA=AB=2，则MB=1，PM=√PA2+AM2=√5，PB=2√2，在△PMB中，由余弦定理cos∠MPB=PB 2+PM2−MB22PB⋅PM=8+5−12⋅2√2⋅√5=310√10．所以异面直线DG与PB所成角的余弦值为310√10．【解析】(Ⅰ)连接CG并延长交AB于M点，连接PM，推导出DG//PM，由此能证明DG//平面PAB．(Ⅱ)由DG//PM，得DG与PB所成的角即为∠MPB.由此能求出异面直线DG与PB所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：由条件可知AB=12AC=AD，而E为等边△ABD底边BD的中点，∴AE⊥BD，EF⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，且EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面ABD，又因为AD⊂平面ABD，∴EF⊥AD．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，EB ，EF ，EA ，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：E(0,0，0)，A(0,0，3)，F(0,1，0)，D(−√3,0,0)，C(−2√3,3,0)，M(−√3,32,32)， ∵AE ⊥平面CFD ，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3)是平面CFD 的一个法向量．设平面MDF 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则：{n ⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +32z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0,取n ⃗ =(1,−√3,√3)．则cos〈EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√33⋅√1+3+3=√217．所以二面角C −DF −M 的余弦值√217．(Ⅱ)解法二：过点M 做AE 的平行线，交EC 于G 点，则MG ⊥平面CFD ．因为M 是线段AC 的中点，所以MG =12AE =32．过点G 做直线GH ⊥DF ，垂足为H ，连接HM ，则MH ⊥DF ．所以∠GHM 就是二面角C −DF −M 的平面角．在△DFM 中，可求得DF =2，FM =√222，DM =32√2，由面积法可求得MH =34√7，∴sin∠GHM =MGMH =3234√7=27√7，cos∠GHM =√1−sin 2∠GHM =√217．所以二面角C −DF −M 的余弦值√217．(Ⅲ)解：设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−2√3,3,−3)， ∴EP⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3)+λ(−2√3,3,−3)=(−2√3λ,3λ,3−3λ)，∵EP//平面MDF ，∴EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(−2√3λ,3λ,3−3λ)⋅(1,−√3,√3)=−2√3λ−3√3λ−3√3λ+3√3=0，解得λ=38，即APAC =38．【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的全面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)证明AE ⊥BD ，EF ⊥BD ，结合平面ABD ⊥平面BCD ，推出EF ⊥平面ABD ，然后证明EF ⊥AD ． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，EB ，EF ，EA ，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，求出平面CFD 的一个法向量．平面MDF 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C −DF −M 的余弦值．解法二：过点G 做直线GH ⊥DF ，垂足为H ，连接HM ，则MH ⊥DF.说明∠GHM 就是二面角C −DF −M 的平面角．通过求解三角形推出结果即可．(Ⅲ)设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，通过EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，解得λ=38，然后求解APAC 的值．21.【答案】(Ⅰ)解：由抛物线的焦点到准线的距离为2，可得p =2，则抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(Ⅱ)(ⅰ)证明：联立方程组{x 2=4yy =kx +2，消去y 得，x 2−4kx −8=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−8，由x 2=4y 得，y′=12x ，∴切线PA 方程为l 1：y −y 1=12x 1(x −x 1)，切线PB 方程为l 2：y −y 2=12x 2(x −x 2)，联立直线PA 、PB 方程可解得x =x 1+x 22=2k ，y =x 1⋅x 24=−2．∴点P 的坐标为(2k,−2)．故点P 在定直线y =−2上； (ⅰ)解：点P 到直线AB 的距离为d =2√1+k 2．∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2⋅√2+k 2， △PAB 的面积为S △PAB =12d ⋅|AB|=22√1+k 2⋅4⋅√1+k 2⋅√2+k 2=4(2+k 2)32，∴当k =0时，S △PAB 有最小值8√2．则△PAB面积的取值范围是[8√2,+∞)．【解析】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)由已知可得p=2，即可得到抛物线的方程；(Ⅱ)(ⅰ)联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积，利用导数可得切线PA与切线PB方程，联立求得点P的坐标，即可得到点P在定直线y=−2上；(ⅰ)由点到直线的距离公式求点P到直线AB的距离，再由弦长公式求|AB|，写出三角形PAB的面积，利用函数单调性求△PAB面积的取值范围．22.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=e x−a(lnx+1)(a∈R)，得f′(x)=e x−ax =xe x−ax(x>0)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f′(x)=xe x−ax≥0恒成立，∴a≤xe x(x>0)，∴a≤0．综上，a的取值范围是(−∞,0]．(Ⅱ)当a=e时，f′(x)=e x−ax =xe x−ex，∵函数F(x)=xe x−e(x≥0)在[0,+∞)上递增，且F(1)=0，当x∈(0,1)时，F(x)<0，∴f′(x)=F(x)x<0，f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，F(x)>0，∴f′(x)=F(x)x>0，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=0，∴f(x)≥0恒成立．(Ⅲ)①当a=e时，由(2)可知不符合题意；②当a<e时，f′(x)=e x−ax =xe x−ax，∵F(x)=xe x−a(x≥0)在[0,+∞)上递增，且F(1)=e−a>0，当x∈(1,+∞)时，F(x)>F(1)>0，∴f′(x)=F(x)x>0，f(x)单调递增，∴f(x)>f(1)=e−a>0，舍去．③当a>e时，F(1)=e−a<0，F(a)=a(e a−1)>0，F(x)=xe x−a(x≥0)在[0,+∞)上递增．∴存在x0>1，使得F(x0)=x0e x0−a=0，即x0e x0=a．当x∈(0,x0)时，F(x)<F(x0)=0，∴f′(x)=F(x)x<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，F(x)>F(x0)=0，∴f′(x)=F(x)x>0，f(x)单调递增．∴f(x)的最小值为f(x)min=f(x0)=e x0−a(lnx0+1)=ax0−a(lnx0+1)=a(1x0−lnx0−1)<0，又f(1)=e−a<0，且f(x)在(1,x0)上单调递减，∴x∈(1,x0)时f(x)<0恒成立，综上，a的取值范围是(e,+∞)．【解析】(Ⅰ)根据函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，可得f′(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求出a的取值范围；(Ⅱ)将a=e代入f(x)中，求出f(x)的导数，得到f(x)的最小值，根据f(x)的最小值大于等于0，即可证明f(x)≥0恒成立；(Ⅲ)根据条件分a=e，a>e和a>e三种情况，结合f(x)<0恒成立，求出a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用函数的单调性求参数的范围和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．。