08-09概率论期末考试试卷A (1)

《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）

2、下列叙述中正确的是( A ). (A) (

)1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EX

N DX

- (C) 2

2

)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-

3、设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，下面说话正确的是（ D ）.

(A) 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ

4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y G

X Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩

其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为

,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.

(A)G

D S S (B) ⎰⎰D

dxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S

5、设总体分布为),(2

σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).

(A)

n

S X /μ- (B)

100)

(2

1

∑=-n

i i

X X

(C)

100

)

(2

1

∑=-n

i i

X

μ (D)

2

2

)1(σS n -

6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为

,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机

取出一个球，则取到白球的概率为（ A ）.

(A)

15

7 (B)

45

19 (C)

13

5

(D)

30

19 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰

-

=-a

dx x f a F 0

)(1)(

(B) ∑⎰-=-a

dx x f a F 0)(2

1

)(

(C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F

题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分

一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ，X 为样本均值，已知{}0.5P X λ<=，则=λ 3 。

2.已知11()()(),()0,()()4

8

p A p B p C p AB p AC p BC ===

===

，则C B A ,,全不发生的概率为

1

2

。 3. 设5

~(0,1),5,X N Y X =+ 则()E Y = 5 ．

4.设X 在[2,]b 服从均匀分布，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，则b 的矩估计量为：22X +. 随机变量 X 的分布函数为: F (x ) =

(1),

0.5(11),0.8(13),

1

(3).

x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎨≤<⎪⎪≤⎩, 则X 的概率分布律

5.设

为 ．

6.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02

=σ，从某天生产

的产品中随机抽取16个，测得直径平均值为10毫米，给定05.0=α，则滚珠的平均直径的区间估计为： （9.902， 10.098）0.050.025( 1.645, 1.96)Z Z ==.

7. 已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记28,Z X Y =-+Z 则服从的分布为：(1,5)N 。 二、选择题：(本大题共7小题，每小题2分，共14分)

1、设0()1,0()1,(|)()1P A P B P A B P A B <<<<+=且，则下列正确的是( D ). (A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) A 与B 不独立

(D) A 与B 独立

X -1 1 3 P

0.5 0.3 0.2

东华理工大学2008— 2009学年第 二 学期

《概率论与数理统计》期末考试试卷（A2）

五、某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱少于200000元的概率．（8分） 附：标准正态分布分布函数()x Φ表：

x

0.56 0.57 0.58 0.59 ()x Φ

0.7123

0.7157

0.7190

0.7224

解：设=A ｛某辆汽车出事故｝，则()006.0=A P ，设X 表示运输公司一年内出事故的车数．则

()006.0500~，B X ．

保险公司一年内共收保费400000500800=⨯，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司一年赚钱小于200000元，则在这一年中出事故的车辆数超过4辆．因此所求概率为

()5000.00645000.006

45000.0060.9945000.0060.994X P X P -⨯-⨯⎛

⎫>=>

⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

5000.00610.585000.0060.994X P -⨯⎛⎫=-≤

⎪⨯⨯⎝⎭

()10.580.2810≈-Φ=．

六、设总体(

)2

,~σ

μN X ，其中02

>σ

已知，μ是未知参数．()n X X ，， 1是从该总体中

抽取的一个样本，求未知参数μ的极大似然估计量。（8分） 解： 当02

>σ为已知时，似然函数为

()()

()222

2112exp 2n

n i i L x μπσ

μσ-=⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭

∑

因而 ()()()

2

22

1

1

ln ln 222n

i

i n L x μπσμσ==--

-∑ 所以，由似然方程

()

()()21

1

ln 0n

i

i d L x d μμμσ

==

-=∑，解得1

1n

i

i x n

μ==∑， 所以μ的极大似然估计量为1

1n

i i X X n ==∑。

三、一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第3层起开始离开电梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率。（7分）

解：设A 表示事件没有两位乘客在同一层离开，则样本空间包含的样本点数为10

18，事件A 包含的样本点数为10

18P ，因此()101810

0.044518

P

P A =

= 四、已知随机变量)3,1(~2

N X ，)4,0(~2

N Y ，且X 与Y 相互独立，设32

X Y

Z =- (1) 求)(Z E ；)(Z D ； (2) 求YZ ρ．(12分)

解：(1)()32X Y E Z E ⎛⎫=- ⎪

⎝⎭11()()3

2E X E y =- 11

1032

=⨯-⨯31= ；

()32X Y D Z D ⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭()()2

2

22()3232X Y X Y E Z EZ E E ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=22

2(

)()93432X XY Y EX EY E -+--=2

2

1

9349

EX EXEY EY -+- ； 又因为()10192

2

=+=+=EX DX EX

,16016)(22=+=+=EY DY EY

所以D(Z)=591416910=-+； (2)(,)Cov Y Z 1

13

2

(,)Cov Y X Y =-

=()32X Y E Y ⎛

⎫⨯--

⎪⎝⎭

()E Y E (32

X Y -)

()22111132328E EY E E EY E =X -Y -X +Y =- 则YZ ρ=

(),Cov Y Z DY DZ

=8255

45

-=-