二次函数周长面积最值问题
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学生姓名学管师
学科
名称
年级上课时间月日_ _ :00-- __ :00 课题
名称
周长,面积最大问题
教学
重点
教学过程【精讲精练】
1.(2009永州)如图,在平面直角坐标系中,点A C
、的坐标分别为(10)(03)
--
,、,,点B在x 轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线1
x=,点P为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长.
(3)求PBC
△面积的最大值,并求此时点P的坐标.
x
y
B
F
O
A
C
P
x=1
(第27题)
2. (2009贵港)如图,抛物线y =ax 2
+bx +c 与x 轴交于点A 和点B(-2,0),与y 轴的负半轴
交于点C ,且线段OC 的长度是线段OA 的2倍,抛物线的对称轴是直线x =1. (1)求抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,以线段MN 为一边抛物线上与M 、N 不重合的任意一点P(x ,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S ,请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式;
(3)当0<x ≤ 10
3时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;
若不存在,请说明理由.
A O
B C
y x
x =1
3. (2009本溪)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2
+bx +c 经过A(-1,0),B(3,0),
C(0,3)三点,其顶点为D ,连接BD ,点P 是线段BD 上一个点(不与B 、D 重合),过点P 作y 轴的垂线,垂足为E ,连接BE .
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D 的坐标;
(2)如果P 点的坐标为(x,y),△PBE 的面积为S ,求S 与x 的函数关系式,写出自变量x 的
取值范围,并求出S 的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S 取得最大值时,过点P 作x 的垂线,垂足为F ,连接EF ,把△PEF
沿直线EF 折叠,点P 的对应点为P /,请直接写出P /点坐标,并判断点P /
是否在该抛物线上.
1- 1-
2- 3- 1 2 3 3 1 D
y
C B A
P
2 E
x O
4. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,A 、B 两点的坐标分别为A (-3,0)、B (0,4),抛物线
c x x y +-=
3
10
322经过B 点。
(1) 求c 的值;
(2) 若△ABO 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动,运动t 秒后,刚好落在△DCE 的位置
上,且点C 在抛物线上。
① 求t 的值,并判断说明此时四边形ABCD 是否是菱形;
② 若N 点是线段CD 上的一个动点,过点N 作MN ∥y 轴交抛物线于点M ,求MN 的最大
值。
5.(2011•烟台)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D
在y轴上.直线CB的表达式为y=﹣x+,点A、D的坐标分别为(﹣4,0),(0,4).动
点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
6.(2011•湘西州)如图.抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C.
(2)求直线AC的解析式.
(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且S△MAB=6,求点M的坐标.
(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B 向A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ 的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少?
7.(2011•芜湖)平面直角坐标系中,▱ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(﹣1,
(1)若抛物线过点C,A,A',求此抛物线的解析式;
(2)▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标.
8.(2011•漳州)如图1,抛物线y=mx2﹣11mx+24m (m<0)与x轴交于B、C两点(点B在
(1)填空:OB=,OC=;
(2)连接OA,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,当四边形OACD是菱形时,求此时抛物线的解析式;
(3)如图2,设垂直于x轴的直线l:x=n与(2)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线l 沿x轴方向左右平移,且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:当n 为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.
9.(2011•南充)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m﹣4,0)和B(m,0),与直线y=﹣
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM 的最大面积及点M的坐标.
10.(2011•乐山)已知顶点为A(1,5)的抛物线y=ax2+bx+c经过点B(5,1).
(2)如图(1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点,求四边形ABCD的周长;
(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x 上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PQR.
①当△PQR与直线CD有公共点时,求x的取值范围;
②在①的条件下,记△PQR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式,并求S 的最大值.
11.(2011•丹东)己知:二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左
(1)请直接写出点A、点B的坐标.
(2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.
(3)如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点0、B重合).过点Q作QD∥AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当△CDQ面积S最大时,求m的值.
12.(2011•北海)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(﹣2,0)、B(4、0)两点,与y轴交
于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△A TC是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;
(3)M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行,当点M到原点时,点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称
轴时,两点停止运动,过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P.求点M的运动时间t与△APQ 面积S的函数关系式,并求出S的最大值.
13.(2010•乐山)如图所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),
连接AC,若tan∠OAC=2.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
14.(2010•无锡)如图,矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(﹣4,0)和(2,0),BC=.设
直线AC与直线x=4交于点E.
(1)求以直线x=4为对称轴,且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于C、N之间的一动点,求△CMN面积的最大值.
15.(2011•娄底)如图,已知二次函数y=﹣x2+mx+4m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)
两点(B点在A点的右边),与y轴的正半轴交于点C,且(x1+x2)﹣x1x2=10.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)写出B,C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标;
(3)连接BM,动点P在线段BM上运动(不含端点B,M),过点P作x轴的垂线,垂足为H,设OH的长度为t,四边形PCOH的面积为S.请探究:四边形PCOH的面积S有无最大值?如果有,请求出这个最大值;如果没有,请说明理由.
16.(2011•遂宁)如图:抛物线y=ax2﹣4ax+m与x 轴交于A、B两点,点A的坐标是(1,0),
与y轴交于点C.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)过点C作CP⊥对称轴于点P,连接BC交对称轴于点D,连接AC、BP,且∠BPD=∠BCP,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为G,连接BG、CG、求△BCG的面积.
17.(2010•安顺)如图,抛物线y=x2+3与x轴交于点A,点B,与直线y=x+b相交于点
B,点C,直线y=x+b与y轴交于点E.
(1)写出直线BC的解析式.
(2)求△ABC的面积.
(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A,B重合),同时,点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为t秒,请写出△MNB 的面积S与t的函数关系式,并求出点M运动多少时间时,△MNB的面积最大,最大面积是多少?
18.(2011•眉山)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(﹣4,4),将点B绕点A顺时
针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1+1;(3)在(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值.
课后小结上课情况:
课后需再巩固的内容:
配合需求:家长_________________________________ 学管师_________________________________。