二次函数周长面积最值问题

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年级上课时间月日_ _ :00-- __ :00 课题
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周长，面积最大问题
教学
重点
教学过程【精讲精练】
1.（2009永州）如图，在平面直角坐标系中，点A C
、的坐标分别为(10)(03)
--
，、，，点B在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线1
x=，点P为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长．
（3）求PBC
△面积的最大值，并求此时点P的坐标．
x
y
B
F
O
A
C
P
x=1
（第27题）
2. （2009贵港）如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(－2，0)，与y 轴的负半轴
交于点C ，且线段OC 的长度是线段OA 的2倍，抛物线的对称轴是直线x ＝1． (1)求抛物线的解析式；
(2)若过点(0，－5)且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，以线段MN 为一边抛物线上与M 、N 不重合的任意一点P(x ，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S ，请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式；
(3)当0＜x ≤ 10
3时，(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；
若不存在，请说明理由．
A O
B C
y x
x ＝1
3. （2009本溪）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 经过A(-1,0)，B(3,0)，
C(0,3)三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）如果P 点的坐标为(x,y)，△PBE 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的
取值范围，并求出S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把△PEF
沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P /，请直接写出P /点坐标，并判断点P /
是否在该抛物线上．
1- 1-
2- 3- 1 2 3 3 1 D
y
C B A
P
2 E
x O
4. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A （－3，0）、B （0，4），抛物线
c x x y +-=
3
10
322经过B 点。

（1） 求c 的值；
（2） 若△ABO 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，运动t 秒后，刚好落在△DCE 的位置
上，且点C 在抛物线上。

① 求t 的值，并判断说明此时四边形ABCD 是否是菱形；
② 若N 点是线段CD 上的一个动点，过点N 作MN ∥y 轴交抛物线于点M ，求MN 的最大
值。

5.（2011•烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D
在y轴上．直线CB的表达式为y=﹣x+，点A、D的坐标分别为（﹣4，0），（0，4）．动
点P自A点出发，在AB上匀速运行．动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）求s随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值．
6.（2011•湘西州）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．
（2）求直线AC的解析式．
（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．
（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B 向A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ 的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？
7.（2011•芜湖）平面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
8.（2011•漳州）如图1，抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在
（1）填空：OB=，OC=；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n 为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
9.（2011•南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM 的最大面积及点M的坐标．
10.（2011•乐山）已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．
（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的周长；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x 上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．
①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S 的最大值．
11.（2011•丹东）己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
12.（2011•北海）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B（4、0）两点，与y轴交
于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△A TC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称
轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ 面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
13.（2010•乐山）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），
连接AC，若tan∠OAC=2．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？
14.（2010•无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），BC=．设
直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
15.（2011•娄底）如图，已知二次函数y=﹣x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）
两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x1+x2）﹣x1x2=10．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
16.（2011•遂宁）如图：抛物线y=ax2﹣4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．
17.（2010•安顺）如图，抛物线y=x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=x+b相交于点
B，点C，直线y=x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB 的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
18.（2011•眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时
针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
课后小结上课情况：
课后需再巩固的内容：
配合需求：家长_________________________________ 学管师_________________________________。