证明举例
19.27证明举例——文字证明
19.2（7）证明举例
学习目标：
1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表
达格式；了解证明之前进行分析的基本思路.
2、能利用全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等、三角形全等的简单问
题.
3、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态，会证明简单的文字
语言形态表述的几何命题
教学重点与难点：
根据命题的题设和结论，画出图形，写出已知和求证，证明命题，掌握数学语言的转化.
一、课前练习
1. 将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后指出命题的题设和结论。
(1) 三角形一边的两端到这边的中线所在的直线的距离相等；
(2) 有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
二、新课探索
例1 求证：三角形一边的两端到这边的中线所在的直线的距离相等
例2：求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
三、课内练习：
1. 求证：有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等。
2. 求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等。
拓展：以点B为顶点的45°的角在正方形ABCD内旋转，在旋转过程中始终保持角的两边分别与AD，DC交于E，F，猜想线段AE、CF、EF在数量上存在什么关系？请证明你的猜想。
最新沪教版五四制八年级数学上册《证明举例7》教学设计-评奖教案
19.2（7）证明举例(7)教学目标通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路.能利用全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等、三角形全等的简单问题.了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态，会证明简单的文字语言形态表述的几何命题.教学重点及难点重点：文字语言叙述的几何命题的证明.难点：证明几何命题的完整过程.教学用具准备黑板、粉笔、学生准备课堂练习本.教学流程设计教学过程设计1．例题讲解巩固练习回家作业例题讲解课堂小结例题13求证: 三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等.已知: 如图,AD是△ABC的中线,CE⊥AD,垂足为E, BF⊥AD, 垂足为F.求证:CE=BF.证明:∵AD是△ABC的中线(已知),∴BD=CD(中线的定义).∵CE⊥AD, BF⊥AD(已知),∴∠CED=∠BFD=90°(垂直的定义).在△BDF与△CDE中,∠BFD=∠CED(已证)∠BDF=∠CDE(对顶角相等),BD=CD(已证),∴△BDF≌△CDE(A.A.S).∴CE=BF(全等三角形的对应边相等).【说明】本例是文字语言叙述的几何命题的证明，包括了证明几何命题的完整过程，是一个难点.教师要从分析题设、结论，到画图、写已知、求证，直至完成证明，耐心地对学生进行引导.本题不仅可从全等三角形性质的角度证明线段相等，还可引导学生从面积角度入手来证明线段相等，开阔学生的思维.例题14 求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.已知：如图，在△ABC 与△A ’B ’C ’中，AD 、A ’D ’分别是BC 、B ’C ’上的中线，AB=A ’B ’，BC=B ’C ’，AD=A ’D ’.求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’.证明:∵AD 、A ’D ’分别是BC 、B ’C ’上的中线（已知），∴BD=21BC ，B ’D ’=21B ’C ’（三角形中线的定义）.又∵BC=B ’C ’(已知),∴BD=B ’D ’(等式性质).在△ABD 与△A ’B ’D ’中,AB=A ’B ’(已知)BD=B ’D ’(已证),AD=A’D’(已知),∴△ABD≌△A’B’D’ (S.S.S).得∠B=∠B′(全等三角形的对应角相等).在△ABC与△A’B’C’中AB=A’B’(已知)∠B=∠B’(已证),BC=B’C’(已知)∴△ABC≌△A’B’C’ (S.A.S).【说明】本例是文字语言叙述的几何命题的证明，包括了证明几何命题的完整过程，是一个难点.教师要从分析题设、结论，到画图、写已知、求证，直至完成证明，耐心地对学生进行引导.2．反馈练习，巩固知识(1)求证：有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.(2)求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等.【说明】及时的练习可以巩固学生刚刚学到的知识.3、课堂小结我们如何来证明文字语言叙述的几何命题？4、布置作业练习册.。
证明举例
AEB CD 学而优教育学科教师辅导讲义就读学校 干巷中学 年 级 八 授课次数 11 学员姓名 夏卉哲辅导科目数学学科教师吴老师课 题 §19.2证明举例 授课日期授课时段：00-:00教学目的1、在证明举例的学习和实践中，懂得演绎推理的一般规则，体会执果索因的分析过程与方法及由因导果的解题过程与方法，初步掌握规范的表达格式。
2、利用所学的定义、公理、定理等解决几何问题。
3、在学习总结的过程中增强学习数学的兴趣，并在其中体会成功的喜悦。
教学内容一、 课前练习： 1、看图填空： （1）∵∠1=∠2（已知）∴ ∥ （ ）（2）∵∠3=110°∠4=110°（已知） ∴ = （ ）∴ ∥ （ ）（3）∵∠C=45°，∠ADC=135°（已知）∴ = （ ）∴ ∥ （ ）（学生对前面所学知识有所遗忘，由小练习来复习平行线的判定定理，为下面证明举例做好知识准备。
） 二、讲授新课在平行线和三角形的学习中，我们通过说理确认了一些真命题. 那时的说理，其实就是证明.下面再看一些证明的例子. 例1 已知：如图，AB ∥CD ，∠B +∠D =180°. 求证：CB ∥DE .（通过对本题的学习让学生初步体会证明两条直线平行分析方法和过程。
掌握规范的书写格式。
） 变式练习：已知：如图，AB ∥CD ，∠B =∠D 。
求证：AD ∥BCDB 1 4 3 AC E2 A BACBDAA CD FE B （通过本题的练习帮助学生巩固理解证明的方法和分析的过程，在尝试一题多解证明过程中，感受成功的喜悦。
同时感受这是平行线的判定问题，要用平行线的基本图形进行证明） 例2 已知：如图，点D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 上的一点，DF ∥AB ，∠DFE =∠A .求证：EF ∥AC .例二变式练习：从已知条件 DF ∥AB 和∠DFE =∠A 中任选一个作为结论，将求证EF ∥AC 作为条件，再证明.（让学生独立分析，并且完成证明过程，从中体验成功的喜悦）想一想：依据学过的哪些方法可以证明两条直线平行？三、深化学习，提高能力练习1：已知：如图，∠1=∠B ，∠2=∠D.求证：AB ∥CD 。
19.2(7)证明举例
19.2（7）证明举例
1、求证：有两角及其中一角上的平分线对应相等的两个三角形全等。
2、等腰三角形两腰上的中线相等。
3、求证：全等三角形对应边上的高相等。
4、两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行。
5、三条边对应相等的两个三角形全等。
6、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
7、一条高对应相等的两个等边三角形全等。
8、求证：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
9、求证：等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等。
10、等腰三角形的两底角的平分线的交点到两腰的距离相等。
19.2(4)证明举例教案
19．2（4）证明举例（4）
教学目标
1、继续学习证明举例，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路；
2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线垂直的简单问题；
3、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言
证明:∵DB⊥AB,DC⊥AC(已知),
∴∠ABD=∠ACD=90°(垂直的定义).
在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(A.A.S).
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).
∵△ABC是等腰三角形,且∠1=∠2,
∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一)
能力训练1
已知：如图，P是AD上的一点，
∠ABP=∠ACP∠BPD=∠CPD
【说明】在本题中利用了全等三角形性质与三角形内角和定理来证明两直线垂直,证法有一定的典型性,要引导学生在解题后反思,小结证明两条直线垂直的基本方法
课堂练习
书上p94练习19.2（4）
课堂小结
证明两条直线垂直，一般可以采用方法
①利用等腰三角形三线合一定理证明线段垂直。
②利用垂直定义证明线段垂直。
通过总结，理清思路
求证（1）BD如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是
BD上的一点，BC=DE，AB=CD
求证：AC⊥CE
例题8已知:如图，在 中,
AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.
点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F.
求证:BF⊥AD.
证明:∵AC⊥BD(已知),
∴ (垂直的定义).
∴ ≌
∴ (全等三角形的对应角相等).
在 中, (三角形的内角和等于180°),
几何证明举例复习
对应练习： 综训 P129 6题
角平分线定理
定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
逆定理： 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。 例题： 综训127页，例4
等腰三角形相关定理：
判定定理： 等角对等边 性质定理： （1）等边对等角 （2）三线合一 推论： （1）等边三角形的每个角都等于60º （2）直角三角形中，30º 角所对的直角边等于 斜边的一半。 例题： 综训127页，例3
几何证明举例复习
知识回顾 全等三角形相关定理：
（1）AAS定理，HL定理 （2）全等三角形的对应高相等， 对应中线、对应角平分线相等。（逆定理）
例题： 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三 角形全等。
对应练理： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 逆定理： 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 例题： 求证：△ABC三边的垂直平分线相交于一点。
对应练习：
1、如图，△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°CD⊥AB，AB=4，则BC= 2 ∠BCD= 30° BD= 1 B 2、如图,∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的 Ｂ 延长线上一点， ∠ＢＤＣ＝１５ °， 1 且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ = AD Ｃ 2
C
D
A
Ｄ Ａ
3、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶 角的度数是（C ） （A）30° （B）150° （C）30°或 150° （D）60°或120°
随堂练习：
综训 P130 综合训练 课本习题变式 1--7题
小
结
思考： 本节课你有什么收获？
作业：
A组 综合能力测试：10,11题 B组： 综合能力测试：21,22题
沪教版(五四学制)数学八上 第19章《证明举例》复习课一等奖创新教案(表格式)
沪教版（五四学制）数学八上第19章《证明举例》复习课一等奖创新教案（表格式）_ 月_ _日星期__ 第__周课题十九章证明举例课型复习教时2教学目标1. 掌握平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质证明有关线段和角相等及线段平行的简单问题。
2. 通过分解基本图形，掌握添置辅助线的方法。
3. 进一步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力。
重点平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质的正确运用。
难点几种常见辅助线的添置。
教具准备多媒体课件教学过程教师活动学生活动一、建立知识结构：前阶段我们已经学习了证明线段平行、相等以及角相等的有关定理和基本图形，这节课我们一起来复习、梳理这些知识:1、一个三角形中证明线段和角相等常用的定理和基本图形，常添的辅助线．（等边对等角）（等角对等边）（底边上的高或中线或顶角的平分线）2、在两个三角形中证明线段和角相等，常要证明三角形全等．三角形全等的判定与基本图形：①_________②____________ （S、A、S）___(A、S、A)___③_________④_________(A、A、S)___(S、S、S)___师：联结两点得到线段，构造全等三角形3、有线段中点的条件，常添的辅助线：___ ______ 师：如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形；当有角平分线，常添的辅助线有以下几种：4、当有角平分线，常添的辅助线有以下几种在ON上截取OA＝OB, 延长BP交ON于点A ，构造全等三角形___ 构造等腰三角形二、例题分析：例1、已知，如图BD=CE，∠1=∠2，求证：（1）AB=AC．（2）联结ED，试判断BC与ED的位置关系，并证明你的判断．分析：问1、通过对题意分析，你能看出哪些基本图形？问2、证明哪两个三角形全等？问3、能证明△BCE与△CBD全等吗？问4、BC与ED有怎样的位置关系？如何证明？（学生口述证明过程）证明：（1）∵∠1=∠2（已知），∴∠AEC=∠ADB（等角的补角相等）在△ABD与△ACE中∠AEC=∠ADB（已证）∠A=∠A（公共角）BD=CE（已知）∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）（2）答：AB ∥ED．证明：∵△ABD≌△ACE（已证）∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）∴∠3=∠4（等边对等角）同理：∠ABC=∠ACB∵∠A+∠3+∠4=180°∠A+∠ABC +∠ACB =180°（三角形的内角和为180°）∴∠3+∠4=∠ABC +∠ACB（等式性质）∴2∠3=2∠ABC∴∠3 =∠ABC（等式性质）∴BC∥ED．（同位角相等，两直线平行）适时小结：本例中既有证明线段相等、平行又有证明角相等．既要运用三角形全等，又要运用等腰三角形的性质等定理．因而分解基本图形，选择恰当的方法非常重要．例2 已知：如图,在△ABC中, AD⊥BC于D，AD=BD，点H为AD上一点，AC=BH．求证：∠ABC=∠BCH．分析：问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？问2：由图1可得什么？为什么？问3：图2中的两个三角形是什么三角形？（学生口述证明过程）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠ADB=∠ADC=90 (垂直的意义)．在Rt△BDH和Rt△ADC．∴Rt△BDH和Rt△ADC（H.L）．∴DH=DC（全等三角形的对应边相等），∴∠DCH=∠1（等边对等角），∴∠DCH=45 （三角形内角和为180 ）同理：∠ABC=45 ∴∠ABC=∠BCH（等量代换）．反馈练习：1、已知，如图，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，AD=BC，CE=DF，求证AO=BO．分析：问1、由题意，你找到基本图形吗？问2、由这个基本图形你能得到什么结论？例3：已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点,且AB=5，AC=3，求AD 的取值范围．分析：问1、需要添置辅助线吗？如何添？问2、构造△BED的目的是什么？问3、AD的取值范围如何确定呢？解：设AD=x， 2 x＞2 解得：1＜x＜4 2 x＜8∴AD的取值范围是大于1且小于4．变式：已知，如图，D是BC的中点,且AB=m，AC=n，求AD的取值范围．分析：根据变式的解题方法，进行思考，得出结论．适时小结：如果有线段中点的条件，可以以中点为旋转中心，构造成中心对称的三角形；如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形.反馈练习：已知，如图，D是BC的中点,若∠BED=∠CAD，求证:BE=AC；分析：问1、由题意，能直接证明BE=AC吗？问2、如何添置辅助线？问3、添置这个三角形的目的是什么？问4、还有其它的添置方法吗？完整的证明过程学生课后完成．例题4 已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．求证：∠A=2∠B．分析：1．条件BC=AC+AD 使我们想到把线段AD、AC转化到线段BC上，怎样转化呢？．2．“角平分线”的条件，为实现上述转化提供了条件. 怎样翻折呢？怎样添置辅助线呢？基本图形：证明：在CB上截取CE=CA,联结DE．∵CD 是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.在△ACD与△ECD中AC=CE ∠1=∠2 CD=CD∴△ACD≌△ECD （S.A.S）∴DE=AD, ∠A=∠DEC(全等三角形的对应边，对应角相等).∵BC=CE+BE=AC+AD∴BE=AD(等式性质) ∴DE=BE,∴∠B=∠BDE(等边对等角).∵∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和).∴∠A=2∠B．适时小结：注意到CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．利用图形运动，沿CD将△ABD向下翻折或将△BCD 向上翻折，得到点A或点B的对称点．从而得到添置辅助线的两种常见方法：“截长法“和”补短法”，这是两种不同的添线方法，“截长”和“补短”都可以，一般用“截长法”，在以后的学习中我们可继续体会．例5：求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.分析：根据命题画出图形？（师生一起分析并画图）1）画一个等腰△ABC.2）再画出腰上的高BD.问：（1）高与底边的夹角是哪个角？（2）分析命题的题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”.问1：已知什么？问2：求证什么？已知: 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠A=2∠DBC问：如何找到∠A的一半？证明：作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB=AC , AE⊥BC.∴∠BAC=2∠1(等腰三角形的三线合一).∵AE⊥BC.(已知)∴∠C+∠1=900（直角三角形的两个锐角互余）.同理∠C+∠2=900。
单元视角看证明举例 -回复
单元视角看证明举例-回复题目：[单元视角看证明举例]引言：在人类的认知过程中，我们常常通过证明来验证一个观点或者假设。
而证明的过程中，从不同的视角出发进行推理和论述，则可以让我们对问题有更深入的理解。
本文将以单元视角看证明举例为主题，通过对某个具体问题的证明过程展开，一步一步回答如何从单元视角进行推理论证的问题。
一、问题提出与理解（150字）首先，我们需要明确问题的提出和理解。
选取一个适当的问题作为例子，并说明我们的证明目标是什么。
以马克思主义哲学中的实践论为例，问题可以是：实践是否是认识的来源和基础？证明目标是证明实践是认识的来源和基础。
二、单元视角的划分与论证（400字）在这一部分，我们将问题划分成单个因素或元素，从而可以通过对每个单元的论证来获得全面的证明。
以实践是认识的来源和基础为例，我们可以将这个问题划分为三个单元视角：实践与经验、实践与思维、实践与社会。
1. 实践与经验第一个单元视角是实践与经验之间的关系。
我们可以提出经验是从实践中产生的论断，并通过举例和逻辑推理来证明这个观点。
比如，通过实践探索自然界，人们从中获得了大量的经验，并通过总结和归纳形成了科学理论。
2. 实践与思维第二个单元视角是实践与思维之间的关系。
我们可以通过论证思维的起源和发展与实践的关系来证明实践是认识的来源和基础。
例如，思维是在实践中逐渐形成和发展的，而实践又通过刺激和反馈作用于思维，促使其进一步完善和发展。
3. 实践与社会第三个单元视角是实践与社会之间的关系。
通过分析实践活动对社会的影响和作用，我们可以得出实践是认识的基础的结论。
例如，实践活动常常是为了解决社会生活中的问题和需要，而这些问题和需要又是人们认识和思考的起点。
三、综合论证与总结（600字）在这一部分，我们将对前面三个单元视角进行综合论证，并总结出实践是认识的来源和基础的结论。
综合论证的核心是通过前面的单元视角来支持实践是认识的来源和基础这一中心论点。
空间几何证明举例
空间几何证明举例1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F.（1）证明：PA//平面EDB ； （2）证明：BP ⊥平面EFD ；[对症下药]（1）如图，连接AC 、AC 交BD 于O ，连接EO 。
∵底面ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，在△PAC 中，EO是中位线，∴PA//EO ，又EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，所以PA//平面EDB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面PDC ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ，又EF ⊥PB ，∴DF ⊥PB ，又PB ⊥EF ，∴PB ⊥平面DEF ；（3）由（2）知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角。
由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB ，设正方形ABCD 的边长为a 则PD=DC=a ，BD=2a ，PB=3a ，PC=2a,DE=21PC=a 22,在Rt △PDBk ,OF=a PB BD PD 36=∙.在Rt △EFD 中，sin ∠EFD=23=DF DE ,∴∠EFD=.3π所以二面角C —PB —D 的大小为.3π2.（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a ，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于E 、F 、G 、H 。
（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由；（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明。
[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。
八年级同步第19讲：证明举例
几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．证明举例知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析【例1】 填空：（1）如图，因为1=60∠︒（已知），2=60∠︒(已知)，所以__________//__________（______________________________）． （2）如图，因为AB CD P （已知），所以A D ∠+∠=__________ (______________________________)， 因为AD BC P （已知），所以A ∠+__________=__________ (______________________________)， 所以∠__________=∠__________ (______________________________)．（图1）（图2）【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是外角∠CAE 的平分线．求证：AD // BC ． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ACDB ab 1 2ABCD E【例3】 已知：如图，AD BC ⊥于D ，EF BC ⊥于F ，交EF BC ⊥AB 于G ，交CA 延长线于12E ∠∠，=．求证：AD 平分BAC ∠，填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD 平分BAC ∠，只要证明__________＝__________，而已知12∠∠＝，所以应联想这两个角分别和12∠∠＝的关系，由已知BC 的两条垂线可推出__________//__________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：∵ AD BC EF BC ⊥⊥，（已知）∴__________//__________（______________________________）， ∴__________＝__________（两直线平行，内错角相等）， __________＝__________（两直线平行，同位角相等）， ∵__________（已知），∴__________即AD 平分BAC ∠（______________________________）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 求证：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等．根据题意做出图形，标出必要的字母或符号，根据题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】AF CE DB12 G1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．【例5】 判断下列语句是不是命题？ （1） 画AOB 的角平分线； （2） 两条直线相交，有几个交点？ （3） 直角大于锐角； （4） 直角大于钝角； （5） 今天可能要下雨； （6） 几何多有乐趣啊！ 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：命题、公理、定理（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同角的余角相等；（4）异号的两数相加得负数；（5）乘积为1的两个数互为倒数．【难度】★【答案】【解析】【例7】下列描述不属于定义的是（）．A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B．正三角形是特殊的三角形；C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；D．含有未知数的等式叫做方程．【难度】★★【答案】【解析】【例8】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）直角三角形的两个锐角互余；如果____________________，那么______________________________；（2）角平分线上点到角两边的距离相等；如果____________________，那么______________________________；（3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；如果____________________，那么______________________________．【难度】★★【答案】【解析】（1）两个角是锐角的三角形是锐角三角形； （2）相等的角是对顶角； （3）一个角的补角大于这个角； （4）若22a b >，则a b >；（5）若已知直线a 、b 、c ，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】下列说法中，正确的是（）．A ．命题一定是正确的；B ．不正确的判断就不是命题；C ．公理都是真命题；D ．真命题都是定理． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】下列命题是假命题的是（）．A ．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；B ．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；C ．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；D ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】已知：如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E 在AC 上，CE BC =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ． 求证：AB FC =． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】如图，已知Rt ABC V 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于D AE ，为A ∠的角平分线，交CD 于E ，过E 作BC 的平行线，交AB 于点F ． 求证：AF AC =． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例14】已知：如图，AB CD AD BC AE CF ===，，．求证：=E F ∠∠． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析模块三：证明举例AC EBFDCABFDE ACEDBF【例15】 如图，四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，交AB 于点E ， BGC GBC ∠=∠，BG 平行ED 交AD 延长线于点P ．求证：//AD BC ．【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】如图，已知ABC V 中，D 是边BC 的中点，E F 、分别在边AB AC ，上，且//EF BC ，ED FD =．求证：AEF AFE ∠=∠．【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】如图，点C 是AB 上的一点，在AB 的同旁做等边ACD V 和等边BCE AE V ，与CD 交于点M BD ，与CE 相交于点N ． 求证：CM CN =． 【难度】★ 【答案】 【解析】BACDBFEABCD N EM【例18】如图，已知在ABC V 中，AD 平分//BAC BE AD ∠，，交CA 延长线于点E F，是BE 的中点．求证：AF BE ⊥．【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】如图，已知BE CF 、是ABC V 的高，且BP AC CQ AB ==，．求证：AP AQ ⊥． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 如图所示，问1234∠∠∠∠、、、要满足什么条件可以证明?AB CD P【难度】★★ 【答案】 【解析】ACEDB2 3F41C【例21】 已知：如图所示，90AB AC A AE BF BD DC ∠=︒==＝，，，．求证：FD ED ⊥． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】如图，已知锐角ABC V ，分别以BC BA 、为一直角边，皆以B 为直角顶点，向ABC V 内侧作等腰BCD V 和BAE V ，延长DA EC 、，交于点F ． 求证：DF EF ⊥． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例23】如图，已知D E 、两点分别在AB AC 、上，AD AE BD CE BE CD ==，，、交于点F ． 求证：FB FC =． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ACE DFFACEDFB【例24】等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，B ∠的平分线交AC 于D ，过点D 向BD做垂线，并与BD 延长线交于点E ． 求证：2BD CE =． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例25】如图，已知：90BAC AB AC M ∠=︒=，，是AC 的中点，AD BM ⊥于E ，交BC 于D ．求证：AMB DMC ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例26】如图所示，已知ABC V 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使=AE BD ，连结CE DE 、．求证：=EC ED ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCE DABCDMECAB DEDCB A【例27】 如图，已知：AC 平分BAD BC CD AD AB ∠=>，，．求证：180B D ∠+∠=︒． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例28】已知：如图所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，45EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图所示，在ABC V 中，2AB AC =， D 是AB 的中点，E 是AD 的中点．求证：2BC CE =．【难度】★★ 【答案】 【解析】EACEDB【例30】如图，已知：在ABC V 外作正方形ABDE 和ACGF ，M 是BC 的中点．求证：12AM EF =． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】已知：如图，过ABC ∆的顶点A ，在A ∠内任引一射线，过B C 、作此射线的垂线BP 和CQ ，设M 为BC 的中点．求证：MP MQ ＝．【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例32】如图，已知：在ABC V 中，90AC BC ACB AD AC P =∠=︒=，，，是CD 上任意一点，PQ AB ⊥于Q ，PR AC ⊥于R ． 求证：PQ PR AB +=． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCGEMDFCR BACQ MP随堂检测【习题1】命题“互余的两个角一定是锐角”是_________命题（填“真”或“假”）．【难度】★【答案】【解析】【习题2】下列命题中，是真命题的有（）．A．两锐角之和是锐角B．钝角减去锐角得锐角C．钝角大于它的补角D．锐角小于它的余角【难度】★【答案】【解析】【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）同角的余角相等；（2）直角都相等；（3）对顶角相等；（4）在一个三角形中，等角对等边．【难度】★【答案】【解析】【习题4】求证“三角形内角和等于180°”，并说明其中的因果关系．【难度】★【答案】【解析】14/ 21【习题5】 已知：四边形ABCD 中，AD BC P ，E 是线段DC 的中点，AE 是BAD ∠的平分线．求证：BE 是ABC ∠的平分线．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 如图，已知：在ABC V 中，AD 平分BAC BD CD ∠=，．求证： AB AC =． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如图，已知，AD 是ABC V 的角平分线，2C B ∠=∠， 将ABC V 沿直线AD 翻折，点C 落在AB 的E 处．试判断EBD V 的形状，并加以证明． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AEDCB ACDB ACEDB【习题8】 如图，已知CA AB ⊥，E 为AB 上一点，CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠，90CED ∠=︒． 求证：AB DB ⊥． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知：如图，ABC ∆中， 90C AC BC AD DB AE CF ∠=︒===，，，．求证：DE DF =． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，已知锐角ABC V ，分别以AB AC 、为一直角边，皆以A 为直角顶点，向ABC V 外侧作等腰ABD V 和ACE V ，联结CD BE 、交于点F ． 求证：CD BE ⊥． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ACEDBFC ABF DEADBE C【习题11】 如图，已知: 2AC AB =,D 是AC 中点，E 是AD 中点，点F 在BE 延长线上，且BE EF =．求证：2BC EF F C =∠=∠，．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题12】 如图，已知：在正方形ABCD 中，M 是DC 的中点，2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题13】 已知：如图，在ABC V 中，60B BAC BCA ∠=︒∠∠，、的角平分线AD CE 、相交于O ．求证：AC AE CD =+． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCFDEADCABDE18/ 21【作业1】 下列语句中，正确的是（）．A ．相等的角是对顶角；B ．三角形的两锐角互余；C ．判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；D ．面积相等的两个三角形全等． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论． （1）对顶角相等； （2）同位角相等，两直线平行；（3）同角的余角相等．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，已知：△ABC 中，∠B = 2∠C ，BC = 2AB ．求证：∠A = 90°． 【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业ACB【作业4】 已知：如图，∠1=∠2，AB ＞AC ．求证：BD ＞DC ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业5】 已知：如图，//AD BC AE BE ，、分别平分DAB ∠和CBA DC ∠，过点E ．求证：AB AD BC =+． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 已知：10812AB AC A =∠=︒∠=∠，，．求证：BC AB CD =+．【难度】★★ 【答案】 【解析】21 BACDACDEBADBC【作业7】 如图，已知：在四边形ABCD 中，//AB CD BE ，平分ABC AB CD BC ∠+=，．求证：CE 平分BCD ∠． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图若AD 平分CAB ∠，则AD 上的点E 为△ABC 的准内心．应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且12PD AB =，则∠BPC 的度数为_____________度．（2）如图已知直角ABC V 中，斜边53AB BC ==，，准内心P 在边BC 上，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图，已知：点D 为等边ABC V 内一点，DA DB P =，为等边ABC V 外一点，BP AB DBP DBC =∠=∠，． 求证：12P C ∠=∠．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCEACBPDCABPDBDCAE【作业10】 已知：如图所示在中三角形ABC 中， 90C ∠=︒，D 是AB 上一点，DE CD⊥于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==．求证：12DE CD =．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 如图，已知C 是AB 的中点，点E 在CD 上，且AE BD =．求证： 1 2∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业12】 已知：如图所示，在ABC V 中，2A B CD ∠=∠，是C ∠的平分线．求证：=BC AC AD ＋．【难度】★★★ 【答案】 【解析】CABDED CE BA12 ADCB。
19.2 证明举例(6)
19.2 证明举例（6）[中线加倍与沿角平分线翻折]第一组 19-151、将△ABC 的中线AD 加倍按图19-15-1所示的添线方式，其正确描述是（ ） A 、作DE 使DE=AD ，联结CEB 、延长AD 到点E ，使DE=AD ，联结CEC 、延长DA 到点E ，使DE=AD ，联结CE D 、延长AD 到点E ，使AE=AD ，联结CE2、在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，交BC 于点D 。
为了构造与△ABD 全等的△ADE ，添线方法正确的是（ ）A 、在AC 上截取AE=AB ，连ED B 、在AC 上找一点使得ED=BD C 、过点D 作DE ⊥AC 于点E D 、以上都不正确3、如图19-15-1，将△ABC 的中线AD 加倍到点E ，联结CE 后，以下结论错误的是（ ） A 、△ABD ≌△ECD B 、AB//CE C 、CE=AB D 、AB=AC4、角是轴对称图形，对称轴是 。
5、如图19-15-2，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD 的取值范围是 。
6、如图19-15-3，D 为等边△ABC 内一点，AD=CD ，P 为等边△ABC 外一点，PC=AC ，且CD 平分∠BCP 。
求∠P 的度数。
需添辅助线 ，可证 ≌ 以及 ≌ ，则有∠P= = = º。
图 19 - 15 - 1CEDBA图 19 - 15 - 3图 19 - 15 - 2APCD BCD BA7、如图19-15-4，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠1=∠2，求证：AB=AC 。
8、如图19-15-5，在四边形ABCD 中，BC>AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=180º。
求证：AD=DC 。
9、如图19-15-6，在△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，且AD=BD 。
求证：CD ⊥AC 。
10、如图19-15-7，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC 。
数列不等式的证明举例
1. 已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈ 分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。
解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。
n n a 21=+∴，12-=n n a（2）n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，n n nb n b b b 24)(21=∴-+++n n nb n b b b =-+++2)(221 ①1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③ 212)1(++=-+∴n n nb b n ④④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所以数列}{n b 是等差数列（3）1111212211211-++=-<-=n n n n a a 设132111++++=n a a a S ，则)111(211322n a a a a S ++++< )1(21112+-+=n a S a3213212112<-=-<++n n a a a S点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。
2. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若1a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。
5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． A 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
M P B N
性质：线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距 离相等。
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等。 ）
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D
B
D
E
C
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平 分线上．
P
A
C
B
证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
4.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分 CAD. 求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又∵ AB平分CAD(已知) 3 B ∴ 1= 2(角平分线的定义) O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
证明举例(辅助线)
课题：证明举例(5)（添加辅助线）一、教学目标1. 通过证明举例添加辅助线的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握添加辅助线的方法和规范的证明表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路.2. 能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关角相等的简单问题.3. 了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态，从中体会数学美. 二、教学重点、难点和关键1. 教学重点：分析基本思路，初步学会添加辅助线的方法掌握规范的表达格式.2. 教学难点: 辅助线的添加.3. 难点关键: 添加适当的辅助线，构造三角形. 三、教学思路四、教学过程 （一） 复习旧知1. 全等三角形判定方法：S.A.S , A.A.S , A.S.A , S.S.S .2. 全等三角形的性质：如图,∵ABC ∆≅DEF ∆（已知）∴AB DE = BC EF = AC DF =(全等三角形的对应边相等) ∴A D ∠=∠ B E ∠=∠ C F ∠=∠(全等三角形的对应角相等)3.等腰三角形的判定：FEDCBAA如图,∵B C ∠=∠(已知)∴AB AC =（等角对等边） 4.等腰三角形的性质： 如图,∵AB AC =(已知)∴B C ∠=∠（等边对等角） （二）例题讲解例题10如图, 已知在四边形ABCD 中,AB =DC , ∠B =∠C . 求证: ∠A =∠D .分析: 要证明结论A D ∠=∠, 容易想到通过证明A ∠与D ∠所在的两个三角形全等来实现。
因此分别联接AC 、BD ,设法证明ABD ∆与DCA ∆全等. 思路：(..)ABC DCB S A S ∆≅∆先证明⇒AC DB =⇒(..)ABD DCA S S S ∆≅∆⇒BAD CDA ∠=∠证明： 分别联接AC 、BD ，在ABC ∆与DCB ∆中，(AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）,（已知）,（公共边）, ∴(..)ABC DCB S A S ∆≅∆.∴AC DB =(全等三角形的对应边相等). 在ABD ∆与DCA ∆中，(AB DC DB ACAD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知）,（已证）,（公共边）, ∴(..)ABD DCA S S S ∆≅∆.∴BAD CDA ∠=∠(全等三角形的对应角相等) 即∠A =∠D.CB DA（三） 一题多解例题10如图, 已知在四边形ABCD 中,AB =DC , ∠B =∠C . 求证: ∠A =∠D .1.分析：从已知B C ∠=∠进行分析，容易想到证明B ∠与C ∠所在的两个三角形全等.因此分别联接AC 、BD 交于点O ,证明ABC ∆与DCB ∆全等.再证明OBC ∆与OAD ∆是等腰三角形.思路：(..)ABC DCB S A S ∆≅∆先证明⇒1256AC DB OB OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⇒=⎩⇒ OA=OD ⇒ 3412BAD CDA ∠=∠⎫⇒∠=∠⎬∠=∠⎭.证法二 分别联接AC 、BD 交于点O, 在ABC ∆与DCB ∆中，(AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）,（已知）,（公共边）, ∴(..)ABC DCB S A S ∆≅∆.∴AC DB =(全等三角形的对应边相等).12∠=∠(全等三角形的对应角相等).56∠=∠(全等三角形的对应角相等).∴OB=OC (等角对等边), ∴OA=OD (等式性质), ∴34∠=∠（等角对等边）. 又∵12∠=∠（已证）,∴BAD CDA ∠=∠（等式性质）,即∠A =∠D.CBDA}2.分析： 从已知B C ∠=∠进行分析，可知B ∠、C ∠所在的三角形是等腰三角形.只要作出以BC 为底边，B ∠和C ∠为底角的那个等腰三角形.再结合已知AB DC =可推得BAD CDA ∠=∠.思路：1234B C PB PC PA PD ∠=∠⇒=⎫⇒=⇒∠=∠⇒∠=∠⎬⎭证法三：延长BA ，CD交于点P , ∵B C ∠=∠（已知）, ∴PB PC =（等角对等边）. ∵AB DC =（已知）, ∴PA PD =（等式性质）, ∴12∠=∠（等边对等角）. 又∵013180∠+∠=024180∠+∠=（邻补角的意义）,∴34∠=∠（等角的补角相等）. 即∠A =∠D.3. 分析： 从已知B C ∠=∠进行分析,证明∠B 与∠C 所在的三角形全等.因此取BC 的中点M ，联接MA MD . 思路：先证明ABM ∆≅(..)DCM S A S ∆}1234BAD CDA AM DM ∠=∠⎧⇒⇒∠=∠⎨=⇒∠=∠⎩.证法四 取BC 的中点M ，联接MA MD ， ∴BM =CM (中点的意义).在ABM ∆与DCM ∆中,(AB DC B CBM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）,（已知）,（已证）, AB=DC∴ABM ∆≅(..)DCM S A S ∆.∴AM DM =(全等三角形的对应边相等),12∠=∠(全等三角形的对应角相等),∴34∠=∠(等边对等角), ∴BAD CDA ∠=∠（等式性质）, 即∠A =∠D. 3.重要说明(1)几何证明的基本方法1：从已知出发，进行推理，在推理过程中添加辅助线构造三角形.(2)几何证明的基本方法2：从结论出发，进行逆推，在推理过程中添加辅助线构造三角形.(3)在添加辅助线构造三角形时要根据题目需要选择适当的辅助线进行添加. （四）归纳小结已知条件角相等 （五）变式训练练习 如图, 已知在五边形ABMCD 中,AB =DC , ∠A =∠D, BM =CM . 求证: ∠B =∠C .（六）作业布置 五、课件和板书设计1.全等三角形的对应角相等2.等边对等角MDCBA六、教学设计说明本节课的内容属于论证几何学，从实验几何到论证几何，是从感性认识到理性认识的一个重大跨越。
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D
D B C
E D B C
D
课题：证明举例
一、教学目标：
1.通过证明举例的学习和实践，进一步掌握规范的逻辑证明表达。
2.能利用全等三角形和等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等的问题。
3.经历几何图形的变式演绎，体会图形运动的数学思想，学会辨认基本图形，并会运用图形运动构造对称图形的方法来添置辅助线。
二、教学重点难点：
1.掌握演绎推理法的规范表达。
2.体会图形运动的数学思想，并会运用图形运动构造对称图形的方法来添置辅助线。
三、教学过程
（一）学习新知 实践感悟
引例：
已知：如图，在△ABD 中，AC ⊥BD ,且∠BAC =∠CAD ..求证： ∠B =∠D.
【说明】这样的引入可以更容易启发学生在例1中添辅助线
例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90,ED 是过点A 的直线，
BAE =2∠B.
【说明】本道例题让学生感悟运用图形运动的数学思想添置辅助线，从而构造出轴对称图形并形成全等图形。
变式1：
已知，在△ABC 中，AD 垂直BC 交于点D ， AB+BD =DC ，求证：∠B =2∠C.
（证明过程略）本题给出两种解法，授课时根据学生反馈挑一种方法重点讲解
【说明】
1.此题为例1的变式，垂足D 点落在了边BC 上，除掉了AD 是角平分线的条件，本题在证
D
B C
D C
明过程中的难点也是辅助线的添置，在例1的基础上，引导学生应用同样的思想方法，通过图形运动——翻折，来添置辅助线，从而构造轴对称图形和全等三角形，从而将∠B与∠C 通过外角联系起来。
2.通过全等三角形的对应边可以将边长之间的关系进行转化，从而将已知数量关系转化到同一条边上或是同一个三角形中，从而转化得角之间的数量关系。
变式2：
已知,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C.
（证明过程略）本题给出两种解法，授课时根据学生反馈挑一种方法重点讲解
【说明】
1.本题是例1的变式，进一步巩固运用图形运动的数学思想添置辅助线，从而构造出轴对称图形并形成全等图形．
2.本题又是进一步的拓展，有两种辅助线的添法，即可以补全图形也可以分割图形，一题多解，帮助学生深刻认识此图形．（课堂教学过程中选其中一种详讲）
例2：已知：如图，点D在边BC上，BD=CD，∠1=∠2.
求证：AB = AC
证明过程重点讲解，课件上给出详细过程
【说明】本题是证明两条线段相等，图形看似简单，
但无法直接运用全等三角形的判定进行证明。
考虑到
已知条件中其实有△ACD的中线AD，这为图形的旋转
提供了条件。
本题运用图形运动——旋转，通过倍长
中线构造出中心对称图形，并形成全等三角形，从而
问题得以解决。
变式：
已知：D是BC上的一点，BD=DC, ∠1=∠2.求证：EB=AC.
（证明过程略）本题给出两种解法，授课时根据学生反馈挑一种方法讲解
【说明】此变式将例2中△ABD的顶点A移动到边AD上，进一步巩固通过图形运动中的旋转来添置辅助线，构造出中心对称图形，并形成全等三角形，从而解决问题。
（
今天这节课，你学到了什么？请同学们谈谈体会。
【说明】引导学生总结归纳，本节课学习的重点难点：体会图形运动的数学思想，并会运用图形运动构造对称图形的方法来添置辅助线，并且能够在图形变化中找出联系，抓住基本图形来解决问题。
（三）布置作业课外研习
1、将课堂例题的证明过程补充完整.
2、已知，在△ABC中AD平分∠BAC，BD⊥AD,D为垂足，且AC-AB=2BD.
求证：∠ABD=2∠C.
3、收集两道运用图形运动添置辅助线的几何证明题.。