中国矿业大学计算力学课件
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中国矿业大学 大学物理课件 2-3.
§2-3 功 动能 动能定理
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点
r
Fs
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参考系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
aHale Waihona Puke 怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-13
利用动能定理重做例题1-15。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，可求得末速度v：
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
当物体前端在s处停止时，摩擦力作的功为
s m A F d x fr d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
补例 质量为m的小球系在绳的一端，另一端固定在天
牛顿运动定律应用举例
花板上，绳长为 l 。 先拉动小球使绳水平静止，然后 松手，求绳摆下 时小球的速率和绳的张力。 解：研究对象：小球 受力分析：如图 作功情况：切向力作功改变动能 列方程： 采用自然坐标系 切向力： F mg cos
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点
r
Fs
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参考系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
aHale Waihona Puke 怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-13
利用动能定理重做例题1-15。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，可求得末速度v：
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
当物体前端在s处停止时，摩擦力作的功为
s m A F d x fr d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
补例 质量为m的小球系在绳的一端，另一端固定在天
牛顿运动定律应用举例
花板上，绳长为 l 。 先拉动小球使绳水平静止，然后 松手，求绳摆下 时小球的速率和绳的张力。 解：研究对象：小球 受力分析：如图 作功情况：切向力作功改变动能 列方程： 采用自然坐标系 切向力： F mg cos
计算力学专题知识讲座
w~
c0
c1
cos
x
l
c2
cos
2x
l
c3
cos
3x
l
i
i (x)ci
取权函数为：
WII (x x j ) ----- 边界
WI i (x)
----- 域内
EI
d 4w dx4
q0 x l
0
x0
w 0, dw 0
dx
xl
w 0, dw 0
dx
取试函数为： w~ c0 c1x c2 x2 c3x3 c4 x4 c5 x5 i (x)ci
u~
~
~u
当 n 有限时，方程存在残差（余量）
即：在域内
~
R( x) L(u) f
0
~
~~
~
在边界上
R g ( x) G(u~) g 0
~
~~
逼迫余量在某种平均意义上为零
WI Rd 0
WII R g d 0
或
WI Rd WII R g d 0
WI ,WII 为权函数
不同权函数旳选择涉及不同旳计算格式
0
q c4 24EI
P
EI
d 4w dx4
P
(x
)
0
x0
w 0, dw 0 dx
xl
w 0, dw 0
dx
取试函数为： w~ c0 c1x c2 x2 c3x3 c4 x4 i (x)ci
或：
w~
c0c1 sinxlc2sin
2x
l
c3
i
sin
3x
l
i
i (x)ci
或：
例二：
计算力学课堂教学课件第2章(1)
n j
I
0
nm
n
0
0
Pie 0
0
Pje
0 0 Pme
0
0
（2.2.51）
2n 1 9
m
9
e
i 3 j 10
Pie
PP22ii1
(i, j, m)
P ne P~e
e
P3e
P5 P6
10
ne
P GPe
e
对每一个单元 G P e 的作用是将单元载荷
k2 j
kij
k22n
ki2n
第 i 个结点位移方
向上施加的结点力
k j1
k j2
k ji
k jj
k
j2n
大小。
k2n1 k2n2 k2ni k2nj k2n2n
2n 192n
2. K 的性质（特点）
（1）对称性 K K
（2）奇异性 K 0
每行（或每列）的所元素之和等于零，
k33 0
0 0
k35 0
0 0
3 4
0
k52
k53
0
k55
0
5
0 0 0 0 0 0 6
15
563
k55 k56 k53 5
k 3 k65
k 66
k
63
6
k 35
k36
k33
3
66
1
①
2
②3
④
③
12 3 4 5 6
4
5
6
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0
2
k~3
0 0
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第二章 牛顿运动定律
惯性系只能通过实验来确定。
★实验表明：地球是一个近似程度很高的惯性系。 ★实验还表明：相对地球做匀速直线运动的物体也 是惯性系。
中国矿业大学（北京）
8/52
牛顿第三定律
2、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F 沿
同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两
个物体上。
F F
两点说明：
摩擦系数为 ，拉力F作用于物体上。
求：F与水平面之间的夹角 为多大时，能使物体获
得最大的加速度？
F
解：建立直角坐标系oxy，
N
根据牛顿第二定律列式：
f
F cos f ma
G
N F sin mg 0
y
f N
ox
中国矿业大学（北京）
28/52
例题2-2
可解得： f μ(mg F sin ),
瞬时加速度。两者同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
中国矿业大学（北京）
11/52
牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：
F
ma
m
d
v
dt
直角坐标系中的
自然坐标系中的
分量形式
分量形式
Fx
max
m dvx dt
d2 x m dt2
,
Fy
may
m dvy dt
m
d2 dt
y
2
,
Fz
maz
m dvz dt
最大静摩擦力 fmax 0N 滑动摩擦力 f N
0：静摩擦系数，：滑动摩擦系数。与接触面的 材料和表面粗糙程度有关，还和相对速度有关。
0 1
中国矿业大学（北京）
★实验表明：地球是一个近似程度很高的惯性系。 ★实验还表明：相对地球做匀速直线运动的物体也 是惯性系。
中国矿业大学（北京）
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牛顿第三定律
2、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F 沿
同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两
个物体上。
F F
两点说明：
摩擦系数为 ，拉力F作用于物体上。
求：F与水平面之间的夹角 为多大时，能使物体获
得最大的加速度？
F
解：建立直角坐标系oxy，
N
根据牛顿第二定律列式：
f
F cos f ma
G
N F sin mg 0
y
f N
ox
中国矿业大学（北京）
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例题2-2
可解得： f μ(mg F sin ),
瞬时加速度。两者同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
中国矿业大学（北京）
11/52
牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：
F
ma
m
d
v
dt
直角坐标系中的
自然坐标系中的
分量形式
分量形式
Fx
max
m dvx dt
d2 x m dt2
,
Fy
may
m dvy dt
m
d2 dt
y
2
,
Fz
maz
m dvz dt
最大静摩擦力 fmax 0N 滑动摩擦力 f N
0：静摩擦系数，：滑动摩擦系数。与接触面的 材料和表面粗糙程度有关，还和相对速度有关。
0 1
中国矿业大学（北京）
计算力学第13课(2015)
体模型
求解方法：通 常采用有限元 法中的加权残 差法或最小二 乘法进行求解
应用范围：广 泛应用于结构 力学、流体力 学、热力学等 领域
优势：能够处 理复杂几何形 状和边界条件
优势：能够处 理非线性问题
优势：能够处 理大变形问题
优势：能够处 理多物理场耦 合问题
建立有限 元模型： 将问题域 离散化为 有限个单 元
,
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 课 程 简 介 03 力 学 基 础 04 弹 性 力 学 05 塑 性 力 学 06 有 限 元 法
计算力学是力学的一个分支主 要研究力学问题的数值解
课程内容包括：有限元法、边 界元法、有限体积法等
随着计算机技术的发展计算力 学在工程、科学等领域的应用 越来越广泛
课程目标是培养学生运用计算 力学方法解决实际问题的能力
掌握计算力学的 基本概念和原理
学会运用计算力 学解决实际问题
提高分析和解决 问题的能力
培养创新思维和 团队协作精神
计算力学的基本概念和原理 计算力学在工程中的应用 计算力学的数值方法 计算力学的编程实现 计算力学的案例分析 计算力学的发展趋势和挑战
力：物体之间的相互作用分为重力、弹力、摩擦力等 力矩：力对物体转动的影响分为力矩、力偶等 应力：物体内部受力后的变形分为正应力、剪应力等 应变：物体受力后的变形量分为线应变、面应变等 刚度：物体抵抗变形的能力分为线刚度、面刚度等 强度：物体抵抗破坏的能力分为抗拉强度、抗压强度等
第二定律：物体受到外力作 用时其加速度与外力成正比 与物体的质量成反比
塑性流动法则： 描述塑性材料 在应力作用下 的变形和流动
规律
塑性流动定律： 描述塑性材料 在应力作用下 的变形和流动
求解方法：通 常采用有限元 法中的加权残 差法或最小二 乘法进行求解
应用范围：广 泛应用于结构 力学、流体力 学、热力学等 领域
优势：能够处 理复杂几何形 状和边界条件
优势：能够处 理非线性问题
优势：能够处 理大变形问题
优势：能够处 理多物理场耦 合问题
建立有限 元模型： 将问题域 离散化为 有限个单 元
,
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 课 程 简 介 03 力 学 基 础 04 弹 性 力 学 05 塑 性 力 学 06 有 限 元 法
计算力学是力学的一个分支主 要研究力学问题的数值解
课程内容包括：有限元法、边 界元法、有限体积法等
随着计算机技术的发展计算力 学在工程、科学等领域的应用 越来越广泛
课程目标是培养学生运用计算 力学方法解决实际问题的能力
掌握计算力学的 基本概念和原理
学会运用计算力 学解决实际问题
提高分析和解决 问题的能力
培养创新思维和 团队协作精神
计算力学的基本概念和原理 计算力学在工程中的应用 计算力学的数值方法 计算力学的编程实现 计算力学的案例分析 计算力学的发展趋势和挑战
力：物体之间的相互作用分为重力、弹力、摩擦力等 力矩：力对物体转动的影响分为力矩、力偶等 应力：物体内部受力后的变形分为正应力、剪应力等 应变：物体受力后的变形量分为线应变、面应变等 刚度：物体抵抗变形的能力分为线刚度、面刚度等 强度：物体抵抗破坏的能力分为抗拉强度、抗压强度等
第二定律：物体受到外力作 用时其加速度与外力成正比 与物体的质量成反比
塑性流动法则： 描述塑性材料 在应力作用下 的变形和流动
规律
塑性流动定律： 描述塑性材料 在应力作用下 的变形和流动
中国矿业大工程力学C四平面任意力系资料
45o
v
v 木板不会静止不动。
F2
F4
v
v
v
v
MO MO (F1) M O (F2 ) M O (F3 ) M O (F4 ) M
0 0 1 1 1 1kN m 22
此简化结果能否进一步合成？
回顾：
v F
Bd
A
vv
F2
F1
v F
M
B
A
vv F = F
v FR
v M = MB(F)
MO
（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；
（2）求分布力的合力作用线位置。
v ● FR 0M O 0
原力系平衡
平面任意力系向一点简化结果总结：
主 矢 主 矩 合成结果
v FR 0
MO = 0
MO≠0
v FR 0
MO ≠0
MO = 0
合力 合力 力偶 平衡
说
明
此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心
v
F4
1sin 45o 1
FR ( Fix )2 ( Fiy )2 0.77kN
vv cos(FR , i)
Fix FR
v 0.92 ，cos(FR
,
v j)
Fiy FR
0.38
M
v F3 F1 F2 F3 F4 1kN
v
M 1kN m
F1
O M O 1m
FR
FR 0.77kN
MO
O
v n v
FR Fi i 1
n
v
M O M O (Fi )
i 1
v ● FR 0M O 0
v FR
简化为一合力，且合力的作用
中国矿业大学工程力学第十章 弯曲内力 (2)
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
a 单向拉伸应力状态的应力圆
D
x
B
2×45º
2 2
A
o
c
2×45º E
max
2 2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
b 纯剪切应力状态的应力圆
sin 2 xy cos 2
—— 任意斜截面上应力计算公式 表明：若σx、 σy 、 τxy已知，则σα、τα完全可确定。 用
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
xy xy FD' tan 0 BF x min max y
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
2
m
P
m
A B C D E
A
B E
C
应力状态的几个概念：
D
主平面： 切应力为零的平面； 主应力： 过一点主平面上的正应力； 主方向： 主平面的法线方向。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
二. 应力圆的概念 二向应力状态任意斜截面应力公式：
x y
2 x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2
将上述公式改写成：
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
a 单向拉伸应力状态的应力圆
D
x
B
2×45º
2 2
A
o
c
2×45º E
max
2 2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
b 纯剪切应力状态的应力圆
sin 2 xy cos 2
—— 任意斜截面上应力计算公式 表明：若σx、 σy 、 τxy已知，则σα、τα完全可确定。 用
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
xy xy FD' tan 0 BF x min max y
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
2
m
P
m
A B C D E
A
B E
C
应力状态的几个概念：
D
主平面： 切应力为零的平面； 主应力： 过一点主平面上的正应力； 主方向： 主平面的法线方向。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
二. 应力圆的概念 二向应力状态任意斜截面应力公式：
x y
2 x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2
将上述公式改写成：
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
计算力学基础知识简介PPT课件
题的解决战后不久，第一台电子计算机在美国出
现，并在以后的20年里得到了迅速的发展。20世纪60年代
出现了大型通用数字电子计算机，这种强大的计算工具的
出现使复杂的数字运算不再成为障碍，为计算力学的形成
奠定了物质基础。
•
与此同时，适用于计算机的各种数值方法，如矩阵运
算、线性代数、数学规划等也得到相应的发展；椭圆型、
•
有限元法和计算机的结合，产生了巨大的威力，应用
范围很快从简单的杆、板结构推广到复杂的空间组合结构
，使过去不可能进行的一些大型复杂结构的静力分析变成
了常规的计算，固体力学中的动力问题和各种非线性问题
也有了各种相应的解决途径。
-
5
•
另一种有效的计算方法——有限差分方法也
差不多同时在流体力学领域内得到新的发展，有
。这些方法是指绝大多数是将偏微分方程的边值问题化成 代数方程问题，然后用计算机求出有限个点上基本为质量
的函数值。
-
7
Thanks！
-
8
-
2
•
近代力学的基本理论和基本方程在19世纪末
20世纪初已基本完备了，后来的力学家大多致力
于寻求各种具体问题的解。但由于许多力学问题
相当复杂，很难获得解析解，用数值方法求解也
遇到计算工作量过于庞大的困难。通常只能通过
各种假设把问题简化到可以处理的程度，以得到
某种近似的解答，或是借助于实验手段来谋求问
念都具有非常直观的意义，很容易被工程师们接受，而且 在数学上又都有便于计算机处理的计算格式。计算力学就
是在高速计算机产生的基础上，随着这些新的概念和方法
的出现而形成的。
•
计算力学的核心内容是数值计算方法。数值计算方法
中国矿业大学计算力学复习概要
计算力学 复习概要第一章里兹法步骤：①由原问题建立变分原理，求得泛函Π(u)；②选取适当的试探函数，即设试解；③将试解代入泛函，求其一阶变分驻值（即使泛函的变分等于零）；④求其待定系数并代入试解。
有限单元法步骤：①划分单元，输入结点和单元信息；②单元分析：e e N K P 、、；③整体分析，1,en e e e e T ==∑K G K G 1ene e e T ==∑P G P 引入位移边界条件得到：=Ka P ；④求解方程得到解a ；⑤对位移a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变。
里兹法与有限元法的区别与联系：联系：有限元法是单元内的里兹法；区别：①应用区域不同，里兹法在整个研究与内设试解，有限元法需划分网格，在单元内设试解；②试解的形式不同，里兹法可以设各种形式的试解，而有限元法试解形式为多项式；③收敛性条件不同，里兹法的收敛条件是试探函数具有完备性和连续性；有限元法要求泛函具有完备性和协调性。
最小势能原理：第一步：写出泛函总位能表达式：第二步：写出其离散形式即单元位能泛函：即：第三步：识别矩阵：得到有限元形式：第四步：泛函取驻值得有限元方程：第二章三角形单元编号规则：典型三结点三角形结点编号为i、j、m，以逆时针方向编码为正向（顺时针编号则计算面积为负值）。
三角形单元的广义坐标为什么为6个：三个结点，每个结点有两个位移，广义坐标用6个结点位移表示。
位移模式为什么是线性的：线性的才能满足常应变条件。
形函数个数如何确定：几个结点就有几个形函数。
形函数的两个重要性质（P59）：①0-1特性；②规一性。
为什么三角形单元为常应力（变）单元：三角形单元的位移模式是线性的，应变即位移的一阶导数，故在单元内应变是常数，所以三角形单元为常应变单元（或答[B]和[D]为常数）。
刚度系数的物理意义（P64）：单元刚度矩阵中每一个元素反映了单元刚度的大小，称为刚度系数。
元素的K ij物理意义：当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第i个结点位移方向上施加的结点力大小。
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件 第14章 力学相对性原理
二、狭义相对论的两个基本假设
1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论的两 条基本假设。
假设Ⅰ 在所有惯性系中，一切物理学定律都相 同，即具有相同的数学表达形式。或者说，对于 描述一切物理现象的规律来说，所有惯性系都是 等价的。这也称为狭义相对论的相对性原理。
假设Ⅱ 在所有惯性系中，真空中光沿各个方向 传播的速率都等于同一个恒量 c,与光源和观察者 的运动状态无关。这也称为光速不变原理。
第14章 狭义相对论力学基础
14.1 力学相对性原理 伽利略坐标变换式
14.2 狭义相对论的两个基本假设 14.3 狭义相对论的时空观 14.4 洛伦兹变换 14.5 狭义相对论质点动力学简介
§14.1 力学相对性原理 伽利略坐标变换式
一、力学相对性原理
在彼此作匀速 直线运动的所有惯 性系中，物体运动 所遵循的力学规律 是完全相同的，应 具有相同的数学表 达式。
对于描述力学现象而言，所有惯性系都 是等价的。
二、绝对时空观 “绝对的、真正的和数学的时间自身在
流逝着，而且由于其本性在均匀地、与任何 其他外界事物无关地流逝着。”
“绝对空间就其本质而言，是与任何外 界事物无关，而且永远是相同的和不动的。”
以上是牛顿对时间和空间的描述，即经 典力学的时空观，也称绝对时空观。
只有在S´系中同一地点又同时发生的两件 事件，在 S 系看来两事件才是同时发生的。
二、时间延缓
s ys' y'u
o o'
d
12
9 6 3 x'
B
x
s'系同一地点 B 发生两事件
发射光信号 ( x ', t '1 ) 接受光信号 ( x ', t '2 ) 时间间隔 Δt t2 t1 2d c
计算力学第一章概论1
大跨结构新趋势
巴西尼迈耶当代艺术博物馆
一些新结构的启示-自然生长的力量
大跨结构新趋势
法国蓬皮杜现代艺术博物馆
一些新结构的启示-自然生长的力量
大跨结构新趋势
一些新结构的启示-自然生长的力量
日本北方生涯学习中心
一些新结构的启示-自然生长的力量
日 本 水 户 艺 术 馆
1.7 一些基本概念
结构离散（有限元建模）
中国药大新体育中心支座节点
工程用销轴铰接节点计算模型
1.6 有限元的一些应用
BMW曲轴的感应淬火 （Induction quenching of crankshafts at BMW，用 SysWeld软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的疲劳寿命。
1.6 有限元的一些应用
北京植物园展览温室的CAD模型和前两阶模态
1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指出可以用加权余量法特别是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1.5 有限单元法的形成与发展
我国的力学工作者为有限元方法的初 期发展做出了许多贡献，其中比较著名的 有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希 （余能原理），钱伟长（广义变分原理）， 胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单 元法理论）。遗憾的是，从 1966 年开始的 近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。 有限元法不仅能应用于结构分析，还 能解决归结为场问题的工程问题，从二十 广义变分原理 世纪六十年代中期以来，有限元法得到了 胡海昌——鹫久津一郎方程 巨大的发展，为工程设计和优化提供了有 力的工具。 有限元法是一种数值计算方法。可广 泛应用于各种微分方程描述的场问题的求 解。
1.6 有限元的一些应用
中华世纪坛旋转圆坛主体钢结构的有限元模型
中国矿业大学 大学物理课件3-2
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为 刚体转动惯量，以J表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
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d M J J dt
讨论：
（1） M 一定，J 惯性大小的量度； （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。
x
dx
O
2
1 2 m 2 x dx ml mh l 2 h l 12
l 2 h
J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关。
上页 下页 返回 退出
平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于 绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距 离平方的乘积： J JC md2
a r
从以上各式即可解得
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m2 m1 g M r / r m2 m1 g M r / r a
J m2 m1 2 r 1 m2 m1 m 2
而
1 m1 2m2 m g M r / r 2 FT1 m1 g a 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M r / r 2 FT2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
角坐标的增量： 称为刚体的角位移
3.角速度
r
y
v2
P
p
v1
x
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为 刚体转动惯量，以J表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
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d M J J dt
讨论：
（1） M 一定，J 惯性大小的量度； （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。
x
dx
O
2
1 2 m 2 x dx ml mh l 2 h l 12
l 2 h
J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关。
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平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于 绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距 离平方的乘积： J JC md2
a r
从以上各式即可解得
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m2 m1 g M r / r m2 m1 g M r / r a
J m2 m1 2 r 1 m2 m1 m 2
而
1 m1 2m2 m g M r / r 2 FT1 m1 g a 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M r / r 2 FT2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
角坐标的增量： 称为刚体的角位移
3.角速度
r
y
v2
P
p
v1
x
计算力学概论_CSM
© 2011 Guoxin Cao, MAE/PKU
12
2. Introduction to Variational Principle
3.函数接近度的概念
零阶接近度: y = y(x)-y1(x)—很小，但y = y(x)-y1(x) —不一定很小 一阶接近度: y = y(x)-y1(x)—很小，而且y = y(x)-y1(x) —很小 k阶接近度: y = y(x)-y1(x)，…, y(k) = y(k) (x)- y1 (k) (x) —都很小 可以通过Lagrange极小量来表征k阶接近度： 0： y = y(x)-y1(x) = (x)， y = y(x)-y1(x) = (x),…, y(k) = y(k) (x)- y1 (k) (x) = (k)(x)
计算力学概论
Course No. 08611510
Department of
Mechanics & Engineering Science
College of Engineering, Peking University,
Beijing 100871, China
曹国鑫
GUOXIN CAO
© 2011 Guoxin Cao, MAE/PKU
计算力学的优势： 能够研究多种复杂力学问题（无法得到解析解），给出各种数值结果；通过图像显 示力学过程，能多次重复进行数值模拟，比实验省时省钱。 不仅能从事结构分析：包括外载荷下结构的应力、变形、频率、极限承载能力等， 还可以进行结构优化设计——形成计算力学的一个重要分支，在一定约束条件下， 综合各种因素进行结构优化设计，例如寻求最经济、最轻或刚度最大的设计方案。 更加真实可靠的反映设计，减少假设，而且使解决问题的速度大大加快。 计算力学在应用中也提出了不少理论问题，如稳定性分析、误差估计、收敛性等， 吸引许多数学家去研究，从而推动了数值分析理论的发展。 计算力学的弱点：
计算流体力学讲义
20世纪30年代，由于飞机工业的需要、要求用流体力学理论来了 解和指导飞机设计。 当时，由于飞行速度很低，可以忽略粘性和旋涡，因此流动的模 型为Laplace方程，研究工作的重点是椭圆型方程的数值解。利用 复变函数理论和解的迭加方法来求解析解。 随着飞机外形设计越来越复杂，出现了求解奇异边界积分方程的 方法。以后，为了考虑粘性效应，有了边界层方程的数值计算方 法，并发展成以位势方程为外流方程，与内流边界层方程相结合， 通过迭代求解粘性干扰流场的计算方法。
1.计算流体力学的发展及应用
在同一时期，许多数学家研究了偏微分方程的数学理论， Hadamard，Courant，Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特 性、数学提法的适定性、物理波的传播特性等问题，发展了双曲 型偏微分方程理论。以后，Courant，Friedrichs，Lewy等人发表 了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的 存在性和唯一性定理，且针对线性方程的初值问题，首先将偏微 分方程离散化，然后证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用 代数方法确定了差分解的存在性；他们还给出了著名的稳定性判 别条件：CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论基础。
1.计算流体力学的发展及应用
随着计算流体力学在工程技术应用中的迅速推广，计算流体力学 也逐渐软件化。CFX、FLUENT、PHOENICS、CFD2000、CFD++ 等一大批计算流体力学软件已经商品化。这些商业软件既有通用 的也有作为特殊用途的专业软件。这些软件能方便地处理工程技 术领域内的各种高难度复杂问题，因而极具吸引力。然而计算流 体力学软件在某些领域的应用还不成熟，有必要在计算精度、功 能的强化、计算的效率、收敛性和操作的简单化等方面作进一步 的完善。
1.计算流体力学的发展及应用
在同一时期，许多数学家研究了偏微分方程的数学理论， Hadamard，Courant，Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特 性、数学提法的适定性、物理波的传播特性等问题，发展了双曲 型偏微分方程理论。以后，Courant，Friedrichs，Lewy等人发表 了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的 存在性和唯一性定理，且针对线性方程的初值问题，首先将偏微 分方程离散化，然后证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用 代数方法确定了差分解的存在性；他们还给出了著名的稳定性判 别条件：CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论基础。
1.计算流体力学的发展及应用
随着计算流体力学在工程技术应用中的迅速推广，计算流体力学 也逐渐软件化。CFX、FLUENT、PHOENICS、CFD2000、CFD++ 等一大批计算流体力学软件已经商品化。这些商业软件既有通用 的也有作为特殊用途的专业软件。这些软件能方便地处理工程技 术领域内的各种高难度复杂问题，因而极具吸引力。然而计算流 体力学软件在某些领域的应用还不成熟，有必要在计算精度、功 能的强化、计算的效率、收敛性和操作的简单化等方面作进一步 的完善。
计算力学课堂3PPT教案
计算力学课堂3
会计学
1
2.3 广义坐标有限元法的一般格式
第1页/共100页
常见的单 元类型 ：
第2页/共100页
选择单元 位移函 数的一 般原则 （1）位 移模式 中的待 定系数 （广义 坐标） 个数， 应与单 元的结 点位移 数相等 ；
u 1 2 x 3 y （） v 4 5x 6 y
由其他误 差: 计算误差 ，包括 截断误 差，舍 入误差.
提高精度 的方法: (1) 增长 字长(双 精度)
(2) 选取 有效的 计算方 法和合 理的程 序结构 。
第32页/共100页
位移解的 下限性 质 位移有限元法——基于最小位能原理 ：
Πp
1 2
a Ka
aP
Πp 0
Ka P
由第1章 讨论， 可知：
当单元的 插值函 数满足 上述要 求时， 称这种 单元是 协调的 。
第22页/共100页
对弹性力 学问题 ， 的最高阶导数为 1 阶，
在相邻单元交界面上须满足 C0 类连续性。 对于3结点三角形单元：
泛函 p中含有未知函数 故要求近似位移函数 u
u 1 2x 3 y v 4 5x 6 y
（）
对于二维 问题：
u Φβ
u uv, β 1 2
Φ
0
0
对于3结 点三角 形单元 ：
u 1 2x 3 y v 4 5x 6y
β 1 2 6 1 x y
第5页/共100页
3
2 1 3节点 三角形单元
2 ． 用 单 元 结 点 a~
e
表示广义坐标
惯用的单 元结点 位移排 列是
e
GT(1 2
BT DBdVGa
Ve
会计学
1
2.3 广义坐标有限元法的一般格式
第1页/共100页
常见的单 元类型 ：
第2页/共100页
选择单元 位移函 数的一 般原则 （1）位 移模式 中的待 定系数 （广义 坐标） 个数， 应与单 元的结 点位移 数相等 ；
u 1 2 x 3 y （） v 4 5x 6 y
由其他误 差: 计算误差 ，包括 截断误 差，舍 入误差.
提高精度 的方法: (1) 增长 字长(双 精度)
(2) 选取 有效的 计算方 法和合 理的程 序结构 。
第32页/共100页
位移解的 下限性 质 位移有限元法——基于最小位能原理 ：
Πp
1 2
a Ka
aP
Πp 0
Ka P
由第1章 讨论， 可知：
当单元的 插值函 数满足 上述要 求时， 称这种 单元是 协调的 。
第22页/共100页
对弹性力 学问题 ， 的最高阶导数为 1 阶，
在相邻单元交界面上须满足 C0 类连续性。 对于3结点三角形单元：
泛函 p中含有未知函数 故要求近似位移函数 u
u 1 2x 3 y v 4 5x 6 y
（）
对于二维 问题：
u Φβ
u uv, β 1 2
Φ
0
0
对于3结 点三角 形单元 ：
u 1 2x 3 y v 4 5x 6y
β 1 2 6 1 x y
第5页/共100页
3
2 1 3节点 三角形单元
2 ． 用 单 元 结 点 a~
e
表示广义坐标
惯用的单 元结点 位移排 列是
e
GT(1 2
BT DBdVGa
Ve
01工力_绪论x
工程力学主讲赵慧明副教授第一章绪论F=Ma绪论在中国：1、甲骨文的“力”是指用犁耕地。
奮2、墨翟在《墨经》中曾写道，“力者，形之所以奋也”。
课程名称解释力的概念：F=Ma 1、甲骨文的“力”是指用犁耕地。
2、墨翟在《墨经》中曾写道，“力者，形之所以奋也”。
课程名称解释力的概念：在中国：在西方：1、古希腊亚里士多德首先提出“力”这个术语。
2、中世纪欧洲的学者一般都认为“力”是维持物体运动的原因。
3、伽利略建立了加速度的概念，认为“力”是改变物体运动状态的原因。
4、牛顿建立了力与运动状态改变之间的数学关系：F =m a 。
F=Ma1、努力学习。
2、1890年，英国人傅兰雅在《格致须知》一书中首提“力学”一词，实指动力学。
3、现代意义的“力学”一词出现在严复的《天演论》的序言中：夫西学之最为切实，而执其例可以御藩者，名、数、质、力，四者之学是也。
（译书时间是1895年，第一版问世时间是1898年。
）在中国：在西方：在西方，“力学”一词是从希腊文μεχαυη和μηχαυικα来的，字面上讲，指发明、巧思、机械的意思。
后来逐渐充实和演化为包含两重意思的词，即一切工艺的改进和理性的对自然运动规律的探讨，而且后一层含义发展得较晚。
在西方语言里，力学(Mechanics)同机械学(Meehanics)、机械装置、机构(Mechanism)是同一个字根。
在相当的历史阶段，人们把力学与机械当作一回事。
F=Ma早期便有的mechanic与mechanist，却都不是力学家的意思，而是机修工与机械师的意思，而后一个词还有机械主义者的意思。
在英文中力学家(mechanicist)一词是近几年才出现的。
而且大部分字典还没有收入这个词。
摘自武际可《力学史》2000年版工程力学：工程力学涉及众多的力学学科分支与广泛的工程技术领域，是一门理论性较强、与工程技术联系极为密切的技术基础学科，工程力学的定理、定律和结论广泛应用于各行各业的工程技术中，是解决工程实际问题的重要基础。
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近似（值）是一个普遍现象，从日常生活到科学研究、工程 设计无处不在，对一些复杂的（自然或社会）现象以及工程 设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善；数值仿真 已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段。
现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础， 使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑；
David Kincaid & Ward Cheney 数值分析（第三版）, 王国荣译, 机械工业出版社
为什么学习数值计算方法？
许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题， 它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得 的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美；
但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能， 因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包 括解析的和数值的）？
算法1：利用求根公式
xb b2 4ac 2a
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，
两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数
部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成
为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
c 190
x1x2a x2ax11901
如1: 在五位十进制计算机上计算
1000
A512 34 i, 0.1i0.9
i1
2: 按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
2. 防止相近的数相减
数值分析
韩超 Email: kdhc163
参考书目 (Reference)
数值分析, 李庆扬编, 清华大学出版社 计算方法典型题分析解集, 封建湖编, 西北工业大学出版社 数值分析学习辅导习题解析, 李红编, 华中科技大学出版社 Numerical Analysis (Third Edition)
22
解决办法: f(2) 2h 2h
2h
2h
( 2h 2h)2h
在4位机上h仍 0.0取 00, 1计 算 f(有 2)0.353.5
通常情况下： xε x ε ;
xε x
ln xεlnxln 1ε ;
x
当 | x | << 1 时： 1coxs2sin2 x; 2
I9
1 10
而 I ~ 8 0 .7,2 I ~ 9 8 7 .5 052
可见递推计算结果严重失真。
算法不稳定，结果不可靠。
算法2 易知
取 I10 0
0I(n) 1 0 n1
将迭代格式 In1nIn1 变形成如下格式
In11 nIn (n10,9, ,2,1)
n ( I ( n 1 ) I n 1 ) n n 1
n [ ( n 1 ) ]n 2 ( 1 ) n n !0
误差逐渐增大，(*)式不稳定
算法2
In11 nIn (n10,9, ,2,1)
记 nI(n)In
1
例7 计算积分
I (n ) e 11 x n e x d x(1 .1 )(n 0 ,1 ,2 , ,9 ) 0
算法1: 直接积分 I(0)1e1
由分部积分法可得 I(n )1n I(n1 )
取迭代初值 I(0 ) 1 e 1 0 .63 I ~ 0 21
第一章 绪 论
第二章 线性方程组的直接解法
教 第三章 函数插值
材 第四章 函数逼近
内
第五章 数值积分法
容
第六章 线性方程组的迭代解法
体
第七章 非线性方程(组)的数值解法
系
第八章 数值最优化
第九章 常微分方程的数值解法
第十章 矩阵特征值问题的数值解法
第一章 绪 论
§1 课程研究的内容和构造算法的主要途径 §2 误差 §3 有效算法要具备的条件 §4 灵敏度分析 §5 向量范数与矩阵范数
产 品 设 计 等
微 分 方 程 模 型 等
数 值 积 分 算 法 等
可 就视 是 数 化 模 值 仿 可 数 拟 真能 值 运 是 结 行 数 给 一 果 定 据 编 输 译 如 程 入 F： 序 OR ， 设 T计 R A 实际 问 大 题堆 数 执 据 行 算 C 语 法 ,M 言 A程 TL 序 A
1
则
n 1 I (n 1 ) I n 1 n ( 1 I (n ) ) n ( 1 I n )
I(n)In n
n
n
所以
0
(1)n
n
n!
误差没有增大，算法稳定.
为了“准”，要注意的原则
1. 防止大数吃小数 例 8用单x 精 2 (1度 90 1 )x计 190 算 0 的根
由递推公式
In1nIn1
计算得 I 1 0 . 3 6 7 9 ,,I 8 0 . 7 2 8 0 ,I 9 7 . 5 5 2
1
(n 1)e
e1 1xndx
0
Ine101xnexdxe1
1xnedx 1
0
n
1
1 9e
I8
1, 9
1 10e
乘法次数＝加法次数＝ n
a11x1 a12x2 a1nxn b1 例3 解线性方程组 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2
an1x1 an2x2 annxn bn 算法1: Cramer法则
xi D D i,(i1,2, ,n),D ( 1 )a 1 j1 a 2 j2 a n nj
ex1x11x1x2... 2 6
3. 防止绝对值很小的数做分母
例10 设 x*有误差 10 4 限 ,
则 x* 107
的误差限 110074为 1000
§2 误差的来源和基本概念
一 来源 模型误差, 观测误差, 截断误差,舍入误差
1 截断误差,也称为方法误差,涉及方法的收敛性. 如 I(x )ex1xx 2 x n 2 ! n ! 实际计算I中 (x)： I~(x)1xx 22 ! x nn !
例9 利 f(用 x )f(xh )f(xh ),求 f(x )x 在 x2 处 2 h
的导 . 数值
解 f(x) xh xh 2h
f(2) 2h 2h 2h
在4位机上 : 取h0.00,01
f(2)1.410.04012.4012420 精确 f(2值 ) 1 0.353553
截断误差： R n ( x ) I ( x ) I ~ ( x ) (ne1)!xn1,(0x)
2 舍入误差,由计算机的浮点运算产生,涉及方法的稳定性. 如：用3.14159近似代替π ,则产生的误差
R =π -3.14059=0.0000026…为舍入误差.
二 基本概念
假设x为准确值，x*为近似值，则
求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的“计算方 法”或“数值分析”，也称为“科学与工程计算”。
解决实际问题的理想化过程
实 际 问 题
数 学 模 型
数 值 算 法
如 ： 天 气 预 报 各 种 假 设 、 物 理 原 理 等 如 ： 概 率 统 计 模 型 设 计 算 法 如 ： 线 性 方 程 组 算 法
给定x的值，计算 Pn ( x ) 的值。
算法1：按自然顺序计算 加法次数＝ n
乘法次数＝ n(n1) 1n(n1) 2
算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶）
P n ( x ) ( ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
乘除法次数An＝ n !(n 1 )n ( 1 ) n
如 n 2,A 0 2 0 9 .7 120 ,0 假设计算机１秒钟进行 １亿=108次乘除法，共需时：
t110869 0. 76 01 02 204365 30(万年)
算法2: Gauss消去法 乘除法次数：An13n3n213n A203060 耗时：t2 3105 (秒)
算法1: 算法2:
x1,2562 783428 783
x12878355.982韦达定理： x x2 1 2 28 8 7 78 83 3 5 05 .0 .9 18 82则 设xa1x2x2bxcab, x01(xa20ac),
1
1
x22878355.982注 0.0 x： 1 2 *7 86 03 .0178 6
绝对误差： exx*
绝对误差限：: e的一个上, e界
相对误差：
er
e x
e x*
er*
相对误差限：r :er*一个上 ,er*界 r
三 有效数字
记 x 0 .1 a 2 a n 1 m ( a 0 1 0 )舍 , 入法t保 位留 尾数
x ~ (0 0 ..a a 1 1 a a 2 2 a a tt 1 1m 0 t0 ) 1m ,0 0 ,5 a a tt 1 1 4 9
二 数值计算原则
好算法的三个标准：
快 — 计算步骤少，收敛速度快 准 — 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 — 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)
1. 快:计算步骤少，收敛速度快
现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础， 使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑；
David Kincaid & Ward Cheney 数值分析（第三版）, 王国荣译, 机械工业出版社
为什么学习数值计算方法？
许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题， 它就是一个数学模型，通过求解这个数学模型，并对所获得 的数据分析，达到科学的真缔与工程的完美；
但是数学模型可能非常复杂，求出它的准确解几乎不可能， 因此寻求它的近似解就非常重要，如何得到它的近似解（包 括解析的和数值的）？
算法1：利用求根公式
xb b2 4ac 2a
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，
两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数
部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成
为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
c 190
x1x2a x2ax11901
如1: 在五位十进制计算机上计算
1000
A512 34 i, 0.1i0.9
i1
2: 按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
2. 防止相近的数相减
数值分析
韩超 Email: kdhc163
参考书目 (Reference)
数值分析, 李庆扬编, 清华大学出版社 计算方法典型题分析解集, 封建湖编, 西北工业大学出版社 数值分析学习辅导习题解析, 李红编, 华中科技大学出版社 Numerical Analysis (Third Edition)
22
解决办法: f(2) 2h 2h
2h
2h
( 2h 2h)2h
在4位机上h仍 0.0取 00, 1计 算 f(有 2)0.353.5
通常情况下： xε x ε ;
xε x
ln xεlnxln 1ε ;
x
当 | x | << 1 时： 1coxs2sin2 x; 2
I9
1 10
而 I ~ 8 0 .7,2 I ~ 9 8 7 .5 052
可见递推计算结果严重失真。
算法不稳定，结果不可靠。
算法2 易知
取 I10 0
0I(n) 1 0 n1
将迭代格式 In1nIn1 变形成如下格式
In11 nIn (n10,9, ,2,1)
n ( I ( n 1 ) I n 1 ) n n 1
n [ ( n 1 ) ]n 2 ( 1 ) n n !0
误差逐渐增大，(*)式不稳定
算法2
In11 nIn (n10,9, ,2,1)
记 nI(n)In
1
例7 计算积分
I (n ) e 11 x n e x d x(1 .1 )(n 0 ,1 ,2 , ,9 ) 0
算法1: 直接积分 I(0)1e1
由分部积分法可得 I(n )1n I(n1 )
取迭代初值 I(0 ) 1 e 1 0 .63 I ~ 0 21
第一章 绪 论
第二章 线性方程组的直接解法
教 第三章 函数插值
材 第四章 函数逼近
内
第五章 数值积分法
容
第六章 线性方程组的迭代解法
体
第七章 非线性方程(组)的数值解法
系
第八章 数值最优化
第九章 常微分方程的数值解法
第十章 矩阵特征值问题的数值解法
第一章 绪 论
§1 课程研究的内容和构造算法的主要途径 §2 误差 §3 有效算法要具备的条件 §4 灵敏度分析 §5 向量范数与矩阵范数
产 品 设 计 等
微 分 方 程 模 型 等
数 值 积 分 算 法 等
可 就视 是 数 化 模 值 仿 可 数 拟 真能 值 运 是 结 行 数 给 一 果 定 据 编 输 译 如 程 入 F： 序 OR ， 设 T计 R A 实际 问 大 题堆 数 执 据 行 算 C 语 法 ,M 言 A程 TL 序 A
1
则
n 1 I (n 1 ) I n 1 n ( 1 I (n ) ) n ( 1 I n )
I(n)In n
n
n
所以
0
(1)n
n
n!
误差没有增大，算法稳定.
为了“准”，要注意的原则
1. 防止大数吃小数 例 8用单x 精 2 (1度 90 1 )x计 190 算 0 的根
由递推公式
In1nIn1
计算得 I 1 0 . 3 6 7 9 ,,I 8 0 . 7 2 8 0 ,I 9 7 . 5 5 2
1
(n 1)e
e1 1xndx
0
Ine101xnexdxe1
1xnedx 1
0
n
1
1 9e
I8
1, 9
1 10e
乘法次数＝加法次数＝ n
a11x1 a12x2 a1nxn b1 例3 解线性方程组 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2
an1x1 an2x2 annxn bn 算法1: Cramer法则
xi D D i,(i1,2, ,n),D ( 1 )a 1 j1 a 2 j2 a n nj
ex1x11x1x2... 2 6
3. 防止绝对值很小的数做分母
例10 设 x*有误差 10 4 限 ,
则 x* 107
的误差限 110074为 1000
§2 误差的来源和基本概念
一 来源 模型误差, 观测误差, 截断误差,舍入误差
1 截断误差,也称为方法误差,涉及方法的收敛性. 如 I(x )ex1xx 2 x n 2 ! n ! 实际计算I中 (x)： I~(x)1xx 22 ! x nn !
例9 利 f(用 x )f(xh )f(xh ),求 f(x )x 在 x2 处 2 h
的导 . 数值
解 f(x) xh xh 2h
f(2) 2h 2h 2h
在4位机上 : 取h0.00,01
f(2)1.410.04012.4012420 精确 f(2值 ) 1 0.353553
截断误差： R n ( x ) I ( x ) I ~ ( x ) (ne1)!xn1,(0x)
2 舍入误差,由计算机的浮点运算产生,涉及方法的稳定性. 如：用3.14159近似代替π ,则产生的误差
R =π -3.14059=0.0000026…为舍入误差.
二 基本概念
假设x为准确值，x*为近似值，则
求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的“计算方 法”或“数值分析”，也称为“科学与工程计算”。
解决实际问题的理想化过程
实 际 问 题
数 学 模 型
数 值 算 法
如 ： 天 气 预 报 各 种 假 设 、 物 理 原 理 等 如 ： 概 率 统 计 模 型 设 计 算 法 如 ： 线 性 方 程 组 算 法
给定x的值，计算 Pn ( x ) 的值。
算法1：按自然顺序计算 加法次数＝ n
乘法次数＝ n(n1) 1n(n1) 2
算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶）
P n ( x ) ( ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
乘除法次数An＝ n !(n 1 )n ( 1 ) n
如 n 2,A 0 2 0 9 .7 120 ,0 假设计算机１秒钟进行 １亿=108次乘除法，共需时：
t110869 0. 76 01 02 204365 30(万年)
算法2: Gauss消去法 乘除法次数：An13n3n213n A203060 耗时：t2 3105 (秒)
算法1: 算法2:
x1,2562 783428 783
x12878355.982韦达定理： x x2 1 2 28 8 7 78 83 3 5 05 .0 .9 18 82则 设xa1x2x2bxcab, x01(xa20ac),
1
1
x22878355.982注 0.0 x： 1 2 *7 86 03 .0178 6
绝对误差： exx*
绝对误差限：: e的一个上, e界
相对误差：
er
e x
e x*
er*
相对误差限：r :er*一个上 ,er*界 r
三 有效数字
记 x 0 .1 a 2 a n 1 m ( a 0 1 0 )舍 , 入法t保 位留 尾数
x ~ (0 0 ..a a 1 1 a a 2 2 a a tt 1 1m 0 t0 ) 1m ,0 0 ,5 a a tt 1 1 4 9
二 数值计算原则
好算法的三个标准：
快 — 计算步骤少，收敛速度快 准 — 数值稳定性好，计算结果可靠性高 省 — 节省计算机内存(大型稀疏矩阵问题)
1. 快:计算步骤少，收敛速度快