2017年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题二函
高考物理二轮总复习精品课件 第2部分 专题整合高频突破 第3讲 力与物体的曲线运动
小球弹力方向向下,故小球对杆的弹力方向向上,C正确。若v2=2b,
2
则F+mg=m ,解得F=a=mg,故D正确。
-23-
新题演练
1 2 3 4 5
怎样得高分
1.一只小船渡河,运动轨迹如图所示。水流速度各处相同且恒定不
变,方向平行于岸边;小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀
x=v0t①
1
h=2gt2②
设圆弧轨道半径为 R,由机械能守恒定律得
1
mgR= 0 2 ③
2
联立①②③式,并代入题给条件得
R=0.25 m。④
-29-
新题演练
1 2 3 4 5
-30-
怎样得高分
(2)环由b处静止下滑过程中机械能守恒,设环下滑至c点的速度大小
为v,有
1
mgh=2mv2⑤
环在c点速度的水平分量为
解得 v2=
小滑块在 O 点做平抛运动,则
1 2
R=2gt ,x=v0t
解得 2R≤x≤2R。
-18-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
(3)如图所示,设小滑块出发点为P1,离开点为P2,由题意要求O1P1、
O2P2与竖直方向的夹角相等,设为θ,若离开滑道时的速度为v,
2
则小滑块在 P2 处脱离滑道的条件是 mgcos θ=m
命题热点三
解析:在南北方向上,帆板静止,所以在此方向上帆船相对于帆板
向北以速度v运动;在东西方向上,帆船静止,帆板向西以速度v运动,
所以在此方向上帆船相对于帆板向东以速度v运动;以帆板为参考
2017年高考全国新课标数学文大二轮复习课件专题整合突破 专题六 解析几何2-6-2a 精品
解析
4．[2016· 黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭 → → → 圆上存在一点 M，满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则该椭圆的 离心率为( 2 A. 2 6 C. 3 ) 3 B. 3 2 D. 4
解析 延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F1F2 互相 平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2 ＝ |MF1|2 ＋ |MF2|2 ＋ |NF1|2 ＋ |NF2|2 ，又 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2|MF2| 2 4 ＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝3a，|NF2|＝|MF1|＝3
x 解析 令点 P(x0， y0)， 因为该双曲线的渐近线分别是 3 x x 0 0 － y ＋ y 0 0 3 3 x －y＝0， ＋y＝0， 所以可取|PA|＝ ， |PB|＝ ， 3 1 1 3＋1 3＋1 π 1 又 cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos3＝－2， x2 0 2 －y0 1 1 3 3 → → → → － － 所以PA· PB＝|PA|· |PB|· cos∠APB＝ 4 · ＝ × ＝ 2 2 4 3 3 －8，选 A.
4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a，|F1F2|＝2c，所以3a ＋3a ＋3a ＋3a ＝ ＋ (2 c ) ， 3
c2 2 6 即a2＝3，故 e F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双 曲线与直线 y＝x－1 有公共点， 则该双曲线的离心率的最小 值为( 6 A. 2 3 C.2 ) 3 5 B. 5 D. 3
大二轮· 文
【16个专题】浙江省2017年高考数学二轮复习与策略课件
10分 12分 14分
2017版高三二轮复习与策略
5.(2014· 浙江高考在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a≠b，c＝ 3，cos2A－cos2B＝ 3sin Acos A－ 3sin Bcos B. (1求角C的大小； 4 (2若sin A＝5，求△ABC的面积.
2017版高三二轮复习与策略
回访1
正、余弦定理的应用
1.(2013· 浙江高考在△ABC中，∠C＝90° ，M是BC的中点.若sin∠BAM＝ 1 3，则sin∠BAC＝________.
2017版高三二轮复习与策略 1 6 [因为sin∠BAM＝3， 3
2 2 BM 所以cos∠BAM＝ 3 .如图，在△ABM中，利用正弦定理，得 ＝ sin∠BAM AM sin B， 1 1 BM sin∠BAM 所以AM＝ sin B ＝3sin B＝ . 3cos∠BAC CM 在Rt△ACM中，有 AM ＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM.由题意知BM＝ 1 CM，所以 ＝sin(∠BAC－∠BAM. 3cos∠BAC
2.(2016· 浙江高考在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 知b＋c＝2acos B. (1证明：A＝2B； a2 (2若△ABC的面积S＝ 4 ，求角A的大小.
2017版高三二轮复习与策略
[解] (1证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B. 又A，B∈(0，π，故0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B或B＝A－B， 因此A＝π(舍去或A＝2B，所以A＝2B. 6分 3分
2017版高考数学二轮突破：专题二-函数与导数-课件(227页,含答案)
＝0，则 a＝________．
考 点 考 向 探 究
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第5讲 函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案]
（1）D （2）－1－e
[解析] （1）1－1x>0，即x－x 1>0，解得 x<0 或 x>1，故所
求的定义域为（－∞，0）∪（1，＋∞）.
考
（2）因为 f（－e）＝g（－e）＋e＝e ，所以 f（e）＝－e
－f(x2)<x1－x2，且 f(－3)＝－4，则不等式 f log13x－1 >log1
2
2
考
3x－1－1 的解集为(
)
点
A.2，＋∞ B.－∞，2
考
向
C.0，1∪1，2 D.－∞，0∪0，2
探
究
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第5讲 函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案] D
[解析] 已知条件可以化为 f（x1）－x1<f（x2）－x2 对任意 x1<x2 成立，令 g（x）＝f（x）－x，故 g（x）为 R 上的增 函数，且 g（－3）＝f（－3）－（－3）＝－1.
知 识
y2)，…，(xm，ym)，则 m(xi＋yi)＝________． i＝1
聚 焦
测试要点：函数图像对称性的应用
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第5讲 函数﹑基本初等函数I的图像与性质
核
[答案] m
心
知
识
[解析] 由 f（－x）＝2－f（x）得 f（x）的图像关于（0，
聚 焦
1）对称，∵y＝x＋ x 1＝1＋1x的图像也关于（0，1）对称，
的函数值转化为求已知区间上的函数值；(2)函数的奇偶
性、函数图像的对称性、函数的周期性之间有密切的关
创新设计江苏专用2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式教书用书文
上篇 专题整合突破 专题一 函数与导数、不等式教书用书 文第1讲 函数、函数与方程及函数的应用高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B 级；(3)函数与方程是B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.真 题 感 悟1.(2016²江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.解析 要使函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1]. 答案 [－3，1]2.(2016²江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. 解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案 －253.(2014²江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124.(2015²江苏卷)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 答案 4考 点 整 合1.函数的性质 (1)单调性(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝ －f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. 3.求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等. 4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一 函数性质的应用【例1】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________(从小到大排序).(2)(2016²全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析 (1)由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .(2)由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y＝f (x )的图象关于点(0，1)对称. 又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称. 则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称. 则∑i ＝1m ()i i x y +＝∑i ＝1m i x +∑i ＝1mi y =0＋m2³2＝m .答案 (1)c ＜a ＜b (2)m探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).【训练1】 (1)(2015²全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. (2)(2016²四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析 (1)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. (2)因为f (x )是周期为2的奇函数， 所以f (1)＝f (－1)＝－f (1)， 即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝2， 从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.答案 (1)1 (2)－2 热点二 函数图象的应用【例2】 (1)(2016²苏北四市调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.(2)(2015²全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线， 当a ＞0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况，即y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0].(2)设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)＜ax 0－a ，因为g ′(x )＝e x(2x ＋1)，可知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1）， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ，所以32e ≤a <1.答案 (1)[－2，0] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围. (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (2016²苏、锡、常、镇调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________.解析 由奇函数的定义和f (2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数.画出函数草图(如图)，可得在(－2，0)和(2，＋∞)上f (x )>0，在(－∞，－2)和(0，2)上f (x )<0.当x >0时，由f （x ）－f （－x ）x<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )<0，结合图象可知(0，2)符合；当x <0时，由f （x ）－f （－x ）x<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )>0，结合图象可知(－2，0)符合. 答案 (－2，0)∪(0，2) 热点三 函数与方程问题 [微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】 (2016²南京、盐城模拟)函数f (x )＝4cos 2x 2²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 2探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.[微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数【例3－2】 (1)(2016²南京三模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)当f (x )＝x －1e x时，f ′(x )＝2－xex ，由f ′(x )＝0得x ＝2，且当x ＜2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则当x ＝2时，f (x )有极大值f (2)＝1e 2.当－x －1＝1e 2时，x ＝－1－1e2.结合图象可得当存在实数b 使得g (x )＝f (x )－b 恰有3个零点时，－1－1e 2＜a ＜2.(2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示， 由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1e 2，2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练3】 (2016²泰州调研)设函数f (x )＝x 2＋3x ＋3－a ²e x(a 为非零实数)，若f (x )有且仅有一个零点，则a 的取值范围为________.解析 令f (x )＝0，可得x 2＋3x ＋3ex＝a ，令g (x )＝x 2＋3x ＋3ex，则g ′(x )＝（2x ＋3）²e x －e x²（x 2＋3x ＋3）（e x ）2＝－x （x ＋1）e x，令g ′(x )＞0，可得x ∈(－1，0)，令g ′(x )＜0，可得x ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g (x )在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 有且仅有一个交点，结合y ＝g (x )及y ＝a 的图象可得a ∈(0，e )∪(3，＋∞).答案 (0，e )∪(3，＋∞) 热点四 函数的实际应用问题【例4】 (2016²江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)V ＝13³62³2＋62³2³4＝312(m 3).(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2²62－x 2， ∴S 正方形A 1B 1C 1D 1＝2(62－x 2). 又由题意可得下面正四棱柱的高为4x ， 则仓库容积V ＝13x ²2(62－x 2)＋2(62－x 2)²4x ＝263x (36－x 2).由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去). 由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值，故当PO 1＝23(m)时，仓库容积最大.探究提高 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 (2016²南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3.问：P 能否大于120，说明理由.解 (1)依题意得y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *. (2)法一 依题意x ＝0.2a ， 所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a 2＋5）＝ak （a 2＋25）≤a3（a 2＋25）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋25a≤13³⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ³25a ＝130＜120.P 不可能大于120.法二 依题意x ＝0.2a ， 所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a ＋5）＝ak （a ＋25）. 假设P ＞120，则ka 2－20a ＋25k ＜0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解，假设不成立.P 不可能大于120.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、填空题1.(2016²南通调研)函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________.解析 要使函数f (x )＝ln x ＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，即函数定义域是(0，1]. 答案 (0，1]2.(2011²江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________.解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0).因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3.(2016²苏州调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________.解析 当x ≤0时，y ＝2x∈(0，1]； 当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1). 综上， 该函数的值域为(－∞，1]. 答案 (－∞，1]4.(2016²江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.答案 75.(2012²江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________. 解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案 －106.已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数.又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x ).∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2，2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝－x －2<0，g （2）＝3x －2<0，∴－2<x <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，237.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 8.(2016²北京海淀区二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x－1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x－a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 二、解答题9.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)， 所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ，因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].10.(2012²江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标.11.(2016²苏北四市调研)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C .为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数模型y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，设PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f (x )万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f (x )的解析式；(2)当x 为多少时，总造价f (x )最低？并求出最低造价.解 (1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x2，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米. 则两条道路总造价为f (x )＝5x ＋40²4x2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9).(2)因为f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5（x 3－64）x 3，令f ′(x )＝0，解得x ＝4，列表如下：所以当x ＝4时，函数f (x )有最小值，且最小值为f (4)＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋42＝30，即当x ＝4时，总造价最低，最低造价为30万元.(注：利用三次均值不等式得f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋32x 2≥5³338＝30，当且仅当x ＝4时，等号成立，同样正确.)第2讲 不等式问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.真 题 感 悟1.(2015²江苏卷)不等式2x 2－x＜4的解集为________.解析 ∵2x 2－x＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.答案 {x |－1＜x ＜2}2.(2014²江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0 3.(2016²江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________.解析 已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影部分内的动点：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，134.(2016²江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析 由sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 两边同时除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .令tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan B tan C ＞2tan B ²tan C ，则tan B tan C ＞1，m ＞2.又在三角形中有tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－m1－12m ²12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4≥2（m －2）²4m －2＋4＝8，当且仅当m －2 ＝4m －2， 即m ＝4时取等号，故tan A tan B tan C 的最小值为8.答案 8考 点 整 合1.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系.(2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . 2.利用基本不等式求最值已知x ，y ＞0，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ).3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.热点一 一元二次不等式的解法及应用【例1】 (1)(2013²江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)(2012²江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________. 解析 (1)由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x ，解得：x >5或－5<x <0.(2)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.由f (x )<c ，得－a 2－c <x <－a2＋c ，又f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6， ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 答案 (1)(－5，0)∪(5，＋∞) (2)9探究提高 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.【训练1】 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1，或x >12，则f (10x)>0的解集为______.解析 依题意知f (x )>0的解为－1<x <12，故0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.答案 {x |x ＜－lg 2}热点二 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例2－1】 (1)(2016²南师附中模拟)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________.(2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________.解析 (1)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)， ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去). ∴a m ²a n ＝a 1²2m －1²a 1²2n －1＝4a 1，平方得2m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当n m＝4mn，即n ＝2m ，亦即m ＝2，n ＝4时取等号.答案 (1)1 (2)32探究提高 在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得. [微题型2] 基本不等式在实际问题中的应用【例2－2】 (2016²南通调研)如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇.已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城.设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小.解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)²sin 30°＝12xy sin 75 °， 即22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ， 所以y ＝22x x －2(x ＞2).(2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12³x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12³8＝4(3＋1). 当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2.故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2.探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.【训练2】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是________.(2)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________.解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ²13(2x ＋3y ) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2³6)＝8.当且仅当3y ＝2x 时取等号.(2)易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1，2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心，把圆心坐标代入得a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当b a ＝a b ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立. 答案 (1)8 (2)4热点三 含参不等式恒成立问题 [微题型1] 分离参数法解决恒成立问题【例3－1】 (1)关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________.(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x≥2x ²4x＝4.又关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3).(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立.由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376.答案 (1)(－1，3) (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . [微题型2] 函数法解决恒成立问题【例3－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________.(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________.解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ， ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3，1].法二 设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得[－3，1].(2)法一 函数法.若a ＞0，则对称轴x ＝－12a＜0，故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1， 因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立.若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0，∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞). 法二 分离参数法.当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立.当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x，令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34. ∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞) 探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练3】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________. (2)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 (1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . (2)设y ＝2x －1，y ′＝－2（x －1）＜0， 故y ＝2x －1在x ∈[2，6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25， 故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于 15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0， 解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2]. 答案 (1)R (2)[－1，2] 热点四 简单的线性规划问题【例4】 (1)(2016²北京卷改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________.(2)(2016²苏北四市调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4，2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________.解析 (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2³1＋2＝4.(2)因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4，2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2（2m －n ）≥8－2n ，－4（2m －n ）≥8－2n ，所以m ，n 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，4m －3n ＋4≤0，n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，n m的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案 (1)4 (2)－803探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【训练4】 (2016²苏、锡、常、镇调研)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y的最小值为1，则实数a 的值是________.解析 依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以3a＝1，解得a ＝13.答案131.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在填空题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、填空题1.(2015²苏州调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n 4＝1，所以m 3²n4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3²n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.答案 33.(2016²苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________.解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2－2³（－a ）＋a 2＋2a ≤2³3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（－a ）2＋2³（－a ）＋a 2－2a ≤2³3 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，。
(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第2部分.解答
必考增补专题技法篇6 招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考增补专题中的 4 个打破点在高考考察中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，经过一轮复习，大部分考生已能娴熟掌握，为节俭可贵的二轮复习时间，逢迎教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，建立知识系统，解说客观题解法，其他以练为主.建知识网络明内在联系[ 高考点拨] 必考增补专题波及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考取常以“四小”的形式体现．本专题的考察也是高考取见义勇为的高频考点，考察考生应用新知识解决问题的能力和转变与化归能力等．综合最近几年高考命题规律，本专题主要从“会合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“摆列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6 招巧解客观题，省时、省力得高分[ 技法概括] 选择题、填空题是高考必考的题型，共据有75 分，所以，商讨选择题、填空题的特色及解法是特别重要和必需的．选择题的特色是灵巧多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只需求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完好的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自己的特色决定选择题及填空题会有一些独到的解1法．解法 1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特色，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果. 直接法是求解填空题的常用方法. 在用直接法求解选择题时，可利用选项的表示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提升解题速度.π(1)(2016 ·北京高考) 将函数y＝sin 2x－3 图象上的点P π4 ，t 向左平移s( s>0) 个单位长度获取点P′. 若P′位于函数y＝sin 2 x 的图象上，则( )1A．t ＝，s 的最小值为2 π6B．t ＝3，s 的最小值为2π6 1C．t ＝，s 的最小值为2 π3D．t ＝3，s 的最小值为2π3(2)(2015 ·江苏高考) 已知向量a＝(2,1) ，b＝(1 ，－2) ，若m a＋n b＝(9 ，－8)( m，n ∈R)，则m－n 的值为______．[ 解题指导] (1) 先求点P坐标，再求点P′的坐标，最后将点P′的坐标代入y＝sin 2x 求s 的最小值．(2) 能够利用向量的坐标运算，经过坐标相等，直接得出参量m，n 的值．(1)A (2) －3 [(1) 因为点P π4，t 在函数y＝sin 2x－π3的图象上，所以t ＝sin 2×π4π－3＝sinπ6＝12. 所以Pπ41，2 . 将点P 向左平移s( s>0) 个单位长度得P′π4－s，12.因为P′在函数y＝sin 2 x 的图象上，所以sin 2π－s ＝41 1，即cos 2 s＝，所以2s2 2＝2kπ＋5ππ或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋3 3 65π或s＝kπ＋6( k∈Z) ，所以s 的最小值为π6.(2) ∵m a＋n b＝(2 m＋n，m－2n) ＝(9 ，－8) ，∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝－3.][ 变式训练1] (2015·福建高考)为认识某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机检查了该社区 5 户家庭，获取以下统计数据表：2收入 x ( 万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y ( 万元)6.27.58.08.59.8^ ^ ^ ^ ^ ^ 依据上表可得回归直线方程 y ＝bx ＋a ，此中 b ＝0.76 ，a ＝ y －b x . 据此预计，该社区 一户年收入为 15 万元家庭的年支出为 ()A ．11.4 万元B ．11.8 万元C ．12.0 万元D ．12.2 万元8.2 ＋8.6 ＋10.0 ＋11.3 ＋11.9 B [ 由题意知， x ＝5＝10，y ＝ 6.2 ＋7.5 ＋8.0 ＋8.5 ＋9.8 5 ＝8，^∴a ＝8－0.76 ×10＝ 0.4 ，^∴当 x ＝15 时，y ＝0.76 ×15＋ 0.4 ＝11.8( 万元) ．] 解法 2 等价转变法所谓等价转变法， 就是经过“化复杂为简单、 化陌生为熟习”， 将问题等价地转变成便于解决的问题，进而得出正确的结果 .→ →(1)(2016 ·成都模拟 ) 设四边形 ABCD 为平行四边形， | AB | ＝6，| AD | ＝4，若点→→ → → → →M ，N 知足BM ＝3MC ，D N ＝2N C ，则AM ·N M ＝()A ．20B ．15C ．9D ． 6(2)(2015 ·湖南高考 ) 若直线 3x －4y ＋5＝0 与圆 x2＋y 2＝r2＋y 2＝r2(r >0) 订交于 A ，B 两点，且∠AOB ＝120°( O 为坐标原点 ) ，则 r ＝__________.→ → → → [ 解题指导 ] (1) 把向量AM ，N M 用AB ，BC表示，再求数目积．(2) 利用∠ AOB ＝120°，获取圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．→ → → → (1)C (2)2 [(1) 依题意有 AM ＝AB ＋BM ＝AB＋ → → → → → → 31 1 BC ，N M ＝N C ＋C M ＝ D C － BC ＝ 4 3 4 → →1 1 AB － BC，3 4→ → → 所以AM ·NM＝ AB ＋ →3 4BC · → → 1 1 AB BC 3 4－1 →2 ＝ － 3AB3 → 2 ＝9. 应选 C. 16BC(2) 如图，过点 O 作 OD ⊥AB 于点 D ，则 | OD | ＝5 ＝1. 3 2＋ － 22＋ － 23∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴| OB| ＝2| OD| ＝2，即r ＝2.][ 变式训练2] (1) 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为C D的中点，若→→AC·BE＝1，则AB的长为( ) 【导学号：67722071】A．2 B. 3 2C．1 D. 1 2(2) 若直线y＝kx＋1( k∈R)与圆x2 ＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0 恒有交点，则实数 a 的取值范围是________．→→→→→→→→→→→1(1)D (2)[ －1,3] [(1) 因为AC＝AD＋D C，BE＝BC＋C E＝AD D C，所以AC·BE＝(AD－＋2→→→→→1 1→ 2D C) ·AD DC AD·DC＝AD －－＋2 2 →1 1DC | D C| ·cos 60 °－2 ，所以1＋2 ，所以1＋2 2→1| D C|2→12＝1，| DC| ＝，| ＝，2故AB的长为1 . 2(2) 直线y＝kx＋1 恒过定点(0,1) ，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1) 在圆内或圆上，即02＋12－2a×0＋a2－2a－4≤0，即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3.]解法 3 特别值法在解决选择题和填空题时，能够取一个或一些特别数值或特别地点、特别函数、特别点、特别方程、特别数列、特别图形等来确立其结果，这类方法称为特值法. 特值法因为只需对特别数值、特别情况进行查验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提升认识题的速度. 特值法是考试中解答选择题和填空题时常常用到的一种方法，应用适当能够起到“四两拨千斤”的功能.a＋b (1)(2015 ·陕西高考) 设 f ( x) ＝ln x, 0<a<b，若p＝f ( ab) ，q＝f2 ，r1＝2( f ( a) ＋f ( b)) ，则以下关系式中正确的选项是( )A．q＝r <p B．q＝r >pC．p＝r <q D．p＝r >q4(2)(2015 ·福建高考) “对随意x∈0，π2，k sin x cos x<x”是“k<1”的( )A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件[ 解题指导] (1) 从条件看这应是波及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在惯例条件下建立，则在特别状况下更能建立，所以不如对a，b 取特别值办理，如a＝1，b＝e.(2) 正常来说剖析不等式k sin x cos x＜x 建立的条件很复杂，也没必需，所以能够试试在知足条件的状况下对x 取特别值进行剖析，这样既快又正确．(1)C (2)B [(1) 依据条件，不如取a＝1，b＝e，则p＝f ( e) ＝ln e＝12，q＝f1＋e2＞f ( e) ＝1 1 1，r ＝( f (1) ＋f (e)) ＝，在这类特例状况下知足p＝r ＜q，所以选 C.2 2 2(2) 若对随意x∈0，π2ππ，k sin x cos x＜x 建立，不如取x＝，代入可得k＜4 2，不可以推出k＜1，所以是非充分条件；因为x∈0，π2，恒有sin x＜x，若k＜1，则k cos x＜1，必定有k sin x cos x＜x，所以选 B.][ 变式训练3] (1) 假如a1，a2，⋯，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( ) A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5(2)(2016 ·衡水模拟) 在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2) 45[(1) 取特别数列1,2,3,4,5,6,7,8 ，明显只有1×8＜4×5建立．1(2) 令a＝b＝c，则A＝C＝60°，cos A＝cos C＝.2进而cos A＋cos C＝1＋cos A cos C45.]解法 4 数形联合法数形联合法是指在办理数学识题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机联合起来思虑，促进抽象思想和形象思想有机联合，经过对规范图形或表示图形的察看剖析，化抽象为直观，化直观为精准，进而使问题获取简捷解决的方法.5x －y ≥0， x ＋y －4≤0，(1)(2016 ·合肥模拟 ) 已知 x ，y 知足拘束条件则 z ＝－ 2xy ≥1，＋y 的最大值是 ()【导学号： 67722072】A ．－1B ．－ 2C ．－5D ． 1(2)(2015 ·湖北高考 ) 函数 f ( x ) ＝4cos 2x2cos π －x －2sin x －|ln( x ＋1)| 的零点个数 2为______．[ 解题指导 ](1) 要确立目标函数的最大值， 需知道相应的 x ，y 的值， 从拘束条件中不可能解出对应的 x ，y 的值，所以只有经过图解法作出拘束条件的可行域，据可行域数形结 合得出目标函数的最大值．(2) 函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转变为求 两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确立交点个数即可．(1)A(2)2[(1) 二元一次不等式组表示的平面地区为以下图的△ABC 内部及其边界，当直线 y ＝2x ＋z 过 A 点时 z 最大，又 A (1,1) ，所以 z 的最大值为－ 1.(2) f ( x ) ＝4cos 2x2cos π 2 －x －2sin x －|ln( x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln( x ＋1)|＝2sin x cos x －|ln( x ＋1)| ＝sin 2 x －|ln( x ＋1)|. 由 f ( x ) ＝0，得 sin 2 x ＝|ln( x ＋1)|.设 y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln( x ＋1)| ，在同一平面直角坐标系中画出两者的图象，以下图．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f ( x ) 有两个零点． ][ 变式训练 4](1)(2016 ·郑州模拟 ) 方程 x lg( x ＋2) ＝1 的实数根的个数为6( ) A．1 B． 2C．0 D．不确立(2) 已知偶函数y＝f ( x)( x∈R)在区间[0,2] 上单一递加，在区间(2 ，＋∞) 上单一递减，3f ( x) ＜0 的解集为________．且知足 f (－3) ＝f (1) ＝0，则不等式x1(1)B (2)( －3，－1) ∪(0,1) ∪(3 ，＋∞)[(1) 方程x lg( x＋2) ＝1? lg( x＋2) ＝，x在同一坐标系中画出函数y＝lg( x＋2) 与y＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不一样的实数根．(2) 由题意可画出y＝f ( x) 的草图，如图．①x＞0，f ( x) ＜0 时，x∈(0,1) ∪(3 ，＋∞) ；②x＜0，f ( x) ＞0 时，x∈( －3，－1) ．故不等式x3f ( x) ＜0 的解集为( －3，－1) ∪(0,1) ∪(3 ，＋∞) ．]解法 5 结构法用结构法解客观题的重点是利用已知条件和结论的特别性结构出新的数学模型，进而简化推理与计算过程，使较复杂的数学识题获取解决，它需要对基础知识和基本方法进行累积，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，踊跃联想，横向类比，从以前碰到的近似问题中寻找灵感，结构出相应的详细的数学模型，使问题简化.(1)(2016 ·福州一模) 已知 f ( x) 为定义在(0 ，＋∞) 上的可导函数，且 f ( x) ＞xf ′(x) 恒建立，则不等式x2f2f 1x －f ( x) ＞0 的解集为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(1 ，＋∞)D．(2 ，＋∞)(2) 如图1，已知球O的面上有四点A，B，C，D，D A⊥平面ABC，AB⊥BC，D A＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．7图1[ 解题指导] (1) 结构函数g(x) ＝f xx，可证明函数g( x) 在(0 ，＋∞) 上是减函数，再利用x 2f2f 1x－f ( x) ＞0?f1x1xf x＞x ? g1x＞g( x)求解．(2) 以D A，AB，BC为棱长结构正方体，则球O是此正方体的外接球，进而球O的直径是正方体的体对角线长．f xx (1)C (2) 6π[(1) 设g( x) ＝xf x －f x，则g′(x) ＝ 2 ，又因为 f ( x)x＞xf ′(x) ，所以g′(x) ＝x f x －f x2 ＜0 在(0 ，＋∞) 上恒建立，所以函数g( x) ＝xf xx 为(0 ，＋∞) 上的减函数，又因为x2f2f1x1fx－f ( x) ＞0?＞1xf xx ? g1x＞g( x) ，则1有＜x，解得x＞1，应选 C.x(2) 如图，以 D A，AB，BC为棱长结构正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以 C D＝ 2 2＋ 2 2＋ 2 2＝2R，所以R＝6，故球O的体积V＝234πR＝6π.]3[ 变式训练5] (1)(2016 ·兰州高三诊疗) 已知定义在R上的可导函数 f ( x) 的导函数为x 的解集为f ′(x) ，知足 f ′(x) ＜f (x) ，且f ( x＋2) 为偶函数， f (4) ＝1，则不等式 f ( x) ＜e ( )A．( －2，＋∞)B．(0 ，＋∞)8C．(1 ，＋∞)D．(4 ，＋∞)(2) 已知a，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上边的结论中，正确结论的序号是________( 写出全部正确结论的序号) ．(1)B (2) ①②④[(1) 因为f ( x＋2) 为偶函数，所以f ( x＋2) 的图象对于x＝0 对称，所以f ( x) 的图象对于x＝2 对称，所以f (4) ＝f (0) ＝1，设g( x) ＝f xx ( x∈R)，e则g′(x) ＝f x x －f xx 2x＝f x －f xx ，e又因为 f ′(x) ＜f ( x) ，所以g′(x) ＜0( x∈R)，所以函数g( x) 在定义域上单一递减，x因为 f ( x) ＜ e? g( x) ＝f xx ＜1，e而g(0) ＝f0 ＝1，ex所以f ( x) ＜e ? g( x) ＜g(0) ，所以x＞0，应选 B.(2) 用正方体ABCD- A1B1 C1D1 实例说明A1D与BC1 在平面ABCD上的射影相互平行，AB1 与BC1在平面ABCD上的射影相互垂直，BC1 与D D1 在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法 6 清除法清除法就是充分运用选择题中单项选择题的特色，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项下手，依据题设条件与各选项的关系，经过剖析、推理、计算、判断，对选项进行挑选，将此中与题设相矛盾的扰乱项逐个清除，进而获取正确结论的方法. 使用该法的前提是“答9案独一”，即四个选项中有且只有一个答案正确. 清除法合用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先依据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再依据另一些条件，在节余的选项内找出矛盾，这样逐渐挑选，直至得出正确的答案.cos 6 x(1)(2016 ·北师大附中模拟)函数y＝－x的图象大概为( )2x－2【导学号：67722073】A BC D1，x>0，(2)(2015 ·湖北高考) 设x∈R，定义符号函数sgn x＝0，x＝0，则( )－1，x<0，A．| x| ＝x|sgn x| B．| x| ＝x sgn| x|C．| x| ＝| x|sgn x D．| x| ＝x sgn x[ 解题指导] (1) 依据函数的奇偶性和x→＋∞时函数值的正负，以及x→0且x＞0 时函数值的正负，清除可得答案．(2) 可考证当x＜0 时，等式建立的状况．(1)D (2)D [(1) 函数y＝cos 6x 为偶函数，函数y＝2x－2－x 为奇函数，故原函数为奇函数，清除 A.x －x 又函数y＝2 －2cos 6 xx －x为增函数，当x→＋∞时，2 －2 →＋∞且|cos 6x| ≤1，∴y＝－x2x－2→0( x→＋∞) ，清除 C.cos 6 x 2x·cos 6 x∵y＝为奇函数，不如考虑x＞0 时函数值的状况，当x→0时，－x＝2 4x－2 x－ 14x→1,4x－1→0,2 x→1，cos 6 x→1，x→1,4∴y→＋∞，故清除B，综上知选 D.(2) 当x<0 时，| x| ＝－x，x|sgn x| ＝x，x sgn| x| ＝x，| x|sgn x＝( －x) ·( －1) ＝x，清除A，B，C，应选 D.]1c os x( －π≤x≤π且x≠0)x[ 变式训练6] (1)(2015 ·浙江高考) 函数 f ( x)＝x－10的图象可能为( )(2)(2015 ·北京高考) 设{a n} 是等差数列，以下结论中正确的选项是( )A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2> a1a3D．若a1<0，则( a2－a1)( a2－a3)>01(1)D (2)C [(1) 函数f ( x) ＝x－x cos x( －π≤x≤π且x≠0) 为奇函数，清除选项1 A，B；当x＝π时，f ( x) ＝π－πcos π＝1π－π<0，清除选项C，应选 D.(2) 设等差数列{ a n} 的公差为d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝( a1＋a2) ＋2d，由于d 正负不确立，因此a2＋a3 符号不确立，应选项 A 错；若a1＋a3 <0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝( a1 ＋a3) －d，因为 d 正负不确立，因此a1＋a2 符号不确立，应选项 B 错；若0<a1<a2，可知2a1>0，d>0，a2>0，a3>0，∴a2－a1a3＝( a1＋d) 2－a 2>0，∴a1( a1＋2d)＝d 2> a1a3，应选项 C 正2－a 2>0，∴a确；若a1<0，则( a2－a1)( a2－a3) ＝d·( －d) ＝－d2≤0，应选项D错．] 客观题常用的 6 种解法已初步掌握，在打破点19～22 的训练中一展身手吧！11。
2017年3月2017届高三第二次全国大联考(新课标Ⅱ卷)文数卷(原卷版)
2017年第二次全国大联考【新课标Ⅱ卷】文科数学·原卷版一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的）．1．已知集合{}|13A x x =-<<，{}|(4)0B x x x =-<，则A B =(A)()1,4- ( B)()1,0- (C)()0,3 (D)()3,42．在复平面内，复数z 与21i-对应的点关于实轴对称，则z 等于 （A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i - 3．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“30a >”是“54S S >”的 （A ）充分不必要条件 （ B ）必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，MN=2PQ=2，向该平行四边形内随机投一质点，则该质点落在四边形MNQP 内的概率为A(A)13(B)38(C)23(D)345. 《孙子算经》中有道算数题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”，意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分一头，正好分完，问共有多少户人家？设计程序框图如下，则输出i 的值是（A ）74（B ）75（C ）76（D ）7726．已知π1sin()23α+=，且α是第一象限的角，则tan 2α的值为(A)2 (B)423( C)32 (D)2 7. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 为C 上一点，若4AF =，则直线F A 的倾斜角为(A)π3 (B)π4 (C)π3或2π3 (D)π4或3π48．已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为（ ）(A) π123+ (B)π124+ (C) π84+ (D) π83+9．已知函数()3)f x x ωϕ=+ π(0,)2ωϕ><的图象过点3(0,)2A ，BC 、为该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则函数()f x 的单调递增区间为(A)24(2,2),33k k k -+∈Z ( B)24[2ππ,2ππ],33k k k -+∈Z (C) 51[4,4],33k k k -+∈Z ( D) 24[4ππ,4ππ],33k k k -+∈Z10. 函数()y f x =满足对任意实数x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，(1)3f =，则(112)(113)(114)f f f ++= （A ）3（B ）4（C ）5（D ）611．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线与焦点为F 的抛物线22:2(0)C y px p =>交于点O A B 、、，设线段OB 的中点为E ，且=2AF FE ，则1C 的离心率为（A） （B(D)3 12．函数32()(2)3f x ax a x x =+--+（01x <≤）在1x =处取得最大值，则实数a 的取值范围是(A)302a <≤(B)503a << (C)32a ≥ (D) 53a > 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设,x y 满足约束条件2110y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2y z x +=的取值范围是____________．14．已知向量=m，向量=n m 与n 的夹角为π4，且λ-n m 与m 垂直，则实数λ的值为 15. 已知函数32log ,03()1020,3x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+->⎪⎩．若函数()f x 在区间(,)a b 上单调递增，则b a -的最大值为________．16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24a =，()1212n n n a a -++-=，则20S =_____.三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos cos c a bA B-=，D 是AC 边上的一点． (Ⅰ) 求cos B 的值；(II)若2a c =，求tan A 的值. 18．（本小题满分12分）某消防机构为A B C D 、、、四个小区的居民代表进行消防安全知识宣传.在代表中，按分层抽样的方式抽取了10名“幸运之星”，“幸运之星”每人获得一份纪念品.相关数据如下：(I)求此活动中各小区“幸运之星”的人数；（II ）从B 小区和C 小区的“幸运之星”中任选两人进行后续的活动，求这两个人均来自B 小区的概率； （III ）消防机构在B 小区内，对参加问答活动的居民进行了是否有兴趣参加消防安全培训的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣参加消防安全培训与性别有关系？ 临界值表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面ADNM ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，π3DAB ∠=，2AB =，1AM =，E 是AB 的中点． (Ⅰ)求证：DE ⊥平面ABM ；(II)在线段AM 上是否存在一点P ，使三棱锥C BEP -的体积为12？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知定圆()221:224F x y ++=，动圆N 过点()22,0F 且与圆1F 相切，记圆心N 的轨迹为E . （I ）求轨迹E 的方程；（II ）点T 为直线:3l x =-上任意一点，过1F 作1TF 的垂线交轨迹E 于点P ，Q ，当1||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数21()ln (1)2f x x x mx m x =-+-（m ∈R ）． （I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线不平行于x 轴，求m 的值；（II ）已知()f x '是函数()f x 的导函数，在（I ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：()()1(12)f b f a b a a a ''-<-+.请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求直线l 的极坐标方程与曲线C 的参数方程；（II ）设点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线l 垂直，试确定点D 的坐标. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()1f x x a x a =-+-∈R . (Ⅰ)当2a =时，求()2f x ≤的解集；(Ⅱ)若()1f x x ≤+的解集包含集合[]1,2，求实数a 的取值范围.。
2017年高考数学全国二卷完整解析汇报及问题详解(无水印精编版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. {}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ． 33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题二函数与导数第2讲函数的应用练习文
第2讲 函数的应用1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0，x ∈R )．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4.因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，所以πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4 (k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤58.2．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log ax ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋a －＋3a ≥f＝1，3－4a2≥0，⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.3．(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞)解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.4．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时． 比(1)中的最大车流量增加100 辆/时．1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)函数f (x )＝log 2()x ＋2－x 2的零点个数为________．(2)函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________． 答案 (1)2 (2)2解析 (1)令f ()x ＝log 2()x ＋2－x 2＝0，log 2()x ＋2＝x 2，分别画出左右两个图象如图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点．(2)f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数，即方程3－x＝4－x 2的根的个数，即函数y ＝3－x ＝(13)x 与y ＝4－x 2图象的交点个数．作出函数y ＝(13)x 与y ＝4－x 2的图象，如图所示，可得函数f (x )的零点个数为2.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数为________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为________．答案 (1)2 (2)3解析 (1)由题意可得x ＞0，求函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数，即求方程ln x ＝12(x －2)2＋12的解的个数，数形结合(图略)可得，函数y ＝ln x 的图象和函数y ＝12(x －2)2＋12的图象有2个交点， 则f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 有2个零点．(2)函数g (x )的零点个数，即函数y ＝f (1－x )的图象与直线y ＝1的交点个数．令t ＝1－x ，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t2＋－t ，t ≥1，－t，t <1.作出函数y ＝f (t )的图象，与直线y ＝1有3个交点， 故g (x )有3个零点．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x >1，函数g (x )＝2－f (x ) ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤1，f x －，x >1，g (x )＝kx ＋1，若方程f (x )－g (x )＝0有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)(2,3] (2)(e －12，1)∪(1，e －1]解析 (1)由题意当y ＝f (x )－g (x )＝2[]f x －1＝0时，即方程f (x )＝1有4个解. 又由函数y ＝a －||x ＋1与函数y ＝(x －a )2的大致形状可知，直线y ＝1与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x >1的左右两支曲线都有两个交点，如图所示.那么，有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>1，f －，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <0，a >1，a －2≤1，解得2<a ≤3.(2)画出函数f (x )的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g (x )＝kx ＋1的图象过A (1，e)，B (2，e)时直线斜率k 1＝e －1，k 2＝e －12，并且当k ＝1时，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ex 相切于点(0,1)，则得到当函数f (x )与g (x )图象有两个交点时，实数k 的取值范围是(e －12，1)∪(1，e －1].思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______________________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≥3，ln|x －1|，x <3，若函数f (x )在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(－∞，2ln 2－2] (2)[8，＋∞)解析 (1)f ′(x )＝e x－2，当x ∈(－∞，ln 2)时，f ′(x )<0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a .由于2()0,2aaf e =>所以f (x )有零点当且仅当2－2ln 2＋a ≤0，所以a ≤2ln 2－2.(2)当x <3时，令ln|x －1|＝0，求得x ＝0或x ＝2， 即f (x )在(－∞，3)上有两个不同的零点．由题意，知f (x )＝2x－a 在[3，＋∞)上有且仅有一个零点，则由f (x )＝0，得a ＝2x∈[8，＋∞)．热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20<x <180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值． 解 (1)当20<x <180时，由⎩⎨⎧a －b ·20＝60，a －b ·180＝0，得⎩⎨⎧a ＝90，b ＝3 5.故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1， 0<x ≤20，90－35·x ， 20<x <180，0， x ≥180.(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，由(1)得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000xx ＋1， 0<x ≤20，9 000x －3005·x x ， 20<x <180，0， x ≥180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000. 当x >180时，f (x )＝0.答 当x 等于80元时，总利润取得最大值240 000元．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 (1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为________元．(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．答案 (1)3 800 (2)4 050解析 (1)假设个人稿费为x 元，所缴纳税费为y 元，由已知条件可知y 为x 的函数，且满足 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，y ＝0，x －，800<x ≤4 000，y ，448]，0.11x ，x >4 000，y ，＋，共纳税420元，所以有0.14(x －800)＝420⇒x ＝3 800.(2)设每辆车的月租金为x (x >3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)·(x －150)－x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元.1．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 5解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____________．押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 [－1,2)解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )． 再借助数轴，可得－1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[－1,2)．3．已知f ()x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[)0，＋∞，满足f ()x ＋2＝f ()x ，若当x ∈[)0，2，f ()x ＝||x 2－x －1，则函数 y ＝f ()x －1在区间[]－2，4上的零点个数为________．押题依据 结合函数的奇偶性、周期性等性质考查函数的零点问题，利用数形结合思想解决此类问题是关键． 答案 7解析 ∵偶函数f ()x 满足f ()x ＋2＝f ()x ，∴函数f ()x 的周期为2.又当x ∈[)0，2，f ()x ＝||x 2－x －1，∴f ()2＝f ()0＝1，f ()1＝1，∴f ()2＝f ()0＝f ()－2＝f ()4＝f ()－1＝f ()0＝f ()3＝1.函数y ＝f ()x －1的零点的个数等于方程f ()x －1＝0解的个数．在区间[]－2，4上，方程f ()x －1＝0的解有：－2，－1，0,1,2,3,4共7个．4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点．答案 20解析 如图，过A 作AH ⊥BC 交于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝x 40＝ADAB＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x ，则S ＝x (40－x )≤(402)2，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号，所以满足题意的边长x 为20 m.A 组 专题通关1．(教材改编)若函数f (x )＝x 2－mx ＋3在R 上存在零点，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－23]∪[23，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝x 2－mx ＋3在R 上存在零点， ∴x 2－mx ＋3＝0有解，∴Δ＝m 2－4×3≥0， 解得，m ≥23或m ≤－2 3.2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有______个． 答案 3解析 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点的存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．3．已知x 0(x 0>1)是函数f (x )＝ln x －1x －1的一个零点，若a ∈(1，x 0)，b ∈(x 0，＋∞)，则f (a )________0，f (b )________0.答案 < >解析 由题意得f (x 0)＝0，又y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，y ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又1<a <x 0<b ，所以f (a )<f (x 0)<f (b )，即f (a )<0<f (b )．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |－1，x >0，－x 2＋2x ＋3，x ≤0的零点的个数为________．答案 3解析 当x >0时，令f (x )＝|ln x |－1＝0，解得x ＝e 或1e，均满足题意；当x ≤0时，令f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1(x ＝3舍去)．所以函数y ＝f (x )的零点的个数为3.5．已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1| x ，x ＝，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝________.答案 5解析 作出f (x )的图象，如图所示．由图象知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根；∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3， ∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0， 故可得x 21＋x 22＋x 23＝5.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.7．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ，1]，则函数1()()2xy f x =-在区间[－3,3]上的零点的个数为________． 答案 5解析 因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及1()()2xg x =在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数1()()2xy f x =-在区间[－3,3]上的零点的个数为5.8．我们把形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ，－1x ＋1x <0且x ≠－在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．9．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式25,01,()31.(),1,53x x x f x x -⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案 4解析 因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2>0.02，又由x >1，得35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤150，得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤130，所以x ≥4. 故至少要过4小时后才能开车．10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.①当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；②当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大； 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．B 组 能力提高11．设定义在R 上的函数f (x )满足： (1)对任意的实数x ，都有f (－x )－f (x )＝0； (2)对任意的实数x ，都有f (x ＋π)＋f (x )＝1； (3)当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；(4)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)．则方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上的根的个数为________． 答案 8解析 由(1)知，函数f (x )为偶函数； 由(2)知，f (x ＋π)＝1－f (x )，故f (x ＋2π)＝1－f (x ＋π)＝1－[1－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是周期函数，其周期为2π.由(3)知，函数f (x )的图象在y ＝0与y ＝1之间．由(4)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增．综上，当x ∈[0，π]时，f (x )＝|1－2πx |，画出函数f (x )和y ＝|sin x |在[－2π，2π]上的图象，如图所示，两函数在[－2π，2π]上共有8个交点，所以方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上共有8个零点．12．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在_________元/桶才能获得最大利润． 答案 11.5解析 设每桶水的价格为()6＋x 元，公司日利润y 元，则：y ＝()6＋x －5()480－40x －200＝－40x 2＋440x ＋280，∵－40<0，∴当x ＝－b2a ＝5.5时函数有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．13．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 答案 4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.14．已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：①∃a∈R，使f(x)为偶函数；②若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；④若a2－b－2>0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点．其中正确命题的序号为________．答案①③解析①当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故①正确．②由f(0)＝f(2)，得|b|＝|4－4a＋b|，而f(x＋1)＝|(x＋1)2－2a(x＋1)＋b|＝|x2＋(2－2a)x＋1－2a＋b|，f(1－x)＝|(1－x)2－2a(1－x)＋b|＝|1－2x＋x2－2a＋2ax＋b|＝|x2＋(2a－2)x＋1－2a＋b|.f(x＋1)≠f(1－x)，∵|b|＝|4－4a＋b|不能判定a＝1，∴f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故②错误．③f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增函数，故③正确．④如图所示，当a2－b－2>0时，函数f(x)的图象与直线y＝2有4个交点，故h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故④错误．。
2019-2020年全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第一讲计数原理二项
(2)满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b
＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
[解析] 方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的情况应分类讨
论．当 a＝0 时，关于 x 的方程为 2x＋b＝0，此时有序数对
(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当 a≠0 时，Δ＝
2．[2015·天津五区县一模] 如图，用四种不同的颜色给 图中的 A，B，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一 种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的 涂色方法有( )
A．288 种 C．240 种
B．264 种 D．168 种
解析 解法一：先涂 A，D，E 三个点，共有 4×3×2 ＝24(种)涂法，然后再按 B，C，F 的顺序涂色，分为两类：
4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，
(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－
1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有 4＋9＝13(个)，
故选 B.
应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类 再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示 意图或表格，使问题形象化、直观化．
2017年高考全国二卷数学
2017年高考全国二卷数学2017年高考全国二卷数学考题解析一、选择题1. 解析【答案】B【解析】根据函数的定义域和值域可知函数的横坐标是正实数，纵坐标是非负实数。
将选项代入函数，发现只有选项B满足函数的定义域和值域。
2. 解析【答案】D【解析】由直线和坐标轴的交点可以确定直线相交的位置。
根据题目中的信息，可知直线h与y轴交于点(3,0)，所以直线h以点(3,0)为y轴截距。
选择D。
3. 解析【答案】C【解析】根据余弦函数的定义可知，余弦值的范围在[-1,1]之间。
选项C中只有√3/2在此范围内，且余弦函数在[0,π]上是单调递减的。
所以选C。
4. 解析【答案】B【解析】将原式中的x用y来表示，再反过来将y用x表示，可知原式是一个函数。
所以选B。
5. 解析【答案】C【解析】首先排除A和B，因为平方根的结果是非负实数，比较选项C和D，将x=1代入两式得到的值分别为√2和-√2，由于√2>-√2，所以选C。
二、解答题6. 解析【解答】解：已知等腰梯形的上底长为4，下底长为10，高为6，周长为28。
设等腰梯形的上底中点为D，下底中点为E。
由于等腰梯形的上下底平行，所以DE垂直于上下底，且DE的长度等于高6。
设上底的坐标为A，上底中点 D 的坐标为 a ，下底的坐标为B，下底中点 E 的坐标为 b ，高的坐标为C。
由于等腰梯形的两腰相等，所以将 D 作在 AC 上，长度为2。
根据题意，已知上底坐标(A)为(4/2, 6)，由于 BD∥AC，所以BD与 AC 上点的 x 坐标相同，即 D 的 x 坐标为4/2，所以上底中点 D 的坐标为(4/2, 6+6)。
所以梯形上底的中点 D 的坐标为 (2, 12)，下底中点 E 的坐标为 (12-4/2, 0) = (10, 0)。
由于矩形 ABCD 为正矩形，所以 BC 垂直于 AC 且相等，所以上底AC的斜率k1=∞，下底BC的斜率k2=∞。
所以上底AC的方程为：x=2。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第二.
第1讲选择题的解法技巧［题型概述】选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以“小”“巧”著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力.解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做.方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择•涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 (1)在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a= 3, b= 2 6, B= 2A,则cos A的值为()A. f B•竽3 3C念D込C. 6D. 8(2)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为()A. 96B. 432C. 480D. 528a b解析⑴在厶ABC中, =-,sin A sin B3 2 .6 2 6 2 6…sin A sin B sin 2 A 2sin A cos A\'6cos A=3⑵当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3X 3X2种排法，共有3X 3X 2X 24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4X 24种排法，因此共有排法3X 3X 2X 24 + 4X 24 = 528(种).答案(1)A (2)D思维升华涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错.a n+i — 1B.跟踪演练1⑴数列｛a n｝满足归2,示E，其前n项积为T n，则T10等于（）A.6C. 6D.—6⑵（2015 •四川）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A- ¥1C —2 a 10= a 2=— 3,所以数列｛a n ｝的前10项之积为 （2）每次循环的结果依次为:k = 2, k = 3, k = 4, k = 5>4, ••• S = sin ^n= 2-故选 D6 21 D 2答案（1）D(2)D解析（1）由 a n + 1 — 1 a n =0^1?a n +1 = 1 + a n口”，所以1a 2= — 3, a 3=— 2 ,1a 4= 3, a5=2, a 6=— 3,…， 由此可知数列 ｛&｝的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为 1,则a 9 = a 1 = 2,1x 1x 2X ( — 3) =— 6.方法二特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断•特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才,x W 0,易知f ( — 1)是f (x )的最小值，排除A , B;2\ , x< 0,若a = 0，则f (x ) = i 1易知f (0)是f (x )的最小值，故排除 C.D 正确.x +x , x >0, ■L x⑵ 因为 a 5 • a 2n —5= 22n (n 》3),所以令n = 3，代入得a 5 • a 1= 26, 再令数列为常数列，得每一项为 8,2则 log 2a 1 + log 2a 3 + log 2空=9= 3 . 结合选项可知只有 C 符合要求. 答案(1)D(2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结 论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，可使用•特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.A .C. 2 (1)设 f (x )=[—1,2] [1,2]1x+x + a ，x >0. B. D. 若f (0)是f (x )的最小值，则 a 的取值范围为[—1,0] [0,2]已知等比数列｛a n ｝满足a n >0. nn = 1,2,3，…，且 & • a 2n — 5= 2 (n 》3)，当 n 》l 时，log 2a 1+ log 处+…+ log 2a 2n —1 等于( A . n (2n — 1) C. n 22B. (n +1) 2D. (n — 1)x +12, x <0,解析(1)若 a =— 1,则 f (x )=1x +x — 1, x >°，或改用其他方法求解.跟踪演练2 (1)已知0是锐角△ ABC的外接圆圆心，/ A= 60°, CoS-B- AB+ 空一C. A C=sin C sin B2m- A O 则m 的值为（）C. 1⑵ 如图，在棱柱的侧棱 A i A 和BB 上各有一动点 P 、Q 满足AP = BQ 过P 、Q C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）A . 3 : 1 C. 4 : 1 答案(1)A(2)B解析 ⑴ 如图，当△ ABC 为正三角形时，A = B = C = 60°,取D 为BC 的中点,1 A 4 A— '2AD= ^mAD3••• m=—，故选 A.⑵ 将P 、Q 置于特殊位置：P A A , Q^ B ,此时仍满足条件 AP = BQ = 0）,方法三排除法 排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择 项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排 除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.A.~2B. .2D. 3 ：1D.—则有 V C — AAB = V A 1 —ABC.故选 B.B. 2 ：1一般选择支与题干或常识矛盾，选择支互相矛盾时用排除法. 例3 (1)(2015 •课标全国n )根据下面给出的 2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图•以下结论不正确的是( )A .逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关⑵ 已知函数f (x ) = x (1 + a |x |).设关于x 的不等式f (x + a )<f (x )的解集为A ,若［—1,弓解析(1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较， 得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大， A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较 2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较 2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即 C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D.1 1 1 1 1⑵ 当 x = 0 时，有 f (a )<f (0) = 0,由［—^, 2】？ A ,当 x = — -, a = — 时，有 f ( a ) = — - x (1 11 311 1 115—2 x | — ?|) =— 8<0,排除 B D,当 x = 2, a =2 时，有 f (a ) =-x (1 + ?x|?|)=孑0,排除C ,所以选择A. 答案(1)D(2)A思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先 根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围 内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.? A ,则实数a 的取值范围是( A . (1—, 0)C.(1— .520) U (0 , )B. —A 0)D ( -8,^5)2CMJ4年加H ■年昨2041-?^ 甸備■年 卽年Ml I 坪 孙I 上年血LH 年[gX’XAO,跟踪演练3若f(a)>f( —a)，则实数a的取值范围是(1)设函数f(X)=] logj-x^xcOn⑵ 已知函数f (x ) = sin( 3 x + 0 )( 3 >0, I 0 |< ―)的最小正周期是n ,若将其图象向右平移n■3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f (x )的图象( )A .关于直线x = 12对称 B.关于直线x = 12对称C. 关于点(12，0)对称D.关于点(冷守，0)对称答案(1)C(2)B解析(1)取a = 2验证满足题意，排除 A D,取a =— 2验证不满足题意，排除 B. •••正确选 项为C.2 n(2) v f (x )的最小正周期为 n , • ------ = n , 3 = 2,3. n n 2 n .• f (x )的图象向右平移 §个单位后得到 g (x ) = sin ［2( x — -) + 0 ］ = sin(2 x —-亍+ 0 )的图2 2象，又 g (x )的图象关于原点对称，••— 3 + 0 = k n , k € Z , 0 = 3 + k n , k € Z.又 | 0 |< "2， • I 2^- + k n |< 牙,• k =— 1, 0 =—专,• f (x ) = sin(2 x -专),当 x =右时，2x —专=—-6 , *5 n• A, C 错误，当x =〒2时，2x — — = ~2， -B 正确，D 错误. 方法四数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义， 作出函数的图象或几何图形， 将数的问题(如解方程、 解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为 直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法. 例4若直角坐标平面内的两点P, Q 满足条件：①P, Q 都在函数 y = f (x )的图象上；②P, Q关于原点对称，则称点对 [P, Q 是函数y = f (x )的一对“友好点对”(注：点对［P, Q 与［Q,log 2Xx/0P ］看作同一对"友好点对” ).已知函数f (x ) =2.....I — xx xWU则此函数的“友好点对”有( )A . 0对B. 1对C. 2对D. 3对A . ( — 1,0) U (0,1) C. ( — 1,0) U( 1,+s )B. ( —g,— 1) U (1 ,+s) D. ( —g,— 1) U (0,1)解析根据题意，将函数 f (x) =—x —4x(x w 0)的图象绕原点旋转180°后，得到的图象所2 _________________ . . . .对应的解析式为y = X - 4x ( x >0)，再作出函数 y = log 2X ( x >0)的图象，如图所示.由题意, 知函数y = x 2- 4x ( x >0)的图象与函数f (x ) = log 2x (x >0)的图象的交点个数即为"友好点对” 的对数.由图可知它们的图象交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对.'y-A -a -2 -i o/ -1 Y/~2答案 C思维升华数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更 能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果•使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图 象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论.跟踪演练4 ⑴ 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = 0,向量a , b 的夹角为120° 且| b |=2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A . 60° B. 90° C. 120°D. 150°—x + 2x , x w 0,⑵已知函数f (x )= <,,若|f (x )| > ax ,则a 的取值范围是( )111 X +1, x >0.A . (—s, 0] B. ( —s, 1] C. [ — 2,1] D. [ — 2,0]答案(1)B(2)DCO 的夹角为90°,即a 与c 的夹角为90°(2)函数y = | f (x )|的图象如图所示.解析 (1)如图，因为〈a , b >= 120°,| b | = 2|a | , a + b + c = 0,所以在△ OBC 中，BC 与① 当a = 0时，|f (x )| > ax 显然成立.② 当a >0时，只需在x >0时，ln( x +1) > ax 成立.比较对数函数与一次函数 y = ax 的增长速度.显然不存在 a >0使ln( x +1) > ax 在x >0上恒成立.2③ 当a <0时，只需x <0, x -2x >ax 成立，即a >x -2成立，二a >- 2. 综上所述：—2< a < 0.故选D. 方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通 解题思路的方法.解析构造函数g (x ) = f则 g '(x )= J 因为？x € R ,均有 f (x )>f '(x )，并且 e x >0, 所以 g'( x )<0 ,f x故函数g ( x ) =在R 上单调递减，e所以 g ( — 2 018)> g (0) , g (2 018)< g (0),也就是 e 2 018 f ( — 2 018)> f (0),f (2 018)<e 2 018f (0).答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独 摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究.跟踪演练5 (1)(2015 •课标全国H )设函数 f '(x )是奇函数f (x )(x € R)的导函数，f ( — 1)例 5 已知函数 f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于？x € R,均有f (x )>f '(x )，则有()e 2 018f ( — 2 018)< f (0), e 2 018f ( — 2 018)< f (0),2 018 一 一e f ( — 2 018)> f (0), A .B . C. D. f (2 018)>e f (2 018)<ef (2 018)>ef (2 018)<e2 018f (0) 2 018f (0) 2 018 一f (0) 2 018f (0) —2 018~— 2 018e>f (0),f—<f(0),=0，当x >0时，xf ，(x ) — f (x ) V 0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A . ( —g,— 1) U (0,1) B. ( —1,0) U (1 ,+s) C. ( —g ，— 1) U ( — 1,0)D. (0,1) U (1 ,+g⑵若四面体ABCD 勺三组对棱分别相等，即 AB= CD AO BD AD= BC 给出下列五个命题: ① 四面体ABC ［每组对棱相互垂直； ② 四面体ABCDI 个面的面积相等；③ 从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于180°;④ 连接四面体 ABCDI 组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤ 从四面体 ABCDf 个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 其中正确命题的个数是( )A . 2 B. 3 C. 4 D. 5答案(1)A(2)B解析(1)因为f (x )( x € R)为奇函数，f ( — 1) = 0,所以f ⑴=—f ( — 1) = 0.当X M0时，令v 0? f (x ) > 0.综上，得使f (x ) >0成立的x 的取值范 围是(一g ，— 1) U (0,1)，选 A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线， 在此背景下，长方体的长、宽、高分别为 x 、y 、乙 对于①，需要满足 x = y = z ，才能成立； 因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②成立，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④成立；从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立•故正确 命题有②④⑤. 方法六估算法由于选择题提供了唯一正确的选项， 解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算， 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算 法往往可以减少fg (x )=-，贝y g (x )为偶函数，且 g (1) = g ( — 1) = 0.则当 X > 0 时，g '(x )=xfV 0，故g (x )(—g ，0)上为在(0，+g )上，当 0v x v 1 时，g (x ) > g (1) = 0?> 0? f (x ) >00)上，当x v — 1 时，g (x ) v g ( — 1) = 0?运算量，但是加强了思维的层次.例6 ⑴ 图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0 < h w H )，则该函数的大致图象是( )⑵已知三棱锥S 「ABC 勺所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC= 2,则此棱锥的体积是()D.解析(1)由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积 S 逐渐减小，且减小得越来越慢， 结合 选项可知选B.⑵ 容易得到厶ABC 勺面积为-4,而三棱锥的高一定小于球的直径2,所以X 2=#,立即排除B 、C D,答案选A. 答案⑴B (2)A思维升华 估算法一般包括范围估算， 极端值估算和推理估算. 当题目从正面解析比较麻烦， 特值法又无法确定正确的选项时 (如难度稍大的函数的最值或取值范围、 函数图象的变化等问 题)常用此种方法确定选项.跟踪演练6 (1)已知x i 是方程x + lg x = 3的根，X 2是方程x + 10x = 3的根，贝U x i + X 2等于 ( ) A . 6 B. 3 C. 2D. 1⑵(2015 •湖北)在区间［0,1］上随机取两个数 x , y ,记p 1为事件“ x + y w 1 ”的概率，p 2为1事件“ xy w 2”的概率，则（ ）1 1A . P 1中2<2 B. P 2<2<P 11 1C ・2<P 2<P 1 D. P 1$<P 2答案(1)B(2)D解析 ⑴ 因为X 1是方程x + lg x = 3的根，所以2<X 1<3 ,X 2是方程x + 10x = 3的根，所以0%<1,A. "6"B.所以2<x i + X 2<4.故B 正确.S A OECS 四边形OCD E1所以p <2<p 2.故选D.(2)在直角坐标系中，依次作出不等式0w x w 1,0w y w 1,1 1 一x + y w -, xy w ㊁的可行域如图所示:依题意,ABOS 曲边多边形S 四边形OCD ES 四边形OCDE。
2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
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3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
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5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-，B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1，3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=SA ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23B ．515 C ．510D ．33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-．34-D ．1-二、填空题：本题共5分，共20分。
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专题二 函数与导数 第三讲 导数的简单应用适考素能特训 文一、选择题1．[2016·郑州质检]函数f(x)＝e xcos x 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0答案 C解析 依题意，f(0)＝e 0cos 0＝1，因为f′(x)＝e xcos x －e xsin x ，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C .2．[2016·山西忻州四校联考]设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )答案 B解析 f ′(x )＝(x sin x ＋cos x )′＝x cos x ，则k ＝g (t )＝t ·cos t ，易知函数g (t )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、C.当0<t <π2时，g (t )>0，所以排除D ，故选B.3．[2016·广西质检]若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]答案 B解析 f′(x)＝[x 2＋(2－c)x －c ＋5]e x，因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c)x －c ＋5≥0对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c≤x 2＋2x ＋5，c≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c≤4.4．[2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B .12<x 0<1 C .22<x 0< 2 D .2<x 0< 3答案 D解析 由题令f(x)＝x 2，f′(x)＝2x ，f(x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x(x∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x 2－ln 2x －1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2 <0，g(2)＝1－ln 2 2<0，g(3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D .5．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c(x ∈R )，则下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共点答案 D解析 对于选项A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，方程3x 2＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a2＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 1<x 2，令f ′(x )>0，得x <x 1或x >x 2，令f ′(x )<0，得x 1<x <x 2，所以函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－13，易知x 1<x 2，所以x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝4a 29＋43≥233，故B 选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝ ⎛ －a3，⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x ＋x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x －x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3－x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x y ＝x 3－x 有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，选D.6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3在区间[－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．[2,10]B ．[－1,8]C ．[－2,2]D ．[0,9]答案 B解析 f ′(x )＝－3ax 2＋a －2.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2<0，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(2)当0<a ≤2时，f ′(x )≤0恒成立，所以函数f (x )在定义域内为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(3)当a <0或a >2时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a －23a .①当－ a －23a ≤－1，即 a －23a≥1，即－1≤a <0时，函数f (x )在[－1,1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2，满足条件；②当－a －23a>－1，即 a －23a <1，即a <－1或a >2时，若a <－1，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23a ，1上单调递增，在⎣⎢⎡－ a －23a，⎦⎥⎤a －23a 上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (1)＝－2或f ⎝⎛⎭⎪⎫－a －23a ，而f ⎝⎛⎭⎪⎫－ a －23a >f (－1)＝2，不满足条件，若a >2，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a －23a ，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ a －23a， a －23a 上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ a －23a ，则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a －23a ≤2，即(a －2)a －23a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ a －23a 3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a >2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.二、填空题7．[2016·九江一模]已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.8．[2016·广东肇庆模拟]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知x ＝－3为方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.9．[2016·石家庄一模]设过曲线f(x)＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 －1≤a≤2解析 函数f(x)＝－e x－x 的导数为f′(x)＝－e x－1，设曲线f(x)＝－e x－x 上的切点为(x 1，f(x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g(x)＝ax ＋2cos x 的导数为g′(x)＝a －2sin x ，设曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g(x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a－2sin x 2＝1e x1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a≤2.三、解答题10．[2016·石景山区高三统测]已知函数f(x)＝x －a ln x ，g(x)＝－1＋ax (a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间； (3)若存在x 0∈[1，e ]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1时，f′(x)＝x －1x .由f′(x)＝0，解得x ＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；所以当x ＝1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝1－ln 1＝1； (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x －a ln x ＋1＋ax ，其定义域为(0，＋∞)．又h′(x)＝x 2－ax －＋x2＝＋－＋x2.由a>0可得1＋a>0，在x∈(0,1＋a)上h′(x)<0，在x∈(1＋a ，＋∞)上h′(x)>0， 所以h(x)的递减区间为(0,1＋a)；递增区间为(1＋a ，＋∞)． (3)若在[1，e ]上存在一点x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立， 即在[1，e ]上存在一点x 0，使得h(x 0)<0. 即h(x)在[1，e ]上的最小值小于零．①当1＋a≥e ，即a≥e －1时，由(2)可知h(x)在[1，e ]上单调递减． 故h(x)在[1，e ]上的最小值为h(e )， 由h(e )＝e ＋1＋a e －a<0，可得a>e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1>e －1，所以a>e 2＋1e －1；②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，由(2)可知h(x)在(1,1＋a)上单调递减，在(1＋a ，e )上单调递增． h(x)在[1，e ]上最小值为h(1＋a)＝2＋a －a ln (1＋a)． 因为0<ln (1＋a)<1，所以0<a ln (1＋a)<a.∴2＋a －a ln (1＋a)>2，即h(1＋a)>2不满足题意，舍去．综上所述：a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.11．已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值； (2)若f (x )<0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0， 解得a ＝－12(舍去)或a ＝1.经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1. (2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )<0； 当a >0时，令f ′(x )＝ax ＋－ax ＋x＝0，得x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝ln a<0，所以a >1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．12．[2016·广西质检]已知函数f(x)＝1x ＋a ln x(a≠0，a ∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x ＋1x ＝x －1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0得0<x <1，由f ′(x )>0得x >1， 所以当x ＝1时，f (x )有极小值1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得到x ＝1a，若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当1a<0，即a <0时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e . 当1a>0，即a >0时，①若e≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． ②若0<1a <e ，即a >1e时，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝a ＋a ln a，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上，由①②可知：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)符合题意．。