高考理科数学(北师大版)一轮复习练习：第2章 基本初等函数、导数及其应用 第14讲 (1)
高考高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第8讲函数的图象知能训练轻松闯关理北师大
第8讲函数的图象1．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图像是()解析：选B.由x －1x>0得函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(1，＋∞)，可排除选项A 、D ；当x →＋∞时，函数f (x )的函数值大于零，可排除选项C ，故选B.2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图像与y ＝e x的图像关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值是()A ．－eB ．－1eC ．e D.1e解析：选B.由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )，若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e.3．已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图像为()解析：选A.由f (－x )＝x 2＋ln|x |x≠－f (x )可知函数f (x )不是奇函数，排除B 、C ，当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2－ln x x，因为当x ∈(0，1)时，y ＝ln x <0，则f (x )>0，排除D ，故选A.4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是() A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上递减．5．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点()A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，由y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是() A ．(－1，0) B ．[－1，0) C ．(－2，0) D ．[－2，0)解析：选A.在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.7.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________． 解析：由图像知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2. 答案：28．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1，4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________． 解析：法一：函数y ＝f (x )的图像是由y ＝f (x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的． 故y ＝f (x )的图像经过点(4，4)．法二：由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图像必经过点(4，4)．答案：(4，4)9．已知图(1)中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|； ③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图(2)是由题图(1)在y 轴左侧的部分(含原点)及其关于y 轴对称的图形构成的，故④正确． 答案：④10．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 11．已知函数f (x )＝x1＋x.(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间． 解：(1)f (x )＝x1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图像是由反比例函数y ＝－1x 的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f (x )有两个增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）. 作出函数图像如图．(1)由图像知函数的增区间为[1，2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)． 由图知0＜m ＜1，所以M ＝{m |0＜m ＜1}．1.函数f (x )的图像如图所示，若函数y ＝2f (x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，则c 的取值范围是() A ．(－1，2.5) B ．(－1，5) C ．(－2，2.5) D ．(－2，5)解析：选D.函数y ＝2f (x －1)－c 与x 轴有四个不同交点，即方程2f (x －1)－c ＝0有四个不同的解，即y ＝f (x －1)与y ＝12c 有四个不同的交点．因为函数y ＝f (x －1)与函数y ＝f (x )上下分布相同，所以可以把问题转化为c 取何值时，曲线y ＝f (x )与y ＝12c 有四个不同的交点，结合图形可知c ∈(－2，5)．2．设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是________．解析：y ＝2x －1x －2＝2（x －2）＋3x －2＝2＋3x －2，图像如图所示．可知②③正确．答案：②③3．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的递减区间；(4)根据图像写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1，5)时函数的值域． 解：(1)因为f (4)＝0， 所以4|m －4|＝0， 即m ＝4.(2)由(1)得f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4. f (x )的图像如图所示．(3)f (x )的递减区间是[2，4]．(4)由图像可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)因为f (5)＝5>4，所以由图像知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．4．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图像上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．设P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得 f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图像上． 所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．所以|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又因为a ≠0，所以2a －1＝0，得a ＝12.。
高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.7 二次函数、幂函数课时规范训练 理 北师大版
第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.7 二次函数、幂函数课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·哈尔滨模拟)幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：逐个验证知m ＝1，故选B. 答案：B2．(2016·长沙模拟)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52解析：结合图像可知是③，由－b2a >0，f (0)＝a 2－1＝0，解得a ＝－1或1(舍)．答案：B3．(2016·山东实验中学测试)“m ＝1”是“函数f (x )＝x 2－6mx ＋6在区间(－∞，3]上为减函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数f (x )＝x 2－6mx ＋6在区间(－∞，3]上为减函数的充要条件是3m ≥3，即m ∈[1，＋∞)．又{1}是[1，＋∞)的真子集，所以“m ＝1”是“函数f (x )＝x 2－6mx ＋6在区间(－∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选B.答案：B4．(2016·临川模拟)已知幂函数y ＝x (m ∈N ＋)的图像与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝__________.解析：由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3<0，由m 2－2m －3<0得－1<m <3，又m ∈N＋，故m ＝1,2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)．当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 答案：25．(2016·石家庄调研)已知幂函数f (x )＝k ·x α(k ，α∈R )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k＋α＝__________.解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入得22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，从而α＝12，故k ＋α＝32.答案：326．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则函数y ＝f (x )的最小值为________．解析：由条件可知，f (x )为偶函数，∴b ＝0，又定义域为[a －1,2a ]，根据偶函数的定义，知2a ＝1－a ，即a ＝13，∴f (x )＝13x 2＋1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23，∴|x |≤23，∴f (x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝3127，∴3127≥f (x )≥1.答案：17．(2016·徐州一模)已知幂函数f (x )＝x(m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数， ∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数还经过点(2，2)，∴m 2＋m ＝2，解得：m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x . 又∵f (2－a )＞f (a －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得：1≤a ＜32，故m 的值为1.满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪1≤a <32. 8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示．(1)补全函数f (x )的图像；(2)写出函数f (x )，x ∈R 的增区间； (3)求函数f (x )，x ∈R 的解析式；(4)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2，x ∈[1,2]，求函数g (x )的最小值．解：(1)函数f (x )图像如图所示．(2)f (x )的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)设x >0，则－x <0，∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且当x <0时，f (x )＝x 2＋2x .∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ，x 2－2xx(4)当x ∈[1,2]时，g (x )＝x 2－(2＋2a )x ＋2， 其图像的对称轴为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ；当1<a ＋1<2，即0<a <1时，g (x )min ＝g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1； 当a ＋1≥2，即a ≥1时，g (x )min ＝g (2)＝2－4a .综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋a ，2－4a a[B 级 能力突破]1．(2016·天津模拟)若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥4解析：∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，对称轴为x ＝2， ∴由已知得a <0，结合二次函数图像知，要使f (m )≥f (0)，需满足0≤m ≤4. 答案：A2．(2016·江西南昌三校联考)设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)．若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图像对称轴为x ＝12，图像开口向上，且f (0)＝f (1)＝a >0.所以当f (m )<0时，必有0<m <1，而－1<m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：A3．(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：法一：分类讨论，再结合函数图像的特点用排除法求解． 分a ＞1,0＜a ＜1两种情形讨论．当a ＞1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a递增较慢，所以选D.法二：利用基本初等函数的图像的性质进行排除．幂函数f (x )＝x a的图像不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图像知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图像知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．答案：D4．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：∵函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b 的对称轴为x ＝－a ＋22，又∵函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于x ＝1对称，∴－a ＋22＝1且a ＋b2＝1，∴a ＝－4，b ＝6，f (x )＝x 2－2x ＋6(x ∈[－4,6])，因此，该函数当x＝1时取最小值5.答案：55．(2016·太原模拟)当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是__________．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图像，如图所示． 可知当0＜x ＜1时，h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )6．(2014·高考大纲全国卷)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：利用导数将f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2为减函数转化为导数f ′(x )≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立， f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ＝－4sin x cos x ＋a cos x .∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴cos x ＞0.∵f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即－4sin x ＋a ≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，∴a ≤(4sinx )min .又y ＝4sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2的最小值接近2，故a ≤2.答案：(－∞，2]7．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞上为减函数．(2)∵f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3， ∴N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a.当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1a －2，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0，∴函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上为减函数，当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a2>0， ∴函数g (a )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数， ∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.故g (a )≥12.。
2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习第2章基本初等函数、导数及其应用第2讲知能训练轻松
1．(2016·宣城一模)函数f (x )＝|x －2|－1lg （x －1）的定义域是( ) A ．[3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，3 D ．(－∞，－3) 解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x >1，x ≠2，所以x ≥3，即定义域为[3，＋∞)．2．(2016·南昌诊断)函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的值域为( ) A ．[0，＋∞)B ．(0，1)C ．[0，1)D ．[0，1]解析：选C.要使函数有意义需满足1－⎝⎛⎭⎫12x ≥0，所以⎝⎛⎭⎫12x ≤1，所以x ≥0.由x ≥0可知0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1，故0≤1－⎝⎛⎭⎫12x <1，故y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的值域为[0，1)．3．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C.当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R .4．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，2]解析：选C.因为－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，所以0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.5．(2016·安徽省巢湖一中质检)规定a ⊗b ＝ab ＋2a ＋b ，a ，b >0，若1⊗k ＝4，则函数f (x )＝k ⊗x 的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫78，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解析：选A.由1⊗k ＝k ＋2＋k ＝4，解得k ＝1，所以f (x )＝k ⊗x ＝1⊗x ＝x ＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74.因为x >0，所以f (x )>2.故选A. 6．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 016]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是( ) A ．[－1，2 015] B ．[－1，1)∪(1，2 015]C ．[0，2 016]D ．[－1，1)∪(1，2 016]解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 016]可知f (t )中0≤t ≤2 016，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 015]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015，x －1≠0解得－1≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 015]．7．下表表示y解析：函数值只有四个数2，3，4，5，故值域为{2，3，4，5}．答案：{2，3，4，5}8．(2016·西安质检)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤13，1，则a ＋b ＝________． 解析：由题意知x －1＞0，又x ∈[a ，b ]，所以a ＞1.又f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 所以f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13， 所以a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6.答案：69．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f (x ＋2)的定义域为________，值域为________．解析：由已知可得x ＋2∈[0，1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图像向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图像，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]10．已知函数f (x )＝mx 2＋（m －3）x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是____________．解析：设g (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1，当m ＝0时，g (x )＝－3x ＋1，显然满足值域为[0，＋∞)， 所以m ＝0适合；当m ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（m －3）2－4m ≥0， 解得0<m ≤1或m ≥9.综上所述，0≤m ≤1或m ≥9.答案： [0，1]∪[9，＋∞)11．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b ＞1)，求a ，b 的值． 解：因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12， 所以其对称轴为x ＝1.即函数f (x )在[1，b ]上单调递增．所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .② 又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.所以a ，b 的值分别为32，3. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：由题意知ax ＋1≥0，a <0，所以x ≤－1a，因为函数在(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－1a ， 所以－1a≥1，又a <0， 所以－1≤a <0，即a 的取值范围是[－1，0)．1．已知A ，B 是非空数集，定义A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ⊕B ＝( )A ．[0，3)B ． (－∞，3)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．[0，3]解析：选B.分析得到A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，所以A ⊕B ＝(－∞，3)．2．若一次函数f (x )满足f (f (x ))＝x ＋1，则g (x )＝[f （x ）]2x(x >0)的值域为____________． 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝k 2x ＋(k ＋1)b ，①依题意f (f (x ))＝x ＋1，②比较①和②的系数可得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1，（k ＋1）b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝12，k ＝－1(舍去)， 所以f (x )＝x ＋12，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122x ＝x ＋14x ＋1≥2x ·14x＋1＝2. 当且仅当x ＝12时取等号，所以g (x )＝[f （x ）]2x(x >0)的值域为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32. (2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负，所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32. 所以a ＋3＞0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.4．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域．解：如图，因为AB ＋BC ＋CD ＝a ，所以BC ＝EF ＝a －2x >0，即0<x <a 2，因为∠ABC ＝120°，所以∠A ＝60°， 所以AE ＝DF ＝x 2，BE ＝32x ，y ＝12(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣⎡⎦⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2 ＝34(2a －3x )x ＝－34(3x 2－2ax ) ＝－334⎝⎛⎭⎫x －a 32＋312a 2， 故当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2，它的定义域为⎝⎛⎭⎫0，a 2，值域为⎝⎛⎦⎤0，312a 2.。
高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第6讲 指数与指数函数知能训练轻松闯关 理 北师大版
第6讲 指数与指数函数1．(2016·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x＋1ex 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选D.f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋1e x ，因为f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x＋1ex ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以函数f (x )的图像关于y 轴对称．2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选C.因为指数函数y ＝0.6x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6>0.61.5，即a >b ，又0<0.60.6<1，1.50.6>1，所以a <c ，故选C.3．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D.原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.4．(2016·北京丰台区一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图像如图所示，那么g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D.由题图知f (1)＝12，所以a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x.5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.6．(2016·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，1) B ．(－4，3) C ．(－1，2) D ．(－3，4)解析：选C.原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在 (－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立， 等价于m 2－m <2， 解得－1<m <2.7．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：因为a 2－2a －3＝0， 所以a ＝3或a ＝－1(舍去)．故函数f (x )＝a x在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n . 答案：m ＞n9．(2016·太原质检)已知函数f (x )＝x －1x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若存在x 1∈[1，3]，对任意的x 2∈[－1，1]，都有f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：对于f (x )＝x －1x 2＝1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，x ∈[1，3]，令1x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.G (t )＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，故G (t )有最大值14，即f (x )max ＝14.而g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[－1，1]上递减，所以g (x )max ＝g (－1)＝2－m .题目中“存在x 1∈[1，3]，对于任意的x 2∈[－1，1]都有f (x 1)≥g (x 2)”等价于f (x )max ≥g (x )max ，即14≥2－m ，故m ≥74.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 10．(2016·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 递减，所以f (x )递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x递增，所以f (x )递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x递增，所以f (x )递增．又由题意知f (x )递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)． 答案：(0，1)∪(2，＋∞)11．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R .因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，因为y ＝3x为增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，所以y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．12．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |， 解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.1．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a.化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3（2x －1）2x －1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.2．(2016·北京朝阳区一模)记x 2－x 1为区间[x 1，x 2]的长度．已知函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，其值域为[m ，n ]，则区间[m ，n ]的长度的最小值是________． 解析：由题可知，函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，由图像可知，m ＝1，当0≤a ≤2时，函数的最大值为f (－2)＝f (2)＝4，函数的值域为[1，4]．当a >2时，函数的值域为[1，f (a )]．因为f (a )>f (2)＝4，所以区间[m ，n ]的长度的最小值为4－1＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 4．设f (x )＝－2x＋a2x ＋1＋b(a >0，b >0)．(1)当a ＝b ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)设f (x )是奇函数，求a 与b 的值； (3)求(2)中函数f (x )的值域．解：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝－2x＋12x ＋1＋1，f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋11＋1＝14，所以f (－1)≠－f (1)，故f (x )不是奇函数． (2)当f (x )是奇函数时，有f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对任意实数x 成立．化简整理得(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x＋(2a －b )＝0， 这是关于x 的恒等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(3)由(2)得f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.因为2x >0，所以2x＋1>1，0<12x ＋1<1，从而－12<f (x )<12，所以函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.。
数学(理)一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲 二次函数与幂函数
第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2)性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和(0，0),且在(0,＋∞）上单调递增；③当α〈0时，幂函数的图象都过点(1，1），且在（0，＋∞）上单调递减．2．二次函数(1）二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．③零点式:f（x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c(a〉f（x)＝ax2＋bx＋0)c(a<0）图象定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上单调递减；在错误!上单调递增在错误!上单调递增；在错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．辨明两个易误点（1）对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数,就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想（1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等．1.错误!幂函数y＝f(x）经过点(2，错误!），则f(9）为( )A．81 B．错误!C。
错误!D．3D 设f（x）＝xα，由题意得错误!＝2α，所以α＝错误!。
高考数学一轮复习北师大版第2章基本初等函数导数及其应用第12讲导数与函数的单调性知能训练轻松闯关理
第12讲 导数与函数的单调性1．(2016·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选 D.函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝e x ＋(x －3)e x＝(x －2)·e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x>0，解得x >2.2．(2016·郑州一模)设函数f ′(x )＝x 2＋3x －4，则y ＝f (x ＋1)的递减区间为( ) A ．(－4，1) B ．(－5，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞解析：选B.由f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )<0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以函数f (x )的递减区间为(－4，1)，所以y ＝f (x ＋1)的递减区间为(－5，0)． 3．(2016·江西省质检)函数f (x )＝x e x －1＋x2的大致图像是( )解析：选B.f (x )是偶函数，排除A ，D ；x >0时，f ′(x )＝12·e 2x－2x e x－1（e x －1）2，记h (x )＝e 2x －2x ex－1，因为h ′(x )＝2e x (e x－x －1)>0，所以h (x )>h (0)＝0，所以f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是递增的，排除C ，所以选B.4．对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (x )≥f (a ) B ．f (x )≤f (a ) C ．f (x )>f (a ) D ．f (x )<f (a )解析：选A.由(x －a )f ′(x )≥0知，当x >a 时，f ′(x )≥0；当x <a 时，f ′(x )≤0.所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )． 5．(2016·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，5) C ．(0，5) D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：选B.依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <34B.12<a <34 C ．a ≥34D ．0<a <12解析：选C.f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0， 解得a ≥34.故选C.7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是________．解析：在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0，2π)上是递增的． 答案：增函数8．(2016·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2xln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2. 答案：(1，2)9．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a，x ≥a ，e －x ＋a ，x <a 知，当x ≥a 时，函数f (x )为增函数，而已知函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]10．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞)11．已知函数f (x )＝ln x ＋me x(m 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求m 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －m e x， 又f ′(1)＝1－me ＝0，故m ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的递增区间是(0，1)，递减区间是(1，＋∞)． 12．(2016·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝ln x －x1＋2x，所以f ′(x )＝1x －1＋2x －2x （1＋2x ）2＝4x 2＋3x ＋1x （1＋2x ）2.因为x >0，所以4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. 所以当x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上递增． (2)因为f (x )＝ln x －x1＋2x ，所以f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x （3x －2）>0，x （3x －2）<1，解得－13<x <0或23<x <1.所以实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.1．(2016·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x e x，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．解：函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x.(1)当a ＝0时，f (x )＝x ·e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x， 所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x2·e x (x >0)．设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1， 则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)． 令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)>0，得x >13.令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)<0，得0<x <13.所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数， 所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2227>0.所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2·e x>0恒成立．所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．2．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的递增区间；(2)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x>0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2，所以函数f (x )的递增区间是(－2，2)． (2)若函数f (x )在R 上是递减的， 则f ′(x )≤0对任意x ∈R 都成立．即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≤0对任意x ∈R 都成立．因为e x>0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对任意x ∈R 都成立．所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能在R 上是递减的． 若函数f (x )在R 上是递增的，则f ′(x )≥0对任意x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对任意x ∈R 都成立．因为e x>0，所以x 2－(a －2)x －a ≤0对任意x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f (x )不可能在R 上是递增的． 综上可知函数f (x )不是R 上的单调函数． 3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)内总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a （1－x ）x(x >0)， 当a >0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数． (2)由(1)得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2.所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，所以g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)内总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t ，3)内有变号零点．由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373，所以－373<m <－9.。
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理北师大版1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，所以h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，所以h(x)是偶函数，D错．2．(2016·山西省第三次四校联考)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sinx，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝( )B．1A．－＋2C．3D.＋2解析：选D.因为f＝f＝2sin ＝，f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2，故选D. 3．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )A．3B．2D．0C．1 解析：选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 016)＋f(2 017)＝f(672×3＋0)＋f(672×3＋1)＝f(0)＋f(1)，而由图像可知f(1)＝1，f(0)＝0，所以f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1. 4．(2016·江西省高考适应性测试)已知函数f(x)＝x－2，g(x)＝x3＋tan x，那么( )B．f(x)·g(x)是偶函数A．f(x)·g(x)是奇函数D．f(x)＋g(x)是偶函数C．f(x)＋g(x)是奇函数解析：选 A.由已知易得f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，故f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)，故f(x)·g(x)是奇函数，A正确，B错误；f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．(2016·郑州调研)已知函数f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则( )B．f(0)＞f(－1)A．f(－1)＜f(－3)D．f(－3)＞f(－5)C．f(－1)＜f(1)解析：选A.函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间[－5，5]上是减函数．选项A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)．选项B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)．同理，选项C中f(－1)＞f(1)，选项D中f(－3)＜f(－5)．6．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为 ( )B．(－1，1)A．(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)C．(－1，0)∪(1，3)解析：选C.f(x)的图像如图．当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．故x∈ (－1，0)∪(1，3)．7．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．解析：因为f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，所以当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x＜0时，f (x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－1 8．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________．解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)．答案：1 －1 9．若偶函数y＝f(x)为R上周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：因为y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，所以f(x)＝x2＋(1－a)x－a，1－a＝0.所以a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－1 10．(2016·河北省衡水中学一调考试)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．解析：f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)是R 上的奇函数．所以若g(x)的最大值是W ，则g(x)的最小值是－W.所以函数f(x)的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.答案：211．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f(x ＋2)＝－f(x)，得 f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得f((x －1)＋2)＝－f(x －1)＝f(－(x －1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S△OAB＝4×＝4.12．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x ＜0时，f(x)＝x2＋2x ＝x2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a －2]上递增．结合f(x)的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．1．(2016·河南省适应性模拟练习)定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f(x)＝2x ＋，则f(log220)＝( )A ．1B ．－1 C.D ．－45解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x －2)＝f(x ＋2)，所以f(x)的周期为4，由4<log220<5得f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2log245＋15＝－＝－1，故选B. 2．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________． 解析：因为f(x)为奇函数并且f(x －4)＝－f(x)． 所以f(x －4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)， 即y ＝f(x)的图像关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数． 因为f(x)在[0，2]上是增函数， 所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y ＝f(x)的图像．其图像也关于x ＝－6对称， 所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8 3．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x ≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D ，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值． (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论． (3)如果f(4)＝1，f(x －1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x －1)＜2，等价于f(|x －1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 所以0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x≠1.所以x 的取值范围是{x|－15＜x ＜17且x≠1}．4．(2016·菏泽模拟)已知函数y ＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立． 若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1， 因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)， 所以f(x1)＋f(x2)＞0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1， 同理可证f(x1)＋f(x2)＜0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a －1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a2≤1，－1≤a－1≤1，1－a2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a2≤2，0≤a≤2，a2＋a －2＜0，解得0≤a＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。
高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应
第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.13 导数的应用与定积分课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e xd x＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.答案：B2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ， 0≤x ≤390，90 090， x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 答案：D3．(2016·黄冈模拟)曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2－ln 2B ．4－2ln 2C ．4－ln 2D ．2ln 2解析：y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xy ＝x －1得在第一象限的交点为(2,1)，故所求面积为⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －2ln x 42＝4－2ln 2. 答案：B4．(2015·高考湖南卷)⎠⎛02(x －1)d x ＝__________.解析：2(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.答案：05．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝x －1x >0.x >0，得x >1，⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：126．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为____________米时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，一边长为(x ＋0.5)米，另一边长为14.8－(4x ＋4x ＋2)＝3.2－2x (米) 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解15x 2－11x －4＝0，得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：17．(2016·宁夏银川质检)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝x －ax(x >0)， 且f (x )在x ＝2处的切线方程y ＝x ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以a ≤1.8．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)记一星期多卖商品kx 2件，若记商品在一个星期的获利为f (x )， 则f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 又由条件可知24＝k ·22，解得k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12).故，所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．[B 级 能力突破]1．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：直接求解定积分，再利用方程思想求解． ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f xx 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解析：∵f (0)＝－1＋a ＜0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )＜0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×－1－1]＋a ＋a ≥0，e 2×1－1－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a ＜1，∴32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D. 答案：D3．(2016·郑州质检)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：因为0<x <π2，f (x )<f ′(x )tan x ，所以f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫f x sin x ′＝f ′x sin x －f x cos x sin 2x >0，所以y ＝f x sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π332，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选D. 答案：D4．(2016·北京市东城区高三检测)图中阴影部分的面积等于________．解析：所求面积为⎠⎛013x 2d x ＝x 310＝1.答案：15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销售Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 00(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元． 答案：30 23 0006．(2016·大庆质检)已知函数f (x )＝a (x 2－1)－x ln x . (1)若F (x )＝f ′(x )，当a ＝12时，求F (x )的单调区间；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12(x 2－1)－x ln x ，∵F (x )＝f ′(x )＝x －ln x －1.∴F ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令F ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，函数F (x )是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，函数F (x )是增函数．∴F (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝2ax －ln x －1，由(1)知F (x )min ＝F (1)＝0， ①若a >12，则f ′(x )＝(2a －1)x ＋(x －ln x －1)>0，f (x )是增函数；若a ＝12，则f ′(x )＝x －ln x －1≥0.∴当a ≥12时，f (x )≥f (1)＝0，不等式恒成立．②若0<a <12，设h (x )＝2ax －ln x －1，则h ′(x )＝2a －1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，h ′(x )<0，函数h (x )是减函数，则f ′(x )＝h (x )<h (1)＝2a －1<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上是减函数，这时f (x )<f (1)＝0，不等式不成立．③若a ≤0，则当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 此时f (x )<f (1)＝0，不等式不成立．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
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1．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )
A ．S ＝∫10(x 2－x)dx
B ．S ＝∫10(x －x 2)dx
C ．S ＝∫10(y 2
－y)dy D ．S ＝∫10(y －y)dy
解析：选B .两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在[0，
1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝∫10
(x －x 2)d x. 2．(2016·开封诊断考试)若⎠⎛0
1(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )
A ．－1
3
B ．－2
3
C ．－1
D ．－2
解析：选B.由题意知，⎠⎛0
1(x 2＋mx)d x ＝
⎝⎛⎭⎫x 33＋mx 22⎪⎪⎪1
＝13＋m 2＝0，得m ＝－23
. 3．(2016·太原八校联考)已知(x ln x)′＝ln x ＋1，则⎠⎛1
e ln x d x ＝( )
A ．1
B ．e
C ．e －1
D ．e ＋1
解析：选A .由(x ln x)′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x)′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1
e ln x d x ＝(x ln
x －x)⎪⎪⎪e
1
＝(eln e －e )－(1×ln 1－1)＝1. 4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32
g D ．2g
解析：选C .由题意知电视塔高为∫21gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝3
2
g. 5．(2016·金华十校联考)设f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，
则⎠⎛0
2f(x)d x 等于( )
A.3
4 B.4
5 C.5
6 D ．不存在
解析：选C .
如图，⎠⎛0
2f(x)d x
＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1
2(2－x)d x
＝13x 3⎪⎪⎪1
0＋⎝⎛
⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21
＝1
3＋⎝
⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t<1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )
A.14
B.12 C ．1
D ．2
解析：选A .设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)d x ＋∫1t (x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，由S′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1
2为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min
＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14.
7．(2016·江西省八校联考)计算⎠⎛－3
3(x 3cos x)d x ＝________．
解析：令f(x)＝x 3cos x ，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知∫3－3(x 3cos x)d x ＝0. ★答案☆：0
8．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1
m ⎝⎛
⎭
⎫1－4
x 2d x 的最小值为________． 解析：f(m)＝⎠⎛1
m ⎝⎛⎭
⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m
1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立． ★答案☆：－1
9．(2016·南昌调研测试卷)直线y ＝1
3x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，
解得x ＝0或2
3
，所以所求面积为
∫2
3
0⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫2
30⎝⎛⎭⎫2
3x －x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪⎪2
30
＝13
×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481.
★答案☆：4
81
10.⎠⎛－1
1(1－x 2＋x)d x ＝________．
解析：⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝⎠⎛－1
1
1－x 2d x ＋⎠⎛－1
1x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－1
1
1－x 2
d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－1
1
1－x 2
d x ＝π
2，⎠⎛－1
1
x d x ＝12x 2⎪⎪⎪
1
－1＝0，所以⎠
⎛－1
1(1－x 2
＋x)d x ＝π
2.
★答案☆：π
2
11．求下列定积分：
(1)⎠⎛1
2⎝
⎛⎭⎫x －x 2＋1
x d x ； (2)⎠⎛－π
0(cos x ＋e x )d x.
解：(1)⎠⎛1
2⎝
⎛⎭⎫x －x 2＋1
x d x ＝⎠⎛1
2x d x －⎠⎛1
2x 2d x ＋⎠⎛1
21
x
d x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x|21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋
e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π
0e x d x
＝sin x|0－π＋e x |0－π＝1－1e
π.
12．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积． 解：作出曲线
y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，
y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，
y ＝3x ，
得交点(3，9)，(0，0)，
因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01(3x －x)d x ＋⎠⎛1
3(3x －x 2)d x
＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛1
3(3x －x 2)d x
＝x 2
⎪⎪⎪ 10＋⎝⎛⎭⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪3
1
＝ 1＋⎝⎛⎭⎫32×32－13×33－⎝⎛⎭⎫32×12－13×13＝133.。