2.3.2双曲线的几何性质

学习重点
双曲线的几何性质及初步运用；
学习难点
双曲线的渐近线方程的导出和论证.
学生活动
学法指导
自主预习
（一）复习：1．双曲线的定义？ 两种标准方程是什么？ 基本量 a,b,c 之间的关系是什么？
2．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ （二）类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质：
1．类比椭圆联想导出性质性质：以 x 2 y 2 1(a 0, b 0) 为例：
4．中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐 近线方程为____________．
5．焦点为(0，6)且与双曲线x22－y2＝1 有相同渐近线的双曲线方程是____．
5
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
6．(1)求双曲线x42－y32＝－1 的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)已知双曲线x92－1y62 ＝1 与双曲线－x92＋1y62 ＝1，它们的离心率 e1，e2
12．过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 作双曲线斜率大于零的渐 近线的垂线 l，垂足为 P，设 l 与双曲线的左、右两支相交于点 A、B. (1)求证：点 P 在直线 x＝ac2上； (2)求双曲线的离心率 e 的范围．
13．(创新拓展)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆 x2＋y2＝10 相交 于点 P(3，－1)，若此圆过点 P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此 双曲线的方程．
教学反思 7
离心பைடு நூலகம்及渐近线方程。
2
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
变式： x 2 2 y 2 4 0 的实轴长
虚轴长
焦点坐标
顶点坐标
离心率
渐近线方程
小结： _________________________________________________________
【例 2】已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 y 轴上，焦距为 16，离 心率为 4 ，求双曲线的标准方程。 3
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
学习目标
2.3.2 双曲线的几何性质
1.使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导范围、顶点、
对称性、离心率、渐近线，并能具体估计双曲线的形状特征．
2.在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生分析、归纳、推理等能力。
3.使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程 的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．
10．已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)、
F2(c，0)．若双曲线上存在点
P
使sin sin
∠∠PPFF21FF12＝ac，则该双曲线的离心
率的取值范围是________．
6
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
11．双曲线过点 P(3，－ 2)，离心率 e＝ 25，求其标准方程．
思考：①如何用 a,b 来表示离心率？
②离心率怎样刻画双曲线的开口程度？ （6）渐近线：
1
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
思考：根据 x 2 y 2 1(a 0, b 0) ，你能发现双曲线的范围还受到 a2 b2
怎样的限制？
2.通过类比，你能推出 y 2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0) 几何性质吗？
课堂检测
1、双曲线 x 2 y 2 1 的实轴长为
；虚轴长为
；焦
97
点坐标是 线方程为
；顶点坐标是 .
；离心率是
；渐近
2、若双曲线上经过点 3,6 ，且它的两条渐近线方程是 y 3x ，则
双曲线的方程是
.
3、已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为 2，焦点到渐近
线的距离为 2 ，求双曲线的方程.
课后作业
双基达标 限时 15 分钟
1．若双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线垂直，则双曲线的离心率 e 为_____．
2．双曲线与椭圆1x62 ＋6y42 ＝1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y＝ －x，则双曲线方程为__________．
3．双曲线的两渐近线的夹角为 60°，则双曲线的离心率为__________．
【例 3】分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 双曲线的渐近线方程是 y x ，两顶点间距离 2.
（2） 与双曲线 x 2 y 2 1 有共同渐近线，并且经过点 3,4 93
（3） 离心率是 2，且经过（2，-3）点
课堂小结
本节课主要内容： 本节课主要思想方法：
3
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
3.小结：
标准方程
x2 y2
y2 x2
1(a 0, b 0) 1(a 0, b 0)
a2 b2
a2 b2
图形
焦点 焦距 范围 对称性 性 顶点
质 轴
离心率 渐近线 4.等轴双曲线：
知识应用
实轴长
，虚轴长
。
a : ______ b : ______ c : ______
【例 1】求双曲线 x2 y2 1 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、 43
4、已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为 F (0,2 2 ) ，求双曲
线的方程.
5 填表
标
准
x 2 8 y 2 32
方
9x 2 y 2 81 x2 y 2 4
y2 x2 1 49 25
程
实
轴
长
虚
轴
长
焦
点
坐
标
顶
点
4
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
坐 标
离 心 率 渐 近 线 方 程
a2 b2 （1）范围：_______________________________________ （2）顶点：_______________________________________ （3）轴：_________________________________________ （4）对称性：_____________________________________ （5）离心率：_____________________________________
是否满足等式 e1－2＋e2－2＝1?
综合提高 限时 30 分钟
7．双曲线x42－1y22 ＝1 的焦点到渐近线的距离为________．
8．双曲线的焦点在 y 轴上，且它的一个焦点在直线 5x－2y＋20＝0 上， 两焦点关于原点对称，离心率 e＝53，则此双曲线的方程是__________．
9．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是双 曲线上一点，且 PF1⊥PF2，PF1·PF2＝4ab，则双曲线的离心率是____．