14 函 数2(2)
第14讲 函数的应用 2(sl)
1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时， 水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
2．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小 军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手 时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离 地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离 地高度相同，则t= ．
100
需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价 格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数， 1 2 10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x 元的附加费，设 100 月利润为w外（元）． （1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元； （2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最 大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
第三章 函数及其图象
3.6 二次函数的应用
（1）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析. （2）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出 函数值. （3）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关 系. （4）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数
3．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线 APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水 珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能 使喷出的水流不落在水池外．
4.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天 （1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品 的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售 量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）． 时间x（天） 每天销售量p （件） 1 198 30 140 60 80 90 20
14.基本初等函数(2)
14．基本初等函数（2）一、填空题（共10题，每题5分）．1．若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.2．函数y x =3与y x =--3的图象关于________对称.3 函数11()2xy =-的定义域是______；值域是______ 4 若a x f x x lg 22)(-+=是奇函数，则实数a =_________5．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,则实数p 的取值范围为 .6．若函数()11x m f x a =+-是奇函数，则m 为__________7．函数)5,0[,)31(42∈=-x y x x 的值域是________8. 函数y=222x x -+的单调减区间为_________9. 设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），若方程有实数解，实数b 的取值范围为____. 10. 函数26171()2x x y -+= 的定义域为_________值域为_________单调减区间为_________答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共10小题，每小题5分）1、 2、 3、 4、 5、 6 、 7、 8、 9 、10、二、解答题(共2题，每题15分，共30分,要求写出主要的证明、解答过程)11.解不等式：(1)293x x -> ; (2)34260x x⨯-⨯>.12.设a 是实数， 2()()21x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数;（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数.14.基本初等函数（2）1.(0,1) 2．原点 3［0，+∞）；[0，1) 4110 5．（-1，1） 6．2 7．（1243，81] 8.（1，2） 9.b ≥-1 10.R, 1(0,]256．(3,+ ∞) 11.(1)∵293x x -> ∴2233x x -> 又∵3xy =在定义域上是增函数 ∴原不等式等价于22x x >- 解之得2x >- ∴原不等式的解集为{|2}x x >- (2)34260x x ⨯-⨯>可以整理为3426x x⨯>⨯ ∵40,60x x>>， ∴4263x x >即122()()33x >，∵2()3x y =在定义域上是减函数， ∴1x < 故原不等式的解集为{|1}x x <．12.（1）∵222()2112xx xf x a a -⋅-=-=-++， 由()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-= 即2(12)2012x x a +-=+，∴1a =. （2）证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++ 21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222x x <即12220x x-<， 又由20x >，得1210x +>，2210x +>，所以，12()()0f x f x -<即12()()f x f x <． 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，()f x 在R 为增函数.。
新教材高中数学第3章函数31函数的概念与性质311第2课时函数的表示方法课件新人教B版必修第一册
因为 x＋1≥1， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
31
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
()
15
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2 2 2<x≤4
f(x)
1
2
3
A．1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
16
3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函
数的解析式可以为( )
A．y＝－14x2＋1
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得
f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
ff（ （x－）x－ ）－2f（2f（－xx） ）＝ ＝11＋ －22xx， ，消去f(－x)可得f(x)＝23x－1.]
38
分段函数的求值问题
x2－1，x≤1， 【例3】 已知f(x)＝ －x＋1，x＞1， 则f(f(－1))＝________；若 f(x)＝－1，则x＝________．
33
③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△ CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2
＝－12(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为
12x2，x∈[0，2]， y＝2x－2，x∈（2，5]，
－12（x－7）2＋10，x∈（5，7].
3.1.1 第2课时 函数的概念(二)
的定义
x−1
域为{x∈R|x≠1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是同一函数，故D错误．
返回导航
1
1
2
4 ． 已 知 f(x) ＝
(x≠ － 1) ， g(x) ＝ x ＋ 2 ， 若
1+x
f g x
＝4，则x＝
________．
(2)因为36＝22×32，则f(36)＝f(22×32)＝f(22)＋f(32)，
再次利用f(ab)＝f(a)＋f(b)求解即可．
返回导航
03.课后检测案 （19）
返回导航
基础强化
1.(5分)不等式(x＋2)(x－3)>0的解集用区间表示为(
A．(－∞，－2)
B．(3，＋∞)
C．(－2，3)
D．(－∞，－2)∪ 3， + ∞
值域也相同，都是[0，4]，但它们不是同一个函数．
返回导航
【即时练习】 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数(
A．y＝
2
3
B．y＝ 3
C．y＝ 2
)
2
D．y＝
答案：B
解析：对于A，函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同；对于B，函
数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数；对于C，函
故C错误；对于D，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，
－1]∪ 1， + ∞ ，定义域不相同，故D错误．
返回导航
学习目标三
例3
求函数的值
1
已知f(x)＝ (x∈R，x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》(2021年整理)
江苏省昆山市2017年中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省昆山市2017年中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省昆山市2017年中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》的全部内容。
2017年中考数学专题练习14《二次函数图像与性质》【知识归纳】1．一般地，形如 的函数叫做二次函数，当a ，b 时,是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）. 3．抛物线的开口方向由a 确定,当a ＞0时，开口 ;当a ＜0时，开口 ；a 的值越 ，开口越 ．4．抛物线与y 轴的交点坐标为 ．当c ＞0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＝0时,抛物线过 ． 5．若a ＞0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为 ； 若a ＜0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为 ．6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而 ． 7．当m ＞0时,二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m ）2的图象；当k ＞0时,二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“ ”右 “ ”；上“ ”下“ ”． 【基础检测】1．（2016•兰州)二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，下列正确的是（ )A ．y=（x ﹣1)2+2 B ．y=（x ﹣1)2+3 C ．y=（x ﹣2）2+2 D ．y=(x ﹣2)2+4 2.当x 为实数时,代数式x 2﹣2x ﹣3的最小值是 ．3．（2016•永州)抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ）A ．m ＜2B ．m ＞2C ．0＜m≤2 D．m ＜﹣24。
专题14 二次函数的分类讨论问题(解析版)
专题14 二次函数的分类讨论问题1、已知抛物线y ＝﹣16x 2﹣23x +2与x 轴交于点A ，B 两点，交y 轴于C 点，抛物线的对称轴与x 轴交于H 点，分别以OC 、OA 为边作矩形AECO ． （1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M ，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM ﹣OM |的最大值．（3）如图3，将△AOC 沿直线AC 翻折得△ACD ，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△A 'C ′D '．使得点A ′、C '在直线AC 上，是否存在这样的点D ′，使得△A ′ED ′为直角三角形？若存在，请求出点D ′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y ＝13x +2；(2) 点M 坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP 的面积最大，此时|PM ﹣OM |有最大值√616； (3)存在，D ′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．【解析】（1）令x ＝0，则y ＝2，令y ＝0，则x ＝2或﹣6，△A （﹣6，0）、B （2，0）、C （0，2），函数对称轴为：x ＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C 点坐标为（0，2），则过点C 的直线表达式为：y ＝kx +2，将点A 坐标代入上式，解得：k =13，则：直线AC 的表达式为：y =13x +2； （2）如图，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点H ．四边形AOCP 面积＝△AOC 的面积+△ACP 的面积，四边形AOCP 面积最大时，只需要△ACP 的面积最大即可，设点P 坐标为（m ，−16m 2−23m +2），则点G 坐标为（m ，13m +2），S △ACP =12PG •OA =12•（−16m 2−23m +2−13m ﹣2）•6=−12m 2﹣3m ，当m ＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y =−56x ，当x ＝﹣2时，y =53，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：|√(−3+2)2+(52−53)2−√22+(53)2|=√616． （3）存在．△AE ＝CD ，△AEC ＝△ADC ＝90°，△EMA ＝△DMC ，△△EAM △△DCM （AAS ），△EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt△DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a =83，则：MC =103，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt△DMC 中，12DH •MC =12MD •DC ，即：DH ×103=83×2，则：DH =85，HC =√DC 2−DH 2=65，即：点D 的坐标为（−65，185）；设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣6√10√10），点D ′坐标为（−65+√10185+√10），而点E 坐标为（﹣6，2），则A′D′2=(−6+65)2+(185)2=36，A′E 2=(√10)2+(√102)2=m 2√104，ED′2=(245+√10)2+(85+√10)2=m 2√101285．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：△当A′D′2+A′E 2=ED′2时，36+m 2−√104=m 2+√101285，解得：m =2√105，此时D ′（−65+√10185+√10）为（0，4）；△当A′D′2+ED′2=A′E 2时，36+m 2+10+1285=m 210+4，解得：m =−8√105，此时D ′（−6510185+10）为（－6，2）；△当A′E 2+ED′2=A′D′2时，m 2√10+4+m 2√101285=36，解得：m =−8√105或m =√105，此时D ′（−65√10185√10）为（－6，2）或（−35，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．2、已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ，交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin ABP ∠=．(1)求抛物线1l 的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分，求直线AC 的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点，当点M 的横坐标为何值时，BDM ∆为直角三角形？【答案】（1）21128y x =-；（2）直线AC 的解析式为114y x =+；（3）点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆．【解析】（1）当0x =时，2122y ax =-=- △顶点()0,2P -，2OP = △90BOP ∠=︒，△sin OP ABP BP ∠==△BP ==△4OB ===△()4,0B ，代入抛物线1l 得：1620a -=，解得18a =，△抛物线1l 的函数解析式为21128y x =- （2）△知抛物线1l 交x 轴于A 、B 两点 △A 、B 关于y 轴对称，即()4,0-A △8AB =设直线AC 解析式：y kx b =+点A 代入得：40k b -+= △4b k =△直线AC ：4y kx k =+，()0,4D k △14|4|8||2AOD BOD S S k k ∆∆==⨯⨯= △21248x kx k -=+，整理得：2832160x kx k ---= △128x x k += △14x =-△284C x x k ==+，()284488C y k k k k k =++=+△2(84,88)C k k k ++ △21||32||2ABC C S AB y k k ∆=⋅=+ △若0k >，则:=1:4AOD OBCD S S ∆四边形 △15AOD ABC S S ∆∆= △()218325k k k =⨯+ 解得：10k =（舍去），214k = △直线AC 的解析式为114y x =+ △若k 0<，则8AOD BOD S S k ∆∆==-，()232ABC S k k ∆=-+△()218|32|5k k k -=⨯-+解得：10k =（舍去），214k =（舍去）综上所述，直线AC 的解析式为114y x =+. （3）由（2）得：()0,1D ，()4,0B△抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180︒得到抛物线2l △抛物线2l 解析式为：22128y x =-- 设点M 坐标为21(,2)8m m --△若90BDM ∠=︒，如图1，则0m < 过M 作MN y ⊥轴于点N△90MND BOD BDM ∠=∠=∠=︒，MN m =-，22111(2)388DN m m =---=+ △90MDN BDO MDN DMN ∠+∠=∠+∠=︒ △BDO DMN ∠=∠ △BDO DMN ∆∆△BO ODDN MN=，即BO MN DN OD ⋅=⋅ △21438m m -=+解得：116m =-+，216m =--△若90DBM ∠=︒，如图2，过点M 作MQ x ⊥轴于点Q△90BQM DBM BDM ∠=∠=∠=︒，4BQ m =-，2211(2)288MQ m m =---=+ △90BMQ MBQ MBQ DBO ∠+∠=∠+∠=︒△BMQ DBO ∠=∠ △BMQ DBO ∆∆△BQ MQDO BO=，即BQ BO MQ OD ⋅=⋅△()214428m m -=+解得：116m =-+216m =--△若90BMD ∠=︒，则点M 在以BD 为直径的圆除点B 、D 外的圆周上 显然以AB 为真径的圆与抛物线2l 无交点，故此情况不存在满足的m综上所述，点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆. 3、已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在点P 使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由． （4）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．【答案】△y =12x 2−32x +1;(2)92;(3)t =1或3;(4)a =23√5或65√5【解析】（1）将B （0，1），D （1，0）的坐标代入y=12x 2+bx+c ， 得：{c ＝1b +c +12＝0，解得：{b ＝−32c ＝1故解析式y=12x 2−32x +1；（2）设C （x 0，y 0）， 则有 {y 0＝12x 0+1y 0＝12x 02−32x 0+1 ， 解得{x 0＝4y 0＝3， △C （4，3），由图可知：S=S △ACE -S △ABD ，又由对称轴为x=32可知E （2，0），△S=12AE•y 0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92； （3）设符合条件的点P 存在，令P （t ，0）： 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF△x 轴于F ；△Rt△BOP△Rt△PCF ， △BOPF＝OP CF ，即 14−t ＝t3， 整理得t 2-4t+3=0， 解得a=1或a=3； 故可得t=1或3．（4）存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似， △当△APQ△△ABD 时，AP AB＝AQAD ， 解得：a=6√55；△当△APQ△△ADB 时，AP AD＝AQ AB ， 解得：a=2√53，△存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似，a=6√55或2√53．4、已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【思路引导】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【解析】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【方法总结】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．5、如图，动直线 y ＝kx+2（k ＞0）与 y 轴交于点 F ，与抛物线 y ＝14x 2+1 相交于A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，连接 CF ，DF ，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．【答案】△CFD 是直角三角形．见解析。
(名师整理)最新人教版数学九年级上册第22章第1节《二次函数》精品课件
目前，我们已经学习了那几种类型 的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系Biblioteka 一次函 数反比例 函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函
数y=kx (k≠0) y=k/x (k≠0)
二次函 数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注 意过水流所经过的路线？它会与某种
二次函数
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
基础回顾 什么叫函 数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变 量x在某个范围内取一个确定的值，另一个 变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
次（函２数）？当m2－7=-1且m+3≠0即6 m=±
时是反比例函数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时 是二次函数。
1.一个圆柱的高等于底面半 径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间S的=2关π系r2式+2.πr2 即S=4πr2
2. n支球队参加比赛,每两队 之间进行一场比赛,写出比赛 的的场关次系数 式.m即与球队数 n 之间
注意（：1）等号左边是变量y，右边是关于 自变量整式x的。
（2）a,b,c为常数a，≠且0.
（3 ）等式的右边最高次2 数为 ，可
以没有一次 项和常数项，但不能没 有（二4）次x的项取。值范围是任意实数。
（5）函数的右边是一个 整 式。
二次函数的一 般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常
＝192（m2）
问题2:
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
2023年华东师大版备考 中考数学二轮复习 专题14 二次函数
华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题14 二次函数一、综合题1．（2022九上·青田期中）如图，抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是抛物线上的一个动点.（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在第一象限时，求四边形BOCP 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BDP 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2022九上·莲都期中）已知，点M 为二次函数y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1图象的顶点，直线y ＝mx+5分别交x 轴正半轴，y 轴于点A ，B.（1）判断顶点M 是否在直线y ＝4x+1上，并说明理由.（2）如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx+5＞﹣（y ﹣b ）2+4b+1，根据图象，写出x 的取值范围.（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C （14，y 1），D （34，y 2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小.3．（2022九上·定海期中）设抛物线y=(x−m)(x−n)（m、n是实数）.（1）若m=2，n=1，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；（2）当m=−3，n=1时，已知抛物线y=(x+3)(x−1)与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移a（a>0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；（3）当0<m<n<1时，已知二次函数的图象经过(0，p)，(1，q)两点（p，q是实数），求证：0<pq<1 16 .4．（2022九上·南湖期中）如图，二次函数y1=−x2+bx+c的图象与一次函数y2的图象交于点A(a，1)，B(3，4).（1）若y2的解析式为y2=32x−12，求点A的坐标和y1的函数表达式；（2）在（1）的条件下若点P(m，0)是x轴上一点，过点P做直线l垂直x轴于点P，直线l与函数y1，y2交于点M，N，当线段MN=1时，求m的值；（3）若点C(n，1)(n>a)是二次函数y1上的点，且AC=5，请直接写出二次函数y1的对称轴. 5．（2022九上·嘉兴期中）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t 秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB.（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度.6．（2022九上·津南期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．7．（2022九上·浦江期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B （0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN△y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022九上·舟山月考）如图，抛物线y=−x2+mx+n交x轴于点A(−2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM=2S△BOC，求点M的坐标．9．（2022九上·新昌期中）已知菱形OABC的边长为5，且点A(3，4)，点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线y=ax2+bx+c与边AB交于点D，（1）求点E 的坐标；（2）连接DE ，将△BDE 沿着DE 翻折.①当点B 的对应点B ′恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；②连接OB ，BB ′，若△BB ′D 与△BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数a = . 10．（2022九上·舟山期中）已知抛物线y =ax 2−3ax −4a 与x 轴交于A 、B 两点（A 左B 右），交y 轴负半轴点C ，P 是第四象限抛物线上一点．（1）若S △ABC =5，求a 的值；（2）若a =1，过点P 作直线垂直于x 轴，交BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）直线AP 交y 轴于点M ，直线BP 交y 轴于点N ，求4OM+ON OC的值． 11．（2022九上·龙港期中）如图，抛物线y ＝−x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，点D 在射线CO 上运动.（1）求该抛物线的表达式和对称轴.（2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标.（3）记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长.12．（2022·攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1，m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0，1).（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：对于y=−x2+2x+3①，令x=0，则y=3，令y=−x2+2x+3=0，解得x=−1或3，故点A、B、C的坐标分别为(−1，0)、(3，0)、(0，3)，∵点D与点C关于x轴对称，故点D(0，−3)，设直线BD的表达式为y=kx+b，则{b=−30=3k+b，解得{k=1b=−3，故直线BD的表达式为y=x−3（2）解：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y=−x+3，设点P(x，−x2+2x+3)，则点H(x，−x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB=12×OB⋅OC+12×PH×OB=12×3×3+12×3×(−x 2+2x+3+x−3)=−32x2+92x+92，∵−32<0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x=32时，四边形BOCP面积最大值为458，此时点P(32，154)；（3）解：存在，理由：①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为(0，3)；②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，故设直线PD的表达式为y=−x+t，将点D的坐标代入上式得，−3=0+t，解得t=−3，故直线PD的表达式为y=−x−3②，联立①②并解得：x=3±√332，故点P的坐标为(3+√332，−9+√332)或(3−√332，−9−√332)，综上，点P的坐标为(3+√332，−9+√332)或(3−√332，−9−√332)或(0，3).【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）利用y=−x2+2x+3求出B、C的坐标，由点D与点C关于x轴对称可求出D 坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可；（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，先求出直线BC解析式为y=−x+3，设点P(x，−x2+2x+3)，则点H(x，−x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB，据此求出关于x关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况：①当∠PBD为直角时，②当∠PDB为直角时，据此分别求解即可.2．【答案】（1）解：点M在直线y＝4x+1上，理由：∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）解：如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A （5，0），由图象，得当mx+5＞﹣（x ﹣b ）2+4b+1时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞5；（3）解：把A （5，0）代入y ＝mx+5得，0＝5m+5，解得m ＝﹣1，∴y ＝﹣x+5，∵M （b ，4b+1）在△AOB 内部，∴{0<b <50<4b +1<−b +5， 解得0＜b ＜45， 当点C ，D 关于对称轴对称时，b ＝14+342＝12， ∴0＜b ＜12时，y 1＞y 2， b ＝12时，y 1＝y 2， 12＜b ＜45，y 1＜y 2. 【知识点】一次函数的图象；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【分析】（1）先求出顶点M 的坐标，再代入y ＝4x+1中检验即可；（2）由y ＝mx+5求出B （0，5） ，再将其代入y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1 中求出b 值，即得y ＝﹣（x ﹣2）2+9， 从而求出A （5，0），由图象可知当x ＜0或x ＞5时，直线y ＝mx+5的图象在y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1 图象的上方，据此即得结论；（3）由（2）可得y ＝﹣x+5， 由M （b ，4b+1）在△AOB 内部， 可求出0＜b ＜45， 当点C ，D 关于对称轴对称时可求出b ＝12， 从而得出当0＜b ＜12时，y 1＞y 2，当b ＝12时，y 1＝y 2，当12＜b ＜45，y 1＜y 2.3．【答案】（1）解：将m =2，n =1代入y =(x −m)(x −n)，得y =(x −2)(x −1)=x 2−3x +2=(x −32)2−14， 则该二次函数的对称轴是x =32，且当x =32时，有最小值为−14； （2）解：分为两种情况：①如图，当C 在B 的左侧时，B ，C 是线段AD 的三等分点，∴AC =BC =BD ，∵抛物线向右平移a 个单位，∴AC =BD =a ，当y =0时，(x +3)(x −1)=0， 解得x 1=−3，x 2=1，∵点A 在点B 的左侧，∴A(−3，0)，B(1，0)，∴AB =1−(−3)=4，∴AC =BC =2，∴a =2；②同理，当C 在B 的右侧时， ∵AB =1−(−3)=4，∴AB =BC =CD =4，∴a =AB +BC =4+4=8；（3）解：∵y =(x −m)(x −n)图象经过(0，p)，(1，q)两点， ∴p =mn ，q =(1−m)(1−n)， ∴pq =mn(1−m)(1−n)，=(m −m 2)(n −n 2)，=[−(m −12)2+14][−(n −12)2+14]，∵0<m <n <1，结合y =−(x −12)2+14的函数图象， ∴0<−(m −12)2+14≤14，∴0<−(n−12)2+14≤14，∵m<n，∴m、n不能同时等于14，∴0<pq<116.【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将m=2与n=1代入y=（x-m）（x-n）可得该函数的解析式，进而将解析式配成顶点式，即可得出答案；（2）分为两种情况：①如图，当C在B的左侧时，B，C是线段AD的三等分点，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值可得点A、B的坐标，可得AB的长，据此即可求出答案；②当C在B的右侧时，同理可得AB的长，进而即可根据a=AB+BC算出答案；（3）根据函数图象上的点的坐标特征可得p=mn，q=（1-m）（1-n），进而可表示出pq并配方成顶点式的乘积形式，由0<m<n<1，结合y=−(x−12)2+14的函数图象，可得m、n不能同时等于14，据此即可得出答案.4．【答案】（1）解：将A点坐标代入得：1=32a−12，解得：a=1，∴A(1，1)，将A、B点代入二次函数解析式得：{−12+b+c=1−32+3b+c=4，解得：{b=112c=−72，∴二次函数解析式为：y1=−x2+112x−72.（2）解：将x=m代入一次函数和二次函数解析式得：y 1=−m2+112m−72，y2=32m−12，∵线段MN=1，∴|y1−y2|=1，即|−m2+112m−72−32m+12|=1，∴−m2+4m−3=1或−m2+4m−3=−1，解得：m1=2+√2；m2=2−√2；m3=m4=2.（3）对称轴为x=6±√132【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：（3）将点B代入二次函数解析式得：4=−9+3b+c，则c=13−3b，∵A(a，1)，C(n，1)(n>a)，在二次函数图象上，得c=13-3b，∴a、n是方程−x2+bx+c=1的两个根，根据韦达定理得，n+a=b，na=1−c=1−(13−3b)=3b−12，∵AC=5，∴n−a=5，∵(n−a)2=(n+a)2−4an，∴25=b2−4(3b−12)=b2−12b+48，解得：b=6±√13，.∴对称轴为直线x=6±√132【分析】（1）将点A（a，1）代入y2的解析式，求出a的值，从而可得点A的坐标，将A、B两点的坐标分别代入y1=-x2+bx+c得出关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出y1的解析式；（2）将x=m分别代入两个函数解析式算出y1与y2，根据MN=1可得|y1−y2|=1，求解得出m 的值；（3）将点B代入二次函数y1=-x2+bx+c得c=13-3b，根据二次函数与一元二次方程的关系，结合A、C两点的纵坐标相同可得A、C两点的横坐标是方程-x2+bx+c=1的解，根据一元二次方程根与系数的关系得n+a=b，na=1-c=3b-12，再结合AC=5可得n-a=5，进而利用完全平方公式变形可得关于字母b的方程，求解得b的值，最后根据抛物线的对称轴直线公式即可得出抛物线的解析式. 5．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，，∴c=0，−b2=2则b=−4、c=0，∴抛物线解析式为y=x2−4x（2）解：设点B(a，a2−4a)，∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴点A(2，−4)，则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2−4a)2、AB2=(a−2)2+(a2−4a+4)2，①若OB2=OA2+AB2，则a2+(a2−4a)2=20+(a−2)2+(a2−4a+4)2，解得a=2(舍)或a=5 2，∴B(52，−154)，则直线OB解析式为y=−32x，当x=2时，y=−3，即P(2，−3)，∴t=(−3+4)÷1=1；②若AB2=OA2+OB2，则(a−2)2+(a2−4a+4)2=20+a2+(a2−4a)2，解得a=0(舍)或a=9 2，∴B(92，94)，则直线OB解析式为y=12x，当x=2时，y=1，即P(2，1)，∴t=[1−(−4)]÷1=5；③若OA2=AB2+OB2，则20=(a−2)2+(a2−4a+4)2+a2+(a2−4a)2，整理，得：a3−8a2+21a−18=0，a3−3a2−5a2+15a+6a−18=0，a2(a−3)−5a(a−3)+6(a−3)=0，(a−3)(a2−5a+6)=0，(a−3)2(a−2)=0，则a=3或a=2(舍)，∴B(3，−3)，∴直线OB解析式为y=−x，当x=2时，y=−2，即P(2，−2)，∴t=[−2−(−4)]÷1=2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5（3）解：∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t=1时，如图1，由（2）知∠OAB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B(52，−154)，∴M(54，−158)；当t=5时，如图2，由（2）知，∠AOB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B(92，94)、A(2，−4)，∴M(134，−78)；当t =2时，如图3，由（2）知，∠OBA =90°，∴此时Rt △OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点，∵A(2，−4)，∴M(1，−2)；则点M 经过的路径长度为√(54−1)2+(−158+2)2+√(1−134)2+(−2+78)2=√58+9√58=5√54. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角坐标系内两点的距离公式【解析】【分析】（1）将（0，0）代入y=x 2+bx+c 中可得c=0，根据对称轴为直线x=2可得b=-4，据此可得抛物线的解析式；（2）设B （a ，a 2-4a ），根据抛物线的解析式可得A （2，-4），由两点间距离公式表示出OA 2、OB 2、AB 2，然后结合勾股定理求出a 的值，得到点B 的坐标，利用待定系数法求出直线OB 的解析式，令x=2，求出y 的值，得到点 P 的坐标，进而可得t 的值；（3）由题意可得点M 在线段OA 的中垂线上，故当1≤t≤5时，点M 的运动路径是在线段OS 中垂线上的一条线段，当t=1时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OB 的中点，据此可得点M 的坐标；当t=5时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是AB 的中点，利用中点坐标公式可得点M 的坐标；当t=2时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点，同理可得点M 的坐标，然后结合两点间距离公式可求出点M 经过的路径长度.6．【答案】（1）解：将A(−1，0)，B(4，0)代入y =ax 2+bx −4得{a −b −4=016a +4b −4=0解得{a=1b=−3∴y=x2−3x−4，对称轴为直线x=3 2（2）解：过点P作PH∥y轴交直线AD于H当x=0时，y=−4，∴点C(0，−4)，∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线，∴D(3，−4)，∵A(−1，0)，∴直线AD的函数关系式为：y=−x−1，设P(m，m2−3m−4)，则H(m，−m−1)，∴PH=−m−1−(m2−3m−4)=−m2+2m+3，∴SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m2+4m+6，当m=−42×(−2)=1时，SΔAPD最大为8．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=ax2+bx−4求出a、b的值即可；（2）过点P作PH∥y轴交直线AD于H，先求出直线AD的解析式y=−x−1，设P(m，m2−3m−4)，则H(m，−m−1)，再求出SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m 2+4m +6，最后利用二次函数的性质求解即可。
14年考研数学二真题
14年考研数学二真题题目一：选择题1. 设函数 f(x) 在 [-1, 1] 上连续，且∫[-1, 1] f(x)dx = 0,那么下列结论一定成立的是：（）A. 在 [-1, 1] 上有 f(x) = 0B. 存在ξ ∈ (-1, 1)，使得f(ξ) = 0C. 在 [-1, 1] 上有 f(x) = 1D. f(x) 在 (-1, 1) 上的某一点处取到最大值解析：选项A错误，根据积分为0 并不能推出函数在整个区间上恒等于0；选项C错误，积分为 0 并不能推出函数在整个区间上恒等于 1；选项D错误，积分为 0 并不能推出函数在区间内某点取到最大值。
正确答案是 B，根据零点定理，对于连续函数 f(x)，如果在区间 [-1,1] 上 f(x) 不恒等于 0，则必然存在ξ ∈ (-1, 1)，使得f(ξ) = 0。
2. 已知集合 A = {x | (x - 2)²(x - 1) < 0}, 那么 A 中元素个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：首先求解不等式 (x - 2)²(x - 1) < 0，可以通过分析函数图像或者求真根的方法得到不等式的解集为 (1, 2)。
因此，A 中元素个数为 2。
正确答案是 C。
3. 设集合 A = {x | x² - ax + 2 < 0}，B = {x | x - 1 < 2x + a}，若实数 a满足A ∩ B = [-2, 1)，那么 a 的取值范围是（）A. (-∞, -6]B. [-6, -3)C. [-3, ∞)D. (-∞, -3)U(6, ∞)解析：首先分别求解不等式组 x² - ax + 2 < 0 和 x - 1 < 2x + a。
第一个不等式可以通过求解 x² - ax + 2 = 0 的根的方式得到解集为 (-∞, 2)U(1, +∞)。
第二个不等式可以通过整理转化为 -x - a + 1 > 0，即 x < 1 - a 的形式，解集为 (-∞, 1 - a)。
高等数学第14章第2节函数的幂级数展开
§ 2 函数的幂级数展开一 问题的提出幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间；在收敛域内部内闭一致收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等）．这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数来研究？二 问题的解决Taylor 级数设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式： ∑==+-=n k n k k x R x x k x f x f 000)()()(!)()( 余项)(x R n 的形式: Peano 型余项: )(x R n ()n x x o )(0-=,（ 只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x f n 存在 ）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x f θ1<<θ. 积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有)(x R n ⎰-=+x x n n dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项)(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n . 特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为)(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间.三 基本初等函数的幂级数展开式在实际应用中,往往取00x =,此时的Taylor 级数2(0)(0)(0)1!2!f f f x x '''+++称为Maclaurin 级数, 此时积分型余项为(1)01()()()!x n n n r x f t x t dt n +=-⎰. 1 212!!nxx x e x n =+++++ , x -∞<<∞ 2 3521sin (1)3!5!(21)!n n x x x x x n +=-+-+-++ , x -∞<<∞ 3 242cos 1(1)2!4!(2)!n n x x x x n =-+-+-+ , x -∞<<∞ 4 231ln(1)(1)23n n x x x x x n-+=-+-+-+ , 11x -<≤ 5 357arctan 357x x x x x =-+-+ , 11x -≤≤ 6 0(1)nn n x C x αα∞=+=∑, 1,1x ∈<->此处,0,1,2,α≠ , (1)(1)!n n C n αααα--+=7 352113(21)!!arcsin ,2385212!n n x x n x x x n n +-=+⋅+⋅++⋅++ 11x -<< 四 应用基本展开式的例子例1 求下列函数按x 幂级数展开的Taylor 级数.(1)2sin x ; (2)6(1)(2)x x -+; (3)23ln(1)x x x --+例2 求ln(y x =+在00x =的Taylor 展开.例3 将1x : (1)按1x -幂级数展开; (2)按11x x -+幂级数展开. 作业：P58 2，（1）（3）（4）（6）（7）（9）， 3。
高中数学第1轮第2章第14讲幂函数课件文新课标江苏专用.ppt
【解析】(1)因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以 m2－2m－3＜0，所以－1＜m＜3， 又因为 m∈Z，所以 m＝0,1,2. 而 m＝0,2 时，f(x)＝x－3 不为偶函数；m＝1 时，适合． 所以 m＝1，f(x)＝x－4.
(2)因为 φ(x)＝xa2－bx3，所以 φ(－x)＝xa2＋bx3. 故①当 a＝0，b＝0 时，φ(x)既是奇函数又是偶函数； ②当 a＝0，b≠0 时，φ(x)为奇函数； ③当 a≠0，b＝0 时，φ(x)为偶函数； ④当 a≠0，b≠0 时，φ(x)既不是奇函数也不是偶函数．
22 当x(1，＋)时，它的图象恒在直线y＝x的下
方，则＝____1_,_－__1_，__－__2_ __
2
3.幂 函 数 y＝ xm2－ 2m－ 3(mZ)的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 且 当 x0时 ， 函 数 是 减 函 数 ， 则 m 的 值 为 _____1_________
【解析】由m2－2m－3<0，得－1<m<3. 又m∈Z，所以m＝0,1,2. 因为m2－2m－3为偶数，经验证，m＝ 1符合．
幂函数的综合应用
【例4】 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (mN*)的图 象关于y轴对称，且在(0，＋)上是减函 数，求满足(a＋1)－m3 (3－2a)－m3的a 的取值范围．
【解析】因为函数在(0，＋)上是减函数， 所以m2－2m－3 0，解得－1 m 3， 又mN*，所以m＝1, 2， 又因为函数图象关于y轴对称， 所以m2－2m－3是偶数，所以m＝1， 因为y＝x－13在(－，0)和(0，＋)均为减函数，
＋( x 2－mx＋1)0 的定义域为全体实数，求
实数m的取值范围；
2比较3a
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质(二)课件0
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
专题14 二次函数中动点问题求取值范围(老师版)
专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。
本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
工科数学分析 2(2)数列的极限
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
5
数列极限的概念
数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性
定义3 若M>0,使得对n,有 xn M,
则称数列 xn 为有界数列,否则为无界数列.
如,
1 n
,
n
n
1
,
(1)n
2n
.
有界
2n 1,n Βιβλιοθήκη cosn2
无界
6
数列极限的概念
数列极限的概念
数列的(两种)几何表示法: (1)数列对应着数轴上一个点列.
可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f (n) 整标函数或下标函数
4
数列极限的概念
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
则0 0,对 0,x : 0 x x0 ,但 f (x) A 0.
17
数列极限的概念
从而 对1 1,x1 : 0 x1 x0 1,但 f (x1) A 0.
对 2
min
1 2
,
x1 x0
,
x2
x1 : 0
x2 x0
1 ,但 2
f (x2 ) A
0,
对 n
min
个 找出n使 不等式n 成立的N.
证 0,
因为 xn 1
令1 ,
n
所以, 取N 1
n (1)n1 1 1
n
n
解不等式 得n 1
, 则当n N时,
有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
3．已知函数
f(x)
＝
x2＋1，x≤0， 2x＋1，x>0，
若
f(x) ＝ 10 ， 则
x ＝ ___－__3_或__92____.
导学号 00814239 [解析] 当 x≤0 时，由 f(x)＝10 可得 x2＋1＝10，所以 x＝－3(x＝3 舍去)；
当 x>0 时，由 f(x)＝10 可得 2x＋1＝10，所以 x＝29.故 x 的值等于－3 或92. 4．已知 f(x)是正比例函数，且过点(1,1)，则 f(x)＝___x____. 导学号 00814240
第6页
2.分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x不一样取值范围，有着不一样对应法则， 这么函数通常叫____分__段__函__数． (2)分段函数定义域是各段定义域_______，并其集值域是各段值域_______．(填 “并交集集”或“并集”)
第7页
1．已知函数 f(x)由下表给出：
x －1 0 1 2
其中说法正确是( A)
A．②与③
B．②与④
C．①与③
D．①与④
[解析] 因为纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，故②③正确．
第29页
分段函数
1．分段函数概念： 在函数定义域内，对于自变量x不一样取值区间，有着不一样对应法则函 数，叫做分段函数．分段函数表示式因其特点分成两个或两个以上不一样表示 式，所以它图像也由几部分组成，有能够是光滑曲线，有也能够是一些孤立点 或几段线段． 2．关于分段函数，我们应注意以下几点： (1)分段函数是一个函数，不能写成几个函数，求分段函数解析式时，能够 分段求解，但最终结果一定要合并；
第27页
〔跟踪练习 3〕 导学号 00814246 某工厂八年来产品累积产量 C(即前 t 年年产量之和)与时间 t(年)的函数图像如 图，下列四种说法： ①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变．
人教版七年级下册数学第十九章《14-1-2 函数》优课件
(3)当 x = 200时,函数 y 的值为:y=50－0.1×200=30
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L
求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x
解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数
（2） m n1
解: 由n-1≥0得n≥1 ∴自变量 n 的取值范围: n≥1
随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平
均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围 （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 500
3. 等腰三角形ABC的周长为10, 底边BC长
此时我们把6叫做当自变量的值为3时的函数值．一般地， 如果当x=a时,y=b,则b叫做当自变量为a时的函数值。
函数一语，起用于公元 1692 年，最早见自德国数 学家莱布尼兹的著作。 他 是德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、 历史学家和哲学家，一个 举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人。
中v表示刹车前汽车的速度（单位：30千0米/时）
计算当v分别为60，100时，相应的滑行距离s是多少？
当V=60时,S=12 当V=100时,S= 33 1
3
变式：已知
v2 s
300
汽车速度v v2
s 300
求自变量为60，100时的函数值？
滑行距离s
考考你 在计算器上按下列程序进行操作：
输入x（任意一个数）
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量， （假定为x和y），对于x的每一个确实的值，y都有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数一．选择题（共13小题）1．（2015•西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：立方体的上下底面为正方体，立方体的高为x，则得出y﹣4x，再得出图象即可．解答：解：正方形的边长为x，y﹣4x，∴y与x的函数关系式为，故选B．点评：本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从y﹣x等于该立方体的上底面周长，从而得到关系式．2．（2015•重庆）某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车在步行了2公里B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟考点：函数的图象．分析：根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．解答： 解：A 、依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；B 、依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；C 、公交车的速度为15÷=30公里/小时，故选项正确．D 、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；故选D ．点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．3．（2015•黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象． 分析：根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，而答案．解答： 解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C 符合题意，故选：C ．点评：本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．4．（2015•厦门）如图，某个函数的图象由线段和组成，其中点A （0，），B （1，），C （2，），则此函数的最小值是（ ）A ． 0B ．C ． 1D ．考点： 函数的图象．分析： 根据函数图象的纵坐标，可得答案．解答： 解：由函数图象的纵坐标，得＞＞，故选：B ．点评： 本题考查了函数图象，利用了有理数大大小比较．5．（2015•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象． 分析：由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h 随时间t 变化而分三个阶段．解答： 解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h 随时间t 的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A ．点评： 此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．6．（2015•自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象． 分析：根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案． 解答： 解：由题意，得以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，故选：C ．点评：本意考查了函数图象，根据题意判断路程与时间的关系是解题关键，注意休息时路程不变．7．（2015•菏泽）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）考点：函数的图象． 分析：由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S 是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S 变化也加快变小，由此即可作出选择．解答： 解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S 先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选：D ．点评：此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．8．（2015•巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y （米）与时间t （分钟）之间关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象． 分析：生活中比较运动快慢通常有两种方法，即比较相同时间内通过的路程多少或通过相同路程所用时间的多少，但统一的方法是直接比较速度的大小．解答： 解：根据题中信息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故B 符合要求．故选B ．点评：此题考查函数图象问题，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法．9．（2015•酒泉）如图，矩形中，3，5，点P 是边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将△沿直线折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠的角平分线交于点E ．设，，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）考点：动点问题的函数图象． 分析： 证明△∽△，根据相似三角形的对应边的比相等求得y 与x 的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．解答： 解：∵∠∠，∠∠，又∵∠∠∠∠180°，∴∠∠90°，又∵直角△中，∠∠90°，∴∠∠，又∵∠∠C ，∴△∽△，∴，即，则﹣x 2+，y 是x 的二次函数，且开口向下． 故选C ．点评： 本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y 的值，即求线段长的问题，正确证明△∽△是关键．10．（2015•邵阳）如图，在等腰△中，直线l 垂直底边，现将直线l 沿线段从B 点匀速平移至C 点，直线l 与△的边相交于E 、F 两点．设线段的长度为y ，平移时间为t ，则下图中能较好反映y 与t 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象． 专题：数形结合．分析： 作⊥于D ，如图，设点F 运动的速度为1，，根据等腰三角形的性质得∠∠C ，，当点F 从点B 运动到D 时，如图1，利用正切定义即可得到•t （0≤t ≤m ）；当点F 从点D 运动到C 时，如图2，利用正切定义可得•﹣•2（m ≤t ≤2m ），即y 与t 的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．解解：作⊥于D ，如图，设点F 运动的速度为1，，答： ∵△为等腰三角形，∴∠∠C ，，当点F 从点B 运动到D 时，如图1，在△中，∵，∴•t （0≤t ≤m ）；当点F 从点D 运动到C 时，如图2，在△中，∵，∴••（2m ﹣t ）=﹣•2（m ≤t ≤2m ）．故选B ．点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．11．（2015•十堰）如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t 时，蚂蚁与O 点的距离为s ，则s 关于t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象． 分析： 根据蚂蚁在上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与x 轴平行的线段，即可得出结论．解答：解：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行，在开始时经过半径这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到弧这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径时，S 随t 的增大而减小；故选：B ．点评： 本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，得到图象的特点是解决本题的关键．12．（2015•黔南州）如图1，在矩形中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9时，点R 应运动到（ ）A ．M 处B ． N 处C ． P 处D ． Q 处考点：动点问题的函数图象． 分析：根据三角形的面积变化情况，可得R 在上时，三角形面积不变，可得答案．解答： 解：点R 在上时，三角形面积增加，点R 在上时，三角形的面积不变，点R 在上时，三角形面积变小，点R 在Q 处，三角形面积开始变小．故选：D ．点评：本题考查了动点函数图象，利用三角型面积的变化确定R 的位置是解题关键．13．（2015•威海）如图，已知△为等边三角形，2，点D 为边上一点，过点D 作∥，交于E 点；过E 点作⊥，交的延长线于F 点．设，△的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象． 分析： 根据平行线的性质可得∠∠60°，根据三角形内角和定理即可求得∠30°，然后证得△是等边三角形，从而求得2﹣x ，再根据直角三角形的性质求得，最后根据三角形的面积公式求得y 与x 函数关系式，根据函数关系式即可判定．解答： 解：∵△是等边三角形，∴∠60°，∵∥，∴∠∠60°，∵⊥，∴∠90°，∴∠90°﹣∠30°；∵∠60°，∠60°，∴△是等边三角形．∴2﹣x ，∵∠90°，∠30°，∴（2﹣x ）． ∴•（2﹣x ）•（2﹣x ）， 即（x ﹣2）2，（x ＜2），故选A ．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等． 二．填空题（共5小题）14．（2015•齐齐哈尔）在函数中，自变量x 的取值范围是 x ≥﹣3，且x ≠0 ． 考点：函数自变量的取值范围． 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 解答：解：由题意得，3＞0，x 2≠0，解得：x ≥﹣3，且x ≠0．故答案为：x ≥﹣3，且x ≠0．点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．（2015•绥化）在函数（x ﹣2）0中，自变量x 的取值范围是 x ＞﹣2且x ≠2 ． 考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 解答：解：由题意得，2＞0且x ﹣2≠0，解得x ＞﹣2且x ≠2． 故答案为：x ＞﹣2且x ≠2． 点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．16．（2015•巴彦淖尔）函数的自变量x 的取值范围是 x ≥0且x ≠﹣2 ． 考点： 函数自变量的取值范围．分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 解答： 解：根据题意得：x ≥0且2≠0，解得：x ≥0且x ≠﹣2．故答案为x≥0且x≠﹣2．点评：本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．17．（2015•上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77 ℉．考点：函数值．分析：把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．解答：解：当25°时，×25+32=77，故答案为：77．点评：本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．18．（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是0.2 千米/分钟．考点：函数的图象．分析：根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案．解答：解：由纵坐标看出路程是2千米，由横坐标看出时间是10分钟，小明的骑车速度是2÷10=0.2（千米/分钟），故答案为：0.2．点评：本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，利用了路程与时间的关系．三．解答题（共12小题）19．（2015•益阳）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．（1）写出点P2的坐标；（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．考点：一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．分析：（1）根据“左加右减、上加下减”的规律来求点P2的坐标；（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为（k≠0），把点P1（2，1），P2（3，3）代入直线方程，利用方程组来求系数的值；（3）把点（6，9）代入（2）中的函数解析式进行验证即可．解答：解：（1）P2（3，3）．（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为（k≠0），∵点P1（2，1），P2（3，3）在直线l上，∴，解得．∴直线l所表示的一次函数的表达式为2x﹣3．（3）点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为（6，9），∵2×6﹣3=9，∴点P3在直线l上．点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的几何变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．20．（2015•武汉）已知一次函数3的图象经过点（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式3≤6的解集．考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．分析：（1）把1，4代入3，求出k的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式．（2）首先把（1）中求出的k的值代入3≤6，然后根据一元一次不等式的解法，求出关于x的不等式3≤6的解集即可．解答：解：（1）∵一次函数3的图象经过点（1，4），∴43，∴1，∴这个一次函数的解析式是：3．（2）∵1，∴3≤6，∴x≤3，即关于x的不等式3≤6的解集是：x≤3．点评：（1）此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．（2）此题还考查了一元一次不等式的解法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．21．（2015•广西）过点（0，﹣2）的直线l1：y1（k≠0）与直线l2：y21交于点P（2，m）．（1）写出使得y1＜y2的x的取值范围；（2）求点P的坐标和直线l1的解析式．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：（1）观察函数图象得到当x＜2时，直线l 1在直线l2的下方，则y1＜y2；（2）先P（2，m）代入y21可求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式．解答：解：（1）当x＜2时，y1＜y2；（2）把P（2，m）代入y21得2+1=3，则P（2，3），把P（2，3）和（0，﹣2）分别代入y1得，解得，所以直线l1的解析式为：y1﹣2．点评：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．22．（2015•盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数﹣7的图象交于点A．（1）求点A的坐标；（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和﹣7的图象于点B、C，连接．若，求△的面积．考点：两条直线相交或平行问题；勾股定理．分析：（1）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标；（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在△中根据勾股定理求出的长，故可得出的长，根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：（1）∵由题意得，，解得，∴A（4，3）；（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在△中，由勾股定理得，5．∴×5=7．∵P（a，0），∴B（a，a），C（a，﹣7），∴﹣（﹣7）﹣7，∴a﹣7=7，解得8，∴S△•×7×8=28．点评：本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含1 2吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？考点：一次函数的应用．分析：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；（3）根据小英家的用水量判断其再哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．解答：解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）∵当0≤x≤12时，；当x＞12时，12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：．（3）∵26＞12，∴把26代入2.5x﹣18，得：2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费47元．点评：本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．24．（2015•义乌市）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？（2）小敏几点几分返回到家？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段；（2）求出返回家时的函数解析式，当0时，求出x的值，即可解答．解答：解：（1）小敏去超市途中的速度是：3000÷10=300（米/分），在超市逗留了的时间为：40﹣10=30（分）．（2）设返回家时，y与x的函数解析式为，把（40，3000），（45，2000）代入得：，解得：，∴函数解析式为﹣20011000，当0时，55，∴返回到家的时间为：8：55．点评：本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获取信息是解题关键．25．（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求工厂最大月效益．。