九年级(上)第一次月考数学试卷 含解析 (2)
辽宁省鞍山市铁东区第二中学2023—2024学年上学期第一次月考九年级数学试卷(含解析)
2023-2024学年辽宁省鞍山二中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若(m―1)x m2+1―1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )A. ―1B. 0C. 1D. ±12.已知点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，则a+b的值为( )A. 3B. ―3C. ―1D. 13.关于x的一元二次方程kx2―2x―1=0有两个实数根，则k的取值范围( )A. k≥―1B. k≥―1且k≠0C. k>―1且k≠0D. k≤―14.如图，在△ABC中，∠BAC=138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′刚好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为( )A. 16°B. 15°C. 14°D. 13°5.已知关于x的方程x2―(2m―1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为( )A. ―3B. ―1C. ―3或1D. ―1或36.如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为(2,0)，以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是( )A. (―1,3)B. (3,―1)C. (―3,1)D. (―2,1)7.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( )A. B. C. D.8.如图，点D和点E分别是△ABC边BC和AC上一点，BD=2CD，AE=CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差为( )A. 1B. 1.5C. 1.75D. 2二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.二次函数y=(m+1)x m2―2m―6的图象开口向下，则m值为______．10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，AC=9，CD=6，则BC的长为______．11.电影《封神》一上映，第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第二天和第三天共累计票房收入达20亿元，若增长率记作x，方程可以列为：______．12.如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，E是AC的中点，AD、BE相交于点F，若BD=2DC，FE=75，则FB的长为______．13.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(―2,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系是______(用“<”连接)．14.矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，点B的对应点B′落在直线CD上，连接DD′，则DD′的长度为______．15.如图所示，直线y =33x +33与y 轴相交于点D ，点A 1在直线y =33x +33上，点B 1在x 轴上，且△OA 1B 1是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B 1作B 1A 2//OA 1与直线y =33x +33相交于点A 2，点B 2在x 轴上，再以B 1A 2为边作正三角形A 2B 2B 1，记作第二个正三角形；同样过B 2作B 2A 3//B 1A 2与直线y =33x +33相交于点A 3，点B 3在x 轴上，再以B 2A 3为边作正三角形A 3B 3B 2，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n 个正三角形的顶点A n 的横坐标为______．16.如图，已知AC =BC ，点D 、E 为BC 延长线上的两点，CE =2BC ，∠EAB +∠BAD =180°，则AD AE的值______．三、解答题：本题共10小题，共88分。
九年级数学第一次月考卷(沪科版)(解析版)【测试范围：第二十一章】
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：150分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。
2．测试范围：第二十一章（沪科版）。
第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列函数：①y＝32；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：①y＝3―2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，故选：C．2．（4分）已知反比例函数y=―6x，下列说法中正确的是（ ）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x的增大而增大，再逐个判断即可．【解答】解：A．∵反比例函数y=―6x中﹣6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入y=―6x得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，∴点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数y=―6x中﹣6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比函数y=―6x的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．3．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A．向右平移4个单位，向上平移11个单位B．向左平移4个单位，向上平移11个单位C．向左平移4个单位，向上平移5个单位D．向右平移4个单位，向下平移5个单位【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．故选：D．4．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表：x…﹣1012…y…﹣5131…则下列判断正确的是（ ）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间【分析】结合图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1＝a（﹣1）2+3，解得：a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；∵y＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故B错误；∵当x＞1时，y随x的增大而减小时正确的，故C正确；∵方程ax2+bx+c＝0，△＝16+4×2×1＝22＞0，此方程有两个不相等的实数根，由表正根在2和3之间；故选：C．5．（4分）若点（x1，y2）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数y=―2x的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列判断中正确的是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【分析】根据所给反比例函数解析式，得出y随x的变化情况，据此可解决问题．【解答】解：因为反比例函数的解析式为y=―2 x ，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大．因为x1＜x2＜0＜x3，所以0＜y1＜y2，y3＜0，所以y3＜y1＜y2．故选：B．6．（4分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）x…﹣3﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1【分析】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y=a―b+cx的图象在同一坐标系中大致为（ ）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x＝﹣1时，y＜0，可知a﹣b+c＞0，然后利用排除法即可得出正确答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵―b2a＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，∴直线y＝bx+c经过一、二、四象限，由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴反比例函数y=a―b+cx的图象必在一、三象限，故B、C、D错误，A正确；故选：A．8．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（ ）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD【分析】根据D（m，n）、C（2﹣m，n）两点可确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线过点D（m，n），C（2﹣m，n）两点，∴抛物线的对称轴为x=2―m+m2=1，若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．故选：D．9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B两点，与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③―43≤a≤―1；④a+b≤am2+bm（m为实数）；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0必有两个不相等的实根．其中结论正确有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：由函数图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0．故①错误．因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0．又因为抛物线的对称轴为直线x＝1，所以―b2a=1，即b＝﹣2a，所以a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．故②正确．因为点C在（0，3），（0，4）之间（包含端点），所以3≤c≤4．又因为c＝﹣3a，则3≤﹣3a≤4，解得―43≤a≤―1．故③正确．因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1，所以当x＝1时，函数取得最大值：a+b+c．则抛物线上的任意一点（横坐标为m）的纵坐标都不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c，故a+b≥am2+bm．故④错误．方程ax2+bx+c﹣3＝0的根可看成函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3交点的横坐标，显然两个图象有两个不同的交点，所以方程ax2+bx+c﹣3＝0必有两个不相等的实根．故⑤正确．故选：C．10．（4分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，﹣1），（―…，都是“相反点”，若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为―74，则m的取值范围为（ ）A．﹣1≤m≤4B．―1≤m≤32C．32≤m≤4D．32≤m≤5【分析】把（2，﹣2）代入y＝ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，得出y＝﹣x2+3x﹣4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y＝﹣8时，求出x的值即可．【解答】解：∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“相反点”，∴﹣2＝4a+6+c，∴c＝﹣4a﹣8，∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”，∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根，∴Δ＝16﹣4ac＝0，∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0，解得，a＝﹣1，c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x―32）2―74，二次函数图象的对称轴为直线x=32，函数的最大值为―74，当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8，解得，x1＝﹣1，x2＝4，当32≤m ≤4时，函数的最大值为―74，最小值为﹣8．故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）若函数y =(m +2)x 3―m 2是反比例函数，则m 的值为 ．【分析】形如y =kx（k 为常数，k ≠0）的函数叫做反比例函数，也可写成y ＝kx ﹣1（k 为常数，k ≠0），由此解答即可．【解答】解：若函数y =(m +2)x 3―m 2是反比例函数，则3﹣m 2＝﹣1，解得m ＝±2，∵m +2≠0，∴m ≠﹣2，∴m ＝2，故答案为：2．12．（5分）若抛物线y ＝x 2+2x +c 的顶点在x 轴上，则c ＝ ．【分析】根据x 轴上点的，纵坐标是0，列出方程求解即可．【解答】解：∵抛物线的顶点在x 轴上，∴y =4ac―b 24a =4c―224×1=0，解得c ＝1．故答案为：1．13．（5分）如图，在△OAB OA 在y 轴上．反比例函数y =kx（x ＞0）的图象恰好经过点B ，与边AB 交于点C ．若BC ＝3AC ，S △OAB ＝10．则k 的值为 ．【分析】根据BC ＝3AC ，S △OAB ＝10可得S △COB =152，再根据反比例函数k 值的几何意义列出方程12×(k m +k 4m )×(4m ―m)=152求出k 即可．【解答】解：∵BC ＝3AC ，S △OAB ＝10．∴S△COB =34×10=152，设点C（m，km），则B（4m，k4m），∵S△COB ＝S梯形BCDE=152，∴12×(km+k4m)×(4m―m)=152，解得：k＝4．故答案为：4．14．（5分）抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．（1）a＝ ；（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2，得――42a=2，即有a＝1；（2）①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），可得0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，故10+m＞017+m＜0或10+m＜017+m＞0，解得﹣17＜m＜﹣10，当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m 在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），即可得m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．∴――42a=2，∴a＝1；故答案为：a＝1；（2）由（1）知：a＝1，∴抛物线y＝ax2﹣4x+5+m为y＝x2﹣4x+5+m，∴由Δ≥0得m≤﹣1，∵对称轴为直线x＝2，∴抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），∴0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，而当x＝﹣1时，y＝10+m，x＝6时，y＝17+m，∴10+m＞017+m＜0或10+m＜017+m＞0，解得﹣17＜m＜﹣10，当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），符合题意，综上所述，m取值范围是m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10，故答案为：m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例．当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x＝8时的函数值．【分析】（1）首先设y1＝k1（x﹣1），y2=k2x，再根据y＝y1+y2可得y＝k1（x﹣1）+k2x，然后把x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9代入可得关于k1、k2的方程组，解出k1、k2的值，可得函数解析式；（2）把x＝8代入函数解析式可得答案．【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例，∴设y1＝k1（x﹣1），y2=k2 x，∵y＝y1+y2，∴y＝k1（x﹣1）+k2 x，∵当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9．∴5=k1+k22―9=―3k1―k22，解得：k1=2k2=6，∴y关于x的函数解析式为y＝2（x﹣1）+6 x（2）当x＝8时，原式＝2×7+34=1434．16．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1．（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数图象与y轴交于点（0，3），求该函数的图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，计算判别式即可得出结论．（2）先根据图象与y轴交于点（0，3），求出m的值，得出其解析式，再求出y＝0时x的值．【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，∴Δ＝[﹣（m+2）2]﹣4（2m﹣1），＝m2+4m+4﹣8m+4，＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4≥4，∴Δ＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点；（2）∵函数的图象与y轴交于点（0，3）．∴2m﹣1＝3，∴m＝2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣1，∴x1＝3，x2＝1，∴该函数的图象与x轴的交点坐标（3，0）或（1，0）．17．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根： ；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集： ；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： ．【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3，故答案为：1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；故答案为：x＜1或x＞3；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；故答案为：x＞2．（4）由图象可知，二次函数y＝2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c （a≠0）的最大值，故答案为：k＜2．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA，OB，求△ABO的面积；（3）不等式k1x+b＞k2x的解集是 ．【分析】（1）把A （4，﹣2）代入反比例函数y =k 2x得出k 2的值，进而求得B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入y ＝k 1x +b ，运用待定系数法分别求其解析式；（2）设一次函数与x 轴交于点C ，由y ＝﹣x +2即可求得点C 的坐标，把三角形AOB 的面积看成是三角形AOC 和三角形OCB 的面积之和进行计算即可求得；（3）根据图象即可求解．【解答】解：（1）将A （4，﹣2）代入反比例函数解析式得：k 2＝﹣8，则反比例解析式为y =―8x；将B （﹣2，n ）代入反比例解析式得：n ＝4，即B （﹣2，4），将A 与B 坐标代入y ＝k 1x +b 中，得：4k 1+b =―2―2k 1+b =4，解得：k 1=―1b =2，则一次函数解析式为y ＝﹣x +2；（2）如图所示，设一次函数与x 轴交于点C ，对于一次函数y ＝﹣x +2，令y ＝0，得到x ＝2，即OC ＝2，则S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×22+12×2×4＝6．（3）根据函数图象可知：不等式k 1x +b ＞k 2x的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜4，故答案为：x ＜﹣2或0＜x ＜4．19．（10分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB 为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；（2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案．【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，解得a=―1 25，∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y=―125(x―10)2+6；（2）此船不能通过，理由：当y＝2+3＝5时，―125(x―10)2+6=5，解得x＝5或x＝15，∵15﹣5＝10＜12，∴此船不能通过桥洞．20．（10分）为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x（min）成反比例，如图所示，现测得药物9min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为5mg．请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；（2）利用y ＝3时分别代入求出答案．【解答】解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y ＝k 1x （k 1＞0），代入（9，5）得5＝9k 1，∴k 1=59，设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y =k 2x（k 2＞0），代入（9，5）得5=k 29，∴k 2＝45，∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y =59x （0≤x ≤9），药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为：y =45x（x ＞9），∴y =≤x ≤8)(x ＞8)；（2）无效，理由如下：把y ＝3代入y =59x ，得：x =275，把y ＝3代入y =45x，得：x ＝15，∵15―275=485，485＜10，∴这次消毒是无效的．21．（12分）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程，以下是我们研究函数y=(x+1)2―1，x≤11，x＞1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…a2―14﹣1―142b…（1）写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；（2）请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ；（3）若此函数与直线y＝m﹣2有2个交点，请结合函数图象，直接写出m的取值范围 ．【分析】（1）根据解析式计算即可；（2）利用描点法画出函数图象，观察图象可得函数的一条性质．（3）根据图象即可求解．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y=34（﹣4+1）2﹣1=234∴a=23 4，当x＝2时，y＝2+1＝3，∴b＝3，故答案为：234，3；（2）画出函数图象如图所示：由图象得：x＞1时，y随x的增大而增大；故答案为：x＞1时，y随x的增大而增大；（3）由图象可知，若此函数与直线y＝m﹣2有2个交点，m的取值范围：m﹣2＞﹣1，即m＞1．故答案为：m＞1．22．（12分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）当x＝200时，代入y=―110x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：100k+b=100300k+b=80，解得：k=―110 b=110，∴y与x的函数关系式为：y=―110x+110，故答案为：y=―110x+110；（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，∴90×200＝18000（元），答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；（3）分两种情况：①当100≤x≤300时，w＝（―110x+110﹣71）x=―110x2+39x=―110（x﹣195）2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x＝190或200时，w有最大值是：―110（200﹣195）2+3802.5＝3800；②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．23．（14分）如图，已知：抛物线y=―14x2+bx+c经过点A（0，2）点C（4，0），且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求△ACM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）M点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图象上存在点P，使△ACP的面积等于△ACM面积的一半，则P点的坐标为 ．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y=―14x2+12x+2；（2）过M作MK∥y轴交AC于K，设M（m，―14m2+12m+2），△ACM面积为S，求出直线AC解析式为y=―12x+2，知K（m，―12m+2），KM＝（―14m2+12m+2）﹣（―12m+2）=―14m2+m，故S=12KM•|x C﹣x A|=12×（―14m2+m）×4=―12m2+2m=―12（m﹣2）2+2，根据二次函数性质可得答案；（3）过P作PN∥y轴交AC于N，设P（n，―14n2+12n+2），则N（n，―12n+2），PN＝|（―14n2+12n+2）﹣（―12n+2）|＝|―14n2+n|，故S△ACP=12PN•|x C﹣x A|=12×|―14n2+n|×4＝|―12n2+2n|=12S△ACM＝1，解方程组可得答案．【解答】解：（1）把A（0，2）、C（4，0）代入y=―14x2+bx+c得：c=2―4+4b+c=0，解得b=12 c=2，∴抛物线的解析式为y=―14x2+12x+2；（2）过M作MK∥y轴交AC于K，如图：设M（m，―14m2+12m+2），△ACM面积为S，由A（0，2）、C（4，0）得直线AC解析式为y=―12x+2，∴K（m，―12m+2），∴KM＝（―14m2+12m+2）﹣（―12m+2）=―14m2+m，∴S=12KM•|x C﹣x A|=12×（―14m2+m）×4=―12m2+2m=―12（m﹣2）2+2，∵―12＜0，∴当m ＝2时，S 取最大值2，此时M （2，2）；∴△ACM 面积的最大值是2，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）过P 作PN ∥y 轴交AC 于N ，设P （n ，―14n 2+12n +2），则N （n ，―12n +2），∴PN ＝|（―14n 2+12n +2）﹣（―12n +2）|＝|―14n 2+n |，∴S △ACP =12PN •|x C ﹣x A |=12×|―14n 2+n |×4＝|―12n 2+2n |=12S △ACM＝1，解得n ＝2+22+2―∴P 点的坐标为（22―2+2―故答案为：（2+）或（2―22―。
九年级上第一次月考数学试卷含解析
九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题,每题3分,共18分）1．（3分）关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程,则a满足（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数2．（3分）下列命题中,正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形C．正方形的对角线相等且互相垂直D．矩形的对角线不能相等3．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+1=0,则方程可变形为（）A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2=C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=4．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β,则的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．（3分）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B．C．D．6．（3分）如图,正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上,EF与CD交于点M,得四边形AEMD,且两正方形的边长均为2,则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D． +1二、填空题7．（3分）方程x2=3x的根是．8．（3分）等腰三角形两腰长分别为a,b,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为．9．（3分）如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点,过P分别作PE⊥AC于E,PF ⊥BC于F,则线段EF的最小值是．10．（3分）如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是．11．（3分）若a,b是方程x2﹣x﹣2=0的两个根,则a2+b=．12．（3分）矩形ABCD中,AB=10,BC=3,E为AB边的中点,P为CD边上的点,且△AEP是腰长为5的等腰三角形,则DP=．三、解答题（本大题共5小题,每题6分,共30分）13．（6分）解方程：（1）2x2+x﹣2=0（用公式法）（2）（x+3）2﹣2x（x+3）=0．14．（6分）如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？15．（6分）已知代数式x2﹣5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？16．（6分）如图正六边形ABCDEF,请分别在图1,图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中,画出一个与正六边形的边长相等的菱形；（2）在图2中,画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0．（1）若x=1是这个方程的一个根,求k的值和它的另一根；（2）对于任意的实数k,判断方程根的情况,并说明理由．四、（本大题3小题,每小题8分,共24分）18．（8分）某省为解决农村困难户住危房的问题,决定实行精准扶贫,省财政部门共投资10亿元对各市的“危房改造”予以一定比例的补助．2016年,A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“危房改造”,计划以后每年以相同的增长率投资,2018年该市计划投资“危房改造”864万元．（1）求A市投资“危房改造”费用的年平均增长率；（2）从2016年到2018年,A市三年共投资“危房改造”多少万元？19．（8分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1,x2,且满足x12+x22=3x1x2,求实数p的值．20．（8分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象求y与x的函数关系式；（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下,使销售利润达到2400元,销售单价应定为多少？五、（本大题2小题,每小题9分,共18分）21．（9分）如图,矩形ABCD中,点E在AD边上,过点E作AB的平行线,交BC于点F,将矩形ABFE 绕着点E逆时针旋转,使点F的对应点落在边CD上,点B的对应点N落在边BC上．（1）求证：BF=NF；（2）已知AB=2,AE=1,求EG的长；（3）已知∠MEF=30°,求的值．22．（9分）在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点．（1）如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长；（2）如图2,连接AH,GH．小宇观察图2,提出猜想：AH=GH,AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．…请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH．（一种方法即可）六、（本大题共12分）23．（12分）在一张长方形纸片ABCD中,AB=25cm,AD=20cm,现将这张纸片按下列图示方法折叠,请解决下列问题．（1）如图（1）,折痕为DE,点A的对应点F在CD上,求折痕DE的长；（2）如图（2）,H,G分别为BC,AD的中点,A的对应点F在HG上,折痕为DE,求重叠部分的面积；（3）如图（3）,在图（2）中,把长方形ABCD沿着HG对开,变成两张长方形纸片,将两张纸片任意叠合后,判断重叠四边形的形状,并证明；（4）在（3）中,重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在,试求出来；如果不存在,试简要说明理由．九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题,每题3分,共18分）1．（3分）关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程,则a满足（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数【解答】解：由题意得：a2﹣1≠0,解得a≠±1．故选：C．2．（3分）下列命题中,正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形C．正方形的对角线相等且互相垂直D．矩形的对角线不能相等【解答】解：A、菱形的对角线相互垂直平分,所以A选项错误；B、平行四边形不是轴对称图形,只是中心对称图形,所以B选项错误；C、正方形的对角线相等且互相垂直,所以C选正确；D、矩形的对角线相等,所以D选项错误．故选：C．3．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+1=0,则方程可变形为（）A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2=C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=【解答】解：原方程为3x2﹣6x+1=0,二次项系数化为1,得x2﹣2x=﹣,即x2﹣2x+1=﹣+1,所以（x﹣1）2=．故选D．4．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β,则的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：根据题意得α+β=3,αβ=﹣3,所以===﹣1．故选：A．5．（3分）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴BO=3,AO=4,AO⊥BO,∴AB==5．∵OH⊥AB,∴AO•BO=AB•OH,∴OH=,故选：D．6．（3分）如图,正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上,EF与CD交于点M,得四边形AEMD,且两正方形的边长均为2,则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D． +1【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=90°,∠ACD=45°,AD=CD=2,则S △ACD =AD•CD=×2×2=2； AC=AD=2,则EC=2﹣2,∵△MEC 是等腰直角三角形,∴S △MEC =ME•EC=（2﹣2）2=6﹣4,∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣（6﹣4）=4﹣4． 故选：A ．二、填空题7．（3分）方程x 2=3x 的根是 0或3 ．【解答】解：x 2=3xx 2﹣3x=0即x （x ﹣3）=0∴x=0或3故本题的答案是0或3．8．（3分）等腰三角形两腰长分别为a,b,且a,b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +n ﹣1=0的两根,则n 的值为 10 ．【解答】解：∵等腰三角形两腰长分别为a 、b,∴a=b ．∵a,b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +n ﹣1=0的两根,∴△=（﹣6）2﹣4×1×（n ﹣1）=40﹣4n=0,解得：n=10．故答案为：10．9．（3分）如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P 为AB 边上任一点,过P 分别作PE ⊥AC 于E,PF ⊥BC 于F,则线段EF 的最小值是 ．【解答】解：连接CP,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理得：AB=5,∵PE⊥AC,PF⊥BC,∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°,∴四边形EPFC是矩形,∴EF=CP,即EF表示C与边AB上任意一点的距离,根据垂线段最短,过C作CD⊥AB,当EF=DC最短,根据三角形面积公式得：AC×BC=AB×CD,∴CD=,故答案为：．10．（3分）如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是13．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,BC=8,∴在Rt△BCE中,EM=BC=4,在Rt△BCF中,FM=BC=4,又∵EF=5,∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13．11．（3分）若a,b是方程x2﹣x﹣2=0的两个根,则a2+b=3．【解答】解：∵a,b是方程x2﹣x﹣2=0的两个根,∴a2﹣a=2,a+b=1,∴a2+b=a2﹣a+（a+b）=2+1=3．故答案为：3．12．（3分）矩形ABCD中,AB=10,BC=3,E为AB边的中点,P为CD边上的点,且△AEP是腰长为5的等腰三角形,则DP=4或1或9．【解答】解：（1）如图1,当AE=EP=5时,过P作PM⊥AB,∴∠PMB=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,∴四边形BCPM是矩形,∴PM=BC=3,∵PE=5,∴EM===4,∵E是AB中点,∴BE=5,∴BM=PC=5﹣4=1,∴DP=10﹣1=9；（2）如图2,当AE=AP=5时,DP===4；（3）如图3,当AE=EP=5时,过P作PF⊥AB,∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°,∴四边形BCPF是矩形,∴PF=AD=3,∵PE=5,∴EF==4,∵E是AB中点,∴AE=5,∴DP=AF=5﹣4=1．故答案为：1或4或9．三、解答题（本大题共5小题,每题6分,共30分）13．（6分）解方程：（1）2x2+x﹣2=0（用公式法）（2）（x+3）2﹣2x（x+3）=0．【解答】解：（1）这里a=2,b=1,c=﹣2,∵△=1+16=17,∴x=；（2）分解因式得：（x+3）（x+3﹣2x）=0,解得：x1=﹣3,x2=3．14．（6分）如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？【解答】解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB,PF⊥AD,且PE=PF,∴AC是∠DAB的角平分线,∴∠DAC=∠CAE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形．15．（6分）已知代数式x2﹣5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【解答】解：由题意,得x2﹣5x+7=（x﹣）2+,∵（x﹣）2≥0,∴（x﹣）2+≥,∴（x﹣）2+＞0∴这个代数式的值总是正数．设代数式的值为M,则有M=x2﹣5x+7,∴M=（x﹣）2+,∴当x=时,这个代数式的值最小为．16．（6分）如图正六边形ABCDEF,请分别在图1,图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中,画出一个与正六边形的边长相等的菱形；（2）在图2中,画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．【解答】解：（1）画图如下：四边形AOEF（或四边形BCDO）即为所求；（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．解法二：菱形AGDH即为所求．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0．（1）若x=1是这个方程的一个根,求k的值和它的另一根；（2）对于任意的实数k,判断方程根的情况,并说明理由．【解答】解：x=1是关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0的一个根,∴1﹣（k+2）×1+2k=0∴k=1,∴原方程为x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,即：k=1,方程的另一根为x=2．（2）∵方程x2﹣（k+2）x+2k=0,∴△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0,∴对于任意的实数k,方程有两个实数根．四、（本大题3小题,每小题8分,共24分）18．（8分）某省为解决农村困难户住危房的问题,决定实行精准扶贫,省财政部门共投资10亿元对各市的“危房改造”予以一定比例的补助．2016年,A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“危房改造”,计划以后每年以相同的增长率投资,2018年该市计划投资“危房改造”864万元．（1）求A市投资“危房改造”费用的年平均增长率；（2）从2016年到2018年,A市三年共投资“危房改造”多少万元？【解答】解：（1）设A市投资“危房改造”费用的年平均增长率为x．由题意：600（1+x）2=864,解得x=0.2或﹣2.2（舍弃）,∴x=0.2=20%,答：设A市投资“危房改造”费用的年平均增长率为20%．（2）由题意可得：600+600（1+20%）+864=2184（万元）,答：A市三年共投资“危房改造”2184万元19．（8分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1,x2,且满足x12+x22=3x1x2,求实数p的值．【解答】（1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0,x2﹣5x+6﹣p2=0,△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=4p2+1,∵不论p为何值,4p2+1＞0,∴无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x2﹣5x+6﹣p2=0,根据根与系数的关系得：x1+x2=5,x1•x2=6﹣p2,∵x12+x22=3x1x2,∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=3x1x2,∴25﹣2（6﹣p2）=3（6﹣p2）,解得：p=±1．20．（8分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象求y与x的函数关系式；（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下,使销售利润达到2400元,销售单价应定为多少？【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b,将（40,160）,（120,0）代入,得,解得,所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）；（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400,整理得,x2﹣160x+6000=0,解得x1=60,x2=100．当x=60时,销售单价为60元,销售量为120千克,则成本价为40×120=4800（元）,超过了3000元,不合题意,舍去；当x=100时,销售单价为100元,销售量为40千克,则成本价为40×40=1600（元）,低于3000元,符合题意．所以销售单价为100元．答：销售单价应定为100元．五、（本大题2小题,每小题9分,共18分）21．（9分）如图,矩形ABCD中,点E在AD边上,过点E作AB的平行线,交BC于点F,将矩形ABFE 绕着点E逆时针旋转,使点F的对应点落在边CD上,点B的对应点N落在边BC上．（1）求证：BF=NF；（2）已知AB=2,AE=1,求EG的长；（3）已知∠MEF=30°,求的值．【解答】解：（1）连结BE,EN,如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BFE=90°,由旋转得BE=EN,∴BF=NF；（2）∵四边形ABCD是矩形,∴BF=AE,EF=AB,由旋转得EH=EA,∵BF=NF,∴EH=NF,∵∠BFE=∠GHE=90°,∠NGF=∠HGE,∴△NGF≌△HGE,∴FG=GH,设DE=x,则GF=GH=2﹣x,由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2=1,解得x=,∴EG=；（3）∵EF∥DC,∴∠DME=∠MEF=30°,设DE=x,∵∠D=90°,∴ME=DC=AB=2x,DM=x,∴MC=（2﹣）x,∵∠NME=90°,∠DME=30°,∴∠NMC=60°,∴∠MNC=30°,∴MN=2MC=2（2﹣）x,∴BC=AD=DM+MN=2（2﹣）x+x=（5﹣2）x,∴=．22．（9分）在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点．（1）如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长；（2）如图2,连接AH,GH．小宇观察图2,提出猜想：AH=GH,AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．…请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH．（一种方法即可）【解答】（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG,∴△ABD,△GDF为等腰直角三角形．∵AB=1,DG=2,∴由勾股定理得BD=,DF=2．∵B、D、F共线,∴BF=3．∵H是BF的中点,∴BH=BF=（2）证法一：如图1,延长AH交EF于点M,连接AG,GM,∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,∴AB∥EF．∴∠ABH=∠MFH．又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,∴△ABH≌△MFH．∴AH=MH,AB=MF．∵AB=AD,∴AD=MF．∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,∴△ADG≌△MFG．∴∠AGD=∠MGF,A G=MG．又∵∠DGM+∠MGF=90°,∴∠AGD+∠DGM=90°．∴△AGM为等腰直角三角形．∵AH=MH,∴AH=GH,AH⊥GH．证法二：如图2,连接AC,G E分别交BF于点M,N,∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,∴AC⊥BF,GE⊥BF,DM=BD,DN=DF．∴∠AMD=∠GNH=90°,MN=BF．∵H是BF的中点,∴BH=BF．∴BH=MN．∴BH﹣MH=MN﹣MH．∴BM=HN．∵AM=BM=DM,∴AM=HN=DM．∴MD+DH=NH+DH．∴MH=DN．∵DN=GN,∴MH=GN．∴△AMH≌△HNG．∴AH=GH,∠AHM=∠HGN．∵∠HGN+∠GHN=90°,∴∠AHM+∠GHN=90°．∴∠AHG=90°．∴AH⊥GH．∴AH=GH,AH⊥GH．六、（本大题共12分）23．（12分）在一张长方形纸片ABCD中,AB=25cm,AD=20cm,现将这张纸片按下列图示方法折叠,请解决下列问题．（1）如图（1）,折痕为DE,点A的对应点F在CD上,求折痕DE的长；（2）如图（2）,H,G分别为BC,AD的中点,A的对应点F在HG上,折痕为DE,求重叠部分的面积；（3）如图（3）,在图（2）中,把长方形ABCD沿着HG对开,变成两张长方形纸片,将两张纸片任意叠合后,判断重叠四边形的形状,并证明；（4）在（3）中,重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在,试求出来；如果不存在,试简要说明理由．【解答】解：（1）∵四边形ADFE是正方形,∴DE===20（cm）（2）∵由折叠可知DG=AD=DF,∴在Rt△DGF中,∠GFD=30°,∠GDF=60°,∵∠GDE=∠EDF,∴∠EDA=30°．∴在Rt△ADE中,tan∠EDA=,∴AE=AD•tan30°=．=AE•AD=×20×=．∴S△DEF（3）重叠四边形MNPQ的形状是菱形；如图1,证明：因纸片都是矩形,则重叠四边形的对边互相平行,则四边形MNPQ是平行四边形．如图1,过Q作QL⊥NP于点L,QK⊥NM于点K,又∵QL=QK,∴S MNPQ=PN•QL=MN•QK．∴MN=NP,∴四边形MNPQ的形状是菱形．（4）当矩形纸片互相垂直时,这个菱形的周长最短是40 cm．最大的菱形如图2所示放置时,重叠部分的菱形面积最大．设GK=x,则HK=25﹣x．在Rt△KHB中,x2=（25﹣x）2+102,解得x=14.5．则菱形的最大周长为58 cm．。
2023-2024学年河南省平顶山四十一中九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年河南省平顶山四十一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是( )A. x(x+3)=0B. x2−4y=0C. x2−3=5 D. ax2+bx+c=0(a、b、c为常数)x2.若菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的面积为( )A. 13B. 26C. 120D. 2403.已知一元二次方程x2+4x−3=0，下列配方正确的是( )A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x+2)2=7D. (x−2)2=74.下列说法正确的是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 有一个角为直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5.如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC=140°，则∠BCA等于( )A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°6.已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2−7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )A. 9或12B. 9C. 12D. 217.如图.正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是4，则AB的长为( )A. 4B. 2C. 42D. 228.关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定9.如图，已知∠MON，点A在OM边上，点B在ON边上，且OA=OB，点E在OB边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形AEBF，平行四边形AEBF，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线OC是∠MON的角平分线，你认为他们说法正确的是( )A. 小明，小红都对B. 小明，小红都错C. 小明错误，小红正确D. 小明正确，小红错误10.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=6，BC=10，则GH的长度为( )A. 32B. 292C. 342D. 2二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.观察表格，一元二次方程x2−x−1.1=0的一个解的取值范围是______．x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2−x−1.1−0.71−0.54−0.35−0.140.090.340.6112.如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．13.某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程______ ．14.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为______．15.矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=4.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。
2023-2024学年贵州省遵义十二中九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年贵州省遵义十二中九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列属于一元二次方程的是（ ）A．x2﹣3x+y＝0B．xC．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝32．随着贵州“村超”的火爆出圈，黔东南州榕江县搭乘“村超”快车，“超级星期六足球之夜”品牌价值日益彰显，旅游业持续升温．据初步测算，榕江县已累计接待游客50万人次，实现旅游综合收入12.41亿元这个数据用科学记数法表示为（ ）A．12.41×108元B．1.241×109元C．1.241×1010元D．1.241×108元3．把一元二次方程（x﹣1）2＝3x﹣2化为一般形式，若二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为（ ）A．﹣3 和3B．﹣3 和1C．﹣5 和3D．﹣5 和14．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的过程中，配方正确的是（ ）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x+2）2＝6D．（x﹣2）2＝6 5．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）A．2021B．2022C．2023D．20246．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定7．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105B．（16﹣x）（8﹣x）＝105C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105D．（16﹣2x）（8﹣x）＝1058．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）A．x≥﹣1B．x≠2C．x≥﹣1且x≠2D．﹣1≤x＜29．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0 10．新冠肺炎奥密克戎变异株BA.5自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，20﹣30分钟左右呈现指数复制，12﹣24小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）A．13B．11C．12D．1411．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）A．8B．9C．8或9D．1212．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P 两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．方程（x+2）2＝8，则方程的根为 ．14．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．15．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 ．16．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 ．三、解答题（本题共9小题，共98分）17．计算题：（1）；（2）解方程：（3﹣y）2+y2＝12．18．先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）是△ABC的顶点．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）直接写出点C1的坐标；（3）在y轴上找一点P使PA+PC最小，求出P点坐标为 ．20．已知方程x2﹣4x+m＝0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值．21．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B开始沿边BA 以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达A或者C时停止运动．（1）几秒后PQ长度为6cm？（2）几秒后△PBQ的面积是24平方厘米？22．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0（k为常数）．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1•x2﹣1，求k的值．23．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．24．“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖．2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩．（1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；（2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？25．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G、H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）设矩形EFGH的面积为S1，△ABE的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）（2）如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为（2，0），当△OMN为等腰三角形时，求点M的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列属于一元二次方程的是（ ）A．x2﹣3x+y＝0B．xC．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝3【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D．方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．随着贵州“村超”的火爆出圈，黔东南州榕江县搭乘“村超”快车，“超级星期六足球之夜”品牌价值日益彰显，旅游业持续升温．据初步测算，榕江县已累计接待游客50万人次，实现旅游综合收入12.41亿元这个数据用科学记数法表示为（ ）A．12.41×108元B．1.241×109元C．1.241×1010元D．1.241×108元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：12.41亿元＝1241000000元＝1.241×109元．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．把一元二次方程（x﹣1）2＝3x﹣2化为一般形式，若二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为（ ）A．﹣3 和3B．﹣3 和1C．﹣5 和3D．﹣5 和1【分析】先把方程化为一般式得到x2﹣5x+3＝0，然后根据一次项系数和常数项的定义求解．解：去括号得x2﹣2x+1＝3x﹣2，移项、合并得x2﹣5x+3＝0，所以一次项系数为﹣5，常数项为3．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的过程中，配方正确的是（ ）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x+2）2＝6D．（x﹣2）2＝6【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．5．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）A．2021B．2022C．2023D．2024【分析】根据一元二次方程的解的意义可得2a2＝6a﹣4，从而可得a2﹣3a＝﹣2，然后代入式子中进行计算，即可解答．解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，∴2a2＝6a﹣4，∴2a2﹣6a＝﹣4，∴a2﹣3a＝﹣2，∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．7．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105B．（16﹣x）（8﹣x）＝105C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m，根据题意列出方程即可求出答案．解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m，根据题意，得：（16﹣x）（8﹣x）＝105．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．8．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）A．x≥﹣1B．x≠2C．x≥﹣1且x≠2D．﹣1≤x＜2【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得，x+1≥0，x﹣2≠0，解得，x≥﹣1且x≠2，故选：C．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．9．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．新冠肺炎奥密克戎变异株BA.5自2021年底出现后，目前已成为全球流行的变异株，更是近期深圳感染的主要毒株，潜伏期更短，传播力更强，传播速度更快．变异株2分钟左右进入宿主细胞，20﹣30分钟左右呈现指数复制，12﹣24小时后释放成熟的病毒颗粒，通过气溶胶等方式进行传播．若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染几个人（ ）A．13B．11C．12D．14【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为338人，设平均每人感染x人，则列式为2（x+1）2＝338．即可解答．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得2（x+1）2＝338．解得：x＝12或x＝﹣14（舍去）．∴每轮传染中平均一个人传染了12个人，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）A．8B．9C．8或9D．12【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．解：当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，∴Δ＝36﹣4k＝0，∴k＝9，此时两腰长为3，∵2+3＞3，∴k＝9满足题意，当等腰三角形的腰长为2时，此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，∴4﹣12+k＝0，∴k＝8，此时另外一根为：x＝4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，k＝9，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．12．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P 两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1；利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE 求出BC的长．解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则AB＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即t2+t﹣12＝0，∴（t﹣3）（t+4）＝0，解得t＝3或t＝﹣4，由于t＞0，∴t＝3．∴BE＝3，∵点E为BC的中点，∴BC＝6．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．方程（x+2）2＝8，则方程的根为 x＝2﹣2或x＝﹣2﹣2 ．【分析】利用直接开平方法解方程即可．解：（x+2）2＝8，x+2＝2或x+2＝﹣2，x＝2﹣2或x＝﹣2﹣2，故答案为：x＝2﹣2或x＝﹣2﹣2．【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握开平方法解一元二次方程的方法是解题的关键．14．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 4 ．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值．解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴a2﹣14＝2且a+4≠0，解得：a＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．15．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 74 ．【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）．∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）．∴x2﹣9＝7，∴10（x2﹣9）+x＝74．答：原两位数为74．故答案为：74．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．16．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 3 ．【分析】将n2+2n﹣1＝0变形为_﹣1＝0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+＝2，代入＝m+1+可得．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．三、解答题（本题共9小题，共98分）17．计算题：（1）；（2）解方程：（3﹣y）2+y2＝12．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂，零指数幂，以及二次根式的运算法则计算即可；（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．解：（1）原式＝﹣8+2﹣+3﹣2﹣1＝﹣6﹣；（2）方程整理得：2y2﹣6y﹣3＝0，这里a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，∵Δ＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，实数的运算，零指数幂，以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．18．先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件得到m的值，把m的值代入计算，得到答案．解：÷（m+3+）＝÷＝•＝．解方程x2﹣2x﹣1＝0得，x1＝+1，x2＝﹣+1，所以m（m﹣2）＝（+1）（+1﹣2）＝（+1）（﹣1）＝1．或m（m﹣2）＝（﹣+1）（﹣+1﹣2）＝（+1）（﹣1）＝1．所以原式＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值、一元二次方程的解法，掌握分式的混合运算法则、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）是△ABC的顶点．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）直接写出点C1的坐标；（3）在y轴上找一点P使PA+PC最小，求出P点坐标为 （0，） ．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）连接AC1，交y轴于点P，此时PA+PC最小，即可得出答案．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）由图可得，点C1的坐标为（1，2）．（3）连接AC1，交y轴于点P，此时PA+PC最小，设点P坐标为（0，m），则，解得m＝，∴P点坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．20．已知方程x2﹣4x+m＝0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值．【分析】把x＝﹣2代入方程x2﹣4x+m＝0得出4+8+m＝0，求出m，得出方程x2﹣4x﹣12＝0，设方程的另一个根为a，则a+（﹣2）＝4，求出a即可．解：把x＝﹣2代入方程x2﹣4x+m＝0得：4+8+m＝0，解得：m＝﹣12，即方程为x2﹣4x﹣12＝0，设方程的另一个根为a，则a+（﹣2）＝4，即得：a＝6，即方程的另一根为6，m＝﹣12．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根为x1和x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．21．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B开始沿边BA 以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达A或者C时停止运动．（1）几秒后PQ长度为6cm？（2）几秒后△PBQ的面积是24平方厘米？【分析】设t秒后△PBQ的面积等于24平方厘米，分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据△PBQ的面积为24平方厘米列出方程求得时间即可．解：（1）设x秒后PQ长度为6cm，PQ＝解得：t1＝﹣（不合题意舍去），t2＝．答：秒后PQ长度为6cm，（2）设t秒后△PBQ的面积等于24平方厘米，根据题意得：×2t×t＝24，解得：t1＝﹣2（不合题意舍去），t2＝2．答：2秒后△PBQ的面积等于24平方厘米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0（k为常数）．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1•x2﹣1，求k的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+k，代入x1+x2＝x1x2﹣1得出关于k的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+k）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k＝1＞0，∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+k，由x1+x2＝x1•x2﹣1，得：﹣（2k+1）＝k2+k﹣1，解得：k＝0或﹣3，∴k的值为0或﹣3．【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．23．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【分析】（1）设BC＝xm，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．（2）设BC＝xm，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．解：（1）设BC＝xm，则AB＝（39﹣3x）m，由题意得：x（39﹣3x）＝120，整理得：x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．（2）设BC＝xm，则AB＝（39﹣3x）m，由题意得：x（39﹣3x）＝130，整理得：3x2﹣39x+130＝0，Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，方程无实数解；所以想法不能实现．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．24．“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖．2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩．（1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；（2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？【分析】（1）设平均增长率为x，则根据a（1+x）n＝b，即可列出方程．其中，a＝100，n＝2，b＝196；（2）设售价降低m元，则每天的数量为（200+50m）千克，根据总利润＝单利×数量，即可列出方程，因为减少存量，则取较大的解即可．解：（1）设平均增长率为x，100（1+x）2＝196，1+x＝±1.4，x1＝﹣2.4（舍），x2＝0.4，答：平均增长率为40%．（2）设售价降低m元，（20﹣12﹣m）（200+50m）＝1750，m2﹣4m+3＝0，m1＝1，m2＝3，∵减少存量，∴m＝3．答：降3元可获利1750元，同时减少了存量．【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是关键；本题还需要注意数量的表示．25．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G、H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）设矩形EFGH的面积为S1，△ABE的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）（2）如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为（2，0），当△OMN为等腰三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）由题意可求出CD＝8＝AD，即得出∠DAC＝∠DCA＝45°，再结合矩形的性质可求出∠DFE＝∠DEF＝∠DAC＝∠DCA＝45°，即得出DE＝DF＝x，从而得出AE＝CF＝8﹣x，，进而可求出S2＝．又可证AH＝EH，结合勾股定理可求出，从而可求出S1＝EF•EH＝8x﹣x2，再作比，化简即可得出答案，最后由题意即可确定x的取值范围；（2）根据题意画出图象，分类讨论：①当OM＝MN时，如图点M1；②当OM＝ON时，如图点M2；③当MN＝ON时，如图点M3，分别根据等腰三角形的定义结合勾股定理即可求解．解：（1）∵BC＝14，AD＝8，BD＝6，∴CD＝8＝AD．∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠DCA＝45°．∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥AC，∠AHE＝∠CGF＝90°．∴∠DFE＝∠DEF＝∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DE＝DF＝x，∴AE＝CF＝8﹣x，，∴S2＝S△ABE＝，∵∠DAC＝45°，∠AHE＝90°，∴AH＝EH．∵AH2+EH2＝AE2，，∴S1＝S矩形EFGH＝EF•EH＝，∴，∵点E是AD上一动点（不与点A，D重合），∴0＜x＜8，∴y关于x的函数解析式为．（2）分类讨论：①当OM＝MN时，如图点M1，∵N（2.0），∴＝1，∴＝，∴此时M点坐标为；②当OM＝ON时，如图点M2，过点M2作M2P⊥x轴于点P，∵N（2，0），∴OM2＝ON＝2，设，∴，解得（舍去负值），∴，∴此时M点坐标为；③当MN＝ON时，如图点M3，过点M3作M3Q⊥x轴于点Q，∵N（2，0），∴M3N＝ON＝2，设，∴NQ＝b﹣2，∵，∴，解得，b2＝0（舍），∴．∴此时M点坐标为．综上，点M的坐标为或或．【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查矩形的性质，一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的实际应用等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．。
九年级数学第一次月考阶段性测试(苏科版第1-2章,培优卷)(解析版)
九年级数学第一次月考阶段性测试(江苏专用，10月份培优卷)班级：__________姓名：___________得分：__________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择6道、填空10道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.(23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习)下列方程是一元二次方程的是()A.2x+y=1B.x2=0C.x x+3=x2 D.x2+3x=1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A、2x+y=1是二元一次方程，故A选项不符合题意；B、x2=0是一元二次方程，故B选项符合题意；C、x x+3=x2整理得3x=0，是一元一次方程，故C选项不符合题意；D、x2+3x=1是分式方程，不是整式方程，故D选项不符合题意；故选：B．2.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)将一元二次方程x x+1=2化为一般形式，正确的是() A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2+x=2 D.x2+2x-2=0【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0a≠0，即可求解．【详解】解：∵x x+1=2，∴x2+x-2=0，故选：A．3.(2024·江苏无锡·一模)下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】本题考查圆的性质，涉及确定圆的条件、圆心角与弧的关系、切线判定、圆内接四边形、三角形的内心与外心定义等知识，根据相关概念，逐项判断即可得到答案，熟记与圆有关的概念与性质是解决问题的关键．【详解】解：①当三点在一条直线上时，无法确定一个圆；故①结论错误；②圆的大小不同，相等的圆心角所对的弧不相等；故②结论错误；③经过半径的端点(不是圆心)并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故③结论错误；④圆内接四边形对角互补；故④结论正确；⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离都相等；故⑤结论正确；⑥直角三角形的外心在斜边的中点上；故⑥结论错误；综上所述，正确的结论是④⑤，共2个，故选：B ．4.(24-25九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC上的点．连接AC ，若∠BAC =20°，则∠D 的度数为( )．A.100°B.110°C.120°D.130°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，根据圆周角定理求出∠ADB 及∠BDC 的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．【详解】解：连接BD ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB =90°，∵∠BAC =20°，∴∠BDC =∠BAC =20°，∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =90°+20°=110°，故选：B ．5.(2024·江苏无锡·一模)设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2m +1 x +m 2+2=0的两个实数根，且x 1+1 x 2+1 =8，则m 的值为()A.1B.-3C.3或-1D.1或-3【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 根与系数关系：x 1+x 2=-b a ,x 1⋅x 2=ca．先根据一元二次方程根与系数的关系得出x 1x 2=c a =m 2+2,x 1+x 2=-ba=2m +1 ，再得出x 1+1 x 2+1 =x 1x 2+x 1+x 2+1=8，得出关于m 的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．【详解】解：∵x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2m +1 x +m 2+2=0的两个实数根，∴x 1x 2=c a =m 2+2,x 1+x 2=-ba=2m +1 ，∵x 1+1 x 2+1 =x 1x 2+x 1+x 2+1=8，∴m 2+2+2m +1 +1=8，整理得：m 2+2m -3=0，m -1 m +3 =0，解得：m =1或m =-3，当m =1时，原方程为x 2-4x +3=0，Δ=b 2-4ac =16-4×1×3=4>0，则原方程有实数根，符合题意；当m =-3时，原方程为x 2+4x +11=0，Δ=b 2-4ac =16-4×1×11=-28<0，则原方程无实数根，不符合题意；综上：m =1．故选：A ．6.(2023·湖北武汉·模拟预测)如图，AB 为⊙O 直径，C 为圆上一点，I 为△ABC 内心，AI 交⊙O 于D ，OI ⊥AD 于I ，若CD =4，则AC 为()A.1255B.1655C.25D.5【答案】A【分析】如图，连接BI ，BD ，由题意知，AD 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，则∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ，BD=CD，BD =CD =4，由∠DBI =∠DBC +∠CBI =∠DAC +∠CBI =∠DAB +∠ABI =∠BID ，可得ID =BD =4，由垂径定理得OI ⊥AD ，则AD =2ID =8，由勾股定理得，AB =BD 2+AD 2=45，如图，连接OD 交BC 于E ，则OD ⊥BC ，设DE =x ，则OE =25-x ，由勾股定理得，BE 2=OB 2-OE 2=BD 2-DE 2，即25 2-25-x 2=42-x 2，解得x =455，进而可得BE =855，BC =2BE =1655，由勾股定理得，AC =AB 2-BC 2，计算求解即可．【详解】解：如图，连接BI ，BD ，由题意知，AD 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ，∴BD=CD，BD =CD =4，∵∠DBI =∠DBC +∠CBI =∠DAC +∠CBI =∠DAB +∠ABI =∠BID ，∴ID =BD =4，∵OI ⊥AD ，∴AD =2ID =8，由勾股定理得，AB =BD 2+AD 2=45，如图，连接OD 交BC 于E ，则OD ⊥BC ，设DE =x ，则OE =25-x ，由勾股定理得，BE 2=OB 2-OE 2=BD 2-DE 2，即25 2-25-x 2=42-x 2，解得x =455，∴BE =855，BC =2BE =1655，由勾股定理得，AC =AB 2-BC 2=1255，故选：A ．【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请把答案直接填写在横线上7.(23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习)若x 2=x ，则x =．【答案】1或0【分析】移项后分解因式得出x (x -1)=0，推出x =0，x -1=0，求出即可．本题考查了解一元二次方程，掌握方法是解题的关键．【详解】解：x 2=x ，∴x 2-x =0，∴x (x -1)=0，∴x =0，x -1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故答案为：1或0．8.(23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习)已知一元二次方程x 2-5x +2=0的两个根为x 1、x 2，x 1+x 2则的值为．【答案】5【分析】本题考查了韦达定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据韦达定理进行计算即可．【详解】解：∵x 2-5x +2=0∴a =1，b =-5∴x 1+x 2=-b a =--51=5故答案为：5．9.(24-25九年级上·江苏南京·阶段练习)若关于x 的方程kx 2-x +1=0有两个不等的实数根，则k 的值为．【答案】k <14且k ≠0【分析】本题考查一元二次方程判别式，熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则Δ>0是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，Δ>0，结合一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个不等的实数根，则Δ>0，且k ≠0，即Δ=b 2-4ac =-1 2-4×1×k =1-4k >0，解得，k <14，∴k <14且k ≠0．故答案为：k <14且k ≠010.(22-23九年级上·江苏扬州·单元测试)在半径是20cm的圆中，的圆心角所对的弧长为cm．(结果保留π)【答案】10π【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式l=nπr180n是圆心角度数，r是半径，由此即可求解．【详解】解：的圆心角所对的弧长为l=90π×20180=10π，故答案为：10π．11.(2024·北京门头沟·一模)如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是．【答案】90°的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“90°的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．12.(2024·江苏扬州·模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D=34°，则∠A的度数为．【答案】28°/28度【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接OC，根据切线的性质得∠OCD=90°，求出∠DOC的度数，再根据圆周角定理计算∠A的度数．【详解】解：如图，连接OC，∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC，∴∠OCD=90°，∵∠D=34°，∴∠DOC=90°-34°=56°，∴∠A=12∠DOC=28°，故答案为：28°．13.(20-21九年级上·四川绵阳·阶段练习)若关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1,x2=3，则方程a (x -1)2+b (x -1)+c =0的解为．【答案】x 1=0,x 2=4【分析】将第二个方程中的(x -1)看成一个整体，则由第一个方程的解可知，x -1=-1或3，从而求解【详解】解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=-1,x 2=3，∴方程a (x -1)2+b (x -1)+c =0的解为x -1=-1或3，解得：x 1=0,x 2=4．【点睛】本题考查一元二次方程的解的概念，正确理解概念，利用换元法解方程是解题关键．14.(2024·江苏泰州·三模)如图，正五边形ABCDE 的边长为6，以顶点A 为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是．【答案】1.8【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键．先利用正多边形内角和定理求出∠A 的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可．【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴∠A =180°×5-35=108°，设底面圆的半径为r ，则2πr =108π×6180，解得r =1.8，故答案为：1.8．15.(22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习)如图，⊙M 半径为2，圆心M 坐标(3,4)，点P 是⊙M 上的任意一点，P A ⊥PB ，且P A 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为．【答案】6【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可．由Rt△APB中AB=2OP得到要使AB取得最小值，即OP需取最小值，连接OM，交⊙M于点P 即可得到答案．【详解】解：连接OP，∵P A⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，要使AB取得最小值，即OP需取最小值，连接OM，交⊙M于点P ，此时OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3,MQ=4，∴OM=5，∵MP =2，∴OP =3，∴AB=2OP =6，故答案为：6．16.(22-23九年级上·江苏盐城·期中)以正方形ABCD的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若△CDE的周长为12，则正方形ABCD的边长为．【答案】4【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键．根据切线长定理可得AE=EF,BC=CF，然后根据△CDE的周长可求出正方形的边长．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD=CD=BC=AB，∵CE与半圆O相切于点F，以正方形ABCD的边为直径作半圆O，∴AD,BC与半圆O相切，∴AE=EF,BC=CF，∵△CDE的周长为12，∴EF+FC+CD+ED=12，∴AE+ED+CD+BC=AD+CD+BC=12，∵AD=CD=BC=AB，∴正方形ABCD的边长为4．故答案为：4．三、解答题(本大题共10小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(23-24九年级上·江苏常州·期末)解下列方程：(1)x2-4x=12；(2)3x(2x-5)=4x-10．【答案】(1)x1=6，x2=-2；(2)x1=23，x2=52．【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．(1)运用配方法解一元二次方程即可求解；(2)运用因式分解法求一元二次方程即可求解．【详解】(1)解：x2-4x=12x2-4x+4=16x-22=16x-2=±4∴x1=6，x2=-2；(2)解：3x(2x-5)=4x-103x2x-5-22x-5=02x-53x-2=0∴2x-5=0或3x-2=0，∴x1=52，x2=23．18.(23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习)如图，平面直角坐标系中有一个△ABC．(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心点O；(2)△ABC的外接圆的圆心坐标是；(3)该圆圆心到弦AC的距离为；(4)△ABC最小覆盖圆的半径为．【答案】(1)见解析(2)5,2(3)10(4)10【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键．(1)根据三角形外心的性质，分别作AB与BC的垂直平分线，两直线相交于点O，则O点即是△ABC的外接圆的圆心；(2)根据(1)所求，可由坐标系直接得到答案；(3)取AC的中点P，连接OP，根据等腰三角形三线合一可知OP⊥AC，利用勾股定理求出OP即为所求；(4)利用勾股定理求出CP即可．【详解】(1)解：分别作AB与BC的垂直平分线，两直线相交于点O，则O点即是△ABC的外接圆的圆心，如图即为所求：(2)解：由(1)可知，O点坐标为5,2故答案为：5,2．(3)解：取AC的中点P，连接OP，如图，OA=OC则OP⊥AC∵OP=12+32=10∴该圆圆心到弦AC的距离为10故答案为：10．(4)解：由图可知，最小覆盖圆的半径为CP长如图所示，可知CP为所求，利用网格CP=12+32=10故答案为：10．19.(22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习)如图，已知AB、MD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．(1)若CD=16cm,OD=10cm，求BE的长：(2)若∠M=∠D，求∠D的度数．【答案】(1)4cm(2)30°【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．(1)由垂径定理求出DE的长，再根据勾股定理求出答案即可；(2)根据圆周角定理求得∠D=1∠BOD，再根据两锐角互余的性质得到答案．2【详解】(1)解：∵弦CD⊥AB，CD=16cm，CD=8cm，∴CE=DE=12在Rt△OED中，OE=OD2-DE2=102-82=6cm，∴BE=OB-OE=10-6=4cm；∠BOD，(2)解：∵∠M=∠D,∠M=12∠BOD，∴∠D=12∵∠D+∠BOD=90°，∠D=30°．20.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)关于x的方程x2-m+4x+3m+3=0．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若该方程有两个实数根x1,x2，且x1+1=3，求m的值．x2+1【答案】(1)证明见详解(2)m=-54【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=m+4,x1x2=3m+3，将x1+1=3展开，代入x2+1求解即可．【详解】(1)证明：a=1,b=-m+4,c=3m+3，∴Δ=m+42≥0，=m-22-4×1×3m+3∴不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)解：x1+1=3，x2+1x1x2+x1+x2+1=3，对于方程x2-m+4x+3m+3=0，可得x1+x2=m+4,x1x2=3m+3，∴m+4+3m+3+1=3，解得：m=-5 4．21.(24-25九年级上·全国·单元测试)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．(1)当羊圈的边AB的长为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】(1)当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈(2)羊圈的面积不能达到650m2，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．(1)设羊圈的边AB的长为xm，则边BC的长为72-2xm根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；(2)同(1)的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．【详解】(1)解：设羊圈的边AB的长为xm，则边BC的长为72-2xm，根据题意，得x72-2x=640，化简，得x2-36x+320=0，解方程，得x1=16，x2=20，当x1=16时，72-2x=40，当x2=20时，72-2x=32．答：当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．(2)不能，理由如下：根据题意，得x72-2x=650，化简，得x2-36x+325=0，∵b2-4ac=-362-4×325=-4<0，∴该方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m222.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．(1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？【答案】(1)25%(2)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．(1)设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；(2)设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为y-25元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】(1)解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得：2561+x 2=400，解得：x 1=0.25=25%，x 2=-2.25(不符合题意，舍去)答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%．(2)设该棉帽售价为y 元，则每件的销售利润为y -35 元，月销售量为400+2058-y =1560-20y 件根据题意得：y -35 1560-20y =8400解得：y 1=50，y 2=63(不符合题意，舍去)．答：该款棉帽售价为元时，月销售利润达8400元．23.(22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习)如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是圆的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD，(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)直线AB 与CD 交于点F ，且DF =4，AF =2，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)连接OD ，根据切线的性质得到OB ⊥BC ，证明△DOC ≌△BOC ，根据切线的性质得到∠ODC =∠OBC =90°，根据切线的判定定理证明结论；(2)设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙O 的半径．【详解】(1)证明：连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，∵OC ∥AD ，∴∠BOC =∠OAD ，∠DOC =∠ODA ，∵OA =OD ，∴∠ODA =∠OAD ，∴∠DOC =∠BOC ，在△DOC 和△BOC 中，OD =OB∠DOC =∠BOC OC =OC，∴△DOC ≌△BOC (SAS )，∴∠ODC =∠OBC =90°，∴OD ⊥CD ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DC 是⊙O的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OF =OA +AF =r +4，在Rt △ODF 中，OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=(r +2)2，解得：r =3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．24.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x 2-4x +3=0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．(1)下列方程是三倍根方程的是；(填序号即可)①x 2-2x -3=0；②x 2-3x =0；③x 2+8x +12=0．(2)如果关于x 的方程x 2-8x +c =0是“三倍根方程”，求c 的值；(3)如果点p ,q 在反比例函数y =3x的图象上，那么关于的x 方程px 2-4x +q =0是“三倍根方程”吗？请说明理由．(4)如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 是“3倍根方程”，那么a 、b 、c 应满足的关系是．(直接写出答案)【答案】(1)③(2)c =12；(3)方程px 2-4x +q =0是“三倍根方程”；见解析(4)3b 2-16ac =0【分析】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．(1)分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；(2)根据“三倍根方程”的定义设关于x 的方程x 2-8x +c =0的两个根为x 1，3x 1，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；(3)方程px 2-4x +q =0化为方程px 2-4x +3p =0，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案；(4)根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为a x -t x -3t =0，解方程即可得到结论．【详解】(1)解：由x 2-2x -3=0可得：x 1=-1，x 2=3，不满足“三倍根方程”的定义；由x 2-3x =0可得：x 1=0，x 2=3，不满足“三倍根方程”的定义；由x 2+8x +12=0可得：x 1=-2，x 2=-6，满足“三倍根方程”的定义；故答案为：③；(2)解：设关于x 的方程x 2-8x +c =0的两个根为x 1，3x 1，由一元二次方程根与系数的关系可知：x 1+3x 1=8，3x 12=c ，∴x 1=2，c =12；(3)解：∵点p ,q 在反比例函数y =3x的图象上，∴q =3p ，∴方程px 2-4x +q =0化为方程px 2-4x +3p=0，整理得px -3 px -1 =0，解得x 1=3p ，x 2=1p，∴方程px 2-4x +q =0是“三倍根方程”；(4)解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根为t 和3t ．∴原方程可以改写为a x -t x -3t =0，∴ax 2+bx +c =ax 2-4atx +3at 2，∴b =-4at c =3at 2 ．解得3b 2-16ac =0．∴a ，b ，c 之间的关系是3b 2-16ac =0．故答案为：3b 2-16ac =0．25.(23-24九年级上·江苏无锡·期中)如图1，平行四边形ABCD 中，AB =8,BC =4,∠ABC =60°．点P为射线BC 上一点，以BP 为直径作⊙O 交AB 、DC 于E 、F 两点．设⊙O 的半径为x ．(1)如图2，当⊙O 与DP 相切时，x =．(2)如图3，当点P 与点C 重合时，①求线段CE 长度；②求阴影部分的面积；(3)当⊙O 与平行四边形ABCD 边所在直线相切时，求x 的值；【答案】(1)4(2)①23；②2π3-3(3)x =-12+83或43【分析】(1)由平行四边形的性质可得：AB ∥CD ，AB =CD =8，得出∠DCP =∠ABC =60°，再由切线的性质可得DP ⊥BP ，得出∠CDP =30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，可得CP =12CD =4，推出⊙O 的直径BP =8，即可得出答案；(2)①运用勾股定理即可求得答案；②如图2，连接OE ，利用圆周角定理可得出∠BOE =2∠BCE =60°，过点E 作EH ⊥OB 于H ，则∠OEH =30°，利用勾股定理可求得EH =3，再运用扇形面积公式和三角形面积公式即可求得答案；(3)分两种情况：①当⊙O 与直线CD 相切时，由切线性质可得∠OFC =90°，进而可得OB =OF =x ，OC =4-x ，CF =12(4-x )，再由勾股定理建立方程求解即可；②当⊙O 与直线AD 相切时，如图4，过点O 作OT ⊥AD 于T ，连接AC ，则OT =OB =x ，证明四边形ACOT 是矩形，即可得出答案【详解】(1)解：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =8,BC =4,∠ABC =60°．∴AB ∥CD ,AB =CD =8，∴∠DCP =∠ABC =60°，∵⊙O 与DP 相切，∴DP ⊥BP ，∴∠CPD =90°，∴∠CDP =90°-∠DCP =30°，∴CP =12CD =4，∴⊙O 的半径x =4，(2)解：①∵点P 与点C 重合，∴BC 为⊙O 的直径，∴∠BEC =90°，∴∠BCE =90°-∠CBE =30°，∴BE =12BC =2，在Rt △BCE 中，CE =BC 2-BE 2=42-22=23，②如图2，连接OE ，∵BE =BE，∴∠BOE =2∠BCE =60°，过点E 作EH ⊥OB 于H ，则∠OEH =30°，∴OH =12OE =1，∴EH =OE 2-OH 2=22-12=3，∴S 阴影=S 扇形OBE -S △OBE=60π×22360-12×2×3=2π3-3；(3)解：①当⊙O 与直线CD 相切时，如图3，∴OF ⊥CD ，∴∠OFC =90°，∵∠OCF =∠ABC =60°，∴∠COF =30°，∴CF =12OC ，∵OB =OF =x ，∴OC =4-x ,CF =124-x ，∵CF 2+OF 2=OC 2，∴124-x2+x 2=4-x 2，解得：x =-12+83或x =-12-83(舍去)，②当⊙O 与直线AD 相切时，如图4，过点O 作OT ⊥AD 于T ，连接AC ，则OT =OB =x ，取AB 的中点G ，连接CG ，∴BG =AG =12AB =4=BC ,∵∠ABC =60°，∴△BCG 是等边三角形，∴CG =BC =4=AG ，∴∠BAC =∠ACG =30°，∴∠ACB =90°∴AC =82-42=43,∴∠ACO =90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠TOC =∠DTO =∠ATO =90°=∠ACO ，∴四边形ACOT 是矩形，∴x =OT =AC =43;综上所述，x =-12+83或43；【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，切线的性质等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．26.(23-24九年级上·江苏南京·阶段练习)【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考(1)如图1，AB 是⊙O 的弦，∠AOB =100°，点P 1、P 2分别是优弧AB 和劣弧AB 上的点，则∠AP 1B =°，∠AP 2B =°；(2)如图2，AB 是⊙O 的弦，圆心角∠AOB =m °(m <180°)，点P 是⊙O 上不与A 、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数为；(用m 的代数式表示)【问题解决】(3)如图3，已知线段AB ，点C 在AB 所在直线的上方，且∠ACB =135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C 所组成的图形(①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹)；【实际应用】(4)如图4，在边长为12的等边三角形ABC 中，点E 、D 分别是边AC 、BC 上的动点，连接AD 、BE ，交于点P ，若始终保持AE =CD ，当点E 从点A 运动到点C 时，PC 的最小值是．【答案】(1)50，130；(2)180°-m 2°；(3)见解析；(4)43【分析】(1)根据圆周角定理即可求出∠AP 1B =50°，根据圆内接四边形即可求出∠AP 2B =130°；(2)分P 在优弧AB 上和P 在劣弧AB 上两种情况分类讨论即可求解；(3)作线段AB 的垂直平分线，以AB 为直径作圆，交垂直平分线于点O ，以点O 为圆心，以OA 为半径作圆，则AB (实线部分且不包含A 、B 两个端点)就是所满足条件的点C 所组成的图形；(4)先证明△ACD ≌△BAE ，得到∠BAP +∠ABP =60°，∠APB =120°，根据(3)问点P 的运动轨迹是AB，∠AOB =120°，连接CO ，证明△OAC ≌△OBC ，进而得到∠ACO =∠BCO =30°，∠AOC =∠BOC =60°∠OAC =∠OBC =90°，根据勾股定理求出OP =OB =43OC =83，根据PC ≤OC -OP ，可得PC ≥43，即可求出PC 的最小值为43．【详解】解：(1)∠AP 1B =12∠AOB =12×100°=50°，∠AP 2B =180°-∠APB =180°-50°=130°．故答案为：50，130；(2)当P 在优弧AB 上时，∠APB =12∠AOB =m 2 °；当P 在劣弧AB 上时，∠APB =180°-m 2 °；故答案为：m 2 °或180°-m 2 °(3)如图AB (实线部分且不包含A 、B 两个端点)就是所满足条件的点C 所组成的图形．证明：∵AB 为⊙P 的直径，∴∠AOB =90°，在⊙O 中，∵点C 在AB 上，由(2)得∠ACB =180°-∠AOB 2=135°，∴AB (实线部分且不包含A 、B 两个端点)就是所满足条件的点C 所组成的图形；(4)解：如图，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠BAC =∠ACB =60°，∵AE =CD ，∴△ACD ≌△BAE ，∴∠CAD =∠ABE ，∵∠BAP +∠ABP =∠BAP +∠CAD =∠BAC =60°，∴∠APB =120°，∴点P 的运动轨迹是AB ，∴∠AOB =120°．连接CO ，∵OA =OB ,CA =CB ,OC =OC ，∴△OAC ≌△OBC ，∴∠ACO =∠BCO =30°，∠AOC =∠BOC =60°，∴∠OAC =∠OBC =90°，在Rt △OBC 中，设OB =x x >0 ，则OC =2x ，根据勾股定理得2x 2-x 2=122，解得x =43，∴OC =2x =83，OP =OB =43，∵PC ≤OC -OP ，∴PC ≥43，∴PC的最小值为43．故答案为：43．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，综合性强，难度较大，解题时要熟知相关知识，注意在解决每一步时都要应用上一步结论进行解题．。
四川省内江市隆昌市重点中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省内江市隆昌重点中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分、以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
）1．（4分）下列式子一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．2．（4分）要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠13．（4分）下列四条线段中，成比例线段的是（ ）A．1，2，3，4B．3，4，5，8C．1，，，2D．1.1，2.2，3.3，4.44．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．5．（4分）下列计算正确的是（ ）A．﹣＝B．×＝C．÷＝D．×＝﹣36．（4分）下列一元二次方程中，两个实数根之和等于﹣2的是（ ）A．x2+2x+4＝0B．2x2+4x﹣1＝0C．x2﹣2＝0D．3x2+5x﹣6＝07．（4分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）A．300（1﹣x）2＝243B．243（1﹣x）2＝300C．300（1﹣2x）＝243D．243（1﹣2x）＝3008．（4分）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）A．﹣3B．0C．3D．99．（4分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）A．11B．11或13C．13D．以上选项都不正确10．（4分）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）A．9人B．10人C．11人D．12人11．（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）A．2015B．2022C．﹣2015D．401012．（4分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4分）①＝ ，②若，则＝ ；14．（4分）已知，则xy的平方根为 ．15．（4分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝ ．16．（4分）已知y≠0，且3x2﹣2xy﹣8y2＝0，则＝ ．三、解答题（本大题共56分。
九年级数学第一次月考卷(苏科版)(解析版)【测试范围：第一章~第二章】
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。
2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。
第Ⅰ卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ）A．x2+2x=―1B．x2﹣4＝2yC．﹣2x2+3＝0D．（a﹣1）x2﹣2x＝0【分析】根据一元二方程的定义进行判断即可．【解答】解：A．x2+2x=―1是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．故选：C．2．（3分）将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0，则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5．故选：B．3．（3分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）A ．（40﹣3x ）（25﹣2x ）＝200B ．（40﹣4x ）（25﹣2x ）＝600C ．40×25﹣80x ﹣100x +8x 2＝200D ．40×25﹣80x ﹣100x ＝600【分析】由人行通道的宽度为x m ，可得出每个展位的长为（25﹣2x ）m ，宽为40―4x 3m ，根据每个展位的面积都为200m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵人行通道的宽度为x m ，∴每个展位的长为（25﹣2x ）m ，宽为40―4x 3m ．依题意得：40―4x 3•（25﹣2x ）＝200，即（40﹣4x ）（25﹣2x ）＝600．故选：B ．4．（3分）如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，点B ．点E 为⊙O 上一点（点E 与A ，B 两点不重合）．若∠P ＝70°，则∠AEB ＝（ ）A ．75°B ．30°或50°C ．60°或120°D ．75°或105°【分析】连接OA ，OB ，分为E 是优弧⌢AB 上一点，和E 是劣弧⌢AB 上一点，两种情况计算即可．【解答】解：（1）如图，点E 为优弧上一点，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，∴∠AEB=12∠AOB=75°，（2）如图，点E为劣弧上一点，若M是优弧⌢AMB上一点，连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，∴∠AMB=12∠AOB=75°，∵四边形AEBM是⊙O的内接四边形，∴∠AMB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝180°﹣75°＝105故选：D．5．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB ，作CB 的垂直平分线，如图所示：在CB 的垂直平分线上找到一点D ，CD ＝DB ＝DA ==∴点D 是过A 、B 、C 三点的圆的圆心，即D 的坐标为（﹣1，﹣2），故选：C ．6．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）A ．133B ．92CD ．【分析】连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，得到∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，由于AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E F G 三点得到∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，推出四边形AFOE ，FBGO 是正方形，得到AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3，∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM=4 3，∴DM＝3+43=133，故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）7．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 ．【分析】把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求结果整体代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6，∴﹣9a+3b＝﹣6，∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018，故答案为：2018．8．（3分）已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 ．【分析】由已知条件可证得圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，根据直线与圆的位置关系可得结论．【解答】解：∵⊙O的圆心坐标为（3，0），∴圆心O到y轴的距离为3，∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∴圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，∴⊙O与y轴相切．故答案为：相切．9．（3分）如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O 的半径长是 ．【分析】连接OA，由垂径定理的推论得出AB⊥CD，由已知可得AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r．【解答】解：连接OA，∵，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，∴AB⊥CD，∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，故答案为：5．10．（3分）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 ．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，则：120πl180=4π，解得l＝6．故答案为：6．11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x31―2024x1+x22的值为 ．【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x21―x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即x31―2024x1=x21，最后代入即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根，∴x21―x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，∴x31―x21―2024x1＝0，∴x31―2024x1=x21，∴x31―2024x1+x22=x21+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+4048＝4049．故答案为：4049．12．（3分）已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为 ．【分析】与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．【解答】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下：过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD，AB＝2AP＝==CD＝2QD＝=在Rt△OPQ中，OP＞OQ，即3＞OQ，∴42﹣32＜42﹣OQ2，∴AB＜CD，∴弦AB最短，故答案为：13．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝ °．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．【解答】解：如图：连接AD ，∵∠O ＝130°，OA ＝OD ，∴∠OAD =12（180°﹣130°）＝25°，∵∠C ＝130°，∴∠BAD ＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO ＝∠BAD +∠OAD ＝25°+50°＝75°．故答案为：75．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上．将AC 沿AC 翻折与AB 交于点D ．若OA ＝3cm ，BC 的度数为40°，则AD = cm ．【分析】作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD =AE ，然后再根据BC 的度数为40°知∠CAB ＝20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE ＝180°﹣80°＝100°，最后运用弧长公式即可解答．【解答】解：如图，作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD =AE ，∵BC 的度数为40°，∴∠CAB ＝20°，∴∠EAB ＝2∠CAB ＝40°，∴∠EOB ＝2∠EAB ＝80°，∴∠AOE ＝180°﹣80°＝100°，∴AE 的长度为100°×2π×3360°=53π，∴AD 的长度为53π．故答案为：53π．15．（3分）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以AB 为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接OD ，ON ，则∠DON ＝ °．【分析】连接OA ，OB ，OE ，OF ，利用正六边形的性质得到OA ＝OB ＝OF ＝OE ＝OD ，∠AOB ＝∠AOF ＝∠FOE ＝∠EOD ＝60°，则△OAB 为等边三角形，D ，O ，A 在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON 的度数，则结论可得．【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，∴∠NAB＝90°，AB＝AN，∴∠NAO＝30°，OA＝AN，∴∠AON＝∠ANO=180°―30°2=75°，∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．故答案为：105．16．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 ．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC=12DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB==5，∴BA′==∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC=12 DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+∴DA′的最大值为5+∴EC三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2+ax﹣2a2＝0．（a为常数且a≠0）【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后两个一次方程即可；（2）先利用因式分解法把方程转化为x+2a＝0或x﹣a＝0，然后两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2+ax﹣2a2＝0，（x+2a）（x﹣a）＝0，x+2a＝0或x﹣a＝0，所以x1＝﹣2a，x2＝a．18．（6分）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使BC与AB的长度相等；（2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使AD与BD的长度相等．【分析】（1）连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求．（2）连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D，点D′即为所求．【解答】解：（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D或D′即为所求．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；（2）注意：分b＝c，b＝a两种情况做．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2，∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解：①当b＝c时，则Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；②解：当b＝a＝3时，∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，∴x＝2或x＝k，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴k＝b＝3，∴c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8；综上所述，△ABC的周长为7或8．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，进而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线；（2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出AD===12，最后再用面积法求解即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，∴BD＝5，∴AD===12，∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，∴12DE⋅AC=12AD⋅CD即DE=60 13．21．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．（2）若DA=DF=π）．【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到EF的距离为圆的半径；（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可；【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∴OD的长是圆心O到EF的距离，∵AB＝90cm，∴OD=12AB=45cm．（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．∵DA＝DF，∴∠F＝∠BAD，由（1）得∠CAD＝∠BAD，∴∠F＝∠CAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，∴(2OD)2―OD2=2，解得OD＝6，在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，OG=12×6=3，∴S △AOD =12××3=∴S 阴影=S 扇形OBD +S △AOD=60π×62360=6π+22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意，得：150（1+x ）2＝216，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元，依题意，得：（y ﹣30）[600﹣10（y ﹣40）]＝10000，整理，得：y 2﹣130y +4000＝0解得：y 1＝80（不合题意，舍去），y 2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．23．（12分）【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】（1）如图1，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝100°，点P 1、P 2分别是优弧AB 和劣弧AB 上的点，则∠AP 1B ＝ 50 °，∠AP 2B ＝ 130 °．（2）如图2，AB 是⊙O 的弦，圆心角∠AOB ＝m （m ＜180°），点P 是⊙O 上不与A 、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数（用m 的代数式表示） （m 2）°或180°﹣（m 2）° ．【问题解决】（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，在点E从点A运动到点C过程中，PC的最小值是【分析】（1）根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数；（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；（3）先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形；（4）由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AF＝BE，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，结合勾股定理分别求得DC、DP，即可得解．【解答】解：（1）∠AP1B=12∠AOB=12×100°＝50°，∠AP2B＝180°﹣∠APB＝180°﹣50°＝130°．故答案为：50，130；（2）当P在优弧AB上时，∠A PB=12∠AOB＝（m2）°；当P在劣弧AB上时，∠A PB＝180°﹣（m 2）°；故答案为：（m2）°；180°﹣（m2）°；（3）如图劣弧AB（不包含A、B两个端点）就是所满足条件的点C所组成的图形；（4）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝12，∠BAC ＝∠C ＝60°．在△AEB 和△CFA 中，AB =AC∠BAC =∠C AE =CF，∴△AEB ≌△CFA （SAS ），∴AF ＝BE ．点P 的路径是一段弧，由题目不难看出当E 为AC 的中点的时候，点P 经过弧AB 的中点，PC 最小，此时△ABP 为等腰三角形．且∠ABP ＝∠BAP ＝30°，OC ⊥AB ，如图3：∴∠AOB ＝120°，∵AB ＝12，AP ＝2DP ，∴AD ＝6，DP =∴DP ＝在Rt △ADC 中，DC ===∴PC ＝=故答案为：24．（12分）已知△ABC 的外接圆，圆心为点O ，点P 是该三角形的内心．（1）如图1，在△ABC 中，直线AP 与△ABC 外接圆交点为D ，求证：BD ＝PD ＝CD ；（2）如图2，若该△ABC ，M 是弧ABC 中点，MN ⊥BC 与点N ，①求证：AB +BN ＝CN ；②如图3，若△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，求证：直线MN 经过内心点P ；③将上述第②题中∠BAC ＝90°改为∠BAC 为任意角，参考图3，其他条件均不变，试猜想该结论是否成立： （是，或者不是）．【分析】（1）连接BP ，可推出∠ABP ＝∠CBP ，∠BAD ＝∠BCD ，∠DAC ＝∠CBD ，从而∠DBP ＝∠DPB ，从而BD ＝PD ，进一步得出结论；（2）过点M 作ME ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，连接BM ，可证得Rt △AME ≌Rt △CMN ，从而MN ＝EM ，进而证得△BME ≌△BMN ，从而BE ＝BN ，进一步得出结论；②设AE ，AC 切⊙P 于点E ，F ，设AB ＝a ，AE ＝AF ＝x ，则AC ＝2a ，在BC 上截取CQ ＝AB ＝a ，可证得△ABM ≌△CQM ，从而BM ＝QM ，进而得出BN ＝NQ =12BQ ，根据⊙P 是△ABC 的内切圆可得出BC ＝BE +CF ＝（a ﹣x ）+（2a ﹣x ）＝3a ﹣2x ，从而BQ ＝BC ﹣CQ ＝2a ﹣2x ，进而得出BN =12BQ ＝a ﹣x ，从而BE ＝BN ，进一步得出结论；③由②得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连接BP，∵点P是△ABC的内心，∴AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABP＝∠CBP，∴CD=BD，∴CD＝BD，∵∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∴∠CBD+∠CBP＝∠BAD+∠ABP，∴∠DBP＝∠DPB，∴BD＝PD，∴BD＝PD＝CD；（2）①证明：如图2，过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM，则∠E＝90°，∵MN⊥BC，∴∠BNM＝∠CNM＝90°，∴∠E ＝∠BNM ＝∠CMN ，∵M 是弧ABC 中点，∴AM ＝CM ，∵BM =BM ，∴∠MAB ＝∠MCB ，∴Rt △AME ≌Rt △CMN （HL ），∴MN ＝EM ，CN ＝AE ，∵BM ＝BM ，∴△BME ≌△BMN （HL ），∴BE ＝BN ，∵AB +BE ＝AE ，∴AB +BN ＝CN ；②证明：设AE ，AC 切⊙P 于点E ，F ，设AB ＝a ，AE ＝AF ＝x ，则AC ＝2a ，在BC 上截取CQ ＝AB ＝a ，∵∠C ＝∠BAM ，AM ＝CM ，∴△ABM ≌△CQM （SAS ），∴BM ＝QM ，CQ ＝AB ＝a ，∵MN ⊥BC ，∴BN ＝NQ =12BQ ，∵⊙P 是△ABC 的内切圆，∴BC ＝BE +CF ＝（a ﹣x ）+（2a ﹣x ）＝3a ﹣2x ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝2a ﹣2x ，∴BN =12BQ ＝a ﹣x ，∴BE ＝BN ，∴⊙P切BC于N，∴M、N、P共线，∴PN⊥BC，∴直线MN经过圆内心点P；③解：由②知：直线MN经过圆内心点P，故答案为：是．。
2023-2024学年九年级(上)第一次月考数学试卷-(含答案)
2023-2024学年九年级(上)第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题，共30分）1．（3分）用配方法解一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0，配方正确的是（）A ．（x ﹣）2＝B ．（x ﹣）2＝C ．（x ﹣）2＝D ．（x ﹣）2＝2．（3分）下列说法不正确的是（）A ．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B ．一组邻边相等的菱形是正方形C ．有三个角是直角的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形3．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx +b 的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB 于点E ，E 点恰好为AB 的中点，则菱形ABCD 的较大内角度数为（）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5．（3分）某市“菜篮子工程”蔬菜基地2022年产量为100吨，预计到2024年产量可达121吨．设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A．100（1+x）2＝121B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x2）＝1216．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF ＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等7．（3分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝COC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D．AO＝CO＝BO＝DO8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件：（1）∠1+∠DBC＝90°；（2）OA＝OB；（3）∠1＝∠2，其中能判定平行四边形ABCD是菱形的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE ⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题，共15分）11．（3分）一元二次方程x2＝5x的根．12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为．13．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三．解答题（共8小题，共75分）16．（16分）用恰当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣2＝0；（2）4x2﹣25＝0；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0；（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．18．（8分）关于x的一元二次方程2﹣3+＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（﹣1）2++﹣3＝0与方程2﹣3+＝0有一个相同的根，求此时m的值．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．20．（8分）某旅行社的一则广告如下：甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习．（1）如果第一批组织40人去学习，则公司应向旅行社交费元；（2）如果公司计划用29250元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．22．（8分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？23．（11分）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）问题发现如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）操作探究将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，共30分）1．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．2．（3分）下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．故选：B．4．（3分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD 的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°【分析】连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出∠B＝60°，则∠D＝60°，∠BAD ＝∠BCD＝120°，即可得出答案．【解答】解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．5．（3分）某市“菜篮子工程”蔬菜基地2022年产量为100吨，预计到2024年产量可达121吨．设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．100（1+x）2＝121B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x2）＝121【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从100吨增加到121吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2022年产量为100吨，则2023年蔬菜产量为100（1+x）吨，2024年蔬菜产量为100（1+x）（1+x）吨，预计2024年产量可达121吨，即：100（1+x）（1+x）＝121或100（1+x）2＝121．故选：A．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF ＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，∵，∴△ABE≌△DBF（AAS），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，故选：D．7．（3分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝COC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D．AO＝CO＝BO＝DO【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定逐个判断即可．【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据AB＝BC，AO＝CO不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵OA＝OB＝OC＝OD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；故选：D．8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件：（1）∠1+∠DBC＝90°；（2）OA＝OB；（3）∠1＝∠2，其中能判定平行四边形ABCD是菱形的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠1＝∠BCO，若∠1+∠DBC＝90°时，则∠BCO+∠DBC＝90°，∴∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；若OA＝OB，则AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；若∠1＝∠2，则∠2＝∠BCO，∴AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；故选：C．9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE ⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．＝S△AOE+S△DOE，【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD 即可得到OE+EF的值．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴S△AOD∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5°，由垂直的定义计算∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠EAD＝∠EAD＝22.5°，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB＞2AE，可作判断；②证明△DAF≌△ABG（ASA），可作判断；③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5°，可作判断；④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°，∵AG⊥ED，∴∠AHE＝∠EHG＝90°，∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADE＝22.5°，∵∠ADB＝45°，∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE，∵∠AHD＝∠GHD＝90°，∴∠DAG＝∠DGA，∴AD＝DG，AH＝GH，∴ED是AG的垂直平分线，∴AE＝EG，∴∠EAG＝∠AGE＝22.5°，∴∠BEG＝45°＝∠ABG，∴∠BGE＝90°，∴AE＝EG＜BE，∴AD＝AB＞2AE，故①不正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°，∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，∴△DAF≌△ABG（ASA），∴DF＝AG，故②正确；③∵∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD，故③正确；④∵∠EAH＝∠FAH，∠AHE＝∠AHF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴EH＝FH，∵AH＝GH，AG⊥EF，∴四边形FGEA是菱形；故④正确；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，由①知△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝x，∴AB＝AE+BE＝x+x＝（+1）x，∴AO＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝﹣x＝，∴＝＝，∴OF＝BE；故⑤正确；本题正确的结论有：②③④⑤；故选：C．二．填空题（共5小题，共15分）11．（3分）一元二次方程x2＝5x的根x1＝0，x2＝5．【分析】先移项，然后通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．【解答】解：由原方程，得x2﹣5x＝0，则x（x﹣5）＝0，解得x1＝0，x2＝5．故答案是：x1＝0，x2＝5．12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为．【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，＝×AC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，∴S菱形ABCD∴AD＝AB＝＝13，∵DH⊥AB，∴AO×BD＝DH×AB，∴12×10＝13×DH，∴DH＝．故答案为：．13．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是k≤5．【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，其中k﹣1≠0时根据题意列出关于k的不等式求解可得．【解答】解：当k﹣1＝0时，方程为4x+1＝0，显然有实数根；当k﹣1≠0，即k≠1时，△＝42﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤5且k≠1；综上，k≤5．故答案为：k≤5．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴PE＝＝＝2，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝1；方法二：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠FCO＝∠CDO，∵∠DCF＝∠COF＝90°，∴△COF∽△DOC，∴＝，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵∠COF＝∠COD＝90°，∴△COF∽△DOC，∴，∴OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】解：（i）当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8，由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G＝＝＝12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′＝＝＝4（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，由翻折的性质，得EB＝EB′，∴点E、C在BB ′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠，得EF也是线段BB′的垂直平分线，∴点F与点C重合，这与已知“点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去．综上所述，DB′的长为16或4．故答案为：16或4．三．解答题（共8小题，共75分）16．（16分）用恰当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣2＝0；（2）4x2﹣25＝0；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0；（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）利用换元法求解可得；（4）整理成一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣2，∴△＝42﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，则x＝＝﹣2±，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵4x2＝25，∴x2＝，解得x1＝，x2＝﹣；（3）令2x+1＝a，则a2+4a+4＝0，∴（a+2）2＝0，解得a＝﹣2，∴2x+1＝﹣2，解得x1＝x2＝﹣1.5；（4）方程整理为一般式，得：x2﹣4x﹣5＝0，解得：（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1．17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM 是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．18．（8分）关于x的一元二次方程2﹣3+＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（﹣1）2++﹣3＝0与方程2﹣3+＝0有一个相同的根，求此时m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；（2）先确定k＝2，再解方程2﹣3+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，然后分别把x＝1和x＝2代入元二次方程（﹣1）2++﹣3＝0可得到满足条件的m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程2﹣3+＝0变形为方程2﹣3+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，当相同的解为x＝1时，把x＝1代入方程（﹣1）2++﹣3＝0得m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；当相同的解为x＝2时，把x＝2代入方程（﹣1）2++﹣3＝0得4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，不符合题意，舍去，所以m的值为．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是25．【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．20．（8分）某旅行社的一则广告如下：甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习．（1）如果第一批组织40人去学习，则公司应向旅行社交费28000元；（2）如果公司计划用29250元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？【分析】（1）首先表示出40人是平均每人的费用，进而得出总费用；（2）表示出每人平均费用为：800﹣10（x﹣30），进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）∵人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，∴第一批组织40人去学习，则公司应向旅行社交费：40×[800﹣（40﹣30）×10]＝28000（元）；故答案为：28000；（2）设这次旅游应安排x人参加，∵30×800＝24000＜29250，∴x＞30，根据题意得：x[800﹣10（x﹣30）]＝29250，整理得，x2﹣110x+2925＝0，解得：x1＝45，x2＝65∵800﹣10（x﹣30）≥500，∴x≤60．∴x＝45．答：这次旅游应安排45人参加．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为 1.5时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为3时，四边形AMDN是菱形．【分析】（1）求出△DNE≌△AME，根据全等及时向的性质得出NE＝ME，根据平行四边形的判定得出即可；（2）①根据等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM⊥AB，根据矩形的判定得出即可；②求出△ABD是等边三角形，求出M和B重合，根据菱形的判定得出即可．．【解答】（1）证明：∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴∠DNE＝∠AME，在△DNE和△AME中，∴△DNE≌△AME（AAS），∴NE＝ME，∵AE＝DE，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，理由是：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD＝3，∵AM＝1.5，AB＝3，∴AM＝BM，∴DM⊥AB，即∠DMA＝90°，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形，即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，故答案为：1.5；②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，理由是，此时AM＝AB＝3，即M和B重合，∵由①知：△ABD是等边三角形，∴AM＝MD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是菱形，故答案为：3．22．（8分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝2，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【分析】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；（3）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m、n之间的关系．【解答】解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．23．（11分）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）问题发现如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）操作探究将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长．【分析】（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG＝GC，GH＝（EF+DC）＝（EB+BC），推出GH＝EH＝BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG＝GH，连接CH，过E作BC的垂线EQ，证△EFG≌△HDG，推出DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，求出∠EBC＝∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）分两种情况：①CE在BC的上方，如图3，作辅助线，构建等腰直角三角形，求出cos∠DBE＝，推出∠DBE＝60°，证明△GDC≌△EBC（ASA），则EC＝CG，DG＝EB＝1，从而得结论；②CE在BC的下方，如图4，同理可得结论．【解答】解：（1）EG⊥CG，；理由是：如图1，过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB＝∠DCB＝90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG＝GC，GH＝（EF+DC）＝（EB+BC）＝CE，即GH＝EH＝HC，∴∠EGC＝90°，即△EGC是等腰直角三角形，；（2）结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG＝GH，连接CH，过E作BC的垂线EQ，延长CB交EQ于R，延长CD，交EH于N，在△EFG和△HDG中，，∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，∴EF∥DH，同理得ER∥CD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3＝∠4，∴∠EBC＝180°﹣∠4＝180°﹣∠1＝∠HDC，在△EBC和△HDC中，，∴△EBC≌△HDC（SAS）．∴CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，∴∠ECH＝∠DCH+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，，即（1）中的结论仍然成立；（3）分两种情况：①如图3，连接BD，过C作CG⊥EC，交ED的延长线于G，∵AB＝，正方形ABCD，∴BD＝2，Rt△BED中，cos∠DBE＝，∴∠DBE＝60°，∠BDF＝30°∵tan∠BDE＝＝，∴DE＝BE＝，∵∠ABD＝45°，∴∠ABE＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBC＝90°+15°＝105°，∵∠EDC＝∠BDE+∠CDB＝30°+45°＝75°，∴∠CDG＝180°﹣75°＝105°，∴∠CDG＝∠CBE，∵∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE，∵BC＝CD，∴△GDC≌△EBC（ASA），∴EC＝CG，DG＝EB＝1，∴△ECG是等腰直角三角形，∴EG＝CE，∵EG＝ED+DG＝+1，∴CE＝＝；②如图4，连接BD，过C作CH⊥EC，交ED于H，同理得△DHC≌△BEC（ASA），∴EC＝CH，DH＝EB＝1，同理可知：DE＝，∴EH＝DE﹣DH＝﹣1，∵△ECH是等腰直角三角形，∴EH＝CE，∴CE＝＝；综上，CE的长为．。
2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程4x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是( )A. 2，−3B. 0，−3C. 1，−3D. 1，02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是( )A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法3.抛物线y=−3x2+2x−1与y轴的交点为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (1,0)4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )A. k≥54B. k>54C. k>54且k≠1 D. k≤54且k≠15.若关于x的方程x2−kx−3=0的一个根是x=3，则k的值是( )A. −2B. 2C. −12D. 126.关于x的方程|x2−2x−3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是( )A. a=0B. a=0或a=4C. a>4D. a=0或a>47.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A. 12x(x+1)=110 B. 12x(x−1)=110 C. x(x+1)=110 D. x(x−1)=1108.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根9.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2=0，则( )A. y1=−y2B. y1>y2C. y1<y2D. y1、y2的大小无法确定10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b>a+c；③2a−b=0；④b2−4ac<0．其中正确的结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
2023-2024学年广东省佛山市南海区九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省佛山市南海九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A．x+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．（x﹣1）（x+2）＝12．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）A．标准大气压下，水的沸点为100℃B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环C．佛山10月17日的最高温度为35℃D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．对边平行B．对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）A．1+x+x2＝25B．x+x2＝25C．（1+x）2＝25D．x+x（1+x）＝255．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点（ ）A．B．C．D．6．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（ ）A．2026B．2023C．2020D．20177．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）A．9B．12C．2或5D．9或128．满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD；（2）摆成如图2所示的四边形；（3）____，矩形窗框制作完成．下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等9．黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记（ ）只．A．B．C．D．10．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使B落在CD上点H处，连接BP、BH，则下列结论一定成立的是（ ）①AE+CH＝FH；②BP＝BH；③AP+CH＝PH；④PE+PG+EG＝HD．A．①③B．①③④C．①②④D．②③④二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程是 ．12．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 个．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE＝5，则菱形的周长为 ．14．若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，则称其为“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2023能取得最大值是 ．15．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 ．三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题每小题10分，共24分.16．解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．17．“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明），2，3的三个小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．（1）小明摸到小球的编号为2的概率为 ；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．18．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB（不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19．党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题：（1）本次接受抽样调查的总人数是 人；（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法20．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，一天可以多售出10个．（1）售价为85元时，当天的销售量是 个；（2）如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？（3）若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？21．动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，点C的对应点C′恰好落在边AB的中点处，折痕DE交BC于点E（1）探究一：判断四边形CDC′E的形状，并说明理由；（2）探究二：若BC＝10，四边形CDC′E的对角线之和为14，求四边形CDC′E的面积．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22．已知实数a，b，c，其中b，c满足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一个相同的实数根x1；（2）求证：x2是方程2x2+ax+2＝0的实数根；（3）求实数a，b，c的值．23．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E（1）当BE＝BF时，旋转角∠COF为 度；（2）若点C（﹣2，4），求点B坐标与BF的长；（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，将△OCN与△OAN的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，CO＝m，CF＝n，请猜想S、m与n的数量关系参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A．x+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．（x﹣1）（x+2）＝1【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程）判断即可．解：A、一元二次方程首先必须是整式方程；B、是二元二次方程；C、当a＝0时，故本选项不符合题意；D、去括号得：x2+x﹣8＝1，是一元二次方程；故选：D．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，解题的关键是明确一元二次方程满足条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．2．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）A．标准大气压下，水的沸点为100℃B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环C．佛山10月17日的最高温度为35℃D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．解：A、标准大气压下，是必然事件；B、杭州亚运会上射击运动员射击一次，是随机事件；C、佛山10月17日的最高温度为35℃，不符合题意；D、用长为10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．对边平行B．对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质；B．对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质；C．对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质；D．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质；故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．4．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）A．1+x+x2＝25B．x+x2＝25C．（1+x）2＝25D．x+x（1+x）＝25【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝25即可．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝25，即（5+x）2＝25，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．5．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据概率公式求解即可．解：观察图形可知，阴影部分是大圆面积的一半．故选：D．【点评】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．6．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（ ）A．2026B．2023C．2020D．2017【答案】A【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．解：∵x＝m是x2+x+1＝6的一个根，∴m2+m＝﹣1，∴﹣6m2﹣3m+2023＝﹣4（m2+m）+2023＝﹣3×（﹣8）+2023＝2026，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）A．9B．12C．2或5D．9或12【答案】B【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，有三角形的三边关系，2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．解：x2﹣7x+10＝7，（x﹣2）（x﹣5）＝2∴x1＝2，x4＝5．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是5，底边是5，周长为：5+5+5＝12．故选：B．【点评】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．8．满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD；（2）摆成如图2所示的四边形；（3）____，矩形窗框制作完成．下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等【答案】C【分析】根据矩形的判定定理分析判断即可．解：∵AB＝CD，EF＝GH，∴四边形ABCD是平行四边形．A．将直角尺紧靠窗框一个角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形；B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形；C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直，此时无法判定四边形是矩形，符合题意；D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等，此时可以证明对角线相等，可知四边形ABCD是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，熟练运用矩形的判定定理是解题的关键．9．黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记（ ）只．A．B．C．D．【答案】C【分析】n只梅花鹿，发现其中k只有标记，说明在样本中有标记的占到，而在整体中有标记的共有m只，根据所占比例即可解答．解：根据题意得：m÷＝（只）．即估计这个地区的梅花鹿的数量约有只．故选：C．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，解题的关键是算出n只梅花鹿有标记的占的百分比．10．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使B落在CD上点H处，连接BP、BH，则下列结论一定成立的是（ ）①AE+CH＝FH；②BP＝BH；③AP+CH＝PH；④PE+PG+EG＝HD．A．①③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】B【分析】作EM⊥BC于点M，证明△MEF≌△CBH（ASA），推出MF＝CH，可证明①正确；CH与AP不一定相等，则BP与BH不一定相等，故证明②不一定成立；作BI⊥PH于点Ⅰ，证明△IHB≌△CHB（AAS），推出IB＝CB，IH＝CH，再证明Rt△BPA≌Rt △BPI（HL），推出AP＝IP，可证明③正确；推出PE+PG+EG＝GI，证明GI＝DH，可证明④正确．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC，如图1，作EM⊥BC于点M，∴EM＝AB＝BC，AE＝BM，由折叠的性质得BH⊥EF，BF＝FH，∴∠MEF＝90°﹣∠MFE＝∠CBH，∴△MEF≌△CBH（ASA），∵MF＝CH，∴AE+CH＝BM+FM＝BF＝FH；故①正确；∵AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴BP与BH不一定相等，故②不一定成立；如图2，作BI⊥PH于点I， 由折叠的性质得FH⊥PH，∴BI∥FH，∴∠FHB＝∠HBI＝∠HBF，BH＝BH，∴△IHB≌△CHB（AAS），∴IB＝CB，IH＝CH，∵AB＝BC，∴IB＝AB，∴∠A＝∠BIP＝90°，BP＝BP，∴Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），∵AP＝IP，∴AP+CH＝IP+IH＝PH，故③正确；由折叠的性质得GH＝AB，AE＝EG，∵PI＝PA＝PE+AE＝PE+EG，∴PE+PG+EG＝GI，∵IH＝CH，GH＝AB，∴PE+PG+EG＝HD，故④正确；综上，①③④正确，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程是 x2﹣2x+1＝0 ．【答案】x2﹣2x+1＝0．【分析】写出一个一元二次方程，使它的判别式等于0即可．解：x2﹣2x+4＝0有两个相等的实数解．故答案为x2﹣7x+1＝0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．12．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 24 个．【答案】24．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，用频率估计概率可知黄色球的数量为总数乘以其所占百分比．解：根据题意得：60×（1﹣20%﹣40%）＝24（个），答：此推测口袋中黄球的个数是24个．故答案为：24．【点评】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE＝5，则菱形的周长为 40 ．【答案】40．【分析】解法一：根据OE是△BCA的中位线，即可得到BC的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．解法二：根据OE是Rt△AOB斜边上的中线，即可得到CD的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．【解答】解法一：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，又∵点E是AB的中点，∴OE是△BCA的中位线，∴BC＝2OE＝2×2＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．解法二：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，又∵点E是CD的中点，∴OE是Rt△COD斜边上的中线，∴CD＝2OE＝6×5＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．故答案为：40．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，本题解法多样，关键是掌握：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．14．若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，则称其为“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2023能取得最大值是 2024 ．【答案】2024．【分析】根据“同族二次方程”的定义列出二元一次方程组，解方程组求出a、b，利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．解：由“同族二次方程”的定义可知：（a+6）x2﹣（b+6）x+6＝（a+6）（x﹣4）2+1＝3，∵（a+6）（x﹣1）8+1＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+6+1，∴，解得：，则ax2+bx+2023＝﹣x2+2x+2023＝﹣（x8﹣2x+1）+3+2023＝﹣（x﹣1）2+2024，∴代数式ax6+bx+2023能取得最大值是2024，故答案为：2024．【点评】本题考查的是配方法的应用、“同族二次方程”的定义，掌握完全平方公式是解题的关键．15．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 或3或6﹣6或6﹣3 ．【答案】或3或6﹣6或6﹣3．【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD 是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝BC，若AC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB 的距离为6﹣6；若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣3．解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°AC，∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，∴AH＝DH＝BH，∴DH＝BC，若AC＝6，则BC＝AC•cos45°＝3，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，在△ABD和△HBD中，，∴△ABD≌△HBD（AAS），∴AB＝BH，若AB＝AC＝8时，BH＝6＝6，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣6，∴AD＝7﹣6﹣6；若BC＝6，则AB＝BC•cos45°＝8，∴BH＝3，∴CH＝6﹣3，∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3；综上所述，点D到直线AB的距离为﹣6或4﹣3．故答案为：或3或6．【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题每小题10分，共24分.16．解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）x1＝2，x2＝4．【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，（x﹣5）（x+8）＝0，x﹣5＝4或x+1＝0，所以x7＝5，x2＝﹣2；（2）（x﹣2）2＝3x﹣4，（x﹣2）7﹣2（x﹣2）＝5，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣2＝8或x﹣2﹣2＝2，所以x1＝2，x3＝4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明），2，3的三个小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．（1）小明摸到小球的编号为2的概率为 ；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【答案】（1）；（2）公平，理由见解答．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．解：（1）∵甲口袋（不透明）装有编号为1，2，5的三个小球，∴小明摸到小球的编号为2的概率为；故答案为：；（2）根据题意列表如下：51221（1，8）（1，1）（4，2）（1，5）2（2，6）（2，1）（6，2）（2，6）3（3，6）（3，1）（4，2）（3，4）∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，∵＝，∴这个游戏对双方公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB（不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．【答案】（1）（2）见解析．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明四边形AECF是菱形即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO，∵OC＝OA，∠FOC＝∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，即DF＝BE．【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19．党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题：（1）本次接受抽样调查的总人数是 120 人；（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 390 人；（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法【答案】（1）120．（2）见解答．（3）390．（4）．【分析】（1）用参加B项目的学生人数除以其所占的百分比可得本次接受抽样调查的总人数．（2）用本次接受抽样调查的总人数乘以参加C项目的人数所占的百分比，可求出参加C 项目的学生人数，补全条形统计图即可；用参加A项目的人数除以本次接受抽样调查的总人数再乘以100%，可得参加A项目的人数所占的百分比，补全扇形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用2600乘以本次抽样调查中参加A项目的学生人数所占的百分比，即可得出答案．（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：（1）本次接受抽样调查的总人数是45÷37.5%＝120（人）．故答案为：120．（2）参加C项目的人数为120×25%＝30（人），参加A项目的人数所占的百分比为×100%＝15%．补全两个统计图如下．（3）估计该校参加A项目的学生有2600×15%＝390（人）．故答案为：390．（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》，∴抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．20．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，一天可以多售出10个．（1）售价为85元时，当天的销售量是 70 个；（2）如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？（3）若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？【答案】（1）70；（2）每个篮球售价为80元；（3）商店有3种购买方案，最高盈利2600元．【分析】（1）每降低5元增加10件，可知每个售价85元，多售出（100﹣85）÷5×10个，进而即可列出算式求解．（2）总利润＝每个利润×售出个数，列出方程求解即可．（3）根据投入资金不少于2500元又不多于2600元列不等式组解答即可．解：（1）40+（100﹣85）÷5×10＝70（个），答：售价为85元时，当天的销售量为70个；故答案为：70；（2）设每个篮球售价为x元，根据题意得：（x﹣50）×（40+×10）＝40×（100﹣50）+400，化简得x4﹣170x+7200＝0，解得：x1＝80，x6＝90，∵使顾客得到尽可能大的实惠，∴x＝80，答：每个篮球售价为80元；（3）设商店可购买m个篮球，∵商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，∴2500≤50m≤2600，解得50≤m≤52，∵m是整数，。
新】人教版九年级数学上册第一次月考试卷含答案
新】人教版九年级数学上册第一次月考试卷含答案九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)一、选择题：1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的有（）A。
x(2x-1)=2x^2 B。
-2x=1 C。
ax^2+bx+c=0 D。
x^2=02.方程x^2=x的解是（）A。
x=1 B。
x=0 C。
x1=-1，x2=0 D。
x1=1，x2=03.用配方法解方程x^2-2x-5=0时，原方程应变形为（）A。
(x+1)^2=6 B。
(x-1)^2=6 C。
(x+2)^2=9 D。
(x-2)^2=94.设a，b是方程x^2+x-2015=0的两个实数根，则a^2+2a+b的值为（）A。
2012 B。
2013 C。
2014 D。
20155.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（）A。
8 B。
9 C。
10 D。
116.等腰三角形两边长为方程x^2-7x+10=0的两根，则它的周长为（）A。
12 B。
12或9 C。
9 D。
77.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A。
200(1+x)^2=1000 B。
200+200×2x=1000 C。
200+200×3x=1000 D。
200[1+(1+x)+(1+x)^2]=10008.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm^2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A。
x^2+130x-1400=0 B。
x^2+65x-350=0 C。
x^2-130x-1400=0 D。
x^2-65x-350=09.已知a，b是方程x^2-6x+4=0的两实数根，且a≠b，则a+b的值是（）A。
7 B。
-7 C。
11 D。
人教版九年级上册数学月考试卷(带详解答案)
人教版九年级上册数学月考试卷(带详解答案)九年级上册第一次月考试卷数学注意事项：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。
2.请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。
3.考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。
一、选择题1.已知关于x的一元二次方程x^2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A。
4B。
-4C。
1D。
-12.如果x^2+x-1=0，那么代数式x^3+2x^2-7的值是()A。
6B。
8C。
-6D。
-83.如图，抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，4），则a-b+c的值为（）A。
-1B。
1C。
24.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A。
y=x^2-2x+3B。
y=x^2-2x-3C。
y=x^2+2x-3D。
y=x^2+2x+35.用配方法解方程x^2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（）．A。
(x+2)^2=5B。
(x+2)^2=1C。
(x-2)^2=1D。
(x-2)^2=56.如图，在一次函数y=-x+5的图象上取点P，作PA⊥x 轴于A，PB⊥y轴于B，且长方形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有（）A。
4B。
3C。
2D。
17.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax^2+8x+b的图象可能是（）8.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是二、填空题9.要组织一场足球比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，问比赛组织者应邀请多少只球队参赛？设比赛组织者应邀请x支球队参赛，根据题意列出的方程是______________________。
10.如图，二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。
沪科版2022-2023学年九年级数学上册第一次月考测试题(附答案) (2)
2022-2023学年九年级数学上册第一次月考测试题（附答案）一、单选题（24分）1．已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜0＜x2＜x3，则下列式子正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＞y3＞y1D．y1＞y3＞y2 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中，x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣10y0﹣3﹣4﹣3下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③﹣4是方程ax2+（b﹣4）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜0时，ax2+（b﹣1）x+c+3＞0．其中正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A．B．C．D．4．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A．y＝x2+4x+7B．y＝x2﹣4x+7C．y＝x2+4x+1D．y＝x2﹣4x+1 5．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4≤x≤2C．x≤﹣4或x≥2D．﹣4＜x＜2 6．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4B．0C．2D．6二、填空题（20分）7．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是．8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和矩形OABC的边AB交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为．9．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为．10．若关于x的一元二次方程a（x+m）2＝3的两个实数根x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝a （x+m﹣2）2﹣3与x轴的交点坐标是．三、解答题（76分）11．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．12．反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．13．如图，Rt△ABC的斜边AC的两个顶点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB与x轴平行，BC＝2，点A的坐标为（1，3）．（1）求C点的坐标；（2）求点B所在函数图象的解析式．14．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣），求△ABN的面积s与t的函数解析式；（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．15．某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x 万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：x（万元）00.51 1.52…y1 1.275 1.5 1.675 1.8…（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．16．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长；（3）当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？18．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（24分）1．解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴函数图象在二四象限，∵x1＜0＜x2＜x3，∴点P1（x1，y1）在第二象限，y1＞0，点P2（x2，y2），P3（x3，y3）在第四象限，∴y1＞y3＞y2．故选：D．2．解：∵x＝﹣3时y＝0，x＝0时，y＝﹣3，x＝﹣1时，y＝﹣4，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3，∴ac＝1×（﹣3）＝﹣3＜0，故①正确；对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，所以，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故②正确；方程ax2+（b﹣4）x+c＝0可化为x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以﹣4是方程ax2+（b﹣4）x+c＝0的一个根，错误，故③错误；﹣1＜x＜0时，ax2+（b﹣1）x+c+3＜0，原题干中错误，故④错误；综上所述，结论正确的是①②．故选：C．3．解：设I＝，∵图象经过点（4，8），∴8＝，解得：k＝32，∴电流I关于电阻R的函数解析式为I＝．4．解：抛物线y＝x2向右平移2个单位后的解析式为：y＝（x﹣2）2．再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7．故选：B．5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．故选：D．6．解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．二、填空题（20分）7．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故答案为：﹣6＜m＜﹣2．8．解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，设E点的坐标是（a，b），∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，∴ab＝2，AE＝a，BE＝2a，∴OA＝b，AB＝3a，∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×2＝6，故答案为：6．9．解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，∵S△AOB＝2，∴cd﹣ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，故答案为：4．10．解：∵关于x的一元二次方程3的两个实数根x1＝﹣1，x2＝3，∴，解得，，则抛物线y＝a（x+m﹣2）2﹣3＝（x﹣3）2﹣3，令y＝0，则（x﹣3）2﹣3＝0，解得，x＝5或x＝1，∴抛物线y＝a（x+m﹣2）2﹣3与x轴的交点坐标是（5，0）和（1，0）．故答案是：（5，0）和（1，0）．三、解答题（76分）11．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．12．解：（1）把A（1，2k﹣1）代入y＝得，2k﹣1＝k，∴k＝1，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）由（1）得k＝1，∴A（1，1），设B（a，0），∴S△AOB＝•|a|×1＝3，∴a＝±6，∴B（﹣6，0）或（6，0），把A（1，1），B（﹣6，0）代入y＝mx+b得：，∴，∴一次函数的解析式为：y＝x+，把A（1，1），B（6，0）代入y＝mx+b得：，∴，∴一次函数的解析式为：y＝﹣．所以符合条件的一次函数解析式为：y＝﹣或y＝x+．13．解：（1）把点A（1，3）代入反比例函数得k1＝1×3＝3，所以过A点与C点的反比例函数解析式为y＝，∵AB与x轴平行，∴B点的纵坐标为3，∵BC平行y轴，BC＝2，∴C点的纵坐标为1，把y＝1代入y＝得x＝3，∴C点坐标为（3，1）；（2）把B（3，3）代入反比例函数得k2＝3×3＝9，所以点B所在函数图象的解析式为y＝．14．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意可得：，解得：．∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+1；（2）当﹣＜t＜2时，y N＞0，∴NP＝|y N|＝y N＝﹣t2+t+1，∴S＝AB•PN＝×（2+）×（﹣t2+t+1）＝（﹣t2+t+1）＝﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴＝，∴＝，∴PN＝2PO．当0＜t＜2时，PN＝|y N|＝y N＝﹣t2+t+1，PO＝|t|＝t，∴﹣t2+t+1＝2t，整理得：3t2﹣t﹣2＝0，解得：t3＝﹣，t4＝1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t＝1，此时点N的坐标为（1，2）．故点N的坐标为（1，2）．15．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由题意，得，解得：，∴y＝﹣0.1x2+0.6x+1；（2）由题意，得W＝（8﹣6）×5（﹣0.1x2+0.6x+1）﹣x，W＝﹣x2+5x+10，W＝﹣（x﹣2.5）2+16.25．∴a＝﹣1＜0，∴当x＝2.5时，W最大＝16.25．答：年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式为W＝﹣x2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元．（3）当W＝14时，﹣x2+5x+10＝14，解得：x1＝1，x2＝4，∴1≤x≤4时，年利润W（万元）不低于14万元．16．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点D的坐标为；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），则OC＝2．当y＝0时，，∴x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，∴AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD 的值最小时，△CDM的周长最小．设直线C′D的解析式为y＝ax+b（a≠0），则，解得，∴．当y＝0时，，则，∴．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴，解得，，∴此抛物线的表达式为y＝x2+x+4.（2）如图，抛物线y＝x2+x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∴OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵PM∥OC，PN⊥BC，∴∠NQP＝∠OCB＝45°，∠PNQ＝90°，∴∠NPQ＝∠NQP＝45°，∴PN＝QN，∴PN2+QN2＝2PN2＝PQ2，∴PN＝PQ；设直线BC的表达式为y＝k+4，则4k+4＝0，解得，k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，∴P（m，m2+m+4），Q（m，﹣m+4），∵点P在点Q的上方，∴PQ＝m2+m+4﹣（﹣m+4）＝m2+m，∴PN＝（m2+m）＝m2+m（0＜m＜4）．（3）∵PN＝m2+m＝（m﹣2）2+，且＜0，0＜2＜4，∴当m＝2时，PN有最大值，PN最大＝．18．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a＝，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3（2）令y＝0，则x2+x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4∴A（﹣4，0）、B（1，0）令x＝0，则y＝﹣3∴C（0，﹣3）∴S△ABC＝×AB×OC＝×5×3＝设D（m，m2+m﹣3）过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则E（m，﹣m﹣3）DE＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣（m+2）2+3当m＝﹣2时，DE有最大值为3此时，S△ACD有最大值为×DE×4＝2DE＝6∴四边形ABCD的面积的最大值为6+＝．（3）如图所示：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，∵C（0，﹣3）∴设P1（x，﹣3）∴x2+x﹣3＝﹣3解得x1＝0，x2＝﹣3∴P1（﹣3，﹣3）；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C（0，﹣3）∴设P（x，3），∴x2+x﹣3＝3，解得x＝或x＝，∴P2（，3）或P3（，3）综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．。
九年级数学上学期第一次月考试卷(含解析) 新人教版2 (2)
安徽省亳州市谯城区黉学中学2016-2017学年老校区九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=1﹣x2D．y=2（x+3）2﹣2x22．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）3．已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定4．如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系正确的是（）A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜05．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，06．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位7．同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．8．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣39．若A（﹣7，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y310．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3二、填空题11．抛物线y=2x2﹣8x﹣3的顶点坐标是．12．当m=时，函数y=（m2﹣4）x+3是二次函数．13．若二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=．14．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1；⑤9a+6b+4c＞0．其中正确结论的序号是．三、解答题（本题共4题，每题各8分）15．已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A、B、C、D的坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）求四边形OCDB的面积．16．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），且过点（1，4），并直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．17．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？18．已知二次函数y=x2﹣2x﹣8．（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．（2）将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象．四、（本题共2题，每题各10分）19．（10分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．20．（10分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象交x轴与A，B两点，在该二次函数的图象上是否存在一点P（且在y轴的右侧），使得△ABP的面积是10？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．五、（本题共2题，每题各12分）21．（12分）王大爷要围成一个如图所示的矩形ABCD花圃．花圃的一边利用20米长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成．设AB边的长为x米，BC的长为y米，且BC＞AB．（1）求y与x之间的函数关系式（要求直接写出自变量的取值范围）；（2）当x是多少米时，花圃面积S最大？最大面积是多少？22．（12分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？六、（本题满分14分）23．（14分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．2016-2017学年安徽省亳州市谯城区黉学中学老校区九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=1﹣x2D．y=2（x+3）2﹣2x2【考点】二次函数的定义．【分析】整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可解答．【解答】解：A、整理为y=x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；B、整理为y=x2+x+，是二次函数，不合题意；C、整理为y=﹣x2+1，是二次函数，不合题意；D、整理为y=12x+18，是一次函数，符合题意．故选D．【点评】本题考查二次函数的定义．2．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y=（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选B．【点评】考查顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．要掌握顶点式的性质．3．已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）=0，∴m=0或m=2，∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2．故选C．【点评】此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．4．如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系正确的是（）A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标（0，1）以及A的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．【解答】解：A、由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b+1＞0，所以a+b＞﹣1，故A不正确；B、由抛物线与y轴相交于点C，可知道C点的坐标为（0，c），又因为OC=OA=1，所以C（0，1），A（﹣1，0），把它代入y=ax2+bx+c，即a•（﹣1）2+b•（﹣1）+1=0，即a﹣b+1=0，所以a﹣b=﹣1．故B正确；C、由图象可知，﹣＜﹣1，解得b＞2a，故C错误；D、由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0，故D错误．故选：B．【点评】解决本题的关键在于根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系．5．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数的顶点坐标公式作为相等关系列方程求解．【解答】解：根据顶点坐标公式，得横坐标为：=﹣1，解得m=﹣2；纵坐标为：=﹣3，解得n=﹣4．故选B．【点评】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，比较简单．6．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．8．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3【考点】二次函数的性质．【分析】采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．9．若A（﹣7，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=﹣=﹣2．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【解答】解：∵二次函数y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=﹣2．∵点A（﹣7，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）都在二次函数y=x2+4x﹣5的图象上，而三点横坐标离对称轴x=﹣2的距离按由远到近为：（﹣7，y1）、（1，y3）、（﹣3，y2），∴y2＜y3＜y1．故选B．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式，找出对称轴．10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3【考点】二次函数的图象．【分析】求出函数图象与x轴的交点坐标，再根据函数图象的特征判断出y＞0时，自变量x的取值范围．【解答】解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．结合图象可见，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象，求出函数与x轴的交点坐标并结合函数的图象是解答此类题目的关键．二、填空题11．抛物线y=2x2﹣8x﹣3的顶点坐标是（2，﹣11）．【考点】二次函数的性质．【分析】把二次函数化为顶点式，可求得顶点坐标．【解答】解：∵y=2x2﹣8x﹣3=2（x﹣2）2﹣11，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣11），故答案为：（2，﹣11）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k）．12．当m=3时，函数y=（m2﹣4）x+3是二次函数．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义得到m2﹣m﹣4=2且m2﹣4≠0，据此求得m的值即可．【解答】解：依题意得：m2﹣m﹣4=2且m2﹣4≠0，整理，得（m﹣3）（m+2）=0，且m≠±2，解得m=3．故答案是：3．【点评】本题考查二次函数的定义．注意：二次项系数不为0．13．若二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=5．【考点】二次函数的最值．【分析】利用最值的公式，把a、b、c的值代入，即可得关于k的一元一次方程，解即可．【解答】解：根据题意可知=9，即=9，解得k=5，故答案是5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．14．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1；⑤9a+6b+4c＞0．其中正确结论的序号是②③④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=﹣＞0，又∵a＞0，∴b＜0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故abc＞0，故①错误；∵由图象可知：对称轴x=﹣＞0且对称轴x=﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；∵由题意可知：当x=﹣1时，y=2，∴a﹣b+c=2，当x=1时，y=0，∴a+b+c=0．a﹣b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，即a+c=1，移项得a=1﹣c，又∵a＞0，c＜0，∴a＞1，故③④正确．∵a＞0，c＜0，∴﹣3a＜0，4c＜0，∴﹣3a+4c＜0，∵0＜﹣＜1，∴b＞﹣2a，∴9a+6b+4c＜9a﹣12a+4c=﹣3a+4c＜0，即9a+6b+4c＜0．故⑤错误．故答案是：②③④．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，难度不大，做题的关键是画出图形，题图结合认真分析出a，b，c的符号．三、解答题（本题共4题，每题各8分）15．已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A、B、C、D的坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）求四边形OCDB的面积．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）先把此二次函数化为y=﹣（x+1）（x﹣3）的形式，即可求出A、B两点的坐标，由二次函数的解析式可知c=3，故可知C点坐标，由二次函数的顶点式即可求出其顶点坐标；（2）根据四边形OCDB的面积=S矩形OEFB﹣S△BDF﹣S△CED即可解答．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x+1）（x﹣3），A在B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵c=3，∴C（0，3），∵x=﹣=﹣=1，y===4，∴D（1，4），故此函数的大致图象为：（2）连接CD、BD，则四边形OCDB的面积=S矩形OEFB﹣S△BDF﹣S△CED=OB•|OE|﹣DF•|BF|﹣DE•CE=3×4﹣×2×4﹣×1×1=12﹣4﹣=．【点评】本题考查的是二次函数图象的画法及矩形、三角形的面积公式，能根据题意画出图形，再利用数形结合求解是解答此题的关键．16．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），且过点（1，4），并直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】利用两点式求出已知抛物线的解析式．因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接写出所求抛物线的解析式．【解答】解：设已知抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3）∵该抛物线经过点（1，4），∴4=（1+1）•（4﹣3）a∴a=2即已知抛物线的解析式为：y=2x2﹣4x﹣6∴该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式：y=﹣2x2+4x+6【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换问题，解题的关键是掌握关于x轴对称的两条抛物线的图象及其解析式的特点．17．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意，把y=直接代入求解即可．【解答】解：在y=﹣中，当y=﹣时，x=±5，故水面的宽度为2×5=10米．答：水面的宽度为10米．【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．18．已知二次函数y=x2﹣2x﹣8．（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．（2）将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标；（2）将二次函数y=x2﹣2x﹣8化为顶点形式，然后比较y=x2与y=（x﹣1）2﹣9，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程．【解答】解：（1）二次函数的解析式y=x2﹣2x﹣8，令y=0，得到x2﹣2x﹣8=0，解得：x1=4，x2=﹣2；则此二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）；（2）将二次函数y=x2﹣2x﹣8化为顶点式为y=（x﹣1）2﹣9，∴将y=x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移9个单位，可得到二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，要求二次函数与x轴的交点，即要y=0，得到关于x的方程来求解；要求二次函数与y轴的交点，即要x=0，求出y的值即可，此外熟练掌握二次函数图象的平移规律是解本题第二问的关键．四、（本题共2题，每题各10分）19．（10分）（2016•龙东地区）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．20．（10分）（2016秋•谯城区校级月考）抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象交x轴与A，B两点，在该二次函数的图象上是否存在一点P（且在y轴的右侧），使得△ABP的面积是10？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求出A、B两点的坐标，得出AB的长，再设P（a，b），根据△ABP的面积为10可以计算出b的值，然后再利用二次函数解析式计算出a的值即可得到P点坐标．【解答】解：∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3；∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，设P（a，b），则a＞0．∵△ABP的面积为10，∴AB•|b|=10，解得：b=±5，当b=5时，a2﹣2a﹣3=5，解得：a1=4，a2=﹣2（不合题意舍去），∴P（4，5）；当b=﹣5时，a2﹣2a﹣3=﹣5，a无实数根．故所求P点坐标为（4，5）．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关键是掌握凡是函数图象上的点必满足函数解析式．五、（本题共2题，每题各12分）21．（12分）（2012•城中区校级模拟）王大爷要围成一个如图所示的矩形ABCD花圃．花圃的一边利用20米长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成．设AB边的长为x米，BC的长为y米，且BC＞AB．（1）求y与x之间的函数关系式（要求直接写出自变量的取值范围）；（2）当x是多少米时，花圃面积S最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后根据篱笆总长列式整理即可得到y与x的关系式，再根据BC的长不大于墙长，与BC＞AB列出不等式组求解即可得到x的取值范围；（2）根据矩形的面积公式列式整理得到S与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=x，∴x+y+x=36，∴y=﹣2x+36，∵墙长20米，BC＞AB，∴，由①得，x≥8，由②得，x＜12，所以，8≤x＜12；（2）S=xy=x（﹣2x+36），=﹣2（x2﹣18x），=﹣2（x2﹣18x+81），=﹣2（x﹣9）2+162，∴当x=9米时，花圃面积S最大，最大面积是162米2．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要利用了矩形的周长与面积，二次函数的最值问题，本题难点在于自变量的取值范围的求解，列出不等式组是解题的关键．22．（12分）（2006•南海区校级模拟）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）可把y=2代入抛物线解析式，求得x的值，进而求得可通过隧道的物体的宽度，与汽车的宽比较，若大于则能通过；（2）利用（1）得到的x的值，与汽车的宽度2比较，若大于则能通过．【解答】解：（1）把y=4﹣2=2代入得：2=﹣x2+4，解得x=±2，∴此时可通过物体的宽度为2﹣（﹣2）=4＞2，∴能通过；（2）∵一辆货运卡车高4m，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，∴货车上面有2m，在矩形上面，当y=2时，2=﹣x2+4，解得x=±2，∵2＞2，∴能通过．【点评】考查二次函数的应用；根据所给图形判断出汽车过隧道时抛物线上的点距离路面的距离及判断单行道与双行道汽车能否通过的做法的区别是解决本题的关键．六、（本题满分14分）23．（14分）（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得（2分）∴（3分）∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3（6分）Q点坐标即为解得∴Q（﹣1，2）；（7分）（3）存在．（8分）理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分）=BE•PE+OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）=当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=∴S△BPC最大=（10分）当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=∴点P坐标为（﹣，）．（11分）【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．文本仅供参考，感谢下载！。
苏科版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考模拟试卷(解析版)
2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是（ ）A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x += 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A 、当0a ≠时，20ax bx c ++=是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、22x x −=是一元二次方程，故本选项符合题意；C 、变形为22x =不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、11x x+=含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键．【详解】解：一元二次方程2310x x −−=， 3,1,1a b c ==−=−，()()21431∴∆−−××−112=+130=>，∴一元二次方程2310x x −−=的根的情况为有两个不相等的实数根，故选：D ．3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为（ ）A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x +=【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：2430x x −+=，∴243x x −=−，∴24434x x −+=−+，即()221x −=．故选：B4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，∴()26490k ∆=−−×>，且0k ≠，解得：1k <且0k ≠，即k 的取值范围是1k <且0k ≠．故选：D5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案．【详解】解：将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，得到22y x =+，再向右平移3个单位长度，得到()232y x =−+， 故选：B ．6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上三点，则123,,y y y 为的大小关系为（ ）A. 123y y y >>B. 132y y y >>C. 321y y y >>D. 312y y y >>【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．【详解】解：∵()221y x a =−+,∴抛物线的对称轴为直线1x =，开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵点()12,A y −离对称轴最远，点()21,B y 在对称轴上，∴132y y y >>．故选：B ．7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x 轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k 的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案．【详解】解：∵抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点， 的∴()()2Δ44200k k =−−×−⋅> ≠ ， ∴2k >−且0k ≠，故选：C ．8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为（ ） x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数的表达式，再根据与x 轴的交点即可求出0y <的x 的取值范围，解题的关键是求出二次函数2y ax bx c ++的表达式．【详解】解：由表格可知2y ax bx c ++经过()2,0−，()3,0，()0,6−，设解析式为()()23y a x x =+−∴()()02036a +−=−， 解得：1a =，∴抛物线解析式为()()2236y x x x x =+−=−−，∴抛物线图象开口向上，与x 轴的交点为()2,0−，()3,0，∴0y <时x 的取值范围是23x −<<，故选：C ．二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根，则22101m m −−=______． 【答案】3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m 代入2520x x −−=，求出252m m −=，即可求出22101m m −−的值．【详解】解：∵m 是方程2520x x −−=的一个根，∴252m m −=，∴()2221012512213,m m m m −−=−−=×−=故答案为：3． 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 【答案】1或3−【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．根据判别式的意义得到()2Δ1410k =+−×=，然后解关于k 的方程即可． 【详解】解：由题意得：()2Δ1410k =+−×=，即：()214k +=，解得：1k =或3−，故答案为：1或3−． 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0，则m 的值为________ 【答案】2−【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将0x =代入方程求出2m =±，再根据一元二次方程的定义求出2m ≠，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：将0x =代入()22240m x mx m −++−=，得240m −=， 解得2m =±，∵20m −≠，∴2m ≠，∴2m =−，故答案为2−．12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形．假设矩形的一边长是cm x ，则可列出方程_____________________ 【答案】22=302x x −【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S ab =来解题的方法．本题可根据长方形的周长可以用x 表示另一边长的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：一边长为 c m x ，则另一边长为22cm 2x −， 得22=302x x −． 故答案为：22=302x x −． 13. 如图，已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________．【答案】30x −≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x 的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】∵抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点， ∴由函数图象可得，不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是30x ≤≤﹣，故答案为：30x −≤≤．14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ ．【答案】()3,2−【解析】【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)性质，2()y a x h k =−+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(,)h k ，对称轴是直线x h =．【详解】解：物线()232y x =−−−的顶点坐标是()3,2−． 故答案为：()3,2−．15. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________【答案】35y −≤≤##53x ≥≥−【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−，∴当1x >−时，y 随x 增大而增大，∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤，故答案为：35y −≤≤．16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−，则飞机着陆后滑行_________秒才停下来．【答案】20【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s 最大时对应的t 值，根据顶点坐标的实际意义可得答案．【详解】∵()2260 1.5 1.520600s t t t =−=−−+，∴当20t =时，s 取得最大值600，∴飞机着陆后滑行20秒才停下来．的的故答案：20．17. 如图所示，,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点，且直线AB 垂直于y 轴，若2AB =，则点B 的纵坐标为________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B 横坐标，再代入解析式即可解答．【详解】解：∵()2221y x =−−，∴抛物线对称轴为直线2x =，∵2AB =，∴点B 横坐标为213+=，将3x =代入()2221y x =−−得1y =，∴点B 的纵坐标为1．故答案为：118. 如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高163米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为______米．【解析】为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先建立解析中坐标系，则()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，，利用待定系数法求出抛物线解析式为211633y x =−+，再把B 、C 坐标代入求解即可． 【详解】解：建立如下平面直角坐标系，则点()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，、 设抛物线的表达式为：()21603y ax a =+≠， 将点A 的坐标代入上式得：160163a =+，解得13a =−，∴抛物线的表达式为：213y x =− 将点B 、C 的坐标代入上式得：()2211623311633m m n m n =−+ =−++①②， 由①得1228m m ==−，(舍去），解得：2m n = =或2m n = = （舍去），米．． 三、解答题19. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）()40x −，2x（2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．（1）设每套拖把降价x 元，根据题意列出代数式即可；（2）设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，根据题意列出一元二次方程求解即可；（3）设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.【小问1详解】解：设每套拖把降价x 元，则每天销售量增加2x 套，即每天销售()202x +套，每套拖把盈利()1208040x x −−=−元．故答案为：()40x −，()202x +；【小问2详解】解：设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，依题意得：()()402021242x x −+=， 整理得：2302210x x −+=，解得：121317x x ==，． 又∵需要尽快减少库存，∴17x =．答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； 【小问3详解】解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，依题意得：()()120802021400y y −−+=， 整理得：2303000y y −+=． ∵()22Δ43041300300<0b ac =−=−−××=−， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 20. 解方程：（1）2(2x 1)9+=； （2）2x 2﹣4x ＝1（配方法）； （3）22x 5x 10−+=；（4） ()2(x 3)4x 3x 0−−−=【答案】（1）121,2x x ==−；（2）1211x x ；（3）12x x ；（4）1233,5x x == 【解析】【分析】（1）直接开平方法解方程即可；（2）先方程两边除以2，将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上1，配方开平方即可解答； （3）确定a 、b 、c ，求出△值，当判断方程有解时，带入公式求解即可； （4）整理方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）2(2x 1)9+= 开平方，得：2x 13+=±， 解得：121,2x x ==−； （2）22x 41x −=，二次项系数化为1，得：21x 22x −=， 配方，得：21x 2112x −+=+， 即23(x 1)2−=，开方，得：1x −=解得：1211x x （3）22x 5x 10−+= ∵a=2，b=﹣5，c=1,∴△=224(5)42117b ac −=−−××=﹥0,∴x =，解得：12x x =（4）()2(x 3)4x 3x 0−−−= ()2(x 3)4x 30x +−−=(3)(53)0x x −−=∴30x −=或530x −=，解得：1233,5x x ==． 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键．21. 随着科技的发展，某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G 基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G 基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】（1）6万座 （2）70% 【解析】【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用：（1）根据计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍，列出算式计算即可；（2）设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【小问1详解】解：由题意得：1.546×=（万座）； 答：计划在今年底，全省5G 基站数量是6万座． 【小问2详解】解：设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，由题意得：()26117.34x +=，解得：120.7, 2.7x x ==−（不符合题意，舍去）； 答：全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．22. 如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．（1）当羊圈的边AB 的长为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈 （2）羊圈的面积不能达到2650m ，理由见解析 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】解：设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －，根据题意，得()722640x x −=，化简，得2363200x x −+=，解方程，得116x =，220x =，当116x =时，72240x −=， 当220x =时，72232x −=．答：当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈． 【小问2详解】不能，理由如下：根据题意，得()722650x x −=， 化简，得2363250x x −+=，()22436432540b ac −=−×=−−< ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到2650m 23. 已知函数()214y x =−−+．（1）当x =____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x ____________时，y 随x 的增大而增大．（3）该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到？（4）该抛物线与x 轴交于点，与y 轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．【答案】（1）1；4 （2）1<（3）见解析 （4）(1,0)−和(3,0)；(0,3) （5）见解析 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为1−得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；（3）找出函数2y x =−的顶点坐标，结合函数2(1)4y x =−−+的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令0y =可得出关于x 的一元二次方程，解方程求出x 值，由此得出抛物线与x 轴的交点坐标；令0x =求出y 值，由此即可得出抛物线与y 轴的交点坐标；（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【小问1详解】解： 函数解析式为2(1)4y x =−−+，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)． ∴当1x =时，抛物线有最大值，是4．故答案为：1；4； 【小问2详解】解： 抛物线的开口向下，对称轴为1x =，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大．故答案为：1<； 【小问3详解】解： 函数2y x =−的顶点坐标为(0,0)，∴将函数2y x =−的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数2(1)4y x =−−+的图象．【小问4详解】解：令0y =，则有2(1)40x −−+=， 解得：11x =−，23x =，∴该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)−和(3,0)．当0x =时，2(01)43y =−−+=， ∴该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(1,0)−和(3,0)；(0,3)． 【小问5详解】 解：列表：x 1−0 1 2 3 y343描点，连线，该抛物线的图象如图：．24. 已知图象的顶点坐标是()2,1，且与x 轴的一个交点坐标是()3,0，求此二次函数的解析式． 【答案】()221y x =−−+ 【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把解析式设顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数解析式为()()2210y a x a =−+≠，把()3,0代入()()2210y a x a =−+≠中得：()20321a =−+，解得1a =−，∴此二次函数解析式为()221y x =−−+． 25. 已知：二次函数()221y x m x m =−++−．（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、（A 在原点左边，B 在原点右边），且3AB =，求此时抛物线的解析式．【答案】（1）见解析 （2）2y x x 2−− 【解析】【分析】（1）根据()()22Δ2418m m m =+−−=+的符号，即可求解，为（2）由根与系数关系，列出()()2224A B A B A B AB x x x x x x =−=+−⋅，即可求解，本题考查了根的判别式，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握根的判别式，根据系数关系． 【小问1详解】 证明：()()22Δ2418m m m =+−−=+，20m ≥ ，2Δ880m ∴=+≥>，故抛物线与x 轴一定有两个交点， 【小问2详解】解：令0y =，得()2210x m x m −++−=， 由（1）知Δ0>，2A B x x m ∴+=+，1A B x x m ⋅=−，()()()()22224241A B A B A B AB x x x x x x m m =−=+−⋅=+−−，()()22419m m ∴+−−=，解得1m =±，A 在原点左边，B 在原点右边，10A B x x m ∴⋅=−<，1m ∴<，1m ∴=−，故抛物线的表达式为：2y x x 2−−．26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C −．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，连接PA ，PB ，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标； 【答案】（1）245y x x =−− （2）当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24−【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −，则25PQ x x =−+，然后根据ABPS PQ OB =⋅ 计算即可． 【小问1详解】解：当xx =0时，5y =−， ∴点A 的坐标为()0,5−，当0y =时，50x −=，解得5x =， ∴点B 的坐标为()5,0，设抛物线的解析式为()()51y a x x =−+，代入()0,5−得：55a −=−，解得：1a =，∴二次函数的解析式为()()25145y x x x x =−+=−−；【小问2详解】解：过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −，∴225(45)5PQ x x x x x =−−−−=−+， ∴()2211551255522228ABPS PQ OB x x x =⋅=×−+×==−−+， 当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24 − ．。
2023-2024学年辽宁省沈阳第七中学九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳七中九年级（上）第一次月考数学试卷一.选择题：（每小题2分，共20分）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x3+2x＝0B．x（x﹣3）＝0C．D．y﹣x2＝42．（2分）已知线段a、b、c满足，其中a＝4cm，b＝12cm（ ）A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm3．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）或（3，2）C．（﹣12，﹣8）D．（﹣12，﹣8）或（12，8）4．（2分）将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（ ）A．B．C．D．5．（2分）若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）A．0B．4C．0或4D．0或﹣46．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，F分别为边AB，BC的中点，DE，点N，DE的中点，连接MN（ ）A．B．2C．D．27．（2分）若点A（﹣2，1）在反比例函数y＝的图象上（ ）A．B．﹣C．2D．﹣28．（2分）菱形ABCD的边长为20，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为（ ）A．200B．400C．100D．2009．（2分）如图，若直线l1∥l2∥l3，且DE：EF＝2：3，AC＝15，则BC＝（ ）A．5B．6C．9D．1010．（2分）如图，点A为反比例函数上的一动点，△AOB的面积为k，则函数y＝kx+1的图象为（ ）A．B．C．D．二.填空题（每题3分，共24分）11．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是： ．12．（3分）若＝＝且a﹣b+c＝2，则a+b﹣c的值为 ．13．（3分）已知反比例函数y＝﹣（k是常数且k≠0）的图象在第二、四象限，那么k 的取值范围是 ．14．（3分）某物流公司今年7月的营业额为250万元，按计划第三季度的总营业额要达到910万元，求该物流公司8月、9月两个月营业额的月平均增长率 ．15．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（2x﹣1）※（x+2）＝7，则x的值为 ．16．（3分）菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．17．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，CD＝2，则△ABE的面积为 ．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，若AB＝1.5，BC＝2 ．三、解答题：19．（20分）解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）；（3）（2x+3）2＝9（x﹣5）2；（4）（x+2）•（x﹣1）＝70．20．（8分）列一元二次方程解应用题．如图，在一个长为60米，宽为40米的矩形场地内修筑两条入口宽度相等均为x米的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形场地的一边平行，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204平方米．求：小路入口的宽度是多少米？21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是菱形．22．（8分）如图，AD和BE都是△ABC的高，相交于F点（1）求证：△CAB∽△CDE；（2）若点D是BC的中点，CE＝6cm，BE＝8cm ．23．（10分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件．（1）若每件服装降3元，则每天能卖出 件，每件服装的利润是 元．（2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？24．（10分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．25．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B在线段AO上，且AB=2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴①点B的坐标 ；②求证：△BOP∽△PCE；（2）在（1）的条件下，如图2（8，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，则点P的坐标 ；（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，垂足为点C，若以点E，P，请直接写出点E的坐标 ．2023-2024学年辽宁省沈阳七中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（每小题2分，共20分）1．【答案】B【解答】解：A．x3+2x＝8，未知数最高次数是3，不符合题意；B．x（x﹣3）＝6是一元二次方程；C．是分式方程，不符合题意；D．y﹣x2＝4含有两个未知数，不是一元二次方程．故选：B．2．【答案】D【解答】解：∵a：b＝b：c，a＝4cm，∴b2＝ac＝5c＝144，解得c＝36，故选：D．3．【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，B（﹣6，点B'的对应点A'的坐标为（﹣6×2，﹣4×4）或（﹣6×（﹣2），即点B'的坐标为（﹣12，4），故选：D．4．【答案】A【解答】解：3x2﹣2x+2＝0，x7﹣3x+＝0，x2﹣6x＝﹣，x5﹣3x+（）2＝﹣+（）3，（x﹣）7＝，故选：A．5．【答案】B【解答】解：∵mx2+2mx+6＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝6m2﹣16m＝0，解得m＝4或m＝4，∴m＝4．故选：B．6．【答案】C【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝CD，∴CG＝CD＝8，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝7，∴FG＝＝2，∴MN＝，故选：C．7．【答案】D【解答】解：把A（﹣2，1）代入反比例函数y＝，解得：k＝﹣2，故选：D．8．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，OB＝，∵菱形ABCD的边长为20，∴AB＝AC＝20，∴BO＝10，∴BD＝20，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝200．故选：D．9．【答案】C【解答】解：∵直线l1∥l2∥l5，且DE：EF＝2：3，∴＝＝，∴＝，∴BC＝AC＝，故选：C．10．【答案】B【解答】解：设A点坐标为（x，y），∵A点在第二象限且在函数y＝﹣的图象上，∴xy＝﹣2，∴S△ABO＝|xy|＝，即k＝1．∴一次函数y＝kx+1的解析式为：y＝x+4，∴一次函数的图象经过点（0，1），7）的直线．故选：B．二.填空题（每题3分，共24分）11．【答案】m≤7且m≠3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+1＝0有实数根，∴Δ＝16﹣7（m﹣3）×1≥2且m﹣3≠0，解得：m≤5且m≠3．故答案为：m≤7且m≠2．12．【答案】．【解答】解：设a＝2k，b＝3k，（k≠8），∵a﹣b+c＝2，∴2k﹣2k+4k＝2，解得：k＝，∴a＝，b＝2，∴a+b﹣c＝+6﹣＝．故答案为：．13．【答案】k＞0．【解答】解：∵反比例函数（k是常数、四象限，∴﹣k＜0，解得：k＞0，故答案为：k＞2．14．【答案】20%．【解答】解：设月营业额的月平均增长率为x，则，250+250（1+x）+250（1+x）5＝910，解得：，（不符合实际，答：月营业额的月平均增长率为20%．故答案为：20%．15．【答案】4或﹣．【解答】解：由题意可得：（2x﹣1）3﹣（2x﹣1）（x+8）＝7，整理，得：2x6﹣7x﹣4＝3，（x﹣4）（2x+6）＝0，∴x1＝6，x2＝﹣，即x的值为4或﹣，故答案为：4或﹣．16．【答案】．【解答】解：如图，在BC的下方作∠CBT＝30°，连接ET，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°，∠ADF＝，AB＝AD＝5，在△BET和△DFA中，，∴△BET≌△DFA（SAS），∴ET＝AF，∴AE+AF＝AE+TE，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，∵AB＝AD＝4，BT＝AD，∴AB＝BT＝4，∴AT＝＝，∵AE+TE≥AT，即AE+TE≥，∴AE+AF的最小值为．故答案为：．17．【答案】．【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝7，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．18．【答案】．【解答】解：∵D为BC边的中点，BC＝2，∴BD＝1．∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，∴．∵BE⊥AD于点E，∴，∴BF＝，∵AB＝1.6，，∴，过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，设 ，∵DG∥BF，∴△CGD∽△CBE，∴，∴，∵EF∥DG，∴△AEF∽△AGD，∴，即 ＝，解得 ，∴．故答案为：．三、解答题：19．【答案】（1），；（2）x1＝5，x2＝3；（3）x1＝18，；（4）x1＝﹣9，x2＝8．【解答】解：（1）2x2+2x﹣3＝0，a＝4，b＝4，Δ＝b2﹣2ac＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞5，方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，；（2）（x﹣3）2＝8（x﹣3），解：（x﹣3）8﹣2（x﹣3）＝2，（x﹣3﹣2）（x﹣7）＝0，解得：x1＝5，x2＝3；（3）（5x+3）2＝5（x﹣5）2，解：（6x+3）2﹣3（x﹣5）2＝6，（2x+3﹣2x+15）（2x+3+5x﹣15）＝0，即（﹣x+18）（5x﹣12）＝5，解得：x1＝18，；（4）（x+2）⋅（x﹣1）＝70，解：x6+2x﹣x﹣2﹣70＝4，x2+x﹣72＝0，（x+7）（x﹣8）＝0，解得：x6＝﹣9，x2＝4．20．【答案】小路入口的宽度是2米．【解答】解：设小路入口的宽度是x米，则（60﹣x）（40﹣x）＝2204，解得：x1＝2，x7＝98（不符合实际，舍去）．答：小路入口的宽度是2米．21．【答案】证明见解析．【解答】证明：在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，又∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形．22．【答案】（1）见解析；（2）cm．【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCE，∴，即，又∵∠C＝∠C，∴△CAB～△CDE；（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，∴AB＝AC，在Rt△BEC中，∵CE＝6cm，BE＝8cm，∴（cm），∴（cm），∵△ACD∽△BCE，∴，∴（cm），∴（cm），∴cm．故答案为：cm．23．【答案】（1）45，17；（2）每件服装应降价10元，每天能盈利800元．【解答】解：（1）∵每件降价1元，则每天可多售5件，∴每件服装降6元，则每天可多售3×5＝15件，每件服装的利润是为：（65﹣6）﹣45＝17元，故答案为：45，17；（2）设每件服装应降价x元，每天能盈利800元，则：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800，解得：x1＝3，x2＝10，∵要尽快减少库存，∴x＝10，故：每件服装应降价10元，每天能盈利800元．24．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+4，反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；（2）4；（3）x＜﹣3或﹣1＜x＜0．【解答】解：（1）将A（﹣3，1），2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+4，将A（﹣3，5）代入，得m＝﹣3，∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，∴点D的坐标为（3，4），由，解得或，∴点B的坐标为（﹣1，7），∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝3；（3）观察图象，当x＜0时的解集是x＜﹣3或﹣7＜x＜0．25．【答案】（1）①（0，2）；②见解析过程；（2）（，0）或（2，0）；（3）（，2）或（，）或（0，﹣）或（﹣，﹣2）．【解答】（1）解：①∵点A（0，6），∴OA＝7，∵AB＝2BO，∴BO＝2，∴点B的坐标为（2，2），故答案为：（0，3）；②证明：∵PQ⊥PB，EC⊥OC，∴∠ECP＝∠BPE＝∠POB＝90°，∴∠OPB+∠EPC＝90°，∠EPC+∠CEP＝90°，∴∠OPB＝∠PEC，∴△BOP∽△PCE；（2）解：如图，过点C'作C'G⊥OC于G，∵点C坐标为（8，0），∴OC＝2，设OP＝x，则PC＝8﹣x，∵AF∥OP，∴△FBA∽△PBO，∴＝2，∴AF＝7x，∵∠EPC+∠OPB＝90°，∠EPC'+∠C'PF＝90°，∴∠C'PF＝∠OPB，∵∠OPB＝∠F，∴∠F＝∠C'PF，∴C'F＝C'P＝PC＝8﹣x，∴AC'＝8﹣5x，∴C'D＝3x，∴PG＝PC﹣CG＝8﹣7x，在Rt△PC'G中，∵C'P2＝PG2+C'G7，∴（8﹣x）2＝（5﹣4x）2+32，∴x1＝或x2＝7，∴P（，6）或（2，故答案为：（，0）或（2；（3）解：如图，∵OB＝7，∠POB＝90°，∴∠PBO＝30°，∴OP＝OB•tan30°＝，PB＝2OP＝，∵∠BPQ＝90°，∴∠QPC＝30°，∵∠PBQ＝∠ECP＝90°，∴当∠PE1B＝30°时，以点E，P，∴PE6＝BP＝4，∴E2C＝PE8＝2，PC＝E4C＝2，∴OC＝，∴E4（，2）；当∠PBE2＝30°时，以点E，P，同法可得E6（，）；当∠PE6B＝30°时，以点E，P，同法可得E3（0，﹣）；当∠PBE4＝30°时，以点E，P，同法可得E4（﹣，﹣2），综上所述，满足条件的点E坐标为：（，2）或（，）或（0，﹣）或（﹣，﹣2）．。
华师版数学九年级上册第一次月考试卷与解析
九年级上册第一次月考测试范围：第21章~第22章时间：120分钟满分：120分一、选择题：（每小题3分,共30分，）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．+＝B．＝2C．•＝D．÷＝23.已知x=2是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个根，则m的值为（）A．2 B．-2 C．4 D．-44．等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．5．已知m＝+，则以下对m的估算正确的（）A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜66．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝7．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣5＝0B．x2﹣2x＝﹣5C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x﹣3＝08.若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1B．﹣1C．2D．1﹣9．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（）A．10x+（x-3）=（x-3）2 B．10（x+3）+x=x2C．10x+（x+3）=（x+3）2 D．10（x+3）+x=（x+3）210.将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（）A．1﹣B．3﹣C．1+D．3+二、填空题（每小题3分，共15分）11．与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝．12．一元二次方程4x（x-2）=x-2的解为．13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+＝．14．对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．若关于x的方程（a※x）※x＝有两个相等的实数根，则实数a的值为．15．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的周长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）计算（1）﹣÷2+（3﹣）（1+）;（2）（﹣）×+（﹣3）2÷．17．（9分）解下列方程：（1）x2﹣8x﹣1＝0；（2）3x2﹣5x＝2；（3）（x﹣3）（x﹣1）＝3．18．（9分）关于x的方程|m﹣1|x2+2x﹣3＝0．已知该方程的一个根是x=1.（1）求m的值；（2）求方程的另一个根．19．（9分）先化简，再求值：（1）（a+）（a﹣）+a（a﹣6），其中a＝+1；（2）（+）÷，其中x＝+2，y＝﹣2．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．20．（10分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果进行降价销售．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如表所示，已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．22．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？23.（11分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：（13x -）2﹣|1﹣x |. 解：隐含条件1﹣3x ≥0，解得x ≤.∴1﹣x ＞0.∴原式＝（1﹣3x ）﹣（1﹣x ）＝1﹣3x ﹣1+x ＝﹣2x.（1）试化简：﹣（）2；（2）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简：+++；（3）已知a 、b 3,a =+1,a b =-+则ab 的值为 ．参考答案与解析1.B2.D3.C4.B5.B6.B7.B8.C9.C10.C 解析：∵x 2﹣x ﹣1＝0，∴x 2＝x +1，∴x 3＝x •x 2＝x （x +1）＝x 2+x ＝x +1+x ＝2x +1，x 4＝x •x 3＝x （2x +1）＝2x 2+x ＝2（x +1）+x ＝3x +2.∴x 4﹣2x 3+3x ＝3x +2﹣2（2x +1）+3x ＝3x +2﹣4x ﹣2+3x ＝2x ，解方程x 2﹣x ﹣1＝0得x 1＝，x 2＝.∵x ＞0，∴x ＝，∴x 4﹣2x 3+3x ＝2x =2×＝1+．故选C ．11.2 12.x1=2,x2=1413.2 14.32-15.23或21或1916.解：（1）原式＝4﹣+3+--1＝+2.（4分）（2）原式＝2﹣+（3+9﹣6）÷＝+（12﹣6）33⨯＝+4﹣6＝5﹣6．（8分）17.解：（1）方程整理得x2﹣8x＝1，配方得x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17，开方得x﹣4＝±，解得x1＝4+，x2＝4﹣.（3分）（2）移项，得3x2-5x-2=0，分解因式得（x-2）（3x+1）=0，解得x1=2，x2=-13.（6分）（3）方程整理得x2﹣4x＝0，分解因式得x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4．（9分）18.解：（1）把x＝1代入原方程得|m﹣1|+2﹣3＝0，解得m＝0或m＝2.（4分）（2）当m＝0或m＝2时，原方程为x2+2x﹣3＝0.解得x1＝1，x2＝﹣3，即方程的另一个根为x=﹣3．（9分）19.解：（1）原式＝a2﹣3+a2﹣6a＝2a2﹣6a﹣3，当a＝+1时，原式＝2（+1）2-6（+1）-3=2（3+2）-6-6-3=-2-3．（4分）（2）原式＝[+]÷＝•y（x+y）＝.当x＝+2，y＝﹣2时，原式＝＝＝．（9分）20.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2＝0有两个实数根，∴∆＝）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，即m≥-8,.又∵m≥0，∴m的取值范围为m≥0．（5分）（2）∵关于x的一元二次方程x2x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得m＝9．（10分）21.解解解1解解解解解解解解解解解解解y解解解解解解10解1-y解2=8.1解解解y1=0.1=10%解y2=1.9解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解解10%解（5分）解2解解解解解解解8.1-4.1解解120-x解-解3x2-64x+400解=377解解解解解x2-20x+99=0解解解x1=9解x2=11解解解解解解解解解解解解x解解解9解（9分）22.解：（1）设与墙垂直的板墙的长度为x米，则与墙平行的板墙的长度为（26﹣2x+2）米，根据题意得x（26﹣2x+2）＝80，整理得x2﹣14x+40＝0.解得x＝4或x＝10.当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）.当x＝10时，28﹣2x＝8＜12，∴这个车棚的长为10米，宽为8米．（5分）（2）设小路的宽为a米，根据题意得（8﹣2a）（10﹣a）＝54，整理得a2﹣14a+13＝0，解得a＝13＞10（舍去），a＝1.故小路的宽为1米．（10分）23.解：（1）隐含条件为2﹣x≥0，解得x≤2，∴x﹣3＜0.∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1.（4分）（2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c ﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．（8分）(3)±（11分）解析：∵＝a+3，若2-a≤0，即a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，∴a＜2.∴2﹣a＝a+3，∴a＝﹣.∵＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b＝﹣或，∴ab＝±．。
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九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．方程x（x+5）＝0的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5 2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：23．小明参加射击比赛，成绩统计如表关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．方差是2环B．中位数是8环C．众数是9环D．平均数是9环4．若正比例函数y＝（1﹣m）x中y随x的增大而增大，那么m的取值范围（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜15．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．56．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°或75°B．75°C．45°或75°或15°D．60°8．如图：设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB：延长DA至AF，使EF＝EB．以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则BH：AH的值是（）A．B．C．D．9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣kx+1图象上的不同两个点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜2 D．k＞210．已知x＞y，且xy＜0，a为任意实数，则下列式子正确的是（）A．﹣（a2+1）x＞（a2+1）y B．a2x＞a2yC．2a﹣3x＜2a﹣3y D．a+x＞a﹣y二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．比较大小：（1）7；（2）1．12．已知关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．÷＝．14．一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，它们除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共实验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有个．15．已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN 沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN 的长为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．三、解答题（本大题共8小题，共64分）17．计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．18．解方程：．19．求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：求证：证明：20．如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD＝8m，FB＝2m，EF＝1.6m，求树高CD．21．李师傅去年开了一家商店，今年2月份开始盈利，3月份盈利2000元，5月份的盈利达到2420元，且从3月份到5月份每月盈利的平均增长率都相同．（1）求从3月份到5月份每月盈利的平均增长率；（2）按照（1）中的平均增长率，预计6月份这家商店的盈利将达到多少元？22．一个不透明的口袋中有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，小明将球搅匀后从中摸出一个球是红球的概率是0.25．（1）求口袋中红球的个数；（2）若小明第一次从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出一个球，请通过树状图或者列表的方法求出小明两次均摸出红球的概率．23．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边AB上的一个点，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F，点M是DG的中点，连接ME，MC，MF．（1）求证：△MEF≌△MCD；（2）若BE＝3，求MC的长度；（3）在（2）的条件下求∠MCE的度数．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．方程x（x+5）＝0的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5 【分析】原方程可转化为x＝0或x+5＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：x＝0或x+5＝0，∴x1＝0，x2＝﹣5．故选：D．2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．3．小明参加射击比赛，成绩统计如表关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．方差是2环B．中位数是8环C．众数是9环D．平均数是9环【分析】根据中位数定义求解即可．【解答】解：由表可知共10个数据，∴中位数为第5、6个数据的平均数，即（8+8）÷2＝8，故选：B．4．若正比例函数y＝（1﹣m）x中y随x的增大而增大，那么m的取值范围（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣m）x中，y随x的增大而增大，∴1﹣m＞0，解得m＜1．故选：D．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC＝S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，解得：x＝6或x＝﹣8（舍去），则x的值为6．故选：B．7．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°或75°B．75°C．45°或75°或15°D．60°【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB＝AC时，根据已知条件得出AD＝BD＝CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB＝BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB＝BC，求出底角的度数；当AB＝BC时，根据AD＝BC，AB＝BC，得出∠DBA＝30°，从而得出底角的度数．【解答】解：①如图1，当AB＝AC时，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴底角为45°；②如图2，当AB＝BC时，∵AD＝BC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝75°，∴底角为75°．③如图3，当AB＝BC时，∵AD＝BC，AB＝BC，∴AD＝AB，∴∠DBA＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝15°；∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°；故选：C．8．如图：设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB：延长DA 至AF，使EF＝EB．以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则BH：AH的值是（）A．B．C．D．【分析】设AB＝2a，利用正方形的性质得AD＝2a，则AE＝a，根据勾股定理计算出BE＝a，所以EF＝a，则AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，再利用四边形AFGH为正方得到AH ＝AF＝（﹣1）a，所以BH＝（3﹣）a，然后计算BH：AH＝（3﹣）a：（﹣1）a即可．【解答】解：设AB＝2a，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝2a，而E点为AD的中点，∴AE＝a，∴BE＝＝a，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，∵四边形AFGH为正方形，∴AH＝AF＝（﹣1）a，∴BH＝AB﹣AH＝（3﹣）a，∴BH：AH＝（3﹣）a：（﹣1）a＝（﹣1）：2．故选：A．9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣kx+1图象上的不同两个点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜2 D．k＞2【分析】根据一次函数的性质判断出y随x的增大而减小，从而得出2﹣k＜0．【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣kx+1图象上的不同两个点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴该函数图象是y随x的增大而减小，∴2﹣k＜0，解得k＞2．故选：D．10．已知x＞y，且xy＜0，a为任意实数，则下列式子正确的是（）A．﹣（a2+1）x＞（a2+1）y B．a2x＞a2yC．2a﹣3x＜2a﹣3y D．a+x＞a﹣y【分析】直接利用不等式的性质分析得出答案．【解答】解：∵x＞y且xy＜0，∴x＞0，y＜0，A．∵a2+1＞0，﹣x与y的关系不能确定，故此选项错误，不合题意；B．a2x≥a2y，故此选项错误，不合题意；C．∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴2a﹣3x＜2a﹣3y，故正确，符合题意；D．x与﹣y的关系不能确定，故此选项错误，不合题意．故选：C．二．填空题（共6小题）11．比较大小：（1）＞7；（2）＜1．【分析】（1）依据被开方数越大，对应的算术平方根越大比较即可；（2）先估算出的大小，然后再进行比较即可．【解答】解：（1）∵50＞49，∴＞，即＞7．（2）∵9＞5，∴3＞．∴＜＝1，即＜1．故答案为：（1）＞；（2）＜．12．已知关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜9且m≠0 ．【分析】由关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即62﹣4•m•1＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即62﹣4•m•1＞0，解得m＜9，∴m的取值范围为m＜9且m≠0．故答案为：m＜9且m≠0．13．÷＝﹣2 ．【分析】将分子、分母能因式分解得因式分解，同时将除法转化为乘法，依据分式的基本性质整体约分可得答案．【解答】解：原式＝••＝﹣2，故答案为：﹣2．14．一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，它们除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共实验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有15 个．【分析】先计算出黄球频率，频率的值接近于概率，再计算黄球的概率．【解答】解：黄球的概率近似为，设袋中有x个黄球，则，解得x＝15．故答案为：15．15．已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN 沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为或．．【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再证明△NPC∽△ABC列比例式，得方程，解方程即可得结果．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，设AN＝PN＝x，则CN＝5﹣x①当∠NPC＝90°时，如图1，∵∠NPC＝∠B＝90°，∠C＝∠C，∴△NPC∽△ABC，∴，∴，x＝，即PN＝；②当∠PNC＝90°时，如图2，∵∠PNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C∴△NPC∽△BAC，∴，∴，x＝，即PN＝；综上，PN的长为或．故答案为：或．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．【分析】首先连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD＝以及△AOD 的面积，继而可得S△AOD＝（PE+PF），则可求得答案．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB，∵AB＝3，AD＝4，∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝××PE+××PF＝（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝．故答案为．三．解答题（共8小题）17．计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣1）++1+＝1．18．解方程：．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：原方程可化为：+2＝，方程的两边同乘（x﹣4）得，x﹣5+2（x﹣4）＝﹣1，解得，x＝4，检验，把x＝4代入最简公分母x﹣4＝0，所以x＝4不是原方程的解，∴原方程无解．19．求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC求证：AE∥BC证明：【分析】根据作一个已知角的角平分线的作法作图即可；根据等腰三角形的性质和角平分线的性质求得∠C＝∠EAC，从而得出AE∥BC．【解答】解：如图射线AE为所求的，已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC，求证：AE∥BC，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC为△ABC的外角，∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠EAC，∴∠C＝∠EAC，∴AE∥BC．故答案为：在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC；AE∥BC．20．如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD＝8m，FB＝2m，EF＝1.6m，求树高CD．【分析】延长CE交DF的延长线于点G，可证明△GFE∽△GBA，得GF的长；可证明△GDC ∽△GBA，树高CD的长即可知．【解答】解：延长CE交DF的延长线于点G，设GF为xm，∵EF∥AB，∴△GFE∽△GBA，∴，即＝，解得x＝4，∵CD∥AB，∴△GDC∽△GBA，∴，即，解得CD＝5.6，答：树高CD为5.6m．21．李师傅去年开了一家商店，今年2月份开始盈利，3月份盈利2000元，5月份的盈利达到2420元，且从3月份到5月份每月盈利的平均增长率都相同．（1）求从3月份到5月份每月盈利的平均增长率；（2）按照（1）中的平均增长率，预计6月份这家商店的盈利将达到多少元？【分析】（1）设该商店从3月份到5月份每月盈利的平均增长率为x，根据该商店3月份及5月份的利润，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据6月份的盈利＝5月份的盈利×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设该商店从3月份到5月份每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该商店的每月盈利的平均增长率为10%．（2）2420×（1+10%）＝2662（元）．答：6月份盈利为2662元．22．一个不透明的口袋中有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，小明将球搅匀后从中摸出一个球是红球的概率是0.25．（1）求口袋中红球的个数；（2）若小明第一次从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出一个球，请通过树状图或者列表的方法求出小明两次均摸出红球的概率．【分析】（1）设红球有x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可；（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和小明两次均摸出红球的个数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）设红球有x个，依题意得：＝0.25，解得：x＝1，经检验：x＝1是原方程的解答：口袋中红球有1个．（2）根据题意列表如下：共有16种等情况数，其中两次均摸出红球的有1种，所以小明两次均摸出红球的概率：P（红，红）＝．23．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边AB上的一个点，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F，点M是DG的中点，连接ME，MC，MF．（1）求证：△MEF≌△MCD；（2）若BE＝3，求MC的长度；（3）在（2）的条件下求∠MCE的度数．【分析】（1）先判断出四边形BCFE是矩形，进而判断出∠EFM＝45°＝∠BDC，即可得出结论；（2）先求出DF＝2，进而求出FG＝2，MH＝FH＝1，最后用勾股定理即可得出结论；（3）由（1）的结论得出∠EMC＝∠DMF，进而得出三角形MCE是等腰直角三角形，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝∠BDC＝45°，BC＝CD＝5，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵EF∥BC，∴∠DFE＝∠BEF＝90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝CD，∵点M是DG的中点，∴DM＝FM，∠DMF＝90°，∠EFM＝45°，在△MEF和△MCD中，，∴△MEF≌△MCD（SAS），（2）如图，∵四边形BCFE是矩形∴CF＝BE＝3，∴DF＝2，FG＝DF＝2，过点M作MH⊥DF于M，∵DM＝GM，∴FH＝DH＝DF＝1，∴CH＝CF+FH＝4，在Rt△CHM中，根据勾股定理得，CM＝＝；（3）由（1）知，△MEF≌△MCD，∴ME＝MC，∠EMF＝∠CMD，∴∠EMC＝∠DMF＝90°，∵ME＝MC，∴∠MCE＝45°．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．【分析】（1）由题意可求点A，点C的坐标，用待定系数法可求直线AB的函数表达式；（2）由题意可求点B的坐标，即可求AC，BC，AB的长，由Rt△ABC∽Rt△AEB，可得，可求AE的长，即可求点E的坐标；（3）分△APQ∽△ABE，△APQ∽△AEB两种情况讨论，可求t的值．【解答】解：∵点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根∴点A、C的横坐标分别为﹣3，1∴点A（﹣3，0），点C（1，0）设直线AB解析式：y＝kx+，且过点A∴0＝﹣3k+∴直线AB解析式：y＝x+（2）如图：过B作BE⊥AB交x轴于E，当x＝1时，则y＝+＝3∴点B（1，3）∴AC＝4，BC＝3∴AB＝5∵Rt△ABC∽Rt△AEB∴∴∴AE＝∴OE＝﹣3＝∴点E（，0）（3）由题意可得：AP＝t，AQ＝﹣t 如图：若△APQ∽△ABE∴∴t＝如图：若△APQ∽△AEB∴∴∴t＝综上所述：t＝时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．。