高中数学全套教案新人教版选修2-3资料

高中数学选修2-3修订教案王国昌1.1基本计数原理（第一课时）教学目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？二、讲解新课：问题 1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。

已知当天长途车有2班，列车有3班。

问共有多少种走法？设问1：从济南到北京按交通工具可分____类方法?第一类方法, 乘火车，有___ 种方法;第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？从济南到北京须经____ 再由_____到北京有____个步骤第一步, 由济南去天津有___种方法第二步, 由天津去北京有____种方法,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。

1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n K 种不同方法1标准必须一致、正确。

2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

三、例子例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方⨯⨯=种法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是43224所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四N=⨯⨯⨯=，位数字号码的个数是1010101010000所以，可以组成10000个四位数号码例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法N=⨯=种，6种选法可以表示如下：根据分步技数原理，不同的选法数是326日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法例4，若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？n块糖呢？课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用课堂练习：课后作业：1.1基本计数原理（第二课时）教学目标：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程一、复习引入： 1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k 种途径，由第1种途径有n 1种方法可以完成，由第2种途径有n 2种方法可以完成，……由第k 种途径有n k 种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n 1+n 2+……+n k 种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有n 1种不同的方法，完成第2步有n 2种不同的方法，……，完成第K 步有n K 种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×n k 种不同方法二、讲解新课：例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?解:取b a +与取a b +是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.例3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A. 180B. 160C. 96D. 60若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)例5 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.由于 75600=24×33×52×7 (1) 75600的每个约数都可以写成lk j l 7532⋅⋅⋅的形式,其中40≤≤i ,30≤≤j ,20≤≤k ,10≤≤l图一图二图三于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即l k j i ,,,分别在各自的范围内任取一个值,这样i 有5种取法,j 有4种取法,k 有3种取法,l 有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成l k j 753⋅⋅的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理的应用 课堂练习： 课后作业：1.2.1排列（第一课时）教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导 教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导 教学过程一、复习引入： 1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k 种途径，由第1种途径有n 1种方法可以完成，由第2种途径有n 2种方法可以完成，……由第k 种途径有n k 种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n 1+n 2+……+n k 种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有n 1种不同的方法，完成第2步有n 2种不同的方法，……，完成第K 步有n K 种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×n k 种不同方法二、讲解新课： 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的．．．顺序．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求mn A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ． 解：（1）316A ＝161514⨯⨯＝3360 ； （2）66A ＝6!＝720 ； （3）46A ＝6543⨯⨯⨯＝360例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．解：（1）n = 17 ，m = 14 ． （2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----＝ 1569n A -．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ （2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）255420A =⨯=； （2）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=； （3）2141413A =⨯=课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导 课堂练习： 课后作业：1.2.1排列（第二课时）教学目标：掌握解排列问题的常用方法 教学重点：掌握解排列问题的常用方法 教学过程一、复习引入： 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的．．．顺序．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． 互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．解 (1)P66=720(种)(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)(3)P55·P22=120×2=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43·P33=24×6=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：课后作业：1.2.2组合（第一课时）教学目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式 教学过程一、复习引入： 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的．．．顺序．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且 例子：1、计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 2、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C mn -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n mn C mn m C3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？ (2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？ (4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式 课堂练习： 课后作业：1.2.2组合（第二课时）教学目标：1掌握组合数的两个性质；2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：掌握组合数的两个性质 教学过程一、复习引入：1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且二、讲解新课：1 组合数的性质1：mn nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=，∴n n m n C C -=说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③y n xn C C =y x =⇒或n y x =+． 2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 3.例子1．（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边2．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解3. 有同样大小的4个红球，6个白球。