数学分析之数列极限

§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基 础之一,它不仅与函数极限密切相关，而且 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子 三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说法
六、一些例子
极限思想：
1、割圆求周长
三国时期，数学
家刘徽应用极限
讨论圆内接正多边形与该圆周的关系
已知圆内接正多边形的周长 l n
未知的圆周长 l
（1）在任何有限的过程中，
R
即对任何确定的n， l n 皆为 l
的近似值；（2）在无限的过
程中，即当n无限增大时，l n
无限接近于常数 l 的精确值.
l是 l n 当n无限增大时的极限
圆面积亦如此.
量变和质变既有区别又有联系，两者之间 有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量 的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数 学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆 内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到 的还是内接正多边形，是量变而不是质变； 但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之 后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转 化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法， 从量变来认识质变的。
定性分析：当n无限增大时，1
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
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“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
数学分析之数列极限
极限的思想是近代数学的一种重要思想， 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论 (包括级数)为主要工具来研究函数的一门学 科。
极限是构筑微积分坚实理论体系的基石。 要想对数学分析这门学科的实质有一个真正 的了解和掌握，就必须准确掌握极限的概念 和无穷小的分析方法。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析 问题和解决问题的一种数学思想。用极限 思想解决问题的一般步骤可概括为：对于 被考察的未知量，先设法构思一个与它有 关的变量，确认这变量通过无限过程的结 果就是所求的未知量；最后用极限计算来 得到这结果。
样的过程可以无限制地进行下去.
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
来自百度文库
第一天截下 1 , 第二天截下 1
2 1
2
2 n , . 这样就得到一个数列:
2
,
,
第n天截下
11 2,22,
1 ,2n,
, 或 21n .
容易看出:
数列
1 2n
的通项 1 2n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
与一切科学的思想方法一样，极限思想也 是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到 古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上 的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的 穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人 “对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极 限”,而是借助于间接证法——归谬法来完 成了有关的证明。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联 系，无限是有限的发展。无限个数的和不 是一般的代数和，把它定义为“部分和” 的极限，就是借助于极限的思想方法，从 有限来认识无限的。
极限思想方法是数学分析必不可少的一 种重要方法，也是数学分析与初等数学的本 质区别之处。数学分析之所以能解决许多初 等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、 曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问 题），正是由于它采用了极限的思想方法。
二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了
一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这
极限思想是微积分的基本思想，数学分析 中的一系列重要概念，如函数的连续性、导 数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。 如果要问：“数学分析是一门什么学科?” 那么可以概括地说：“数学分析就是用极限 思想来研究函数的一门学科”。整个数学分 析自始至终都在讨论各种极限的存在性以及 求法等问题，极限论可以看成是分析学与代 数学的主要区别。
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
教学目标：
1.初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2.学会用定义证明极限的基本方法; 3.通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识； 体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符 号化”的意义及“数形结合”方法； 4.了解我国古代数学家关于极限思想的论述； 5.熟练掌握收敛数列的性质以及数列极限存在的条件.
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽