第四章 第一节2010

sin t , c2 (t ) 1. 解得： c1 (t ) cos t
sin t c1 (t ) , c2 (t ) 1. cos t
两边积分可得：
c1 (t ) ln cos t , c2 (t ) t.
于是，原方程的通解为
x(t ) 1 cos t 2 sin t cos t ln cos t t sin t.
2 c1 ( x ) y1 c ( x ) y f ( x ) 2
(5)
c1 ( x ) y1 c ( x ) y2 0 2 (4),(5)联立方程组 2 c1 ( x ) y1 c ( x ) y f ( x ) 2
y1 y2 系数行列式 w( x ) 0, 2 y1 y
1 例1 求方程 x x 的通解，已知它的对应 cos t
齐次线性微分方程的基本解组为 cos t ,sin t 。 解：应用常数变易法，令 x c1 (t )cos t c2 (t )sin t
将其代入方程可得
c1 (t ) cos t c2 (t )sin t 0, 1 c1 (t )sin t c2 (t ) cos t cos t .
由定义在区间a t b上的k个可微k 1次的函数 y1(t ),y2(t ), ,yk(t )所作成的行列式
W [ y1 , , yk ] W (t )
y1 y1 y1( k 1)

( yk k 1)
yk yk
定理3 若函数y1(t ),y2(t ), ,yk(t )在区间a t b上 线性相关 W (t ) 0.
x
将其代入方程可得 c1 ( x )，c ( x ) 应满足方程组 2
第四章
高阶微分方程
北京理工大学
§1 线性微分方程的一般理论

线性微分方程的一般概念； 齐次线性微分方程的解的性质与结构； 非齐次线性微分方程与常数变易法；


一、 线性微分方程的一般概念
一阶线性微分方程：
y p( x) y q( x)
n-阶线性(非齐次)微分方程：
y( n) p1 ( x) y( n 1) ( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y f ( x)
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 0
与假设矛盾，故它们线性无关。
c1 0, 1 t 0 c 2 0, 0 t 1
定理4 若齐次线性方程(*)的解y1(t ),y2(t ), ,yn(t ) 在区间a t b上线性无关，则W [ y1(t ),y2(t ), ,yn(t )] 在该区间的任何点上都不等于0，即 W (t ) 0.
y( n) p1 ( x) y(n 1) ( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y f ( x) 在 [a, b] 上每一点和初始条件 y( x0 ) y0 ( y( x0 ) y0 ,, y ( n1) ( x0 ) y0n1) 存在唯一解.
例 函数 cos t和sin t在任何区间上是线性无关的； 而函数 cos t和sin t 1在任何区间上是线性相关的。 性质: 1.一个函数 y 线性相关，则 y 0
2 2
2. 两个函数线性相关 两者之比为定比. 3. 部分线性相关则一定有全体线性相关.
朗斯基行列式(Wronski行列式)：
n-阶线性(齐次)微分方程：
y( n) p1 ( x) y( n 1) ( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y 0
一阶微分方程解的存在唯一性定理： 定理: 若 f ( x, y) 在D上连续且关于y满足局部 Lipschitz条件; 则在D上任何一点的某一领域中， 方程 y f ( x, y), y( x0 ) y0 有唯一解。 n-阶线性微分方程解的存在唯一性定理 ： 定理1 若 pk ( x) (k 1,2,, n) 以及 f (x) 在 [a, b] 上连续;则对线性微分方程
设
c1 ( x ) y1 c ( x ) y2 0 2
(4)
2 y c1 ( x ) y1 c ( x ) y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y 2 2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
2 c1 ( x ) y1 c ( x ) y c1 ( x )( y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ) 2 c2 ( x )( y P ( x ) y Q( x ) y2 ) f ( x ) 2 2
注：逆定理一般不成立，即：朗斯基行列式为0，不一定 线性相关。
t 2 , 1 t 0 0, 1 t 0 和 x2 (t ) 2 例 函数 x1 (t ) t , 0 t 1 0, 0 t 1
虽然 W (t ) 0. 但是它们在[-1,1]上线性无关。 反证法：假设它们线性相关，则存在不全为零的常数使得
n-阶线性非齐次微分方程：
( n)
y
p1 ( x) y
( n 1)
( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y f ( x)
利用线性微分算子可记为: L[ y] f (t )
性质1 如果x (t )是方程L[ y] f (t )的解，而x(t )是方程 L[ y] 0的解，则x (t ) x(t )也是方程L[ y] f (t )的解。 性质2 方程L[ y] f (t )的任意两个解之差必为方程 L[ y] 0的解。
注：1. 要解非齐次线性微分方程，只需知道它的 一个解和对应的齐次线性微分方程的基本解组。
2. 只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解 组，可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程 的解。
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
y( n) p1 ( x) y( n 1) ( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y f ( x) （1）
推论 若n个函数 y1 , y2 ,, yn为线性微分方程 L[ y ] 0 的解,且在某一点 x0 处满足
y1 y1 y
( n 1) 1

0 ( n 1) yn
yn yn
y1, y2 ,, yn 线性相关
基本解组: n阶线性微分方程 L[ y ] 0 定义在(a, b)上 的n个线性无关的解. 定理5: n阶齐次线性微分方程 L[ y ] 0 一定存在n个 线性无关的解.
定理7 设x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 是方程L[ y ] 0的基本解组， 而x (t )是方程L[ y ] f (t )的某一解，则方程L[ y ] f (t )的 通解可写为 x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) x (t ), 其中 c1 , 2 , , n为任意常数。 c c
定理6（通解结构定理）如果 y1 , y2 ,, yn 为n阶齐 次线性微分方程 L[ y] 0 的一个基本解组, 那么它的 通解
y( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) Cn yn ( x)
其中 C1 , C2 ,, Cn 为任意常数。
三、非齐次线性方程与常数变易法
根据上面的两条性质可得齐次线性微分方程的 解的叠加定理。
定理2: 若 y f1 ( x), y f 2 ( x),, y f k ( x) 为n阶线 性齐次微分方程
y
( n)
p1 ( x) y
( n1)
（*） ( x) pn1 ( x) y pn ( x) y 0
其中，1 , 2 为任意常数。
例2
x 1 求方程 y y y x 1的通解, 1 x 1 x 已知其对应的齐次线性方程的基本解组 为y1 x, y2 e x .
解:应用常数变易法，对应齐次方程的通解为
Y C1 x C2e .
x
设原方程的特解为 y c1 ( x ) x c2 ( x )e ,
二、齐次线性微分方程的解的性质与结构
线性微分算子:
L[ y] y
( n)
p1 ( x) y
( n 1)
( x) pn1 ( x) y pn ( x) y
常数可以从微分号下提出 和的导数等于导数的和
性质: 1. 若k=const, 则 L[ky] kL[ y]
2. L[ y1 y2 ] L[ y1 ] L[ y2 ]
y2 f ( x ) c1 ( x ) , w( x )
积分可得
y1 f ( x ) c ( x ) , 2 w( x )
y2 f ( x) c1 ( x) dx, w( x)
y1 f ( x) c2 ( x) dx, w( x)
非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y1 y2 f ( x ) y1 f ( x ) dx y2 dx . w( x ) w( x )
的k个解，则它们的线性组合
y C1 f1 ( x) C2 f 2 ( x) Ck f k ( x)
也是方程(*)的一个解.
（**）
当k=n时，方程(*)有解(**)，它含有n个任意常数， 那么，在什么条件下，(**)能成为(*)的通解呢？ 它具有什么样的性质？
定义1 线性相关: 函数组 y1 , y2 ,, yn 称为在区间 (a, b)上是线性相关的 若存在不全为零的常数 1, 2 ,, n ,使得 1 y1 2 y2 n yn 0 在 其 上恒成立. 否则，称为线性无关 不线性相关。
C ( x) y ( x) C ( x) y ( x) C ( x) y ( x) 0 1 2 2 k k 1 C ( x) y ( x) C ( x) y ( x) C ( x) y ( x) 0 1 2 2 k k 1 C1 ( x) y1( n 2) ( x) C2 ( x) y2 ( n 2) ( x) Ck ( x) yk ( n 2) ( x) 0 ( n 1) ( n 1) ( n 1) ( x) f ( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) Ck ( x) yk
y
( n)
p1 ( x) y
( n 1)
( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y 0 （2）
若（2）的通解为
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) Ck yk ( x)
则设（1）的特解为
y C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) Ck ( x) yk ( x)
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
( 2)
(3)来自百度文库
设对应齐次方程通解为 y C1 y1 C 2 y2 设非齐次方程的特解为
y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
y c1 ( x ) y1 c ( x ) y2 c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y 2 2