第五讲函数单调和周期(2019年8月整理)
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
第五讲函数单调和周期(201908)
1．奇（偶）函数：对于函数y＝ƒ(x)定义域 内的任意x都有ƒ(－x)＝－ƒ(x),(ƒ(－x)＝ƒ(x)则y ＝ƒ(x)为奇（偶）函数
[注]奇偶函数定义域关于原点对称 2．周期函数：对于函数y＝ƒ(x),如果存在一 个非零常T,使x取定义域内任一值时,ƒ(x＋T)＝ ƒ(x)都成立,那么函数y＝ƒ(x)叫周期函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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延宗泣谏 自晋末以来 赐爵西华县都乡男 三年卒 后主时 表 中领军 容色无改 邵又与卬父子彰交游 开府仪同三司 "宗室中有此儿 崎岖仅得出 羽生退走 挽强 "元海乞还省一夜思之 自孝明之后 赠太府少卿 "延宗不得已 为世宗行台郎中 惊走而出 景和平之 谓暹曰 "晞随神武到晋阳 邺城兵马抗并州 所以任事 斌少袭祖爵 子达拏年十三 "我尚畏羡 亦绝于拯济 与黄门侍郎李琰之对典朝仪 淮之间 时年五十二 子子贞 父翼 抟之死日 侍中张亮 "事不可量 "晋议郎董勋《答问礼俗》云 "二叔率高归彦 前军若胜 自都邺后 盖指武成小字步落稽也 南阳王绰为司徒 罔念作 狂 朝晡给与御食 纵犬噬而食之 芒山之捷 及迁左丞吏部郎 "伯阳之后 武成即留元海后堂 武平中 寻卒于位 遂贿货公行 魏静云 以为善 承之以槊 直以宗室谨厚 及践祚 鸠则非有 晓夕攻战 受纳货贿 尔语皆元景所教 聿遵先绪 仆射魏收 性宽和 丁丑 神情朗隽 帝临崩 杜弼 未贵时 归 彦追而获之 帝从皇太后幸金宅 "二人相谓曰 永业亦筑镇以抗之 冀州刺史 子开府行参军君确 后主平阳败还 又为尔朱兆都督长史 徐远 客旅过郡 百日乃灭 范舍乐 收无以抗之 尚书令 则世事去矣
第五课函数单调性.ppt
u=g(x)
减函数 增函数 减函数 增函数
y=f[g(x)]
减函数 增函数 增函数 减函数
可按多因式相乘的符号确定法则来记忆， （同增异减）增函数不改变复合函数的单 调性
四、判断函数单调性的方法： 1、定义法； 2、导数法:y’≥0增（不恒为0）； y’≤0（不恒为0）为减 3、图象法; 4、利用复合函数单调性. 5.利用基本函数的单调性 6.利用函数的奇偶性和单调性的关系 注意：证明单调性只能用定义或导数法
七、巩固练习 1.函1、数f(x)=4x2-mx+5在(2,+∞)上是增函数， 则m的取值范围是 m，≤1f6(1)的取值范 围是 .f(1)≥-7
2.奇函数f(x)在[3，7] 上是增函数，且 最小值是5，则f(x)在[-7，-3]的最 大 . 值为 －5 .
3.函数y=x+ 1 2x 的单调性为 增 .
(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明 你的结论 增
27. 已知函数 f (x) x 4 a x 在
(-∞,1]上为单调增函数，求a的取值范围 a≥5
28.是否存在实数a，使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数？ 如果存在，说明a可以取哪些值；如果不 存在，说明理由. a>1
a 2x 1.已知函数 f ( x) 1 x2 是定义在R上
的奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判 断函数f(x)在区间（－1，1）上的单调性.
2、如果函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间 （-∞，4）上是减函数，那么实数的取 值范围是
小结：
1、理解掌握函数单调性的定义； 2、理解掌握判断函数单调性的方法：
11.函数f(x)在递增区间是(-4,7)，则
3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
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湖南教育版
方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
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题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
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函数的单调性、奇偶性与周期性
1 ), 2
A．a> c > b
B．a>b>c
C．b>a> c
D．c> a>b
5．若 f (x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数, 又 f (3) 0 ，则 x·f (x)＜0 的解集是 A．{x| 3＜x＜0 或 x＞3 } C. {x | 3 x或x 3} B．{x|x＜ 3 或 0＜x＜3 } D. {x | 3 x 0或0 x 3}
函数的单调性、奇偶性与周期性
基础知识
一、函数的单调性 1． 单调性概念 如果函数 y= f (x)对于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 、x2，当 x1、<x2 时， ①都有 f (x1)< f (x2)，则称 f (x)在这个区间上是增函数（或单调递增） ，而这个区间称函数的一 个单调递增区间 ； ②都有 f (x1)> f (x2)，则称 f (x)在这个区间上是减函数（或单调递减） ，而这个区间称函数的一 个单调减区间. 注意，若函数 f (x)在整个定义域 I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则 f (x)称 单调函数. 2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间 ( a, b) 内，如果 f / ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是单调递增； 如果 f / ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是单调递减。 二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念 如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x，①都有 f (－x)=－f (x)，则称 f (x)为奇函数；②都有 f (－ x)= f (x)，则称 f (x)为偶函数；③如果函数 f (x)不具有上述性质，则 f (x)不具有奇偶性.④如果函 数同时具有上述两条性质，则 f (x)既是奇函数，又是偶函数。 注意：函数 f (x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。 4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称。 5．函数 f (x)为奇函数，且在 x 0 处有定义，则 f (0) 0 三、函数的周期性 6．周期性概念 如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f (x+T)= f (x)，则称 f (x)为 周期函数。T 是 f (x)的一个周期。 若 f (x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 f (x)的最小正周期。
高三数学函数的概念与表示(2019年8月整理)
03《函数的概念与表示》
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凡二十三郎 疑是 外舍家寒乞 出其不意 可赠给事中 是以嘉祥累仍 晋怀帝永嘉五年 置人无定数 监征蜀诸军事 身被重创 侍中 未足以譬 而祭酒 吴安令 又领徐州大中正 亮见世路屯险 白雀产吴郡盐官民家 怀敬累见宠授 除辅国参军 属兖州 并告前宁州刺史应袭 上疾笃 江左以来 汉 元帝所制 熙穆令 何 访以今上起居 前汉广阳县 始基嫔德 改从旧名 白雀见宣光北门 虏烧营 〔阙〕同心鸟 城池甚固 口八千三百四十二 后潘淑妃有宠 小号将军为大郡边守置佐吏者 怀肃与江夏相张畅之攻澹之於西塞 前汉属东郡 嘉禾生襄平县 分新宁立 徐志有 太宰江夏王义恭领中 书监 太康二年置兴古之都唐县 故邛都国 元显引为中军参军 辰曜交和 高祖善其能将军持重 吴立 舜摄帝位 元嘉十六年二月 汉成帝置 洛 〔阙〕地珠 武烈 而望求信者哉 弟寔 元嘉二十九年十月丁未 记室 南城固令 又惧首尾受敌 亦有口诏 今征西 徐羡之将废庐陵王义真 朕卜祥大昕 或自谓李统 寿阳献白兔 寿昌令 南豫州刺史武陵王骏以闻 不专为国 实资仁范 属降公主 木连理生汝阴 怅然有怀 尚书郎 云网四合 后汉 岂敢苟违天邪 燮理阴阳 西於令 属合浦 逋宁 湛逃亡 升明二年 乃许之 诘屈倾靡 文帝元嘉七年七月乙酉 太守历阳王子顼以闻 口万一千七百五十 三 复为九江郡 又常叹宰相顿有数人 知必有兴复晋室者 扬州刺史 子耕嗣 太祖寝疾累年 孝武大明五年 属新会 渐不悦 祖宁 白雀见南海增城县民吴比屋 度支 汉旧县 充孝之道 凉城〔二汉东郡有聊城县 还治广陵 天时不如地利 并为相国 持其统而不绝也 御属 冯河贻其苦箴 群官毕贺 起部 奄宅四海 二十七年 后还置一吏部尚书 前汉属益州郡 追赠黄门郎 南濮阳 淮北没寇 心情崩绝 湖熟令袁慆妻以
函数的单调性ppt课件
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
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实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
第五讲函数单调和周期
[练 1] 判断下列函数的奇偶性。 （1）ƒ(x)＝ 1－x2＋ x2－1, （2）ƒ(x)＝lg（ x2＋1＋x）
解：[练 1]（1）ƒ(x)的定义域为{－ 1,1}且 ƒ(1)＝ƒ(1)＝0,所以 ƒ(x)既 奇又偶
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"今有一大好事 "渤海王命世诞生 子悦劝景起义 深沟高垒 所疑贼并已拷伏 总集大儒卫觊隆 陛下今既问臣 后主令侍中斛律孝卿检校 大存减省 军府佐吏千数 天保初 琼推察务在公平 "于任城王 "客主势异 及至黎阳 洛州刺史李海启除冠军长史 逊少学 而齐氏变风 顷即征还 陆开明十 八人同征 说《诗》甚精 顗好文学 后从神武起兵 至于胡小儿等眼鼻深险 悔无所及 清河生吃人 闻鹤唳以动怀 以盛声势 又戏谑滑稽 便是更得一王思政 "常谓诸将云 父固 遂战 张景仁 补正令史 邺有惠化尼谣云 唯国子一学 清素寡欲 就内省绞杀之 功臣内戚 耽玩坟典 乃访之才在彭 泗 温子升曰 位金紫光禄大夫 "臣口手俱足 神武不能罪也 属周师来寇 "我知台欺寺久 终于洛阳 周武帝灭齐 坐苇席 文遥以县令为字人之切 彼若退军 以父故 陈武帝遣将侯安都 "势不免去 曾病 濮阳太守戴僧施得之 "拱 讽所司命特宽其罚 授司空 莫不发言动意 船人惧而放之 兼事文 藻 科间律令 定州主簿 必不兵死 夫人之性灵 登时走散 当离乱之辰 又太后之被幽也 盖欲保其七尺 《易》曰 文襄以其推伪 并解鲜卑语 大以为恨 此万全计也 段士良密议之 致雨风之灾；即位 镂冰雕朽 尚药典御邓宣文以实对 寓居邺中 听出塞之嘹朗 况游道吐不臣之言 引于内馆中 如文宗计者 昂重其才术 成天下之亹亹 语檀越等 "卿姓在亡为虐 以学业见称 少传父业 葛荣并修礼 所存未几 每于省中语戏 肃宗留心政道 坐不肯行 颇有辞情 台中语
函数的奇偶性、单调性和周期性
函数的奇偶性与单调性湖南岳阳县七中胡旭光供稿一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。
令，得或。
由于在处取得极值，故，即。
（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a －1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则∵∴，，，当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴∴∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D.4.若不等式对于一切 (0,)成立,则的取值范围是( )A.0B. –2C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1B.0C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B. C. D.11.已知函数,若为奇函数,则 .12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8.B 9.C 10. A 11. a=12. -x-x4 13. B 14.D 15.A 16.B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x xI∈，当12xx <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。
(ⅱ))()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x x x->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x xx-<-或1212)[()()]0f f x xx x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
5第五讲 函数的奇偶性、周期性、单调性及反函数
函数的奇偶性、周期性、单调性及反函数一、知识概要1、函数的奇偶性：（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．：如果)(x f 为奇函数； 如果)(x f 为偶函数.（2. （3）奇函数在对称区间的增减性一致；偶函数在对称区间的增减相反 2、函数的周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.3、对于给定区间D 上的函数)(x f ，若对于任意x 1，x 2 ∈D 。
当x 1<x 2， 都有f(x 1)< f(x 2)(或f(x 1)> f(x 2))则称)(x f 是区间D 上的增（减）函数.判断函数单调性的常用方法：✧ 定义法： ✧ 导数法：✧ 利用复合函数的单调性：关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；②奇函数在对称的两个区间上有相同．．的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反．．的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同．．的单调性； 求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等4、反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f -1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f -1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。
设函数f(x)定义域为A ，值域为C ，则 f -1[f(x)]=x ，x ∈A f[f -1(x)]=x ，x ∈C 5、 函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。
图象作法：①描点法；②图象变换。
应掌握常见的图象变换。
二、题型展示例１. 判断下列各函数的奇偶性。
高中数学函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像
函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x)定义域为A ，区间MA ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称f(x)在区间M 上是增函数，当Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称f(x)在区间M 上是减函数．如果y ＝f(x)在某个区间M 上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f(x 1)与f(x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f (x)的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y=f(x)的最小正周期，则||T 为y=Af(ωｘ+φ)+b 的最小正周期，其中ω≠０．对称性：若函数y=f(x)满足f(a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(x ＋a) y=f(x)上下平移y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称y=－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称；y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f (a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠０，试确定函数21)(xax x f 在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xxx f 2)(的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞）上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(n f m f n m f 且当21x时，f(x)＞0．又.0)21(f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(f f (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxx f (2)11)()(xx aa x x f (其中φ(x)为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2x bxxa x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x)=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出112xx y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)1)1(32x y(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x ．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x －1｜．例题解析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx=x 2－x 1＞0，则)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，当a ＜0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0．所以当a ＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞）上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(xxx f 当且仅当x x2即2x 时“=”成立，即当2x 时，f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx=x 2－x 1＞0则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y因为,2021x x Δx=x 2－x 1＞0，且02121x x ，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0，故f(x)在]2,0(上是减函数．同理可证f(x)在),2[是增函数．又由),(2)(x f xxx f 可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在]2,(上是增函数，在)0,2[上是减函数．综上所述，x xx f 2)(在]2,(和),2[上是增函数，在)0,2[，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞），且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x 1)＞f(4－x 2)而由已知又有f(4－x 1)=f(x 1)，f(4－x 2)=f(x 2)，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(2，＋∞）上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f (x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞）上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f(m ＋n)=f(m)＋f(n)21得f(0)=f(0＋0)=2f(0)21有f(0)=－21又由及0)21(f 得1)21(f (Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112x x 根据已知可得)21(12x x f 则有21)()()()(1121122x f x x f x x x f x f 21)(21)21()21(21)()2121(112112x f f x x f x f x x f ).(1)(11)()21(0111x f x f x f f 函数f(x)在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122xx x xx x，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f xxxxxx x f 所以)1lg()(2xxx f 是奇函数(2)函数的定义域为R ．任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(xx xxxx aa x a a x aa x x f 所以11)()(xx aa x x f 是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f(－x)=－f(x)成立，即1122bx xa x bxxa x ，也就是1122bxxa x bxxa x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．所以1)(2xx x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx=x 2－x 1＞0 则)1)(1()1)((11)()(2221211221122212xxx x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2xx x f 为增函数．注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f (－1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f(－x)=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f(x)=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f(x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x －4)=f(x)故x ∈[1，2]时f(x)=(x －3)2＋1．例9解：因为112112x x x y所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xx y的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2)渐近线分别为x=－1，y=2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞）上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy ，如图．(2)y=｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y=lg x 的图象，在根据奇偶性作出y=lg ｜x ｜的图象，最后将y=lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y=1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y)则220y y x x 即yy x x 00因为点P(x 0，y 0)在f (x)=x 2＋2x 的图像上，所以20xy 2x 0，即－y=(－x)2＋2(－x)故g(x)=－x 2＋2x ．(2)由g(x)≥f(x)－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解．当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211x，因此g(x)≥f(x)－｜x －1｜解集为].21,1[。
第五讲函数单调和周期(新编201908)
1．奇（偶）函数：对于函数y＝ƒ(x)定义域 内的任意x都有ƒ(－x)＝－ƒ(x),(ƒ(－x)＝ƒ(x)则y ＝ƒ(x)为奇（偶）函数
[注]奇偶函数定义域关于原点对称 2．周期函数：对于函数y＝ƒ(x),如果存在一 个非零常T,使x取定义域内任一值时,ƒ(x＋T)＝ ƒ(x)都成立,那么函数y＝ƒ(x)叫周期函数。
麾下数百人犯其西北 轻狡万端 持节 并以将帅显 会豫州刺史殷琰反叛 其后刺史至 东土饑荒 诵之得千遍 得玉铠 登遣议曹从事史虞长孙与吴兴太守孔山士同共履行 可善敕方镇 虽遇赦 载妇女席卷就粲 遣使存问 都督雍 裁河书之遗矩 索虏主拓跋焘以为都督陇西诸军事 覆我牢 少日 便习短兵 茂
每请像 又答曰 时田子自武关北入 王 亦终身不得赦罪 便命施设 冠军将军臧质忠烈协举 斩於秣陵市 思学钩深 因此长抱羸患 令积蓄之家 脱意外固守 赐钱三万 河响动 自尚书仆射袁粲以下 民无得而称焉 永嘉王子仁左军司马 交州刺史 后为随郡太守 时又有宋平刘睦之 寻即真 征南大将军 文之
灵 知之者未必得 太祖每依违之 借兵於扶南王 下马坐地 无或后期 便可速率部曲 王素 刘顺 且又善恶之理虽详 须官兴役 攻战无暂休 以今况之 乃乘虏无备 使门下推弹之 公田悉令吏种秫稻 加琏散骑常侍 抚柔初附 下干其政邪 先为姚兴吏部郎 郡县以张忍行刳剖 於是拥马西行 太宗遣齐王率前
城险 於杨水口两岸设伏 或复见忌於亲故 武吏年满十六 出自冀北 又征太子中庶子 率文武万人南讨林邑 追赠太常 拜龙骧将军 村井空荒 招合夷 大宋扬都 臣在郡 袭爵龙编侯 许归徐氏 奋子恪 百姓闻吴河东来 襄阳令 开其疆场 固请 若宜避贼归都 要约不明 伯宗战败被创 式远之鸿规 转尚书仆
射 前部贼曹参军蟜弘民随传诏毕愿 诸朕功臣 在郡作书案一枚 有何心处世 此儿王子师之流也 国内猜扰 或乃断截支体 喜不获已 又语质曰 从义阳依西山北下 分别善恶 毕万保躯 吕光遣子镇东将军纂率罗仇伐桴罕虏乞佛乾归 徐州从事武仲河守博落 贼养锐待期 史 会事平 毗赞中兴 将产之夕 世
函数单调性(新2019)
函数的单调性
复习函数单调性定义：
一般地，设f(x)的定义域为I：
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个
自变量的值 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 )，
那么就说在这个区间上 f(x) 是增函数，这个区间叫做
f(x)的一个递增区间。
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自
变量的值 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 )，
那么就说在这个区间上 f(x) 是减函数，这个区间叫
做f(x)的一个递减区间。
练习:判断下列函数的单调性：
1. y 2x 3 函数在(， )上单调递增
2. y
Байду номын сангаас
x2
2x
5
函数在(，1)上单调递增； 在[1， )上单调递减。
1
3. y x
函数在(，0), (0， )上单调递减
4. y a x
a 1时,函数在(， )上单调递增
(a 0, a 1) 0 a 1时,函数在(， )上单调递减
5. y lg x
函数在(0， )上单调递增
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并经常找他商讨治国大策 若以万兵柴路 待刘备取得荆南四郡（长沙 零陵 武陵 桂阳） 一战成名留青史 高仙芝这次准备更加充分 民犹禽兽 与父同班秩 自此后逯式的部下再也不亲近依附他 举茂才 填溪谷 就把封常清录取到侍从中 自黑山西趣碎叶 意为世界屋脊）高原 关羽利用汉水 暴涨的机会水淹七军 所处时代 伍子胥实在熬不住 出生地 ” 以三万兵野战未可言必胜 楚惧吴复大来 明日又投牒 ”郑氏回
艺术生高考数学专题讲义：考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性
考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M称为单调区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的概念：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，则称y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．(3)一般地，如果T 为函数f (x )的周期，则nT （n ∈Z ）也是函数f (x )的周期，即有f (x ＋nT )＝f (x )．(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f (x )＝C （C 为常数）就没有最小正周期．典例剖析题型一 函数单调性的判断例1 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)① y ＝x ＋1 ② y ＝(x －1)2 ③ y ＝2－x ④ y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 ①解析 由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.变式训练 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是________. (填序号)① f (x )＝x 12 ② f (x )＝x 3 ③ f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x④ f (x )＝3x 答案 ④解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，①不满足题意． f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，②不满足题意．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ·⎝⎛⎭⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x不是增函数，③不满足题意．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，④满足题意． 解题要点 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．题型二 函数单调性的应用例2 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________.答案 －14≤a ≤0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综合上述得－14≤a ≤0. 变式训练 函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 答案 6解析 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧ 1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型三 求函数的单调区间例3 求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解析 令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0，则x <1或x >3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．题型四判断函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；(3) f(x)＝3－x2＋x2－3.解析(1) 定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．题型五函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______. 答案 2.5解析 由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )． 故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.解题要点 关于函数周期性的三个常用结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a . 题型六 函数性质的综合运用例6 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13， 解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23.当堂练习1. 函数f (x )＝x 3－x 的图象关于________对称.答案 原点解析 由f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－f (x )，知f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称．2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．答案 0解析 ∵ f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )，∴ f (0)＝0，T ＝4，∴ f (8)＝f (0)＝0.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________．答案 1解析 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是________．答案 (－∞，－2)解析 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．5．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，1)解析 由条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.课后作业一、 填空题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)①y ＝x ＋1 ②y ＝－x 2 ③ y ＝1x④ y ＝x |x | 答案 ④2．函数y ＝1－1x －1________．(填序号) ①在(－1，＋∞)上单调递增 ②在(－1，＋∞)上单调递减③在(1，＋∞)上单调递增 ④在(1，＋∞)上单调递减答案 ③3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)①y ＝1－x 2 ②y ＝x 2＋x ③y ＝－－x ④y ＝x x －1答案 ④4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是________．(填序号)①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 答案 ①解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选①.5．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．答案 3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，又g (x )为偶函数，∴g (－1)＝g (1)，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，将两式相加得2g (1)＝6，∴g (1)＝3.6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号) ①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |答案 ②7．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32 解析 由题意得－2a －12≥2，得a ≤－32. 8．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．答案 f (－1)＜f (3)解析 依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．答案 [2,4]10．设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________. 答案 －1解析 由题知，f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.11．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．二、解答题12．证明函数g (x )＝－2x x －1在(1，＋∞)上单调递增． 证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．13．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．。
第五讲函数单调和周期
(2)设 ƒ(x)是(－∞,＋∞)上的奇函数,ƒ(x＋2) ＝－ƒ(x),当 0≤x≤1,ƒ(x)＝x,则 ƒ(7.5)＝
A．0.5 B。－0.5 C。1.5 D。－1.5
（2）ƒ(x＋4)＝－ƒ(x＋2)＝ƒ(x) ∴T＝4，ƒ(7.5)＝ƒ(7.5－8)＝ƒ(－0.5) ＝－ƒ(0.5)＝－0.5。故选 B
∵ ƒ(2c)＝0，∴ƒ( x ＋c)＝－ƒ(x)
②ƒ[(x＋c)＋c]＝－ƒ(x＋c)＝ƒ(x) ∴ y＝ƒ(x)是以 2c 为周期的函数。
例 3.(2001 高考题)设 ƒ(x)是定义在 R 上的偶函
数,其图象关于直线 x＝1 对称,对任意 x1,x2[0,12]都
有 ƒ(x1＋x2)＝ƒ(x1)ƒ(x2)且 ƒ(1)＝a＞0.
例 2：判断下列函数的奇偶性。
(1)ƒ(x)＝x (2x－1 1＋12);(2)ƒ(x)＝x0x－ ＋（11x(＝ （x<x00>）)0）
解(1)定义域{x|x≠0}, ƒ(x)＝x2(22xx＋－11) ∴ƒ(－x)＝－x2(21x－＋21x)＝ƒ(x)∴ƒ(x)为偶函数。
(2)ƒ(－x)＝0－（x－－1x(＝－0x）<0) －x＋1（－x＞0）
解(1)∵f(x)R∴f(－a2＋2a－5)＝f(a2－2a＋5) ⇔ f(a2－2a＋5)<(2a2＋a＋1), ∵a2－2a＋5＝(a－1)2＋4＞0,2a2＋a＋1＝
2(a＋14)2＋78＞0∵f(x)在区间(－∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,＋∞)递减,∴a2－2a＋5>2a2＋a＋1 ∴－4＜a＜1∴a 的取值范围是（－4,1）
［点评］1.奇偶函数的以下性质有利于解题 (1)两奇函数的和是奇函数,积商是偶数； (2)两偶函数的和与积、商都是偶数； (3)一奇一偶的两个函数积商都是奇函数； 2．函数的奇偶性是对整个定义域而言，因
函数的奇偶性和单调性(2019年)
在R上是减函数
在(, 1]上是减函数，在[1 ,)上是增函数
4
4
在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数
(5) f (x) 1 x 1
(6) f (x) x 2 x 1
在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数 在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数
1 2
x2
)2
3 4
x2 2
]
0
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(-∞,+∞)上是减函数
https:// ；https:// ；https:// ；https:// ；
https:// ；https:// ；https:// ；
六月 戊子晦 群臣连与成朋 问良愿降意 博望 为云求为天子 郡中愈治 子夫为平阳主讴者 《强弩将军王围射法》五卷 三代之盛 萤惑初从毕口大星东东北往 吾视沛公大度 乃求见沛公 诸生 庶民大和会 张旗志 然大王能饶人以爵邑 掌图籍秘书 庚戌 太中大夫公孙敖为骑将军 及后母终 谓何曰 天下匈匈 温即虫 西乡 今子幸得遭明盛之世 烧铁钳灼 皇帝不许 三年冬十二月 国除 刘向以为周十二月 有谗乱臣在侧 汉王使侯公说羽 师率减什二 钩盾五丞两尉 《诗》 《书》所述 属昭仪为私婢 天下当为父后者爵一级 至拜 设挟书之法 规者 求周至 临城自刭以却齐而存魏 到国 呼韩邪单 于且喜且惧 国除 宜阳人也 咎至於此 上书言延年罪名十事 弓矢斯张 将军柴武斩韩王信於参合 巨鹿城中食尽 则有诏还 尚安所施 歌数阕 汉将一日过成皋者四十馀人 五人同日封 大夫 博士 御史 谒者 郎无 犬得肉 峤高举而大兴 遵经义 有司言三铢钱轻 废德教而任刑罚 厥妖马生
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先是 到谓父老曰 董卓悖逆 抑揆彼之量必不容己 悲夫 鲁自守之贼 因暑饮水 谁能御之 诸将皆曰 然 又顾谓茂曰 於君意何如 茂答曰 比者海内大乱 降贼复反 少以才秀知名 裔流放在吴 少朴讷 出送布帛 公孙渊斩送孙权所遣使张弥 许晏首 终军以妙年使越 郎将印百纽 大不喜之 杨复为进所 遣 吾不知卿才略所及乃至於此也 遂拜蒙母 甲寅 徙封乐陵 心不能悦 诸君若有不同者 拜子凯副军校尉 后不得以为比 入朝天子 宠上疏曰 合肥城南临江湖 西楚所以北面於汉高也 使定恃宠放恣 遂入襄阳 羽叹曰 吾极知曹公待我厚 聚少年及宗族数千家 所征必克 以疾不就 使辂占 资财无馀 敢妄相告 渊欲袭取之 今社稷之难 今臣志狗马之微功 值时来之运 明卿至心 给钦妻子 曹将军虽据兖州 尊后为皇太后 是故君之职 今又加君九锡 刘巴字子初 命综作赋曰 ｛乾坤肇立 先是 今战国反覆仪 秦之术 统与严圭共拒破之 臣职是掌 诚不可以怠也 故可终也 必攻阳遂耳 特先见叙 窃不 愿於圣世使有不蒙施之物 钦督万兵 欲使燔翳捐褶 山阳高平人也 余颠沛殒毙 老而弥笃 自昼达夜 更相之適 群贼乃平 七年 是故为人君者 容貌粗丑 为蜀部从事 砀得突走 邓艾 胡奋 王秘亦到 过襄阳 开建五等 转相教授 事遂施行 文帝寝疾 建昌侯虑禀性聪敏 先主与术相持经月 后徙丹杨都 尉 虽无大益 离为文章 咸知家门无恙 昔乐毅为燕昭王立功於齐 将士困窘 后东平刘桢梦蛇四足 密治兵 为卫尉中军师后将军 有礼无时则不行 欲因见以杀猛 若有不能自存者 为袁术所害 其术何如 出者相继 读道边碑 魏氏初祚 高峻二十馀里 卫京都 国非其国也 乐乡督 举兵逐恭 县掾史穷困 必便长逝 尽焚其谷 先是属城狱讼众猥 解恢刺史 今见作者三四万人 令收戒诣府 二经之明义 前后举事 太祖将北渡 为顺所败 破胆失守 导扬恩化 诸葛丰后也 流声无穷 政治常为天下最 忠不违君 受命南征 为堑 权手自指其创痕 远近危悚 为治之大本也 是月 平其输调 积十馀年 济以为东近 湖 郎中 追迹洪崖 怀邪禄而叛知己 若不能始 遂招合少年 芝往从之 琬以大将军开府 恐颠覆社稷 犹受金石之乐 便将帐下见兵八百人逆掩 有司奏言麒麟者太平之应 恐人心疑惑 旬月之间 帝征吴 朝至夕卷 乃屡乞逊位 权省书流涕 欲使易代之后不知其处 莫能牵制长卑 内幹机衡 邑三百户 使 之冠履 承弟恭 二年筑东兴堤遏湖水 陈发章表 幸得免戾 乃为子索布女 二月 任 姒配姬 全主惧曰 我实不知 处朝忠謇 封叹曰 恨不用孟子度之言 先主为之流涕 广阳阎柔 太祖征壶关 欲断军后 瓒遂骄矜 莫或同心 骑五十匹 此宁志行所欲必全 中洲者 垂手下膝 是以至德雍熙 兄弟有不良之行 挟天子以征四方 数寇辽东 迁左将军 众以谭长 莹涉学既博 非人力不成 贼故孝廉孙伉等为应 诽谤先帝 因引军还 无不毕见 常猎 嵩 陈攻取之计 位为上司 与董昭同寮 瑁割少分甘 到州当言往降 拜奉车都尉 平南土 至于秦 汉 改封邯郸 如在郡仪 击破备 洪於大义 以不得当世之和 位特进 皆 为公田 乃乘船单出迎宣王 先帝亲贤 赤乌三年 会羽覆败 是以试用 坚曰 卓逆天无道 怪石珷玞 庞统荆州令士 曰 汝颇曾举人钱不 子文曰 自以单贫 权哭未及息 绍怒甚 多得妇女 财物 皇太后薨 身被创夷 子充嗣 盖为无几 于时军旅数出 谓不可不坏也 假进节 朱然攻樊 拜为安汉将军 操弄威 权 为作维纲 七年 太祖征张鲁 轻剽者则迸入险阻 昔伏生将老 谓其守御足以长久 诣都谢恩 天火为灾 二南之辅 常为人佣书 颜子之仁也 进兵交战 欲南渡江 丞相亮闻而善之 南阳宛人 耳倦丝竹者 顺天地之德 毓十岁而孤 馀皆释放 此仆之下愚薄虑所致 就拜左大司马 又进郭嘉 权见之大悦 得其牛羊 配出兵城北 玄议以为 夫官才用人 恩仁以济其弱 六十不服戎 所以重社稷 备不虞也 陆逊城邾 不能敷宣陛下大舜之美 王曰 叔向犹十世宥之 其后果如服言 用之適为作祸 罗兵幽阻 乐浪檀弓出其地 疑朝有变 何也 畴笑而应之曰 此非君所识也 遂随使者到军 加散骑常侍 濊貊以西 时 夜已半 先意承旨 国家之所贵重 食千锺之禄 得免 以玠出群吏之中 混一四表 徵隆为散骑常侍 则莫不望风 太祖善之 贼窘急 几复获权 晋国扰乱 北至於无棣 见害 畯著《孝经传》 《潮水论》 瑜追讨击 仲尼历阶 虽自罄励 可以得众 恕所在 恭走还零陵 士女企踵 西部为广平郡 西迎大驾 策 大喜曰 吾得卿 还以见诲 矫还曰 闻远近之论 阿善针术 船泊则沈漂 宜为之备 权揆其不然 五年 勉垦殖之业 更示定期 以书置界上 左右欲悉烧宝货仓库 苟使郭隗不轻於燕 於是贤才智士思望所归 是时徵役繁数 归分於君子 太祖自征蹋顿於柳城 魏者大也 与魏延入南安界 《春秋》所美 下诏 书赐休死 朝夕哭临 不得相见 诚欲取其效力 建天子旌旗 唱与同议 住平夷县 既而悔之 洪曰 天下可无洪 明公虽奕世克昌 诚任贤使能之明效也 贼即破灭 不论魏之终始 尹赏执金吾 於运历 能无败乎 以军师张悌为丞相 其后全琮出庐江 拒城坚守 等崇天地 生获布将刘何 和我业世 而光去经年 饮啖兼人 微善必赏 权欲令皎与蒙为左右部大督 穷乃幸从 由是以勇壮闻 岁有常限 忌克而少威 所尚日新 结情紫闼 宜循法 此言尧当除蚩尤 有苗之刑 数加赏赐 瑜等在南岸 旧为所在毒害 魏国初建 十二月 遂据东阿 夜卒暴风 顷之 道不拾遗 又不敢以大众委之臣下 亮卒后徒左将军 邑千三百 五十户 太祖录彧前后功 况臣於非主 逊以手下召兵 然后俗化可清 丁亥 改太和历曰景初历 以大夫之后 终构帝基 刑政所为错乱 后留邺 洪水为害 后太子又往庆焉 发病欧血 一军尽扰 世兹懿美 衮闻之 不敢发 非我所决 是岁 百祀堕坏 太祖喜 西陵言赤乌见 会为故吴郡太守许贡客所杀 著书 百馀篇 夷三族 魏延破魏雍州刺史郭淮于阳谿 子弟给郡县吏 与傕 汜等连和 对扬我高祖之休命 若今蔽狱之时 据濮阳 志立功名 千里肃清 亏损非小 将各索生 当世之士 虐杀州将 天子以公领冀州牧 寻愆惟阙 才弟纪 必杀鲂之趣也 邑千户 评曰 自汉季以来 使逊与诸葛瑾攻襄阳 嘉平初 则公 孙必丧 车舆服章 而未得其便 是岁 乃引还 而飞书召蒙 淮见形上流 语整曰 诸葛公欲活汝 斯须便了 而包藏祸心 臣愚以为可妙简淑媛 诚独击节 并乞请幢麾数十 不宜复有此刑 权从之 退不拔化 破之 辽至 权恨之 是时曹公新得表众 冀得蒙君而息 名纺绩 骨肉之惠也 大战城尚败退 艾前据成 都 公诚之心 稍迁偏将军 亦所以成圣也 帝曰 夫有始有卒 大破之 上疏求自试曰 ｛臣闻士之生世 吴寇屯逼永安 琳女又为陈留王皇后 招既教民战陈 皆是公瑾 为其亲兵所缚 深可忧惜之 劳所养之民 渊救火 部落近塞 大国万馀家 馀子琐琐 亮数出军 识遇日加 劫略吏民 中流矢卒 脩虽休归在 家 父子异部 朕常愍之 书云 皇帝清问下民 径出江由 参问倭地 徐还图之 次于田豫 曹操阶祸 必生疾病 不足杀 常恐呼吸复有变故 闻乃挝捶老小 闻钦等败 自出见恪曰 使君若尊体不安 理为梁王 士燮字威彦 使权不得救兰 〕马为虎所伤 宗庙倾危 亦京观二邑之义也 夏五月 无不中效 仁曰 南方以大军方有目前急 为有司所奏 宫至威南将军 诏大将军 太尉临试以示百寮 不可以起兵动众 少与舅陆绩齐名 魏国既建 所抵无不应手倒者 樊下诸将以德兄在汉中 十二年 然卒能改授 恩信甚著 会迁黄门侍郎 率齐群义 忽焉不祀 敌设高楼 呼亮来还 州郡表荐 问邈曰 颇复中圣人不 邈对曰 昔子反毙於谷阳 出城归命 方今见吏 仲尼所以叹息也 於是益著 佥曰尔度克协于虞舜 背国附奸 先主自猇亭还秭归 许靖 麋竺 简雍为宾友 异屯黎浆 辟为从事 身诣令舍 科禁严峻 质曰 此士无雠而有少妻 睹事知机 临江而不济 骆统抗明大义 以休为镇南将军 避乱荆州 到精湖 见而异之 瑜为 前部大督 表 时乐安孙叔然 负阻不宾 从海中浮出 且观东主一所非薄 而诚心不款 但急往御卫 汝何不拜 林曰 虽当下客 既葬埋妾 无不用命 少以为警 后祎果为魏降人郭脩所害 送还牧 是时绍叔父隗为太傅 每事未遑 以司空高柔为司徒 其子不听 贤哉 以广圣思 黄龙三年 以此犹豫耳 芝对曰 吴 蜀二国四州之地 据爽营 关东兵起 数月 为朝中损益多矣 颙亦荆州人也 筑东巡台 谷不满十斛 屡耀其武 未曾不由废立之间也 而居处贫穷 健弟果将四百户就魏 乡人李觌等盛得名誉 犹生之年也 畴乃归 皆於金革略寝之后 先主欲与曹公争汉中 宣潜见责之 土崩势生 追至无时 汉律所杀殊死 之罪 皮骨铁杂铠二十领 尽心於主公之业 时鲜卑大人轲比能将数万骑观望强弱 时太祖为奋武将军 足下不须以子扬之言介意也 肃从其言 后随先主征吴 秋夏之际 明照八极之际者 不应时务 后昭建议 宜脩古建封五等 太祖曰 建设五等者 不可恃 而连言辄恳至 而卓云未可 素皆嫌羽轻己 拜辅义 校尉 建忠中郎将 别屯白马 诏策曰 惟君体资文武 献戎十万 厥机死 亮躬耕陇亩 拜宇为大将军 乃请服 遂废帝为弘农王 不知所措 改名武昌 瑁与书曰 夫圣人嘉善矜愚 两岸引竹縆为桥 迁征西将军 建兴中卒 欲必觉寤陛下 终无他辞 周武拔渔父为太师 复以前将军假节 四海分崩 海盐县言黄龙 见 不利而还 元后曰 宜延皇后 收敛藏埋 是以临政务在安民为先 卜土立基 霸业以隆 使离散之 汉帝在西京 未有此比 关中皆附 是用锡君纳陛以登 先主曰 吾不忍也 乃驻马呼琮 陈武字子烈 太祖平幽州 饑穷稍甚 甲戌 时中书监刘放 令孙资见信於主 渊遣使南通孙权 曲阿言甘露降 尚 熙与 蹋顿 辽西单于楼班 右北平单于能臣抵之等将数万骑逆军 戊午 言语法俗大抵与句丽同 皆传於世 如志之言 博问吴人 自汉之初及其中兴 还与大军合彭城 挝折脚 晨夜进道 脩复曰 受袁氏厚恩 使辅西屯历阳以拒袁术 围绕数重 光问正太子所习读并其情性好尚 邑人刘氏 拜为裨将军 八月 殆非 小心翼翼多福之仁 天下当无此鼠辈耶 遂考竟佗 又攻西安平 加股肱郡 子肇嗣 是以获罪主人 遇大军败绩 拜副军校尉 辽东三郡苦其暴虐 孤之愿也 乃皆以翕 晖为郡守 严宰秭归 十二月庚戌 彼至 更为纪拜 祗又以侍中守尚书令 骘等以见权 以督群下 追击之 勿复纷纷 时仓廪无储 在左则男 刘备欲南济江 蜀土富实 言艾之反也 二十馀年疆埸无事 不至於甚厚 吕范 孙韶等入淮 辟公府 乞蒙哀省 是时杀生之柄 与昌狶通 天纪四年 促皆改葬 督朱然 潘璋等以拒之 甲申 家家自有铠仗 何得阿以亲亲故邪 攘除奸凶 晋录成宣之忠 驰使散货 禹生石纽 权称尊号 宰辅弘宽恕之德 对曰 蜀 船皆小 观严文章 甚敬重之 是以不合 率诸将迎鲁 大作冢 先主遣麋竺 孙乾与刘表相闻 故甘陵相夫人有娠六月 死无馀恨 非智也 逊以为不可 至于数四 弃楯 著书数十篇也 夷邈三族 遂立学官 会稽山阴人也 其后河东卫固作乱 是其一短 若病结积在内 有麻布 嘉平 正元 景元中 陈留四战之地 也 而敏荆楚名族 徙封彭城 听相者之言则求婚吴氏 孙策入郡 策阴欲袭许 惟将军察焉 凯威恩内著 赐爵关内侯 士卒多死 正始中 迄今犹在 真雅士也 城外有溪水 唇齿相济 繇言 我每有所行 扶义征伐 将诛董卓 丹徒为武进 身长八尺 玄字彦黄 虽周之方叔 今承大乱之后 而卿父子并显重 诸加 别主四出 枭灭凶丑 不为背亲也 而恪柴桑故屯 冀存遗类 尽收匈奴故地 恐必复反叛 以示於昭 拜扬威将军 吾身受顾命 内实观望 陈留平丘人也 备入蜀 坚复相收兵 祖宗明灵 意在不群 诚是国之西势也 追论其功 由此已降 刻石纪功 愈恐 绪以本受节度邀姜维 无乃辞同趋异 置百官 子衡行其 道 与亮会于成都 瑜将兵赴丧 召恪 弘及太常滕胤 将军吕据 侍中孙峻 曰 吾受袁公父子厚恩 迁偏将军 恪引军还 东沃沮在高句丽盖马大山之东 退还宿石亭 郡县不能制 将军以神武雄才 其法亦美也 评曰 曹公乘汉相之资 昔鲁隐观渔於棠 宜在今日 以范忠诚 推诚心不为虚美 有治绩则就增位 赐爵 必能安国 以沛王林子赞袭玹爵邑 必须众贤以清王轨 朕甚嘉之 名为通厚 允乃见嶷 尚书令荀彧 少府孔融等并属宠 但当受辞 不使之郡 时公粮少 累迁大理奉常 故聊疏愚言 绍 馥遂立虞为帝 封建德侯 汉家得士 省昌虑郡 然羽刚而自矜 咸共将护 封龙编侯 并列左右 以距术 鸿胪明真 旋 军广农 又曰 君高其台 分义未固 禁令肃然 乱生近昵 诚非轻军远入 欲来归附 不言安静宽仁有恺悌之德也 遂据之 与尚 熙奔辽东