2018-2019学年北师大版初三数学下册《解直角三角形及其应用》巩固练习含解析

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解直角三角形的应用-方向角问题-初中数学习题集含答案

解直角三角形的应用-方向角问题（北京习题集）（教师版）
一．填空题（共 5 小题） 1．（2018 秋•顺义区期末）轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30 方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于
南偏东 75 方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在观测灯塔 A 北偏东 60 方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是海里．
2．（2019 秋•东城区校级期中）如图，某货船以 24 海里 / 时的速度从 A 处向正东方向的 D 处航行，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向．该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时测得该岛在北偏东 30 的方向上．则货船在航行中离小岛 C 的最短距离是．
3．（2017 春•西城区校级期中）如图，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60 方向上，且距 A 点18 3 海里，某船以每小时 36 海里的速度从点 A 向正东方向航行，航行半小时后到达 B 点，此时测得岛 C 在北偏东 30 方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁． B 点与 C 岛的距离是 B 点暗礁区域（填内或外）
7．（2016•延庆县一模）如图，甲船在港口 P 的南偏西 60 方向，距港口 86 海里的 A 处，沿 AP 方向以每小时 15 海里的速度匀速驶向港口 P ．乙船从港口 P 出发，沿南偏东 45 方向匀速驶离港口 PC 2x ，现两船同时出发，2 小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236)
【分析】根据题中所给信息，求出 BCA 90 ，再求出 CBA 45 ，从而得到 ABC 为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【解答】解：根据题意，得 1 2 30 ， Q ACD 60 ， ACB 30 60 90 ， CBA 75 30 45 ， ABC 为等腰直角三角形， Q BC 50 0.5 25 ， AC BC 25 （海里）．故答案为：25．

北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

北师大版九年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°B C a b c45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c =，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122-．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+63；Ca bc(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD＝AB＝5a，由3sin5BCAAB==得BC＝3a，∴22(5)(3)4AC a a a=-=，∴CD＝5a-4a＝a，22(3)10BD a a a=+=，∴10 sadA5BDAD==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A．12B．34C3D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD 的值为( )A．53B．253C．52D．23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若223sin cos022A B⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为112y x=-，则tanA的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin60=°，3cos30=°，3tan30=°．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确故选：C ． 2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 333010333BC AC ==⨯=8. 【答案】A ；【解析】 ∵ 223AB AC BC =+=，∴ 5sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=3cos 0B = 即2sin A =3cos B =．又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．5【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得224225AC +=，∴5sin 525CH A AC ===13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，另一直角边为223122-=，∴ 最小角A 的正切值为12tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】；【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝3DE．设DE＝k，则CD＝3k，AC＝2k．在Rt△ACD中，227AD AC CD k=+=．∴227sin77AC kCDAAD k∠===，321cos77CD kCDAAD k∠===．223tan33AC kCDACD k∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣231-19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵AE＝BC，∴AE＝AD又∵∠B=∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，22221068BE AE AB--=∵△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴21 tan63EFEDFDF∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，233 sin42BCBDCBD∠===，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE3=BAE＝30°，∴33tan303BEAE===°，∴1233332ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是33北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =．【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°．由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•c osC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△A BC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•A D=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵CD＝10，∴AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A=，则tan B＝( )．A．43B．34C．35D．452．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )． A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12 B ．22C ．32D ．1第3题第4题第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h α 6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是( )． A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距( )． A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A ．2003mB ．20033m C ．1003m D ．100m 二、填空题9．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD 中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE 的值是．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为3即AB:BC＝3，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．（2015•资阳）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】如图，sin A＝45BCAB=，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC＝223AC AB BC x=-=，∴33 tan44AC xBBC x===．2.【答案】B．【解析】如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD===；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =．二、填空题 9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3， ∴DE==4，∴tan∠DB E===2．故答案为：2．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt△ABC中，∵13ABBC=，AB＝2，∴23BC=．在Rt△AFD中，DF＝DE-EF＝x-2．∴23(2) tan tan30DF xAF xDAF-===-∠°∵AF＝BE＝BC+CE．∴33(2)233x x-=+，解得6x=．答：树DE的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A．2 B3C2D．12．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米B．253米C．10033米D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15°B．20°C．30°D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42m D．(223)m+8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，5 11CD AB =，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A BCDEO第9题图第10题图第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+c osα•sinβ；sin （α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ， ∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝23 (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。

《解直角三角形》全章复习与巩固-- 巩固练习(提高)

《解直角三角形》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A ．2B ．12．如图所示，△ABC 中，AC ＝5，cos 2B =，3sin 5C =，则△ABC 的面积是( )A ．212B ．12C ．14D ．21 3．如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''，则tan B '的值为( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．4第2题图第3题图4．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A ．米2B ．米2C ．（4+）米2 D ．（4+4tanθ）米25．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm ，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A ．10 cm B ．20 cm C ．30 cm D ．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度1i =α为( )． A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m ，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A ．4 mB ．6 m C．．(2+ 8．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（）A ．S 1=S 2B ． S 1=S 2C ． S 1=S 2D ． S 1=S 2二、填空题9．如图，若AC 、BD 的延长线交于点E ，511CD AB =，则cos CEB ∠= ；tan CEB ∠= ． 10．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为；CD 的长为 .A B第9题图第10题图第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2016•西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC ．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图第16题图16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)∠CDE的正切值为 .三、解答题17．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C 在点B的北偏西60°方向上．(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?( 1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P 停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 302222⨯-⨯==．2.【答案】A；【解析】过A作AD⊥BC于D，因为cos B=，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为3 sin5ADCAC==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以4DC ==，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABCS BC AD ==⨯⨯=△.3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】D【解析】在Rt △ABC 中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故选：D ． 5.【答案】D ；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC ⊥BD 于C ，则∠ABC ＝45°，AC ＝BC ＝140202⨯=，则所求深度为55－20＝35(cm)．6.【答案】C ；【解析】tanBC AC α===，∴ 30α=°． 7．【答案】D ；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m ，宽为2tan 30=°，则地毯的总长至少为(2+m ．8．【答案】C ；【解析】过A 点作AG⊥BC 于G ，过D 点作DH⊥EF 于H ．在Rt△ABG 中，AG=AB•sin40°=5sin40°， ∠DEH=180°﹣140°=40°，在Rt△DHE 中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S 1=8×5sin40°÷2=20sin40°， S 2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S 1=S 2．故选：C ．二、填空题9．【答案】cos ∠CEB=511；tan ∠CEB=5【解析】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ，∴CE CD 5=EB AB 11=，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=5BC =CE第9题答案图第10题答案图 10．【答案】5+10；10+5.【解析】过B 点分别作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则得BF=ED ，BE=DF. ∵在Rt △AEB 中，∠A=30°，AB=10， ∴AE=AB ·cos30°=10×=5，BE=AB ·sin30°=10×=5.又∵在Rt △BFC 中，∠C=30°，BC=20， ∴BF=BC=×20=10，CF=BC ·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11．【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，DE =．∴ sin sin5AE ADE ED α=∠===12．【答案】13或4；【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13；②当3=．∴ tanA ==． 13．【答案】60；【解析】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，∴BD=，CD=，∴+=100，解得，AD≈60.14．【答案】3或3；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH ⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH =在Rt △AHC 中，HC 3==．∴ BC ＝3．当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC ＝3．15．【答案】2；16．【答案】（1）BE=5；（2）tan ∠CDE=【解析】（1）由题意得△BFE ≌△DFE ，∴DE=BE. 又∵在△BDE 中，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE ⊥BC. ∵在等腰梯形ABCD 中，AD=2，BC=8， ∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.(2)由(1)得DE=BE=5，在△DEC 中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3， ∴tan ∠CDE==.三、解答题17.【答案与解析】解：过B 作BD ⊥AP 于D ，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt △ABD 中，∵AB=40，∠A=30， ∴BD=AB=20，在R t △BDP 中，∵∠P=45°， ∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P 的距离BP 的长约为28.3海里．18.【答案与解析】(1)过C 点作CH ⊥AB 于H ．设CH=x ．由已知有∠EAC ＝45°，∠FBC ＝60°，则∠CAH ＝45°，∠CBA ＝30°．在Rt △ACH 中，AH ＝CH ＝x ，在Rt △HBC 中，tan ∠HBC ＝CHHB．∴tan30CHHB===°，∵AH+HB＝AB，∴600x=，解得x=≈220(米)＞200(米)．∴ MN不会穿过森林保护区．(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y-5)天．根据题意得：11(125%)5y y=+⨯-，解得：y＝25．经检验知：y＝25是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．19.【答案与解析】(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵ PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴AC BCCP CD=．∴AC·CD＝PC·BC．(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE=．又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝43．∴3tan422BEPE BCCPB⎛⎫===⎪⎪∠⎝⎭．从而PC＝PE+EC．由(1)得CD＝43PC=(3)当点P在AB上运动时，12PCDS PC CD=△．由(1)可知，CD＝43PC．∴223PCDS PC=△．故PC最大时，PCDS△取得最大值；而PC为直径时最大，∴PCDS△的最大；∴PCDS△的最大值2250533S=⨯=．20.【答案与解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC ==⨯=． (2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ， ∴RQ QC AB BC =，∴10610y x-=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． (3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，如图所示，则QM ＝RM ．∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C ．∴84cos 1cos 105C ∠===，∴45QM QP =，∴1425QR DH =， ∴1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，∴185x =． ②当PQ ＝RQ 时，如图28—46所示，则有312655x -+=，∴x ＝6．③当PR ＝QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，如图所示．于是点R 为EC 的中点，∴11224CR CE AC ===． ∵tan QR BA C CR CA ==，∴366528x -+=，∴152x =．18 5或6或152时，△PQR为等腰三角形．综上所述，当x为。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类练习北师大版(20

2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。

错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。

2018年北师大版九年级下《1.4解直角三角》同步练习含答案

4　解直角三角形知识点 1　已知两边求其他元素　图1－4－11．如图1－4－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝，则∠B 的度数为( )3A ．25° B ．30°C ．45°D ．60°2．菱形ABCD 的对角线AC ＝6 ，BD ＝6，则菱形的四个角的度数分别是3______________．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，c ＝5 ，求这个直角三角形的其他元素．2知识点 2　已知一边、一角求其他元素4．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( )A ．3sin 40°B ．3sin 50°C ．3tan 40°D ．3tan 50°5．[2017·抚顺模拟] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，AC ＝，则BC 等于( )323A . B ．1 C ．2 D ．33图1－4－26．如图1－4－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，则AB 的长为________．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，∠A ＝45°，则a ＝________，b ＝________，∠B ＝________°.(a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边)8．已知Rt △ABC 在直角坐标系中的位置如图1－4－3所示，求A ，C 两点的坐标．图1－4－39．等腰三角形的腰长为2 ，底边长为6，则底角等于()3A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°图1－4－410．如图1－4－4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝，则BC 的长是( )35A ．4 cm B ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．如图1－4－5，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 ，则AB 的长为3________．1－4－5图1－4－612．如图1－4－6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝4 ，则AD ＝________．313．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2 ，b ＝2 ，小王得到下面四个结论：①c ＝426；②tan A ＝；③sin A ＋cos B ＝1；④∠B ＝30°.其中正确的结论是________．(只填序233号)14．如图1－4－7，河流两岸a ，b 互相平行，A ，B 是河岸a 上的两座建筑物，C ，D 是河岸b 上的两点，A ，B 之间的距离为200 m ．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度为________m .1－4－715．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝__________．16．如图1－4－8，一块四边形土地，其中∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝30 m ，CD ＝50 m ，求这块土地的面积．33图1－4－817．如图1－4－9，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．图1－4－918．一副三角板如图1－4－10放置，点C在FD的延长线上，2AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，试求CD的长．图1－4－1019．如图1－4－11所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．(精确到1 mm) (参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75)图1－4－11图1－4－1220．如图1－4－12，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O3运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．如果PQ＝，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．1．B 2.60°，120°，60°，120°3．解：∵sin A ＝＝＝，∴∠A ＝45°，a c 55222∴∠B ＝90°－∠A ＝45°，∴∠B ＝∠A ，∴b ＝a ＝5.4．D [解析] ∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，又∵tan B ＝，∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan50°.故选D.AC BC 5．B 6.4 7.5 5 453228．解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵BC ＝＝＝4，AO cos30° 2 332∴点C 的坐标为(4，0)．在Rt △ABD 中，sin30°＝，cos30°＝，而AO ＝2 ，AD AO BD AO 3∴AD ＝AO sin30°＝2 ×＝，3123BD ＝AO cos30°＝2 ×＝3，332∴点A 的坐标为(3，)．39．A10．A [解析] ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8 cm.∵cos ∠BDC ＝＝，∴＝，CD BD 35CD 8－CD 35解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5 cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.11．3＋　[解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，3∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 ，∴CD ＝，33∴BD ＝CD ＝.3由勾股定理得AD ＝＝3，AC 2－CD 2∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋.312．[解析] 在Rt △ABC 中，sin B ＝，AC ＝AB ·sin B ＝4 ×＝2 .AC AB 3123在Rt △ACD 中，∠DAC ＝∠BAC ＝×60°＝30°，1212cos ∠DAC ＝，AD ＝＝＝4.AC AD AC cos ∠DAC 2 3cos30°13．①②③　[解析] 由勾股定理易求c ＝4 ，①正确；tan A ＝＝＝，②正确；2a b 2 22 633sin A ＋cos B ＝＋＝＋＝＋＝1，③正确；tan B ＝＝＝，∴∠B ＝60°，④a c a c 2 24 2 2 24 21212b a 2 62 23错误．14．100　[解析] 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，∵∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，∴∠APB ＝75°.∵∠BAP ＝∠APC ＝75°，∴∠APB ＝∠BAP ，∴AB ＝PB ＝200 m.∵∠ABP ＝30°，∴PE ＝PB ＝100 m.1215.或　[解析] 分两种情况：32 2 33(1)如图①，BD 是AC 边上的中线，BD ＝AC .设AD ＝DC ＝k ，则BD ＝AC ＝2k .在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°，∴BC ＝＝k ，BD 2－CD 23∴tan A ＝＝＝；BC AC 3k 2k 32(2)如图②，AD 是BC 边上的中线，AD ＝BC .设BD ＝DC ＝k ，则AD ＝BC ＝2k .在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC ＝＝k ，AD 2－CD 23∴tan B ＝＝＝.AC BC 3k 2k 32∵∠CAB ＋∠B ＝90°，∴tan ∠CAB ＝＝＝.1tan B 23 2 33综上可知，所求值为或.32 2 33故答案为或.32 2 3316．解：延长CA ，DB 交于点P ，∵∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，∴∠ABP ＝60°，∠ACD ＝60°.在Rt △CDP 中，tan ∠ACD ＝，PD ＝CD ·tan ∠ACD ＝50 ·tan60°＝150(m)．PDCD 3在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝，PA ＝AB ·tan ∠PBA ＝30 ·tan60°＝90(m)，PAAB 3∴S 四边形土地＝S △CDP －S △ABP ＝×50 ×150－×30 ×90＝2400 (m 2)．1231233即这块土地的面积为2400 m 2.317．解：如图，过点B 作BE ⊥MC ，垂足为E ，在Rt △ABC 中，BC ＝＝AB 2－AC 2＝5，132－122sin ∠BAC ＝＝.BC AB 513在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCE ＝BC ·sin ∠BAC ，∴BE ＝5×＝，5132513即点B 到直线MC 的距离是.251318．过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝12 ，2∴BC ＝AC ＝12 .2∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝45°，∴BM ＝BC ×sin45°＝12 ×＝12，222CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝＝4 ，BMtan60°3∴CD ＝CM －MD ＝12－4 .319．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，过点D 作DF ⊥l 于点F .∵∠α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝∠α＝36°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝，BEAB∴AB ＝≈＝40(mm)．BE sin36°240.60在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝，DF AD ∴AD ＝≈＝60(mm)．DF cos36°480.80∴长方形卡片的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．20．4　[解析] 在Rt △AOB 中，∵∠ABO ＝30°，AO ＝1，∴AB ＝2，BO ＝＝22－12.3(1)当点P 从O →B 时，如图①、图②所示，点Q 运动的路程为；3(2)当点P 从B →C 时，如图③所示，这时QC ⊥AB ，则∠ACQ ＝90°.∵∠ABO ＝30°，∴∠BAO ＝60°，∴∠OQD ＝90°－60°＝30°，∴cos30°＝，∴AQ ＝＝2，CQ AQ CQcos30°∴OQ ＝2－1＝1.则点Q 运动的路程为QO ＝1；(3)当点P 从C →A 时，如图③所示，点Q 运动的路程为QQ ′＝2－.3(4)当点P 从A →O 时，点Q 运动的路程为AO ＝1.∴点Q 运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.33。

数学北师大版九年级下册解直角三角形课时练习

解直角三角形课时练习1．★点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是()A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)2．如图Y－40，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比不等于tan A的是()图Y－40A.CDAD B.DBCD C.BCAC D.ADAC3．如图Y－41，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为()图Y－41A.12 B.22 C.32D．14．★锐角A满足2cos(∠A＋10°)＝3，则∠A＝________．5．如图Y－42所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是________m.图Y－426．如图Y－43，气象台测得台风中心在A港口的正东方向500 km的点C 处，正在向西北方向转移，距台风中心300 km的范围内将受其影响，问港口A 是否会受到这次台风的影响？图Y－43参考答案1．B [解析] 由于sin60°＝32，cos60°＝12，所以点M 关于x 轴对称的点的坐标是(－32，－12)．故选B.此类问题容易出现的错误是记错特殊角的三角函数值．2．D3．C [解析] 设BC ＝m ，则AB ＝2m ，根据勾股定理可求得AC ＝3m .sin B ＝AC AB ＝3m 2m ＝32.故选C. 4．20° [解析] ∵cos(∠A ＋10°)＝32，∴∠A ＋10°＝30°，∴∠A ＝20°.此类问题容易出现的错误是没有把A ＋10°看作一个整体．5．10 [解析] 由坡比的定义可知：迎水坡AB 的坡比为1∶3，即BC AC ＝13.又∵BC ＝5，所以AC ＝5 3，所以AB ＝AC 2＋BC 2＝（5 3）2＋52＝10(m)．6．解：过点A 作AB ⊥CM 于点B . 在Rt △ABC 中， ∵sin 45°＝AB AC ，AC ＝500 km ，∴AB ＝500×22＝250 2(km)＞300 km.答：港口A 不会受到这次台风的影响．。

《解直角三角形》全章复习与巩固(基础)巩固练习

《解直角三角形》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（）．A ．3B ．4C ．．62．（2019•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°3．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图第3题图第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，cot ∠DBE 的值是( )．A.12B.2C. 2D. 55．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tanC 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（）．A ．12B ．2CD 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )． A ．5cos α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--++= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图第11题图12．（2019•潍坊）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是 m ．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图第15题图 14．一次函数经过(cot 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 16．已知直角三角形的两条边分别是6、8，则斜边上中线的长为______________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝8，∠B ＝60°，BC ＝12，连接AC ．(1)求tan ∠ACB 的值；(2)若M 、N 分别是AB 、DC 的中点，连接MN ，求线段MN 的长．19．如图所示，点E 、C 在BF 上，BE ＝FC ，∠ABC ＝∠DEF ＝45°，∠A ＝∠D ＝90°．(1)求证：AB ＝DE ；(2)若AC 交DE 于M ，且AB ，ME ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转，使点E 旋转到AB 上的G 处，求旋转角∠ECG 的度数．20.（2019•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由．（≈1.73）【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan ACB BC=知tan 32AC BC B ===． 2．【答案】A ；【解析】如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥CB 于D ，依题意得CD ：AD=1：=：3，而tan∠DAC=CD：AD ， ∴tan∠DAC=：3， ∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt△ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==． 4.【答案】A ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又BE ＝2，AD ＝AB ， ∴5k ＝3k+2，∴k ＝1．∴DE ＝4． ∴cot ∠DBE ＝2142BE DE ==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴CD 2+BD 2＝BC 2．∴△BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin 2B =，∴∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos 2A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2；【解析】原式＝3|21422--++=-=+ 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =，又∵AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13；【解析】如图，过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B ′D=x ，BC=2x,BD=x+2x=3x,∴tan ∠A BC ''='A D BD =13.12．【答案】135；【解析】∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD 中，tan30°=，解得，=，∴AD=45，∵在一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt△ACD 中，CD=AD•tan60°=45×=135米．13．；【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】cot45°＝1， tan60，-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b = 15．【答案】45；【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8=，∴84sin 105BC A AB ===． 16．【答案】5或4；【解析】①若6、8作为直角三角形的两条直角边，则斜边为10，斜边的中线为5；②若8作为直角三角形的斜边，则斜边中线为4.三、解答题 17.【解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA AD ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝82AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4． ∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ．又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME ．∴CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5， ∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5，tan30°=， ∴=，解得DB==5×1.73≈8.65， ∵BM=7+5=12，BD≈8.65， ∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m 的建筑物无需拆除．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．若a+b=3，，则ab 等于（） A.2B.1C.﹣2D.﹣12．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A.29B.13 C.49 D.59 3．若反比例函数3k y x+=的图像经过点()3,2-，则k 的值为（）A.9-B.3C.6-D.94．下列命题是真命题的是（） A ．一元二次方程一定有两个实数根 B ．对于反比例函数y ＝2x，y 随x 的增大而减小 C ．有一个角是直角的四边形是矩形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．已知函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么能正确反映函数y ＝ax+b 图象的只可能是( )A. B. C. D.6．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是 A ．–999×（52+49）=–999×101=–100899 B ．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900 C ．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898 D ．–999×（52+49–99）=–999×2=–19987．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产x 个足球，根据题意可列方程为（） A ．12004800(120%)x ++＝21 B ．120048001200(120%)x x-++＝21 C ．12004800120020%x x-+＝21D ．480048001200(120%)x x-++＝21 8．如图是某款篮球架的示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，（）A ．3.04B ．3.05C ．3.06D ．4.409．下列命题正确的是（）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．两边及其一角相等的两个三角形全等C 3D ．数据4，0，4，6，6的方差是4.810．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，连结BD ，如果∠DAC=∠DBA ，那么∠BAC 度数是（）A ．32°B ．35°C ．36°D ．40°12．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P(﹣1，1)，Q(2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS+SQ ＝5或PT+TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A(3，1)，B(5，﹣3)，C(﹣1，﹣5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为( )A ．(1，﹣2)B ．(2，﹣1)C ．(12，﹣1) D ．(3.0)二、填空题13．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝6，那么EF 的值是_____．14．化简﹣（﹣12）的结果是_____． 15．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．16．3(2)-=______.17．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于．18．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取．如果某户使用9立方米燃气，需要燃气费为_____元；如果某户的燃气使用量是x 立方米(x 超过11)，那么燃气费用y 与x 的函数关系式是______．三、解答题19．如图，P 点是某海域内的一座灯塔，船A 停泊在灯塔的南偏东53°方向的50海里处，船B 位于船A 的正西方向且与灯塔P 相距20√3海里．求两船的距离．（参考数据：sin 530.8,cos530.6,tan 53 1.732︒︒︒==≈≈≈，）（结果保留整数）20．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 是∠BAD 的角平分线．（1）求证：△ABC ≌△ADC ．（2）若∠BCD ＝60°，AC=BC ，求∠ADB 的度数．21．先化简，再求值： 2226911a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，请你选取一个使原分式有意义的a 的值代入求值. 22．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是________ ；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为________，m的值为________（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．23．数学实践课小明利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为18米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．(结果保留根号)（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变（用图（2）解答）①求树与地面成45°角时的影长；②求树的最大影长．24．如图直线y1=-x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为BD的中点.（1）求证：∠ACD=∠DEC ；（2）延长DE 、CB 交于点P ，若PB=BO ，DE=2，求PE 的长【参考答案】***一、选择题二、填空题13．314．1215．8016．﹣817．40°．18．y ＝2.4x ﹣4.4三、解答题19．23【解析】【分析】过P 作PC ⊥AB 交AB 于C ，根据三角函数的定义即可得到结论，根据三角函数的定义得到AC ＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，12BC PB ==于是得到结论．【详解】解：过P 作PC ⊥AB 交AB 于C ，在Rt △APC 中，∠C ＝90°，∠APC ＝53°，AP ＝50海里，∴PC ＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt △PBC 中，∵30PB PC ==，∴cos ∠BPC ＝2PC PB = ∴∠BPC ＝30°，∵AC ＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，12BC PB ==∴AB ＝AC ﹣BC ＝(40-海里，答：两船相距(40-海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．20．（1）详见解析；（2）∠ADB ＝15°．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC ，从而利用SAS ，可判定全等．（2）根据△ABC ≌△ADC ．可知BC=DC ，∠ACB ＝∠ACD ＝30°，已知∠BCD ＝60°，故△BCD 是等边三角形．即∠CBD ＝60°，在△ABC 中AC=BC ，∠ACB ＝30°，可得∠CDA ＝75°，进而求得∠ADB ＝15°．【详解】解（1）∵AC 是∠BAD 的角平分线．∴∠BAC=∠DAC ，∵AB=AD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ．（2）∵△ABC ≌△ADC ．∴BC=DC ，∠ACB ＝∠ACD ＝30°，∵∠BCD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴∠CBD ＝60°，∵AC=BC ，∴∠CDA ＝75°，∴∠ADB ＝15°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，注意熟练掌握全等三角形的判定和性质.21．-2【解析】【分析】先将分式化简，再选择适当的a 值代入求值即可.【详解】2226911a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭, =212(1)()11(3)a a a a a a ---⨯---, =23(1)1(3)a a a a a --⨯--， =3a a -，当a=2时，原式=223-=-2 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（1）120；（2）补图见解析；（3）30°，25；（4）500人【解析】【分析】（1）利用了解很少为60人，了解很少所占百分比为50%，用60÷50%计算即得.（2）不了解人数=总人数-了解很少人数-基本了解人数-了解人数，计算出结果后进行补图即可.（3）直接用360°乘以“了解”所占百分比即得.（4）直接用3600乘以 “不了解”的人数所占百分比即得.【详解】解：（1）60÷50%=120（人）.故答案为：120.（2）不了解人数：120-60-30-10=20（人），据此补充折线统计图.（3）“了解”所对应扇形的圆心角的度数 360×10120=30°， m%=30120 =25%， ∴m=25.故答案为：30° ；25。

《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练

专题1.17《解直角三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（）A ．12B ．3C ．2D 2．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB=B ．cos BC A AC=C ．tan AB C BC=D ．cos AC C BC=3．如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB 为（）A ．6cos αB ．6cos αC ．6sin αD ．6sin α4．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，ABC α∠=，那么A 、B 两地的距离等于（）A ．tan a αB ．tan a α⋅C ．sin a α⋅D ．cos a α⋅5．点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣1，2)，以点O 为圆心，将线段OA 逆时针旋转，使点A 落在x 轴的负半轴上点B 处，则点B 的横坐标为（）AB C D7．已知，斜坡的坡度i =1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A ．B ．20米C ．D ．1003米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE 的顶部测得信号发射塔AB 顶端的仰角∠FEA ＝56°，建筑物DE 的底部D 到山脚底部C 的距离DC ＝16米，小山坡面BC 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，坡长BC ＝40米（建筑物DE 、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直），则信号发射塔AB 的高约为（）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A ．71.4米B ．59.2米C ．48.2米D ．39.2米9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,210．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝1.18米，AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin2A＝_____．12．若关于x 的方程x 2+sin α=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan C =3AB =，则AC 的长为_____．17．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1sin 602︒；（2）26tan 30cos30tan 602sin 45cos 60︒-︒︒-︒+︒ ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设∠CAD =α．(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长．21．如图，为了测得旗杆AB 的高度，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得旗杆顶点A 的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m ，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，≈1.41）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝故选：D ．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，则sin ,cos ,tan ,cos BC AB AB BCA A C C AC AC BC AC====．故选：C ．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt △ABC 中，6BC =米，ABC α∠=，∵cos BCABC AB∠=，∴6cos BC AB ABC coa α==∠，故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵tanα=ACAB，∴AB =tan tan AC aαα=，故选A ．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∵sin60°cos30°，）关于y 轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA ，可得结论．解：∵A （﹣1，2），∴OA由旋转的性质可知，OB ＝OA∴B 0）．故选：C ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA 即可．7．A【分析】根据坡度意思可知1tan 2A ∠=，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，求出h 即可．解：如图：由题意可知：1tan 2A ∠=，100AB =米，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，解得：h =米，h =-．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC ，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43BGCG=，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43 BGCG=，设BG＝4x，CG＝3x，则BC x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴==90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA 、FE ，交于点D ，根据AB ⊥BC ，EF ∥BC 知∠ADE =90°，由∠AEF =143°知∠AED =37°，根据sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米求出AD 的长，继而可得BD 的值，从而得出答案．解：如图，延长BA 、FE ，交于点D ．∵AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∴BD ⊥DF ，即∠ADE =90°．∵∠AEF =143°，∴∠AED =37°．在Rt △ADE 中，∵sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米，∴AD =AE •sin ∠AED =1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD =AB +AD =1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．12【分析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵sin BC A AB ==∴∠A ＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0 ，α=-⨯⨯=解得：1sin 2α=∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．512解：∵P （12，a ）在反比例函数60y x =图象上，∴a=6012=5，∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512，故答案为512．14．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==4AD = 165AE ∴=125DE ∴===DE AC⊥ 90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠==534CD DE ∴=⋅=在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠==∴∠1=∠3，tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =，∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD ，根据勾股定理得：AC =．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质可知，AF =FM ,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG ，即可求解.解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3，在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB，∴EF当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1（2）1【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝11232-＝16（2）原式21316221222=⨯-⨯=--=-【定睛】此题主要考查实数的运算。

北师大版九年级下册数学-三角函数的应用巩固练习(Word版含答案)

九年级下册数学巩固练习（北师大版）1.4 三角函数的应用学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1.如图,有一斜坡AB ,坡顶B 离地面的高度BC 为30 m,斜坡的倾斜角是BAC ∠,若2tan 5BAC ∠=,则此斜坡的水平距离AC 为( )A.75 mB.50 mC.30 mD.12 m2.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB 的倾斜角为37°,大厅两层之间的距离BC 为6米,则自动扶梯AB 的长约为（参考数据：sin370.6︒≈,cos370.8︒≈,tan370.75︒≈）( )A.7.5米B.8米C.9米D.10米 3.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ,D ,B 在同一条直线上),设CAB α∠=,则拉线BC 的长度为( )A.sin h αB.cos h αC.tan h αD.cos h α⋅ 4.如图,长4 m 的楼梯AB 的倾斜角ABD ∠为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角ACD ∠为45°,则调整后的楼梯AC 的长为( )A.23mB.26mC.(232m )-D.(262m )-5.如图,一艘潜水艇在海面下300 m 的点A 处发现其正前方的海底C 处有黑匣子,同时测得黑匣子C 的俯角为30°,潜水艇继续在同一深度直线航行960 m 到点B 处,测得黑匣子C 的俯角为60°,则黑匣子所在的C 处距离海面的深度是( )A.(4803300)m +B.3300)mC.780 mD.1260 m6.如图是拦水坝的横断面,堤高BC 为6米,斜面的坡度为1:2,则斜坡AB 的长为( )A.43B.5C.125D.24米7.如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A ,C 两港之间的距离为( )A.(30303)+kmB.(30103)+kmC.(10303)+kmD.303km8.如图,在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC ,某同学为了测量信号塔的高度,在地面上A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了8米到达地面上B 处,又测得信号塔顶端C 的仰角为45°,直线CD AB ⊥交直线AB 于点E ,E 、B 、A 三点在条直线上,则信号塔CD 的高度为( )A.203B.(2038)米C.(20328)米D.(20320)米9.如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得ABC α∠=,ADC β∠=,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A.tan tan αβB.sin sin βαC.sin sin αβD.cos cos βα10.小明在学完《解直角三角形》一章后,利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度,如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等,小明先将PB 拉到PB '的位置,测得PB C α'∠=（B C '为水平线）,测角仪B D '的高度为1米,则旗杆PA 的高度为( )A.11sin α+米B.11cos α-米C.11sin α-米D.11cos α+米二、填空题11.如图,在量角器的圆心O 处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪.量角器的0刻度线AB 对准楼顶时,铅垂线对应的读数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是__________.12.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为__________米（结果精确到1米,2 1.41≈3 1.73）.α=时,人字梯顶端离地面的高度AD约是13.如图人字梯AB,AC的长都为2 m,当50____________米.（结果精确到0.1 m,参考数据：︒≈）︒≈,tan50 1.19sin500.77︒≈,cos500.6414.如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,//DC AB,BC长6 m,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为______________m（结果保留根号）.15.如图,从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°,看楼下荷塘D处的俯角为60°,已知楼高AB为30米,则荷塘的宽CD为_______________米（结果保留根号）.三、解答题16.如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距20 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°,观测旗杆底部B的仰角为45°,求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位,参考数据：sin520.79≈）.︒≈,cos520.62︒≈2 1.41︒≈,tan52 1.2817.某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图,已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m,为了解自己的有效测温区间,身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度（额头到地面的距离以身高计,计算精确到0.1m,sin180.31︒≈）.︒≈,cos180.95︒≈,tan180.3218.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G,使5mDG=,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得2mEF=,测倾器的高FG=,小明眼睛与地面的距离 1.6mCD=.已知点F,G,D,B在同一水平直线上,且EF,CD,AB均垂直于FB,求这棵古树的高0.5mAB（小平面镜的大小忽略不计）.19.拓展小组研制的智能操作机器人,如图①,水平操作台为l,底座AB固定,高AB为50 cm,连杆BC长度为70 cm,手臂CD长度为60 cm.点B,C是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.（1）转动连杆BC,手臂CD,使143CD l,如图②,求手臂端点D离操作台l的高度∠=︒,//ABCDE的长（精确到1 cm.参考数据：sin530.8︒≈）.︒≈,cos530.6（2）物品在操作台l上,距离底座A端110 cm的点M处,转动连杆BC,手臂CD,手臂端点D 能否碰到点M？请说明理由.20.在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1,2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,求2号楼的高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：︒≈,tan67 2.36︒≈）︒≈,cos670.39︒≈,tan400.84sin400.64︒≈,cos400.77︒≈,sin670.92参考答案1.答案：A解析：90C ∠=︒,2tan 5BAC ∠=,30m BC =,302tan 5BC BAC AC AC ∴∠===. 75m AC ∴=.故选A. 2.答案：D解析：由题意知BC AC ⊥,在Rt ABC △中,sin BC BAC AB ∠=,所以610sin370.6BC AB =≈=︒（米）,故选D.3.答案：B解析：因为CD AB ⊥,AC BC ⊥,所以90CAB ACD ∠+∠=︒,90ACD BCD ∠+∠=︒,所以CAB BCD a ∠=∠=.在Rt BCD △中,cos BCD ∠cos h BC α==,故 cos h BC α=.故选B. 4.答案：B5.答案：A解析：如图,过点C 向AB 作垂线,交AB 的延长线于点E ,延长CE 交海面于点F ,易知CF DF ⊥.960m AB ∴=,30BAC ∠=︒,60EBC ∠=︒,30BCA EBC BAC ∴∠=∠-∠=︒.BAC BCA ∴∠=∠.960m BC BA ∴==.在Rt BEC △中,sin CE EBC BC ∠=, 3sin 609604803(m)CE BC ∴=⋅==°. (4803300)m CF CE EF ∴=+=.6.答案：B 解析：斜面的坡度为1:2,6BC =米,212AC BC ∴==（米）,222212665AB AC BC ∴=+=+=.故选B.7.答案：B解析：根据题意,得652045CAB ∠=︒-︒=︒,402060ACB ∠=︒+︒=︒,302AB =如图,过B 作BE AC ⊥于E ,90AEB CEB ∴∠=∠=︒.在Rt ABE 中,45EAB ∠=︒,302AB =230AE BE ∴==km. 在Rt CBE中,60ECB ∠=︒,103tan 60BE CE ∴==︒(303)AC AE CE ∴=+=+km.∴A ,C 两港之间的距离为(303)+km,故选B.8.答案：C解析：根据题意,得8AB =米,20DE =米,30DAE ∠=︒,45EBC ∠=︒. 在Rt ADE △中,3203tan DE AE DE DAE==∠, (2038)BE AE AB ∴=-=米.在Rt BCE △中,tan 45(2038)CE BE =⋅=︒米, 203820(20328)CD CE DE ∴=-=-=米.9.答案：B解析：在Rt ABC 中,sin AC AB α=,在Rt ACD 中,sin AC AD β=,sin ::sin sin sin AC AC AB AD βαβα∴==. 10.答案：C解析：设旗杆PA 的高度为x 米,则PB x '=米,在Rt PB C '中,sin PC PB α=',则1sin x x α-=⋅.解得11sin x α=-.故选C. 11.答案：40°解析：如图,过A 点作AC ⊥铅垂线于C ,50AOC ∠=︒,40OAC ∴∠=︒,故此时观察楼顶的仰角度数是40°.12.答案：1413.答案：1.5解析：在Rt ADC △中,sin AD ACα=,sin 2sin5020.77 1.5AD AC α∴=⋅=⋅︒≈⨯≈（米）. 14.答案：62解析：如图,过点D 作DE AB ⊥于E ,过点C 作CF AB ⊥于F .CD AB ,DE AB ⊥,CF AB ⊥,DE CF ∴=.在Rt CFB 中,sin 6sin 4532CF BC β=⋅=⨯︒=.32DE CF ∴==（米）.在Rt ADE 中,30A ∠=︒,90AED ∠=︒,262AD DE ∴==.15.答案：(303)-解析：由题意可知,45ACB ∠=︒,60ADB ∠=︒,30BC AB ∴==,3103BD AB ==(30103)CD BC BD ∴=-=-米. 16.答案：旗杆AB 的高度约为5.6 m解析：在Rt BCD △中,tan BC BDC CD∠=, tan 20tan 4520(m)BC CD BDC ∴=⋅∠=⨯=︒. 在Rt ACD △中,tan AC ADC CD∠=, tan 20tan5220 1.2825.6(m)AC CD ADC ∴=⋅∠=⨯≈⨯=︒. 25.620 5.6(m)AB AC BC ∴=-≈-=.答：旗杆AB 的高度约为5.6 m.17.答案：小聪在地面的有效测温区间MN 的长度约为1.5 m 解析：如图,延长BC 交AD 于E .由题意得四边形DEBN 、四边形MCBN 都为矩形,BE DN ∴=, 1.6m DE NB MC ===,BC MN =,90AEB ∠=︒. 2.2m AD =,2.2 1.60.6(m)AE AD DE ∴=-=-=.tan AE ABE BE ∠=, 0.6 1.88(m)tan 0.32AE BE ABE ∴=≈≈∠. tan AE ACE CE∠=, 0.35(m)3CE ∴=≈.1.880.35 1.5(m)BC ∴≈-≈.1.5m MN ∴≈.答：小聪在地面的有效测温区间MN 的长度约为1.5 m.18.答案：这棵古树的高AB 为18 m解析：如图,过点C 作CH AB ⊥于点H ,则CH BD =,0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中,45ACH ∠=︒,AH CH BD ∴==.0.5AB AH BH BD ∴=+=+.EF FB ⊥,AB FB ⊥,90EFG ABG ∴∠=∠=︒.由题意知EGF AGB ∠=∠,EFG ABG ∴△△.EF FG AB BG ∴=,即 1.620.55BD BD=++, 解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB ∴=+=.答：这棵古树的高AB 为18 m.19.答案：（1）手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长约为106 cm（2）手臂端点D 能碰到点M .理由见解析解析：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ,过点B 作BQ CP ⊥于点Q ,如图所示.143ABC ∠=︒,53CBQ ∴∠=︒,在Rt BCQ △中,sin53700.856(cm)CQ BC =⋅︒≈⨯=.//CD l ,5650106(cm)DE CP CQ PQ ∴==+=+=.（2）手臂端点D 能碰到点M .理由如下：当B ,C ,D 共线时,如图所示.在Rt ABD △中,7060130(cm)BD BC CD =+=+=,50cm AB =, 222213050120(cm)AD BD AB ∴=-=-.120cm 110cm AD =>,∴手臂端点D 能碰到点M .20.答案：如图,过点E ,F 分别作EM AB ⊥,FN AB ⊥,垂足分别为M ,N .由题意得,20EC =米,67AEM ∠=︒,40AFN ∠=︒,CB DB EM FN ===,60AB =米, 602040AM AB MB ∴=-=-=米.在Rt AEM 中,tan AM AEM EM ∠=, 40tan tan 67AM EM AEM ∴==∠︒米. 在Rt AFN 中,tan AN AFN FN ∠=, 40tan 4014.2tan67AN ∴=︒⨯≈︒米. 6014.245.8FD NB AB AN ∴==-=-=米.答：2号楼的高度约为45.8米.。

北师大版初三数学9年级下册第1章 1.4解直角三角形同步优生辅导训练(附答案解析)

北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．3．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7B．8C．8或17D．7或174．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．25．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD 的值是．7．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为．8．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为．11．△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC 的长．14．如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．（结果保留根号）16．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．①求BD和AD的长；②求tan C的值．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C 的值．20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B+cos B 的值．21．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．参考答案1．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选：D．2．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC＝＝＝．故选：A．3．解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选：D．4．解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC＝2，BC＝1，则tanα＝＝．故选：C．5．解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，又∵tan B＝，∴AC＝BC•tan B＝3tan50°．故选：D．6．解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．故答案为．7．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为：2或2﹣或，故答案为：2或2﹣或．8．解：过点A作AD⊥BC于D，如图∵AB＝AC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝＝0.8，∴AD＝5×0.8＝4，则BD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3＝6．故答案为：6．9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以tan B＝，即tan37°＝，所以AC＝32•tan37°＝32×0.75＝24．故答案为：24．10．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．11．解：①如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC＝30°，∴BD＝AB，∵AB＝4，∴BD＝2，∴AD＝2，∵BC＝3，∴CD＝，∴S△ABC＝AC•BD＝×（2+）×2＝2+；②如图2，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，∵∠BAC＝30°，∴BD＝AB，∵AB＝4，∴BD＝2，∵BC＝3，∴CD＝，∴AD＝2，∴AC＝2﹣，∴S△ABC＝AC•BD＝×（2﹣）×2＝2﹣．综上所述，满足条件的△ABC的面积为2+或2﹣．12．解：∵cos B＝，即cos30°＝，∴AB＝＝＝4．故答案为：4．13．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4．在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+4．14．解：∵Rt△ABC中，AC＝12cm，∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝12（cm），∵Rt△ACD中，AC＝12cm，∠DAC＝60°，∴tan∠DAC＝，∴CD＝AC×tan∠DAC＝12×tan60°＝12（cm），∴BD＝CD﹣BC＝（12﹣12）cm．答：另一条直角边没有重叠部分BD的长为（12﹣12）cm．15．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC，在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得：BC＝2（+1）．16．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cos C＝，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC•cos C＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE+CE＝4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD﹣CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝．17．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°∴∠BCD+∠ACH＝90°∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得AC＝CH，∴CH：AC＝1：，∴sin B＝；（2）∵sin B＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．∵∠CAH＝∠B，∴sin∠CAH＝sin B＝＝，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝2，∴BC＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．18．解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝AB＝3，∴AD＝BD＝3；（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．19．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD•tan∠BAD＝12×＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，∴AC＝＝＝13，∴sin C＝＝．20．解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴tan A＝＝＝，∴AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，∴BC＝＝10，∴sin B＝＝，cos B＝＝，∴sin B+cos B＝+＝．故答案为：21．解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD+DC＝+1。

北师版数学九年级下册期末专项复习提分练-2解直角三角形及其应用

期末提分练案
8．(12 分)如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡度为 3∶ 1，坡长 AB＝20 3 m，为加强水坝强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处，使新的背水坡 BF 的坡度为 1∶1，求 AF 的长度(结果精确到 1 m，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
北师版九年级下
期末提分练案
第2讲解直角三角形及其应用第1课时达标训练
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期末提分练案
1．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交成的锐角为 α，若
期末提分练案
解：在 Rt△ADC 中，AC＝CD·tan∠ADC＝3·tan 60°＝3 3(m)．在 Rt△BDC 中，BC＝CD＝3 m， ∴AB＝AC－BC＝(3 3－3)m. 答：公益广告牌的高度 AB 为(3 3－3) m.
期末提分练案 (2)求加固钢缆 AD 和 BD 的长．
解：在 Rt△ADC 中，AD＝cos∠CDADC＝cos360°＝6(m)；在 Rt△BDC 中，BD＝cos∠CDBDC＝cos345°＝3 2(m)．答：加固钢缆 AD 的长为 6 m，BD 的长为 3 2 m.
期末提分练案 7．(12 分)某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行
救援．如图，救援队利用生命探测仪在地面 A，B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象，已知 A，B 两点相距 4 m，探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°，试确定生命所在点 C 的深度(结果精确到 0.1 m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)．

北师大版九年级数学下册1 解直角三角形巩固复习

1.4 解直角三角形（巩固复习）-北师大版九年级下册一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若S△ADE＝，sin∠CDE＝，则BC的长为（）A．5B．C．D．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°）（）A．3B．C．D．3．在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，那么下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．以上均不正确4．如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α（）A．B．C．D．5．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，则高BC是（）A．12sinα米B．12cosα米C．米D．米6如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．7如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，（）A．B．10C．D．158如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为（）A．B．C．D．9如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．10在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则AB的长可以表示为（）A．B．C．b⋅sinαD．b⋅cosα二．填空题11．如图，直线OA过点（4，3），则tanα＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么BC的长是．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为．14．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，则△ABC的面积等于．15．如图所示，在四边形ABCD中，CD＝10，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC 向终点C运动，DP，取AP中点N，求线段MN的最小值．三．解答题16．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，求AB；（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，AC＝1，求AB．17．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．（1）在AB边上求作点D，连接CD、使得∠CDB＝2∠A；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，当AB＝10，求sin∠CDB的值．18．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6．（1）求点P的纵坐标；（2）求∠α的正弦值、余弦值．19．（1）若a，b，c，d是实数，我们规定，当时（2）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点B的坐标为（4，3）．若tan∠BAO＝sin ∠BOA20．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AC＝7.2，BD⊥AC，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．（1）求：∠CBD的正切；（2）求的值．。

北师大版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用一知识讲解【学习目标】1.了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2 .会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题.【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ ABC中，/C=90° ,匕A ZB、/ C所对的边分别为a、b、c,则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.②锐角之间的关系：/A+Z B=90° .③边角之间的关系：a I）asi n 4 二一，co$ 4 二一，讪刃二一，bc 匕b a b,-，、广,I -.c c a④一一白& ——ck , h为斜边上的［Wj .2 2要点诠释：（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90° ），是已知值.（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解^要点诠释：1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算^2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键^解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解^拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母Q表示.. ,k 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离J的比叫做坡度，用字母i表示，贝Ijz-y=tana，如图, 坡度通常写成i=h: J的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.90°的水平角，叫做方向角，如图②中的南偏东45° ,南偏西80° ,北偏西60° . 45° ,西南方向指的是南偏西45° ,西使其转化为直角三角形或矩形(3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA PB, PC 的方位角分别为是 40° , 135° , 245° .(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于目标方向线 OA OB, OC OD 的方向角分别表示北偏东 30° , 特别如：东南方向指的是南偏东 45 ,东北方向指的是北偏东北方向指的是北偏西 45° . 要点诠释：1 .解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，来解.3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意 (关键弄清其中名词术语的意义 )，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.①【典型例题】类型一、解直角三角形C1.在Rt △ ABC中，ZB 90° , a、b、c分别是/ A Z 8 / C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形.（1）Z B=60° , a = 4;（2）a = 1, b =焰.【答案与解析】（1）Z A= 90 ° —Z B= 90° —60 ° = 30° .b由tan B =一知，b = a|_tan B =4 Ktan60 = 4\/3., a 站 a 4由cos B =—知，c = -------= -------- 7 = 8 -c cosB cos60b（2）由tanB=—=龙得Z B= 60 , Z A= 90 -60 = 30 .aa2+b2=c2, •• c = Ja2 +b2 =V4 = 2.【总结升华】解直角三角形的两种类型是：（1）已知两边；（2）已知一锐角和一边.解题关键是正确选择边角关系.常用口诀：有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦（斜边）用切（正切）.（1）首先用两锐角互余求锐角Z A,再利用/ B的正切、余弦求b、c的值；（2）首先用正切求出/ B 的值，再求/ A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.举一反三：【变式】（1）已知Z C=90° , a=2j? , b=2，求Z A、Z B和c; （2）已知sinA= - , c=6 ，求a 和b;3【答案】（1）c=4; Z A=60°、Z B=30° ;（2） a=4; b= 2^52. （2015?湖北）如图，AD 是^ ABC 的中线，tanB=』，cosC=^ , AC=J^.求：3 2(1)BC的长；(2)sin / ADC 的值.【答案与解析】解：过点A作AE ± BC于点E,cosC^^—,2... / C=45 °,在Rt△ ACE 中，CE=AC?cosC=1,AE=CE=1 ,在Rt△ ABE 中，tanB=Jl,即焚=1,3 BE 3••• BE=3AE=3 ,••• BC=BE+CE=4 ;(2) AD 是^ABC 的中线,••• CD=』BC=2 ,2••• DE=CD - CE=1 ,. AE±BC, DE=AE ,•••Z ADC=45 °,•••sin / ADC=也2【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用. 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3.（2016?盐城）已知△ ABC中，tanB=Z, BC=6 ,过点A作BC边上的高，垂足为点D,且满足3BD : CD=2 : 1,则^ ABC面积的所有可能值为 .【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得. 【答案】8或24.【解析】解：如图1所示：图1. • BC=6 , BD : CD=2 : 1 ,BD=4 ,-■ AD ± BC , tanB=—,3.AD_2—=,则AD于E,如图,BD 39 只. . AD=^BD= 一 ,3 3. oIs — 1 8… --S AABC ==BC?AD= = X 6X k =8;223'= -BD 3—9 一 - AD= —BD=8 ,3••• S AABC =【BC?AD=【X 6x 8=24 ;2 2综上，△ ABC 面积的所有可能值为 8或24, 故答案为8或24.【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键. 举一反三：【变式】（2015?河南模拟）如图，在等腰 RtAABC 中，/ C=90°,AC=6 ,D 是AC 上一点，若tanZ DBA=」,5•••/ C=90 °, AC=BC=6 ,ACB 为等腰直角三角形，AB^2AC=^2,•.•Z A=45 °,在Rt △ ADE 中，设AE=x，贝U DE=x , AD=姬乂,在Rt△ BED 中，tanZ DBE=^=±,BE 5BE=5x ,•••x+5x=6 如，解得x=J云. . AD=V^ >V2 =2.(2)在 Rt △ DEC 中,七却"=近=如,EC 3ZC类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用 C 4 .某过街大桥的截面图为梯形，如图所示，其中大桥斜面CD 的坡度为i =1： J 3 （i = 1: J 3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），CD 的长为10 m,大桥另一斜面 AB 的坡角/ ABCC= 45° .（1）写出过街大桥斜面 AB 的坡度；（2）求DE 的长；（3）若决定对该过街大桥进行改建，使 AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30° ,方便过路群众，改建后斜面为 AF,试计算此改建需占路面的宽度 FB 的长（结果精确到.0.01 m ）.【答案与解析】(1)作 A(^ BC 于 G Dd BC 于 E, 在 Rt △ AGB 中，Z AB 孚 45° , A8 BG........ AG••- AB 的坡度「=—兰=1 .BG=30 .又.. CD = 10 m . ... DE=1CD=5m 2 '(3) 由(1)知 A8 B8 5 m,在 Rt△ AFG 中，Z AF 孚 30° ,AG .35 -tan NAFG =常，即，解得 FB =5店—5 =3.66（m ）.答：改建后需占路面的宽度 FB 的长约为3.66 m .【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解.（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值.e/ 5 .腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30° ,底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60° （如图所示）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据扼=1.73）精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案与解析】过点C 作CN AB 于E./ 4 90° — 60° = 30° , / AC 孚 90° — 30° = 60° , Z CA 孚 180° - 30° - 60°=90° .. • CD = 10,AC = 1Ct> 5. 2在 Rt △ ACE 中， 5 AE= AC • sin Z ACE 5 x sin 30 =—, 2CA AC • cos Z ACE 5 x cos 30 ° = 5 构，2 在 Rt△ BCE 中，.• / BCE 45° ,AB = AE+BE=5+：X /3=5（V3 + 1）-6.8（米）.雕塑AB 的高度约为6.8米.【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊.B。