高中数学课时达标训练十三抛物线的简单几何性质新人教A版选修2_1

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人教A版高中数学选修1-1：2.3.2-1抛物线的简单几何性质同步课时练习

2.3.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质填一填1.抛物线的标准方程与几何性质焦点在x正半轴上焦点在x负半轴上焦点在y正半轴上焦点在y负半轴上标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0) 图形性质顶点(0,0)对称轴x轴y轴焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R离心率e＝1P(x0，y0)是抛物线上一点|PF|＝p2＋x0 |PF|＝p2－x0|PF|＝p2＋y0|PF|＝p2－y02．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：(1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝2psin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2＝p24；(3)y 1y 2＝－p 2.(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(5)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p.3．过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p .判一判1.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)解析：抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．不是中心对称图形，故错误．2．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(√)解析：由抛物线通径的定义知正确． 3．任何抛物线的离心率e ＝1.(√)解析：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比是离心率，由抛物线定义可知e ＝1，故正确．4．抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是8.(×) 解析：抛物线y 2＝8x 的准线是x ＝－2，由条件知P 到y 轴距离为4，所以点P 的横坐标x P ＝4.根据焦半径公式可得|PF |＝4＋2＝6.故错误．5．抛物线y 2＝2ax 的开口向右．(×)解析：a >0时开口向右，a <0时开口向左，故错误．6．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)则准线方程为x ＝－1.(√)解析：p2＝1，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1，故正确.想一想1.提示：抛物线有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线． 2．影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？提示：参数p 影响抛物线的开口大小，p 值越大，抛物线开口越阔，p 值越小，开口越扁狭．思考感悟：练一练1．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点(2,0)到直线x －3y ＝0的距离，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－0|2＝1，故选D.答案：D2．下列双曲线中，有一个焦点在抛物线x 2＝2y 准线上的是( ) A ．8x 2－8y 2＝1 B ．20x 2－5y 2＝1 C ．2x 2－2y 2＝1 D ．5y 2－20x 2＝1解析：因为抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，所以双曲线的焦点在y 轴上，双曲线5y 2－20x 2＝1的焦点在y 轴且为⎝⎛⎭⎫0，12满足条件．故选D. 答案：D3．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________．解析：2p ＝4所以p ＝2，所以焦点到准线的距离是2. 答案：24．如果P 1，P 2，P 3，…是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标x 1，x 2，x 3，…，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝20，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 018F |＝________.解析：∵P 1，P 2，…是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，F 是抛物线C 的焦点， x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝20，∴|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 018F |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋…＋(x 2 018＋1) ＝x 1＋x 2＋…＋x 2018＋2 018＝2 018＋20＝2 038. 答案：2 038知识点一由抛物线的标准方程研究几何性质在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 解析：依题意设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .故选C.答案：C2．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________．解析：由e ＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . 答案：x 2＝4y3．已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax 中，解得：a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得：2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴ 焦点坐标为(1,0)．知识点二由抛物线的几何性质求标准方程4.( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2y 或x 2＝－2yC ．x 2＝4yD ．x 2＝4y 或x 2＝－4y解析：由题设知抛物线的焦点坐标为(0,1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝－4y .故选D.答案：D5．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36xB ．y 2＝－36xC ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x解析：设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C.答案：C知识点三焦点弦问题6.已知F |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.故选C. 答案：C 7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．4B ．2C ．1 D. 3解析：设A ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，根据抛物线的定义知|AF |＝d ＝x ＋p 2＝y 22p ＋p 2＝4，又k ＝y x －p 2＝y y 22p －p2＝3，联立解得p ＝2，故选B. 答案：B8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.基础达标一、选择题1．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到y 轴的距离 B ．F 到准线l 的距离 C ．F 的横坐标D ．F 到抛物线上一点的距离解析：∵焦点到准线的距离为2p ，∴p 表示点F 到y 轴的距离．故选A. 答案：A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.答案：B3．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B.答案：B4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点A (1，a )(a >0)在C 上，|AF |＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB |的值是( )A ．12B ．10C ．9D ．4.5解析：∵直线AB 过焦点F ，∴x 1x 2＝14p 2＝4，又x 1＝1，∴x 2＝4，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝9，故选C.答案：C5．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，a >0.S △AOB＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，∴△AOB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.故选D. 答案：D6．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 为C 上的动点．则|FM |的最小值为( ) A ．1 B ．2C ．4D ．不存在解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以|FM |的最小值为点M 到准线x ＝－1距离的最小值，即为1.答案：A7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵点M 到焦点F 的距离等于M 到准线x ＝－p2的距离，∴x M ＋p2＝2p ，∴x M ＝32p ，将其代入抛物线方程解得y M ＝±3p ，∴k MF ＝y M －0x M －p 2＝±3，故选A.答案：A 二、填空题8．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为________．解析：∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上， ∴p2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.答案：－349. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.设P (x 0，y 0)，又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，则PF ＝x 0＋1＝3，所以x 0＝2.答案：210．若双曲线x 2m－y 2＝1(m >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m 的值是________．解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，双曲线的右焦点坐标为(m ＋1，0)，故m ＋1＝2，解得m ＝3.答案：311．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点F (2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，不妨取y ＝34x ，即3x －4y＝0，所以焦点F 到渐近线的距离为|6|32＋(－4)2＝65.答案：6512．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．解析：由抛物线方程可得，焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c )．故p2＝c ，将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a .又抛物线通径为2p ，所以2p ＝2b2a＝4c ，所以b 2＝a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.答案：2－1 三、解答题13．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程； (2)m 的值．解析：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.14．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解析：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4， ∴12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x能力提升15.已知直线l A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解析：(1)方法一：因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝5＋3＝8.方法二：由2p ＝6，α＝60 °，|AB |＝2psin 2α＝8(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．若|AF |＝4，(1)求点A 的坐标； (2)求|AB |的长．解析：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3. 代入y 2＝4x ，解得 y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)方法一：由第一问知x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.方法二：因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课堂达标效果检测新人教A版选修2-1

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课堂达标效果检测新人教A版选修2-1 "1.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.12【解析】选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知P到y轴距离为4,=4.所以点P的横坐标xP根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.).若点M到该抛物线焦点的距离为2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y3,则|OM|=( )A.2B.2C.4D.2)在此抛物线上,所以【解析】选B.由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y=8,于是|OM|==2,故选B.3.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 .【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所以p=,所以B点到准线的距离为+=p=.答案:4.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为.【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,所以PM垂直抛物线的准线,设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,F(1,0),所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,所以等边三角形边长为4,其面积为4.答案:45.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,求点A的坐标. 【解析】由y2=4x,知F(1,0),因为点A在y2=4x上,所以不妨设A(,y),则=(,y),=(1-,-y).代入·=-4中,得(1-)+y(-y)=-4,化简得y4+12y2-64=0.所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).。

高中数学 2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质精品同步导学新人教A版选修2-1

• 1．抛物线的几何性质
y2＝2px 类型
(p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图象
类型
y2＝
y2＝－
x2＝
x2＝－
2px(p>0) 2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)
焦点
p2，0 －p2，0 0，p2
0，－p2
准线
x＝－p2
x＝p2
[策略点睛]
[解题过程] 由已知抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上，故可设抛物线方程为 y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆 x2＋y2＝4 的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线 y2＝ax(a≠0)与圆 x2＋y2＝4 都关于 x 轴对称， ∴点 A 与点 B 关于 x 轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2 3， ∴|y1|＝|y2|＝ 3，
A．8
B．10
C．6
D．4
• 解析： ∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2. • ∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， • ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.故选B. • 答案： B
• 3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 ________．
1．若双曲线x32－1p62y2＝1 的左焦点在抛物线 y2＝2px(p>0)的准线
上，则 p 的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．4 2
解析：由题意知
3＋1p62 ＝p2，
解得 p＝4.
• 答案： C

高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.4.2抛物线的简单几何性质(含答案)

2.4.2抛物线的简单几何性质一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于()A．8B．10C．6D．4[答案] A[解析]由题意，|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6＋2＝8，选A.2．(2013·新课标Ⅰ文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2C．2 3 D．4[答案] C[解析]设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋2＝42，x0＝32，代入抛物线的方程，得|y0|＝26，S△POF＝12|y0|·|OF|＝23，选C.3．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k 等于()A．4 B．4或－4C．－2 D．－2或2[答案] B[解析]由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p，∵|PF|＝4∴p2＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4.4．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点() A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)[答案] B[解析]∵圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．5．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2 B． 3C ．2D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3，又ba＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B. 6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)．如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B . 又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ， ∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.二、填空题7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.[答案] ±2 3[解析] 设正三角形边长为x . 363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23，当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.8．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是________________．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．三、解答题9．(2013·福建文，20)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．[解析] (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 22x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.10．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[分析] 如图所示，线段AB 中点到y 轴距离取最小值时，其横坐标取最小值，因此，只要A 、B 两点的横坐标之和取最小即可．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝| BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ，由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2， ∴y 1＋y 2＝±22，∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.[点评] 本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程求解，这样解答简捷准确．一、选择题11．(2014·荆州中学期中)抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( )A.102B ．2 C. 5 D ．52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 12．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1，即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题13．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________________．[答案] (－9，－6)或(－9,6)[解析] 由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)．14．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题15．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切．[解析] 如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，M 为AB 的中心，作MM ′⊥l 于M ′，则由抛物线定义可知|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，在直角梯形BB ′A ′A 中，|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，即|MM ′|等于以|AB |为直径的圆的半径．故以|AB |为直径的圆与抛物线的准线相切．16．一抛物线拱桥跨度为52m ，拱顶离水面6.5m ，一竹排上载有一宽4m ，高6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)，设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y . 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－126，∵6.5－126>6，∴能安全通过．17．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．18．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[分析] (1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．[解析] (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又F (32，0)，所以直线l 的方程为y＝3(x －32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质

②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
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探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴

高中数学人教A版选修2-1课时作业2.4.3 抛物线的简单几何性质(2) Word版含解析

第二章课时作业一、选择题．设过抛物线＝(>)的焦点的弦为，则的最小值为( )．．．无法确定解析：由题意得当⊥轴时，取最小值，为.答案：．[·四川省成都七中期中考试]抛物线＝的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当△为等边三角形时，其面积为( ). .. .解析：本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系．据题意知，△为等边三角形，＝＝，∴⊥抛物线的准线．设(，)，则(－，)，等边三角形边长为＋，又由()，＝，得＋＝，得＝，∴等边三角形的边长为，其面积为，故选.答案：．抛物线＝与直线＝＋(≠)交于、两点，且此两点的横坐标分别为，，直线与轴交点的横坐标是，则恒有( )．＝＋．＝＋．＋＋＝．＋＋＝解析：联立(\\(＝＝＋，))则－－＝，则＋＝，＝－，＝－.则－＝·，即＝(＋)，选项正确．答案：．[·大纲全国卷]已知抛物线：＝与点(－)，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若·＝，则＝( ) . .. .解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为()，则直线方程为＝(－)，与抛物线方程联立，消去化简得－(＋)＋＝，设点(，)，(，)，则＋＝＋，＝，所以＋＝(＋)－＝，＝[－(＋)＋]＝－，因为·＝，所以(＋)(＋)＋(－)(－)＝(*)，将上面各个量代入(*)，化简得－＋＝，所以＝，故选.答案：二、填空题．已知正三角形的三个顶点都在抛物线＝上，其中为坐标原点，则△的外接圆的方程是．解析：由抛物线的性质知，，两点关于轴对称，所以△外接圆的圆心在轴上．设圆心坐标为()，并设点在第一象限，则点坐标为(，)，于是有()＝×，解得＝，所以圆的方程为(－)＋＝.答案：(－)＋＝．若直线＝－与抛物线＝交于，两点，则线段的中点坐标是．解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设(，)，(，)，联立方程得(\\(＝－＝))，整理得－＋＝，由根与系数之间的关系知＋＝，＋＝(＋)－＝，所以线段的中点坐标为()．答案：()．直线＝＋交抛物线＝于，两点，为抛物线的顶点，⊥，则的值为．解析：由(\\(＝＋＝()))，得－－＝，设直线与抛物线的两交点为(，)，(，)．由根与系数的关系，得＋＝，＝－，于是＝()＝，由⊥知＋＝，故－＝，解得＝或＝(不合题意，舍去)．答案：三、解答题．[·黑龙江省哈尔滨三中期末考试]已知＝＋与抛物线＝交于、两点．()若＝，求实数的值；()若⊥，求实数的值．解：由(\\(＝＋＝))，得＋(－)＋＝.设(，)、(，)，则＋＝－，·＝，·＝(＋)＋·＋＝.()因为＝＝·＝，所以＝.()因为⊥，所以＋＝＋＝，解得＝－，＝(舍去)．．已知抛物线：＝(>)，焦点为，其准线与轴交于点；椭圆：分别以、为左、右焦点，。

2017-2018学年高中数学选修2-1课时达标检测十三抛物

课时达标检测（十三）抛物线的简单几何性质一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0，即p 2＝112， ∴p ＝11，∴抛物线的方程是y 2＝－22x .2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ， ① OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )， OA ―→·AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4.② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→ |＋|FB ―→|＋|FC ―→|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→ |＋|FC ―→ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5.(全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 二、填空题6．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的方程是________________．解析：顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py 或x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线的方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .答案：x 2＝16y 或x 2＝－16y7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52.因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案：728．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________. 解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p .所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13. 答案：13三、解答题9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个正三角形的边长．解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又因为|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. 因为x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .10.已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∵直线与抛物线相交于A ，B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。

2019-2020学年高中数学人教版选修2-1课时达标检测(十三) 抛物线的简单几何性质 Word版含解析

课时达标检测（十三）抛物线的简单几何性质一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0得x ＝－112， ∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0，即p 2＝112， ∴p ＝11，∴抛物线的方程是y 2＝－22x .2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF―→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22) B ．(1，±2) C ．(1,2) D ．(2,22) 解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )，AF ―→·AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4，②由①②可解得x ＝1，y ＝±2.4．(新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6C ．12D ．73解析：选C 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.5.(新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y202p ，y0－2. 由已知得，AM ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.二、填空题6．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是________________．解析：顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py 或x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线的方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .答案：x 2＝16y 或x 2＝－16y7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52. 因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 答案：728．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF||FB|＝________. 解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF||BF|＝13. 答案：13三、解答题9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个正三角形的边长．解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B(x2，y2)，则y21＝2px1，y2＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x2＋y2，即x21－x2＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝33x1，与y21＝2px1联立，解得y1＝23p.所以|AB|＝2y1＝43p.10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋p 2，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±23.∴点A的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得错误!消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A，B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝2＋4 k2 .由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k2＞4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.。

秋高中数学课时作业13抛物线的简单几何性质新人教A版选修2-1(2021年整理)

2018年秋高中数学课时分层作业13 抛物线的简单几何性质新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学课时分层作业13 抛物线的简单几何性质新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业（十三) 抛物线的简单几何性质(建议用时:40分钟）［基础达标练]一、选择题1．方程y＝－2错误!所表示曲线的形状是( )D［方程y＝－2错误!等价于错误!故选D。

]2．过抛物线C:y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则｜AB｜＝( )A．16 B．12 C．10 D．8B［由题意知p＝6，故|AB｜＝x1＋x2＋p＝12。

］3．过点（2，4）的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点,这样的直线有（)【导学号：46342115】A．1条B．2条 C．3条D．4条B[点(2，4）在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.］4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（)A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2B[易知抛物线的焦点为F错误!，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－错误!，即x＝y＋错误!，代入y2＝2px得y2＝2p错误!＝2py＋p2,即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得y＋y21＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标),所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－21。

【复习指导】2020年高中数学课时达标训练十三抛物线的简单几何性质新人教A版选修2_1

课时达标训练（十三）抛物线的简单几何性质[即时达标对点练]题组1 抛物线的几何性质1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22x D ．y 2＝22x 题组2 抛物线的焦点弦问题3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．644．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB 的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 25．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．6．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．题组3 直线与抛物线的位置关系7．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点8．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．在抛物线y 2＝2x 上求一点P .使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．10．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．[能力提升综合练]1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p2 B ．p C ．2p D ．无法确定2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－23．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．1204．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－455．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________．6．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________．7．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．(1)证明：y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)求1|AF |＋1|BF |的值．8．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过原点O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．答案即时达标对点练1. 解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 2. 解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0，即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.3. 解析：选B 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0.∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 4. 解析：选B k OA ·k OB ＝＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2，根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，故k OA ·k OB ＝－p2p24＝－4.5. 解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：86. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94.答案：947. 解析：选C ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)， ∴直线过点(1，0)．又点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部．∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 8. 解析：选C 准线x ＝－2，Q (－2，0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，即交点为(0，0)，当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1，1]．9. 解：法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝||（y 0－1）2＋522，当y 0＝1时，d min ＝524，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0， ∴m ＝12.∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－122＝524，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.10. 解：过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |，又2|BF |＝|BC |，∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°. 又|AF |＝3，∴|AA ′|＝3，|AC |＝6，|FC |＝3. ∴F 到准线距离p ＝12|FC |＝32.∴y 2＝3x .能力提升综合练1. 解析：选C 当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 即为抛物线的通径，长度等于2p .2. 解析：选B 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.3. 解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1.又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AFA 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO . 于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1，故∠A 1FB 1＝90°.4. 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.5. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4， ① ∵|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|FA |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2. ② 由①②得x 2＝1，∴B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.答案：2236. 解析：抛物线的焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得|x |＝ 3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p＝3＋p 24p＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 答案：67. 解：(1)证明：过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.由韦达定理得y 1y 2＝－p 2. 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝（y 1y 2）24p 2＝p 24. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时，x 1x 2＝p 24，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2.(2)设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.∴x 1＋x 2＝p （k 2＋2）k 2，x 1x 2＝p 24.又|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . |AF |·|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝p 2(x 1＋x 2＋p )＝p2()|AF |＋|BF |，即|AF |＋|BF |＝2p·|AF |·|BF |，∴1|AF |＋1|BF |＝2p. 当直线AB 的方程为x ＝p2时，x 1＝x 2＝p2，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴|AF |＝|BF |＝p ，∴1|AF |＋1|BF |＝2p.8. 解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，⇒A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，⇒A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1，同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2，所以＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1 ＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，A 1C 1∥A 2C 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，故S 1S 2＝p 21p 22.。

高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修21

2.4.2 抛物线的简单几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为p，焦点到顶点的距离为________．22．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．3．抛物线的焦点弦设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．(1)以AB为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋______.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB .1C ．4aD .4二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2(m≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离． 2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2 抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x ≥0 右增大 (2)x 轴抛物线的轴 (3)顶点坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两一没有平行或重合一3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎪⎫|P 2F |－p 2，所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.] 3．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，令x＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a4＝a2，|QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .]7．y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p23p 2＋p 2＝13. 10．解由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 11．解方法一设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0.12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]13．解由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋4k2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k2>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.。

人教新课标版数学高二选修2-1课时作业13抛物线的简单几何性质

一、选择题1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y【解析】由题意p 2＝5，∴p ＝10，且焦点在y 轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x 2＝20y .【答案】 B2．(2013·佛山高二检测)P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A ，B ，P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|，|BB 1|，|PP 1|，则有( )A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1|B ．|PP 1|＝12|AB |C ．|PP 1|＞12|AB |D ．|PP 1|＜12|AB |【解析】如图所示，根据题意，PP ′恰巧是梯形AA ′B ′B的中位线，故|PP 1|＝12|AB |.【答案】 B3．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( )A.18B.14C.12 D ．1【解析】由⎩⎨⎧ y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切，∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根．∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.【答案】 B4．(2013·莆田高二检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎨⎧ y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2 ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1.【答案】 B5．(2011·课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，依题意，l ⊥x轴，且焦点F (p 2，0)，∵当x ＝p 2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p 2＝p ＝6，故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.【答案】 C二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为：x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴此点坐标为(18，±24)．【答案】 (18，±24)7．(2013·蒙阴高二检测)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.【解析】当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得：k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94.【答案】 94三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M (0，－p 2)．∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋(y 0＋p 2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，8＝2p (3－p 2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB→＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8.化简得x 2＝2y .(2)证明将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)，整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.因为y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，所以y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.因为OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以OC ⊥OD .11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F (32，0)，所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.。