知识点10 极限存在的两个准则

例10.8(难度系数0.6) 设 a 0 ， a1 a ， a2 a1 ， ， an an 1 ，求 lim an .
n
a 2
a n
解析：本题可由两种方法求解，一种是利用单调有界准则判定极限存在，即 判定数列单调有界，则其必有极限.另一种是利用夹逼准则进行求解. 解一：因为 an 0 ，所以 an 有下界. 因为 lim
n
a a a ， k 1 k 2 k 3
k 项项 nk a a a a a a a a a a k a a k 1 1 对于任意的 n k ，有 0 . n ! 1 2 3 k k 1 k 2 n 1 n k ! n k ! n
n n n n n n 2 2 2 (n 1) (n 2) ( n n) (n 1)(n 2) (n 2)(n 3) (n n)(n n 1) n n n n n n ， 2 2 2 (n 1) (n 2) ( n n) n(n 1) (n 1)(n 2) (n n 1)(n n)
解析：因 f ( x) 有界可推出 f ( xn )有界. 又因 f ( x) 单调，且 xn 单调可推出
f ( xn )单调.由单调有界准则知，数列 f ( xn )收敛，故选择（B）.
解：(B).
例10.2(难度系数0.2)
lim xn .
n
设数列 xn 满足 0 x1 ， xn 1 sin xn (n 1, 2,) .求
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点10 极限存在的两个准则 精选习题 作者：邹群
例10.1(难度系数0.2) 设函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界， xn 为数列，则下列命题正确的是（ ）. (A)若 xn 收敛，则 f ( xn )收敛 (C)若 f ( xn )收敛，则 xn 收敛 (B)若 xn 单调，则 f ( xn )收敛. (D)若 f ( xn )单调，则 xn 收敛.
n
解析：利用单调有界准则进行证明.注意:此题用除法
但是从此式发现,若a的值接近1时,开始数列单调递增,到后来才递减！但是这不 影响大家用此准则,因为数列极限与前面有限项的情况无关,因此可用极限的方 法证明数列后面是单调递减. 证明：记 xn 因为 lim
n ，则 xn 0 ，故 xn 有下界. an
n
记 lim xn a ，对 xn 1 sin xn 两端取极限，得 a sin a ，即 a 0 ，则 lim xn 0 .
n n
例10.3(难度系数0.4) 设 0 xn 1 ， xn 1 (1 xn ) （ n 1, 2, ），证明数列
n
例10.6(难度系数0.2)
1 2 n 2 2 ). n n 1 n n 2 n nn
2
解析：本题通过夹逼准则求极限，要特别注意数列的放缩.放缩的侧重点在于 “次要部分”，也可以说成是“抓小头”.注意：放缩的目的始终是为了便于计算. 解：
1 2 n n(n 1) 1 2 n 2 2 2 2 n n 1 n n 2 n n n 2(n 2n) n nn
xn 1 xn
2 1 4 xn 4 x n (1 2 xn ) 2 1 xn 0 ，所以 xn 单调增加. 4(1 xn ) 4(1 xn ) 4(1 xn )
xn 1 判 xn
1 4
1 ，因 4(1 xn )
又因为 0 xn 1 ，所以 xn 有上界. 由单调有界准则知， xn 必有极限. 设 lim xn A ，对 xn 1 (1 xn ) 的两边取极限，得 A(1 A)
所以
n n n n n 1 . 2 2 2 n 1 2n 1 (n 1) (n 2) ( n n) 2
因为 lim(
n
n n 1 1 1 n n n ) ， lim ， 所以 lim[ ]. 2 2 n n n 1 2n 1 2 2 2 (n 1) (n 2) ( n n) 2
即将
a a a ， ， ， 放大为1. k 1 k 2 n 1 a n a k 1 1 a k 1 1 即对于任意的 n k ，有 0 ，因为 lim 0 ，所以由夹逼准则 n k ! n n! k! n
an 0. n n !
可得
lim an lim
n
xn 1 x n 1 1 lim 1 ，所以存在 N ， 当n N 时， n 1 1 ，故当 n xn na a xn
n N 时， xn 单调递减.由单调有界准则知， xn 必有极限.
n 1 n 1 n n 1 n n 1 n x ，则 lim xn 1 lim lim xn ，可 n 1 n n a na a na na n 1 1 n 得 A A ，即 A(1 ) 0 A 0 ，故 lim n 0 . n a a a
解析：遇到给出一个递推等式或不等式的数列,欲求证明其极限存在并求极 限,这是典型的利用单调有界数列必有极限准则做题的题型.此类题型一般在证明 的具体操作上有些技巧,此题无技巧. 解：由 0 x1 ，得 0 x2 sin x1 x1 .设 0 xn ，则 0 xn 1 sin xn xn ，所以 xn 单调递减且有下界，故 lim xn 10 ，
xn 1 6 xn ( n 1, 2,3, )，试证数列 xn 极限存在，并求此极限.
解析：本题一样可以用单调有界准则证明.这里我们换一个思路，先假设极限 存在,“揪出”极限值，再通过原始的证明极限的方法来证明此极限.这也是一种好 方法. 证明：由数列的初值及递推关系式显然有 xn 0 ，所以 xn 1 6 xn 6 2 ， 因此，若数列有极限 a ，则 a 0 . 假定数列有极限 a ，则对递推公式取极限有 a 6 a ，即 a 3, ( 2 与题意不 符舍去). 事实上，3确实是数列 xn 的极限，因为
n
1 4
1 ，化简得 4
4 A2 4 A 1 0 ，即 (2 A 1) 2 0 ，故 A
1 1 ，即 lim xn . n 2 2 n 0 (a 1) . an
xn 1 n 1 判断单调性, xn na
例10.4(难度系数0.4)
证明： lim
n
例10.9(难度系数0.4) 证明： lim sin( n 2 1) 0 .
n
解析：本题可由两种方法证明，一种是利用夹逼准则进行证明，另一种是利 用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小来证明. 证一：因为 0 sin( n 2 1) sin[n ( n 2 1 n)] (1) n sin[ ( n 2 1 n)]
1 4
xn 的极限存在，并求此极限.
解析：利用单调有界准则进行证明.此题已经给出数列有界,只需要证明单调, 证明单调一般有两种方法,一种是通过减法 xn 1 xn 判断,一种是通过除法 断. 证明：因为 0 xn 1 ，所以 0 1 xn 1 ，由 xn 1 (1 xn ) 可得 xn 1 为
设 lim xn A ，由 xn 1
n
例10.11(难度系数0.4) 设 x1 1, xn 1
xn 1 ，求 lim xn . n 1 xn 1
解析：用单调有界准则时,有一个小技巧,就是证明有界比证明单调一般更简 单,甚至证明单调性常常需要用有界性.本题先用数学归纳法证明数列 xn 单调递 增且有上界，再通过单调有界准则判定其极限存在，最后利用数列的递推关系来 求极限. 解：由 x1 1, xn 1
xn 1 1 易见 xn 0 ， xn 2 2 ，故 xn 有上界， 1 xn 1 1 xn 1
用数学归纳法证明 xn 单调递增:首先有 x1 1, x2
xn 1 2
3 1 x1 ，现设 xn xn 1 ，则 2
1 1 2 xn ，故 xn 递增.所以由单调有界准则可知， lim xn 存在. n 1 xn 1 xn 1
n
a a an ，所以 lim an 1 lim lim an ，得 n n n 1 n n 1
A 0 A 0 ，
故 lim an 0 .
n
解二：显然 an
an . n!
对于 a ，对于任意的 k ，当 a k ，有 1
| xn 1 3 || 6 xn 3 | 1 1 1 | xn 3 | | xn 3 | 2 | xn 1 3 | 3 3 6 xn 3

1 | x1 3 | 3n
因为 n 时,
1 | x1 3 | 0 ,因此 lim xn 3 n 3n lim(
2
1 2 n 1 2 n n(n 1) ， 2 2 2 n n 1 n n 2 n nn n n 1 2(n 2 n 1)
2
因为 lim
n(n 1) 1 n(n 1) 1 ， lim ，由夹逼准则可得 2 2 n 2( n 2n) n 2( n n 1) 2 2

n
n
n

而
n n n 1 1 n n ， n( ) (n 1)(n 2) (n 2)(n 3) (n n)(n n 1) n 1 2n 1 n 1 2n 1 n n n 1 1 1 1 n( ) 1 ， n(n 1) (n 1)(n 2) (n n 1)(n n) n 2n 2 2