正态分布性质研究

正态分布性质

正态分布定义：若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为

σ√2π

2 2σ

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。

μ。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降

（4） 在正态曲线下方和x 轴上方范围内区域面积始终为1。3σ原则：

P （μ-σ

在实际应用中，通常认为服从正态分布N （μ，σ2）的随机变量只取（μ−3σ，μ+3σ）之间的值，并称为3σ原则。

正态分布的线性性质

（1）X~N(0，1),Y=-X,则Y~N(0，1)

证：Y 的分布函数F （y ）可表示为：

F （y ）=P(Y ≤y)=P(-X ≤y )=P(X ≥−y )=1-Φ（-y ） =1-[1-Φ(y)]= Φ(y) 故Y~N(0，1)

(2)设随机变量x~N （μ，σ2），当b ≠0时有Y=a+bx~N(a+b μ,b 2σ2) 证明：令Z=

Y−（a+bμ）

|b|σ

当b>0时，Z=

a+bx−(a+bμ)bσ

=

x−μ

σ

故Z~N(0，1),从而Y~N(a+b μ,b 2σ2) 当b<0时，Z=

a+bx−(a+bμ)

−bσ

=−(

x−μσ

)

根据性质（1），因为

x−μ

σ

~ N(0，1)，所以Z~N(0，1)

则Y~N(a+b μ,b 2σ2)