2018高中数学必修四课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质2 精讲优练课型 精品

是( )
A.sinα<sinβ
B.cosα<sinβ
C.cosα<cosβ
D.cosα>cosβ
2.(2015·天津高一检测)比较大小：cos 3 ____ sin( 15 ).(填“>”
14
8
或“<”)
【解题探究】1.典例1中，由α，β为锐角三角形的两个内角，可知
α+β与 有什么关系？
2
提示：α+β> .
6
6
大值、最小值有什么关系？
提示：由于-b<0，当cos(2x+ )取得最大(小)值时，y=a-bcos(2x+ )
知识点2 正弦函数、余弦函数的最值 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：对于x∈R，sinx和cosx的取值是否也是任意实数？ 问题2：函数y=sinx，x∈D的最大值必为1吗？
【总结提升】 对正弦函数、余弦函数最值的三点说明 (1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1. (2)函数y=sinx，x∈D，(y=cosx，x∈D)的最值不一定是1或-1，要 依赖函数定义域D来决定. (3)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体 代换”，即令ωx+φ=Z，将函数转化为y=AsinZ的形式求最值.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
【知识提炼】 正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数
图象
值域
_[_-_1_，__1_]_
余弦函数 _[_-_1_，__1_]_
正弦函数 在_[_2_k____2_,_2_k____2_]_
(k∈Z)上递增，在 单调性 __[2_k____2_,_2_k___23___]_
2
5.函数y=cosx在区间[-π，a]上为增函数，则a的范围是________. 【解析】y=cosx在区间[-π，0]上为增函数，故由题意知[-π， a]⊆[-π，0]，所以-π<a≤0. 答案：(-π，0]
【知识探究】 知识点1 正弦函数、余弦函数的单调性 观察图形，回答下列问题：
问题1：正弦函数、余弦函数的单调递增(减)区间是唯一的吗？ 问题2：正弦函数、余弦函数单调区间之间有什么关系？
2
所以cos 32°>cos 36°，所以-cos 32°<-cos 36°， 即cos(-508°)<cos(-144°). 答案：<
【补偿训练】用“＞”“＜”或“=”填空：
1sin _______ sin .
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11
2sin 13 ______ sin .
6
3
3sin 13 ______ sin 3 .
3
得kπ- ≤ x≤kπ+ ，k∈Z.
6
3
设A=［0，π］，B {x | k x k ，k Z}，
6
3
则A∩B=[0，] [5，]，
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所以函数y=
(
1
cos (
)
2，x3x) ∈［0，π］的单调递增区间是[0，
3
]和[
3
5
6
，π].
类型二 利用正弦函数、余弦函数单调性比较大小
【典例】1.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的
2.在下列区间中，使函数y=sinx为增函数的是( )
A.[0，π]
B. [ ，3 ]
22
C. [ ， ]
22
D.[π，2π]
【解析】选C.由正弦曲线知y=sinx在[ ， ]上是增函数.
22
3.函数y=3-2cosx的最大值为________，此时x=________. 【解析】因为-1≤cosx≤1， 所以当cosx=-1时ymax=3-2×(-1)=5. 此时x=2kπ+π，k∈Z. 答案：5 2kπ+π，kin 13 sin(2 13) sin( 3) sin 3 .
8
8
8
8
答案：(1)＞ (2)＜ (3)=
类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题
【典例】1.(2015·延吉高一检测)函数y=cos2x+3cos x+2的最小值
为( )
A.2
B.0
C.1
D.6
2.(2015·宿迁高一检测)已知函数y=a-bcos(2x+ )(b>0)的最大值
4
[0， ]和[ ，5π].
8
8
3.(变换条件、改变问法)本例函数改为“y=log3sin(2x+ )”，求其
4
单调递减区间.
【解析】为使函数解析式有意义，须有sin(2x+ )>0.
4
因为函数y=log3x在(0，+∞)为增函数，
所以原函数的单调递减区间就是y=sin(2x+ )的递减区间，且要满足
(k∈Z)上递减.
x=_2___2_k__(k∈Z)时，
最值
ymax=1； x=__2___2_k_(k∈Z)时， ymin=-1.
余弦函数
在_[_2_k_π__-_π__，__2_k_π__]_ (k∈Z)上递增，在 _[_2_k_π__，__2_k_π__+_π__]_ (k∈Z)上递减.
x=_2_k_π__(k∈Z)时， ymax=1； x=_2_k_π__+_π__(k∈Z)时， ymin=-1.
(2)当A<0时，把ωx+φ整体放入y=sin x或y=cos x的单调增区间内， 求得的x的范围即函数的减区间；放入y=sin x或y=cos x的单调减区 间内，可求得函数的增区间. 2.复合函数单调区间的求法 (1)先求定义域. (2)分析内层、外层函数的单调性 (3)根据“同增异减”的法则写出单调区间.
4
+kπ]，k∈Z.
8
+kπ，3
8
2.(增加条件)本例函数后增加x∈［0，π］，其他条件不变，结果又
如何？
【解析】设A=［0，π］，B {x | 3 k x k，k Z}.
8
8
画数轴可知
A∩B=[0，] [5，]，
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所以函数f(x)= 2sin( (2xx∈) ［1 0，π］)的单调递增区间为
3
6
3
k∈Z.
【延伸探究】
1.(变换条件)本例函数改为“y=-3cos(2x+ )”，结果如何？
3
【解析】要求函数y=-3cos(2x+ )的单调递减区间，只要求函数
3
y=cos(2x+ )的单调递增区间.
3
由2kπ-π≤2x+ ≤2kπ，得
3
kπ- 2≤x≤kπ- ，k∈Z.
3
6
所以函数y=-3cos(2x+ )的单调递减区间为［kπ- 2，kπ- ］，
【题型探究】
类型一 正弦函数、余弦函数的单调性
【典例】(2015·淮安高一检测)已知函数f(x)=
2
sin(
4
+2x)+1，
求函数f(x)的单调递增区间.
【解题探究】本例中函数与以下三个函数有什么关系？
①u= +2x；②t=sinu；③y=
4
2 t+1
提示：①代入②，②代入③可得本题中函数.
【解析】令μ= +2x，函数y=sin μ的单调递增区间为[- +2kπ，
4
2
+2kπ]，k∈Z，
2
由 2k 2x 2k，
2
4
2
得 3 k x k，k Z.
8
8
所以函数f(x)= 2sin( 的2x单) 调1 递增区间是[- +kπ，3
4
8
+kπ]，k∈Z.
8
【延伸探究】
1.(变换条件)将本例函数改为“f(x)= 2cos( 2x) 1 ”，结果又如
2
2.因为 cos 3 cos( 2) sin 2，
14
27
7
sin(15) sin(2 ) sin ，
8
8
8
因为 2 且 0，
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y=sin x在[0，]上为增函数，
所以 sin 2 s即in 2， cos 3 sin(15).
7
8
14
8
答案：>
【方法技巧】比较两个三角函数值的大小的步骤 (1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数. (2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间. (3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．
3
3
6
k∈Z.
2.(增加条件、改变问法)求函数y=
(
1
cos
)
( 2x
3
)，x∈［0，π］的单调
3
递增区间.
【解析】因为函数y=(1)在x R上为减函数.
3
所以要求函数y=
(
1
cos (
)
2，x3x) ∈［0，π］的单调递增区间，
3
只要求y=cos(2x+ )，x∈［0，π］的单调递减区间，
3
由2kπ≤2x+ ≤2kπ+π，
【补偿训练】求函数y=3cos(2x+ )的单调递减区间.
3
【解析】令t=2x+ ，函数y=cos t的单调递减区间为［2kπ，
3
2kπ+π］，k∈Z.
由2kπ≤2x+ ≤2kπ+π得
3
kπ- ≤x≤kπ+ ，k∈Z.
6
3
所以函数y=3cos(2x+ )的单调递减区间为［kπ- ，kπ+ ］ ，