成都市重点名校2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含解析

成都市重点名校2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正切函数是奇函数，()()2
tan 2f x x =+是正切函数，因此()()
2
tan 2f x x =+是奇函数，以上推理
（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．以上均不正确
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。

【详解】
大前提：正切函数是奇函数，正确；
小前提：()()
2
tan 2f x x =+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；
结论：()()
2
tan 2f x x =+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；
结合三段论可得小前提不正确. 故答案选C 【点睛】
本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。

2．设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ B ．,,m n αβαβ⊥⊥⊂，则m n ⊥ C ．,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ D ．//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n 【答案】A 【解析】 【分析】
依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可. 【详解】
直线,m n 所在的方向向量分别记为,a b r r
，则它们分别为αβ，的法向量，
因αβ⊥，故a b ⊥r
r
，从而有m n ⊥，A 正确.
B 、
C 中,m n 可能平行，故B 、C 错，
D 中,m n 平行、异面、相交都有可能，故D 错.
综上，选A. 【点睛】
本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.
3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
516
B ．38
C ．
716
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】
设“东方魔板”的面积是4， 则阴影部分的三角形面积是1， 阴影部分平行四边形的面积是
12
则满足条件的概率1
13248
P +
=
= 故选：B 【点睛】
本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题． 4．在极坐标系中，圆cos()3
π
ρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23
π- B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π
-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+，化为213(cos )22ρρθθ=-
，∴221322
x y x y +=-， 化为221
31()(44
x y -++
=，
∴圆心为1(,4
4
-
，半径r=12． ∵
tanα=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
5．在二项式2
5
2()x x
-的展开式中，x 的系数为（ ）
A ．﹣80
B ．﹣40
C ．40
D ．80
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项，可得10315(2)r r r
r T C x -+=-，令3r =，即可求得x 的系数，得到答案.
【详解】
由题意，二项式2
52()x x
-的展开式的通项为251031552
()
()(2)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-， 令3r =，可得33
45(2)80T C x x =-=-，
即展开式中x 的系数为80-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．已知,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
………，则2z x y =+的最大值为（）
A ．
32
B ．32
-
C ．3
D ．-3
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域，通过截距式可求得最大值. 【详解】
作出可行域，求得(1,1)B --，11(,)22
A ，(2,1)C -,通过截距式可知在点C 取得最大值，于是
max 2213z =⨯-=.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果. 7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是
A ．()21
1
f x x x =-- B ．()21
1
f x x x =+- C ．()()
22
1
1f x x x =--
D ．()()
22
1
1f x x x =
+-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()01f =且()20f <，可依次排除,,A B D ，从而得到答案. 【详解】
由图象知，()01f =且()20f <
A 中，()01f =-，不合题意；
B 中，()01f =-，不合题意；
D 中，()21450f =+=>，不合题意；
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除. 8．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（ ）
A ．111
105133
15
C C C C B ．310
315
1-C C
C ．21221051053
15
+C C C C C D ．35
315
1-C C
【答案】C 【解析】
分析：题意所求情况分为两种，两白一红，两红一白，两种情况，列式为2122
105105C C C C +，除以总的事件
个数即可.
详解：3个球颜色不同，即分为：两白一红，两红一白，两种情况，列式为2122
105105C C C C +，总的事件个
数为315
C ，概率为2122
1051053
15
C C C C C +. 故答案为：C.
点睛：这个题目考差了古典概型的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 9．复数2
1i
- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
【答案】B 【解析】
分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
21i -()()()
21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．
点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 10．下列选项错误的是（ ）
A ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.
B ．命题 “若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”
C ．若命题“
2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”.
D ．若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，逆否命题的定义、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系依次对选项进行判断即可得到答案。

【详解】
对于A,由2320x x -+>可得2x >或1x <，即“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故A 正确；
对于B ，根据逆否命题的定义可知命题 “若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若
2320x x -+=，则1x =”，故B 正确；
对于C,由全称命题的否定是存在命题，可知若命题“
2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则
“2
000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”，故C 正确；
对于D,根据复合命题的真值表可知若“p q ∨”为真命题，则,p q 至少一个为真命题，故D 错误。

故答案选D 【点睛】
本题考查命题真假的判定，涉及到逆否命题的定义、充分条件与必要条件的判断、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系，属于基础题。

11．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ） A ．0a ≠且0b ≠ B ．a ，b 不全为0 C ．a ，b 中至少有一个为0 D ．a ，b 中只有一个为0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项. 【详解】
根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a ，b 全为0的否定是a ，b 不全为0，故选B. 【点睛】
本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题. 12．已知()215P AB =
，()2
5
P A =，那么()|P B A 等于（ ）
A ．
475
B ．
13
C ．
23
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件概率公式得出()()()
|P AB P B A P A =可计算出结果.
【详解】
由条件概率公式得()()()251
|1523
P AB P B A P A ==⨯=，故选B.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】
根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果. 【详解】
Q 城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.
本市共有城市数24 ,
∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本， ∴每个个体被抽到的概率是
61244
=， Q 丙组中对应的城市数8，
∴则丙组中应抽取的城市数为1
824
⨯=,故答案为2.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 14．已知正数x y ，满足23x y +=，则
212y x y
+的最小值____________．
【解析】 【分析】 根据条件可得2122212663
y y x y y x x y x y x y ++=+=++，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】 23x y +=Q ，
∴
212226y y x y
x y x y ++=+
211633
y x x y =
++…
=
，
当且仅当26y x x y =，即x y ==
∴
212y x y +．
． 【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题．
15．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____. 【答案】57
【解析】 【分析】
选出的男女同学均不少于1名有两种情况： 1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解. 【详解】
从5名男同学和2名女同学中选出3人，有3
735C = 种选法；
选出的男女同学均不少于1名，有12215252·
·25C C C C += 种选法； 故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：255
357
P == . 【点睛】
本题考查排列组合和古典概型. 排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.
16．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的33⨯的小方阵，要求同一军种不在同一行，
也不在同一列，有_____种排法 【答案】2592 【解析】 【分析】
假设海军为a ，空军为b ，陆军为c ，先将a ，b ，c ，填入
的小方阵，有12种填入方法，再每个a ，b ，
c 填入3名士兵均有3
36A =种，根据分步计数原理可得．
【详解】
解：假设海军为a ，空军为b ，陆军为c ，先将a ，b ，c ，填入33⨯的小方阵，则有3
3212A =种，每个a ，
b ，
c 填入3名士兵均有3
36A =种，故共有126662592⨯⨯⨯=，
故答案为：2592
a
b
c
b
c
a
c
a
b
【点睛】
本题考查了分步计数原理，考查了转化能力，属于难题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；
（2）求矩阵A 的特征值和特征向量； （3）若向量59β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
，求4A βu r
.
【答案】（1）2
0a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；
（3）先计算出126βαα=-+u r u u r
u u r ，再利用()
4444
121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案.
【详解】
（1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2
0a b =⎧⎨
=⎩
. （2）由（1）知2130A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=.
将11λ=-代入方程组()20
30
x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，
所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
u u r
. 再将13λ=代入方程组()20
30
x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，
所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
.
综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（3）设12m n βαα=+u r u u r u u r
，即5119313m n m n m n +⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得1
6m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，
所以()
4444
121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r
()441148516331489⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. 【点睛】
本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.
18．如图，已知点P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的任意一点，直线MN 与椭圆交于M ，N 两点，
直线PM ，PN 的斜率都存在．
（1）若直线MN 过原点，求证：PM PN k k ⋅为定值；
（2）若直线MN 不过原点，且0MN OP k k +=，试探究PM PN k k ⋅是否为定值． 【答案】（1）见解析（2）2
2PM PN b k k a
⋅=，详见解析 【解析】 【分析】
（1）设00(,)P x y ，11(,)M x y ，由椭圆对称性得11(,)N x y --，把点P ，M 的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式； （2）设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则00OP y k x =
，由0OP MN k k +=得：0
MN y k x =-，进而得到直线MN 的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元，得到
PM PN k k ⋅为定值.
【详解】
（1）当MN 过原点时，设00(,)P x y ，11(,)M x y ，由椭圆对称性得11(,)N x y --， 则2
201010122
010101PM PN
y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-． ∵P ，M 都在椭圆22
221x y a b +=上，∴22
00221x y a b
+=，2211221x y a b +=，
两式相减得：
222
2
0101220x x y y a b --+=，即22
20122201y y b x x a
-=--． 故2
2PM PN
b k k a
⋅=-．
（2）设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则0
OP y k x =，∵0OP MN k k +=， ∴00MN y k x =-
，设直线MN 的方程为0
y y x m x =-
+(0m ≠)， 联立方程组00
22
22
,1,y y x m x x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，
整理得2222222222
00000()2()0b x a y x ma x y x x a m b +-+-=． ∵P 在椭圆上，∴222222
00b x a y a b +=，
上式可化为22222
0002()0b x mx y x x m b -+-=．
∴00122
2mx y x x b +=，22
2
01202m x x x x b
=-， ∴222000
12122202()2()2y m b y mx y y x x m x b a -+=-++=
=， 2200001212121220000()()()y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x =-+-+=-++，
222
22000000222
002()y m x my mx y x m x x b b
=--⋅+ 222
2
22
000022(1)y m x m y y b a
=--=-，
∴2
1020120120()()()y y y y y y y y y y --=-++
222222
2200000000
222
22m x mx y m x mx y y y a a a -=--+=； 21020120120()()()x x x x x x x x x x --=-++
222222
2200000000
222
22m x mx y m x mx y x x b b b -=--+=． ∴2
10202
1020PM PN y y y y b k k x x x x a --⋅=⋅=--（定值）． 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，对综合运算能力要求较高，对坐标法进行深入的考查，要求在运算过程中要大胆、耐心、细心地进行运算.
19．已知不等式|1||21|3x x -++<的解集为M ． （1）求集合M ；
（2）设,a b M ∈，证明：||1||ab a b +>+． 【答案】（1）{|11}M x x =-<<;（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）使用零点分段法，讨论1x ≥，1
12x -
<<以及12
x ≤-的范围，然后取并集，可得结果. （2）根据（1）的结论，可得||1||||ab a b +>+，然后使用三角不等式||||||a b a b +≥+，可得结果. 【详解】
(1)当1x ≥时， ()1213f x x x x =-++=． 由()3f x <，得x 无实数解
当1
12
x -
<<时， ()1212f x x x x =-++=+． 由()3f x <，得1
12
x -<<
当1
2
x ≤-时， ()1213f x x x x =---=-．
由()3f x <，得112
x -<≤-
综上， {|11}M x x =-<< （2）,a b M ∈Q ，
1,1a b ∴-<<，即||1||1a b <<
(||1)(||1)0a b ∴-->，即||1||||ab a b +>+ 又||||||a b a b +≥+，||1||ab a b ∴
+>+ 【点睛】
本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，还考查三角不等式的应用，掌握零点分段的解法以及常用的一些不等式，比如：基本不等式，柯西不等式，属基础题.
20．有6本不同的书:(1)全部借给5人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人,每人至少1本,共有多少种不同的借法? 【答案】（1）1800；（2）540 【解析】
分析：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,即可得到答案；
（2）将6本书分成三份有3种分法，第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3人即可. 详解：(1)将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,共有2
5
65C A =1800种借法.
(2)将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本,一人1本,一人1本;第二种是一人3本,一人2本,
一人1本;第三种是每人各2本;然后再将分好的三份借给3人,有411222
32
362164263323
23C C C C C C C C ?A A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
=540种借法.
点睛：分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
21．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
（1）由以上统计数据填写下面22
⨯列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
临界值表
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）填表见解析；能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）先由统计数据可得22
⨯列联表，再由22
⨯列联表求出2
K的观测值，然后结合临界值表即可得解；（2）先确定X的可能取值，再求对应的概率，列出分布列，然后求出其期望即可得解.
【详解】
解：（1）由统计数据可得22
⨯列联表为：
根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()2
40941611 5.227 5.024********
k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. （2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为
15
8340
⨯=，则X 的可能取值为0，1，2，3. ()31131533091C P X C ===；()2111431544
191C C P X C ===；
()12114315662455C C P X C ===；()343154
3455
C P X C ===
. ∴X 的分布列为
所以()01239191455455455
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了独立性检验及列联表，重点考查了离散型随机变量的分布列及期望，属中档题. 22．设函数2
1()2ln ()2
f x x ax x a R =-+∈在1x =时取得极值． （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间．
【答案】（1）3；（2）()f x 的单调递增区间为()()0,1,2,+∞；单调递减区间为（1，2）． 【解析】 【分析】
（1）根据极值的定义，列出方程'
(1)0f =，求出a 的值并进行验证；
（2）利用导数的正负求单调区间. 【详解】
（1）'
2()f x x a x
=-+
， 当1x =时取得极值，则'
(1)0f =，
即：120a -+=，解得：3a =， 经检验，符合题意．
（2）由（1）得：2
1()32ln 2
f x x x x =
-+， ∴2(1)(2)
()3,(0)x x f x x x x x
--'=-+=
>, 令'
()0f x >解得：01x <<或2x >，令'
()0f x <0解得：12x <<， ∴()f x 的单调递增区间为(0,1),(2,)+∞；单调递减区间为(1,2)． 【点睛】
若一个函数存大两个或两个以上的单调递增区间或单调递减区间，则在书写时一般是用“，”隔开，或写一个“和”字，而不宜用符号“U ”连接.。