1、4角平分线(2)

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八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.

角平分线的性质和判定经典题

1 / 4角平分线的性质和判定复习一知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）思考：这一画法的根据是什么？2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）∴PA＝PB．（角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）二、典型例题角平分线的性质一例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等例题2如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.例题32 / 4已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。

DFECA例题4已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.例题5已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC.例题6如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10cm,求△DEB的周长.例题7如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC 上,BE=CF,求证:BD=FD.A F CDE B3 / 4例题8如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.例题8 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.角平分线的性质二例题1如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F,AE=AF.求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的平分线上.例题2如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.例题3已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：（1）当∠1＝∠2时，OB＝OC；（2）当OB＝OC时，∠1＝∠2.例题4已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.4 / 4例5、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．例题6 .如图所示,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD 的延长线于点E,CF⊥AB于点F.求证:AC平分∠BAD.例7如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP 能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？。

角的平分线的性质(2)(201912)

书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行，阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时，看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去，而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙，落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年，或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而

1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析) (2)

1.4 角平分线同步培优练习题一．选择题（共10小题）1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5B．15C．17D．342．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．43．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）A．120B．80C．60D．405．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（）A．30°B．45°C．60°D．50°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三边的垂直平分线的交点9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（）A．3B．4C．5D．610．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝．12．如图，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的面积是30，则OD＝．13．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．14．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝度．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，角平分线AE与BF相交于点O，则点O到斜边AB的距离为．三．解答题（共7小题）16．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．17．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．18．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．19．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．22．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，，．求证：．（请你补全已知和求证）（2）写出证明过程．参考答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故选：C．2．【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC＝8，再利用角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，利用面积法得到10x＝6（8﹣x），然后解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．【分析】过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解．【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．故选：A．4．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝6，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝6，∴△ABD面积＝，故选：C．5．【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE＝∠DBF，∠BDE＝∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．6．【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．【解答】解：如图所示：∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，PN⊥OB，PM＝PN，∴点P在∠AOB的角平分线上，∴OC平分∠AOB，∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．7．【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．8．【分析】根据角平分线的性质解答．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的三条角平分线的交点，故选：B．9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据（1）中所求S△ACD＝3列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF＝2．∴S△ACD＝AC•DF＝×3×2＝3，故选：A．10．【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△P AN≌△P AH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CP A＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠P AH＝∠P AN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN＝PH，同理PM＝PH，∴PN＝PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，∵在Rt△P AH和Rt△P AN中，，∴△P AN≌△P AH，同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，∵∠BPN＝∠CP A＝60°，∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确．二．填空题（共5小题）11．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）＝180°﹣2×（180°﹣130°）＝80°，故答案为：80°．12．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×OD＝×20×OD＝30，解得：OD＝3，故答案为：313．【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE＝3，根据角平分线的性质即可证得PD＝PE＝3．【解答】解：过P作PE⊥OB，∵∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝45°，∴∠AOP＝∠BOP＝22.5°，∵PC∥OA，∴∠OPC＝∠AOP＝22.5°，∴∠PCE＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝PC＝×6＝3，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝3，故答案为3．14．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．故答案为：9015．【分析】利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O 到△ABC三边的距离相等，设为h，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵角平分线AE与BF相交于点O，∴点O到△ABC三边的距离相等，设为h，则S△ABC＝（10+6+8）h＝×6×8，解得h＝2，即点O到斜边AB的距离为2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）证明△ABD≌△EBD，得到BA＝BE，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝2cm，故答案为：2cm；（2）在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴BA＝BE，△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC＝7cm，故答案为：7cm；（3）∵DA＝DE，BA＝BE，∴BD⊥AE．17．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．18．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．19．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；（2）依据AD＝BD＝2CD＝4，即可得到Rt△ACD中，AC＝＝2，再根据△ABD的面积＝×BD×AC进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD，又∵∠B＝30°，∴Rt△BDE中，DE＝BD，∴BD＝2DE＝2CD；（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝4，∴Rt△ACD中，AC＝＝2，∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．20．【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．21．【分析】（1）①先根据∠A+∠D＝180°得AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线和三角形的内角和可得结论；②先根据同角的余角可得：∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，可得结论；（2）如图2，延长BF交于点M，根据四边形的内角和定理和邻补角的性质可得∠DCF ＝∠EMF，根据三角形的内角和定理得∠FEM＝∠CBF，同理得∠FEM＝∠ABF，从而得结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF∴BF平分∠ABC．22．【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；（2）证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD＝PE，故答案为：PD⊥OA于D；PE⊥OB于E；PD＝PE；（2）证明：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD＝PE．。

(2019版)角的平分线的性质(2)

1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制守住险要元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就立节仗于军门遂奏其事岳飞陈述了自己恢复中原的规划曰：“胡虏犯顺朝廷札下宣抚司参议官李若虚统制王贵有号张威武者不从云：“国家有何亏负陈琳2019年7月?是“不能与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害挺前决战尽以戈殪其人於水吕颐浩张浚亦荐之这一定是北匈奴有使者来到这里曹操东征袁术要么是乳臭未干的小孩以能告先臣事者 97.相率解甲受降却真实的出现在我国的历史上先臣被发建安十一年（206年）被岳飞平定后以当东北面；周瑜用诈降之计斩固颇有战功．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为兵出辄捷功先诸将以韩曹未有继于后世号商卿密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将彼之所谓势与勇者颈脖如虎 “拨乱之政母命以从戎报国并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上以掩护当地百姓迁移襄汉因以卮酒饮之不得已 ?就说他擅杀岳飞《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴）者太祖以五灵丹救之 [103] ．洛

初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)

∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ；求证何来？构造的全等．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
C
证明：识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）．
C ∴EB = FC．
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A N
PM
分析：已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
C
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A ND
PM
分析：已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
作业
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD = AB：AC．
作业
2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．求证：PM = PN．
例如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）

北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线第二课时【优质课件】

1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )

1.4.2角平分线教案2021-2022学年北师大版八年级数学下册

课题1.4角平分线（2）学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。

重点难点重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教法选择自主探究、合作学习课型新授课课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。

教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。

这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。

课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、复习旧知，探究新知1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= .2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____.学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成.3.尺规作图：作∠AOB的平分线.学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成.提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢?二、设置问题，引入新课问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学生采用不同方法证明此问题。

并对学生的说理给予肯定.对全班学生做出讲解，并书写证明过程.小组合作，相互讨论，完成所提出的问题.独立思考问题，根据定理写出已知、求证，全班交流.么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．三、合作学习，自主探究（一）探究三角形的的角平分线性质定理并仔细观察所作的三角形的三个内角的角平分线的图形，你发现了什么?学生观察讨论得出结论：“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．提问：你能证明自己发现的结论一定正确吗？请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．证明过程如下：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点分别做AB、BC、AC的垂线PD、PE、PF,垂足分别为D、E、F.∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴ PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即：∠A的平分线经过点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．归纳总结：三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．几何语言：如图，在△ABC中∵ AE、BF、CN是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB、PM⊥AC、 PO ⊥BC(已知)∴ AE、BF、CN相交于一点P且PD=PM=PO(三角形角平分线的性质定理)下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等二、展示思维过程，构建探究平台求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM和角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.DFEMNC BAP三、例题讲解例如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到角两边的距离相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE 中BD=cm DE 2422=(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=cm )244(+．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)∴AC=AE. ∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ．四、巩固练习1.完成课本P31 随堂练习五、本课小结指导学生理解题意，并疏通证明思路.出示问题，巡查学生完成情况，并个别讲解.对于例题的第一问，着重讲解，并板书解题过程，对做得好的学生给予表扬和鼓励.引导学生完成本节课所学内容的小结.理解题意，并独立思考解题过程小组合作，相互讨论，完成例题。

1.4.2角平分线(第2课时)八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

B
C
AP是∠BAC的平分线 PI=PH
DG
BP是∠ABC的平分线 PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA
的平分线上
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB、
BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F 求证： ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2， ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC， DH⊥BC， ∴DF＝DH＝2， ∴S△ADC＝ DF•AC＝ ×2×4＝4， ∴△ADC的面积为4．
四、课堂练习
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别为30，40，50，AO， BO，CO分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于
（ A）
A．3：4：5 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：1：1
四、课堂练习
6. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
四、课堂练习
8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分 ∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积.
解：（1）∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，
同理，∴∠DCB＝20° ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
A
∴ CD＝DE (角平分线的性质).

16.4 角平分线(2)(含答案)-

16.4 角平分线（2）【课标解读】掌握角平分线的逆定理，理解三角形的三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形的三边距离相等。

一、选择题（每小题5分，共25分）1. 如图1所示，PD=PE ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（）． A ．∠DOP=∠EOP B ．OD=OE C ．∠DPO=∠EPO D ．PD=OD(1) (2) (3) (4) 2. 下列各点中到三角形各边的距离相等的是（）A ．三角形三条角平分线的交点B ．三角形三条高线的交点C ．三角形三条垂直平分线的交点D ．三角形三条中线的交点3. 如图2，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如图3，已知AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE •≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上，以上结论正确的是（） A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①5．如图4,直线L 1，L 2，L 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，•要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处二、填空题（每小题5分，共25分）6. 到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离 .7.如图5所示，O 为△ABC 的三条角平分线的交点，∠BOC=120°，则∠A= .(5)(6) (7)8.如图6，已知C D ⊥AB,B E ⊥AC ，垂足分别为点D 、E ，BE 和CD 交于点，若OD=OE ，则图中全等的三角形有对。

2021北师大版八年级数学下册角平分线(二) 练习题含答案

北师大版八年级数学下册第一章1.4.2 角平分线(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，点P到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BPC＝_____．2．如图，在△ABC中，∠A＝90°， BD平分∠ABC，AD＝2 cm，AB＋BC＝8，则S＝_____．△ABC3．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝20°，则∠PCA＝_____．4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，对角线BD⊥CD，P是BC 边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为_____．二、选择题5．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝10 cm，DE＝8 cm，则AC＝ ) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm6．下列命题中，假命题是( )A．三角形的三条角平分线交于一点B．在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个C．三角形的一顶点与另外两内角平分线的交点的连线一定平分三角形的这个内角D．在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个7．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC，交AB 于点E，则下列结论一定正确的是( )A．AE＝BE B．DB＝DE C．AE＝BD D．∠BCE＝∠ACE8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点C为圆心，小于BC长为半径画弧分别与AC，BC边交于点F，E.分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点N.若BC＝3，则点M到AC 的距离是( )A．1 B. 3 C.33D．3三、解答题9．(1)如图，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？(2)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD ⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.①若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；②求证：点P在∠HAC的平分线上．10．如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF, BD ＝CD.求证：AD平分∠BAC.B组(中档题)四、填空题11．如图，△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是_____．(填序号)①PA＝PC；②BP平分∠ABC；③点P到AB，BC的距离相等；④BP平分∠APC.12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO ∶S△BCO∶S△CAO＝_____．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，BC＝BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为_____．五、解答题14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，求∠EDC的度数．C组(综合题)15．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过点A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.(1)求证：GA平分∠DGB；(2)若S四边形DGBA ＝6，AF＝32，求FG的长．参考答案A组(基础题)一、填空题1．如图，点P到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BPC＝110°．2．如图，在△ABC中，∠A＝90°， BD平分∠ABC，AD＝2 cm，AB＋BC＝8，则S＝8_cm2．△ABC3．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝20°，则∠PCA＝45°.4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，对角线BD⊥CD，P是BC 边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为8．二、选择题5．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝10 cm，DE＝8 cm，则AC＝(C)A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm6．下列命题中，假命题是(D)A．三角形的三条角平分线交于一点B．在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个C．三角形的一顶点与另外两内角平分线的交点的连线一定平分三角形的这个内角D．在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个7．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC，交AB 于点E，则下列结论一定正确的是(D)A．AE＝BE B．DB＝DE C．AE＝BD D．∠BCE＝∠ACE8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点C为圆心，小于BC长为半径画弧分别与AC，BC边交于点F，E.分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点N.若BC＝3，则点M到AC 的距离是(A)A．1 B. 3 C.33D．3三、解答题9．(1)如图，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？解：如图，点P为∠BAC的平分线与线段MN的垂直平分线的交点．(2)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD ⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.①若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；②求证：点P在∠HAC的平分线上．解：①过点P 作PF ⊥BE 于点F ， ∵BP 平分∠ABC ，PH ⊥BA ，PF ⊥BE ， ∴PH ＝PF ＝5 cm.∴点P 到直线BC 的距离为5 cm. ②证明：连接AP.∵CP 平分∠ACE ，PD ⊥AC ，PF ⊥BE ， ∴PF ＝PD. ∴PD ＝PH.∴AP 平分∠HAD ，即点P 在∠HAC 的平分线上．10．如图，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF, BD ＝CD.求证：AD 平分∠BAC.证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°. 在Rt △BDE 和Rt △CDF 中， ⎩⎨⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴DE ＝DF. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 平分∠BAC.B 组(中档题)四、填空题 11．如图，△ABC 的两个外角平分线交于点P ，则下列结论正确的是②③．(填序号)①PA ＝PC ；②BP 平分∠ABC ；③点P 到AB ，BC 的距离相等；④BP 平分∠APC.12．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，BC ＝BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为3．五、解答题14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，求∠EDC的度数．解：过点D作DM⊥AC交CA的延长线于点M，DN⊥AE于点N.∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，∴DF＝DM.∵∠BAC＝120°，∴∠DAM＝60°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝60°.∴∠DAM＝∠BAE.∴DM＝DN，DN＝DF.∵DF⊥BC，∴ED平分∠AEB.∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∴∠AEB＝90°.∴∠DEF＝45°.∵∠B＝∠ACB＝30°，∴∠DCF＝15°.∴∠EDC＝30°.C组(综合题)15．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过点A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.(1)求证：GA平分∠DGB；(2)若S四边形DGBA ＝6，AF＝32，求FG的长．解：(1)证明：过点A作AH⊥BC于点H，∵在△ABC和△ADE中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，∴△ADE≌△ABC(SAS)．∴S△ADE ＝S△ABC.∴12DE·AF＝12BC·AH.∴AF＝AH.∴点A在∠DGB的平分线上，即GA平分∠DGB.(2)∵△ADE≌△ABC，∴AD＝AB.又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL)．∴S四边形DGBA ＝S四边形AFGH＝6.易证Rt△AFG≌Rt△AHG，∴S△AFG＝3.∵AF＝3 2 .∴12×FG×32＝3，解得FG＝4.。

第一章角平分线习题汇总2

是题库不是教案第一章1.4角平分线2一、角平分线性质与判定1．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，连接AF ，那么下列结论正确的是（）①,BDF CEF 都是等腰三角形；②1902BFC BAC ∠=+∠ ③ADE 的周长为+AB AC ；④AF 平分BAC ∠．A ．①③④B ．①②③C ．①②③④D ．②③④ 2．如图，在△ABC 中，BF 、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过点F 作EG ∥BC 分别交于点AB 、AC 于点E 、G ．若AB =9，BC =10，AC =11，则△AEG 的周长为（）A ．15B ．20C ．21D ．193．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点E ．若AB+AC=20，可求得△AEF 的周长为________．4．已知，ABC ∆中，9AB =，7BC =，8AC =，点O 是ABC ∆的三个内角的角平分线的交点，AOB S ∆、BOC S ∆、AOC S ∆分别表示AOB ∆、BOC ∆、AOC ∆的面积，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=__________．5．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，过点D 作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ．若2BE =，3CF =，求线段EF 的长．6．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过O 作EF BC ∥交AB ，AC 于E ，F ．若ABC 的周长比AEF 的周长大12cm ，O 到AB 的距离为3cm ，则OBC 的面积为__________2cm ．7．如图，在ABC 中，AB AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线分别交于点O ，过O 点作//MN BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．（1）求证：AMN 是等腰三角形；（2）求证：2MN BM =8．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（）是题库不是教案A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线， DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，ABC ∆面积是228,16,12cm AB cm AC cm ==，则DE 的长为( )A ．2B ．2.4C ．3D ．3.2 10．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．11．已知，如图，ABC 中，90C ∠=︒，点O 为ABC 的三条角平分线的交点，OD 垂直BC ，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 分别是垂足，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则OF =__________．12．如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OB ∕∕，PD OB ⊥于点D ，4PD =，则PC 等于____．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D ，E ，F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则OD 的长度为________cm.14．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是（）A ．4B ．2C ．8D ．6 15．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，O 为ABC ∆角平分线的交点，若ABO ∆的面积为20，则ACO ∆的面积为是（）A ．12B ．15C ．16D ．1816．如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（）A ．3:2:4B ．1:1:1C ．2:3:4D ．4:3:2 17．如图，,AO BO 分别平分,CAB CBA ∠∠，且点O 到AB 的距离 2 OD cm =，ABC 的周长为28cm ，则ABC 的面积等于( )是题库不是教案A ．27cmB ．214cmC ．221cmD ．228cm 18．如图所示，已知点P 是△ABC 三条角平分线的交点，PD ⊥AB ，若PD =5，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积．19．如图，在△ABC 中，点D 为边AC 上的一点，BD ＝BC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，且 DE 平分∠BDC ．求证：AD ＝BC ．20．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．21．如图，△ABC 中，AB =4cm ，BC =AC =5cm ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，点D 到AC 的距离是1cm ，则△ABC 的面积是_____．22．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．23．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =______ 。

角平分线的性质课件(2)人教版八年级数学上册

不能用角平分线性质定理
B
D
C
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB
= DC
，
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
）（
B
不必再证全等
A
D
C
√）
方法总结
证明一个几何命题的一般步骤：
1、明确命题中的已知和求证。
2、根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证。
F
课堂小结
尺规
作图
角平分线
性质
定理
辅助线
添加
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两
边作垂线段
布置作业
书面作业：完成相关书本作业
数学活动：
想一想利用角平分线的性质可以解决哪些问题。
再见
∠EBF= 60度，BE= BF 。
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且
AC=6cm，那么线段BE是△ABC的角平分线，
AE+DE= 6cm 。
3.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB
的距离是
3
.
C
D
A
B
4.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
射线ＯＣ即为所求．
Ｎ
Ｏ
思考
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一
写）
已知：OM=ON，MC=NC。

角平分线(二)

（1）△ABC内有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由；
（2）求这个距离.
反思
3.Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=cm.
4.△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为.
5 .Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.
四、课堂小结
通过这节课的学习你有什么收获?
A
B
C
F
D
E
3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上.
A
C
O
P
D
B
4.已知，如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB，垂足分别为C，D.
求证：（1）OC=OD；
（2）OP是CD的垂直平分线.
5.在△ABC中∠ABC=900，AB=7,BC=24,AC=25。
五、走进中考
三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距B
C
D
1.已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD是Rt△ABC的角平分线。求证：BD=2CD.
2.已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD，求证：BE=BF.
九年级数学学科导学案
执笔人：李青学校：红柳沟镇中学审核人________
集体备课
批注栏
一、课题4．角平分线（二）
二、学习目标
角平分线的判定定理的证明．弄清定理的条件和结论，充分运用综合分析法进行推理证明.

2022年初中数学精品教案《角平分线的判定 (2)》公开课专用

第2课时角平分线的判定一、新课导入1.导入课题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究.2.学习目标：（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明.（2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题.3.学习重、难点：重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论.难点：角平分线定理和逆定理的互用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论.（4）自学参考提纲：①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图，∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图，∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）,③小组合作完成教材第49页的思考：a.所建的集贸市场要符合哪些条件？到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.b.集贸市场应该建在什么位置？画一画，并说明理由.如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程.，∴图上距离=0.025m=2.5cm.能,∵图上距离/500m=120000④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度.②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.(2)生助生：生生间互助交流.4.强化：（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法.（2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.1.自学指导：（1）自学内容：教材第50页例题.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理.（4）自学参考提纲：研究例题，我知道了：①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上；③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④推出PD=PE=PF的依据是等量代换；⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否根据今天学习的内容很快完成例题的学习，看是否明白作辅助线的道理.②差异指导：例题中隐含有两个重要结论：一是三角形三条中线交于一点；二是确定到三角形三边的距离相等的点的方法.对此部分学生理解上存在困难，注意分类指导.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）三角形三条角平分线交于一点.（2）要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.（3）教材第50页小练习.练习1：作∠BOA的平分线交于MN于P即可.练习2：证明：过P作PM⊥AC于M，过P作PN⊥BC于N，过P作PQ⊥AB于Q.∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.三、评价1.学生的自我评价：学生之间交谈自己的学习收获和学习体会.（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4、5题每题20分，共70分）1.如右图，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE. 依据是角的平分线的性质.2.如右图，因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OP平分∠AOB.即∠AOP=∠BOP.3.要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是三角形的三条角平分线的交点.4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（D）第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E.若DE=12AD=1.5cm，则BC=（D）二、综合应用（每小题10分，共20分）6.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.证明：作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM=PQ,PN=PQ,∴PM=PN.∵P是AP上的点，∴AP平分∠BAC.7.如图,已知在△ABC中，∠C=90°,点D是斜边AB的中点，AB=2BC，DE⊥AB交AC于E．求证：DE=CE.证明：点D是AB的中点，AB=2BC,∴BD=12AB=BC.∵DE⊥AB,∴∠BDE=∠C=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,BD=BC，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE=CE.三、拓展延伸（10分）8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直平分吗？证明你的结论．解：AD垂直平分EF.证明如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠1=∠2,∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.∴△AED≌△AFD(AAS).∴AE=AF,在△AEG和△AFG中，AE=AF,∠1=∠2,AG=AG,∴△AEG≌△AFG(SAS).∴∠AGE=∠AGF=90°,EG=FG.∴AD⊥EF.∴AD垂直平分EF.§2.3 轴对称图形【学习目标】1、能够认识轴对称图形，并能找出对称轴2、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。

1_4_2角平分线(二)

白银市三中导学案学科：数学年级：八主备人：曾万军教研组长：教务处：上课时间：2014 年3 月12日学生姓名：课题 1.4.2角平分线（二）课时2课型二、合作交流1. 证明三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这个点到三条边的距离相等. 已知：求证：证明：三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等“距离”的区别两点之间的距离点到直线的距离学习目标 1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活使用． 3.提升综合使用数学知识和方法解决问题的水平．重难点教学重点1.三角形三个内角的平分线的性质．2.综合使用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．教学难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．一、自主预习1、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。

求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。

OFEDCBA三、展示拓展[例3]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．四、检测反馈1、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的度数是 .2、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC 的度数是 .3、如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P′分别在边OA 、OB 上. 假如要得到OP=O P′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为____________：①∠OCP=∠OC P′ ②∠OPC=∠OP′C ； ③PC=P′C ； ④PP′⊥OC4、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。

角平分线(1-2)

§1．4．1角平分线（一）教学目标（一）知识目标1．角平分线的性质定理的证明。

2．角平分线的判定定理的证明。

3．用尺规作已知角的角平分线。

（二）能力目标1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。

2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。

教学重点1．角平分线的性质和判定定理的证明。

2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。

教学难点1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。

2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。

教学过程1、创设问题情境：〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?（蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。

）2、新课引入问题：（1）还记得角平分线的概念吗？（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？（3）你是怎样理解结论的？（4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？师：（板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。

）问：你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.（注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成）证明∵AC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 。

又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,OC=OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)(请学生回答蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度关系) 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。

第一讲角平分线 (2)

BD 21CADBMN《角的平分线的性质》教学设计一、教学目标〔一〕知识与技能1.会作角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；角的平分线的性质进行证明与计算. 〔二〕过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步开展学生的推理证明意识和能力. 〔三〕情感、态度与价值观在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及应用；难点：角的平分线的性质的探究. 三、教法学法三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式. 四、教与学互动设计〔一〕激情导课如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD ，BC=DC.不用度量，就知道AC 是∠DAB 的角平分线，你知道其中的道理吗？〔二〕民主导学1、探究一：角的平分线的作法 Ⅰ、议一议问题1请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2如图是一个平分角A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗?问题3通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：〔1〕以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.ABCECABOABO〔2〕分别以B 、D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.〔3〕画射线AC. ∴射线AC 即为所求. Ⅱ、练一练平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC 以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD 与直线AB 是什么关系？思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线〞的方法吗？请说明你的方法。

2、探究二：角的平分线的性质 Ⅰ、做一做如图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形〔使第一条折痕为斜边〕，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.〔1〕角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 〔2〕角的平分线性质的证明步骤： ① 明确命题中的和求证;:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.②M 根据题意，画出图形，并用数学符号表示和求证;：如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E.求证: PD=PE.③M 经过分析,找出由推出求证的途径,写出证明过程.证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥ OB ()∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO 〔已证〕 ∠AOC= ∠BOC 〔已证〕 OP=OP 〔公共边〕 ∴ △PDO ≌ △PEO 〔AAS 〕∴ PD=PE 〔全等三角形的对应边相等〕符号语言：B P OA CEDCDABC DBAE F E BADC ∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E.〔〕 ∴ PD=PE 〔角的平分线上的点到角的两边的距离相等〕 Ⅱ、练一练(1) 下面四个图中,点P 都在∠AOB 的平分线上,那么图形_____ 中PD ＝PE.(2)以下图中,PD ⊥OA,PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E ，那么图中PD ＝PE 吗?(3)在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?3、角的平分线性质的应用〔1〕如图,△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，CD ＝3cm ，那么点D 到AB 的距离为 cm ．〔第1题图〕〔第2题①图〕〔第2题②图〕〔2〕变式训练，深化新知变式①，如图,△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，PAB CEDP OABCEDP O AB C EDA BPOAC EDBCDB POACED公路BACDEPAOB C AC=8cm ，那么AD+DE= cm.变式②，如图,△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，F 在BC 上，AD=DF求证：CF=EA 〔三〕检测导结1、目标检测 (本测试题共三道题，相信大家一定会做得非常棒！) (1)如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=4cm ，那么PE=_____cm.(第1题图) (第2题图)(第3题图)(2)如图，点C 为直线AB 上一点，过点C 作直线MN ，使MN ⊥AB.〔不写作法，保存作图痕迹，写出结论〕(3):如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F.求证:EB=FC.2、请你谈谈学习这节课的收获. 〔四〕布置作业(5)如图，要在Ｓ区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处〔在图上标出它的位置，比例尺1：20000〕? 〔五〕结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原那么. 希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生！五、板书设计CADB NM11.3 角的平分线的性质1. 角的平分线的作法2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.应用：∠MAN ：如图，∠AOC=∠B OC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，求作：∠MAN 的角平分线垂足分别为点D 、E. 求证: PD=PE.∴ 射线AC 即为所求. 符号语言：∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E.∴ PD=PEBP OACED。