诱导公式在三角函数求值和化简中的应用

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三角函数诱导公式在高中数学解题中的三种常见应用

三角函数诱导公式在高中数学解题中的三种常见应用毛慧婷(福建省浦城第一中学ꎬ福建浦城３５３４００)摘㊀要:三角函数诱导公式是高中数学中的重要工具之一ꎬ具有广泛的应用性.本文从化简㊁求值和证明三个角度探讨了三角函数诱导公式在解题中的应用.在化简问题中ꎬ通过运用诱导公式ꎬ可以将复杂的三角表达式简化为易于处理的形式ꎻ在求值问题中ꎬ利用诱导公式可快速准确地求解三角函数的具体数值ꎻ在证明问题中ꎬ诱导公式是重要的推理工具ꎬ可帮助学生建立相关的数学定理和结论.文章通过具体例题进行说明ꎬ并强调实践和思考的重要性.关键词:三角函数ꎻ诱导公式ꎻ高中数学ꎻ应用技巧中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００６８－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:毛慧婷(１９９６.９－)ꎬ女ꎬ福建省浦城人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀三角函数是高中数学中的重要内容之一ꎬ而三角函数的诱导公式则是解题过程中常用的工具[１].在实际应用中ꎬ三角函数的诱导公式具有广泛的适用性ꎬ可以在化简㊁求值和证明等问题中发挥重要作用.在化简问题中ꎬ三角函数诱导公式可以帮助我们将复杂的三角表达式转化为简单的形式.通过巧妙地运用三角函数诱导公式ꎬ我们可以将复杂的三角函数关系简化为更易于处理的形式ꎬ从而更方便进行后续计算和推导ꎻ在求值问题中ꎬ三角函数诱导公式可以帮助我们快速准确地求解三角函数的具体数值[２].通过将待求函数转化为已知函数的组合形式ꎬ我们可以运用三角函数诱导公式将问题转化为已知数值的计算ꎬ从而得到准确的解答ꎻ在证明问题中ꎬ三角函数诱导公式可以作为重要的推理工具.通过将待证明的三角函数关系转化为等价的形式ꎬ我们可以使用诱导公式进行推导和证明ꎬ从而建立起相关的数学定理和结论.１利用诱导公式化简利用诱导公式化简可以帮助我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式ꎬ在高中数学解题中具有重要的应用价值.在过程上ꎬ利用诱导公式进行化简的基本步骤如下:首先ꎬ根据待化简的三角函数表达式ꎬ选择合适的诱导公式ꎬ常用的诱导公式有正弦与余弦的诱导公式㊁正切与余切的诱导公式等ꎻ其次ꎬ将原始的三角函数表达式中的某一项根据选择的诱导公式进行替换ꎬ转化为新的三角函数表达式ꎻ然后ꎬ运用三角函数的基本关系和性质ꎬ通过代数运算将新的三角函数表达式进一步简化ꎻ最后反复迭代执行第２步和第３步ꎬ直至将原始的三角函数表达式化简到８６最简形式.在实际应用意义上ꎬ通过化简ꎬ我们可以将复杂的计算转化为简单的形式ꎬ提高计算速度和准确性.化简过程中ꎬ我们需要运用三角函数的基本关系和性质进行代数运算.通过观察和分析化简的中间步骤ꎬ我们可以发现一些规律和特点ꎬ从而深入理解三角函数的性质[３].在解决实际问题时ꎬ常常会遇到复杂的三角函数表达式.利用诱导公式进行化简ꎬ可以将问题转化为更简单的形式ꎬ使问题的求解过程更加高效和便捷.因此ꎬ利用诱导公式进行化简是一种重要的数学技巧ꎬ在高中数学解题和实际应用中具有广泛的应用.通过掌握化简的方法和技巧ꎬ我们可以更好地理解和运用三角函数ꎬ提高解题的效率和准确性.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ(ωｘ)ꎬ其中常数ω>０.令ω＝１ꎬ判断函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆｘ＋π２æèçöø÷的奇偶性ꎬ并说明理由.令ω＝２ꎬ将函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个单位ꎬ再向上平移１个单位ꎬ得到函数ｙ＝ｇ(ｘ)的图象.对任意ａɪＲꎬ求ｙ＝ｇ(ｘ)在区间ａ[ꎬａ＋１０π]上的零点个数的所有可能.解析㊀(１)ω＝１时ꎬｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘꎬ此时Ｆｘ()＝ｆｘ()＋ｆｘ＋π２æèçöø÷＝２ｓｉｎｘ＋２ｓｉｎｘ＋π２æèçöø÷＝２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ().此时有:Ｆπ４æèçöø÷＝２２ꎻ且Ｆ－π４æèçöø÷＝０ꎻ所以Ｆ－π４æèçöø÷ʂＦπ４æèçöø÷ꎬＦ－π４æèçöø÷ʂ－Ｆπ４æèçöø÷.因此Ｆ(ｘ)既不是奇函数ꎬ也不是偶函数.(２)ω＝２时ꎬ有ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘꎬ将ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个单位ꎬ再向上平移１个单位后得到ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６æèçöø÷＋１的图象ꎬ所以ｇ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋π６æèçöø÷＋１.令ｇ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝ｋπ＋５１２π或ｘ＝ｋπ＋３４π(ｋɪＺ).因为[ａꎬａ＋１０π]恰含１０个周期ꎬ所以ꎬ当ａ是零点时ꎬ在[ａꎬａ＋１０π]上零点个数２１ꎻ当ａ不是零点时ꎬａ＋ｋπ(ｋɪＺ)也都不是零点ꎬ区间[ａ＋ｋπꎬａ＋(ｋ＋１)π]上恰有两个零点ꎬ故在[ａꎬａ＋１０π]上有２０个零点ꎬ综上ꎬｙ＝ｇ(ｘ)在[ａꎬａ＋１０π]上零点个数的所有可能值为２１或２０.２利用诱导公式求值利用诱导公式进行求值是数学计算和解题中常用的一种方法ꎬ具有简便明了的过程和重要的意义ꎬ它能够帮助我们简化复杂的计算过程ꎬ提高计算的效率.同时ꎬ它也扩展了我们的数学思维和应用能力ꎬ在实际问题中起到了重要的作用.首先ꎬ利用诱导公式进行求值的过程相对简便明了.前已述及ꎬ诱导公式是一类可以将某些复杂函数转化为简单形式的公式[４].通过巧妙运用这些公式ꎬ我们可以将原始的复杂表达式转化为更简单㊁易于计算的形式ꎬ从而大大简化求值的过程.这些诱导公式包括特殊角的三角函数值㊁和差角的三角函数关系等ꎬ其处理过程可以减少繁琐的计算过程ꎬ提高计算的效率.其次ꎬ通过诱导公式ꎬ我们可以在计算和解题中更加灵活和高效地应用数学知识.它帮助我们将问题转化为更简单的形式ꎬ从而更好地理解和处理数学概念.而且ꎬ诱导公式也能够帮助我们发现数学中的规律和性质ꎬ提高我们的抽象思维能力.此外ꎬ利用诱导公式进行求值还具有更广泛的应用ꎬ许多问题都涉及三角函数的计算.通过运用诱导公式ꎬ我们可以更加方便地处理和求解这些问题ꎬ提高实际应用中的问题解决能力.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬ０<φ<π２æèçöø÷在π８ꎬ５π８æèçöø÷上单调ꎬ且ｆ－π８æèçöø÷＝ｆ３π８æèçöø÷＝０ꎬ则ｆπ２æèçöø÷的值为(㊀㊀).解析㊀由题意得ꎬ函数ｆ(ｘ)的最小正周期为９６Ｔ＝２πωꎬ因为ｆ(ｘ)在π８ꎬ５π８æèçöø÷上单调ꎬ所以Ｔ２＝πω?π２ꎬ得０<ω?２.且ｆ－π８æèçöø÷＝ｆ３π８æèçöø÷＝０ꎬ所以Ｔ２＝３π８－－π８æèçöø÷＝π２ꎬ解得ω＝２.由于ｆ－π８æèçöø÷＝０ꎬ所以ｓｉｎ２ˑ－π８æèçöø÷＋φ[]＝０ꎬ整理得φ＝π４.所以ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋π４æèçöø÷ꎬ则ｆπ２æèçöø÷＝ｓｉｎπ＋π４æèçöø÷＝－２２.３利用诱导公式证明利用诱导公式进行证明可以为证明过程提供一种清晰㊁简洁的推理路径.通过诱导公式ꎬ我们可以将复杂的等式或方程转化为简单的形式ꎬ从而更方便地进行推导和计算.这样的过程通常会减少繁琐的代数运算步骤ꎬ简化问题求解的过程ꎬ提高计算的效率[５].此外ꎬ诱导公式往往能够将问题与其他相关概念㊁定理联系起来ꎬ使证明过程更加连贯且易于理解.例３㊀已知ＡꎬＢꎬＣ为әＡＢＣ的内角.(１)求证:ｃｏｓ２Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ｃ２＝１ꎻ(２)若ｃｏｓπ２＋Ａæèçöø÷ｓｉｎ３π２＋Ｂæèçöø÷ｔａｎ(Ｃ－π)<０ꎬ求证:әＡＢＣ为钝角三角形.解析㊀(１)因为Ａ＋Ｂ＝π－Ｃꎬ所以Ａ＋Ｂ２＝π２－Ｃ２ꎬ所以ｃｏｓＡ＋Ｂ２＝ｃｏｓπ２－Ｃ２æèçöø÷＝ｓｉｎＣ２ꎬ所以ｃｏｓ２Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ｃ２＝１.(２)因为ｃｏｓπ２＋Ａæèçöø÷ｓｉｎ３π２＋Ｂæèçöø÷ｔａｎ(Ｃ－π)<０ꎬ所以(－ｓｉｎＡ)(－ｃｏｓＢ)ｔａｎＣ<０.因此ｓｉｎＡｃｏｓＢｔａｎＣ<０.又因为０<Ａ<πꎬ０<Ｂ<πꎬ０<Ｃ<π且ｓｉｎＡ>０ꎬ所以ｃｏｓＢ<０ꎬｔａｎＣ>０{或ｃｏｓＢ>０ｔａｎＣ<０{ꎬ所以Ｂ为钝角或Ｃ为钝角ꎬ所以әＡＢＣ为钝角三角形.通过本文的论述ꎬ我们不仅了解了三角函数诱导公式的基本概念和推导方法ꎬ同时也掌握了在高中数学解题中常见三种应用技巧.化简㊁求值和证明是数学解题的重要环节ꎬ我们可以通过灵活运用三角函数诱导公式ꎬ将复杂问题转化为简单形式ꎬ从而提高解题效率和准确度.然而ꎬ要想真正掌握这些应用技巧ꎬ还需要在实践中不断练习和尝试.通过多做例题ꎬ多思考不同情况下的解题方法ꎬ同学们可以逐渐熟练掌握三角函数诱导公式ꎬ提高自己的数学能力和解题水平.相信在以后的学习和生活中ꎬ这些技巧也会为我们带来更多的启示和帮助.参考文献:[１]张辉ꎬ李钰.以问题为驱动的数学探究式教学例谈:以三角函数的诱导公式为例[Ｊ].新智慧ꎬ２０２３(２４):１０－１２.[２]周忠武.合理设计教学过程积累数学活动经验:浅谈三角函数的诱导公式的教学设计[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(１３):２７－２８.[３]韦爱群.中职数学三角函数诱导公式的教学探析[Ｊ].理科爱好者(教育教学)ꎬ２０１９(０１):２０－２１.[４]吴蕾.高中数学课堂开展微型探究学习的教学实例与反思:以诱导公式为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１７(２１):９－１０.[５]崔娅兰.数学原理教学探究:以高中三角函数诱导公式为例[Ｃ]ʊ新教育时代(２０１５年１１月总第６辑)ꎬ２０１５:１８４.[责任编辑:李㊀璟]０７。

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】三角函数的诱导公式【知识点1诱导公式】【知识点2诱导公式的记忆】诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a ,cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a,cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z诱导公式四:cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^∙-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z诱导公式六:Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角时原函数值的符号.【考点1利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值.【例1】(2018秋•道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值.T 、 COS (Λ^ + α)sin(^∙ - a)(I )------------------------------------- ；tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a)sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召——cos^ a - sm^ a + tan(;T - a)【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值.【答案】解：∙.∙角α终边上有一点P(l,l),.x = l , y = l , r =|OP I= √7,Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X([) cos(∕r + α)sin(%-α)、 -、，兀、 tan(^∙ + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r -a) cos 2a - sin 2a 一 tan a【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.【变式1-1】 (2019春•龙潭区校级月考)己知tan(^+ «) = -!,求下列各式的值:-COSa ∙smα ton a + cos 2(x(]) 2COS (Λ∙-α)-3sin(∕r+ α)4cos(α - 2πy ) + sin(4∕r - a)(2) siιι(α-7π)cos(a + 5π).【分析】(1)由诱导公式化简后，原式分子分母除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系化简，将tana 的值代入计算即可求出值；(2)由诱导公式化简后，原式分母“1”化为sin 2a + ∞s 2a,然后分子分母除以∞s 2a,利用同角三角函数间的基本关系化简，>'J tana 的值代入计算即可求出值.【答案】解：∙.∙tan(∕r + a) = tana =-扌,【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查.【变式1-21(2018春•陆川县校级月考)若COSa = - , a 是第四象限角，求sm(d_2”) + sin(--3∕τ)cos(-3”) 3 COS (龙-a)-COS (-Λ∙ - a) COS(a - 4π)的值.【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.【答案】解：∙.∙cosa =扌，a 是第四象限角，- -sina = 一JI-COS 订=_£ ,Sin(Q - 2π) + siιι(-a -3π)cos(a- 3π) _ Sillcr + Siila ・(一COS a) _ Sin a(l- COS a) _3 3 _ ∙√5 cos(∕r — a)-cos(-x-a)cos(a-4;F) — CoSa+ cosa∙cosa COSa(COSa — 1) 亠(一 1) 2【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题.【变式1-3】 (2019春•沈阳校级月考)己知SlnQ 是方程5√-7x-6 = 0的根，求sin(-a -—龙)∙sin(- π 一 a)∙tan 2 (2π - a) 4 5【分析】把SinQ 代入到方程中解出即可求出Sina 的值进而求出tan'a 的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简，将tan j 的值代入即可求出值.【答案】解：∙.∙sinα是方程SJC-IX-6 = O 的根，二Sina = -O 或Sina = 2 (舍).5+iτ . ■> 9 “16 , 9∣ √ sm^ α = —， cos^ a = — => taιι^ a = —• 25 25 16(1) 2 COS (Λ∙ -Qf)-3 sin(π + a)4cos(α - 2π) + sin(4∕r - a) 3sinα-2cosα 4cosα-siιια 3 tail α - 2 4-tana(2) sin(α — 7π)cos(α + 5π) = Sm a COS a =SlnQCOSa SUra + COS I atanatan 2a + l 的值.「•原式=∞s α∙(-COS α)∙tan^ aSin α∙(- Sin a)∙cos2 asin2 aCOSa•(—COS α) •—____________ COS-CLSill α∙(- Sill α)∙cos2a1cos2a=sec^ a = l +tail" α = l + —=—16 16【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式.【考点2利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式，应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了taιι(Λ∙ - α)cos(2∕τ —α)sin(-α + —)【例2】(2019秋•颍泉区校级期中)化简： ------------- ------ —-------- .cos(-α - π) sm(-∕r - a)【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解.tan(∕r —α)cos(2∕r - α)sin(-α + —) 【答案］解： -------- ------ ---------- 一一cos(_a 一π)sιn(-π一a)(一tan a) COS ◎(一COS a) _ -------------------------- =—1.(一COSa)SiiIa【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.【变式2-1] (2019春•兰考县校级期末)化简:sιn(4—⑵ CoS(I■ + ◎) tan(5 一Q) + a) COS(2Λ,-a)sin(3τr —a) sin(- + O)【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【答案】解sin(4Λ∙-α)cos(-÷α) _ tan(5Λ∙-a) _ sin(-αχ-Sina) _ -tana _ Sin Z a十1 I-Sin Z aSm(爭+ a)cos0-a) sm(3^-a)sin(^÷ a) " <-cosa>cos<-a> SInaCoS八CoSF 品- cos2【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.sin(8 - 5Λ∙)COS( ------- θ)cos(lπ一θ)【变式2・2】(2019春•东莞市校级期末)化简----------------- F -------------------------sin(8 - #) sin(-3^∙ - θ)【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.【答案】解:sin(8 —5π) cos(-壬一 &)cos(7∕r —θ) Sin(^ - π >cos(y + &)・cos(/r -θ)Sin(O -夢)sin(-3;T — 6)-Sin(^- —8)∙sin(∕r - θ)-siu8»(-sin&)・(一cos8) .；---- =—Sln σ • COS8∙sin θ【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题.【变式2-3】(2019春•西安月考)化简：血Sr)SIn(-2—&)CoS(6”也cos(8 - π)siιι(5Λ∙ + θ)【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果.r M tan(2∕r-8)sin(-2 広一 &) COS(6兀一&) - tan 0∙(-Sill ^)∙cos θ sin 8L ⅛ 杀J W • ----------------------------------------------- = ----------------------------- =-------- = t∩ιι θ ‘COS(O - π)sin(5∕r + θ)- COS 8・(一Sm θ) COS θ【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题.【考点3诱导公式在函数中的应用】cos(- + x) cos(-x) siιι(- - x)【例3】(2019春•怀化期末)已知/(X) = 一 -------------------- - -- 2——sm(-Λ- - X)CoS(2/T - x)(I )化简/(x)；(II)若X是第三象限角，且tmιx = 2,求/⑴的值.【分析】(【)由己知利用诱导公式即可化简得解；(II)由tanx=2,可得SinX=2cosx,根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解.【答案】解：([)∕α)=Eτ∙(⅜χ.SillACOSX(II) ∙.∙ta∏Λ = 2, ..sinx = 2COSΛ'» 代Asin3 x+cos2 x = l,得：5cos2 x = l,∙.∙x是第三彖限角，.■- /(X) = COSX = --Y .【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.【变式3-1】(2019春•大武口区校级期末)己知./(«) =—)su,cos(";)_ sin(-^- - a) cos(y + a) sin(- + a)(1)化简/(«)：(2)若/(a) = *,求3sin2α-4siιιαcosof + 5cos2a的值.【分析】(1)直接利用诱导公式化简求解即可.(2)求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可.【答案】解：(1)弘)=一Smgm"(Yθsα)=toιm-COS a∙(- Sm QXOS a3 f(a)=-,可得：taιια = -,r . “° 3siιF α — 4sinαcosα + 5cos% 3tan 2α-4taιια + 53SIn- α-4sιnαCOS a + Scos~a = ----------------- ； -------； ----------- = ------------ ； ---------- ,siιι^ a + cos~a taιι^ α + l 将tanα =丄代入， 3Jg得 3siιι2 α-4siιιαCOS a + 5cos 1a = 一 •5 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力•【变式3-2】（2018秋•红塔区校级期末）己知/（α）=泅（2兀一Q ）述S + ?COS （FF ）cos （∕r - a ） tan （3;T - a ）（1）将/（◎）化为最简形式；（2） f （a ）- f （rγ + α） = » 且 Qe （O ,兀），求 tana 的值.【分析】（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果.（2）由题意可得Sina+cosa 的值,再利用同角三角函数的基本关系，求得Sina-CoSa 的值，可得Sina 的 COSa 的值，从而求得tana 的值.【答案】解：(1)由题意可得，f(a) = (~SmQf)tanQfeCOSQf) =Sinα . (-cos α)(-taιια)(2) f(a)-f(rγ + Qf) = Sina-Sm(^ + α) = Sinα + COSa = 4©»] 24平方可得 1 + 2SinaCOSQ = ----- .. 2siιιαcosα = -一<0, 25 25π 49 7因为α e (0,兀)，所以 α∈(-,Λ-) ∙ SinQ-COSa>0 , (Sina-COSa)2 =1-2SmaCOSa =—,所以SinQ-COSQ = E ②，由①②可得：Sma = —,cosα = --,5 5 4 结果.（2）利用诱导公式化简要求的式子为sin&-cos0>0,再计算（Sin^-CoS^）2的值，可得要求式子的值.4所以taιια =——• 3【点睛】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.【变式0 （沁秋•汕头校级期中）己知函数蚀少二：（穿1 (1)若 f(θ)×siii — -COS^ = 0,求SineCOSe 的值.(2)若/(B)MosO= £ ,且彳v&v 普，求/(2019Λ--θ)-∞S (2018Λ∙-θ)的值; 【分析】（1）由题意利用诱导公式求得诚=2,再根据SineCOSe = sin8cos8 sin 2 8+cos' θ总’计算求得【答案】解：(I)函数fg = (SE • +迓哄E = SIn“OS"S1∏Λ∙=若 f(0)×siιι--COS θ = sin&・--COSe = 0 •则 tan 。

完整版)三角函数诱导公式总结

完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。

以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。

以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。

2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。

另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。

也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。

例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。

例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。

1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】

1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】要解决诱导公式化简求值问题，我们需要熟练掌握三角函数的基本性质和诱导公式。

三角函数分为正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

诱导公式是指把角度推导至一定范围内的公式，如将三角函数的角度推导至0-90度范围内，以此进行计算简化。

在解决诱导公式化简求值问题的过程中，需要注意以下几个步骤：1. 确定所给的三角函数公式及其角度范围。

2. 将所给的角度表示成诱导公式中的角度形式。

3. 按照诱导公式进行化简，得到最简形式。

4. 根据所求解的范围，代入得到三角函数的精确值或近似值。

例如，我们要对三角函数$sin(105^{\circ})$进行化简求值。

由于$105^{\circ}$超出了0-90度的范围，因此需要使用诱导公式进行化简。

我们有以下步骤：1. 由于$sin(180^{\circ}-x)=sin(x)$，因此可以将$sin(105^{\circ})$表示为$sin(180^{\circ}-105^{\circ})=sin(75^{\circ})$。

2. 根据诱导公式$sin(A\pm B)=sinAcosB\pm cosAsinB$，将$sin(75^{\circ})$化简为$sin(45^{\circ}+30^{\circ})=sin45^{\circ}cos30^{\circ}+cos45^{\ circ}sin30^{\circ}$。

3. 代入$sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$和$sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，得到$sin(105^{\circ})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

最后，需要注意在求值时，应根据题目要求选择精确值或近似值，并保留正确的有效位数。

掌握诱导公式化简求值问题，对于解决三角函数相关计算问题具有重要意义。

诱导公式的三角求值中的运用

例谈诱导公式的三角求值中的运用三角函数的诱导公式可将任意角的三角函数值问题转化为0︒～90︒间角的三角函数值的问题，利用三角函数的诱导公式可以求出任意一个三角函数值．这几组诱导公式在三角函数求值中有着很重要和广泛的用途．有关三角函数求值问题，要根据问题求值的需要和诱导公式的转化功能，恰当地选择公式，准确地应用是解好三角函数求值问题的关键．一、知角求值例1．求值：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-310π 分析：本题着重考察应用诱导公式和特殊角的三角函数值进行三角计算．解：原式= tan(360°－60°)+cot(360°+45°)=－tan60°+ cot45°=．评注：知角求值，要分析“特殊角”和“待求角”之间的联系，设法用“特殊角”通过诱导公式表示“待求角”．二、知式求值例2．若sin [(21)]2sin [(21)]()()sin(2)cos(2)n n f n Z n n απαπααππα⋅+++⋅-+=∈--，求19()6f π．解：sin[()2]2sin[()2]()sin(2)cos(2)n n f n n παπαππααππα+++--=-- =ααπααπcos sin )sin(2)sin(-++ =ααααcos sin sin 2sin -- =αcos 3-．19333()196cos cos(3)cos 666f πππππ∴=-=-==+评注：这类问题求解一般应从变形化简开始，求解时应注意从所涉及的角中分离出2π的整数倍才能利用诱导公式．三角函数式的化简求值，一定要注意公式的正确运用，有时是直接用，有时则需化简后用．三、知值求值例3．设cot 2m p a 骣÷ç+=÷ç÷ç桫，求()()()()sin 3cos sin cos a p p a a p a -+---+的值．分析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解．解：()()()()()sin 3cos sin 4cos sin cos sin cos a p p a p p a a a p a a a -+--++-=--+-+ ()sin cos sin cos sin cos tan 1sin cos sin cos sin cos tan 1p a aa a a a a a a a a a a a +---++====-+-+--又cot ,tan 2m m p a a 骣÷ç+=\=-÷ç÷ç桫，故原式1111m m m m -+-==--+ 评注：整个过程既需要诱导公式又需要用到同角三角函数关系式．解答问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键和要害．归纳小结：用诱导公式求值顺序是：任意角的三角函数⇒任意正角的三角函数⇒0到2π范围内的角的三角函数⇒锐角的三角函数．。

《诱导公式的应用》课件

角度范围
诱导公式适用于特定角度范围内的三角函数计算，超出范围应考虑其他方法。
函数类型
确保所涉及的三角函数类型适用于该公式，避免因函数类型不匹配而出现错误。
注意公式的正误使用
公式来源
确保所使用的诱导公式来源可靠，避免使用错误的公式或来源不明的公式。
符号判断
在使用诱导公式时，应注意符号的正负判断，确保计算结果的准确性。
THANKS
感谢观看
03
诱导公式的应用场景
三角函数的化简
总结词
利用诱导公式简化复杂的三角函数表达式。
详细描述
在解决三角函数问题时，经常会遇到一些复杂的表达式，如分母含有三角函数、三角函数嵌套等。通过应用诱导公式，可以将这些复杂的表达式进行化简，使其更易于处理。
三角函数的求值
总结词
利用诱导公式计算三角函数的值。
《诱导公式的应用》 ppt课件
目录
• 诱导公式简介 • 诱导公式的分类 • 诱导公式的应用场景 • 诱导公式的推导方法 • 诱导公式的使用注意事项
01
诱导公式简介
诱导公式的基本公式将角度变换为0度到360度之间的等价形式，从而简化三角函数的计算和化简。
04
诱导公式的推导方法
利用三角函数的周期性推导
周期性定义
应用实例
三角函数具有周期性，即对于任意整数k，函数y=sin(x)和y=cos(x)的图像都关于直线x=kπ对称。
例如，可以利用周期性推导出 sin(17π/6)=sin(π/6)，因为17π/6和 π/6相差一个周期。
推导过程
利用三角函数的周期性，我们可以将任意角度x转化为0到π/2之间的角度，从而利用已知的三角函数值进行计算。

1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】

1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】在数学中，诱导公式是指将某个三角函数表达式中的自变量通过某种方式转换成其他三角函数的自变量的公式。

主要应用于三角函数的公式化简和求值。

常见的诱导公式有三个，它们分别是正弦诱导公式、余弦诱导公式和正切诱导公式。

下面我们来一一介绍它们的具体内容以及应用方法。

正弦诱导公式：$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$这个公式主要应用于将$\sin(A+B)$转换成其他三角函数的和的形式。

可以通过将公式右边的$\cos A$换成$\sin(A+\frac{\pi}{2})$，将公式左边的$\sin(A+B)$替换成$\sin C$，最终得到以下诱导公式：$$\sin C=2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$$余弦诱导公式：$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$这个公式主要应用于将$\cos(A+B)$转换成其他三角函数的和的形式。

可以通过将公式右边的$\sin A$换成$\cos(A+\frac{\pi}{2})$，将公式左边的$\cos(A+B)$替换成$\cos C$，最终得到以下诱导公式：$$\cos C=2\cos^2\frac{C}{2}-1=1-2\sin^2\frac{C}{2}$$这个公式有一个重要的应用，即将$\cos C$转换成$\sin C$。

正切诱导公式：$$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$这个公式主要应用于将$\tan(A+B)$转换成其他三角函数的和的形式。

可以通过将公式右边的$\tan A$和$\tan B$分别换成$\frac{\sin A}{\cos A}$和$\frac{\sin B}{\cos B}$，并进行通分，最终得到以下诱导公式：$$\tan C=\frac{2\tan\frac{C}{2}}{1-\tan^2\frac{C}{2}}$$这个公式可以看作是正切半角公式的推广。

诱导公式的应用教学课件

在积分运算中的应用
积分运算
诱导公式在积分运算中有着广泛的应用，通过诱导公式可以将复杂的积分问题化简为简单的计算。
三角函数积分
利用诱导公式，可以快速求解三角函数的积分，提高解题效率。
拓展应用
诱导公式不仅在积分运算中有应用，还可以拓展到其他数学领域，如求解微分方程等。
04
诱导公式的应用实例
诱导公式的应用教学课件
目录
01 诱导公式的基本概念 02 诱导公式的基本应用 03 诱导公式的拓展应用 04 诱导公式的应用实例 05 诱导公式的注意事项
01
诱导公式的基本概念
诱导公式定义
基本概念
诱导公式是三角函数中一些具有特殊性质的恒等式。
应用领域
诱导公式在三角函数的化简、求值、证明等方面有广泛应用。
导公式来解决一些复杂的数学问题。
解决实际问题
三角函数的图像变换
诱导公式可以应用于三角函数的图像变换中，例如平移、伸缩和对称变换等，以帮助我们更
好地理解和分析函数的性质。
03
诱导公式的拓展应用
在解三角形中的应用
解决角度问题
诱导公式可以用于解决解三角形中的角度问题，通过将角度转换到已知的坐标系中，简化计算过程。
角度的化简
利用诱导公式，将角度化简到0到 360度之间，便于后续的三角函数计算。
特殊角的三角函数值
利用诱导公式，求出特殊角的三角函数值，为解决实际问题提供基础数据。
三角函数的求值
在解决三角函数的求值问题时，需要将角度与弧度制进行转换，利用诱导公式简化计算。
利用诱导公式，可以快速求出特殊角的三角函数值，如30°、45°、 60°等。

高中数学诱导公式全集有了它三角函数一网打尽

将两个角的三角函数通过加减或乘除转化为单个角的三角函数。
拓展延伸：其他相关知识点介绍
反三角函数
介绍反正弦、反余弦、反正切等反三角函数的概念和性质；
三角函数的幂级数展开
通过幂级数展开式，将三角函数表示为无穷级数的形式；
三角函数的积分与微分
介绍三角函数的积分和微分数表示
两角差正弦公式
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
应用举例：求值、化简和证明
求值
利用两角和与差三角函数公式，可以求出一些特殊角的三角函数
值，如cos15°、sin75°等。
化简
在三角函数式的化简中，常常需要利用两角和与差三角函数公式
进行化简，如化简 sin(x+y)+sin(x-y)等。
正弦函数（sine）
01
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cosine）
02
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tangent）
03
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
周期性奇偶性及对称性
01
02
03
周期性
正弦函数、余弦函数周期为2π，正切函数周期为π 。
06
辅助角公式及其应用
辅助角概念及性质
辅助角定义
在三角函数表达式中，为了简化计算或方便求解，引入的一个与自变量有关的角，称为辅助角。
辅助角性质
辅助角与原函数中的角存在某种关系，如相等、互补或互余等，这种关系有助于简化三角函数表达式。
辅助角在三角函数中的应用
1 2 3
化简三角函数表达式
$cosalpha = frac{1}{secalpha}$

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】【知识点1 诱导公式】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin()sin παα+=-， cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈ 诱导公式三： sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=， cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 【知识点2 诱导公式的记忆】记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.【考点1 利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．【例1】（2018秋•道里区校级期末）已知点(1,1)P 在角α的终边上，求下列各式的值．（Ⅰ）2cos()sin()tan()sin ()2παπαππαα+-++-；（Ⅱ）2233sin()cos()22cos sin tan()ππααααπα+--+-．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin α，cos α，tan α的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值．【答案】解：角α终边上有一点(1,1)P ，1x ∴=，1y =，||r OP ==sin 2y r α∴==，cos 2x r α==，tan 1yxα==， ∴（Ⅰ）22cos()sin()cos sin 1tan 3tan()sin ()2cos παπαααπααπαα+--===-+++-；（Ⅱ）222233sin()cos()(((cos )(sin )1222211cos sin tan()tan 2122cos sin ππααααααπαααα+-⨯--===--+-----．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【变式1-1】（2019春•龙潭区校级月考）已知1tan()2πα+=-，求下列各式的值：（1）2cos()3sin()4cos(2)sin(4)παπααππα--+-+-；（2）sin(7)cos(5)απαπ-+．【分析】（1）由诱导公式化简后，原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值；（2）由诱导公式化简后，原式分母“1”化为22sin cos αα+，然后分子分母除以2cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值．【答案】解：1tan()tan 2παα+==-，∴（1）2cos()3sin()3sin 2cos 3tan 274cos(2)sin(4)4cos sin 4tan 9παπαααααππαααα--+--===--+---；（2）222sin cos tan 2sin(7)cos(5)sin cos 15sin cos tan ααααπαπααααα-+====-++．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．【变式1-2】（2018春•陆川县校级月考）若2cos 3a =，a 是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)a a a a a a ππππππ-+--------的值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【答案】解：2cos 3a =，a是第四象限角，sin a ∴=，∴51sin(2)sin(3)cos(3)sin sin (cos )sin (1cos )53321cos()cos()cos(4)cos cos cos cos (cos 1)()33a a a a a a a a a a a a a a a ππππππα-+---+--====------+--．【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．【变式1-3】（2019春•沈阳校级月考）已知sin α是方程25760x x --=的根，求2233sin()sin()tan (2)22cos()cos()cos ()22αππαπαππααπα-----+-的值．【分析】把sin α代入到方程中解出即可求出sin α的值进而求出2tan α的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简，将2tan α的值代入即可求出值．【答案】解：sin α是方程25760x x --=的根，∴3sin 5α=-或sin 2α=（舍)．故29sin 25α=，22169cos tan 2516αα=⇒=．∴原式22222222sin cos (cos )cos (cos )tan 1925cos sec 1tan 1sin (sin )cos sin (sin )cos cos 1616αααααααααααααααα--=====+=+=-- 【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式．【考点2 利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式，应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了【例2】（2019秋•颍泉区校级期中）化简：3tan()cos(2)sin()2cos()sin()ππαπαααππα---+----．【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解．【答案】解：3tan()cos(2)sin()(tan )cos (cos )21cos()sin()(cos )sin ππαπααααααππααα---+--==------．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【变式2-1】（2019春•兰考县校级期末）化简：9sin(4)cos()tan(5)211sin()cos(2)sin(3)sin()22ππααπαππαπαπαα-+--+--+．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【答案】解：222229sin(4)cos()tan(5)sin()(sin )tan 112111(cos )cos()sin cos cos cos sin()cos(2)sin(3)sin()22sin sin cos ππααπααααααππααααααααπαπαα-+------=-=+==---+--+．【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．【变式2-2】（2019春•东莞市校级期末）化简sin(5)cos()cos(7)23sin()sin(3)2πθπθπθπθπθ-------．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【答案】解：sin(5)cos()cos(7)sin()cos()cos()sin (sin )(cos )22sin 33cos sin sin()sin(3)sin()sin()22ππθπθπθθπθπθθθθθππθθθπθθπθ-----+----===-------．【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．【变式2-3】（2019春•西安月考）化简：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)πθπθπθθππθ-----+．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【答案】解：tan(2)sin(2)cos(6)tan (sin )cos sin tan cos()sin(5)cos (sin )cos πθπθπθθθθθθθππθθθθ------===-+--，【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．【考点3 诱导公式在函数中的应用】【例3】（2019春•怀化期末）已知3cos()cos()sin()22()sin()cos(2)x x x f x x x ππππ+--=--- （Ⅰ）化简()f x ；（Ⅱ）若x 是第三象限角，且tan 2x =，求()f x 的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式即可化简得解；（Ⅱ）由tan 2x =，可得sin 2cos x x =，根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解．【答案】解：（Ⅰ）(sin )cos (cos )()cos sin cos x x x f x x x x--==．（Ⅱ）tan 2x =，sin 2cos x x ∴=，代入22sin cos 1x x +=，得：25cos 1x =，x 是第三象限角， ∴()cos f x x ==．【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【变式3-1】（2019春•大武口区校级期末）已知sin()sin cos().()3sin()cos()sin()222f πααπααπππααα++=-++（1）化简()f α；（2）若1()3f α=，求223sin 4sin cos 5cos αααα-+的值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．（2）求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【答案】解：（1）sin sin (cos )()tan cos (sin )cos f αααααααα--==--．（2）1()3f α=，可得：1tan 3α=，222222223sin 4sin cos 53tan 4tan 53sin 4sin cos 5sin tan 1cos cos cos ααααααααααααα-+-+-+==++，将1tan 3α=代入，得22183sin 4sin cos 55cos αααα-+=．【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．【变式3-2】（2018秋•红塔区校级期末）已知sin(2)tan()cos()()cos()tan(3)f παπααπαπαπα-+--=--．（1）将()f α化为最简形式；（2）若31()()25f f παα-+=，且(0,)απ∈，求tan α的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．（2）由题意可得sin cos αα+的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sin cos αα-的值，可得sin α的cos α的值，从而求得tan α的值．【答案】解：（1）由题意可得，(sin )tan (cos )()sin (cos )(tan )f ααααααα--==--．（2）331()()sin sin()sin cos 225f f ππαααααα-+=-+=+=①，平方可得112sin cos 25αα+=，∴242sin cos 025αα=-<，因为(0,)απ∈，所以(,)2παπ∈，sin cos 0αα->，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=，所以7sin cos 5αα-=②，由①②可得：43sin ,cos 55αα==-，所以4tan 3α=-．【点睛】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．【变式3-3】（2018秋•汕头校级期中）已知函数(sin tan )cos ()1cos()x x xf x x +=+-．（1）若()sincos 06f πθθ⨯-=，求sin cos θθ的值．（2）若1()cos 8f θθ=，且344ππθ<<，求(2019)cos(2018)f πθπθ---的值；【分析】（1）由题意利用诱导公式求得tan 2θ=，再根据222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ==++，计算求得结果．（2）利用诱导公式化简要求的式子为sin cos 0θθ->，再计算2(sin cos )θθ-的值，可得要求式子的值．【答案】解：（1）函数(sin tan )cos sin cos sin ()sin 1cos()1cos x x x x x xf x x x x++===+-+，若1()sincos sin cos 062f πθθθθ⨯-=-=，则tan 2θ=， 222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθ∴===++．（2）1()cos sin cos 8f θθθθ==，且344ππθ<<， (2019)cos(2018)sin(2019)cos(2018)sin cos 0f πθπθπθπθθθ∴---=---=->，23(sin cos )12sin cos sin cos 4θθθθθθ-=-=∴-=，即(2019)cos(2018)f πθπθ---=【点睛】本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，属于基础题．【考点4 分类讨论思想】【例4】化简：4141sin()cos()()44n n n Z παπα-+-+-∈．【分析】对n 分当2n k =与21()n k k Z =+∈讨论，利用诱导公式化简求值即可．【答案】解：4141sin()cos()sin()cos()4444n n n n πππαπαπαπα-+-+-=--++-，当2()n k k Z =∈时，上式sin()cos()sin[()]cos()044244πππππαααα=-++-=---+-=；当21()n k k Z =+∈时，上式35sin()cos()sin()cos()cos()cos()0444444ππππππαααααα=-+-=+--=---=．【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，分类讨论是关键，是基本知识的考查．【变式4-1】（2019春•集宁区校级月考）设k 为整数，化简sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---+++．【分析】分k 为偶数和奇数两种情况，分别利用诱导公式进行化简求值．【答案】解：当k 为偶数时，sin()cos[(1)]sin()(cos )1sin[(1)]cos()sin cos k k k k παπαααπαπααα-----==-+++-．当k 为奇数时，sin()cos[(1)]sin cos 1sin[(1)]cos()sin (cos )k k k k παπαααπαπααα---==-+++-，综上可得，sin()cos[(1)]1sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---=-+++．【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．【变式4-2】（2019•广东模拟）化简sin()cos()cos[(1)]n n n παπαπα+-+-，n Z ∈．【分析】利用诱导公式化简．应分当n 为偶数时和为奇数时两种情况．因为这两种情况正余函数的正负值不同．【答案】解：当2()n k k Z =∈时，原式sin cos sin cos αααα==--；当21()n k k Z =-∈时，原式(sin )(cos )sin cos αααα--==．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用．注意三角函数的正负号的判断．【变式4-3】已知222cos ()sin ()()()cos [(21)]n x n x f x n Z n x πππ+-=∈+-，（1）化简()f x 的表达式；（2）求502()()20101005f f ππ+的值．【分析】（1）看n 为奇数和偶数时，分别根据诱导公式化简整理，最后综合可得答案．（2）把2010x π=和5021005π代入函数解析式，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求得答案．【答案】解：（1）当n 为偶数，即2n k =，()k Z ∈时，2222222222cos (2)sin (2)cos sin ()cos (sin )()sin cos [(221)]cos ()(cos )k x k x x x x x f x x k x x x ππππ+---====⨯+---，()n Z ∈ 当n 为奇数，即21n k =+，()k Z ∈时2222222222222cos [(21)]sin [(21)]cos [2()]sin [2()]cos ()sin ()(cos )sin ()sin ,()cos {[2(21)1]}cos [2(21)()]cos ()(cos )k x k x k x k x x x x x f x x n Z k x k x x x ππππππππππππ+++-+++-+--=====∈⨯++-⨯++--- 2()sin f x x ∴=；（2）由（1）得225021004()()sin sin 2010100520102010f f ππππ+=+ 2222sin sin ()sin cos ()120102201020102010πππππ=+-=+=【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值．在利用诱导公式时注意根据角的范围，确定三角函数的正负．【考点5 利用诱导公式进行证明】【例5】（2019春•凉州区校级月考）证明下列等式：（1）2cos()2sin(2)cos(2)sin 5sin()2πααππααπα---=+ （2）tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++【分析】（1）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，最后约分即可求得答案．（2）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，注意符号的判断．【答案】证明：（1）左边2cos()sin 2sin(2)cos(2)sin cos sin 5cos sin()2παααππααααπαα-=--===+右边．（2）左边tan(2)sin(2)cos(6)tan (sin )cos tan 33cos sin sin()cos()22παπαπαααααππαααα------===-=-++右边．【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值．可采用“奇变偶不变，正负看象限”的口诀记忆．【变式5-1】（2019秋•岳池县校级月考）求证：（1）22sin()cos 1tan(9)112sin tan()1πθθπθθπθ+-++=-+-；（2）2tan sin cos (tan sin )tan sin sin θθθθθθθθ+=-．【分析】（1）原式左边利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，右边利用诱导公式化简，得到两结果相等，即可得证；（2）原式左边与右边分别利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后得到两结果相等，即可得证．【答案】证明：（1）左边2222sin cos 1(sin cos )(sin cos )tan 1sin cos tan 1tan 1(sin cos )cos sin )(sin cos )tan 1cos sin 1tan tan 1cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---+++----+=======-+------；右边tan(8)1tan 1tan 1tan 1ππθθθθ++++==--， ∴左=右，得证；（2）左边2sin sin sin cos sin sin (1cos )1cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ===---，右边22sin cos (sin )sin (1cos )sin cos 11cos sin cos θθθθθθθθθθ++===--，∴左=右，得证．【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．【变式5-2】已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，求证：（1）cos(2)cos A B C A ++=-；（2）sincos 22B C A +=；（3）3tantan44A B Cπ++=-．【分析】（1）由已知条件利用cos()cos παα+=-进行证明．（2）由已知条件利用sin()cos 2παα-=进行证明．（3）由已知条件利用tan()tan παα-=-进行证明．【答案】证明：（1）A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，A B C π∴++=，cos(2)cos()cos A B C A A π∴++=+=-， cos(2)cos A B C A ∴++=-．（2）A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，A B C π∴++=，sin sin()sin()cos 22222B C A A Aππ+-∴==-=， sincos 22B C A+∴=．（3）)A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，A B C π∴++=，3tan tan tan()tan4444A B C C Cππππ+--+∴==--=-． 3tantan44A B Cπ++∴=-．【点睛】本题考查三角函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理和诱导公式的合理运用．【变式5-3】设8tan()7a πα+=，求证：1513sin()3cos()37720221sin()cos()77a a ππααππαα++-+=+--+．【分析】由条件利用诱导公式求得tan()7a πα+=，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简等式的左边为tan()37tan()17παπα++++，再把tan()7a πα+=，从而得到要证的等式的右边．【答案】证明：8tan()tan()77a ππαα+=+=，∴1513sin()3cos()sin()3cos()sin()3cos()tan()3377777772022681sin()cos()sin()cos()sin()cos()tan()17777777a a πππππππαααααααπππππππααααααα++-+++++++++====+--+--++++++，故要证的等式成立．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．【考点6 角的灵活拆分问题】【例6】已知1sin 3β=，sin()1αβ+=，求sin(23)αβ+的值．【分析】由已知sin()1αβ+=，得22k παβπ+=+，再将2αβ+化为2()αββ++，利用三角函数的诱导公式求解．【答案】解：sin()1αβ+=，22k παβπ∴+=+．又1sin 3β=， 1sin(23)sin[2()]sin 3αβαβββ∴+=++=-=-．【点睛】本题考查了三角函数求值，利用整体代入是常用的技巧，是基础题．【变式6-1】已知3cos(75)5α︒+=，且75α︒+是第四象限角，求cos(105)sin(105)sin(15)ααα︒-+-︒+︒-的值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(75)α︒+的值，利用诱导公式即可化简求值．【答案】解：3cos(75)5α︒+=，且75α︒+是第四象限角，4sin(75)5α∴︒+=-， cos(105)sin(105)sin(15)ααα∴︒-+-︒+︒-cos(75180)sin(75180)sin(7590)ααα=︒+-︒++︒-︒-︒+-︒cos(75)sin(75)cos(75)ααα=-︒+-+︒+︒+343()555=---+ 45=．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式的综合应用，属于基础题．【变式6-2】已知1cos(55)3α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(125)α+︒的值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(55)α-︒的值，再利用诱导公式求得sin(125)α+︒的值．【答案】解：1cos(55)3α-︒=-，且α为第四象限角，55α∴-︒为第三象限角，sin(55)3α∴-︒==-．sin(125)sin(55180)sin(55)ααα∴+︒=-︒+︒=--︒= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．【变式6-3】（2019秋•秀屿区校级月考）(1，3班做）已知1sin()43πα-=，则5cos()4πα+的值等于( )A ．13-B ．13 C ．3- D ．3【分析】直接对函数的关系式利用诱导公式变换求出结果．【答案】解：已知1sin()43πα-=，故：5cos()cos[()]cos()sin[()]44424πππππαπααα+=++=-+=--+1sin()sin()443ππαα=--=-=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数诱导公式的应用及相关的运算问题．。

三角函数的诱导公式(一)

§1.3三角函数的诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．知识点一诱导公式二角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，角π＋α的终边与单位圆的交点P1与P也关于原点对称，因此点P的坐标是(－cos α，－sin α)，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三知识点三诱导公式四角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．1．诱导公式中角α是任意角．(×)提示正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．2．sin(α－π)＝sin α.(×)提示sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.3．cos 43π＝－12.(√)提示cos 4π3＝cos⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(×) 提示在角度制和弧度制下，诱导公式都成立.题型一给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin11π4；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6；(4)cos(－1 920°)．考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π4 ＝sin3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝sin π4＝22.(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋7π6 ＝－sin7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1 求下列三角函数式的值： (1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)； (3)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π. 考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四解 (1)sin(－330°)·cos 210° ＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin(1 080°＋120°)·⎝⎛⎭⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9°×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－⎝⎛⎭⎫－22×(－1)＝3－22. (3)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π－π6tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6tan ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－32·⎝⎛⎭⎫－32·(－3)＝－334. 题型二条件求值或给值求角问题例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3考点同名诱导公式题点诱导公式一、二、三答案 D解析由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．考点同名诱导公式题点诱导公式三、四解因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.反思感悟 (1)解决条件求值问题的策略①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．跟踪训练2 如果A 为锐角，sin(π＋A )＝－12，那么cos(π－A )等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32考点同名诱导公式题点诱导公式二、四答案 D解析因为sin(π＋A )＝－sin A ＝－12，所以sin A ＝12，又A 为锐角，所以A ＝π6；所以cos(π－A )＝－cos A ＝－cos π6＝－32.利用诱导公式化简典例化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.考点同名诱导公式题点诱导公式一、二、三、四综合应用解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．解当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.[素养评析] (1)三角函数式的化简方法①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． ②常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． ③注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(2)理解运算对象、掌握运算法则、求得运算结果，通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的数学核心素养．1．sin7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12考点同名诱导公式题点诱导公式二答案 A 解析 sin7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－sin π6＝－12. 2．已知角α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．sin(α－2π)＝sin β C ．cos α＝cos β D ．cos(2π－α)＝－cos β考点同名诱导公式题点诱导公式三答案 C解析由角α和β的终边关于x 轴对称，可知β＝－α＋2k π(k ∈Z )，故cos α＝cos β. 3．已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( )A ．±35B ．±45 C.925 D.1625考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四答案 D解析原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α) ＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin 2α，由cos α＝35，得sin 2α＝1－cos 2α＝1625.4．已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案 D解析由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )， sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. 5．若f (θ)＝2cos 3θ－sin 2(θ＋π)－2cos (－θ－π)＋12＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)，求f ⎝⎛⎭⎫π3的值．考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四解由已知得f (θ)＝2cos 3θ－sin 2θ＋2cos θ＋12＋2cos 2θ＋cos θ＝2cos 3θ－(1－cos 2θ)＋2cos θ＋12＋2cos 2θ＋cos θ＝2cos 3θ＋cos 2θ＋2cos θ2＋2cos 2θ＋cos θ＝cos θ(2cos 2θ＋cos θ＋2)2cos 2θ＋cos θ＋2＝cos θ，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12.1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．一、选择题1．sin 315°＋sin(－480°)＋cos(－330°)的值为( )A.12 B ．－12 C ．－22 D.22考点同名诱导公式题点诱导公式一、二、三、四答案 C解析原式＝sin(360°－45°)＋sin(－360°－120°)＋cos(－360°＋30°)＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°＝－22－32＋32＝－22.故选C.2．(2018·南昌高一检测)点P (sin 2 018°，tan 2 018°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案 B3．sin 2 017π3的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32考点同名诱导公式题点诱导公式一答案 C解析 sin 2 017π3＝sin ⎝⎛⎭⎫672π＋π3＝sin π3＝32.故选C.4．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2考点同名诱导公式题点诱导公式二、三答案 D解析原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.5．(2018·四川雅安中学高二期中)若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是() A.12 B ．－12 C ．－32 D.32考点同名诱导公式题点诱导公式一、二、三答案 B解析由题意知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.6．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32考点同名诱导公式题点诱导公式四答案 C解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32.7．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为() A.53 B ．－53C ．±53 D ．以上都不对考点同名诱导公式题点诱导公式二、四答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53.8．(2018·临沂高一检测)cos ⎝⎛⎭⎫k π＋π3(k ∈Z )的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±32考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案 A二、填空题9．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为．考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案－ 3解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝－3a ＝3，即a ＝－ 3. 10.2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为．考点同名诱导公式题点诱导公式一、二、三答案 1－sin θ解析2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ) ＝2＋2sin (－θ)－cos 2θ＝1－2sin θ＋sin 2θ ＝|1－sin θ|＝1－sin θ.11．(2018·河北石家庄第一中学高二期中)化简：sin (2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ)＝ . 考点同名诱导公式题点诱导公式综合应用答案－1解析原式＝sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝－sin θcos θcos θsin θ＝－1. 12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 017)＝－1，则f (2 018)＝ .考点同名诱导公式题点诱导公式二答案 1解析 ∵f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin(π＋2 017π＋α)＋b cos(π＋2 017π＋β)＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＝－f (2 017)，又f (2 017)＝－1，∴f (2 018)＝1.三、解答题13．(2018·大庆高一检测)已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值．考点同名诱导公式题点诱导公式综合应用解因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43. 所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝－2×⎝⎛⎭⎫－45－3×⎝⎛⎭⎫－43－4×35＝－73.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，求f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值．考点同名诱导公式的综合题点诱导公式综合应用解由题意得f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 15．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．考点同名诱导公式的综合题点诱导公式综合应用解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265.∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

三角函数的化简、求值——诱导公式

三角函数的化简、求值——诱导公式
三角函数的化简和求值是解决三角函数问题中常见的任务，而诱导公式是一种常用的化简工具。

首先，让我们回顾一下三角函数的基本定义。

对于任意角θ，正弦函数sin(θ)定义为对边与斜边的比值，余弦函数cos(θ)定义为邻边与斜边的比值，而正切函数tan(θ)定义为对边与邻边的比值。

现在，让我们来讨论一下诱导公式。

诱导公式是指一组用于将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数的公式。

最常用的诱导公式包括：
1. 正弦函数的诱导公式，sin(α±β) = sinαcosβ ±
cosαsinβ。

2. 余弦函数的诱导公式，cos(α±β) = cosαcosβ ∓
sinαsinβ。

3. 正切函数的诱导公式，tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。

这些诱导公式可以帮助我们化简复杂的三角函数表达式，或者求解包含多个角的三角函数表达式。

通过使用这些诱导公式，我们可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数，从而更容易地进行计算和分析。

当我们需要化简或求解涉及多个角的三角函数表达式时，诱导公式是非常有用的工具。

通过灵活运用这些公式，我们可以更加高效地解决各种三角函数相关的问题。

因此，熟练掌握诱导公式是学习和应用三角函数的重要一步。

重点突破3：利用诱导公式化简求值

重点突破：利用诱导公式化简求值姓名：___________班级：___________1、诱导公式主要是用来化简[,2]2ππ内的角，锐角不用化简，超过2π的角先去掉周期后再利用诱导公式。

2、诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇变偶不变”针对函数名称而言，先将角度整理为2n πα⨯+的模式，若n 为奇数将函数名称sin 变成cos ，或者cos 变成sin ；若n 为偶数那么函数名称不发生改变。

这里与n 的正负无关。

3、“符号看象限”是针对未化简前的角度，在原函数中的符号。

4、注意在利用诱导公式化简中，角度2n πα⨯+中的α，不管题目有无限制条件都看成锐角，化简完成后在考虑角的范围。

1．如果sin π−α=13，那么sin π+α−cos −α等于（）A.−23B.23 C.D.−2．已知sin (π3−x)=35,则cos (5π6−x)等于（）A.35B.45C.−35D.−453．若sin (π2−α)=cos 2α等于（）A.29B.−29C.13D.−134．若α∈(0,π)，sin (π−α)+cos α=sin α−cos α的值为（）A.B. C.43D.−435．若sin (π6−α)=13，则cos (2π3+2α)的值为（）A.−79B.79 C.13D.−136．已知sin (π2+θ)+3cos (θ−π)=sin (−θ)，则sin θcos θ+cos 2θ=()A.15B.35C.25D.457．已知函数f x =−x 2−2x,x ≥0x 2−2x,x <0，又α,β为锐角三角形两锐角，则（）A.f sin α>f cos βB.f sin α<f cos βC.f sin α>f sin βD.f cos α>f cos β8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 22n π)a n ＋sin 22n π，则该数列的前10项和为()A.2101B.1067C.1012D.2012本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

《诱导公式五、六》三角函数

利用诱导公式五、六证明三角恒等式
总结词
在一些情况下，可以利用诱导公式五、六来证明一些三角恒等式。
详细描述
在一些情况下，要证明的三角恒等式形式可能较为复杂，此时可以利用诱导公式五、六来进行化简和变形，从而证明该恒等式。例如，可以利用诱导公式五、六来证明一些涉及到正弦、余弦、正切函数的恒等式，如两角和与差的三角函数公式等。
乘积化和差或和差化积的三角函数式。
利用诱导公式五、六求三角函数的值
总结词
在求解一些三角函数值的问题中，可以利用诱导公式五、六来得到所需的值。
详细描述
在一些情况下，直接使用三角函数的定义来求解其值可能较为繁琐。此时，可以利用诱导公式五、六来简化求解过程。例如，可以利用诱导公式五来求得一个在第二象限的角的正弦值或余弦值，也可以利用诱导公式六来求得一个在第四象限的角的正切值。
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差倍角公式来解决。
三角函数是一种在直角坐标系中表示角度的数学函数，它们具有周期性和对称性等性质，这些性质可以用来推导诱导公式五、六。
诱导公式五、六的内容
诱导公式五
$\sin(k\pi+\alpha)=\sin\alpha$，其中$k$是整数。
诱导公式六
$\cos(k\pi+\alpha)=(-1)^{k}\cos\alpha$，其中$k$是整数。
变种二

1分钟学会-诱导公式化简求值问题

1分钟学会-诱导公式化简求值问题诱导公式是指一组六个三角函数之间的关系式，它们可以相互转化。

在求解三角函数值时，有时候可以通过利用诱导公式将一个函数转化为其他函数来简化计算。

以下是一些通过使用诱导公式求解三角函数值的例子。

例1：求解sin(π/4)的值。

我们知道sin(π/4)可以通过利用45度角（π/4弧度）对应的特殊三角形上的边长比例来求解。

但是我们也可以通过使用诱导公式简化计算。

诱导公式中，我们有：sin(π/4) = (sin(π/6) + cos(π/6)) / 2现在，我们已经知道sin(π/6)和cos(π/6)的值，它们都是特殊三角形上45度角对应的边长比例：sin(π/6) = 1/2cos(π/6) = √3/2将这些值代入诱导公式中，我们可以得到：sin(π/4) = (1/2 + √3/2) / 2=(√3+1)/4因此，sin(π/4)的值是(√3 + 1) / 4例2：求解tan(7π/6)的值。

对于tan(θ)，我们可以使用诱导公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)现在，我们已经知道sin(7π/6)和cos(7π/6)的值，它们可以通过特殊三角形上120度角（或7π/6弧度）对应的边长比例来求解：sin(7π/6) = -1/2cos(7π/6) = -√3/2将这些值代入诱导公式中，我们可以得到：tan(7π/6) = (-1/2) / (-√3/2)=1/√3=√3/3因此，tan(7π/6)的值是√3/3通过使用诱导公式，我们可以将一些三角函数的值转化为其他三角函数的值，从而简化计算。

需要注意的是，诱导公式中的一些值是在特殊三角形上的边长比例，这些值可以通过记忆或者推导得到。

诱导公式在三角恒等变换中的地位和作用

诱导公式在三角恒等变换中的地位和作用在三角恒等变换中，诱导公式起着十分重要的作用。

首先，它可以用来研究三角函数的导数，其次，它可以反推三角函数，推导出新的等式。

用诱导公式，可以根据一些已知的三角函数，推导出别的三角函数。

例如，在旋转坐标系中，可以用诱导公式推导出新的两个三角函数（即角度的正弦和余弦）；在三角函数的加减法中，可以用诱导公式推导出新的三角函数，如正切的相反函数等等。

最后，诱导公式可以用来证明三角恒等变换的等式，例如求和公式和差分公式等等。

只有从诱导公式出发，我们才能真正证明三角恒等变换的各种公式。

利用诱导公式求三角函数值

诱导公式是用于计算任意角度（而非仅限于 0°至 90°之间的角度）的三角函数值的方法。

通过将任意角度转换为其等效的急角，然后使用已知的三角函数值计算角度的三角函数值。

诱导公式通过角度的性质和周期性简化计算，以此确定目标角度与标准角之间的关系。

以下是求解三角函数值的步骤（以计算正弦函数为例）：1. 将角度转换为 0° - 360°之间的等效角度。

例如，如果给定角度是 405°，可将其减去360°，得到等效角度为 45°；若给定角度为 -30°，可将其加上360°，得到等效角度为330°。

2. 利用诱导公式找到目标角度与标准角之间的关系。

在正弦函数的情况下，以下是诱导公式：3. 若α 是0° ≤ α ≤ 90° 的角，那么sin(α) = sin(α)；4. 若α 是90° < α ≤ 180° 的角，那么sin(α) = sin(180° - α)；5. 若α 是180° < α ≤ 270° 的角，那么sin(α) = -sin(α - 180°)；6. 若α 是270° < α ≤ 360° 的角，那么sin(α) = -sin(360° - α)。

7. 使用已知三角函数值计算目标角度的三角函数值。

例如，已知 sin(30°) = 1/2，可根据诱导公式计算出 sin(330°) = -sin(360° - 330°) = -sin(30°) = -1/2。

其他三角函数（余弦、正切等）也可以使用类似的诱导公式求解任意角度的函数值。

这些经典诱导公式可以极大地简化计算过程，并且充分利用已知关系和性质。

tanx 诱导公式

tanx 诱导公式tanx 诱导公式是数学中的一个重要公式，它在三角函数中具有广泛的应用。

tanx 诱导公式的形式为：tan(x+y) = (tanx + tany) / (1 - tanx * tany)这个公式可以通过将 tan(x+y) 展开为两个角的和，然后利用三角函数的定义进行推导得到。

接下来，我将详细介绍 tanx 诱导公式的推导过程以及它的一些应用。

我们可以通过正切函数的定义来推导 tanx 诱导公式。

正切函数的定义为：tanx = sinx / cosx将 x 替换为 x+y，我们得到：tan(x+y) = sin(x+y) / cos(x+y)接下来，我们可以利用三角函数的和差化积公式来展开sin(x+y) 和cos(x+y)：sin(x+y) = sinx * cosy + cosx * sinycos(x+y) = cosx * cosy - sinx * siny将上述结果代入 tan(x+y) 的表达式中，我们得到：tan(x+y) = (sinx * cosy + cosx * siny) / (cosx * cosy - sinx * siny)接下来，我们可以对 tan(x+y) 进行化简，首先将分子和分母同时除以 cosx * cosy：tan(x+y) = (sinx / cosx + siny / cosy) / (1 - (sinx * siny) / (cosx * cosy))利用 sinx / cosx = tanx 和 siny / cosy = tany，我们可以继续化简：tan(x+y) = (tanx + tany) / (1 - tanx * tany)从上述推导过程可以看出，tanx 诱导公式是通过将tan(x+y) 展开为两个角的和，然后利用三角函数的定义和和差化积公式进行推导得到的。

这个公式在解决一些三角函数的复杂运算问题时非常有用。