淄博市高三第一次摸底考试数学(文理科含答案)201512
2015淄博一模 山东省淄博市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题word版含答案
山东省淄博市2015届高三下学期第一次模拟考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数31(ii i +是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、集合2{|{|log ,0}A x y B y y x x ===>，则A B 等于（ ）A ．RB ．φC ．[)0,+∞D ．()0,+∞3、某中学从高三甲乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛它们取得成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数为86，则x y +的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104、已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=（ ）A ．-1B ．1C ．-5D ．55、将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．3x π= B ．6x π= C ．12x π= D ．12x π=-6、已知命题:1p a ≠或2b ≠，命题:3q a b +≠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、函数1sin y x x=-的图象大致是（ ）8、函数()21x f x e x x =+++与()g x 的凸显关于直线230x y --=的距离的最小值是（ ） A．．9、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图，侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．56 B ．34C ．12D ．16 10、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的 切线交双曲线右支于点P ，切点1,T PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
山东省淄博市高三数学一模试卷理(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）2．集合A={x|y=x}，B={y|y=log 2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于（ ）3．已知命题p ：x ≠1或y ≠2，命题q ：x+y ≠3，则命题p 是q 的（ ）4．将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）5．函数y=的一段大致图象是（ ）C6．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A ，B两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）7．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）C9．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）B C D10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有个．12．已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为．13．已知向量满足，，则的夹角为．14．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．21．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）解：因为复数==所以复数在复平面内对应的点为（﹣2．集合A={x|y=x}，B={y|y=log2x，x∈R}，则A∩B等于（）y=x3．已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）4．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）=）图象向左平移个单位，2x+）x=x=5．函数y=的一段大致图象是（ ）C，所以，函数在（﹣∞，6．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A ，B 两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）只有一个选中，则不同演出顺序有共有：7．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）C四棱锥的体积为：×=﹣=9．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）Cd=．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）|MT|=|PF﹣（（|OM|=|PF|MT|=|PF=×（﹣二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3 个．的值，12．已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为﹣13 ．﹣﹣，﹣=；），13．已知向量满足，，则的夹角为．解：向量满足，==化为==．故答案为：．14．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．⇒15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．）﹣间的距离为，可得最小正周期为﹣C=，由已知可得c=sin+﹣sin﹣﹣sin2cos2）﹣∵其图象两相邻对称轴间的距离为．2x﹣∴﹣＜，=，C=由已知∥可得17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．BD=2AD=2BD=2AD=2，2，，=（﹣，，（的法向量为，取的一个法向量为=的一个法向量为=＜=所成角（锐角）的余弦值为18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．从而==成立的最，，得，∵从第二项起是首项为，公比为=．==A=，，==时，+，即时，使成立的最小正整数20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．=．分别解出=，由=．x＜．==时，，此时函数＜时，，令或，解得）或）在，由=≤，化为在（21．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．=，﹣﹣+y 4，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出•：的距离为=，的方程为+y，，﹣•﹣•﹣﹣﹣，﹣kk==y=﹣，y=，=，，∴=k==•=，﹣，﹣•为定值。
山东省淄博市高三数学一模试卷文(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A 为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．解答：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A和B，再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B．解答：解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，集合B={y|y=log2x，x＞0}=R，因为A⊆B，所以A∩B=A={x|x≥0}，故选：C．点评：本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题．3．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（） A．﹣1 B． 1 C．﹣5 D． 5考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．解答：解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A． x= B． x= C． x= D． x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．已知命题p：a≠1或b≠2，命题q：a+b≠3，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案．解答：解：∵命题q：a+b≠3，命题p：a≠1或b≠2，￢p：a=1且b=2，￢q：a+b=3，∴￢p⇒￢q，反之不成立，例如a=，b=．因此命题q是p的充分不必要条件．故选：B．点评：本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．7．函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）==﹣f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，再研究函数x﹣sinx单调性选出答案．解答：解：f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴当x＞0时，函数x﹣sinx单调递增，故单调递减，D不符合，A符合，故选：A点评：本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题．8．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A． B． C． D． 2考点：点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用．分析： f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由e s+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．解答：解：f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则e s+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．点评：本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，从而求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体；∵正方体的体积为V正方体=1×1×1=1，正四棱锥的体积为V正四棱锥=×1×1×=；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V正四棱锥=1﹣=．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A． b﹣a=|MO|﹣|MT| B． b﹣a＞|MO|﹣|MT| C． b﹣a＜|MO|﹣|MT| D． b﹣a=|MO|+|MT|考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．解答：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．点评：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3个．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．点评：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是7 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时z min=3×1+2×2=7，故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13．若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k= ±2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．解答：解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得△=36k2﹣32（k2+1）=0，解得k=±2故答案为：±2点评：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．14．已知向量满足，，则的夹角为．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算及其性质即可得出．解答：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解答：解：①f（x）=，x∈时，f（x）∈，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈时，f（x）∈，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈时，f（x）∈，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．解答：证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，则有FG∥AB且FG=AB=2，又因为DC∥AB，CD=2，所以FG∥DC，FG∥DC，所以四边形CFGD是平行四边形．所以CF∥GD，又因为GD⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE；（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，所以BD=．同理EA⊥ED，EA=ED=2，所以AD=．又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面EAD，又因为AE⊂平面EAD，所以BD⊥AE．点评：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，∴该小组有20÷0.25=80（人）∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）；（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，∴所求概率为P==点评：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差后可得数列{a n}是首项为，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式得，代入S n=a n+1﹣求得S n；（Ⅱ）把S n代入b n=log2（2S n+1）﹣2，结合c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn求得c n，然后利用裂项相消法及等比数列的前n项和得答案．解答：解：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1（n≥2），∴，又，得a2=1，∴，∴数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，则，；（Ⅱ）b n=log2（2S n+1）﹣2=，∴c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，即，，+（2﹣1+20+…+2n﹣2）===．由4T n＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．∴使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和、裂项相消法求数列的和及等比数列的前n项和，是中档题．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题．解答：解：依题意f′（x）=，（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，当时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（）=﹣．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+﹣a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0＜a＜2，所以f′（x）=2x+﹣a＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（Ⅲ）当a∈（0，）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．故问等价于：当a∈（0，）时，不等式1﹣a＜mlna恒成立，即m＜恒成立．记g（a）=，则g′（a）=，令M（a）=﹣alna﹣1+a，M′（a）=﹣lna＞0，所以M（a）在a∈（0，）上单调递增，M（a）＜M（）=，故g′（a）＜0，所以g（a）=在a∈（0，）上单调递减，所以M=﹣，即实数m的取值范围为（﹣]．点评：本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M， N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用求得a和b的值，确定椭圆的方程．（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）进一步求出②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出．（ii）设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：，进一步求出OT的直线方程为：，则直线TF2的斜率为：，进一步化简得到；，从而得到结论．解答：解：（Ⅰ）因为点P（，m）在抛物线上，且|PF2|=，抛物线的准线方程为x=﹣，所以：解得：P=2所以抛物线的方程为：y2=4x将点P（，m）代入y2=4x解得：m=，所以P（）点P在椭圆上，且椭圆的焦点F2（1，0），所以：解得：a2=4，b2=3所以：椭圆的方程为：（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2）则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以：（x1+x2）+1]=由于k2≥0所以：所以的取值范围：（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：OT的直线方程为：，得到：T（4，﹣）直线TF2的斜率为：所以；则：TF2⊥MN点评：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．。
2015年山东省淄博市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝log2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．R B．∅C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要4．（5分）将函数y＝sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣5．（5分）函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860B．1320C．1140D．10207．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0B．x+y＜0C．x﹣y＜0D．x+y＞08．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3＝0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．210．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a＝|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a＝|MO|+|MT|二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有个．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b 的值为．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）＝sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若向量＝（1，sin A）与向量＝（3，sin B）共线，求a，b的值．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）在数列{a n}中，a3＝1，S n是其前n项和，且S n＝a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n＝log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4＝1+n（n+1）（n+2）•，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n 的值．20．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2＝1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为复数＝＝＝﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．2．（5分）集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝log2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．R B．∅C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：由A中y＝x，得到x≥0，即A＝[0，+∞），由B中y＝log2x，得到y∈R，即B＝R，则A∩B＝[0，+∞），故选：C．3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y＝3与x＝1且y＝2的条件关系即可．若x＝0，y＝3时，满足x+y＝3，但此时x＝1且y＝2，不成立，即充分性不成立．若x＝1，y＝2时，则x+y＝3成立，即必要性成立．即x+y＝3是x＝1且y＝2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）将函数y＝sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣【解答】解：将函数y＝sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），当x＝时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x＝，故选：C．5．（5分）函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数为奇函数，排除B、C两项；又，所以，函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，D 不正确．故选：A．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860B．1320C．1140D．1020【解答】解：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种．共有：+＝1140（种）．故选：C．7．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0B．x+y＜0C．x﹣y＜0D．x+y＞0【解答】解：设f（x）＝2x﹣3﹣x，f′（x）＝2x ln2+3﹣x ln3＞0；∴f（x）在R上单调递增；又由2x+3y＞2﹣y+3﹣x得2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y；∴f（x）＞f（﹣y）；∴x＞﹣y；∴x+y＞0．故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×＝，故组合体的体积V＝1﹣＝，故选：A．9．（5分）函数f（x）＝e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3＝0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵f（x）＝e x+x2+x+1，∴f′（x）＝e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3＝0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3＝0的斜率k＝2，由f′（x）＝e x+2x+1＝2，即e x+2x﹣1＝0，解得x＝0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y＝2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3＝0的最小距离，此时d＝，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d＝2．故选：D．10．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a＝|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a＝|MO|+|MT|【解答】解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|＝|PF2|，∴|MO|﹣|MT|＝|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）＝（|PF2|﹣|PF1|）+b＝×（﹣2a）+b＝b﹣a．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y＝的值，当x≤2时，由y＝x2﹣1＝3可得x＝2或﹣2；当x＞2时，由y＝log2x＝3可知x＝8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b 的值为﹣13．【解答】解：不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）；ax2+bx＞2可化为ax2+bx﹣2＞0，故﹣2﹣＝﹣；﹣2•（﹣）＝，解得a＝﹣4，b＝﹣9；故a+b＝﹣13；故答案为：﹣13．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．【解答】解：向量满足，，∴＝＝，化为＝，∴＝．故答案为：．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y 的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C （0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max＝8故答案为：[7，8]．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【解答】解：①f（x）＝，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）＝|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）＝log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y＝x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）＝sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若向量＝（1，sin A）与向量＝（3，sin B）共线，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣＝sinωx cosωx﹣﹣＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣1＝sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T＝π，∴ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）＝sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）＝1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，即C＝由已知∥可得sin B﹣3sin A＝0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a＝0①由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又已知c＝∴7＝a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a＝1，b＝3．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵BC⊥CD，BC＝CD＝2，∴BD＝2，同理EA⊥ED，EA＝ED＝2，∴AD＝2，又∵AB＝4，∴由勾股定理得BD⊥AD，又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AED，又∵AE⊂平面ADE，∴BD⊥AE．（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，∴OE⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则D（﹣，0，0），C（﹣2，，0），E（0，0，），＝（﹣，，0），＝（），设平面CDE的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得平面CDE的一个法向量为＝（1，1，﹣1），又平面ADE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝＝，∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）＝0.4，P（A2）＝0.5，P（A3）＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1，P（B1）＝0.5，P （B2）＝0.3，P（B3）＝1﹣0.5﹣0.3＝0.2．由题意可知：A i与B i相互独立，设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M＝A1B1+A2B2+A3B3，∴P（M）＝P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）＝0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2＝0.37．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ＝0）＝P （A1）P（B1）＝0.4×0.5＝0.2，P（ξ＝2）＝P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）＝0.4×0.3+0.5×0.5＝0.37，P（ξ＝3）＝P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）＝0.4×0.2+0.1×0.5＝0.13，P（ξ＝4）＝P（A2）P（B2）＝0.5×0.3＝0.15，P（ξ＝5）＝P（A2）P（B3）+P （A3）P（B2）＝0.5×0.2+0.1×0.3＝0.13，P（ξ＝6）＝P（A3）P（B3）＝0.1×0.2＝0.02．Eξ＝0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02＝2.5．19．（12分）在数列{a n}中，a3＝1，S n是其前n项和，且S n＝a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n＝log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4＝1+n（n+1）（n+2）•，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n 的值．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝a2，当n＝2时，a1+a2＝a3＝1，∴，由，得a n＝a n+1﹣a n，即2a n＝a n+1，n≥2，＝2，n≥2，∵，∴数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，∴a n＝，∴．（Ⅱ）由S n＝2n﹣2，得b n＝log2S n＝n﹣2，∵c n•b n+3•b n+4＝1+n（n+1）（n+2）•＝1+n（n+1）（n+2）•2n﹣2，c n＝+n•2n﹣2，∴T n＝+1×2﹣1+2×20+3×2+…+n•2n﹣2，令A＝＝＝，令B＝1×2﹣1+2×2+3×21+4×22+…+（n﹣1）•2n﹣12B＝1×20+2×21+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，﹣B＝2﹣1+20+2+22+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1，B＝（n﹣1），∴T n＝+＝，当n＞1时，＜2n+，即＜，∴n2+n﹣12＞0，（n+4）（n﹣3）＞0，n＞3，∴当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n＝4．20．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝﹣2x+3﹣＝．当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值＝f（1）＝2，f（x）极小值＝＝．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）＝＝，当a＝2时，f′（x）＝≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或，此时函数f （x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或）单调递减；f （x）在上单调递增．当a＝2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增．（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）＝f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）＝，由题意可知：g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g′（x）＝（1﹣a）x﹣2﹣≤0，化为在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2＝1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．∴2•＝，b＝1，a2﹣b2＝c2，解得a＝，∴椭圆E的方程为+y2＝1．（Ⅱ）MN的斜率不存在时，MN：x＝1，解得M（1，），N（1，﹣），•＝﹣；MN的斜率存在时，设直线MN：y＝k（x﹣1），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，•＝（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝（1+k2）[x1x2+1﹣（x1+x2）]＝（1+k2）•（+1﹣）＝﹣＝﹣∈[﹣1，﹣）．综上可得•的取值范围是[﹣1，﹣]；（Ⅲ）证明：∵椭圆的右顶点C（，0），∴设直线CD：y＝k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣k），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2＝0，∴x C•x D＝，∴x D＝＝，设点Q（x′，y′），直线BC的方程为y＝（x﹣），A、D、Q三点共线，则有，∴，∴y′+＝，∴＝，又∵yD＝k（xD﹣），∴＝＝k﹣，将x D＝代入，得：＝，∴y′＝﹣，∴•＝（0，﹣k）•（x'，﹣）＝1．即•为定值1．。
山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作淄博市2015—2016学年度高三模拟考试试题文科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭表示的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.设集合{}{}12,A x x B x x a =<<=≤，若A B ⊆，则a 的取值范围是A. 2a ≥B. 2a >C. 1a ≥D. 1a > 3.下列选项错误的是 A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,1x x x -+==则”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4.使函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ=+++是奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是 A. 3π B.23π C. 43π D. 53π 5.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π，且1,223,b a b a =+==r r r r 则 A.2 B. 3 C.1 D.36.在正项等比数列{}n a 中，若13213,22a a a ，成等差数列，则2016201720142015a a a a -=- A. 31-或 B. 91或 C. 3 D.97.已知双曲线2215y x m-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 A. 55y x =± B. 255y x =± C. 52y x =± D. 5y x =±8.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则PB=A. 211B. 42C. 38D. 1639.如果执行如右面的程序框图，那么输出的S=A.119B.600C.719D.494910.任取[]1,1k ∈-，直线:3l y kx =+与圆()()22:234C x y -+-=相交于M,N 两点，则23MN ≥的概率为 A. 32 B. 33 C. 23 D. 12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是________.12.某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数记为x ，那么x 的值为________.13.锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是三内角A,B,C 的对边，设2B A =，则b a的取值范围是________. 14.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x =-的最大值为________. 15.已知函数(),f n n N *∈，且()f n N *∈，若()()()()1f n f n f f n +++= ()31,11n f +≠，则()6f =______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本题满分12分）()()cos ,sin ,22sin ,22cos ,m x x n x x ==+-u r r 函数(),f x m n x R =⋅∈u r r .（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭且()1f x =，求5cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 17. （本题满分12分）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如图表所示（人数）：已知英语、数学的优秀率分别为24%、30%（注：合格人数中不包含优秀人数）.（I ）求a 、b 的值；（II ）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取6人.若再从这6人中任选2人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.18. （本题满分12分）四棱锥P A B C D P D -⊥中，平面,22//A B C D A D A B B C a A D B C===，，3,60PD a DAB =∠=o ，Q 是PB 的中点.（I ）若平面PAD ⋂平面PBC l =，求证：//l BC ；（II ）求证：DQ PC ⊥.19. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n a S =-，数列{}n b 为等差数列，且5715,21b b ==. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的第1b 项，第2b 项，第3b 项，…，第n b 项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2016项和.20. （本题满分13分）如图所示的封闭曲线C由曲线1C ：()222210,0x y a b y a b+=>>≥和曲线2:C ()2220x y r y +=<组成，已知曲线1C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32，点A,B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点. （I ）求曲线12C C 和的方程；（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意点，求QAB ∆面积的最大值；（III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线:l y kx m =+与曲线1C 相切于点M ，与x 轴交于点N ，直线OM 与直线433x =交于点P ，求证：以MF//PN.21. （本题满分14分）设函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）. （I ）若12a =，求()f x 的单调区间； （II ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围；（III ）若()f x 无极值，求a 的值.。
山东省淄博市2015届高三3月第一次模拟考试数学(文)试题
第 I 卷(共 50 分)
一 选择题 本大题共 10 小题 符合题目要求的 1.复数 小题 5 共 50 在 小题给出的四个选项中 只有一项是
1+ i i3
i 是虚数单位 在复 B. 第 象限
面 对应的点位于 C. 第 象限 D. 第四象限
A.第一象限 2.集合 A = x y = A.R
{
x , B = { y y = log 2 x, x > 0} 则A ∩ B 等于
1 π 3 sin ω x sin + ω x − cos 2 ω x − (ω > 0 ) 2 2
·3 ·
其图象两相邻对
轴间的距离为
π
2
. I 求 ω 的值 II 设 ∆ABC 的内角 A,B,C 的对边 别为 a,b,c,且 c =
7, f ( C ) = 0 若向
u r m = (1,sin A )
向
r n = ( 3,sin B ) 共线 求 a b 的值.
·4 ·
17. 本小题满 12 如图 在四棱锥 E − ABCD 中 面 EAD ⊥ BC=CD=EA=ED=2 F 是线段 EB 的中点. I 证明 CF// 面 ADE II 证明 BD ⊥ AE
面 ABCD DC//AB
BC ⊥ CD
13 14. 若直线 y = kx + 3 知向
目标函数 z = 3 x + 2 y 的最大值是＿＿＿＿
圆 x 2 + y 2 ＝1 相
则 k＝＿＿＿＿＿ 则a
r r r r r r a, b 满足 a = 2, b = 3, 2a + b = 37
r
r b 的夹角为_________.
山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作淄博市2015—2016学年度高三模拟考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭表示的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.设集合{}{}12,A x x B x x a =<<=≤，若A B ⊆，则a 的取值范围是A. 2a ≥B. 2a >C. 1a ≥D. 1a > 3.下列选项错误的是 A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,1x x x -+==则”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4.使函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ=+++是奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是 A. 3π B.23π C. 43π D. 53π 5.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π，且1,223,b a b a =+==r r r r 则 A.2 B. 3 C.1 D.36.在正项等比数列{}n a 中，若13213,22a a a ，成等差数列，则2016201720142015a a a a -=- A. 31-或 B. 91或 C. 3 D.97.已知双曲线2215y x m-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 A. 55y x =± B. 255y x =± C. 52y x =± D. 5y x =±8.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则PB=A. 211B. 42C. 38D.1639.如果执行如右面的程序框图，那么输出的S=A.119B.600C.719D.494910.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是________.12.二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则20a x dx =⎰________. 13.锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是三内角A,B,C 的对边，设2B A =，则b a的取值范围是________. 14.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x =-的最大值为________. 15.已知函数()()lg 1f x x =+，实数,a b 满足：()1,2b a b f a f b +⎛⎫<=- ⎪+⎝⎭，()10621412,f a b g a b ++=+则的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本题满分12分）()()cos ,sin ,22sin ,22cos ,m x x n x x ==+-u r r 函数(),f x m n x R =⋅∈.（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭且()1f x =，求5cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. （本题满分12分）PD ⊥平面,2A B C D A D A B B C a ===，//,3,60AD BC PD a DAB =∠=.（I ）若平面PAD ⋂平面PBC l =，求证：//l BC ；（II ）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小.18. （本题满分12分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中； 如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.（I ）重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率；（II ）复生上述过程3次后，记袋中白球的个数为X ，求X 的数学期望.19. （本题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为16，且125,,a a a 成等比数列.数列{}n b 满足11n n n b a a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式{}n n a b 和的前n 项和n T ；（II ）是否存在正整数(),1s t s t <<，使得1S t T T T ，，成等比数列？若存在，求出,s t20. （本题满分13分）如图所示的封闭曲线C 由曲线1C ：()222210,0x y a b y a b+=>>≥和曲线2:C ()210y nx y =-<组成，已知曲线1C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32，点A,B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点.（I ）求曲线12C C 和的方程；（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意点，求QAB ∆面积的最大值及点Q 的坐标； （III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线:l y kx m =+与曲线1C 相切于点M ，且与直线433x =交于点N ，求证：以MN 为直径的圆过点F.21. （本题满分14分）设函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）. （I ）若12a =，求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 在()1,0-内无极值，求a 的取值范围；（III ）设,0n N x *∈>，求证：211!2!!nxx x x e n >+++⋅⋅⋅+. 注：()!121n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯.。
山东省淄博实验中学2015届高三上学期第一次诊断考试(月考)数学(文)试题Word版含答案(人教A版)
淄博实验中学高三第一学期第一次诊断考试试题
数学（文科）
本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合2{|1},{|20}A x R x B x R x x 等于
A ．1,2
B ．1,
C ．1,1
D ．1,2
2、如果命题“p q ”为假命题，则
A ．,p q 均为真命题
B ．,p q 均为减命题
C ．,p q 中至少有一个为真命题
D ．,p q 中至多有一个真命题
3、已知sin()(0,0)f x A x A 在1x 处取最大值，则
A ．1f x 一定是奇函数
B ．1f x 一定是偶函数
C ．1f x 一定是奇函数
D ．1f x 一定是偶函数
4、已知222:450,:210p x x q x x ，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数的取值范围是
A ．0,1
B ．0,2
C ．30,2
D ．
0,2
5、设等差数列n a 的前n 项和为n S ，若11(,2)m m a a a m N m ，则必有
A ．0m S 且10m S
B ．0m S 且10
m S C ．0m S 且10m S D ．0m S 且10
m S 6、函数2log (4)3x
f x x 的零点有
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3。
山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题
淄博市2015—2016学年度高三模拟考试试题理科数学本试卷，分第I卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i是虚数单位，复数231ii-⎛⎫⎪+⎝⎭表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}{}12,A x x B x x a =<<=≤，若A B ⊆，则a 的取值范围是 A.2a ≥B.2a >C.1a ≥D.1a >3.下列选项错误的是 A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,1x x x -+==则”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4.使函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ=+++是奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是 A.3π B.23π C.43π D.53π 5.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π，且1,223,b a b a =+==r r r r 则 A.2 B.3 C.1 D.36.在正项等比数列{}n a 中，若13213,22a a a ，成等差数列，则2016201720142015a a a a -=- A.31-或 B.91或 C.3 D.97.已知双曲线2215y x m-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为A.55y x =±B.255y x =±C.52y x =±D.5y x =±8.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则PB=A.211B.42C.38D.1639.如果执行如右面的程序框图，那么输出的S=A.119B.600C.719D.494910.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()11,021,0x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是________. 12.二项式63ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则20a x dx =⎰________. 13.锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是三内角A,B,C 的对边，设2B A =，则b a的取值范围是________. 14.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x =-的最大值为________. 15.已知函数()()lg 1f x x =+，实数,a b 满足：()1,2b a b f a f b +⎛⎫<=- ⎪+⎝⎭，()10621412,f a b g a b ++=+则的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本题满分12分）()()cos ,sin ,22sin ,22cos ,m x x n x x ==+-u r r 函数(),f x m n x R =⋅∈u r r .（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭且()1f x =，求5cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.（本题满分12分）PD ⊥平面,22ABCD AD AB BC a ===，//,3,60AD BC PD a DAB =∠=o .（I ）若平面PAD ⋂平面PBC l =，求证：//l BC ；（II ）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小.18.（本题满分12分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.（I ）重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率；（II ）复生上述过程3次后，记袋中白球的个数为X ，求X 的数学期望.19.（本题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为16，且125,,a a a 成等比数列.数列{}n b 满足11n n n b a a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式{}n n a b 和的前n 项和n T ；（II ）是否存在正整数(),1s t s t <<，使得1S t T T T ，，成等比数列？若存在，求出,s t20.（本题满分13分）如图所示的封闭曲线C 由曲线1C ：()222210,0x y a b y a b+=>>≥和曲线2:C ()210y nx y =-<组成，已知曲线1C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为3，点A,B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点.（I ）求曲线12C C 和的方程；（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意点，求QAB ∆面积的最大值及点Q 的坐标；（III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线:l y kx m =+与曲线1C 相切于点M ，且与直线3x =交于点N ，求证：以MN 为直径的圆过点F. 21.（本题满分14分）设函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）. （I ）若12a =，求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 在()1,0-内无极值，求a 的取值范围；（III ）设,0n N x *∈>，求证：211!2!!nxx x x e n >+++⋅⋅⋅+. 注：()!121n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯.。
山东省淄博市年高三第一次模拟考试试题文科
中国威望高考信息资源门户保密★启用并使用完成前淄博市 2013 —2014 学年度高三模拟考试一试题文科数学本试卷，分第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷两部分．共 4 页，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前， 考生务必用 0.5 毫米黑色署名笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的地点上。
2. 第Ⅰ卷每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
3. 第Ⅱ卷一定用 0.5 毫米黑色署名笔作答， 答案一定写在答题卡各题目指定地区内相应的地点；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；不可以使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷 （共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 A{ x | 0 x2}， B{ x | (x 1)(x 1) 0} ，则 A B A ． 0，1B ．1，2C ． (, 1)(0,) D ．( ,1)(1, )2．在复平面内，复数2 i对应的点位于iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知 tan=2 ，那么4 A ． B ．5sin 2的值是43 35 C ．D ．554．在等差数列a n 中，已知 a 3 a 8 10 ，则 3a5a 7 =A ． 10B ．18C ．20D ． 285．履行以下图的程序框图，若输入的x 的值为 2 ，则输出的 x 的值为A ． 3B ． 126C ． 127D ． 1286．设 a 1， b 0 ，若 a b 2 ，则12的最小值为a 1 b中国威望高考信息资源门户A．3 22B． 6C．4 2D．2 27．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥 A BCD 的正视图与俯视图以下图，则其侧视图的面积为2B．1A．2 22D．1C．448．以下说法正确的是．．A．“p q为真”是“p q 为真”的充足不用要条件；B．?2 1.5x x y 1.5设有一个回归直线方程为，则变量每增添一个单位，? 均匀减少个单位；C．若a, b0,1，则不等式 a2b21建立的概率是；44D．已知空间直线a,b, c ，若 a b ， b c ，则 a//c ．9．过抛物线y24x 焦点F的直线交其于 A ， B 两点， O 为坐标原点．若 | AF |3，则AOB 的面积为2B． 2C．32D．2 2A．2210．若函数f (x)的导函数在区间a, b上的图像对于直线 x a b对称，则函数 y f (x) 2在区间 [ a, b] 上的图象可能是A．①④B．②④C．②③D．③④第Ⅱ卷 ( 共 100 分)二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分.11．已知函数 f ( x) 为奇函数，当x0 时， f ( x)log 2x ，则知足不等式 f ( x)0 的x 的取值范围是．中国威望高考信息资源门户x y 5 012．已知变量 x, y 知足拘束条件x 2 y 1，则 z x 2 y 的最大值是．x 1 013．已知向量a 、b 的夹角为 600 ，且 | a | 2 ， | b | 1 ，则向量 a 与向量 a 2b 的夹角等于．14．已知点 A2,0 , B 0,2，若点 C 是圆 x 22xy 2 0 上的动点，则 △ ABC 面积的最小值为．15． 对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：713315．仿此，若 m 3 的“分裂数”中有一个是2015，339 ,4 3 ,⋯⋯2,31751119则 m．16．（此题满分 12 分）三、解答题：本大题 6 小题，共 75 分已知向量 asin x, 1 ， b( 3 cosxsin x,1) ，函数 f ( x) a b ，ABC 三个2 222内角 A, B,C 的对边分别为 a , b, c .（Ⅰ）求 f ( x) 的单一递加区间；（Ⅱ）若 f ( B C) 1, a3, b 1 ，求 ABC 的面积 S ．17．（此题满分 12 分）在以下图的几何体中，四边形 BBC 1 1C 是矩形， BB 1 平面 ABC ， CACB ， A 1B 1∥AB ， AB2AB ，E ，F 分别是 AB ，AC 1的中11点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面 BBC 11C ；（Ⅱ）求证： C 1 A 1 平面 ABB 1 A 1 ．18．（此题满分 12 分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩剖析的茎叶图和频次散布直方图均遇到不一样程度的损坏，但可见部分信息以下，据此解答以下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n 、抽测成绩的中位数及分数分别在80,90， 90,100内的人数；（Ⅱ）若从分数在80,100内的学生中任选两人进行调研讲话，求恰巧有一人分数在 90,100内的概率．19． ( 此题满分12 分)中国威望高考信息资源门户在数列 a n 中， a 11， 2a nan 1n 1 ( n 2, n N * ) ，设 b n a nn ．2（Ⅰ）证明：数列 b n 是等比数列；（Ⅱ）求数列 nb n 的前 n 项和 T n ；（Ⅲ）若 c n( 1) na n ，P 为数列c n 2 c n 1 的前 n 项和， 求不超出 P 的最大的整2n c n 2 c n 2014数．20．（此题满分 13 分）已知椭圆 C ：x 2y 2 1(a b0) 的离心率为1，右焦点 F 到直线 l 1 :3 x 4 y 0 的a2b 222距离为3 ．5（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 2 斜率为k （k0 ）的直线 l 与椭 圆 C 订交于E 、 F两点，A 为椭圆的右极点，直线AE, AF分别交直线x3 于点M , N，线段MN的中点为 P ，记直线 PF 2的斜率为k，求证：k k 为定值．21．（此题满分14 分）已知函数f ( x)x ln x ， g (x)x 2ax 2 （ e 2.71 ， aR）．（Ⅰ）判断曲线yf ( x) 在点（ 1，f (1)）处的切线与曲线yg ( x)的公共点个数；（Ⅱ）当x1 , e时，若函数yf (x)g( x)有两个零点，求a 的取值范围．e一模数学试题参照答案及评分说明2014.3一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．1．B2．D3．B4．C5．C6．A7．D8．B9．C10．D二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分.11．1,0) (1, )12． 913．π（或 300 ）（文科） (（文科） 6（文科） 3215．（文科） 4514．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（文科此题满分 12 分）解：（Ⅰ）由题意得f (x) a b sin x ( 3 cos xsin x) 12 2 2 23sin x cos xsin 2x1 2 2 22=3sin x 1 cosx 1 = 3sin x1cos xπ 3 分sin( x) ， ,,,,2 2 2226令 2k ππxπ2k π π(k Z )2 62解得 2k π2πx 2k π π( k Z )33所以函数 f ( x) 的单一增区间为2k π 2 π, 2k π π( kZ ) . ,,,,,,6 分33（Ⅱ） 解法一：由于f ( B C)1,所以 sin( B Cπ 1 ，)6又 BC (0, π)， BCπ π 7π6 ( ,) ,6 6所以 BCπ πC π2π,,,,,,,,,,8 分6,B，所以 A ,233由正弦定理ab把 a3, b 1 代入，获得 1 ,,,,10 分得sin Bsin A sin B2B或许B5，由于A2为钝角，所以B5 63舍去66所以 Bπ π6 ，得 C.6所以，ABC 的面积 S1ab sin C 1 3 113 . ,,,,,,,, 12 分22 24解法二：同上（略）A2π ,,,,,,,,,,8 分3 ,由余弦定理， a 2b 2c 2 2bc cos A ，得 3 1c 2 c ， c 1 或 3（舍去） 10 分所以，ABC 的面积 S1 bc sin A1 33 . ,,,,,,,,12 分2 1 1 42217．（文科此题满分 12 分）证明：（Ⅰ）连结 BC ，由于E 、F 分别是 AB ,AC的中点，11所以EF∥ BC 1 ． ,,,,,,,,,2 分又由于EF平面 BBC 1 1C ， BC 1 平面 BBC 1 1C ，所以 EF ∥平面 BBC 1 1C ． ,,,, 4 分（Ⅱ）连结 A 1E ， CE . 由于 BB 1平面 ABC ， BB 1平面 A 1 ABB 1 ，所以 平面 A 1ABB 1平面 ABC,,,,,,,,,,,,,,,,6 分由于 CA CB ， E 是AB 的中点， 所以 CEAB所以 CE 平面 A 1ABB 1 ．,,,,,,,,,,,,,,,,8 分由于B 1 A 1 ∥ BA , B 1A 1 1BA=BE2所以 四边形 A 1EBB 1 为平行四边形，所以 BB 1 / /A 1E .,,,,,,,,10 分又 BB / /CC ，所以A E/ /CC所以 四边形 A 1 ECC 1 为平行四边形，1111则C 1A 1∥CE .所以 C 1 A 1 平面 ABB 1 A 1 ．,,,,,,,12 分18．（文科 此题满分 12 分）解：（Ⅰ）分数在50,60 内的频数为 2， 由频次散布直方图能够看出，分数在90,100 内相同有 2人．,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分，由210 0.008， 得 n25 ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分n茎叶图可知抽测成绩的中位数为 73 ．,,,,,,,,,,,,,4 分分数在 80,90 之间的人数为 25 2 7 10 2 4 ,,,,,,,,5 分参加数学比赛人数 n 25 ，中位数为 73，分数在80,90 、 90,100 内的人数分别为 4人、 2 人．,,,,,,,,,,,,,,,6 分（Ⅱ）设“在80,100 内的学生中任选两人，恰巧有一人分数在90,100 内 ”为事件 M ，将 80,90 内的 4 人编号为 a, b, c, d；90,100 内的 2 人编号为 A, B在 80,100内 的 任 取 两 人 的 基 本 事 件 为 ： ab, ac, ad, aA, aB, b ,cb, dbA, bB, cd, cA, cB, dA, dB, AB 共 15 个 ,,,,,,,,,,,,,,,,9 分此中，恰巧有一人分数在90,100 内的基本领件有 aA, aB, bA, bB, cA, cB, dA,dB , 共 8 个故所求的概率得P M=8,,,,,,,,,11 分15答：恰巧有一人分数在90,100 内的概率为 8,,,,,,,,,12 分1519．( 文科 此题满分 12 分)解证：（Ⅰ）由 2a n an 1n 1两边加 2n 得， 2( a n n) a n 1 n 1 ,,2 分所以a n n 1b n1是公比为 2 的等比数列, 3 分a n(n1)， 即bn 1，数列 b n1 22其首项为 b 1a 111 1 1 ，所以 b n ( 1 )n,,,,,,,,,,4 分2 22中国威望高考信息资源门户（Ⅱ） nb nn ( 1)nn,,,,,,,,,,,,,,5 分2 2nT n 1 2 3 4Ln 1 n ①2 22 23 242n 1 2n112 3 4 n 1 n2Tn2223 24 25L2n2n 1②①-②得1T n1 111 1 n1 1n2 2 22 23 242 n2n 1 2n2 n 1所以T nn 2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,8 分22n( Ⅲ ) 由 ( Ⅰ ) 得 a n( 1) nn ，所以 c n n2c n 2 c n 1 n 2 n 11111 1,,,,,10 分c n2c nn2nn( n 1)n n 1P 2014 (1 1 1 ) (1 1 1) (1 1 1 )(111 )1 2 2 3 3 4 20142015201512015所以不超出 P 2014 的最大的整数是 2014 ． ,,,,,,,,,,,, 12 分20．（文科此题满分 13 分）解证：（Ⅰ）由题意得 ec 1 ，3c 1 ，,,,,,,,,,,,2 分a23242所以 c1， a2 ，所求椭圆方程为x 2 y 2 1．,,,,,,,,4 分43（Ⅱ）设过点P 1,0 的直线 l 方程为： yk( x 1) ，设点 E( x 1 , y 1 ) ，点 F (x 2 , y 2 ),,,,,,,,,,,,,5 分将直线 l 方程 yk( x 1) 代入椭圆 C :x 2y 2 143整理得：(4 2 3) 2 8 2 4 2 12 0 ,,,,,,,,,,,,,6 分kxkxk由于点 P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都订交，0 恒建立，且 x 1x 2 8k 2x 1 x 2 4k 2 127 分 4k 234k 2,,,,,,,,,,3直线 AE 的方程为：yy 1 ( x 2) ，直线 AF 的方程为： y y 2 ( x 2)x 1x 2 22令 x 3 ，得点M3,y1， N3,y2，x12x22所以点 P 的坐标1y1y2,,,,,,,,,,,,,9 分3,x12x2221(y1y2)02 x2y1y2直线 PF2的斜率为 k '2 x121) 31(x12x2 241 y2 x1x2 y12( y1y2 )12kx1x23k (x1x2 )4k11 分,,,4 x1 x22( x1x2 ) 44x1 x22( x1x2 ) 4将 x1x28k 2, x1 x24k 212代入上式得：4k24k 2334k 2128k 212k4k233k4k 234k3 k '4k 2241228k44k4k234k23所以 k k' 为定值3,,,,,,,,,,,,,13分421．（文科此题满分 14 分）解：（Ⅰ） f (x)ln x1，所以斜率 k f (1) 1 ,,,,,,,,,, 2 分又 f (1)0 ，曲线在点（1，0）处的切线方程为y x1 ,,,, 3 分由y x2ax2x2(1a) x10,,,,,,,, 4 分y x1由△ =(1a)24a22a3 可知：当△ >0时，即a1或a3时，有两个公共点；当△ =0时，即a1或a3时，有一个公共点；当△ <0时,即1a3时，没有公共点,,,,,,,,7 分（Ⅱ） y f ( x)g( x) = x2ax2x ln x ，由 y0得a x 2ln x,,,,,,,,8 分x2(x1)(x2)令 h( x)x ln x ，则h (x)x x2当 x 1, e，由h (x)0得 x1,,,,,,,10 分e所以， h(x) 在1,1 上单一递减，在1,e 上单一递加e所以， h min ( )(1)3,,,,,,,,11 分xh1 12e2 1由h( )e1， h( e) e1比较可知 h( ) h(e)e2 ee所以，当 3ae时，函数 yf ( x)g ( x) 有两个零点 . ,,,,,14 分1 e更多试题下载：（在文字上按住 ctrl 即可查察试题）高考模拟试题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】。
山东省淄博市高三数学下学期第一次模拟考试试题 文(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•淄博一模）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．【解析】：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．【点评】：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）（2015•淄博一模）集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A．R B．∅C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A和B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．【解析】：解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，集合B={y|y=log2x，x＞0}=R，因为A⊆B，所以A∩B=A={x|x≥0}，故选：C．【点评】：本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题．3．（5分）（2015•淄博一模）某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．【解析】：解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．4．（5分）（2015•淄博一模）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．【解析】：解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．【点评】：本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．5．（5分）（2015•淄博一模）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．【解析】：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）（2015•淄博一模）已知命题p：a≠1或b≠2，命题q：a+b≠3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案．【解析】：解：∵命题q：a+b≠3，命题p：a≠1或b≠2，￢p：a=1且b=2，￢q：a+b=3，∴￢p⇒￢q，反之不成立，例如a=，b=．因此命题q是p的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•淄博一模）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由f（﹣x）==﹣f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，再研究函数x﹣sinx单调性选出答案．【解析】：解：f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴当x＞0时，函数x﹣sinx单调递增，故单调递减，D不符合，A符合，故选：A【点评】：本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题．8．（5分）（2015•淄博一模）曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A．B．C．D．2【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：f′（x）=ex+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由es+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．【解析】：解：f′（x）=ex+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则es+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．【点评】：本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015•淄博一模）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，从而求出该几何体的体积．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体；∵正方体的体积为V正方体=1×1×1=1，正四棱锥的体积为V正四棱锥=×1×1×=；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V正四棱锥=1﹣=．故选：D．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．10．（5分）（2015•淄博一模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT|【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．【解析】：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．【点评】：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015•淄博一模）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．【点评】：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．（5分）（2015•淄博一模）在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是7．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】：解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时zmin=3×1+2×2=7，故答案为：7【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）（2015•淄博一模）若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k=±2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：直线与圆．【分析】：联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．【解析】：解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得△=36k2﹣32（k2+1）=0，解得k=±2故答案为：±2【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．14．（5分）（2015•淄博一模）已知向量满足，，则的夹角为．【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量数量积运算及其性质即可得出．【解析】：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．【点评】：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．15．（5分）（2015•淄博一模）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．【解析】：解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）（2015•淄博一模）已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．【考点】：余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•淄博一模）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．【考点】：直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．【解析】：证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，则有FG∥AB且FG=AB=2，又因为DC∥AB，CD=2，所以FG∥DC，FG∥DC，所以四边形CFGD是平行四边形．所以CF∥GD，又因为GD⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE；（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，所以BD=．同理EA⊥ED，EA=ED=2，所以AD=．又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面EAD，又因为AE⊂平面EAD，所以BD⊥AE．【点评】：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．18．（12分）（2015•淄博一模）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．【解析】：解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，∴该小组有20÷0.25=80（人）∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）；（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，∴所求概率为P==【点评】：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．19．（12分）（2015•淄博一模）在数列{an}中，a1=，其前n项和为Sn，且Sn=an+1﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求an，Sn；（Ⅱ）设bn=log2（2Sn+1）﹣2，数列{cn}满足cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．【考点】：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由Sn=an+1﹣，得，两式作差后可得数列{an}是首项为，公比为 2 的等比数列，由等比数列的通项公式得，代入Sn=an+1﹣求得Sn；（Ⅱ）把Sn代入bn=log2（2Sn+1）﹣2，结合cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn求得cn，然后利用裂项相消法及等比数列的前n项和得答案．【解析】：解：（Ⅰ）由Sn=an+1﹣，得，两式作差得：an=an+1﹣an，即2an=an+1（n≥2），∴，又，得a2=1，∴，∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，则，；（Ⅱ）bn=log2（2Sn+1）﹣2=，∴cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，即，，+（2﹣1+20+…+2n﹣2）===．由4Tn＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．∴使4Tn＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和、裂项相消法求数列的和及等比数列的前n项和，是中档题．20．（13分）（2015•淄博一模）设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题．【解析】：解：依题意f′（x）=，（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，当时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（）=﹣．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+﹣a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0＜a＜2，所以f′（x）=2x+﹣a＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（Ⅲ）当a∈（0，）时，由（Ⅱ）知，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．故问等价于：当a∈（0，）时，不等式1﹣a＜mlna恒成立，即m＜恒成立．记g（a）=，则g′（a）=，令M（a）=﹣alna﹣1+a，M′（a）=﹣lna＞0，所以M（a）在a∈（0，）上单调递增，M（a）＜M（）=，故g′（a）＜0，所以g（a）=在a∈（0，）上单调递减，所以M=﹣，即实数m的取值范围为（﹣]．【点评】：本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．21．（14分）（2015•淄博一模）已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用求得a和b的值，确定椭圆的方程．（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）进一步求出②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出．（ii）设线段MN的中点坐标为Q（xQ，yQ）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：，进一步求出OT的直线方程为：，则直线TF2的斜率为：，进一步化简得到；，从而得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）因为点P（，m）在抛物线上，且|PF2|=，抛物线的准线方程为x=﹣，所以：解得：P=2所以抛物线的方程为：y2=4x将点P（，m）代入y2=4x解得：m=，所以P（）点P在椭圆上，且椭圆的焦点F2（1，0），所以：解得：a2=4，b2=3所以：椭圆的方程为：（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2）则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以：（x1+x2）+1]=由于k2≥0所以：所以的取值范围：（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（xQ，yQ）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：OT的直线方程为：，得到：T（4，﹣）直线TF2的斜率为：所以；则：TF2⊥MN【点评】：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．。
山东省淄博实验中学高三数学第一次诊断性考试试卷 文(含解析)新人教A版
山东省淄博实验中学2015届高三数学第一次诊断性考试试卷 文（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合2{|1},{|20}A x R x B x R x x =∈>=∈--<，则B A 等于 A ．()1,2- B ．()1,-+∞ C ．()1,1- D ．()1,2 【答案】D 【解析】 试题分析：{}{}21|02|2<<-=<--=x x x x x B ，{}{}{}21|21|1|<<=<<->=∴x x x x x x B A故答案为D考点：集合的交集2．如果命题“p q ∨”为假命题，则 A ．,p q 均为真命题 B ．,p q 均为减命题C ．,p q 中至少有一个为真命题D ．,p q 中至多有一个真命题【答案】B 【解析】试题分析：当命题q p ,为假命题时，q p ∨为假命题，故答案为B 考点：q p ∨命题的真假性的应用3．已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>在1x =处取最大值，则 A ．()1f x -一定是奇函数 B ．()1f x -一定是偶函数 C ．()1f x +一定是奇函数 D ．()1f x +一定是偶函数【答案】D 【解析】试题分析：由于()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>在1x =处取最大值，因此ππϕωk 221+=+⋅，得ωππϕ-+=k 22，()()[]x A k x A x A x f ωωππωωϕωcos 22sin 1sin 1=⎪⎭⎫⎝⎛-+++=++=+∴为偶函数，故答案为D考点：奇偶函数的判断4．已知222:450,:210p x x q x x λ-->-+->，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是A ．(]0,1B ．()0,2C ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,2【答案】D 【解析】试题分析：命题p 成立，0542>--x x ，得5>x 或1-<x ；命题q 成立，()001222>>-+-λλx x 得λ+>1x 或λ-<1x ，由于p 是q 的充分不必要条件，11,51-≥-≤+∴λλ，等号不能同时成立，解得2≤λ，由于0>λ，因此20≤<λ 考点：充分、必要条件的应用5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()2,*11≥∈-<<-+m N m a a a m m ，则必有 A ．0m S >且10m S +< B ．0m S <且10m S +> C ．0m S >且10m S +> D ．0m S <且10m S +< 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，0,0111<+>++m m a a a a ，得()021>+=m m a a m S ，()()021111<++=++m m a a m S ，故答案为A考点：等差数列的前n 项和公式6．函数()2log (4)3xf x x =+-的零点有A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：在同一个坐标系中，画出函数x y 3=与函数()4log 2+=x y 的图象，则图象的交点个数，就是函数()2log (4)3xf x x =+-的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故答案为C考点：函数零点个数的判断7．已知ABC ∆中，83,cos 175A B ==，则cos C 等于 A ．1385-或7785 B ．85 C ．7785- D ．1385- 【答案】D 【解析】试题分析：由053cos >=B 得B 为锐角，54c o s 1s i n 2=-=∴B B ；由B A s i n 54178sin =<=，由正弦定理得B A <，当A 为钝角，不符合内角和定理，所以A 锐角，由178sin =A ，得1715sin 1cos 2=-=A A由()()()()8513sin sin cos cos cos cos cos -=--=+-=+-=B A B A B A B A C π，故答案为D考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和的余弦公式8．已知,,,a b c d R ∈，函数()2()()f x x a x bx c =+++，()2(1)(1)g x ax cx bx =+++，集合{|()0,},{|()0,}S x f x x R T x g x x R ==∈==∈，记,S T 分别为集合,S T 中元素的个数，那么下列结论不可能的是A ．1,0S T ==B ．1,1S T ==C ．2,2S T ==D ．2,3S T == 【答案】D 【解析】试题分析：当0=a 时，042<-ac b 时，得()0=x f 只有一个根，而()12++=bx cx x g 的无实根；当1=a ，042<-ac b ，当()0=x f 只有一个根-1，而()()()112+++=bx cx x x g 只有一个根-1；当1=a ，042=-ac b ，()0=x f 根有两个，0=+a x 有一个根，02=++c bx x 有一个根，()0=x g 的根也有2个，其中一个01=+x 的根，另一个012=++bx cx 的根有一个，故1,0S T ==可能，1,1S T ==可能，2,2S T ==可能，故答案为D考点：函数零点的个数9．若函数()f x 在R 上可导，且满足()()0f x xf x '->，则 A ．()()313f f < B ．()()313f f > C ．()()313f f = D ．()()13f f = 【答案】B 【解析】试题分析：由于()()x f x x f '>，()()()02<-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f x x f x x f 恒成立，因此()x x f 在R 上时单调递减函数，()()1133f f <∴，即()()313f f >，故答案为B考点：函数的导数与单调性的关系10．在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a Ac b ==，则AP 用a 和b 表示为A ．4193AP a b =+B ．4293AP a b =+C ．2493AP a b =+D ．4377AP a b =+【答案】A【解析】试题分析：由于3,32==，53=，52=，则AM 32-=-=，-=-=53，设⎪⎭⎫ ⎝⎛-==32λλ，⎪⎭⎫⎝⎛-==u u 53，由MP BP MP =-得u 315332=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=313243u u λλ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9531u λ，因此31945395+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=，故答案为A考点：平面向量的基本定理第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，则()2f 的值等于 【答案】18 【解析】试题分析：()b ax x x f ++='232在1=x 处有极值10，()0231=++='∴b a f ①()10112=+++=a b a f ②，联立①②得4=a 或3-=a ，当3-=a 时，3=b ，得()()()01312322≥-=+-='x x x x f ，函数()x f 单调递增，没有极值，舍去，当4=a 时，11-=b ，符合题意，()1842112422223=+⋅-⋅+=∴f ，故答案为18考点：利用函数的极值求参数的值12．等差数列{}n a 中，已知267,9a a ≤≥，则10a 的取值范围是 ． 【答案】[]+∞,11 【解析】试题分析：由72≤a 得72-≥-a ，9426≥+=d a a 所以24,942≥∴-≥d a d 由96≥a ，d a a 4610+=∴1129=+≥，故10a 的取值范围为[]+∞,11考点：等差数列的通项公式 13．已知,,A B C 直线l 上的三点，向量,,OA OB OC 满足[()2(1)]O A f x f x O B x O C '=+-⋅，则函数()y f x =的表达式为 ．【答案】()()0132ln >+-=x x x x f 【解析】试题分析：由于C B A ,,是直线l 上三点，因此()()1ln 12=-'+x x f x f ，求导得()()012=-'+'x x f x f ，得()()01121=-'+'f f ，得()311='f ，得()1ln 312=-+x x x f ，即()()0132ln >+-=x x x x f 考点：1、平面向量的应用；2、导数的计算 14．函数11y x =-的图象与2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 ． 【答案】4 【解析】试题分析：解：函数111-=x y 与x y πsin 22=的图象有公共的对称中心()0,1，作出两个函数的图象当41≤<x 时，311≥y ，而函数2y 在()4,1上出现1．5个周期的图象，在⎪⎭⎫ ⎝⎛25,2上是单调增且为正数，函数在⎪⎭⎫⎝⎛3,25上单调减，所以2y 在25=x 处取最大值232≥，而函数2y 在()()4,3,2,1上为负数与1y 的图象没有交点，所以两个图象在()4,1上有两个交点，根据它们有公共的对称中心()0,1，可得在区间()1,2-上也有两个交点如图，2=+=+∴C B D A x x x x ，故横坐标之和为4考点：函数的零点与方程的根15．已知()()()()21,,,*=⋅=+∈f b f a f b a f N b a ，则20141(1)()i f i f i =+∑等于 ． 【答案】4028 【解析】试题分析：由于()()()b f a f b a f ⋅=+，令1=b ，得()()()11f a f a f =+，()()()211==+∴f a f a f()()()()()()()()40282014220142015342312=⨯=++++∴f f f f f f f f ，故答案为4028 考点：数列求和三、解答题（题型注释）16．设()26cos 2()f x x x x R =∈． （1）求()f x 的最大值及最小值周期；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，锐角A 满足()312f A B π=-=，求ac的值 【答案】（1）()332max +=x f ，π=T ；（2）426+=c a 【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到()ϕω+=x A y sin 的形式，利用公式ωπ2=T 计算周期（2）求三角函数的最小正周期一般化成先化简成()ϕω+=x A y sin ，()ϕω+=x A y cos ，()ϕω+=x A y tan 形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成()ϕω+=x A y sin 形式，再()ϕω+=x A y sin 的单调区间，只需把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调区间，注意先把ω化为正数,这是容易出错的地方．试题解析：解：（1）()362cos 3232sin 32cos 32sin 3cos 62+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=-=πx x x x x x f当ππk x 262=+，即()Z k k x ∈+-=ππ12时，()332max +=x f ，最小正周期π=T由()323-=A f ，得323362cos 32-=+⎪⎭⎫⎝⎛+πA ，即162cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA又由662620πππππ+<+<⇒<<A A ，故ππ=+62A ，解得125π=A ，从而12π=B ，故2π=C 从而426125sin sin +===πA c a 考点：1、求三角函数的最值和周期；2、三角形中边的比值 17．数列{}n a 的前n 项和为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和记为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列求n T ．【答案】（1）()*13N n a a n n ∈=+；（2）()n n d n n nb T n 22121+=-+=【解析】试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（3）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（4）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了．试题解析：解：因为()1121≥+=+n S a n n ，故当2≥n 时，121+=-n n S a ，所以当2≥n 时，n n n a a a 21=-+，即当2≥n 时，n n a a 31=+又11=a ，故31212=+=a a ，即123a a =，于是有()*13N n a a n n ∈=+ 而11=a ，故数列{}n a 是首项为1公比3的等比数列，且()*13N n a n n ∈=-由题设知()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++=+2231321231391152b b b b b b b b b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-===5515321b b b （舍去）或⎪⎩⎪⎨⎧===753321b b b于是等差数列{}n b 的公差()n n d n n nb T d n 221,221+=-+== 考点：1、由n S 得n a ；2、等差数列的前n 项和18．已知函数()221ax x f x x +-=的定义域为不等式212log 3log 3x x ++≤的解集，且()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-949, 【解析】 试题分析：（1）掌握对数不等式的解法，注意保证真数大于零，化成以同一个数为底解不等式，看清底数大于零，还是大于零小于1；（2）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由()()21x f x f -的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论．试题解析：解：由3log 3log 312≤++x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≤+>33log 02x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>83xx x ，解得73≥x 即()x f 的定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,73因为()x f 在定义域内单调递减，所以7311≥>∀x x 时，恒有()()021>-x f x f ，即 ()()01112121212121212211>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x a x x x x x x a x ax x ax 恒成立 由21x x <，得021<-x x ，得0121<+x x a ，211x x a -<∴恒成立， 又由499732112>⇒≥>x x x x ，即49921-<-x x 因此实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-949, 考点：1、对数不等式的解法；2、函数单调性的应用 19．已知向量(s i n c o s ,3c o s ),(c o s s i n ,2s i n )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-，且()fx mn =⋅，若()f x 相邻两对称轴的距离不小于2π． （1）求正实数ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，3a b c =+=，当ω最大时，()1f A =，试求ABC ∆的面积．【答案】（1）10≤<ω；（2）23=∆ABC S 【解析】 试题分析：（1）先用数量积的概念转化为三角函数的形式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（2）掌握一些常规技巧：“1”的代换，和积互化等，异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊角与特殊角的三角函数互化；（3）注意利用转化的思想，本题转化为求最值,熟悉公式的整体结构，体会公式间的联系，倍角公式和辅助角公式应用是重点；（4）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．试题解析：解：()()()sin cos cos sin cos f x m n x x x x x x ωωωωωω=⋅=+⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=62sin 22sin 32cos πωωωx x x ，由题设知102122212≤<⇒≥⋅=ωωπT 由（1）知1max =ω，此时()162sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，由65620πππ=+⇒<<A A 解得3π=A在ABC ∆中，由余弦定理，得()bc bc c b A bc c b a 333cos 2322222-=-+=-+== 故2=bc 于是233sin sin 21===∆πA bc S ABC 考点：1、三角函数的化简；2、求三角形的面积20．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足：4128S S =+，且32a +是2a 和4a 的等差中项（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a T b b b ==+++，求使1230n n T n ++⋅=成立的正整数n 的值．【答案】（1）n n a 2=；（2）4=n【解析】试题分析：（1）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了；（3）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项．试题解析：解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题知()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++311213212228qa q a q a q q q a 解得⎩⎨⎧==221a q 或⎪⎩⎪⎨⎧==32211a q （舍去）因为{}n a 是递增数列，故n n a 2=n n n n n n n a a b 22log 2log 2121-===因为()1112221+++-=⋅++-=-n n n n n n b n n b b21123223112,2,,2-=--=--=---b b b b b b b b b n n n n ，21-=b上述等式相加得22222222111321-⋅-=++++++=++++n n n n n n n b T 由3021=⋅++n n n T ，得512322==+n ，解得4=n 即为所求考点：1、求等比数列的通项公式；2、求数列的前n 项和 21．设函数()3221(1)()3f x x x m x x R =-++-∈，其中0m >． （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； （2）求函数()f x 的单调区间与极值；（3）已知函数()f x 由三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意的12[,]x x x ∈，()(1)f x f >恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1;（2）()x f 在()()+∞+-∞-,1,1,m m 上是减函数，在()m m +-1,1上是增函数，于是函数()x f 在m x -=1处取得极小值()3132123-+-=-m m m f ；在m x +=1处取得极大值()3132123-+=+m m m f ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()1,1f 处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率()1f k '=；（2）函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增，若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减，若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）求函数极值的方法是：解方程()0='x f ．当()00='x f 时，（1）如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧()0<'x f ，右侧()0>'x f ，那么()0x f 是极小值．试题解析：解：（1）当1=m 时，()2331x x x f +-=，()x x x f 22+-='，故()11='f 即曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线斜率为1()[]()[]m x m x m x x x f --+--=-++-='1)1(1222，令()0='x f ，得m x m x +=-=1,121，故m m ->+11当x 变化时，()()x f x f ,'的变化情况如下表：所以()x f 在()()+∞+-∞-,1,1,m m 上是减函数，在()m m +-1,1上是增函数，于是函数()x f 在m x -=1处取得极小值()3132123-+-=-m m m f ；在m x +=1处取得极大值()3132123-+=+m m m f由题设知()()()212231131x x x x x m x x x x f ---=⎪⎭⎫⎝⎛----=，所以方程013122=---m x x 有两个相异的非零实根21,x x 故由韦达定理得321=+x x 且()013412>-+=∆m ，解得21>m 或21-<m （舍去）因为21x x <，所以123322212>>⇒>+>x x x x 若211x x <<，则()()()01131121>---=x x f ，而()01=x f ，不合题意 若211x x <≤，则对[]21,x x x ∈∀，有0,0,021≤-≥->x x x x x ，所以()()()03121≥---=x x x x x x f 又()01=x f ，故()x f 在[]21,x x 上的最小值为0于是对[]()0,,21>∈∀x f x x x 的充要条件是()232303112<<-⇒<-=m m f 综上，实数m 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21考点：1、求曲线的切线斜率；2、求函数的单调区间和极值；3、求参数的取值范围。
山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题.docx
淄博市2015—2016学年度高三模拟考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭表示的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.设集合{}{}12,A x x B x x a =<<=≤，若A B ⊆，则a 的取值范围是A. 2a ≥B. 2a >C. 1a ≥D. 1a > 3.下列选项错误的是A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,1x x x -+==则” B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4.使函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ=+++是奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是 A. 3π B.23π C. 43π D. 53π 5.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π，且1,223,b a b a =+==r r r r 则 A.2 B. 3 C.1 D.36.在正项等比数列{}n a 中，若13213,22a a a ，成等差数列，则2016201720142015a a a a -=- A. 31-或 B. 91或 C. 3 D.97.已知双曲线2215y x m-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 A. 55y x =± B. 255y x =± C. 52y x =± D. 5y x =±8.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则PB=A. 211B. 42C. 38D. 1639.如果执行如右面的程序框图，那么输出的S=A.119B.600C.719D.494910.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是________. 12.二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则20a x dx =⎰________. 13.锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是三内角A,B,C 的对边，设2B A =，则b a的取值范围是________. 14.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x =-的最大值为________. 15.已知函数()()lg 1f x x =+，实数,a b 满足：()1,2b a b f a f b +⎛⎫<=- ⎪+⎝⎭，()10621412,f a b g a b ++=+则的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本题满分12分）()()cos ,sin ,22sin ,22cos ,m x x n x x ==+-u r r 函数(),f x m n x R =⋅∈.（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭且()1f x =，求5cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. （本题满分12分）PD ⊥平面,2A B C D A D A B B C a ===，//,3,60AD BC PD a DAB =∠=.（I ）若平面PAD ⋂平面PBC l =，求证：//l BC ；（II ）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小.18. （本题满分12分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中； 如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.（I ）重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率；（II ）复生上述过程3次后，记袋中白球的个数为X ，求X 的数学期望.19. （本题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为16，且125,,a a a 成等比数列.数列{}n b 满足11n n n b a a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式{}n n a b 和的前n 项和n T ；（II ）是否存在正整数(),1s t s t <<，使得1S t T T T ，，成等比数列？若存在，求出,s t20. （本题满分13分）如图所示的封闭曲线C 由曲线1C ：()222210,0x y a b y a b+=>>≥和曲线2:C ()210y nx y =-<组成，已知曲线1C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32，点A,B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点.（I ）求曲线12C C 和的方程；（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意点，求QAB ∆面积的最大值及点Q 的坐标；（III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线:l y kx m =+与曲线1C 相切于点M ，且与直线433x =交于点N ，求证：以MN 为直径的圆过点F.21. （本题满分14分）设函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）. （I ）若12a =，求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 在()1,0-内无极值，求a 的取值范围；（III ）设,0n N x *∈>，求证：211!2!!nxx x x e n >+++⋅⋅⋅+. 注：()!121n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯.。
山东省淄博实验中学2015届高三上学期第一次诊断考试数学(文)试题含答案
淄博实验中学高三第一学期第一次诊断考试试题数学（文科）本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试用时120分钟 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知集合2{|1},{|20}A x R x B x R xx =∈>=∈--<等于A ．()1,2-B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．()1,2 2、如果命题“p q ∨”为假命题,则A ．,p q 均为真命题B ．,p q 均为减命题C ．,p q 中至少有一个为真命题D ．,p q 中至多有一个真命题3、已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>在1x =处取最大值，则A ．()1f x -一定是奇函数B ．()1f x -一定是偶函数C ．()1f x +一定是奇函数D ．()1f x +一定是偶函数 4、已知222:450,:210p xx q x x λ-->-+->，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是A ．(]0,1B ．()0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,25、设等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若11(,2)m m aa a m N m *+-<<∈≥，则必有 A ．0mS >且10m S +< B ．0mS<且10m S +> C ．0mS>且10m S +>D ．0mS<且10m S +<6、函数()2log (4)3xf x x =+-的零点有A ．0B ．1C ．2D ．37、已知ABC ∆中，83sin ,cos 175A B ==，则cos C 等于 A ．1385-或7785B ．7785C ．7785-D ．1385-8、已知,,,a b c d R ∈，函数()2()()f x x a x bx c =+++,()2(1)(1)g x ax cx bx =+++，集合{|()0,},{|()0,}S x f x x R T x g x x R ==∈==∈，记,S T 分别为集合,S T 中元素的个数，那么下列结论不可能的是A ．1,0S T==B ．1,1S T==C ．2,2S T ==D ．2,3S T==9、若函数()f x 子啊R 上可导，且满足()()0f x xf x '->，则A ．()()313f f <B ．()()313f f >C ．()()313f f =D ．()()13f f = 10、在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上,且32,5AM MB AN AC ==，线段CM 与BM相交于点P ，且,AB a Ac b ==,则AP 用a 和b 表示为A ．4193AP a b =+ B ．4293AP a b =+C ．2493AP a b =+D ．4377AP a b =+第Ⅱ卷（共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分,请将答案填在题中的横线上） 11、已知函数()322f x xax bx a =+++在1x =处有极值为10，则()2f 的值等于12、等差数列{}na 中，已知267,9a a ≤≥，则10a 的取值范围是13、已知,,A B C直线l上的三点，向量,,OA OB OC满足[()2(1)]ln OA f x f x OB x OC '=+-⋅，则函数()y f x =的表达式为14、函数11y x =-的图象与2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于15、已知,,()()(),(1)2a b N f a b f a f b f *∈+=+=，则20141(1)()i f i f i =+∑等于三、解答题（本大题共6小题，共75分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，把解题过程写在答题卡上） 16、（本小题满分12分）设()26cos2()f x x x x R =∈.（1）求()f x 的最大值及最小值周期;(2）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，锐角A满足()312f A B π=-=,求a c的值。
山东省淄博实验中学2015届高三数学上学期第一次诊断试卷理(含解析)
山东省淄博实验中学2015届高三上学期第一次诊断数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件2．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+2）lnx+2008x﹣2009，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实根（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，4）3．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2 D．26．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣8．（5分）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．2ln29．（5分）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）=f（2）D．f（1）=f（2）10．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）设命题p：∀a＞0，a≠1，函数f（x）=a2﹣x﹣a有零点，则￢p：．12．（5分）设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．13．（5分）已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为．14．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则的最小值为．15．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是．三.解答题（16-19题每题12分，20题13分，22题14分，共75分）16．（12分）已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．17．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．18．（12分）设a∈R，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0．19．（12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20．（13分）已知函数为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=﹣2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．21．（14分）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．山东省淄博实验中学2015届高三上学期第一次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：简易逻辑．分析：化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．解答：解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题．考查充要条件的定义．2．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+2）lnx+2008x﹣2009，则方程f（x）=0在下面哪个范围内必有实根（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，4）考点：根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：本题即求函数零点所在的区间，将各个答案代入检验，通过排除于筛选，得出正确的答案．解答：解：∵函数f（x）为连续函数，且f（1）=﹣1＜0，f（2）=4016﹣2009=2007＞0，故函数f（x）的零点在（1，2）上，故答案选 B．点评：本题即求函数零点所在的区间，函数与方程的综合运用．3．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y ＜0，故排除BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排除D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．4．（5分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，∴b＜a＜c．故选C．点评：熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．5．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2 D．2考点：三角函数的化简求值．分析：先在sin2α﹣sinαcosα加上分母1，即，然后分子分母同时除以cos2α即可得到关于tanα的关系式，进而得到答案．解答：解：因为sin2α﹣sinαcosα====．故选A．点评：本题是基础题，考查三角函数的值的求法，注意齐次式的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，作出y=|f（x）|与y=ax的图象，由图分析当x＜0时，g（x）=|f（x）|=﹣（﹣x2+2x）=x2﹣2x，g′（x）|x=0=（2x﹣2）|x=0=﹣2，当﹣2≤a≤0时，|f（x）|≥ax，于是可得答案．解答：解：∵f（x）=，∴y=|f（x）|与y=ax的图象如下：由图可知，当x＜0时，g（x）=|f（x）|=﹣（﹣x2+2x）=x2﹣2x，g′（x）|x=0=（2x﹣2）|x=0=﹣2，∴当﹣2≤a≤0时，|f（x）|≥ax，故选：D．点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图与函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难题．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log220∈（4，5），可得4﹣log220∈（﹣1，0），结合定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），可得：f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），再由x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，可得答案．解答：解：∵log220∈（4，5），∴log220﹣4∈（0，1），∴4﹣log220∈（﹣1，0），又∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（x+4），∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（4﹣log220）=+=+=16÷20+=1，故f（log220）=﹣1，故选：C点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．8．（5分）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．2ln2考点：定积分在求面积中的应用．分析：由题意画出图形，再利用定积分即可求得．解答：解：如图，面积．故选D．点评：本题主要考查定积分求面积．9．（5分）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）=f（2）D．f（1）=f（2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据条件f（x）＜xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．解答：解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴，即2f（1）＜f（2）故选：A．点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：根据图象可判断：，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，通过图象运动可以判断1×1×4×6=24，=16，直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，即可求出答案．解答：解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a ＞0根据图象可判断：，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，把直线向上平移，向下平移，可判断：直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，当t=0时1×1×4×6=24，当t=4时，=16，abcd的取值范围是（16，24），故选：B点评：本题综合考查了函数图象的运用，求解两个图象的交点问题，运用动的观点解决，理解好题意是解题关键．二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）设命题p：∀a＞0，a≠1，函数f（x）=a2﹣x﹣a有零点，则￢p：∃a＞0，a≠1，函数f（x）=a2﹣x﹣a没有零点．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀a＞0，a≠1，函数f（x）=a2﹣x﹣a有零点，则￢p：∃a＞0，a≠1，函数f （x）=a2﹣x﹣a没有零点．故答案为：∃a＞0，a≠1，函数f（x）=a2﹣x﹣a没有零点．点评：本题考查命题的否定，注意全称命题与特称命题的否定关系．12．（5分）设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（0，2]．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：先化简p，q，利用p是q的充分不必要条件，建立不等式关系进行求解．解答：解：∵m＞0，∴不等式|2x+1|＜m等价为﹣m＜2x+1＜m，解得，即p：．由，即（x﹣1）（2x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜．即q：x＞1或x＜．∵p是q的充分不必要条件，∴，解得m≤2，∵m＞0，∴0＜m≤2，即实数m的取值范围为（0，2]．故答案为：（0，2]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法注意端点值等号的取舍问题．13．（5分）已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为[1，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a×1﹣1≥0，由此解得a的取值范围．解答：解：∵函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）上单调递增，∴a×1﹣1≥0，解得a≥1，故a的取值范围为[1，+∞），故答案为[1，+∞）．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．14．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则的最小值为3．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：由已知x≥0，y≥0，且x+y=1，可得0≤x≤1，y=1﹣x．代入可得==f（x），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：∵x≥0，y≥0，且x+y=1，∴0≤x≤1，y=1﹣x．∴==f（x），∴f′（x）==≥0，∴函数f（x）在[0，1]上单调递增．∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值3．故答案为：3．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．15．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（，3）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义是区域内的点与原点的斜率，则由图象可知，OA的斜率最大，OB的斜率最小，由，解得，即A（，），此时OA的斜率k=，由，解得，即B（，12），此时OB的斜率k=，则＜z＜3，即的取值范围是（，3），故答案为：（，3）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键．三.解答题（16-19题每题12分，20题13分，22题14分，共75分）16．（12分）已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假；二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点．专题：分类讨论．分析：根据对数函数的单调性我们易判断出命题p为真命题时参数a的取值范围，及命题p 为假命题时参数a的取值范围；根据二次函数零点个数的确定方法，我们易判断出命题q为真命题时参数a的取值范围，及命题q为假命题时参数a的取值范围；由p且q为假命题，p或q为真命题，我们易得到p与q一真一假，分类讨论，分别构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．解答：解：若p为真，则0＜a＜1．若q为真，则△＞0即（2a﹣3）2﹣4＞0解得a＜或a＞．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q中有且只有一个为真命题．（a＞0且a≠1）若p真q假，则∴≤a＜1若p假q真，则∴a综上所述，a的取值范围为：[，1）∪（，+∞）．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，二次函数的性质，对数函数的性质，其中根据二次函数及对数函数的性质判断两个命题为真或为假时参数a的取值范围，是解答本题的关键．17．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数值的符号；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）欲求tan2α的值，由二倍角公式知，只须求tanα，欲求tanα，由同角公式知，只须求出sinα即可，故先由题中cosα的求出sinα即可；（2）欲求角，可通过求其三角函数值结合角的范围得到，这里将角β配成β=α﹣（α﹣β），利用三角函数的差角公式求解．解答：解：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．18．（12分）设a∈R，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用ax2+（1﹣2a）x﹣2=（x﹣2）（ax+1），于是有（x﹣2）（ax+1）＞0，对a分类讨论，同时要注意比较根的大小，依次求解即可得到答案．解答：解：∵关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0，∴因式分解可形为（x﹣2）（ax+1）＞0，①当a=0时，不等式即为x﹣2＞0，故不等式的解为{x|x＞2}；②当a＞0时，不等式即为（x﹣2）（x+）＞0，∵﹣＜2，故不等式的解为{x|x＜﹣或x＞2}；③当﹣＜a＜0时，不等式即为（x﹣2）（x+）＜0，∵2＜﹣，故不等式的解为{x|2＜x＜﹣}；④当a=﹣时，不等式即为（x﹣2）2＜0，故不等式的解为∅；⑤当a＜﹣时，不等式即为（x﹣2）（x+）＜0，∵﹣＜2，故不等式的解为{x|﹣＜x＜2}．综上所述，当a=0时，不等式的解为{x|x＞2}，当a＞0时，不等式的解为{x|x＜﹣或x＞2}，当﹣＜a＜0时，不等式的解为{x|2＜x＜﹣}，当a=﹣时，不等式的解为∅，当a＜﹣时，不等式的解为{x|﹣＜x＜2}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法．求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．属于基础题．如果方程的根的大小关系部确定，则需要进行分类讨论求解．属于中档题．19．（12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？考点：函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=100x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．解答：解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：（4分），当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．（8分）（2）设该单位每月获利为S，则S=100x﹣y （10分）==因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值﹣40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．（16分）点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值．20．（13分）已知函数为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=﹣2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由奇函数定义可得f（﹣x）=﹣f（x），可求b，由f（1）=5可得a；（Ⅱ）不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，等价于f（x）max≤t，易判断a=﹣2时f（x）在[1，4]上的单调性，由单调性可得最大值；（Ⅲ）表示出g（x），只需判定函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调即可，利用单调性的定义可作出判断；解答：解：（Ⅰ）∵函数为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，∴b=0，又f（1）=4+a+b=5，∴a=1∴函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）a=﹣2，．∵函数在[1，4]均单调递增，∴函数f（x）在[1，4]单调递增，∴当x∈[1，4]时，．∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，∴，∴实数t的最小值为．（Ⅲ）证明：，设x1＜x2≤﹣1，=，∵x1＜x2≤﹣1，∴，∵a≥1，即﹣a≤﹣1，∴，又，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调递减，又c∈R，可知函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及其应用，考查函数最值的求解，考查学生综合运用函数性质分析解决问题的能力，属中档题．21．（14分）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的判断与证明；分段函数的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数的导数在区间[1，2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b的范围；（2）利用对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，转化为a的不等式，通过函数的最值，求实数a的取值范围；（3）b=0，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y轴上．解答：解：（1）由f（x）=x3+x2+bx得f'（x）=3x2+2x+b因f（x）在区间[1，2]上不是单调函数所以f'（x）=3x2+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，∴﹣16＜b＜﹣5…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0∴a≤恒成立，即a≤…（6分）令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，0≤lnx≤1x+2﹣2lnx＞0，从而f′（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴=f（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，F（x）=，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，…（9分）不妨设P（t，F（t）），t＞0则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0 （*），是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（12分）②若t＞1时，方程（*）为﹣t2+alnt（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt，（t＞1），则h′（x）=lnt++1，显然，当t＞1时，h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应用，难度比较大的综合题目．。
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高三摸底考试数学试题参考答案及评分说明 2015.12第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{1,2,3,4,5=U ，{1,2,3}=A ，{2,4}=B ，则U A B = （）ð A ．{1,2,3,5} B ．{2,4}C ．{1,3}D ．{2,5}2．已知复数z 满足i iz 2+13+4=，则=z A ．i +2 B ．2i -C ．i 2+1D ．12i -3．函数lg y x=的定义域是 A ．）（2,0 B ．）（）（2,11,0 C ．]2,0（ D ．]2,11,0（）（4．某调查机构调查了当地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg ）在[3.2,4.0)的人数是A ．30B ．40C ．50D ．555．（文科）条件:||1p x >，条件:2q x <-，则p 是q 的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5．（理科）不等式3529x ≤-<的解集为A ．(2,1][4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．[2,1)(4,7]--D ． [2,1)[4,7)-6．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为A ．2-B ．1-C ．0D ．4 7．根据如图框图，当输入的3x =时，则输出的y 为 A ．0 B ．9 C ．10 D ．198．圆2211x y -+=（）被直线x y =分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:59．（文科）已知等差数列{}n a 前四项中第二项为606，前四项和4S 为3883，则该数列第4项为A ．3074B ．2065C ．2024D ．2016 9．（理科）已知数列{}n a 中，41=a ，n a a n n 21+=+，则na n的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ． 510．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()0f x xf x '+<成立，若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，3311log (log )99c f =⋅，则c ,b ,a 大小关系是A ． a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ． b a c >>第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为4的圆面的四分之一，则该几何体的体积为___16π__． 12．函数sin 2cos 2y x x =-的单调递减区间是 37[,],88k k k Z ππππ++∈ ．13．若双曲线222210,0x y a b a b-=>>（）的焦距是其一个焦点到一条渐近线距离的4倍，则该双曲线的离心率为．14．（文科）如图，P 是ABC ∆边BC 的中线AD 上的中点，AD ＝4，则)(+⋅的值是 8- ．14．（理科）如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M N 、是直径AB 上的两个三等分点，且AB ＝6， 则PM PN ⋅=___8___．15．（文科）设函数f x ()是定义在R 上的奇函数，若f x ()的最小正周期为3，且1)2015(>f ，132)1(-+=m m f ，则m 的取值范围是__213m -<<_____．15．（理科）已知()f x 是定义在[3,3]-上的奇函数，当[0,3]x ∈时，()f x =2log 1x +（）.函数2()2g x x x m =-+，[3,3]x ∈-.如果对于任意1[3,3]x ∈-， 存在2[3,3]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 131m -≤≤- ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数()2sin()sin(),63f x x x x ππ=-+∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）在ABC ∆中，若4A π=，角C 满足1()262C f π+=，求BC AB 的值．解：（Ⅰ）因为πππππ()2sin()sin()2sin()sin[()]63626f x x x x x =-+=-+-πππ2sin()cos()sin(2)663x x x =--=-， ……………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ.2= …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，πππ()sin[2()]sin 26263C C f C +=+-=， …………8分 由已知，得1sin 2C =，所以π6C =或56π.又4A π=，所以π6C =. …10分在ABC ∆中，由正弦定理，得πsinsin 42π1sin sin 62BC A AB C ==== ………12分 17．（文科 本题满分12分）如图，ABC ∆是边长为4的等边三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （Ⅰ）证明：//DE 平面ABC ； （Ⅱ）证明：AD ⊥BE .证明：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连结DO 、CO ，…………1分Q ABD V 是等腰直角三角形,AD BD ⊥，∴DO AB ⊥， 122DO AB ==，………………2分 又Q 平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，∴DO ⊥平面ABC ，………………………………3分由已知得EC ⊥平面ABC ，DCABE∴//DO EC ，…………………………………………………………………4分又2EC DO ==，∴四边形DOCE 为平行四边形，………………………………………………5分 ∴//DE OC ，而DE ⊄平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴//DE 平面ABC . ……………………………………………………6分（Ⅱ）Q O 为AB 的中点，ABC V 为等边三角形，∴OC AB ⊥ …………………………………………………7分由（Ⅰ）知DO ⊥平面ABC ，而OC ⊂平面ABC可得DO OC ⊥， ………………………………………………8分Q DO AB O =I ，∴OC ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ，∴OC AD ⊥， …………………………………………………………9分又Q //DE OC ，∴DE AD ⊥， 而,BD AD DE BD D ⊥=I ，，∴AD ⊥平面BDE ， ………………………………………11分又BE ⊂平面BDE ，∴AD ⊥BE .…………………………………………………………12分17．（理科 本题满分12分）如图，ABC ∆是边长为4的等边三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （Ⅰ）证明：//DE 平面ABC ；（Ⅱ）求平面AEC 和平面BDE 所成锐二面角的余弦值.DCABE证明：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连结DO 、CO ，……1分Q ABD V 是等腰直角三角形,AD BD ⊥，∴DO AB ⊥，122DO AB ==，………………2分 又Q 平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，∴DO ⊥平面ABC ，………………………………3分 由已知得EC ⊥平面ABC ，∴//DO EC ，…………………………………………………………………4分又2EC DO ==，∴四边形DOCE 为平行四边形，………………………………………………5分∴//DE OC ，而DE ⊄平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴//DE 平面ABC . ……………………………………………………6分（Ⅱ）如图建立坐标系，则(2.0,0),(2,0,0),(0,0,2)A B C E D - ………………7分(((2,0,2),AE AC BD DE =-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r……9分 设平面AEC 的法向量为1111(,,)n x y z =u r则1100n AE n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r uu u r g u r uuu r g所以1111122020x z x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩ ，令11y =则110x z =所以1n =u r………………………………………………………10分设平面BDE 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n BD n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uu u r g u u r uuu r g所以2222200x z +=⎧⎪⎨=⎪⎩ ，令21x = 则220,1y z ==- 所以2(1,0,1)n =-u u r…………………………………………………………11分所以1212cos n n n n α⋅===⋅u r u u r u r u u r …………………………………12分 18．（文科 本题满分12分）现有,,A B C 三种产品需要检测，产品数量如下表所示：已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件. （Ⅰ）求三种产品分别抽取的件数；（Ⅱ）已知抽取的,,A B C 三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件.现再从已抽取的,,A B C 三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率. 解：（Ⅰ）设A 、B 产品均抽取了x 件，C 产品抽取了72x -件，则有：72240360x x-=，解得2x = 所以,A B 产品分别抽取了2件,C 产品抽了3件. ……………………………4分 （Ⅱ）记抽取的A 产品为12,a a ，其中1a 为一等品；抽取的B 产品为12,b b ，两件均为一等品；抽取的C 产品为123,,c c c ，其中12,c c 为一等品.……………………6分 从三种产品种各取1件的所有结果有：{}111,,a b c ，{}112,,a b c ，{}113,,a b c ，{}121,,a b c ，{}122,,a b c ，{}123,,a b c ，{}211,,a b c ，{}212,,a b c ，{}213,,a b c ，{}221,,a b c ，{}222,,a b c ，{}223,,a b c ，共12个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. ………………………………10分其中三件都是一等品的有：{}111,,a b c ，{}112,,a b c ，{}121,,a b c ，{}122,,a b c ，共4个.因此3件产品都是一等品的概率41123P ==. …………………………12分 18．（理科 本题满分12分）某次数学测验共有3道题,评分标准规定：“每题答对得5分，答错得0分”.已知某考生能正确解答这3道题的概率分别为35，12，25，且各个问题能否正确解答互不影响．（Ⅰ）求该考生至少答对一道题的概率；（Ⅱ）记该考生所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）记“该考生至少答对一道题”为事件A ，i A 为事件“答对第i 道题”,1,2,3i =.由事件的独立性和互斥性得:123123()1()1()1()()()P A P A P A A A P A P A P A =-=-=-21322152525=-⨯⨯= ………………………………………………5分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0,5,10,15. ………………………………………6分(0)P X =123123()()()()P A A A P A P A P A ==213652550=⨯⨯=， 123123123(5)()P X P A A A A A A A A A ==++，31321321219+52552552550=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= (10)P X =123123123()P A A A A A A A A A =++31331221219+52552552550=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ()1233126(15)==52550P X P A A A ==⨯⨯………………………………10分X 的分布列为：……………11分61919615()051015505050502E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………12分 19．(文科 本题满分12分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数,112a =，且23264a a a =. （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21222log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23264a a a =得22344a a = 所以214q =，由条件可知0q >,故12q = ……………………3分 由112a =，故数列{}n a 的通项式为12n n a =. …………5分（Ⅱ）21222n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-…………………7分 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ …………………9分 12111111112...2((1)()...())22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++ ……11分 所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+ …………………12分 19．(理科 本题满分12分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21232621,4a a a a a +==. （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln(3)nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23264a a a =得22344a a =所以214q =. 由条件可知0q >,故12q =……………2分 由1221a a +=得1121a a q +=，所以112a = ……………4分故数列{}n a 的通项式为12n n a =. …………5分（Ⅱ）()111ln(3)(1)ln 3(1)ln 22n n nn n n n n b a a =+-=+-+-11(1)ln 2(1)ln 32n n n n +=+-+- …………7分 当2(*)n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++2111(){(12)(34)[(21)2]}ln 20ln3242kk k ⎛⎫=++++-+-+--+ ⎪⎝⎭2111221ln 21ln 212212knn k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=-- ⎪⎝⎭- …………9分 当21(*)n k k =-∈N 时，1221n k S b b b -=+++21111(){(12)(34)[(23)(22)](21)}ln 2ln3242k k k k -⎛⎫=++++-+-+---+-- ⎪⎝⎭211112211ln 2ln 31ln 2ln 312212k nn k -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-=-+- ⎪⎝⎭- …………11分故11ln2,22111ln2ln322nn nnnSnn⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪-+-⎪⎪⎝⎭⎩为偶数；，为奇数.…………12分20．（文科本题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，其右焦点到直线x y-=（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k=≠交椭圆C于,M N两点，椭圆右顶点为A，求证：直线,AM AN的斜率乘积为定值，并求出该定值．解：（Ⅰ）令右焦点(,0)(0)F c c>，由题设条件得=c=……………………2分又ca=，2a=，所以2221b a c=-=所以椭圆的标准方程为2214xy+=．……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A．由题意可知，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0．由2244x yy kx⎧+=⎨=⎩得22(14)4k x+=．……………………6分不妨设M Nx x>，所以Mx=．所以Nx=所以M y =，N y =． ……………………8分所以，2AMk ==-2ANk ==-……………………10分所以14AM AN k k ⋅==-．因此 直线,AM AN 的斜率乘积为定值14-．证毕． …………12分 20．（理科 本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的下顶点为A ，直线l 过定点3(0,)2Q ，与椭圆交于两个不同的点M N 、，且满足AM AN =．求直线l 的方程.解：（Ⅰ）由已知得221213c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2231a b ⎧=⎨=⎩．所以椭圆的标准方程为2213x y +=． ………………4分（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴垂直，M N 、为椭圆的上下顶点，则有2,0AM AN ==，不满足题设条件；…………………………5分故可设直线l ：3(0)2y kx k =+≠，与椭圆方程2213x y +=联立，消去y 得，()21513904k x kx +++=， ………………………7分 由()()2215941304k k ∆=-+⋅>，得2512k > ① 方法一：设1122(,),(,)M x y N x y ，其中点为00(,)P x y 由韦达定理得122913kx x k+=-+， 而2121229()3313k y y k x x k+=++=-++ ……………………9分 从而1202x x x +=，1202y y y += 由AM AN =，得AP MN ⊥又(0,1)A -，所以212201202951111329132APk y y y k k x x k x k k +-++++====-+-+，可求得223k =…………………………11分 代入①式，成立，所以所求直线的方程为32y x =+，或32y x =+…………12分 方法二：设1122(,),(,)M x y N x y ， 由韦达定理得122913kx x k +=-+，而2121229()3313k y y k x x k +=++=-++ …………………………9分由AM AN =，(0,1)A -得=整理得1212121212(2)()0()x x x x y y y y y y -++++=≠-所以22299(5)01313k k k k k-+-+⋅=++ 可求得223k =…………………………11分 代入①式，成立，所以所求直线的方程为32y x =+，或32y x =+…………………12分 21．（文科 本题满分15分）设函数22()ln 2,f x x x ax a a R =+-+∈ （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的情况；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,2]2上存在．．单调递减区间，试求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）由题知，21221()22,x ax f x x a x x-+'=+-=其中0x >. …………1分设2()221g x x ax =-+，则①当0a ≤时，在(0,)+∞上()0g x >恒成立，此时()0f x '>，函数()f x 没有极值点. …………………………………………2分②当0a >时，当0∆≤，即0a <≤(0,)+∞上()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≥，函数()f x 没有极值点； ………………………………3分当0∆>，即a >易知，当22a a x <<时，()0g x <，此时()0f x '<，()f x 是减函数；当02a x <<2a x >时，()0g x >，此时()0f x '>，()f x 在两个区间上分别是增函数.所以，当a >x =是函数()f x 的极大值点，x =函数()f x 的极小值点. …………………………………7分综上，当a ≤()f x 没有极值点；当a >x =是函数()f x 的极大值点，2a x =是函数()f x 的极小值点. …………8分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，2221(),x ax f x x-+'=2()221g x x ax =-+.因为函数2()221g x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为2ax =.由题意，函数()f x 在1[,2]2上存在单调递减区间，所以 ①当122a ≤即1a ≤时，只要1()02g <即可，即1102a -+<，解得32a >，与1a ≤矛盾. …………………………………………10分②当1222a <<即14a <<时，只要()02g a <即可，即22102a a -+<，解得a <a >4a <<. ……………………12分③当22a ≥即4a ≥时，只要(2)0g <即可，即8410a -+<，解得94a >.所以，此情况下有4a ≥. …………………………………………14分综上可得， 若函数()f x 在1[,2]2上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是)+∞. …………………………………………15分解法二：由（Ⅰ）知，2221(),x ax f x x-+'=2()221g x x ax =-+.由题意，若函数()f x 在1[,2]2上存在单调递减区间，则必存在01(,2)2x ∈使得不等式0()0g x <成立，即0012a x x >+成立． …………………………10分由于0012x x +≥01(,2)2x = …………11分所以，a >…………………………………12分反之，对于任意0a >01(,2)2x ∈（比如0x =，使00012a x x >+成立，即0()0g x <成立，函数()f x 在1[,2]2上存在单调递减区间．…………………………………………………14分综上可得， 若函数()f x 在1[,2]2上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是)+∞. …………………………………………15分21．（理科 本题满分15分）设函数22()ln 2,f x x x ax a a R =+-+∈ （Ⅰ） 讨论函数()f x 极值点的情况；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,2]2上不是．．单调函数，试求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）由题知，21221()22,x ax f x x a x x-+'=+-=其中0x >. ……1分设2()221g x x ax =-+，则①当0a ≤时，在(0,)+∞上()0g x >恒成立，此时()0f x '>，函数()f x 没有极值点. ……………………………………………2分②当0a >时，当0∆≤，即0a <≤(0,)+∞上()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≥，函数()f x 没有极值点； ……………………………………3分当0∆>，即a >易知，x <<()0g x <，此时()0f x '<；当02a x <<或2a x >时，()0g x >，此时()0f x '>.所以，当a >2a x =是函数()f x 的极大值点，2a x +=是函数()f x 的极小值点. …………………………………7分综上，当a ≤()f x 没有极值点；当a >x =是函数()f x 的极大值点，x =()f x 的极小值点. ……………8分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，2221(),x ax f x x-+'=2()221g x x ax =-+.若函数()f x 在1[,2]2上不是单调函数，则函数()g x 在区间1[,2]2上的值有正有负.因为函数2()221g x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为2ax =，所以 ①当122a ≤即1a ≤时，只要满足1()02g <且(2)0g >即可，即11028410a a ⎧-+<⎪⎨⎪-+>⎩，解得3924a <<，与1a ≤矛盾. …………………………………………10分 ②当1222a <<即14a <<时，只要满足()021()02g g a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或()02(2)0a g g ⎧<⎪⎨⎪>⎩即可，即221021102a a a ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩或221028410a a a ⎧-+<⎪⎨⎪-+>⎩，32a <<94a <<.所以，此情况94a <<. ……………………………………12分 ③当22a ≥即4a ≥时，只要满足1()02(2)0g g ⎧>⎪⎨⎪<⎩即可，即11028410a a ⎧-+>⎪⎨⎪-+<⎩，此不等式组无解. ………………………………………14分综上可得， 若函数()f x 在1[,2]2上不是单调函数，则实数a的取值范围是9)4. …………………………………………15分解法二：由（Ⅰ）知，2221(),x ax f x x-+'=2()221g x x ax =-+.若函数()f x 在1[,2]2上不是单调函数，则函数()g x 在区间1[,2]2上的值有正有负，所以存在01(,2)2x ∈使0()0g x =，即2002210x ax -+=，得0012a x x =+ …………10分由0012x x +≥01(,2)2x =，所以a ≥11分 而12x x +在区间两端点处的值是32和94，所以001924x x +< ……12分 但是，当a =22()211)0g x x =-+=-≥即()0f x '≥，()f x 在1[,2]2上是单调递增函数，与已知矛盾 …………………………………14分综上可得， 若函数()f x 在1[,2]2上不是单调函数，则实数a的取值范围是9)4. …………………………………………15分解法三：由（Ⅰ）知，2221(),x ax f x x-+'=2()221g x x ax =-+.假设函数()f x 在1[,2]2上是单调递增函数，则2()2210g x x ax =-+≥，1[,2]2x ∈ …………………………………………9分于是，12a x x ≤+（1[,2]2x ∈），由min 1()2x x +=1[,2]2x ∈），所以a ≤…………………………………………11分假设函数()f x 在1[,2]2上是单调递减函数，则2()2210g x x ax =-+≤，1[,2]2x ∈ …………………………………………12分于是，12a x x ≥+（1[,2]2x ∈），由max 19()24x x +=（1[,2]2x ∈），所以94a ≥ …………………………………………14分综上可得， 若函数()f x 在1[,2]2上不是单调函数，则实数a的取值范围是9)4. …………………………………………15分。