信息论-信息论第三次课ch2--91-信息联合
信息论总结与复习
（3）稳态符号概率： （4）稳态信息熵：
结论：N阶马氏信源稳态信息熵(即极限熵)等于N+1阶条件熵。
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
[例1] 已知二阶马尔可夫信源的条件概率：
p(0|00)=p(1|11)=0.8；p(0|01)=p(1|10)=0.6；
(2)联合熵：
H(XY)= -0.21log0.21 –0.14log0.14 –0.35log0.35 –0.12log0.12 –0.09log0.09–0.09log0.09 =2.3924 bit/符号
第一部分、信息论基础
1.2 信道的信息理论
(3)噪声熵：
由 和
H(Y | X)= – 0.21log0.3 –0.14log0.2 –0.35log0.5
（4）无噪有损信道：分组多对一（归并），其传输矩阵应具 有多行一列的分块对角化形式。
（5）对称信道：传输矩阵的各行都是一些相同元素的重排， 各列也是一些相同元素的重排。
第一部分、信息论基础
1.2 信道的信息理论
3、信道有关的信息熵：
（1）信源熵 (先验熵)：
（2）噪声熵 (散布度)：
（3）联合熵： （4）接收符号熵：
–0.12log0.4 –0.09log0.3–0.09log0.3
==（0.21+0.12，0.14+0.09，0.35+0.09） = （0.33, 0.23, 0.44）
H(Y)= -0.33log0.33 -0.23log0.23 -0.44log0.44
[例3]求对称信道 解：C =log4-H(0.2,0.3,0.2,0.3) =2+(0.2log0.2+0.3log0.3)×2 = 0.03 bit/符号； 的信道容量。
信息论总结
D
香农编码：
二进制香农码的编码步骤如下： ⑴将信源符号按概率从大到小的顺序排列, p(a1)≥ p(a2)≥…≥ p(an) ⑵确定满足下列不等式的整数Ki , －log2 p(ai)≤ Ki <1－log2 p(ai) ⑶令p(a1)=0,用Pi表示第i个码字的累加概率，
⑷将Pi用二进制表示,并取小数点后Ki位作为符 号ai的编码。
m元霍夫曼编码的编码方式类同于二元霍夫曼编码， 不同的是每次把m个符号合并成一个新的信源符号， 并分别用0,1，……，m-1等码元表示。 为了使短码得到充分利用，使平均码长为最短，必 须使最后一步缩减信源有m个信源符号。因此对于m 元编码，信源s的符号个数必须满足q=(m-1) θ+m, θ是 缩减的次数.
L →∞
5 马尔可夫信源的极限熵：
H ∞ = H m +1 = ∑ p ( si ) H ( X | si ) p( si ) = Wi
i
H ( X | si ) = −∑ p ( x j | si ) log p ( x j | si )
j
6
H∞ (X ) η 冗余度： = H ( X ) ０ ≤ η ≤１ m
游程编码：
若规定二元序列总是从“0”开始,第一个游程是“0”游 程,则第二个游程必为“1”游程,第三个又是“0”游程……。 对于随机序列,游程长度是随机的其取值可为1,2,3,…， 直至无穷。 游程长度序列/游程序列：用交替出现的“0”游程和“1” 游程长度表示任意二元序列。 游程变换： 是一种一一对应的变换,也是可逆变换。 例如：二元序列000101110010001… 可变换成如下游程序列 31132131
i i i =1 i =1 L L
Ｌ
信息论-第三章PPT课件
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空
间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
b1
X
P (b j | ai )
Y
ar
2021/6/7
bs
6
第一节 信道的数学模型及分类
表示成矩阵形式：
…
y1
y2
… x1 p(y1/x1) p(y2/x1)
[P]=
…
x2 p(y1/x2) p(y2/x2)
2021/6/7
27
第四节 信道容量及其一般计算方法
(3)无噪有损信道
x1
x2
y1
x3
x4
y2
x5
此时信道疑义度为0，而信道噪声熵不为0，从而
C=max{I(X;Y)}=max{H(Y)-H(Y/X)}=max{H(Y)}=logs
2021/6/7
28
第四节 信道容量及其一般计算方法
2、对称离散信道的信道容量
y1
y2
…
x1
p(y1/x1)
p(y2/x1)
…
[P]= x2
p(y1/x2)
p(y2/x2)
…
…
…
…
…
xn
p(y1/xn)
p(y2/xn)
…
ym p(ym/x1) p(ym/x2)
… p(ym/xn)
2021/6/7
10
第一节 信道的数学模型及分类
为了表述简便，可以写成 P(bj /ai)pij
因为H(X),表示传输前信源的不确定性，而H(X/Y)表示
收到一个符号后，对信源尚存的不确定性，所以二者之
差信道传递的信息量。
信息论第3章课后习题答案
信息论第3章课后习题答案信息论是一门研究信息传输、存储和处理的学科。
它的核心理论是香农信息论，由克劳德·香农于1948年提出。
信息论的应用范围广泛，涵盖了通信、数据压缩、密码学等领域。
在信息论的学习过程中，课后习题是巩固知识、检验理解的重要环节。
本文将对信息论第3章的课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握信息论的基本概念和方法。
1. 证明：对于任意两个随机变量X和Y，有H(X,Y)≤H(X)+H(Y)。
首先，根据联合熵的定义，有H(X,Y)=-∑p(x,y)log2p(x,y)。
而熵的定义为H(X)=-∑p(x)log2p(x)和H(Y)=-∑p(y)log2p(y)。
我们可以将联合熵表示为H(X,Y)=-∑p(x,y)log2(p(x)p(y))。
根据对数的性质，log2(p(x)p(y))=log2p(x)+log2p(y)。
将其代入联合熵的表达式中，得到H(X,Y)=-∑p(x,y)(log2p(x)+log2p(y))。
再根据概率的乘法规则，p(x,y)=p(x)p(y)。
将其代入上式中，得到H(X,Y)=-∑p(x,y)(log2p(x)+log2p(y))=-∑p(x,y)log2p(x)-∑p(x,y)log2p(y)。
根据熵的定义，可以将上式分解为H(X,Y)=H(X)+H(Y)。
因此，对于任意两个随机变量X和Y，有H(X,Y)≤H(X)+H(Y)。
2. 证明：对于一个随机变量X，有H(X)≥0。
根据熵的定义，可以得到H(X)=-∑p(x)log2p(x)。
由于概率p(x)是非负的，而log2p(x)的取值范围是负无穷到0之间，所以-p(x)log2p(x)的取值范围是非负的。
因此，对于任意一个随机变量X，H(X)≥0。
3. 证明：对于一个随机变量X，当且仅当X是一个确定性变量时，H(X)=0。
当X是一个确定性变量时，即X只能取一个确定的值，概率分布为p(x)=1。
信息论完整公式
信息论完整公式信息论是一门研究信息传输与处理的学科，其核心是通过量化信息的度量和处理方法来研究信息的传播和存储。
而信息论完整公式是信息论的基石，它提供了计算信息量的数学方法。
本文将介绍信息论完整公式的定义、使用以及在实际应用中的重要性。
一、信息论完整公式的定义信息论完整公式，也称为香农熵公式，是由克劳德·香农在他的著作《通信的数学理论》中提出的。
它用于计算信息的平均量，并以比特（bit）作为单位衡量信息的多少。
信息论完整公式的数学表达如下：H(X) = -ΣP(x)log2P(x)其中，H(X)表示随机变量X的熵，P(x)表示随机变量X取值为x的概率。
二、信息论完整公式的应用1. 信息编码与压缩：信息论完整公式可以用于衡量和评估不同编码方法的效率。
通过计算熵，我们可以得到一个编码方案所需要的平均比特数。
进一步地，通过对熵进行压缩，可以实现对信息的高效存储和传输。
2. 信道容量：信息论完整公式还可以用于计算信道的容量。
信道容量是指信道传输信息的上限，通过计算信道的熵，我们可以了解到在什么样的条件下，信道可以传输的最大信息量。
3. 通信系统设计：信息论完整公式对于设计和优化通信系统也具有重要意义。
通过对信源进行建模、计算熵以及确定编码方案，可以提高通信系统的传输效率和可靠性。
4. 数据压缩和加密：信息论完整公式在数据压缩和加密领域也有广泛应用。
通过计算数据的熵，可以了解数据的冗余度，并采取相应的压缩算法。
同时，信息论的一些基本原理也可以用于数据加密，保证数据的安全传输。
三、信息论完整公式的重要性信息论完整公式是信息论的基础，是我们理解信息量和信息传输的重要工具。
它具有以下重要性：1. 理论基础：信息论完整公式为信息论提供了数学模型和理论基础，使得信息论有了统一的数学语言，能够量化和研究信息的特性。
2. 应用广泛：信息论完整公式在通信、计算机科学、数据处理等领域具有广泛的应用。
通过应用信息论完整公式，我们能够更好地设计、优化和处理信息系统。
《信息论》课程介绍
《信息论》课程介绍【原创实用版】目录1.信息论的定义与重要性2.信息论的发展历程3.信息论的应用领域4.《信息论》课程的主要内容5.学习信息论的意义与价值正文1.信息论的定义与重要性信息论是一门研究信息传输、存储、处理和利用的学科，它涉及数学、统计学、计算机科学、通信技术等多个领域。
在信息时代，信息论为我们提供了理论基础和技术方法，以实现信息的高效、安全、可靠传输和处理。
信息论在现代通信、计算机科学、数据挖掘、密码学等领域具有重要意义。
2.信息论的发展历程信息论的发展始于 20 世纪 40 年代，美国数学家香农（Claude Shannon）发表了著名的《通信的数学理论》，奠定了信息论的理论基础。
此后，信息论在通信技术、计算机科学等领域得到广泛应用和发展。
如今，信息论已经成为一门重要的学科，吸引了众多学者和研究者。
3.信息论的应用领域信息论在许多领域都有广泛的应用，例如通信技术、计算机科学、数据挖掘、密码学、机器学习等。
在通信技术方面，信息论为无线通信、光纤通信等提供了理论支持；在计算机科学方面，信息论为数据压缩、数据加密等技术提供了理论依据；在数据挖掘方面，信息论为数据分析、知识发现等提供了有效方法。
4.《信息论》课程的主要内容《信息论》课程主要涉及以下几个方面的内容：（1）信息论的基本概念和定义，包括信息的定义、熵的定义、信息传输速率等；（2）信息论的基本理论，包括香农定理、信源编码、信道编码等；（3）信息论的基本方法，包括数据压缩、数据加密、信道编码等；（4）信息论的应用领域，包括通信技术、计算机科学、数据挖掘、密码学等。
5.学习信息论的意义与价值学习信息论具有重要的意义和价值，它可以帮助我们更好地理解信息的传输、存储、处理和利用，提高我们在信息时代的竞争力。
此外，信息论也为我们提供了理论基础和技术方法，以实现信息的高效、安全、可靠传输和处理。
信息论与编码理论—第三章习题解答
2013-8-4
0.020
15
111 112 121 211 113 131 311 122 212 221 123 132 213 312 231 321 222 133 313 331 223 232 322 233 323 332 333
0.125 0.075 0.075 0.075 0.050 0.050 0.050 0.045 0.045 0.045 0.030 0.030 0.030 0.030 0.030 0.030 0.027 0.020 0.020 0.020 0.018 0.018 0.018 0.012 0.012 0.012 0.008 0 1 0 1 0 1 0.036
2013-8-4
7
(c) “当收到1时得到多少关于信源的平均信息”，这是求信 源随机变量U与事件“收到1”的（半平均）互信息量。 以码A为例。
I(收到1；U)=
P ( a1 , 且收到1) P ( a1 | 收到1) log P ( a1 ) P (收到1) P ( a2 , 且收到1) P ( a2 | 收到1) log P ( a2 ) P (收到1) P ( a3 , 且收到1) P ( a3 | 收到1) log P ( a3 ) P (收到1) P ( a4 , 且收到1) P ( a4 | 收到1) log P ( a4 ) P (收到1)
0.036
0.024
2013-8-4
0.020
17
111 112 121 211 113 131 311 122 212 221 123 132 213 312 231 321 222 133 313 331 223 232 322 233 323 332 333
第二章信息论
无记忆信源 X的各时刻取值相互独立。
有记忆信源 X的各时刻取值互相有关联。
补充解释 信源和信宿
信源亦称信息源，它能够形成和发送一组有待于传输
给接收端的消息或消息序列。
信宿即信息接受者，它能够接收信息并使信息再现从
而达到通信的目的。
说明：
信源和信宿是多方面的，既可以是人，也可以是 物
信源和信宿是相对的 信源发出的信息对于信宿来说是不确定的
第二节 信息论基础知识
一、通信系统模型 1、通信系统模型
申农认为通信应该是信息在系统中识别、 传输、变换、存储、处理、显示的过程。因此 通信系统必须是一个发送与接收，输入与输出 两者相互联系的不可分割的统一体。
通信系统模型
通信的基本问题是在彼时彼地精确地或近似地再现此时此 地发出的消息。 各种通信系统，一般可概括为下图所示的统计模型：
信源
信源编码器 信道编码器
等效信源 等效信宿
信宿
信源译码器 信道译码器
等效干扰 信道
信
干
道
扰
源
这个模型包括以下五个部分： 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
维纳从控制和通信的角度研究了信息问题，以自动 控制的观点解决了信号被噪声干扰时的处理问题，建立 了“维纳滤波理论”，从而扩大了信息论的研究范围。
申农信息论
申农使信息论成为了一门独立的学科，主要解决 了信息编码问题和如何提高通信的效率和可靠性。
《通信中的数学理论》和《在噪声中的通信》集 中了申农的研究成果，系统的论述了信息理论，奠定 了现代信息论的基础。
信息论基础教学教案-信息论知识总结
送端发送 ai 的概率，称为后验概率。收信者获得的信息量定义为互信息， 即收信者在收到消息（符号）b j 后，已经消除的关于 ai 的不确定性。因此， 互信息就是先验的不确定性减去尚存在的不确定性，其定义为
I
(ai
;bj
)
log
1 P(ai
)
log
1 P(ai
bj
)
3
《信息论基础》教案
本节小结
1. 消息和信息的概念以及信息、消息和信号之间的关系
2. 香农信息的含义和度量
自信息
I (ai
)
log
1 P(ai
)
log
P(ai
)
互信息
I
(ai
;
bj
)
log
1 P(ai
)
log
1 P(ai
bj
)
教学方法 时 和手段 间
利用多媒 体演示， 分条目进 10 行总结
4
《信息论基础》教案
教学章节 教学目的
教学内容 教学重点 教学难点
教学方式
授课时间
第一章绪论 1. 理解信息论的研究对象、目的和内容 2. 了解信息论的发展简史与现状 1. 信息论的研究对象、目的和内容 2. 信息论的发展简史与现状 1. 信息论的研究对象、目的和内容 1. 信息论的研究对象、目的和内容 以多媒体电子教案为主讲解主要内容，以板书为辅将知识点和方法明确化； 采取结合例子 讲授、逐 步深入、分 析的方法 进行讲解， 并着重强 调各种概 念的物理意义。 1 学时
状态（是否正确和可靠），因此，消息是千变万化的、不规则的以及 学生，讲解
随机的。
信息和消息
2、信息
概念，以及
(信息论)第二、三章习题参考答案
第二章习题参考答案2-1解：同时掷两个正常的骰子，这两个事件是相互独立的，所以两骰子面朝上点数的状态共有6×6＝36种，其中任一状态的分布都是等概的，出现的概率为1/36。
(1)设“3和5同时出现”为事件A ，则A 的发生有两种情况：甲3乙5，甲5乙3。
因此事件A 发生的概率为p(A)=(1/36)*2=1/18 故事件A 的自信息量为I(A)=－log 2p(A)=log 218=4.17 bit(2)设“两个1同时出现”为事件B ，则B 的发生只有一种情况：甲1乙1。
因此事件B 发生的概率为p(B)=1/36 故事件B 的自信息量为I(B)=－log 2p(B)=log 236=5.17 bit (3) 两个点数的排列如下：因为各种组合无序，所以共有21种组合： 其中11，22，33，44，55，66的概率是3616161=⨯ 其他15个组合的概率是18161612=⨯⨯symbol bit x p x p X H ii i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-=-=∑(4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布：sym bolbit x p x p X H X P X ii i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 3612 )(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)“两个点数中至少有一个是1”的组合数共有11种。
bitx p x I x p i i i 710.13611log )(log )(3611116161)(=-=-==⨯⨯=2-2解：(1)红色球x 1和白色球x 2的概率分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121)(21x x x p X i 比特 12log *21*2)(log )()(2212==-=∑=i i i x p x p X H(2)红色球x 1和白色球x 2的概率分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100110099)(21x x x p X i 比特 08.0100log *100199100log *10099)(log )()(22212=+=-=∑=i i i x p x p X H (3)四种球的概率分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡41414141)(4321x x x x x p X i ，42211()()log ()4**log 4 2 4i i i H X p x p x ==-==∑比特2-5解：骰子一共有六面，某一骰子扔得某一点数面朝上的概率是相等的，均为1/6。
信息论第三讲互信息
互信息的解释性问题
互信息是一种非线性关系，难以解释其物理意义，因此在实际应用中存在一定的 困难。
互信息的解释性受到数据分布的影响，不同的数据分布会导致互信息的值发生变 化，从而影响其解释的准确性。
互信息的度量问题
互信息的度量涉及到熵的计算，而熵的计算涉及到概率的归 一化过程，因此互信息的度量存在一定的难度。
加密通信
加密算法设计
互信息可以用于设计加密算法，通过 增加密文和明文之间的不确定性，提 高加密的安全性。
密钥分配
互信息可以用于密钥分配，通过建立 通信双方之间的共享密钥，保证通信 的安全性。
自然语言处理
语义分析
互信息可以用于自然语言处理的语义分析，通过分析词语之间的关联程度，提高文本分类、情感分析 等任务的准确性。
文本生成
基于互信息的文本生成技术可以用于自动生成文章、对话等文本内容，提高自然语言处理的应用效果 。
05
互信息的限制与挑战
互信息的计算复杂度问题
互信息的计算涉及到概率的计算，而 概率的计算需要大量的数据样本，因 此互信息的计算复杂度较高。
在实际应用中，由于数据样本的限制， 计算出的互信息可能存在误差，影响 后续的分析和决策。
2
在信息论中，互信息用于度量两个变量之间的相 关性，可以反映一个变量中包含的关于另一个变 量的信息的多少。
3
互信息通常用I(X;Y)表示，其中X和Y是两个随机 变量，I(X;Y)表示X中关于Y的信息量。
互信息的性质
非负性
互信息总是非负的，即I(X;Y)≥0。
对称性
互信息具有对称性，即 I(X;Y)=I(Y;X)。
互信息与条件熵的关系
互信息可以理解为条件熵减去被条件化的随机变量的熵，即表示由于给定一个随机变量而减少的另一个随机变量 的不确定性。
信息论基本概念
况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E) "后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的 修正。
条件熵与信息熵
• 糖来自一号碗的信息熵为：
• H(H1)=-P(H1)logP(H1) = -0.5log0.5 =0.5
条件熵<信息熵 条件增加，不确定性降低
互信息
I(X;Y)=H(X)-H(X|Y) Y未知,X 的不确定度为H(X) Y已知,X 的不确定度变为H(X |Y)
互信息= 先验不确定性－后验不确定性 = 不确定性减少的量
维拉图
H(X)
H(Y)
H(X|Y) I(X;Y) H(Y|X)
H(XY)
I(X;Y) H(X) H(X | Y) H(Y) H(Y | X) H(X) H(Y) H(XY)
• 自信息量和该事件的不确定度的含义有本质的区别。
不确定度只与事件的概率有关，是一个统计量，在静态状态 下也存在；
自信息量只有该随机事件出现时才给出，不出现时不给出， 因此它是一个动态的概念。
• 信息和消除不确定性是相联系的 • 信息越多，随机事件的不确定性就越小 • 条件熵
条件熵
在给定yj条件下， xi的条件自信息量为I(xi| yj), X 集合的条件
熵H(X|yj)为：
H(X | y j ) p(xi | y j )I(xi | y j ) i
在给定Y(即各个yj )条件下,X集合的条件熵H(X|Y)
H(X | Y) p(y j)H(X | y j) p(y j)p(xi | y j)I(xi | y j)
j
ij
信息论
信息熵的补
信息论-信息量
信息量是信息论中量度信息多少的一个物理量。它从量上反映具有确定概率的事件发生时所传递的信息。
用H（x）表示为信息熵，是信源整体的平均不定度。而用I（p）表示为信息，是从信宿角度代表收到信息后消除不定性的程度，也就是获得新知识的量，所以它只不在信源发出的信息熵被信宿收到后才有意义。在排除干扰的理想情况下，信源发出的信号与信宿接收的信号一一对应，H（x的定义
就本体论意义而言，信息是事物现象及其属性标识的集合;信息就是信息，信息是物质、能量、信息及其属性的标示----Wiener信息定义的逆.信息特性是标志事物存在及其关系的属性。但这样的描述难以将信息定量化，因此申农是从就认识论意义而言定义信息的，即信息是认识主体接收到的、可以消除对事物认识不确定性的新内容和新知识。信息是确定性的增加----逆仙农（Shannon）信息定义。根据这一点给出了信息量的数学形式。
信息和控制是信息科学的基础和核心。70年代以来，电视、数据通信、遥感和生物医学工程的发展，向信息科学提出大量的研究课题，如信息的压缩、增强、恢复等图像处理和传输技术，信息特征的抽取、分类和识别的模式、识别理论和方法，出现了实用的图像处理和模式识别系统。
申农最初的信息论只对信息作了定量的描述，而没有考虑信息的其他方面，如信息的语义和信息的效用等问题。而这时的信息论已从原来的通信领域广泛地渗入到自动控制、信息处理、系统工程、人工智能等领域，这就要求对信息的本质、信息的语义和效用等问题进行更深入的研究，建立更一般的理论，从而产生了信息科学。
共同信息(Mutual Information)是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件X和Y的共同信息定义为：
I(X,Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y)
信息论的基本原理与应用
信息论的基本原理与应用信息论是由克劳德·香农于1948年提出的一门学科，它研究的是信息的量化、传输和存储等问题。
信息论的基本原理包括信息的定义、熵的概念、编码和解码等内容。
本文将介绍信息论的基本原理，并探讨其在通信、数据压缩和密码学等领域的应用。
一、信息的定义信息是用来描述事件或事物的一种概念。
在信息论中，信息的定义与概率有关。
假设一个事件发生的概率是p，那么该事件提供的信息量可以用-log(p)来表示。
当事件发生的概率越小，提供的信息量就越大。
例如，一个不太可能发生的事件，例如中彩票，会提供较大的信息量，因为它的发生概率较低。
二、熵的概念熵是信息论中常用的一个概念，它用来衡量一个信源中信息的平均度量。
熵越大，表示信源中信息的不确定性越大。
熵的计算公式为H(X)=-∑p(x)log(p(x))，其中p(x)表示信源生成符号x的概率。
当信源中所有符号的概率相等时，熵达到最大值，表示信息的不确定性最高。
三、编码和解码在信息传输中，编码和解码是非常重要的环节。
编码是将待传输的信息转换成编码序列的过程，而解码则是将接收到的编码序列转换回原始信息的过程。
编码可以通过多种方式进行，例如霍夫曼编码、香农-费诺编码等。
编码的目标是尽可能地压缩信息并减少传输的开销，而解码则需要能够准确地还原原始信息。
四、信息论在通信中的应用信息论在通信领域有着广泛的应用。
通过熵的概念，我们可以计算信源的信息传输速率，从而确定通信系统的带宽需求。
另外，编码和解码技术可以实现数据的可靠传输。
例如，通过使用纠错编码技术，可以在传输过程中纠正部分错误，提高数据传输的可靠性。
五、信息论在数据压缩中的应用信息论对于数据压缩也有着重要的应用。
通过熵编码技术，可以将冗余信息进行压缩，从而减小存储或传输的开销。
熵编码技术根据符号出现的频率进行编码，出现频率较高的符号可以使用较短的编码表示，从而实现对信息的高效压缩。
六、信息论在密码学中的应用信息论对于密码学的发展也起到了重要的推动作用。
信息论主要内容
齐次马氏链(时齐马氏链) ：
状态转移概率与时间点无关：Pij(m,n)= Pij(K)
齐次马氏链的表示方法
转移概率矩阵
网格图 状态转移图
p11 p12 p1J
马尔可夫信源：
马尔可夫链定义：1) 马氏链的当前状态只与前一个状态 有关，2)马氏链是时间离散状态离散的随机过程
马尔可夫信源定义：1）信源状态由当前输出符号和前一 时刻信源状态唯一确定，2）某一时刻信源符号的输出只 与当前的信源状态有关，与以前的状态无关
m阶马氏源：是指其输出某一符号的概率只与此前的m个 符号有关。
R(D)=minI(X,Y)=min{H(X)-H(X|Y)}
R(D)= H(X)-H(Pe,1-Pe)- Pelog(n-1)
无损信道和确定信道
损失熵为“0”，称为无损信道
I (X ;Y ) H (X ), H (X | Y ) 0
噪声熵为“0” ，称为确定信道 I (X ;Y ) H (Y ), H (Y | X ) 0
损失熵和噪声熵都为“0”，无损确定信道
I ( X ;Y ) H ( X ) H (Y ) H ( X | Y ) H (Y | X ) 0
独立并联信道
▪ 独立并联信道
X1
信道1 Y1
X2 X
信道2 Y2
Y
特点：
XN
信道N YN
1. 积信道:同时多输入，多输出。
2. 容量：
N
C Ci
i 1
1 1 1 1
P1
3 1
3 1
6 1
信息论讲义-第三章(8讲)
2006-11-61信息理论基础第8讲北京航空航天大学201教研室陈杰2006-11-62当前状态u l =(a l1, a l2, a l3, …, a lm )当前输出X l =a l1.信源状态S={S 1, S 2 ,…S J }, J =q m⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()12|m q i j S S S p S S ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦()112|m mi i i i p a a a a + 状态转移概率p (S i |S j )由条件符号概率确定u lu l+1X l =a l新状态u l+1=(a l2, a l3, …, a lm ,a l )2.状态空间2006-11-633.极限熵当时间足够长时，遍历的m 阶马尔可夫信源可视为平稳信源()121lim |N N N H H X X X X ∞−→∞= ()112|m m H X X X X += 1m H +=()()|jj j s p S H X S =∑H (X|S j )是信源处于状态S j 时的条件熵()()()||log |jj i j i j S H X S p a S p a S =∑()()|log |ji j i j S p S S p S S =∑2006-11-64例3.7一阶马尔可夫信源的状态如例题图所示，信源X 的符号集为{0，1，2}。
（1）求平稳后的信源的概率分布；（2）求信源熵H ∞（3）求当p =0或p =1时信源的熵12pppppp2006-11-65解（1）状态转移矩阵令信源的平稳分布为则0 00 p p p p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P []012 W W W =W 0011120121W pW pW W pW pW W W W =+⎧⎪=+⎨⎪++=⎩2006-11-66整理得，平稳后信源的概率分布（2）求信源熵H ∞。
根据平稳分布01213W W W ===()()jj k j s H p S H a S ∞=∑1113[lo g lo g ]3p p p p =×+11log logp p p p=+2006-11-67（3）p =0时p =1时∞→→=+=−=0311lim [loglog]lim ()log 0p p H p p ppp e∞→→=+=−=0311lim [loglog]lim ()log 0P P H p p ppp e3.5.3 马尔可夫信源解释：•信源熵表示的是信源的平均不确定性。
信息论
信息是什么,什么是信息论，信息论起源什么，为什么要发展信息论。
信息就本体论意义而言，信息是事物现象及其属性标识的集合;信息就是信息，信息是物质、能量、信息及其属性的标示----Wiener信息定义的逆.信息特性是标志事物存在及其关系的属性。
但这样的描述难以将信息定量化，因此申农是从就认识论意义而言定义信息的，即信息是认识主体接收到的、可以消除对事物认识不确定性的新内容和新知识。
信息是确定性的增加----逆仙农（Shannon）信息定义。
根据这一点给出了信息量的数学形式。
信息特征信息一般具有如下一些特征：1、可识别；2、可转换；3、可传递；4、可加工处理；5、可多次利用（无损耗性）；6、在流通中扩充；7、主客体二重性。
信息是物质相互作用的一种属性，涉及主客体双方；信息表征信源客体存在方式和运动状态的特性，所以它具有客体性，绝对性；但接收者所获得的信息量和价值的大小，与信宿主体的背景有关表现了信息的主体性和相对性。
8、信息的能动性。
9、可共享性。
这是信息与物质和能量的主要区别。
信息的产生、存在和流通，依赖于物质和能量，没有物质和能量就没有能动作用。
信息可以控制和支配物质与能量的流动信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。
这两个方面又由信息传输定理、信源－信道隔离定理相互联系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
信息论发展的三个阶段第一阶段：1948年贝尔研究所的香农在题为《通讯的数学理论》的论文中系统地提出了关于信息的论述，创立了信息论。
第二阶段：20世纪50年代，信息论向各门学科发起冲击；60年代信息论进入一个消化、理解的时期，在已有的基础上进行重大建设的时期。
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x
P(x)
x
P(x)
log[Q(x)] 0
x
2.信息散度
例2.11
设一个二元信源的符号集为{0，1}，有两个概 率分布为p和q，并且p(0)=1-r, p(1)=r, q(0)=1-s
q(1)=s,求散度 D( p // q) 和 D(q // p) 并分别求当
r=s和 r=2s=1/2 时散度的值
• 条件互信息 • 信息熵
I (x; y / z) log p(x / yz) p(x / z)
H (X ) E [I(x)] p(x)log p(x)
p(x)
x
§2.2.2 条件熵与联合熵
定
★联合集XY上，条件自信息
义 I(y|x)的平均值：
H (Y / X ) E [I ( y / x)] p( xy )
★ 联合熵不大于各信息熵的和
N
H ( X1X 2 X N ) H ( X i ) i 1
证
熵的可加性
H (Y | X ) H (Y )
★ 联合熵与信息熵、条件熵的关系
H(XY)= H(X) + H(Y/X )
5.熵函数的唯一性
如果要求熵函数满足以下条件：
★ 是概率的连 ★ 信源符号等概率时是n
Q(x)=1/n。 根据散度不等式有
P(x)
D(P // Q) P( x) log
x
Q(x)
P( x) log P( x) P( x) log(1/ n)
x
x
H ( X ) log n 0
H ( X ) log n
只适用于有限离散 随机变量集合；
无限可数离散随机 变量集合的最大熵 是无限大。
Page 21
2.信息散度
解：
根据式（2.19）得
D( p // q) (1 r) log 1 r r log r
1 s
s
和 D(q // p) (1 s) log 1 s s log s
1 r
r
当r=s时，有 D( p // q) D(q // p) 0
当r=2s=1/2时，有：
D( p // q) (1 1/ 2) log 1 1/ 2 1/ 2 log 1/ 2
D(
P
//
Q)
x
P(
x)
log
P( Q(
x) x)
上式中，概率分布的维数不限，可以是一维，也可以是多维。
2.信息散度
定
★ 如果在一个共同的有限字
理
母表的概率空间上给定的 两个概率测度P(x)和Q(x)
D(P // Q) 0
当且仅当对所有x, P(x ) = Q(x) 时,等式成立
D(P // Q) P(x) log Q(x) log[ P(x) Q(x)]
1.集合与事件之间的互信息
定
理
I(x；Y)≧0
仅当x与所有y 独立时，等式成立。
证:
根据散度的定义，有 I (x;Y ) D(Py / x // Py ) 0
仅当对所有x，p(y)= p(y/x ) 时，等式成立。 证毕。
2.平均互信息
定
义
★ 集合X、Y之间的平均互信息：
I ( X ;Y ) p(x)I (Y ; x)
今假定 q=n 成立。现考虑 q=n+1 的情况
n 1
n
设 k 0, k 1 ,令 k ,则 n1 1 ,
k 1
k 1Leabharlann n1nk f (xk ) k f (xk ) n1 f (xn1 )
k 1
k 1
1.凸函数
证明
n
(k / ) f (xk ) n1 f (xn1 ) k 1
Page 24
熵的链原则举例
找 找
币
在
哪 里
•一次称重的信息量为log3 •k次：klog3
3log3=log27>log24
3.熵的基本性质(2)
极值性
定理2. 4 (离散最大熵定理) 对于离散随机变量集合，当集合中的事件
等概率发生时，熵达到最大值
证明
设随机变量集合有n个符号，概率分布为P(x) ；Q(x)为等概率分布，即
i, j
i, j
i
如果条件概率矩阵的各行所包含的元素都相同，则
H(Y | x i) 与i无关，此时
H (Y | X ) piH (Y | x i) H (Y | x i) H ( p11, p12, p1m )
i
1.条件熵
例2.10
随机变量X和Y，符号集均为{0，1}
px (0)
2 3
11/ 4
1/ 4
1 (log 3) / 2 0.2075 bit
2.信息散度
解：
D(q // p) (11/ 4) log 11/ 4 1/ 4 log 1/ 4
11/ 2
1/ 2
3 log 3 1 0.1887bit 4
注：一般地，D( p // q) 与 D(q // p)
并不相等，即不满足对称性
忙
晴
雨
冷 暖 冷暖
12 8 27 16
闲
晴
雨
冷暖冷暖
8 13 4 12
Page 36
举例
例2.13
若把这些频度视为概率测度，求： （1）忙闲的无条件熵； （2）天气状态和气温状态同时已知时忙闲的条件熵； （3）从天气状态和气温状态同时获得的关于忙闲的信息。
Page 37
举例
解：
令X={忙，闲}={0，1} Y={晴，雨}={0，1} Z={冷，暖}={0，1} 则有如下表所示的数据。
3.熵的基本性质(3)
★ 确定性
★ 上凸性
H(1,0) = H(1,0,0)= … = H(1,0,…0) = 0。
当随机变量集合中任 一事件概率为1时，熵 为0
H(p)=H(p1,p2,…,pn) 是 (p1,p2,…,pn) 的严格的上 凸函数
4.各类熵的关系
★ 条件熵不大于信息熵
定理 熵的不增原理
取值，λk为相应的概率，f(x)为 对数函数时，有
E[log (x)] log[E(x)]
★ 对于一般的凸函数有
E[ f (x)] f [E(x)]
注意
1.凸函数
★ 上凸函数的判定方法
1）在某区间的二阶导数小于0，则在此区间 内为严格上凸函数。
q
q
2）利用Jenson不等式 f [ k xk ] k f (xk )
px (1)
1 3
p( y 0 | x 0) p( y 1 | x 0) 1 2
p( y 1 | x 1) 1
求H(XY)
Page 9
2.联合熵
解：
由已知条件可得XY的联合概率分布，如下表所示
Y
p(xy)
0
1
0
1
1
X
3
3
1
1
0
3
H ( XY) H (1 , 1 , 1) log 3 1.585 比特/2个符号 333
H(X)
H(Y)
添加标题
1
I(X;Y)= H(X)- H(X|Y)
2
I(X;Y)= H(Y)- H(Y|X)
3
I(X;Y)=H(X)+ H(Y)- H(XY)
举例
例2.13
对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴 雨两种状态，气温分成冷暖两种状态。调查结果 得到的各数据联合出现的相对频率如下表所示。
k 1
k 1
1.凸函数
有用的 不等式
对于任意x，有：
1 1 ln x x 1 x
这是怎么得来的？
① x=1为稳定点
设f (x) ln x x 1
x=1处有极大值
② x=1时，2阶导数小于0
y 1 代入等式 1 1 ln y y换成x
x
y
2.信息散度
定
义 ★ P和Q为定义在同一概率空 间的两个概率测度，则P相 对于Q的散度：
§2.2.3 熵的基本性质
Page 11
★ 凸函数 ★ 信息散度 ★ 熵的基本性质 ★ 各类熵的关系 ★ 熵函数的唯一性
1.凸函数
上凸函数(cap)
★ 对于α(0≤α≤1) 及任意两矢量x1,x2，有 f[αx1+(1-α)x2]≥αf(x1)+(1-α)f(x2)
当且仅当x1 = x2或α= 0,1时等式成立 严格上凸函数
x
2 H (1) 1 H (1) 2 比特/符号
3 23
3
2.联合熵
定
★联合集XY上，联合自信息
义 I(xy)的平均值：
H (XY ) E [I (x y)] p( xy)
p(x y) log p(x y)
xy
2.联合熵
例2.10续
随机变量X和Y，符号集均为{0，1}
px (0)
2 3
p11
P
p21
pn1
p12 p22 pn2
p1m
p2
m
pnm
其中 pij p( y | x), i 1,2, ,n, j 1,2, ,m 求H(Y|X)。
Page 4
1.条件熵
解：
H(Y | X ) p(xy)log p(y | x) pi pij log pij piH(Y | x i)
px
(1)
1 3
p( y 0 | x 0) p( y 1 | x 0) 1
2
p( y 1 | x 1) 1
求H(Y|X)
Page 6
1.条件熵
解：
H (Y | X ) p(x)H (Y | x) p(x 0)H (Y | x 0) p(x 1)H (Y | x 1)