第六章_线性变换_68180769

第六章 线性变换

映射：,X Y ≠∅≠∅，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=⇔∀∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质

定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件：

（1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈∀； （2）()()k F,αV,k αk σασ∀∈∀∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ∀∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。

例：设σ：n n

R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘

变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。

例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T

T

x y x y ασα''==，则

cos sin sin cos x x y y x y θθ

θθ'=-⎧⎨'=+⎩

记cos sin sin cos A θθθ

θ-⎡⎤

=⎢⎥⎣

⎦

，则()A σαα=是一个线性变换。

例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T

T

a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T

T

a a a a a σ=;

(3) ()()12312231,,2,,T T

a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312

3,,,,3T

T

a a a a a a σ=.

线性变换的基本性质

（1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ；

若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算

()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。

定义 设()V L ∈τσ,，它们的和τσ+定义为

()()()().,

V ∈∀+=+αατασατσ

易证()V L ∈+τσ，即线性变换的和仍是线性变换。

F l k V ∈∈∀,,,βα，有

()()()()()()k l k l k l k l k l k l σταβσαβταβσασβτατβσταστβ++=+++=+++=+++

定义 设()F k V L ∈∈,σ，k 与σ的数量乘法σk 定义为

()()().,

V k k ∈∀=αασασ

同样().V L k ∈σ

可以直接验证，(),,,,,F l k V L ∈∈∀ρτσ下列性质成立： （1） ()()ρτσρτσ++=++； （2）

σττσ+=+；

（3） σσ=+0； （4） ()0=-+σσ； （5） σσ=1； （6） ()()σσkl l k =； （7） ()σσσl k l k +=+； （8） ()τστσk k k +=+.

定理 ()L V 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域F 上的线性空间。

定义 设()V L ∈τσ,，定义线性变换的乘积στ为

()()()().,

V ∈∀=αατσαστ

易证()V L ∈στ，且()F k V L ∈∈∀,,,ρτσ，变换的乘积还有如下性质： （1） ()()ρσττρσ=； （2） ()σρσρρτσ+=+； （3） ()τρσρρτσ+=+； （4） ()()()τστσστk k k ==； （5） εσ

σε=；

（6）

o o o σσ==.

注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。 定义 设()V L ∈σ，如果存在()V L ∈τ，使得

ετσστ==

则称σ是可逆的，τ称为σ的逆变换。(逆变换是唯一的。)

σ

的逆变换记为1-σ，且()V L ∈-1σ.

规定：0

1

,k k σ

εσσσ

-==，则

()

()

1,

,n

k

m

n

m n

m mn

k

σσσ

σσσ

σ

+--===

注意：()

k

k k στστ≠。

定义：设()[]1n f x F x +∈，且()1

110n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，给定()L V σ∈，称()1

110n n n n f a a a a σσσσε--=++++L 为线

性变换σ的多项式。显然()()f L V σ∈。

线性变换在一组基下的矩阵

定理1 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换，

n ααα,,,21Λ是V 的一组基，则V 中任一向量α的像()ασ由基的像()()()n ασασασ,,,21Λ所完全确定。

设n ααα,,,21Λ是V 的一组基，则(),1,2,i i n σα=L 可由n ααα,,,21Λ线性表出，设

()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n n n

n αa αa αa ασαa αa αa ασαa αa αa ασΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222112212211111 ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=

nn n n n n a a a a a a a a a A Λ

ΛΛΛΛΛΛ2

122221112

11

记()()()()()n n ασασασααασ,,,,,,2121ΛΛ=，则有

()()A n n αααααασ,,,,,,2121ΛΛ=

称A 为线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵。 注1：A 不一定是可逆矩阵。

注2：()()()()()1212,,,,,,n n A A σααασασασα=⎡⎤⎣⎦L L 。 定理2 设线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为A ，向量α

和()ασ在这组基下的坐标分别是()T

n

,x ,,x x x Λ21=和()T

n ,y ,,y y y Λ21=，则 y=Ax .