人教b版高一数学必修一：2.1.1《函数(1)》学案(含答案)

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2011高一数学学案：2.1.1《变量与函数的概念》(新人教B版必修一)

2．1．1函数（第一课时）【知识梳理】自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内，按照确定的对应法则f ，都有与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。

2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的，函数y=f(x) 也经常写为。

3、因为函数的值域被完全确定，所以确定一个函数只需要。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。

【例题解析】题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（）题型二：相同函数的判断问题例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1②y =y=x ③y =y =④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④题型三：函数的定义域和函数值问题例3：求下列函数的定义域1、（1）1()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）、()f x =2、例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（）A. ()1f x x =-和21()1x f x x -=+ B. 0()f x x =和()1f x =C. 2()f x x =和2()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =3、求下列函数的定义域（1）、1()2f x x =- （2）()f x =（3）、0(x)(1)f x =+ （4）1()2f x x=+-4、已知21()1f x x =+，21()1x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值（2）求(g(2))f 的值A B CD。

高一数学：2.1.1《函数》学案(新人教B)

2.1.1 函数【预习达标】⒈设Ａ、Ｂ是两个非空数集合，如果按照某种对应法则ｆ，对Ａ内____________________，在B 中______________________________与x 对应，则称ｆ是_________________的映射，这时，称ｙ是_______________________，记作_______．ｘ称作__________．映射ｆ也可记为______________，其中Ａ叫做____________________，由________________________叫做映射f 的值域，记作_______．⒉如果映射ｆ__________________________，并且对于集合Ｂ中的__________，在集合A 中_____________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做________________的一一映射．⒊映射是___________的推广，函数是__________________．⒋集合A 到集合B 上的映射或函数，允许______________________，而不允许_____________________．【课前达标】⒈已知集合Ｐ＝｛ｘ｜０≤ｘ≤４｝，Ｑ＝｛ｙ｜０≤ｙ≤２｝，下列从Ｐ到Ｑ的对应关系ｆ不能构成映射的是（）Ａ．ｆ：ｘ→ｙ＝21ｘＢ．ｆ：ｘ→ｙ＝31ｘＣ．ｆ：ｘ→ｙ＝32ｘＤ．ｆ：ｘ→ｙ＝81ｘ2⒉已知元素(ｘ，ｙ)在映射ｆ下的原象是（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ），则（１，２）在ｆ下的象是______________．⒊集合Ａ＝｛b a ,｝，Ｂ＝｛０，１｝，从Ａ到Ｂ可建立多少种不同的映射？有多少种一一映射？【典例解析】例⒈下列对应是不是从Ａ到Ｂ的映射，为什么？⑴Ａ＝（０，＋∞），Ｂ＝Ｒ，对应法则是＂求平方根＂；⑵Ａ=｛ｘ|－２≤ｘ≤２｝,Ｂ=｛ｙ|０≤ｙ≤１｝,对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=42x （其中ｘ∈A,ｙ∈B ）⑶Ａ=｛ｘ|０≤ｘ≤２｝，Ｂ=｛ｙ|０≤ｙ≤１｝，对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=(x －2)2(其中x ∈A,y ∈B)⑷Ａ=｛ｘ|ｘ∈Ｎ｝，Ｂ=｛－１，１｝，对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=(－1)x （其中ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ）．例⒉设Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋６，求⑴集合Ａ中21和－３的象；⑵集合Ｂ中21和－３的原象．【能力达标】选择题：⒈设Ａ＝｛１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛６，７，８｝，从集合Ａ到集合Ｂ的映射中，满足ｆ(1)≤ｆ(2)≤ｆ(3)≤ｆ(4)≤ｆ(5)的映射有（）Ａ．16个Ｂ．14个Ｃ．12个Ｄ．8个 ⒉已知映射ｆ：Ａ→Ｂ，其中集合Ａ＝｛－３，－２，－１，１，２，３，４｝，集合Ｂ中的元素是Ａ中元素在映射ｆ：Ａ→Ｂ下的象，且对任意的A a ，在Ｂ中和它对应元素是｛a ｝，则集合Ｂ中的元素的个数是（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７填空题：⒊若Ｍ＝｛－１，０，１｝，Ｎ＝｛－２，－１，０，１，２｝，从Ｍ到Ｎ的映射满足：对每个ｘ∈Ｍ恒使ｘ＋ｆ(ｘ)是偶数，则映射ｆ有____________________个．⒋设Ａ＝Ｚ，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ＋１，ｎ∈Ｚ｝，Ｃ＝Ｒ，且从Ａ到Ｂ的映射是ｘ→２ｘ－１，从Ｂ到Ｃ的映射是ｙ→121y ，则经过两次映射Ａ中元素１在Ｃ中的象是____________________．解答题：⒌设Ａ＝｛１，２，３，ｍ｝，Ｂ＝｛４，７，ｎ4，ｎ2＋３ｎ｝．对应关系ｆ：ｘ→ｙ＝ｐｘ＋ｑ，是从集合Ａ到集合Ｂ的一个映射,已知ｍ,ｎ∈Ｎ+,１的象是４,７的原象是２,试求ｐ，ｑ，ｍ，ｎ的值.参考答案【能力达标】⒈Ｃ［解析］若ｆ(1)＝６按要求有15个映射，若ｆ(1)＝７按要求有５个映射，若ｆ(1)＝８按要求有1个映射，所以共15＋５＋１＝21个映射．故选Ｃ．⒉Ａ［解析］由条件知，集合Ｂ中有元素１，２，３，４共４个．故选Ａ．⒊12［解析］由条件知若x 是奇数时ｆ(x)为奇数,x 是偶数时ｆ(x)为偶数,所以共2×3×2=12个映射．⒋31［解析］由条件知ｘ＝１时得Ｂ中对应元素是１，即ｙ＝１，则Ｃ中对应元素是311121=+⨯．⒌解：∵１的象是４，７的原象是２列方程组得ｐ＋ｑ＝４解得ｐ＝３故对应关系为：２ｐ＋ｑ＝７ｑ＝１ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１由此可得Ａ中元素３的象要么是ｎ4，要么是ｎ2＋３ｎ．若ｎ4＝10，因为ｎ∈Ｎ+不可能，所以ｎ2＋３ｎ＝10，解得ｎ＝－５（舍）或ｎ＝２．又集合Ａ中的元素ｍ的象只能是ｎ4＝16，即３ｍ＋１＝16，∴ｍ＝５．故ｐ＝３，ｑ＝１，ｍ＝５，ｎ＝２．。

数学人教B全国通用版必修一学案：第2章 2.1 2.1.1 函数 Word版含答案

2.1函数2.1.1函数学习目标：1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2.会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3.能正确使用区间表示数集．(重点)[自主预习·探新知]1．函数的相关概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．(2)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(3)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．思考1：如何准确理解函数的概念？[提示](1)函数记号y＝f(x)的内涵：符号“y＝f(x)”指的是“y是x的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，y ＝f(x)是指对于定义域A中的任意x，在对应关系f的作用下，在值域C中有唯一的y与之对应，f(x)不一定是解析式，也可以是函数的其他表示形式，如图表法等．(2)要注意符号“f(a)”与“f(x)”的区别与联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况(非常数函数)下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2．区间的概念与表示(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：思考2：如何正确理解区间的概念？[提示](1)区间表示了一个数集的范围，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a<b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点处不能写成闭区间形式．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．()[解析](1)×定义域和值域可以是有限集也可以是无限集．(2)×根据函数的定义可知，对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的一个值f(x)和它对应．(3)√f(a)表示当x＝a时的函数值，它是一个常量．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为()A．－2B．－1C．0D．不确定B[因为f(x)＝－1表示常数函数，所以f(2)＝－1，故选B.]3．填空：(1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________；(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．[答案](1)(1,3](2)(－2，＋∞)(3)(－∞，2]4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则它的值域为________．{0，－1,3}[把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中所得结果分别为0，－1,0,3，所以值域为{0，－1,3}．][合作探究·攻重难](1)(2)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②B．①③C．③④D．①④(3)判断下列对应是否为函数：①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R；②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．[思路探究](1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．(3)利用函数的定义判定．[解](1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.(2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.[答案](1)B(2)C(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．[规律方法] 1.判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．[跟踪训练]1．判断下列对应是不是实数集R到R上的一个函数．(1)f：把x对应到3x＋1；(2)h：把x对应到1x2；(3)r：把x对应到x.[解] (1)x ∈R ，对应法则为f ：x →3x ＋1，设x 1∈R ，能确定唯一的函数值y 1＝3x 1＋1，所以对应法则f 是实数集R 到R 上的一个函数．(2)x ∈R ，对应法则为h ：x →1x 2，因为x ＝0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则h 不是实数集R 到R 上的一个函数．(3)x ∈R ，对应法则为r ：x →x ，因为x <0时，x 无意义，所以当x <0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则r 不是实数集R 到R 上的函数．](1)函数y ＝3x 1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12且x ≠－12 [思路探究] 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．[解] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12，故选B.[答案] B(2)求下列函数的值域：①y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；②y ＝x ＋1；③y ＝3x ＋2x －1； ④函数y ＝8x 2(1≤x ≤2)．[解] ①因为y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，所以y ∈{3,5,7,9,11}．所以函数的值域为{3,5,7,9,11}． ②因为x ≥0，所以x ＋1≥1.所以函数的值域为[1，＋∞)．③y ＝3x ＋2x －1＝3(x －1)＋5x －1＝3＋5x －1≠3.所以函数的值域为{y |y ≠3}．④因为1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，14≤1x 2≤1，故2≤8x 2≤8，所以函数的值域为[2,8]．[规律方法] 1.求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．求函数值域的方法(1)简单的函数可以观察得到．(2)一次分式(或者可以化成一次分式的形式)可以采用常数分离法求解．(3)含根号的式子注意观察式子本身的隐含条件，结合根式的意义求出其取值范围．(4)二次函数常用配方法求其在R 上的值域．[跟踪训练]2．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________.[－1,0)∪(0，＋∞)． [要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．]3．函数y ＝－x 2－2x ＋5的值域为________．(－∞，6] [y ＝－x 2－2x ＋5＝－(x ＋1)2＋6因为x ∈R ，所以－(x ＋1)2＋6≤6所以函数的值域为(－∞，6]．][探究问题]1．函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？提示：这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．2．(1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？提示：(1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域；(2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[思路探究] (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可．(2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[解] (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.(2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]，令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．[规律方法] 求复合函数定义域的方法(1)已知f (x )的定义域为D ，求f (g (x ))的定义域：由g (x )∈D ，解不等式得出x 的范围，即得到f (g (x ))的定义域．(2)已知f (g (x ))的定义域为D ，求f (x )的定义域：由x ∈D ，求出g (x )的值域，即得到f (x )的定义域．母题探究：(变条件)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，求y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域．[解] 因为函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，所以x ＋1∈[－1,4]．即f (x )的定义域为[－1,4]．由⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x －3≤4，－1≤x 2≤4得⎩⎨⎧ 1≤x ≤72，－2≤x ≤2，即1≤x ≤2.所以y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域为[1,2]．[当堂达标·固双基]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x .A ．4B ．3C ．2D ．1B [根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ≤1的实数x 不存在．]2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧ x ，(x >0)－x ，(x <0)D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x >0)，－x (x <0)，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝x 0B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝x x D [由于y ＝1x 的定义域为{x |x >0}，而D 中f (x )＝x x的定义域也为{x |x >0}．] 4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． [4,5)∪(5，＋∞) [∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5， ∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.1 函数》0

《函数的定义域》教学设计课题：专题----函数的定义域课时：1课时课型：复习课教学目标：理解函数的定义域的概念，熟练掌握函数定义域的求法。

学情分析：本课是一轮复习的复习课，高一的学习中学生已经初步掌握了函数的定义域的求法，但是由于学生的基础比较差，属于数学学困生，所以尽管是复习课，题目的设置仍然比较基础，为的是循序渐进，激发学生的学习兴趣，而后渐入佳境。

教学流程：教学环节教学内容设计图课前展示学生准备，主持人提问学生简单函数的定义域复习简单函数定义域，为所复习的内容作铺垫阅读感悟一学生复习不同形式函数的定义域的求法自我检测一1、某种杯子每只元，买只，所需钱数为元，用下表表示这个函数，则函数的定义域为______________2则函数的定义域是的函数，是、右图表示xy检测学生对以表格形式和图象形式给出的函数的定义域的求法阅读感悟二1、求函数定义域的主要依据：①整式函数的定义域为R；②分式函数中分母____________；③偶次根式函数被开方式_____________；④函数=0的定义域为_________；⑤指数函数＝aa＞0且a≠1的定义域为__ _________；⑥对数函数＝og a a＞0且a≠1的定义域为________2、通过例题总结求函数定义域的步骤：()().13lg1132的定义域求函数例：++-+=xxxxf⎪⎭⎫⎝⎛-<<-⎩⎨⎧>+>-1,31131131所以函数的定义域为解得当且仅当解：若使函数有意义，xxx复习所学基本初等函数的定义域；求函数定义域步骤：第一步——列：第二步——解：第三步——答：（注意用集合或区间的形式写出）自我检测二求下列函数的定义域：1、()xxxf-+-=732；2、()53-+=xxxf；3、()()33xxxf+-=4、()()12log21+=xxf1、练习不同类型的函数定义域的求法，锻炼学生解题能力与速度及规范步骤；2、组内研讨，核对答案，提高自主解决问题的能力；。

(人教B版)必修一名师精品：2.3《函数的应用(Ⅰ)》教案设计(含答案)

示范教案整体设计教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用．三维目标1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．2．会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．重点难点教学重点：根据实际问题分析建立数学模型，并根据数学模型解决实际问题．教学难点：建立数学模型．课时安排 1课时教学过程应用示例思路1例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．解：因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶路程为120t ，所以，火车行驶的总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是s ＝13＋120t(0≤t≤115)．离开北京2 h 时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km)．解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)＝⎩⎨⎧ 20，0≤x≤100，310x －10，x>100，g(x)＝⎩⎨⎧50，0≤x≤500，310x －100，x>500.(2)当f(x)＝g(x)时，310x －10＝50，∴x ＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)＞f(x)，故选择方案A ；当客户通话时间为x ＞200分钟时，g(x)＜f(x)，故选择方案B.例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？分析：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数．设提高为x 个2元，则依题意可算出总租金(用y 表示)的表达式．由于客房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解．解：方法一依题意可列表如下：x 0 (300－10×1)(20＋2×1)＝6 380 (300－10×2)(20＋2×2)＝6 720 (300－10×3)(20＋2×3)＝7 020由上表容易得到，当x ＝10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8 000元．再提高租金，总收入就要小于8 000元了．方法二设客房租金每间提高x 个2元，则将有10x 间客房空出，客房租金的总收入为y ＝(20＋2x)(300－10x)＝－20x 2＋600x －200x ＋6 000＝－20(x 2－20x ＋100－100)＋6 000＝－20(x －10)2＋8 000.由此得到，当x ＝10时，y max ＝8 000.因此每间租金为20＋10×2＝40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8 000元．变式训练某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式： R ＝f(Q)＝⎩⎪⎨⎪⎧400Q －12Q 2，0≤Q≤400，80 000，Q>400，解：y ＝R －100Q －20 000＝⎩⎪⎨⎪⎧300Q －12Q 2－20 000，0≤Q≤400，60 000－100Q ，Q>400(Q ∈Z )．(1)0≤Q≤400时，y ＝－12(Q －300)2＋25 000，∴当Q ＝300时，y max ＝25 000.(2)Q ＞400时，y ＝60 000－100Q ＜20 000，∴综合(1)(2)，当每年生产300件时利润最大为25 000元.例1某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l ，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？解：设矩形的长为x(0＜x ＜l 2)，则宽为12(l －2x)，从而矩形的面积为S ＝x·l －2x 2＝－x 2＋l 2x ＝－[x 2－l 2x ＋(l 4)2－(l 4)2]＝－(x －l 4)2＋l 216. 由此可得，该函数在x ＝l 4时取得最大值，且S max ＝l 216.这时矩形的宽为l －2x 2＝l 4.即这个矩形是边长等于l4的正方形时，所围出的面积最大．点评：本题转化为求二次函数的最值，在实际应用问题中，二次函数是最常见的函数模今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，(1)根据题中条件填空，m＝________(元/吨)；(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)∵f(m)＝(m－195.5)2＋(m－200.5)2＋(m－204.5)2＋(m－199.5)2＝4m2－1 600m＋160 041，∴m＝200.(2)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万吨，收购总金额为200a(1＋2x%)，故y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝20010 000a(100＋2x)(10－x)＝150a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(3)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)，依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，即x2＋40x－84≤0.解得－42≤x≤2.又0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是0＜x≤2.例2建立函数数学模型的例子．问题：我国1999～2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式估计2019年我国的国内生产总值．解：(1)画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．如下图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7.因此，所求的函数关系式为y ＝f(x)＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2019年和2019年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1，与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)假设我国2019年以后国内生产总值还按上面的关系式增长，则2019年(即x ＝4时)的国内生产总值为y ＝f(4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5，所以2019年国内生产总值约为10.917 5万亿元．点评：根据国家统计局公布的数据，我国2019年国内生产总值为11.669 4万亿元，比估计的数字高得多．这说明为解决实际问题所建立的数学模型是否符合实际情况，还要经过实践的验证，如果与实际误差较大，就要修正得到的数学模型．这里是同学们第一次学习数学建模，问题虽然简单，但体现了数学建模的主要思路．顺此思路，同学们不妨取两点(0,8.206 7)，(2,9.593 3)去求函数关系式，进一步体会数学建模的变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y ＝a·b x ＋c(其中a 、b 、c 为常数)，且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：(1)若以f(x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝12，r ＝0，∴f(x)＝12x 2＋12x.(2)若以g(x)＝a·b x ＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝32，c ＝－3，知能训练1．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．答案：f(x)＝5x(15≤x≤40)；g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x≤30，2x ＋90，30<x≤40.2．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域．答案：y ＝5x 2＋52(100—x)2(10≤x≤90)．3．当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？解：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率．不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如下图)．根据图象，可以看出下列性质：(1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的，在大于30 ℃的范围内是上升的；(2)环境温度在20 ℃～30 ℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20 ℃～30 ℃之间，这样可以使环境温度的影响最小．4．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x ＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润＝(出厂价一成本)×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式；(2)为使日利润有所增加，求x 的取值范围．解：(1)由题意，得y ＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x) ＝2 000(－4x 2＋3x ＋10)(0＜x ＜1)．(2)要保证日利润有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y －(60－40)×1 000>0，0<x<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋3x>0，0<x<1.解得0＜x ＜34.所以为保证日利润有所增加，x 应满足0＜x ＜34.拓展提升某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小？ (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85%)．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．解：(1)设该厂应隔x(x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1， ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x(元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357，可以证明y 1＝300x＋3x ＋357在(0,10)上为减函数，在(10，＋∞)上为增函数． ∴当x ＝10时，y 1有最小值417，即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x ＋3x ＋303(x≥25)．∵函数y 2在[25，＋∞)上是增函数，∴当x ＝25时，y 2取得最小值为390.而390＜417， ∴该厂应接受此优惠条件．课堂小结本节学习了一、二次函数的实际应用，建立函数模型解决实际问题．作业课本习题2－3A 2、3、4.设计感想本节设计从现实例题开始，让学生从现实中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活，学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．备课资料 [备选例题]例1假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m 万担(其中m 为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加(2x)%.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x 的取值范围．解：(1)y ＝120m×104[1＋(2x)%]×(8－x)%＝120m(－2x 2－84x ＋800)． (2)由题意知120m(－2x 2－84x ＋800)≥0.78×120m×104×8%，解得0＜x≤2.所以x 的取值范围是0＜x≤2.例2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200 000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？解：总成本C 与产量x 的关系为C ＝200 000＋300x ；单位成本P 与产量x 的关系为P ＝200 000x＋300；销售收入R 与产量x 的关系为R ＝500x ；利润L 与产量x 的关系为L ＝R －C ＝200x －200 000. 以上各式建立的是函数关系．(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量．若x ＜1 000，则要亏损；若x ＝1 000，则利润为零；若x ＞1 000，则可盈利．这也可从上图看出，R 和C 的图象是两条直线，在它们的交点处利润为零．(2)从单位成本与产量的关系P ＝200 000x ＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益．例3某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如左下图，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右下图．(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元．由题设f(x)＝k 1x ，g(x)＝k 2x ，由图知f(1)＝14，∴k 1＝14.又g(4)＝52，∴k 2＝54.从而f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54x(x≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，企业利润为y 万元．则y ＝f(x)＋g(10－x)＝x 4＋5410－x(0≤x≤10)，令10－x ＝t ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14(t －52)2＋6516(0≤t≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75(万元)．(设计者：林大华)。

高中数学第二章函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法学习导航学案新人教B版必修1

函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。

新人教B版高中数学(必修1)2.1.1《函数》word教案

2.1.1 函数教学设计教学目标（1）知识与技能目标：会用集合与对应的语言描述函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.（2）过程与方法目标：从生活实际和学生已有知识出发，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，在此基础上借助数字处理器的思想理解函数的实质.通过函数概念的学习，提高学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力.（3）情感、态度与价值观目标：通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.教学重难点由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的理解.学生在初中函数学习中，只停留在对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号的理解.学生的理解障碍有两个：一是符号的高度抽象性，二是函数中的任意性，学生对取的理解有一定困难，所以要充分铺垫，循序渐进.学情分析及教学内容分析一、学情分析：由于初中函数的概念是“变量说”定义，学生对这种定义已经很熟悉，应用起来得心应手，受先入为主思想的影响对“对应说”定义引入的必要性认识不足，对函数的“对应说”定义接受起来多少有一种排斥心理；学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更确切的说是限于对函数具体解析式的理解，初中数学学习学生重计算、重例题，对抽象的函数符号理解有一定困难.另外，学生受前几届学生的影响，认为函数难学的畏难心理较重，对函数的学习存在或多或少的恐惧.不过，学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材，这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看，学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够，知识的接受基本在课堂，有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法，通过课前预习，实现课堂教学效益的最大化（区间有关概念学生是可以自己解决的）；课堂教学通过创设问题情境，注意通过学生熟悉的实际生活问题，和已经具备的函数知识引入课题，注重创设情景，拉近数学与现实之间的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性，教师引导、启发，带领学生讨论交流，实现知识的内化、迁移.二、教学内容分析：函数是贯穿整个数学课程的一个基本脉络.本节课是在学生前面学习了集合的有关知识和初中已经学习了函数概念的基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，是接下来学习映射、函数的表示方法、函数的单调性、函数的奇偶性的基础.同时，函数概念的教学是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律.教学过程1．课前预习：（1）对照初中数学和高中数学函数概念，谈一谈两概念的相同点、不同点？（2）根据你对函数概念的理解和生活经验，在你的身边找两个函数实例.（3）区间的有关概念教学中并不急于让学生展示预习成果，原因是预习题（1）函数概念学生理解肯定有偏差，通过预习能知道初高中两定义中相同字眼“唯一确定”就可以了，让学生理解不同角度“变量”与“对应”是不现实的，借此讲解概念效果不好；预习题（2）所找的函数让学生在概念学习后去自省自悟；预习题（3）区间的有关概念真正体现学生自己能学会的不讲，达到课堂教学的效益最大化.2．情境导入：中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己的总分的？通过电话或者是网络查询，输入一个准考证号得到一个总分，这是不是一个函数？在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一实例使学生对抽象的概念消除了畏难情绪，为后继学习做好心理的准备.（“变量说”到“对应说”的提升——实现函数概念的第一次认识）3.新课讲授：问题1：中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统，因此函数可以看作是一个数字处理系统，结合这个例子和预习情况你认为函数这样一个数字处理系统应包含哪几部分？结论1：两个数据库和一个处理器.问题2：数据库有什么要求？处理器在处理过程中遵循的规则是什么？结论2：前面一个非空数集，后面一个是由前面一个产生的.处理器在处理过程中遵循的规则（对应法则）是“任意”——“唯一”.这样降低了知识门槛，使学生觉得函数概念并不难，既便于理解，又帮助记忆，将函数看做数字处理系统，为下面讲解函数符号表示做好铺垫.使学生明白：函数不过是一个数据处理器的数学化.（函数是一个数字处理系统——实现函数概念的第二次认识）问题3：分析教材第29-30页所列的四个实例，是否是函数？对应法则是怎样给出的？你是怎样检验任意给定实数，都有唯一确定的与它对应的？结论3：（1）、（2）的对应法则是图像，（3）的对应法则是数表，（4）的对应法则是解析式；其中图像借助“画”，数表借助“查”，解析式借助“算”，为将来讲解函数的表示方法做好铺垫.交流讨论：分析课前自己找到的生活实例，判断是否是函数？（通过学生对自己和小组成员所找函数实例的辨析，让学生自省自悟，体会成功的愉悦，加深对函数概念的理解）.问题4：通过以上学习谈一谈对“任意实数”和“唯一确定”的理解.强化：这两点是函数的核心部分.讲解：对应法则的给出形式多样，我们用“”表示，记作，实现了图、表、数的高度抽象概括.由以上分析可知，函数就是一个数字处理系统，就是它的处理器.问题5：举例说明你在初中学过的函数的分别是什么？这样让学生将一个抽象的对应法则变为可以看得见的具体法则，并且有的可以用解析式表示有的不能用解析式表示，从而明确数学引进抽象符号的必要性.（对这一数字处理器的认识——实现函数概念的第三次认识）练习与巩固：教材第33页练习A第1题学生总结函数的概念并阅读教材第31页，小组讨论对函数概念的理解，并让小组代表发言，这是兵教兵的过程，又是对函数概念的内化过程，也是对函数概念的记忆过程.同时是对预习中函数值、定义域、区间等基础概念再一次强化的过程.学生独立完成教材第32页例1及第33页练习A第3题.教师强化解题格式，并小结求定义域的方法.例2.求函数，在处的函数值和值域.学生独立完成，教师适当点拨，简单总结求值域的方法.（针对初中一次函数、二次函数、反比例函数总结）练习与巩固：教材第33页练习A第3,7,8题.例3.（1）已知函数，求，，，；此题从特殊的2到再到最后到，使学生明确数字处理器既可以处理一个具体的数，也可以处理字母和代数式.（2）已知函数，求.此题让学生先独立思考，然后分组讨论、交流，启发学生运用整体代换进行变形.练习与巩固：教材第33页练习A第5，6题.4.课堂小结（师生共同完成）：（1）函数的有关概念.（2）确定一个函数的两个要素.（3）如何检验两个变量之间是否具有函数关系.5.课堂检测（活页练习）：⑴判断下列对应是否为函数：①②⑵求函数的定义域；⑶已知函数，求6.布置作业：（1）教材第33页练习B第3，4题，教材第52页习题A第4题,习题B第1题.（2）预习作业：什么叫映射？映射与函数有什么关系？（3）提高作业：①教材第33页练习B第1，2，5题；②若，求函数的解析式，并求的定义域和值域.分层布置作业，强化因材施教.教学反思：1.重视学生的亲身体验．借助学生印象深刻的生活经历，将新知识与学生的已有知识和生活经验联系起来．注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学知识的抽象过程；问题情景的设置形成逐层深入环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索.2.体现学生学习方式的变革，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式；体现“以人为本”思想，强调课堂教学的有效性，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造.3.倡导课前预习，先学后教，以学定教，学生能课前自主解决的内容课堂不讲，增加课堂容量，追求课堂教学效益的最大化；引导学生学会阅读教材、理解教材，体会数学概念的形成过程，由具体实例到抽象知识再用抽象知识解决具体问题的认知过程，注重培养学生的自学能力和良好的学习习惯.4.在课件制作方面，并没有过多展示题目，而是设计了比较形象的“数字处理系统”，让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化，效果很好.5.由于学生提前预习，先学后教，课堂教学中知识缺乏系统性、完整性；课堂容量大，时间有些紧，课堂留白不足.。

高中数学人教B版必修一学案：2.1.1 函数

高一数学第二章第二课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1. 深入理解函数的概念和记号y=f(x)的含义，进一步培养学生运用函数模型表达、思考和解决函数有关问题的能力。

2. 能正确求一些简单函数的定义域和值域。

3. 了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点。

二．自主学习三.小试牛刀：1.求下列函数的定义域：（1）()f x = （2）1()2f x x =-；（3）y = （4）()1f x x =+2求下列函数的值域（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y （2）1+=x y（3）223y x x =++3.想一想如何求一个函数的定义域和值域？四．典例分析：例1. .求下列函数的定义域：（1）11)(-=x x f （2）1||1)(-=x x f（3）2314)(2+---=x x x x f （4）0()(21)f x x =-思考：给出解析式的函数的定义域需注意什么？[].1,41例2设函数f(x)的定义域为，求下列函数的定义域（）[][]1(1)(2)2,4()22,4()f x f x f f x +问题拓展若的定义域为，求的定义域；（）若的定义域为，求的定义域。

[].(1)-2,3(21)y f x f x =+-问题拓展2函数的定义域是，求的定义域。

问题拓展3 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

例3. 求下列函数的值域：112++=x x y ）（ xy 112+=）（ 1)3(++=x x y 1)4(22+++=x x x x y 五．快乐体验1. .求下列函数的定义域：（1）y = (2) xx x f -++=211)( (3) 1212)(2--+=x x x x f(4) y =(5) 3)y x =-(6) 1y x =+ 2. 求下列函数的值域 (1)f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝) ; ()(){}2(2)11,x 1,0,1,2,3f x x =-+∈-()()2(3)11f x x =-+ (4)28(12)y x x=≤≤ 3.(1) []-1,1(21)f x -已知函数f(x)的定义域是，则函数的定义域;(2) 若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；(3). 若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.六．今天我学到了什么？。

课堂讲义人教B数学必修一文档：第二单元函数2.1.1 第1课时 Word含答案

2.1 函数 2.1.1 函数第1课时变量与函数的概念[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y ＝kx (k ≠0)，y ＝kx (k ≠0)，y ＝ax ＋b (a ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).2.反比例函数y ＝kx (k ≠0)在x ＝0时无意义.[预习导引] 1.函数(1)函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域. 2.区间设a ，b ∈R ，且a ＜b .3.要点一函数概念的应用例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析规律方法 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B解析对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二求函数的定义域例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 跟踪演练2 函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( ) A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3.要点三求函数值或值域例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.规律方法求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪演练3 求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝xx ＋1.解 (1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝xx ＋1＝1－1x ＋1，且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1.∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 B解析根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案 A解析由题意可知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2. 3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( ) A.11B.12C.13D.10答案 C解析 f [f (1)]＝f (3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B.y ＝x 0和y ＝1C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2答案 D解析 A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x |－1≤x ＜0，或1＜x ≤2}用区间表示为________. 答案 [－1,0)∪(1,2]解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].1.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如y ＝x 与y ＝3x 的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x |a ＜x ≤b }＝(a ，b ]，{x |x ≤b }＝(－∞，b ]是数集描述法的变式.一、基础达标1.下列说法正确的是( )A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了答案 C解析根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调集合A 中元素的任意性和集合B 中对应元素的唯一性，所以集合A 中的多个元素可以对应集合B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A . 2.函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1，或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1.3.下列函数完全相同的是( ) A.f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD.f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3答案 B解析 A 、C 、D 的定义域均不同. 4.函数y ＝x ＋1的值域为( ) A.[－1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]D.(－∞，－1]答案 B 解析由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞).5.已知函数f (x )＝2x －1，则f (x ＋1)等于( ) A.2x －1 B.x ＋1 C.2x ＋1 D.1答案 C解析 f (x ＋1)＝2(x ＋1)－1＝2x ＋1.6.设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.答案－1解析由f (a )＝2，得41－a ＝2，解得a ＝－1.7.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1.解 (1)要使函数有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}. (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }.(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠±1}.二、能力提升8.下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1B.f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC.f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D.f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2答案 C解析 A 选项中，f (x )与g (x )的对应关系不同，它们不表示同一函数；B 、D 选项中，f (x )与g (x )的定义域不同，它们不表示同一函数.9.已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 答案 (0,2)解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2.故0＜x ＜2.10.设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则g [f (2)]＝________.答案112解析 ∵f (2)＝2×22＋2＝10， ∴g [f (2)]＝g (10)＝110＋2＝112.11.已知f (x )＝1x ＋2(x ≠－2，且x ∈R )，g (x )＝x 2＋1(x ∈R ).(1)求f (2)，g (1)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域.解 (1)∵f (x )＝1x ＋2，∴f (2)＝12＋2＝14；又∵g (x )＝x 2＋1，∴g (1)＝12＋1＝2. (2)f [g (2)]＝f (22＋1)＝f (5)＝15＋2＝17. (3)f (x )＝1x ＋2的定义域为{x |x ≠－2}，由函数图象知y ≠0，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).g (x )＝x 2＋1的定义域是R ，由二次函数图象知最小值为1，∴值域是[1，＋∞). 三、探究与创新12.若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域.解由f (x )的定义域为[－3,5]，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5，解得－3≤x ≤3. 所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]. 13.已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值. (1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1. f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.。

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.1.1 等式的性质与方程的解集 (含答案)

第二章等式与不等式2．1 等式2．1.1 等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)公式：公式名称符号表示文字表示平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2两数和(或差)的平方，等于公式这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍其他恒等式①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．2．十字相乘法具体形式：①二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)②二次项系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)记忆口诀：拆两头，凑中间．十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．3.方程的解集(1)定义：方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值方程的解集一个方程所有解组成的集合的不同．(3)应用：求解方程的解(或解集).把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2).答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.答案：6类型一常用乘法公式的应用(数学运算)1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()A．5 B．－5C．11 D．－11【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.答案：7常用乘法公式的应用技巧(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．类型二十字相乘法分解因式(数学运算)【典例】把下列各式因式分解．(1)x2＋3x＋2.(2)6x2－7x－5.(3)5x2＋6xy－8y2.【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)1×2＋1×1＝3(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)2×(－5)＋3×1＝－7(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)1×(－4y)＋5×(2y)＝6y十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．分解下列各因式：(1)8x 2＋26xy －15y 2；(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2.【解析】(1)8x 2＋26xy －15y 2＝(2x －y)(4x ＋15y).(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2＝(7a ＋7b ＋2)(a ＋b －1).【拓展延伸】齐次式的因式分解(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x ，y 的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x －2y 是一次齐次式；x 2＋xy 是二次齐次式．(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax 2＋bxy ＋cy 2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y 看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y 2转化为x y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值．【拓展训练】x 2－13xy －30y 2分解因式为( )A ．(x －3y)(x －10y)B ．(x ＋15y)(x －2y)C ．(x ＋10y)(x ＋3y)D ．(x －15y)(x ＋2y)【解析】选D .x 2－13xy －30y 2＝(x －15y)(x ＋2y)1×2y ＋1×(－15y)＝－13y类型三方程的解集(数学运算)一元一次方程的解集【典例】若x ＝－3是方程3x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．【解析】选C .把x ＝－3代入方程3x －a ＝0得：－9－a ＝0，解得：a ＝－9.一元二次方程的解集【典例】解下列一元二次方程：(1)2x 2＋7x ＋3＝0；【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．【解析】原方程化为(2x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12 . (2)2x 2－7x ＋3＝0；【解析】原方程化为(2x －1)(x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3 . (3)－3x 2－4x ＋4＝0；【解析】原方程化为3x 2＋4x －4＝0，即(3x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝23 或x ＝－2，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，23 . (4)6x(x ＋2)＝x －4.【解析】原方程化为6x 2＋11x ＋4＝0，即(2x ＋1)(3x ＋4)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－43 ，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－43 . 分类讨论思想的应用【典例】解方程ax 2－(a ＋1)x ＋1＝0.【思路导引】把二次项系数分为a ＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．【解析】当a ＝0时，原方程可化为－x ＋1＝0，所以x ＝1，当a≠0时，对于ax 2－(a ＋1)x ＋1来说，因为a×1＝a ，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)，所以原方程可化为(ax －1)(x －1)＝0，所以ax －1＝0或x －1＝0，所以x ＝1a 或x ＝1.1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边进行因式分解；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解一元一次方程，得到方程的解．2．对于二次三项式分解因式的注意事项对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．3．形如ax 2＋bx ＋c ＝0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．1．多项式x ＋5与2x －8互为相反数，则x ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选C.根据题意得：x ＋5＋2x －8＝0，移项合并得：3x ＝3，解得x ＝1.2．求下列方程的解集： (1)5x 2－2x －14 ＝x 2－2x ＋34 .(2)12x 2＋5x －2＝0.【解析】(1)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0或2x －1＝0，即x ＝－12 或x ＝12 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 . (2)分解因式得：12x 2＋5x －2＝(3x ＋2)(4x －1)3×(－1)＋4×2＝5因为12x 2＋5x －2＝0，所以(3x ＋2)(4x －1)＝0，所以3x ＋2＝0或4x －1＝0，即x ＝－23 或x ＝14 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，14 . 3.解方程12x 2－ax －a 2＝0.【解析】当a ＝0时，原方程可化为：12x 2＝0，所以x ＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a ＝－a 2，3×a ＋4×(－a)＝3a －4a ＝－a ，如图所示所以12x 2－ax －a 2＝(3x －a)(4x ＋a)，所以原方程可化为(3x －a)(4x ＋a)＝0.所以3x －a ＝0或4x ＋a ＝0，所以x 1＝a 3 ，x 2＝－a 4 .【补偿训练】(2020·苏州高一检测)若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为( )A ．7B ．2C ．0D ．7或0【解析】选D .由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13 ，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7；当x ＝－13 时，3x ＋1＝3×(－13 )＋1＝0.备选类型方程的解的应用(数学建模、数学运算)【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．【解析】选C .设平均每次下调的百分率为x ，则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，所以(1－x)2＝0.81，所以1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9，解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.解决实际问题的一般步骤(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．(2)建立文字数量关系式．(3)转化为数学模型．(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：40(1－x)2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；故这个降价率为10%.(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000，解得：y＝0(舍去)或y＝10，答：在现价的基础上，再降低10元．1．已知等式3x ＋2y ＋6＝0，则下列等式正确的是( )A ．y ＝－32 x －3B ．y ＝32 x －3C ．y ＝－32 x ＋3D ．y ＝32 x ＋3【解析】选A.由等式3x ＋2y ＋6＝0，可得y ＝－32 x －3.2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x ＋3)(x －3)＝3(x ＋3)的解集是( )A ．{3}B ．{6}C ．{－3，6}D ．{－6，3}【解析】选C.(x ＋3)(x －3)－3(x ＋3)＝0，即(x ＋3)(x －3－3)＝0，所以x ＋3＝0或x －3－3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6.3．(教材练习改编)多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2【解析】选D.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ＝x 2－3x ＋a ，所以5＋b ＝3，a ＝5b ，所以b ＝－2，a ＝－10.4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋1)(x －2)B ．(2x ＋1)(x －2)C ．2(x －1)(x ＋2)D ．2(x ＋1)(x －2)【解析】选D.因为一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.答案：－1。

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修1【配套备课资源】2.1.1第1课时

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【学习要求】
函
数
变量与函数的概念
本课 1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的时栏语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．目开 2.了解构成函数的三要素．关
3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.
问题 2 实数集 R 及 x≥a， x>a， x≤b，如何用区间表示？ x<b
答实数集 R 可以用区间(－∞，＋∞)表示；
x≥a，x>a，x≤b，x<b 分别用区间表示为： [a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
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问题 3
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在数轴上如何表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1 且 x≠2}．
小结求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取值范围．
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1 求函数 f(x)＝的定义域． x＋1
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跟踪训练 2
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解要使已知函数有意义，当且仅当 x＋1>0.
所以，这个函数的定义域是{x|x>－1}，
这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有
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意义的实数的全体构成的集合．问题 1
答
对于一个确定的函数关系式，我们通常从哪些方面考

人教B版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编

人B版高中数学必修1同步习题目录1.1 集合与集合的表示方法1.2-集合与集合的运算第1章《集合》测试2.1.1《函数》测试题(1)(新人教B必修1)2.1.2《函数表示法》测试题(2)(新人教B必修1)2.1.3《函数的单调性》测试题(新人教B必修1)2.1.4《函数的奇偶性》测试题(新人教B必修1)2.2.1《一次函数的性质与图象》测试题2.2.2《二次函数综合题》测试2.2.3《待定系数法》同步测试2.3《函数的应用(Ⅰ)》同步测试2.4.1《函数的零点》同步测试2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法?二分法》同步测试第2章《函数》测试3.1.1《实数指数幂及其运算》同步测试3.1.2《指数函数》同步测试3.2.1《对数及其运算》同步测试3.2.2《对数函数》同步测试3.3《幂函数》同步测试3.4《函数的应用》测试第3章《基本初等函数1》测试1.1 集合与集合的表示方法1.下面四个命题正确的是 ( )A.10以内的质数集合是0,3,5,7B.“个子较高的人”不能构成集合C.方程的解集是1,1D.1是集合N中最小的数2.下面的结论正确的是 ( )A.若,则B.若,则自然数C.的解集是-1,1D.所有的正偶数组成的集合是有限集3.已知集合S中的三个元素可构成ABC的三条边长,那么ABC一定不是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.下面四个关系式中,正确的是A.∈0B.aaC.a∈a,bD.a∈a,b5.下列语句:(1)0与0表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1;(3)方程(x-1)2x-220的所有解的集合可表示为1,1,2;(4)不等式的解集是有限集,正确的是 ()A.只有(1)和(4)B.只有(2)和(3)C.只有(2)D.以上语句都不对6.下列六个关系式①0 ②0 ③④ 0 ⑤0 ⑥其中正确的个数( )A.3B.4C.5D.67.若方程的解集中有且只有一个元素,则的取值集合是( )A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1}8.A面积为1的矩形,B{面积为1的正三角形},则( )A. A,B都是有限集B. A,B都是无限集C. A是有限集,B是无限集D. A是无限集,B是有限集9.若,则实数的值为( )A.-1B.0C.-1或0D.-1或0或-210.若方程和的解为元素的集合是M,则M中元素的个数( )A.1B.2C.3D.411.如果方程的解集是M, 方程的解集是N, 3∈M且3∈N,那么等于14B. 2 C. 11D. 712.方程组解集为 ( )A.0B.1C.1,0 D.(0,1)13.用数对的集合表示方程的一切正整数解为 .14.实数集中的元素应该满足的条件是 .15.已知数集 Aa+2,a+12,a2+3a+3, 且 1∈A, 求实数 a 的值1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D C B D D C C A D13. ;1415.解: 若a+daq 解之得q1 a+2daq2当q1时,有aaqaq2与元素的互异性矛盾。

高一数学人教B版必修1：2.1.1 函数(二) 学案 [来源：学优高考网149504]

2.1.1函数(二)自主学习学习目标1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．2．知道函数与映射的关系．自学导引1．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中________________________________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的________________．这时，称y是x在映射f作用下的________，记作________，x称作y 的________．2．一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的______________，在集合A 中都________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______________．3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________________．对点讲练知识点一映射的概念例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．规律方法判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．变式迁移1 下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．知识点二象与原象例2 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1,2)的象；(2)求B 中元素(1,2)的原象．规律方法解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．变式迁移2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原象．知识点三映射的个数问题例3 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )．求满足条件的映射的个数．规律方法求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．变式迁移3 若将本例中的条件改为“B ＝{－1,0,1}，f (a )·f (b )＝f (c )”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.课时作业一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( )A ．A 中的每一个元素在B 中必有象B ．B 中每一个元素在A 中必有原象C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象D ．A 中不同元素的象必不同2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，对于以下对应的关系中，不是A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →12xB ．f ：x →13x C ．f ：x →14x D ．f ：x →16x 3．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3) 4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．( )A ．3个 2个 1个B ．3个 3个 2个C ．4个 2个 2个D ．2个 2个 1个5．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题6．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B到C 的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的象为________． 7．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：原象1 2 3 4 象3 4 2 1 映射g 的对应法则如下：原象1 2 3 4 象4 3 1 2 则f [g (1)]的值为________．8．根据下列所给的对应关系，回答问题．①A ＝N *，B ＝Z ，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B ；②A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；③A ＝{x |x 为高一(2)班的同学}，B ＝{x |x 为身高}，f ：每个同学对应自己的身高；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋|x |，x ∈A ，y ∈B . 上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．三、解答题9．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2的象和B 中元素－1的原象．10．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，有对应关系f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．2．1.1 函数(二) 答案自学导引1．有一个且仅有一个映射象 f (x ) 原象2．任意一个元素有且只有一个原象一一对应关系一一映射3．函数非空数集对点讲练例1 解 (1)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原象与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原象与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故法则f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f ：A →B 不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故法则f 不是从A 到B 的映射．变式迁移1 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在，∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．例2 解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9.故A 中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋1＝14x ＋3y －1＝2，得⎩⎨⎧x ＝617y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.变式迁移2 解将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12. 所以2在B 中的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原象为12. 例3 解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有一个映射；(2)当A 中三个元素对应B 中两个时，满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件中的映射共有7个．变式迁移3 解由于f (a )、f (b )、f (c )的取值属于{－1,0,1}，故f (a )·f (b )＝f (c )时，f (a )，f (b )，f (c )取值的情况如表所示.f (a ) f (b ) f (c )1 －1 －1－1 1 －1 1 1 1－1 －11 －10 0 0 －10 0 0 01 0 00 1 0由表可知这样的映射有9个．课时作业1．A 2.A 3.B 4.C5．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]6.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13. 7．1解析 g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1.8．①③ ①解析 ①对x ∈A ，在f ：x →y ＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．④当x ≤0时，|x |＋x ＝0，从而1|x |＋x无意义，因而在x ≤0时，A 中元素在B 中无象，所以不能构成映射．9．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.因为0∉A ，所以－1的原象是2.10．解由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

高中数学 2.1.1《函数》教案三新人教B版必修1

⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
［师］在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用g(x) 、F（x)、G（x)等符号来表示
二、例题讲解
例1：设，给出下列4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有个

1
11 222
例题2、判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
附记
一、知识讲解
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y＝f(x)，x∈A
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f(x)）值叫做函数值，函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫函数的值域.
一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)＝ax＋b(a≠0)和它对应.
反比例函数f(x)＝ (k≠0)的定义域是A＝{x|x≠0}，值域是B＝{f(x)|f(x)≠0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)＝ (k≠0)和它对应.
理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域是R，值域是当a＞0时B＝{f(x)|f(x)≥ }；当a＜0时，B＝{f(x)|f(x)≤ }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应.

【B版】人教课标版高中数学必修一《函数(第二课时)》教学教案-新版

2.1.1 函数（第二课时）映射与函数知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．教学目标（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念(4) 会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(5) 能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图像法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(6) 求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．教学重难点（1）对映射、函数概念的理解、函数概念的理解。

（2）函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．教学过程一、创设情景，揭示课题问题情境：每个学生都有一个学号，这样管理比较方便；同学们在中考中，每一个人都有唯一的考号，也就是说在现实生活中，不仅是数集之间存在着某种对应关系，很多集合之间也存在着某种对应关系，为了研究集合之间的对应关系，我们引入映射的概念（板书课题）．二、复习提问、研探新知提问：函数的概念教师：我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种特殊的对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，这种对应就叫映射．学生：分组讨论、归纳映射的概念。

（一）映射的定义：映射定义：设A,B是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A ．．．．元素，在集合B中都有唯一到．集合B的映射，记作：B:(注：A中元素必须取完，B中元素可以取完，Af→也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B:中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应Af→的B中元素y叫x的象，记作：)fy=，x叫做y的原象。

高中新课程数学新课标人教B版必修一2.1.1函数学案22

2．1．1 函数学案（2）【预习要点及要求】1．映射的概念，映射与函数的关系．2．了解映射，一一映射的概念，初步了解映射与函数间的关系．以判定一些简单的映射．【知识再现】1、函数的定义:___________________________________2、函数的定义域、值域：___________________________________3、区间的概念：___________________________________ 【概念探究】1、映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 内任意一个元素x ，在B 中一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到B 的．这时称y 是x 在映射f 的作用下的，记作f(x )．于是y=f(x)中x 称做y 的．2、集合A 到B 的映射f 可记为f ：A →B 或x →f(x)．其中A 叫做映射f 的（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的，通常记作f(A)．3、如果映射f 是集合A 到B 的映射，并且对于B 中的任何一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合之间存在，并称这个映射为集合A 到集合B 的．4、由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是．完成课本P34-35，例4、例5、例6、例7．【总结点拨】从集合A 到集合B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素．【例题讲解】例1、判断下列对应哪些是由A 到B 的映射？为什么？（1）A=R ，||11:},0|{x y x f y y B +=→>=；（2）A=R ，2:},0|{x y x f y y B =→≥=；（3）x y x f y y B x x A =→≥=≥=:},0|{},3|{ （4）A=Z ，B=Q ，xy x f 1:=→例2、已知集合A=R ，},|),{(R y x y x B ∈=，B A f →:是从A 到B 的映射，)1,1(:2++→x x x f ，求A 中元素2的象和B 中元素)45,23(的原象．例3、已知q px y x f N n n n n B m A +=→∈+==+:,},3,,7,4{},,3,2,1{24且是从A 到B 的一个一一映射，已知1的象是4，7的原象是2，求p, q, m, n 的值．【当堂达标】1、在给定的映射R y x xy y x y x f ∈+→,),,2(),(:的条件下，点)61,61(-的原象是（）A 、)361,61( B 、)32,41()21,31(--或 C 、)61,361(-D 、)41,32()31,21(-或 2、区间[0，m]在映射f:x →2x+m 所得的象集区间为[a, b]，若区间[a, b]的长度比区间[0, m]的长度大5，则m 等于（）A 、5B 、10C 、2．5D 、13、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b, 2b+c, 2c+3d, 4d ，例如，明文1, 2, 3,4对应密文5, 7, 18, 16．当接收方收到密文14, 9, 23, 28时，则解密得到的明文为（）A 、4, 6, 1, 7B 、7, 6, 1, 4C 、6, 4, 1, 7D 、1, 6, 4, 74、设集合A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 9, 25, 49, 81, 100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是（）A 、2)12(:-→x x f B 、2)32(:-→x x f C 、12:2--→x x x fD 、2)1(:-→x x f 答案【例题讲解】例1、（1）不是由A 到B 的映射，因为A 中元素O 在B 中无象．（2）是由A 到B 的映射（3）是由A 到B 的映射（4）不是由A 到B 的映射，因为A 中元素O 在B 中无象例2、解：A 中元素2在B 中的象为)3,12+由214512312=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x x 得 ∴B 中元素)45,23(的原象是21。

人教B版数学高一版必修1学案函数

数学人教B 必修1第二章2.1.1 函数1．会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法，并能正确地使用区间表示数集． 3．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．1(1)在近代定义中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的______；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的____，记作______；所有函数值构成的集合______叫做这个函数的值域． (2)确定一个函数只需两个要素：____和______．要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①____和____是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的____值，是否都能确定____的函数值y .(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域为R ，值域是R ；(2)反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域是{y |y ≠0}；(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ；当a ＞0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ，当a ＜0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . 【做一做1－1】下列四组函数中，f (x )，g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝4x 4B ．f (x )＝1，g (x )＝xxC ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2【做一做1－2】函数f (x )＝ 2 011－x ＋1x －2 010的定义域为__________．2．区间(1)在数轴上，区间可以用一条以a ，b 为端点的线来表示(如下表)．用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内．__________无穷区间的概念：－∞或＋∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．数轴表示__________取遍数轴上所有值(1)区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合．这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号、圆括号等符号来表示数集；(2)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开；(3)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势；(4)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大．如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，并不是所有数集都能用区间表示，如自然数集N，整数集Z等；(5)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，应用时注意区分，不能混淆．【做一做2】用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤8}＝__________；(2){x|x＜3，且x≠0}＝__________；(3)R＝__________.3．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的______，在B中______元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作______．于是y＝f(x)，x称作y的__________．映射f也可记为______．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的________，通常记作______．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的____一个元素，在集合A 中都______原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______．理解映射的概念必须注意如下几点：(1)方向性，“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射；(2)非空性，集合A，B必须是非空集合；(3)唯一性，对于集合A中的任何一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这是映射的唯一性，也可以说A中任一元素的象必在集合B中；(4)存在性，就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；(5)映射可以看成函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射，在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许“一对多”的对应．【做一做3－1】有下列各图中表示的对应：其中能构成映射的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【做一做3－2】已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则(4,6)在f下的原象是()．A．(5，－1) B．(－1,5)C．(10，－2) D．(－2,10)一、函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个随x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．二、同一函数的判定剖析：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数，注意以下四点： (1)定义域不同，两个函数也就不同．如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)不是同一函数； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如y ＝x 与y ＝x 2不是同一函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则，如函数f (x )＝x 2与f (x )＝2x 2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f (x )＝2 012x ＋2 011，f (t )＝2 012t ＋2 011，g (x )＝2 012x ＋2 011都表示同一函数．题型一求函数的定义域【例1】求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．反思：(1)已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． (2)本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．题型二简单函数值域的求法【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．反思：在求函数的值域时，常用的方法有：(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．题型三求函数解析式【例3】已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7. (1)求f (2)和f (a )的值；(2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x ＝3和x ＝a ＋1即可求得；对(2)可用“x ＋1”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x )，用“x ＋2”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x ＋1)．反思：已知类型为f [g (x )]＝h (x )的函数，求f (x )的解析式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f 到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．题型四有关映射的问题【例4】判断下列对应法则是否是从A 到B 的映射和一一映射． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |.(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x .(3)A ＝{x |x ≥2，x ∈Z }，B ＝{y |y ≥0，y ∈N }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.分析：判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．反思：由上面例题我们可以总结出：(1)按照映射的定义可知，映射应满足：①存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；②唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素．(2)一一映射的两个特点：①对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象；②集合B 中的每一个元素都有原象，即对应形式为“一对一”，集合A ，B 中均没有剩余元素．【例5】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．分析：本题考查映射的知识，把x ＝2代入即可求得2的象，⎝⎛⎭⎫32，54的原象可通过列方程组解出．反思：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．一般已知原象求象时，常采用代入法．已知象求原象时，通常由列方程组法求解．求解过程中要注意象与原象的区别和联系．题型五易错辨析【例6】已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )．错解：令x ＋4＝t ，则x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16.反思：在利用换元法求函数解析式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数定义域错误，进而引起一系列错误，如求值域、画图象等．1函数f (x )＝1x －1＋(x －2)0的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(1,2)∪(2，＋∞) 2(2011·河北邯郸高一期末)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝(x )2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,1}，则A 到B 的一一映射有__________个．4函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域为__________．5已知函数f (x ＋1)＝x 2－1，x ∈[－1,3]，求f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．唯一的一个y 值自变量因变量任意数x 唯一 y ＝f (x )，x ∈A 函数f 或函数f (x ) (1)定义域函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A } (2)定义域对应法则 ①定义域对应法则 ②每一个唯一【做一做1－1】D 若两个函数表示同一函数，则需其定义域、对应法则都相同，缺一不可．选项A 中对应法则不同，选项B 中定义域不同，选项C 中定义域不同，仅有选项D 表示同一函数．【做一做1－2】{x |x ≤2 011，且x ≠2 010} 要使f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧2 011－x ≥0，x －2 010≠0，解得x ≤2 011且x ≠2 010.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2 011，且x ≠2 010}．2．(1)[a ，b ] {x |a ＜x ＜b }半开半闭区间 (2)[a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，＋∞)【做一做2】(1)(5,8] (2)(－∞，0)∪(0,3) (3)(－∞，＋∞)3．任意一个元素x 有一个且仅有一个映射象 f (x ) 原象 f ：A →B ，x →f (x ) 定义域值域 f (A ) 任意有且只有一个一一映射【做一做3－1】D 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A 中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应．图(1)不是映射，因A 中的元素c 没有参与对应，即违背A 中的任一元素都必须参与对应的原则．图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A 中的元素在集合B 中有多个元素与之对应，不满足集合A 中的任一元素在集合B 中有且仅有唯一元素与之对应的原则．综上，可知能构成映射的个数为1.【做一做3－2】A 由题意，根据对应关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，故原象为(5，－1)．典型例题·领悟【例1】解：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例2】解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}．(3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝211548t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为t ≥0，所以158y ≥．故函数2y x -＝158y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．【例3】解：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10，f (a )＝f [(a ＋1)－1]＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6. (2)解法一(配凑法)：f (x )＝f [(x ＋1)－1] ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，f (x ＋1) ＝f [(x ＋2)－1]＝(x ＋2)2－2(x ＋2)＋7＝x 2＋2x ＋7.解法二：f (x －1)＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6， ∴f (x )＝x 2＋6，f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 解法三(换元法)：设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，,故f (x )＝x 2＋6. f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.【例4】解：(1)因为0∈A ，在f 作用下0→|0|＝0∉B ，,所以不是映射，更不是一一映射． (2)对于任意x ∈A ，都有x ∈B ，故是映射．又因为对B 中任一元素，在A 中有且仅有一个原象，所以为一一映射． (3)对任意的x ∈A ，依对应法则f 有x →y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为x ≥2，x ∈Z ，所以y ≥2，y ∈N ，即y ∈B ，所以是映射．因为0∈B ，且(x －1)2＋1＝0无解，所以集合B 中的元素0在A 中无原象，所以不是一一映射．【例5】解：把x ＝2代入f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，得其象为(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54的原象为12. 【例6】错因分析：在换元时，未标明t 的取值范围，而使f (x )缺少定义域．正解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．解法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，即x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．随堂练习·巩固1．D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2≠0，解得x ＞1且x ≠2.∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．B 根据同一函数的判断标准，即定义域相同，对应法则也相同判断． 3．2 根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射：故共2个．4．⎝⎛⎦⎤0，43 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴0＜1x 2＋x ＋1≤43，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，43. 5．分析：本题可用“配凑法”或“换元法”求f (x )的解析式．解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－1＝(x ＋1)2－2(x ＋1)， ∴f (x )＝x 2－2x .又x ∈[－1,3]时，(x ＋1)∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．解法二(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，且由x ∈[－1,3]知t ∈[0,4]，∴由f (x ＋1)＝x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，t ∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．。

人教b版高一数学必修一：2.2《一次函数和二次函数》学案(含答案)

答案 D
点评本题需深刻理解给定信息的概念，挖掘其本质，合理巧妙地进行数形转化．
二、解有关二次函数的问题
二次函数是高中数学中重要的基本初等函数之一，
是高考的“常客”．在求解有关二次
函数的问题时，图象发挥着重要的作用．例 2 当 m 为何值时，方程 x2－ 4|x|＋ 5＝m 有 4 个互不相等的实数根？
k 和 b 的值．
2．二次函数的图象及应用例 2 二次函数 y＝ x2＋＋ 1 的图象，求 b 与 c.
2 个单位，再向上平移
3 个单位，得到函
分析应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标．
解 ∵函数 y＝ x2－ 2x＋ 1 可变形为 y＝ (x－ 1)2，
y＝3
3．在判断函数 y＝ kx＋ b 的单调性时，易忽视对 k 的分类讨论．例 6 已知关于 x 的一次函数 y＝ (p＋ 3)x＋ (p2＋ 2p－ 3)的图象过原点，求 p 的值．
解由一次函数的图象过原点，可得 p2＋ 2p－ 3＝ 0，
p＋3≠ 0，
解得 p＝ 1. 误区警示此题易错点是忽视一次函数的隐含条件
________ ．解析 f(x)＝ (x－ a)2＋ 2a＋ 4－a2，f (x)≥ 1，故 2a＋ 4－ a2＝ 1.解得 a＝－ 1 或 a＝ 3.
答案－ 1 或 3
点评注意本题中定义域为 R ，值域为 [1，＋ ∞) ，则知该二次函数的最小值为 1，应将
二次函数化为顶点式．
4．二次函数的单调性
解令 f (x)＝ x2－ 4|x|＋ 5，
则 f(x) ＝ x2－ 4x＋5，
x≥0，
x2＋ 4x＋5， x<0，