用积分算子定义的解析函数类

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一个积分算子的单叶性

（２ｄ “１＋“ ）
．
“
ｇ＝ｎ Ⅱ
㈩属于Ｓ・
如果在定理１中令ｎ＝，１可以得到下面这个有趣的结果．
砉１一（一．卢１（））８
ｊ一
推论１设 ≥１：：口＋６（，，ｉ口６∈Ｒ，
…
可以得到
则由式（）义的积分算子１定证明
…
我们观察得
，
（１／＋Ｚｎ）３
ｊ＝１
口ｅＲ＝ｅＲ／ｏ＝）１１＝，十＋）Ｉ一）＝＋＝Ｊ卢ｆ，１ｉ一））］［（＋ × （卢・＝ｚ ≤ （吾 ∈ （珥ｎ（ｄ）．且足满Ｉ一
华南师范大学学报（自然科学版）
２１０２年２月
Ｆｂ０１ｅ．２２
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＯＵＴＨＣＨＩＮＡＮＯＲＭＡＬＵＮＩＲＳＴＹＶＥＩ
２１０２年第４４卷第１期
Ｖｏ．４Ｎｏ１，０２１４．２１
，・（１）
第１期
则式（）秋分算于．。：… １的，，，７
许
属于Ｓ・
燕等：一个积分算子的单叶性
１２＼
２ｌ
，
，
证明
５的形式・观察得Ｊｌ２＇（）Ｙ＇＂ｌ＇／＂Ｙｆｚ为式（）０＂
ｒｔ＇
＋ “Ｊ × 。
（ＡＵＡＣＥＥＥＩＩＮ）ＮＴＲＬＳＩＮＣＤＴＯ
文章编号：００— ４３２１）１０９— ５１０５６（０２０ —０１０

用Ruscheweyh积分算子定义的解析函数子类的性质

制；ｚ和有的（）所控制ｇｚ足；ｚ＜（）ｚ为佳控。（）满（）ｇｚ，则称（）最制
函数ｚ＝Ｅａ和ｇ（）口 ‘的Ｈｄｍｒ乘积或卷积（ｇｚ定义为（ｇｚ＝）ｋｚ＝ｚａａａｄ厂））厂））
算子Ｄ）称为ｚ的Ｒｓｅｅ）ｕｃｗｙｈｈ的ｋ阶微分，许多作者Ｄ研究了由算子
应的问题。
收稿日期；０７４０修回日期：０７４６２０ —０ —１；２０一ｏ —２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（４１４）１７０８０
（１）
（）２
则称ｚ为级星象函数，Ｓ卢表示，果函数ｚ ∈Ａ满足）用（）如）
如
ｚＳ卢） ∈（
（３）
其中若卢＜１则称ｚ为卢级预星象函数，Ｒ（）示。，）用１ｆ表
设ｚ和ｇｚ在Ｕ内解析，）（）如果存在Ｕ内的解析函数Ｗｚ使Ｉ（） ≤ ＩＩ（）ｚＩ且满足ｇｚ；（Ｗｚ（），（），ｚ）则称ｇｚ从属于ｚ，（））记作ｇ厂或者ｇｚ＜ｚ。若ｚ在Ｕ内单叶，ｇｚ＜ｚ当且仅当＜（）））则（））ｇＯ＝０和ｇＵｃＵ。设Ｈ（（）（）＜＾ｚ为一阶微分从属，（））（））ｐｚ，ｚ）（）如果对于单叶函数ｇｚ和所（）有满足此一阶微分从属的解析函数ｐｚ都有ｐｚ＜ｑｚ，（）（）（）则称ｇｚ为此一阶微分从属的控制，（）如果控

分数阶微积分的性质

分数阶微积分的性质根据上述三种分数阶微积分的定义，可以得到分数阶微积分一些性质如下[66]：（1）记忆属性。

当t 在时刻时，函数()f t 的分数阶微分值由初始时刻到t 时刻的所有时刻的函数值取值。

（2）当1a t D β算子的1β是整数时，整数阶微积分和分数阶微积分二者为等同关系，1β为任意阶时，整数阶微积分被包含在分数阶微积分内。

（3）分数阶微积分算子1a t D β是线性的，符合线性系统中的齐次特性和迭加特性，即对任意常数,a b 均满足：111000[()()]()()t t t D af t bg t a D f t b D g t βββ+=+（4）解析函数()f t 分数阶导数10()t D f t β对t 和a 都是可以解析的。

2.4 分数阶系统的模型描述实际生活中，大多数的对象的内在特性都能通过整数阶微分方程的形式来表征，比如物理特性、化学特性等。

但往往存在一些特别的对象其特性无法靠整数阶微分方程精确表征，但分数阶次的微分方程刚好能考虑到整数阶次微分方程所忽略的特性，所以，用分数阶微分方程描述的系统，其内在特性反应更真实、更全面。

一个典型的单输入单输出分数阶线性系统的微分方程可用如下形式来表示：312312123122()()()()=()()()()m nm n a D y t a D y t a D y t a D y t b D u t b D u t b D u t b D u t ααααββββ++++++++ （2.10）其中,(1,2,,),(1,2,,)i j a i m b j n ==分别表示输出和输入相应的系数，12m ααα<<<，12n βββ<<<分别表示输出和输入分数阶的阶次，()()u t y t 、分别表示系统的输入和输出。

结合前面的式（2.6）和式（2.10）对系统进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数模型为：12121212()nm n m b s b s b s G s a s a s a s βββααα++=+++ （2.11）若(1,2,,)i i i m αα==，(1,2,,)i i i n ββ==，该系统可称为“同源次”分数阶系统，则上式进一步可表示为:11()nj jj mi i i b s G s a s βα===∑∑ （2.12）2.5 分数阶近似方法要实现分数阶控制，分数阶模型必须近似相应的整数阶模型或者差分输入输出模型，再配合传统的整数阶控制理论的运用。

数学的泛函分析方法

数学的泛函分析方法泛函分析是数学中的一个分支领域，它研究的是函数空间及其上的线性算子等数学结构。

在数学的各个领域中，泛函分析方法都得到了广泛的应用，包括数论、微分方程、偏微分方程、概率论等等。

本文将介绍数学的泛函分析方法及其在不同领域中的应用。

一、泛函分析的基本概念和原理泛函分析的基本概念包括函数空间、线性算子、内积、范数等。

函数空间是泛函分析的重要概念之一，它是一组具有一定性质的函数的集合。

常见的函数空间有无穷可微函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。

线性算子则是函数之间的映射，它保持线性性质。

内积是一个函数空间上的二元运算，它满足线性性、对称性和正定性。

范数是函数空间上的一种度量，它衡量函数的大小和距离。

泛函分析的原理主要包括函数的连续性、可微性、积分等性质。

连续性是泛函分析的基本性质之一，它描述了函数在某一区间上的变化情况。

可微性是指函数在某一点附近存在导数，它描述了函数的变化速率。

积分是泛函分析中常用的计算工具，它描述了函数在某一区间上的总体情况。

二、泛函分析在数论中的应用泛函分析在数论中的应用主要体现在数论函数的性质研究、数论方程的解法等方面。

数论函数是研究整数性质的函数，如欧拉函数、狄利克雷级数等。

泛函分析方法可以用来研究这些数论函数的性质，如连续性、可微性等。

此外，泛函分析方法还可以用来解决一些数论方程，如椭圆曲线方程、费马方程等。

三、泛函分析在微分方程中的应用泛函分析在微分方程中的应用是非常广泛的，它主要体现在解析解的存在性和唯一性、解的稳定性等方面。

微分方程是描述变化的数学模型，而泛函分析方法可以用来证明微分方程的解的存在性和唯一性，以及解的稳定性。

此外，泛函分析方法还可以用来研究微分方程的数值解法，如有限元法、有限差分法等。

四、泛函分析在偏微分方程中的应用泛函分析在偏微分方程中的应用同样是非常广泛的，它主要体现在偏微分方程的解的存在性和唯一性、解的稳定性等方面。

偏微分方程是描述空间变化的数学模型，而泛函分析方法可以用来证明偏微分方程的解的存在性和唯一性，以及解的稳定性。

第三章第四节解析函数与调和函数

1 u( z0 Re )d , v( z0 ) 2
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18

定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分由于 2 x y u u 即 - 与在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程

u u dx dy y x
第三章复变函数的积分
第十二讲
第四节解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理

用算子定义的一类特殊解析函数

必要性
设ｆ（ｚ） ∈ Ｔ（仅，１３），那么
ｐ）当且仅当
．，
Ｄｆｌ＋Ａｚ
ｐ—
Ｉ（（ｉ－（ｘ）Ｄｆ＋３１（Ｄ ’ ｝Ｂ－Ａ（１－ａ＋￣）Ｉ
仅一）
— — — —
）｛
（１一＋ｐ）
ｌ＋Ｂｚ一～，，，
其中Ｄｆ为［１］中引进的Ｓａｌａｇｅａｎ算子，且具有如下展开
—
∑（１一＋ｎｐ）ｎｎ－－
—
式
（１－ａ＋３１）（Ａ — Ｂ）一Ｂ ∑（１－仅＋ｎ１３）ｎ
。— —
１（１＿叶３１）（Ａ＾Ｂ）＿ＢＺ（１吨＋ｎ３１）ｎ “ ＜ｌ
＋３１（Ｄ￣０ｔ取实值，令
Ｚ
在实轴上选取的值，使得（１一）
本文中讨论函数类Ｌ（仅，Ｂ）的系数不等式、积分算子、
Ｄ（＿ｚ）：ｚ＋ ∑ｎｌａＪｚ ≥ ２，ｋ ∈ Ｎ；盯Ｎｏ＝ＮＵ｛０｝．
ｎｋ
（２）
ＩＲｅｚｌ￣＜ｚ对于所有的ｚ成立，所以，我们有
利用从属关系可知，当且仅当存在Ｄ内满足条件
ｌ时，就得到（４）式，定理１证毕．
单叶半径、凸半径和极值点等性质．推论
２主要结果及其证明
函数ｆ（ｚ） ∈ Ｔ咄，３１），则

高等数学系列教材目录

高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。

计算电磁学中的积分方程法

计算电磁学中积分方程方法胡俊电子科技大学得宜于电子计算机与数值算法的快速发展，以计算机数值求解电磁问题的科学—计算电磁学已成为十分热门的研究方向，现已广泛应用于先进作战武器设计、雷达目标自动识别、地球物理探测、微波遥感与成象、微波集成电路设计、高速电路信号完整性分析等众多领域。

其编制的数值程序极强的通用性、普适性与可靠性，使该学科成为了除实验测量以外的重要电磁分析手段。

第一章矩量法概论随着计算机技术的发展，我们可以进行的计算量越来越大，精度越来越高。

在绝大多数情况下，数值算法的精度都可以达到要求，并且，应用数值算法还可以解决用解析法不能解决的问题。

因此，数值方法的应用越来越广泛，而以数值计算为基础的计算电磁学在过去的几十年里也得到了长足的发展。

本章所谈到的矩量法就是计算电磁学中的一种常用计算方法。

矩量法既可用于求解微分方程，也可用于求解积分方程。

但目前已经有了求解微分方程的有效方法――差分法、有限元法，所以矩量法大多用来求解积分方程。

目前，矩量法的应用已相当广泛。

例如，求天线的辐射场时，首先用矩量法求解天线上的电流分布，即求解电流分布的积分方程；求某个目标的散射场或透射场时，也要先用矩量法来求解目标上的电流分布，得出电流分布后再由积分求得总场。

本章简要介绍了矩量法的基本理论和求解过程，对于它的详细介绍及更多应用，请参考有关文献[2][3]。

1.1 矩量法的数学基础矩量法的基本思想是将一个泛函方程化为一个矩阵方程，然后用人们熟知的方法求解该矩阵方程。

这要用到线性空间和算子的概念，因此，在介绍矩量法之前，我们要先介绍一些这方面的基础知识。

考虑两个非空空间A 和B ，其元素分别为321,,a a a …和321,,b b b …，我们定义映射M 为这样一个规则，即A 的每个元素a 对应一个B 的元素b ，这个映射运算符号表示为)(a M b =一些有意义的特定映射是：函数——表示为)(x f y =，把具有元素x 的标量空间X 映射到具有元素y 的标量空间Y 。

关于两类解析函数及其积分算子

摘要：S 表示在单位圆 U= {z：| z| < 1}内解析函数 f(z)= z+ a2z2+ …的全体所组成的类. 本文引进并研究特殊解析函数类 sτ （λ，β）和覬（τ λ，β），讨论两类函数上的积分算子凸性问题.
关键词：解析；算子中图分类号：O174.51 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）01- 0010- 02
第 28 卷第 1 期（上） 2012 年 1 月
赤峰学院学报（自然科学版） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 1 Jan. 2012
关于两类解析函数及其积分算子
李书海
（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰 024000）
1 引言
S 表示在单位圆盘 U={z：|z|<1}内解析函数 f(z)=z+z2a2+… +anzn+…的全体所成的类.Sp (p∈N) 表示在单位圆盘 U={z：
∞
Σ |z|<1} 内解析函数 f (z)=zp+ zp+nap+n 的全体所成的类. 显然 n=1
S1=S.用 P(β)(0≤β<1)表示 β 级正实部函数，S*(β)和 K(β)分别
在 Sp 上引进一类新的积分算子：
定义３设 λ≥0，αi>0，fi(z)∈Sp，i=1,2,…,n;则积分算子
Fn,α1 ,…,αn (λ;p,τ,z)定义为
乙仪∈∈ ∈ ∈∈ ∈∈∈ z n
Fn,α1 ,…,αn (λ;p,τ,z)= 0 i = 1
Dτfi(t) α(1- λ)i tp

一线性算子定义下的亚纯多叶函数的子类

令Ｗ（ｏｚ）＝ｅ（０≤ ０≤ ２）丌．（２１）
（ｃ）＝～２ｌ１ａｃ）ａ，；Ｆ（，；；，
收稿日期：００２２２１－ —００
作者简介：周伟（９５）１７．，男，江苏淮安人，讲师，硕士，主要从事复变函数的教学与研究
２８８
淮阴师范学院学报（自然科学）
第９卷
证明设 ∈ （ｎ＋１ＣＡ，，，；Ｂ）令
一＿卜错＿网
其中（）Ｅ内解析或亚纯，ｚ在且满足ｗ（）＝０ｏ．对（）两边关于ｚ行对数求导，利用（）可得：９式进并７式
ｃ｛。（｛－＋＿
ｐＢ—Ａ）．（Ｗ（）
一
线性算子定义下的亚纯多叶函数的子类
周伟
（阴师范学院数学科学学院，江苏淮安淮２３０）２０１
摘要：利用一线性算子定义了亚纯多叶函数的子类，并研究了函数在积分算子作用下的函
数类的从属性质．
关键词：线性算子；－ｐ叶亚纯函数；属性质从
２主要结论
这里我们先介绍一个引理，然后将应用它来证明下面的定理１及定理２．
Ｊｃａｋ引
≤ ＩＩＩ０Ｉｚ
设非常数函数 ∞（在单位圆盘Ｅ＝｛：ＩＩ１中解析，ｃ（）＝０若存在。）ｚ＜｝且ｏｏ，
设∑ 表如示形厂ｚ＝ｚ＋∑ ａｋ（ ∈Ｎ：｛２，）（）一ｋ－ｐｚｐ１， …｝，３

由Noor积分算子定义的解析函数的性质

（＝ｚｚ）一∑ ＩＩ，：
则称（）函数类Ｑ口；Ｂ）２在（，Ａ，中．
引理ｌ设Ｊ，２ ∈Ｒ（）ｇ（）（）则对于单位圆盘内任意函数Ｆ（）嘲９（）＜１１ｆ，２ ∈ＳＪ，９２有
ｃ（）Ｆ（），
Ｒ（）１ｆ．
对于厂一∑：口ｇ一∑ 。定其Ｈｄａ积（）（）。，）６，义ａｍｒ卷积为ａｄ（＊））（＊（一∑：ａｋ．厂ｇ（：厂ｇ））。ｂ￣ｋｚ
对于复数（或实数），，（≠ Ｏ一１一２ … ）定义超几何级数为口ｂｆｃ，，，，
户）音Ｊ＾）＜（，（＜２（＾）２ｆ２出且ｚＪ叫（为５的佳制一：＾）（式最控．音ｆｆ）出
引理３设口ｂｃｃ０一１一２ …）为实数，，，（≠ ，，，都则
ｄ０
ｌｂ（ｌ－１）ｄ ■Ｌｆ－１）ｂ（２～ｔ等ｌｉ一ｆ－Ｉ一ｆ一ｔ（ｃ（１１一
Ｆ，；一＋＋６ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｃ；口ｃ
其中
∽ 一一
．
丢 … ∑ 等，＋一＋着
ｃ＼
２， …
此级数在Ｕ内是绝对收敛且解析的．
对于厂 ∈Ａ，义算子：）定 — ，ａｚ一Ｅ／１）Ｄｆ（）ｚ（－ｚ件］＊厂（）厂）（ ∈Ａ；＞一１．算子）
＊联系人，Ｅｍａ：ｈｄｎｆｎ０２＠１３ｔｍ－ｉｓｉｇａｇ３０６．ｏｌｏ

泛函分析简介

泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。

是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

主要内容有拓扑线性空间等。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

编辑本段赋范线性空间概况从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。

这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。

这类空间是量子力学数学描述的基础。

更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。

分数次微积分算子在一类解析函数上的应用

维普资讯
第１６卷
然科学版）
ＪｕｎｌｆＨｕｉａｎｔｕｅｏｃｎｌｇ（ａｕａＳｉｎｅｄｔｎｏｒａａｈｉｓｉｔｆＴｅｈｏｏｙＮｔｒＩｃｃｓＥｉｏ）ｏＩｔｅｉ
Ｋｅｒｓ — ａｅｔａａｙｉｕｃｉｎ；ｄｆｅｅｔｌｓｂｒｎｔｏｙｗｏｄ：Ｐｖｌｎｎｌｔｆｎｔｏｓｉｆｒｎｉｕｏｄａｉｎ；ｆａｔｏａａｃｌｓｏｅａｏｓｃａｒｃｉｎｌｌｕｕｐｒｔｒｃ
Ａｓｒｃ：Ｂａｅｎｄｆｅｅｔｏｅａｏｓｓｍｅｐｏｅｔｅｎｈｒｃｅｓｏｖｌｎｎｌｔｕｅｂｔａｔｓｄｏｉｆｒｎｐｒｔｒ，ｏｒｐｒｉｓａｄｃａａｔｒｆＰ— ａｅｔａａｙｉｒｎ — ｃｔｏｓｈｖｅｎｉｖｓｉａｅｘｅｓｖｌ．ＡｅｔｉｔｇａｐｒｔｒＪ。ｉｅｉｅｙｃｎｏｕｉｎｉｎａｅｂｅｅｔｇｔｄｅｔｎｉｅｙｎｃｒａｎｉｅｒｌｅａｏ抖ｓｄｆｎｄｂｏｖｌｔｏｎｏ
积分算子作用下的准确的偏差定理．
关键词：Ｐ叶解析函数；微分从属；分数次微积分算子
中图分类号：７．１Ｏ１４５文献标识码：Ａ
ＡｐｌｃｔｏｆＦｒｃｉｎｌＣａｃｌｓｏｒａｎＳｕｃａｓｏｐｉａｉｎｏａｔｏａｌｕｕｎＣｅｔｉｂｌｓｆ

分数阶微积分理论

分数阶微积分理论2.1 引言一般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，比如一阶微分方程，二阶微分方程，一重积分、二重积分等等，而分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包括整数以内的其它任意数，比如小数、有理数、无理数等，可以说分数阶微积分可以描述任何对象，它的作用要远超常规整数阶微积分。

虽然在无数的学者前赴后继地努力下，分数阶微积分理论方面的研究成果丰硕，而关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层面的评估，同时具有实际工程上的应用可行性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Grünwald -Letnikov 定义，Caputo 定义，Riemann -Liouville 定义[64]。

2.2 分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。

首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：[()/]()lim ()t a h at i h i D f t hf t ih αααω--→==-∑（2.1）其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，= (-1)i i i ααω⎛⎫ ⎪⎝⎭是多项式系数，(1)(2)(1)=!i i i ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，我们可以用以下递推公式直接求出该系数：01+11,1,1,2,...,i i i n i ααααωωω-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭（2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：0,0()lim()()()1()()(1)(1)a t h nh t ai i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i αααααξξξαα-→=--+-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭-=+-Γ-++Γ-+∑⎰ （2.3）其中，()Γ•为欧拉gamma 函数，10()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。

9.4 Cauchy 积分公式

z
定理4( Morera) : 设函数f ( z )在单连通域D内连续且沿D内任一简单封闭曲线C都有 f ( z )dz 0, 则 f ( z )在D内解析.
C
证明

C
f ( z )dz 0 f ( z )dz在D内积分与路径L无关,
L
任取z0 D, 令 F ( z ) f ( )d F ( z ) f ( z )
物理实例：波动方程： 2u 2u 2u 2u a 2 ( 2 2 2 )， t 2 x y z
热传导方程： u 2u 2u 2u a 2 ( 2 2 2 )。 t x y z
定理5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) A( D ), 则当 ( x , y ) D 时, u 0, v 0. 即解析函数的实部和虚部都是调和函数.
因此，f [z( )] u[z( )] iv[z( )]在区域G关于解析
由定理5知：u[ z( )] Re f [ z( )]是区域G关于的调和函数。
解析函数平均值公式
i
二、Cauchy型积分与解析函数的无限次可微性
定义2
设L是复平面的简单可求长曲线（可开可闭） ,
1 f ( ) F (z) L z d ( z L ) 2 i
f ( z )在L上可积，称
为沿L的f ( )的Cauchy型积分.
L 定理2 设L是简单可求长曲线, f ( z )沿（包括L的端点）连续，
证明：f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) A( D ) u, v无限次可微且满足C - R方程 2 2 2 2 u v u v 2 , , 2 x yx y xy

定积分与无穷级数的概念与计算

06
定积分与无穷级数关系探讨
泰勒级数在定积分中的应用
泰勒级数展开
将复杂函数表示为无穷级数形式，便于进行逐项积分。
近似计算
通过截取泰勒级数的前几项，对定积分进行近似计算。
收敛性判断
分析泰勒级数的收敛性，确保定积分计算的准确性。
傅里叶级数在周期函数定积分中的应用
傅里叶级数展开
将周期函数表示为傅里叶级数形式，便于进行周期函数的定积分计算。
几何意义与物理应用
定积分的几何意义是曲边梯形的面积。在平面直角坐标系中，由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴围成的图形的面积，就等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
定积分在物理学中有广泛的应用，例如在计算变力沿直线所作的功、水压力、引力、物体的转动惯量等方面都会用到定积分。
03
换元法的基本思想
介绍了换元法的原理，即通过变量代换简化定积分的计算。
分部积分法的应用
详细讲解了分部积分法在计算复杂定积分时的应用，包括如何选择适当的函数进行分部积分等。
换元法与分部积分法的比较
对两种方法进行了比较，分析了各自的优缺点和适用场景。
广义积分及计算
01
广义积分的定义与分类
介绍了广义积分的概念和分类，包括无穷限广义积分和瑕积分等。
2
经济学中的应用
在经济学中，定积分可以用于计算某些经济指标的累积效应，例如总消费、总投资等。而无穷级数则可以用于描述某些经济现象的周期性变化或长期趋势。
3
工程学中的应用
在工程学中，定积分和无穷级数都有着广泛的应用。例如，在电路分析中，可以通过定积分计算电路中的电流、电压等参数；而在信号处理中，则可以将信号展开为无穷级数形式，以便于分析和处理。

哈密尔顿算子解析

哈密尔顿算子·场记{}z y x r ,,=，||r r ==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=∇z y x ,,，则r r r 1=∇，3=⋅∇r ，0 =⨯∇r ，（数量函数的梯度，矢量函数的散度、旋度）rdr r d r =⋅ 222211d d()22r x y z ==++.运算规则：I （链规则）()()f u f u u '∇=∇，II （积规则）()uv v u u v ∇=∇+∇，()uF u F u F ∇⋅=∇⋅+∇⋅ ，()uF u F u F ∇⨯=∇⨯+∇⨯ .结论(以下所涉及的函数都有连续的二阶偏导数)（1）梯度场无旋.0 =∂∂∂∂∂∂=∇⨯∇zy xu u u z y x k j i u .（2）旋度场无源.RQ P z y x z y x F ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⨯∇⋅∇ =0.定理Ω为单连通空间区域，{}R Q P F ,,= ，R Q P ,,具有一阶连续偏导数.则以下四个命题等价：ⅰΩ内空间曲线积分⎰⋅Lr d F 与路径无关.ii F 为梯度场(有势场),即d d d d F r P x Q y R z ⋅=++ d u =，或u F ∇= .ⅲF 为无旋场，0 =⨯∇F .iv Ω内任意简单闭曲线C 上，0=⋅⎰Cr d F .例1验证位于原点的质点产生的引力场r Kmr F 3--=为梯度场，也是无源场.证333(){}F Km r r Km r r r r ---∇⨯=-∇⨯=-∇⨯+∇⨯ （算子∇的积规则）441{30}30Km r r r Km r r r r --⎛⎫=--∇⨯+=⨯= ⎪⎝⎭.F 为无旋场（原点除外），所以在去掉了原点的单连通域内F 为梯度场.()333{}F Km r r Km r r r r ---∇⋅=-∇⋅=-∇⋅+∇⋅ （算子∇的积规则）43431{33}330Km r r r r Km r r r r ----⎛⎫=--∇⋅+=--⋅+= ⎪⎝⎭,所以F 为无源场（原点除外）.注33d d (d )F r Kmr r r Kmr r r --⋅=-⋅=- 21d d()Kmr r Kmr --=-=,即有势场r Kmr F 3--=的势函数为1-Kmr .例2因为除原点外，r r 3-为有势场，故有①3d r r r -Γ⋅⎰在（去除原点）单连通域Ω内与路径无关.②曲线⎩⎨⎧=++=++az y x a z y x C 2222:（从z 轴正向看为逆时针方向），3d 0C r r r -⋅=⎰ .③Γ是球面2222a z y x =++在第一卦限部分的边界曲线（从z 轴正向看为逆时针方向），3d 0Cr r r -⋅=⎰ .例3因为除原点外，r r 3-为无源场，故有①若∑为不包围原点的闭曲面，则3d 0I r r n S -∑=⋅=⎰⎰ .②若∑为任何包围原点的闭曲面外侧，则3d I r r n S -∑=⋅⎰⎰ 为固定值，且11d 3d 4πr r I r n S v =≤=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰ .注这里积分的坐标形式为()3/2222d d d x x y y z z x y z Γ++++⎰，()3/2222d d d d d d S x y z y z x z x y x y z ++++⎰⎰.。

格林函数

第十四章格林函数--偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。

B: 理论物理中的Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF ）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。

特别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。

(See below)数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。

2，GF 的分类：边界值GF ：(,')G r r 即源函数；初始值GF ：(,;',')G r t r t 即传播函数。

3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r =，它与定解问题相关，即与厄米性相关。

(See 4 below)2）时间传播函数没有对称性：(,;',')(',';,)G r t r t G r t r t ≠.（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在。

这是因为既有点源：(')r r δ-矛盾于又无流：|0.n G ∂∑∂= 本征值问题存在，但是没有激发，物理上自相矛盾！平面波(),ik xat Ae 球面波1()ik xat Ar e -和柱面波1/2()ik at A e ρρ-均是LaplaceEquation 的解，但不是Possion Equation 的解。

球、柱面波分别来自于1x时（散射问题）渐近行为：(1,2)[(1/2)/2](1,2)[(1)/2]21(),().i x m i x l ml xxH x e h x e πππ±-+±-+4，Green 函数的边值条件：选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。