【中小学资料】广东省汕头市2017届高考数学三模试卷 理(含解析)

2017年广东省汕头市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1、已知集合A={x∈N|x＜3}，B={x|x=a﹣b，a∈A，b∈A}，则A∩B=（）A、{1，2}B、{﹣2，﹣1，0，1，2}C、{1}D、{0，1，2}2、已知是z的共轭复数，且|z|﹣=3+4i，则z的虚部是（）A、B、C、4D、﹣43、等差数列{a n}的前n项和为S n， S7﹣S5=24，a3=5，则S7=（）A、25B、49C、15D、404、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A、甲B、乙C、丙D、丁5、某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）A、17B、18C、19D、206、将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）A、40B、60C、80D、1007、已知函数为偶函数，则m﹣n=（）A、4B、2C、﹣2D、﹣48、中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A、1.2B、1.6C、1.8D、2.49、设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A、B、C、D、210、动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（，），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（）A、B、C、D、11、记不等式所表示的平面区域为D，若对任意（x0， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）A、（﹣∞，4]B、（﹣∞，2]C、[﹣1，4]D、（﹣∞，﹣1]12、已知函数f（x）=（x2﹣3）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A、3B、1或3C、4或6D、3或4或6二、填空题13、（（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．14、已知，若向量满足，则的取值范围是________．15、已知cos2α=sinα，则=________．16、“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为________．三、解答题17、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求sinAcosB的值；(2)若，求B．18、如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．19、某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（Ⅰ）若出现故障的机器台数为x，求x的分布列；（Ⅱ）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（Ⅲ）已知一名维修工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名维修工人，求该厂每月获利的均值．20、如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．21、已知函数f（x）= ．(1)证明：∀k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；(2)若∃x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立，求实数k的取值范围．22、在直角坐标系xoy中，已知点P（0，），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求+ 的值．23、已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．(1)若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；(2)若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】D【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：由A中x∈N，x＜3，得到A={0，1，2}，当a=0，b=1时，x=0﹣1=﹣1；当a=0，b=2时，x=0﹣2=﹣2；当a=1，b=0时，x=1﹣0=1；当a=1，b=2时，x=1﹣2=﹣1；当a=2，b=0时，x=2﹣0=2；当a=2，b=1时，x=2﹣1=1，当a=b时，x=0则A∩B={0，1，2}，故选：D．【分析】列举出A中自然数的值确定出A，代入B中计算确定出B，求出两集合的交集即可．2、【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵|z|﹣=3+4i，∴b=4，故选：C【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi，由题意可知b=4．3、【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．由等差数列的性质可得：S7﹣S5=24=a6+a7，【解析】a3=5，∴2a1+11d=24，a1+2d=5，解得a1=1，d=2，则S7=7+ ×2=49．故选：B．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．4、【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选B．【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论．5、【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：根据表中数据，计算= ×（2+3+4+5+6）=4，= ×（3+4+6+10+12）=7，且回归直线方程为=2.4x+ ，∴=7﹣2.4×4=﹣2.6，∴回归方程为=2.4x﹣2.6；当x=9时，=2.4×9﹣2.6=19，即据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为19．故选：C．【分析】根据表中数据计算、，由回归直线方程过样本中心点求出的值，写出回归方程，利用回归方程计算x=9时的值即可．6、【答案】A【考点】排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C63=20种选法，剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6，则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1=40；故选：A．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，②、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．7、【答案】A【考点】函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：根据题意，设x＞0，（﹣x）＜0，又由，则f（x）=mlog2017x+3sinx，则f（﹣x）=log2017[﹣（﹣x）]+nsin（﹣x）=log2017x﹣nsinx，又由函数f（x）为偶函数，则有f（﹣x）=f（x），即mlog2017x+3sinx=log2017x﹣nsinx，则有m=1，n=﹣3；则m﹣n=1﹣（﹣3）=4；故选：A．【分析】根据题意，设x＞0，则有（﹣x）＜0，由函数f（x）的解析式可得f（x）=mlog2017x+3sinx 以及f（﹣x）=log2017[﹣（﹣x）]+nsin（﹣x）=log2017x﹣nsinx，结合函数的奇偶性可得mlog2017x+3sinx=log2017x﹣nsinx，分析可得m、n的值，计算可得m﹣n的值．8、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（ 2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．9、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=± x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c= = = a，则有e= = ．故选C．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．10、【答案】C【考点】在实际问题中建立三角函数模型【解析】【解答】解：设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ）∵12秒旋转一周，∴T= =12，∴ω= ，∵当t=0时，点A0（，），将该点代入，得到θ= ，∴y=sin（t+ ），故选：C【分析】首先，设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ），根据周期求出ω，再根据过点A求出φ，问题得以解决11、【答案】D【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：由已知得到可行域如图：由图可知，对任意（x0， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即c≤﹣x+2y恒成立，即c≤（﹣x+2y）min，当直线z=﹣x+2y经过图中A（1，0）时z最小为﹣1，所以c≤﹣1；故选D．【分析】首先画出平面区域，由对任意（x0， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即求﹣x+2y的最小值，利用其几何意义求得即可．12、【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：f′（x）=（x﹣1）（x+3）e x，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单增，（﹣3，1）上单减，又当x→﹣∞时f（x）→0，x→+∞时f（x）→+∞，故f（x）的图象大致为：令f（x）=t，则方程必有两根t1， t2（t1＜t2）且，当t1=﹣2e时恰有，此时f（x）=t1有1个根，f（x）=t2有2个根；当t1＜﹣2e时必有，此时f（x）=t1无根，f（x）=t2有3个根；当﹣2e＜t1＜0时必有，此时f（x）=t1有2个根，f（x）=t2有1个根；综上，对任意m∈R，方程均有3个根．故选：A．【分析】利用导数求出函数的单调性，画出图象，令f（x）=t，则方程必有两根t1， t2（t1＜t2）且，根据图象求解二、<b >填空题</b>13、【答案】-240【考点】二项式定理【解析】【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．14、【答案】[0，5]【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：∵，∴| + |= =5，∵，∴| |2=（）•=|（|•| |cos（，）=5| |cos（，），∴| |=0，或| |=5cos（，）≤5，故的取值范围[0，5]，故答案为：[0，5]【分析】先根据向量的数量积和向量的模，求出| + |=5，再由，得到|2=5| |cos（，），继而求出范围．15、【答案】2【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：cos2α=sinα=1﹣sin2α，∴sinα= ，或sinα= （舍去），则= +sin2α= + =2，故答案为：2．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值，可得要求式子的值．16、【答案】134【考点】数列的概念及简单表示法【解析】【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n ﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：，∴（2）解：，由（1）知，∴，∴或，∴或【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得；（2）由已知利用正弦定理及（Ⅰ）可得，进而可求B的值．18、【答案】解：（Ⅰ）证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD，连接AE，则四边形ABME为直角梯形，作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，设ME=x，则SE=x，AE= = ，MF=AE= ，FB=2﹣x，由MF=FB•tan 60°，得，解得x=1，即ME=1，从而ME= ，∴M为侧棱SC的中点．（Ⅱ）解：MB= =2，又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM为等边三角形．又由（Ⅰ）知M为SC中点，SM= ，SA= ，AM=2，∴SA2=SM2+AM2，∠SMA=90°，取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，连结BH，在△BGH中，BG= ，GH= ，BH= = ，∴cos∠BGH= =﹣．∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值为﹣．【考点】棱锥的结构特征，与二面角有关的立体几何综合题【解析】【解答】【分析】（Ⅰ）作ME∥CD交SD于点E，连结AE，作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，由此利用已知条件能推导出M为侧棱SC的中点．（Ⅱ）由已知条件推导出△ABM为等边三角形．取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，能求出∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，由此能求出二面角S﹣AM﹣B的余弦值．19、【答案】解：（Ⅰ）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A，则事件A的概率为，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X，故X～B ，，，，，．即X的分布列为：（Ⅱ）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，这n+1个互斥事件的和事件，则∵，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%．（Ⅲ）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，，，，即Y的分布列为：则，故该厂获利的均值为．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（I）利用二项分布列的性质与计算公式即可得出．（Ⅱ）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，这n+1个互斥事件的和事件，利用（I）的分布列即可得出．（Ⅲ）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，利用（I）的分布列及其互斥事件的概率计算公式即可得出．20、【答案】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣= •（x﹣x1），y+ = （x ﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【考点】两点间距离公式的应用，圆方程的综合应用，抛物线的简单性质【解析】【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．21、【答案】（1）解：证明：f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）， f（x）的导数为f′（x）= ，直线y=g（x）过定点（1，0），若直线y=g（x）与y=f（x）相切于点（m，），则k= = ，即为lnm+m﹣1=0①设h（x）=lnx+x﹣1，h′（x）= +1＞0，则h（x）在（0，+∞）递增，h（1）=0，当且仅当m=1①成立．与定义域矛盾，故∀k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；（2）解：f（x）≤g（x）+ ⇔﹣k（x﹣1）≤ ，可令m（x）= ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，则∃x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立⇔m（x）min≤ ．m′（x）= ﹣k=﹣（﹣）2+ ﹣k，当k≥ 时，m′（x）≤0，m（x）在[e，e2]递减，于是m（x）min=m（e2）= ﹣k（e2﹣1）≤ ，解得k≥ ，满足k≥ ，故k≥ 成立；当k＜时，由y=﹣（t﹣）2+ ﹣k，及t= 得m′（x）=﹣（﹣）2+﹣k在[e，e2]递增，m′（e）≤m′（x）≤m′（e2），即﹣k≤m′（x）≤ ﹣k，①若﹣k≥0即k≤0，m′（x）≥0，则m（x）在[e，e2]递增，m（x）min=m（e）=e﹣k（e﹣1）≥e＞，不成立；②若﹣k＜0，即0＜k＜时，由m′（e）=﹣k＜0，m′（e2）= ﹣k＞0，由m′（x）单调性可得∃x0∈[e，e2]，由m′（x0）=0，且当x∈（e，x0），m′（x）＜0，m （x）递减；当x∈（x0， e2）时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）的最小值为+k（x0﹣1），由+k（x0﹣1）≤ ，可得k≥ （﹣）＞（）= ＞，与0＜k＜矛盾．综上可得k的范围是k≥ ．【考点】函数的最值及其几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，设出切点，构造函数h（x）=lnx+x﹣1，求出导数和单调区间，即可得证；（2）f（x）≤g（x）+ ⇔﹣k（x﹣1）≤ ，可令m（x）= ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，则∃x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立⇔m（x）min≤ ．对k讨论，当k≥ 时，当k＜时，运用单调性，求出最小值，解不等式即可得到所求范围．22、【答案】解：（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：直线l：ρ= ，即= ，亦即= ，∴直线l的直角坐标方程为：x+y= ，易知点P在直线l上．（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的普通方程为=1．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，设两根为t1， t2，∴t1+t2=﹣，t1•t2=﹣，∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = ，∴+ = = = ．【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：直线l：ρ= ，展开可得= ，可得直线l的直角坐标方程即可验证．（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的普通方程为=1．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，可得|PA|+|PB|=|t1﹣t2|=，即可得出．23、【答案】（1）解：依题意有：|2a﹣3|＜|a|﹣（a﹣3），若a≥ ，则2a﹣3＜3，∴≤a＜3，若0≤a＜，则3﹣2a＜3，∴0＜a＜，若a≤0，则3﹣2a＜﹣a﹣（a﹣3），无解，综上所述，a的取值范围为（0，3）（2）解：由题意可知，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜g（x）恒成立，∴|x+a|＜3恒成立，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，∴﹣2＜a＜2【考点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】（1）将x=a﹣3代入不等式，解关于a的不等式即可；（2）得到|x+a|＜3恒成立，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，求出a的范围即可．。