大物力学第四章 动能与势能

rb
• v m f r
rb •M
1•
ra
有心力：
v ˆ F = f (r)er
b
如库仑力， 如库仑力，
引力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关
W = ∫ f (r)dr
a
= φ(b) −φ(a)
3、弹性力作功 、
F o x1 x dx x2
v v F＝－ kxi v v dW = F ⋅ dx v v = − kxi ⋅ dxi = − kxdx
W =∫
x2 x1
x
1 2 1 2 − kxdx = kx1 − kx 2 2 2

弹性力作功只与质点的起 始和终了位置有关， 始和终了位置有关，而与 质点所经过的路径无关。 质点所经过的路径无关。
1、保守力与非保守力 、 保守力： 保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关这一
特点的力——万有引力、重力、弹性力 万有引力、 特点的力 万有引力 重力、
简称瓦 ＝焦/秒, 简称瓦
1马力＝735瓦特
动能
一质量为m 的物体在合外力F的作用 一质量为 的物体在合外力 的作用 点运动到B点 下，由A点运动到 点，其速度的大小由 点运动到 v1变成 2。 变成v
v v dW = F ⋅ dr
v dv v 1 2 v v ＝m • v dt = mv • dv = d ( mv ) dt 2
质点的动能变化定理： 质点的动能变化定理： 的动能变化定理 合外力对质点所作的功等于质点动 能的增量。 能的增量。 推广到质点系：
W +W ＝∑E − ∑E 外 内
i k
i k
初 态
末 态
作用于质点系的外力作功和内力作功的 总和等于质点系动能的增加。
动能定理和动量定理的比较 动能定理 动量定理 都是从牛顿定律推出
θ
m
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 功是标量， 功是标量 没有方向，只有大小， θ<π/2， 为正值， θ<π ，功W为正值，力对物体作正功； 为正值 力对物体作正功； θ=π /2，功W=0， ， ， 力对物体不作功； 力对物体不作功； 为负值， θ>π /2，功W为负值，力对物体作负功，或 ， 为负值 力对物体作负功， 物体克服该力作功。 物体克服该力作功。 •单位：焦耳(J) 1J=1N·m 单位：焦耳 单位
系统的动能与势 能之和为系统的
W外力＋W非保守内力＝E－E0
质点系的功能原理 质点系的机械能的增量等于外力和非 保守内力对系统所作的功之和。 保守内力对系统所作的功之和。
Mm E p = −G r
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
保守力等于势能函数 r ∂Ep r ∂Ep r ∂Ep r 梯度的负值，负号表 梯度的负值， F = −( i+ j+ k) 示保守力指向势能减 ∂x ∂y ∂z 少的方向
3) 通过势能曲线可以判断物体的平衡位置和平衡状态。 通过势能曲线可以判断物体的平衡位置和平衡状态。 稳定平衡 不稳定平衡
v v Q f12 = − f 21
v v v W = ∫ f12 • (dr − dr2 ) 1 内
内力做功不一定为零 内力作功与参考系选择无关： 内力作功与参考系选择无关：
v v v v dr − dr2 = dr′ − dr2′ 1 1 v v v v v v W = ∫ f12 • (dr − dr2 ) ∫ f12 • (dr′− dr2′) W′ ＝ ＝内 1 1 内
质点系的机械能变化定理
W ＝ W 外力 ＋ W 内＝ W 外＋ W 保守内 ＋ W 非保守内
W = Ek − E k 0
W保守内力 = －( E p − E p 0 )
W 力 W 保守内力＝ k－ k0＋ p − Ep0 E E E 外 ＋ 非 = (Ek＋ p ) − (Ek0 + Ep0 ) E
v v v v F = Fx i + Fy j + Fz k v v v v dr = dxi + dyj + dzk
W＝∫ Fx dx + F y dy + Fz dz
(
)
2.功的计算依赖于参考系的选择： 2.功的计算依赖于参考系的选择： 功的计算依赖于参考系的选择
r v v dr = dr ′ + u dt v v v v v W＝ ∫ F • dr = ∫ F • (dr ′ + u dt )
v v 1 2 1 2 ∫ F ⋅ dr＝ 2 mv2 − 2 mv1
定义： 动能：
1 2 Ek = mv 2
说明： 单位：焦耳=千克 千克• 单位：焦耳 千克•米2/秒2 秒 动能是瞬时量 依赖于参考系
动能变化定理
v v 1 2 1 2 ∫ F ⋅ dr＝ 2 mv2 − 2 mv1
W = Ek (b) − Ek (a)
功率
•定义：单位时间内完成的功，叫做功率 定义：单位时间内完成的功， 定义
∆W P＝ ∆t
•功率的公式 功率的公式 即时功率） （即时功率） •单位：瓦特(W) 单位：瓦特( ) 单位
dW P＝ ＝ dt
dW＝Pdt
•物理意义：表示作功的快慢 物理意义： 物理意义
v v v v dW F ⋅ dS W＝ = = F ⋅v dt dt
v v EP (Q) = ∫ Fc • dr
Q
0
EP=0 Q
两点势能差：
0 v v v v (E p 2 − E p1 ) = ∫ Fc • dr − ∫ Fc • dr 0 2 1
EP=0 1
＝
∫
2
1
v v Fc • d r
2
2、关于势能的说明 、
•只有对保守力，才能引入势能的概念 只有对保守力， 只有对保守力 •势能是物体状态的函数，与物体运动轨迹和参考系无关。 势能是物体 的函数，与物体运动轨迹和参考系无关。 •势能具有相对性，势能的值与势能的零点有关 势能具有 零点可以任意选择，一般选地面； 重力势能：零点可以任意选择，一般选地面； E p = mgy Mm 零点选在无穷远点； 引力势能：零点选在无穷远点； E p = −G r 1 2 E p = kx 零点选在弹簧的平衡位置。 弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。 2 •势能属于系统，势能是由于系统内各物体间具有保守力作 势能属于 用而产生的。 用而产生的。 重力势能： 重力势能：物体和地球组成的系统 引力势能： 引力势能：两个物体组成的系统 弹性势能： 弹性势能：物体和弹簧 势能
x + ∆x
∫ f ( x)dx = − f ( x)∆x
x
∴ f (x) = −
dEp dx
保守力等于势能函数 r ∂Ep r ∂Ep r ∂Ep r 梯度的负值，负号表 梯度的负值， F = −( i+ j+ k) 示保守力指向势能减 ∂x ∂y ∂z 少的方向
E p = mgy
1 2 E p = kx 2
r0
分子间的作用力：O2, H2
σ 12 σ 6 U ( x ) = 4 ∈ − x x
功能原理 机械能守恒定律
质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： 设一系统有 个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： 个质点 W1, W2, …, Wn,使各个质点由初动能 k10, Ek20, …, Ekn0,变成 使各个质点由初动能E 使各个质点由初动能 变成 末动能， 末动能，Ek1, Ek2, …, Ekn
势能曲线
势能是物体位置的函数 势能是物体位置的函数 位置
E p = mgy
1 2 E p = kx 2
Mm E p = −G r
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
说明： 说明： 1) 势能曲线表明势能的空间特性 2) 保守力可以通过势能函数求得。 保守力可以通过势能函数求得。
∆E p = E p ( x + ∆x ) − E p ( x ) =−
•变力的功 变力的功 分成许多微小的位移元， 分成许多微小的位移元， 在每一个位移元内， 在每一个位移元内，力所作的功为 Z
v dr
b θ
v F
v v dW = F ⋅ dr = F cosθ dr
总功 O X
a
Y
v v W＝ dW = ∫ F ⋅ dr = ∫ F cosθ dr ∫
说明： 说明： 1. 功的分量表示：
v v v v v v = ∫ F • dr ′ + ∫ F • u dt = W ′ + ∫ F • u dt
O
S
u S′
Ｐ
v v r r'
O′
3. 功是个过程量。 功是个过程量。 力作功与路径有关， 力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功可能是不同的 例．一个质点沿如图所示的路径运行，求力 一个质点沿如图所示的路径运行， F=(4-2y)i (SI) 对该质点所作的功，（ ）沿 对该质点所作的功，（ ，（1） ODC；（ ）沿OBC。 ；（2） ；（ 。
B 2
C 2 D
O
•合力的功 合力的功
v v v v v v W＝∫ F ⋅ dS＝∫ ( ∑ Fi ) ⋅ dS = ∑ ( ∫ Fi ⋅ dS ) = ∑ W i
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 质点所作的功
外力对质点系的总功
第四章
动能和势能
功，动能, 动能定理 动能 保守力的功和势能 机械能变化和守恒 三种宇宙速度
力对时间的累积作用 力对空间的累积作用
冲量 功