【精品】2017年山东省济宁一中高一上学期期中数学试卷

2016-2017学年山东省济宁一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知N是自然数集，在数轴上表示出集合A，如图所示，则A∩N=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{2，3}2．（5分）=（）A．B．C． D．3．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1]4．（5分）函数的值域是（）A．B．C．（0，2]D．[2，4]5．（5分）若，则7a=（）A．B．C．5 D．76．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A． B． C．D．7．（5分）方程的解所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．（5分）函数f（x）=ln|2x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）设，r=a a，，，则（）A．r＞s＞t B．r＞t＞s C．s＞r＞t D．s＞t＞r10．（5分）函数sgn（x）=叫做符号函数，则不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4的解集为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[﹣1，1]11．（5分）已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知函数f（x）=log a x+x﹣3（a＞0且a≠1）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，若x2∈（3，4），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，4） D．（4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）=xln（x﹣1）的零点是．14．（5分）若一个幂函数和一个指数函数图象的一个交点是（2，4），则它们图象的另一个交点为．15．（5分）若函数f（x）满足，则f（4）=．16．（5分）已知函数f（x）=x3+x，若，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）＜2的解集为B，求A∪B，（∁R A）∩B．18．（12分）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈（0，2）时，求函数f（x）的值域．19．（12分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．（1）求m的值；（2）若函数g（x）=log a f（x）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的所有零点．21．（12分）某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t°C才能给病人服用，若把m1kg 汤药放入m2kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t1℃与热水降低的温度t2℃满足关系式m1t1=0.8m2t2，某次治疗时，王护士把x瓶温度为10°C 汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．（1）求x关于t的函数解析式；（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？22．（12分）已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y 轴对称．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．2016-2017学年山东省济宁一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知N是自然数集，在数轴上表示出集合A，如图所示，则A∩N=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{2，3}【解答】解：由题意得A=（﹣1，3]，∴A∩N={0，1，2，3}．故选：B．2．（5分）=（）A．B．C． D．【解答】解：依题意，可知a≥0，所以=．故选：A．3．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1]【解答】解：由，解得x≤1且x≠0，∴函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：D．4．（5分）函数的值域是（）A．B．C．（0，2]D．[2，4]【解答】解：∵≤x≤1，∴1≤≤2，∴2≤≤4，∴f（x）的值域是[2，4]，故选：D．5．（5分）若，则7a=（）A．B．C．5 D．7【解答】解：∵，∴log75=a，则7a=5．故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A． B． C．D．【解答】解：A中几何体的正视图中应该画矩形的另一条对角线，且是虚线，故A错误；（B）中几何体的正视图中的对角线应该是虚线，故B错误；C中几何体的正视图中的对角线应该是另一条，故C错误．故选：D．7．（5分）方程的解所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：设，则，所以方程的解所在的区间是（2，3）．故选：C．8．（5分）函数f（x）=ln|2x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，2x﹣1＞0，f（x）=ln（2x﹣1），它是增函数，排除A．同理，当x＜0时，函数f（x）是减函数，且f（x）＜0，排除C、D．故选：B．9．（5分）设，r=a a，，，则（）A．r＞s＞t B．r＞t＞s C．s＞r＞t D．s＞t＞r【解答】解：因为，所以，即t＜r＜1；又因为，所以s＞r＞t．故选：C．10．（5分）函数sgn（x）=叫做符号函数，则不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4的解集为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[﹣1，1]【解答】解：∵函数sgn（x）=叫做符号函数，不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4，∴当x＜﹣1时，x+1＜0，不等式可化为﹣2≤4，恒成立；当x=﹣1时，x+1=0，不等式可化为﹣1≤4，恒成立；当x＞﹣1时，x+1＞0，不等式可化为2x+2≤4，解得x≤1，所以此时﹣1＜x≤1．综上不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4的解集为{x|x≤1}=（﹣∞，1]．故选：A．11．（5分）已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为函数y=3x与y=x3在R上都是增函数，所以f（x）=3x+x3在R上也是增函数．又因为f（3）=54＜100，f（4）=145＞100，3x+x3=100，所以3＜x＜4，所以[x]=3．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=log a x+x﹣3（a＞0且a≠1）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，若x2∈（3，4），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，4） D．（4，+∞）【解答】解：若函数f（x）有两个不同的零点，则函数y=log a x与y=3﹣x的图象有两个交点，在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图象，如下图所示：观察图象，可知若使二者有两个交点，须使0＜a＜1；而若使x2∈（3，4），又须使解得．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）=xln（x﹣1）的零点是2．【解答】解：由f（x）=0，xln（x﹣1）=0，解得x=0或x=2，又因为x﹣1＞0，所以x=2．故答案为：2．14．（5分）若一个幂函数和一个指数函数图象的一个交点是（2，4），则它们图象的另一个交点为（4，16）．【解答】解：设幂函数为y=x a，则2a=4，解得：a=2，可知幂函数为y=x2，设指数函数为y=a x，则a2=4，解得：a=2，故指数函数为y=2x，由，解得：或所以它们图象的另一个交点是（4，16），故答案为：（4，16）．15．（5分）若函数f（x）满足，则f（4）=2．【解答】解：∵函数f（x）满足，∴令，得，解得；令x=4，得．故答案为：2．16．（5分）已知函数f（x）=x3+x，若，则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意，对于f（x）=x3+x，其定义域为R，有f（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数，又由f′（x）=3x2+1＞0，则函数f（x）为增函数，若，则有f（log a2）＜f（1），即log a2＜1；当0＜a＜1时，log a2＜0，则log a2＜1恒成立，当a＞1时，log a2＜1⇒a＞2，综合可得：a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）；故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）＜2的解集为B，求A∪B，（∁R A）∩B．【解答】解：不等式log2（x+1）＜2等价于0＜x+1＜4，解得﹣1＜x＜3，所以B=（﹣1，3）；…（4分）又因为A={x|2x﹣3≥x﹣2}={x|x≥1}=[1，+∞），所以A∪B=（﹣1，+∞）；…（7分）因为∁R A=（﹣∞，1），所以（∁R A）∩B=（﹣1，1）．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈（0，2）时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由f（0）=f（1），可知函数f（x）图象的对称轴为直线，所以，解得m=﹣1，所以f（x）=x2﹣x+n．因为方程f（x）=x即x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根，所以其根的判别式△=（﹣2）2﹣4n=0，解得n=1．所以f（x）=x2﹣x+1．…（6分）（Ⅱ）因为，所以当时，，且f（x）＜f（2）=3．所以函数f（x）的值域为．…（12分）19．（12分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．（1）求m的值；（2）若函数g（x）=log a f（x）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．【解答】解：（1）由题意，y=f（x）是幂函数，设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）可得9α=3，所以，故．∴．故得m的值为．（2）函数g（x）=log a f（x）即为，∵x在区间[16，36]上，∴，①当0＜a＜1时，g（x）min=log a6，g（x）max=log a4，由，解得；②当a＞1时，g（x）min=log a4，g（x）max=log a6，由，解得．综上可得，实数a的值为或．20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的所有零点．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），且f（0）=0．设x＜0，则﹣x＞0，所以，所以．…（4分）所以函数f（x）的解析式为…（6分）（Ⅱ）当x＜0时，由，解得x=1（舍去）或x=﹣3；…（9分）当x＞0时，由，解得x=﹣1（舍去）或x=3．所以函数f（x）的零点为﹣3，0，3．…（12分）21．（12分）某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t°C才能给病人服用，若把m1kg 汤药放入m2kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t1℃与热水降低的温度t2℃满足关系式m1t1=0.8m2t2，某次治疗时，王护士把x瓶温度为10°C 汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．（1）求x关于t的函数解析式；（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？【解答】解：（1）依题意，可得0.25x（t﹣10）=0.8×2.5（90﹣t），整理得x关于t的函数解析式为[．…（4分）（2）解法一：设30≤t1＜t2≤40，则因为30≤t1＜t2≤40，所以（t1﹣10）（t2﹣10）＞0，t2﹣t1＞0，所以，即x（t1）﹣x（t2）＞0，所以x（t1）＞x（t2），所以x（t）在[30，40]上为减函数．…（10分）所以，所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…（12分）解法二：由，可得．…（6分）由t∈[30，40]，可得，因为x+8＞0，所以3（x+8）≤72+x ≤4（x+8），解得．所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…12分22．（12分）已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y 轴对称．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．（2）依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1．（3）解法一：由（2）可知，所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的图象的对称轴为直线．依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，只需，解得．所以实数t的取值范围是．解法二：由（2）可知，所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根，即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．观察图形，可知当，即时，两个图象有两个不同的交点．所以实数t的取值范围是．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。