十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题09 不等式 Word版无答案原卷版
十年高考真题分类汇编2010-2019数学专题09不等式Word版含解析
3
3
8
因为
S△ABC=S△ABM-S△ACM=12·(2+2m)·
(1 +
m)-
2+2m 3
=
(m+1)2,由已知得(m+1)2
3
3
=
4,解得
3
m=1(m=-3<-1
舍去).
- ≥ 0, 20.(2015·山东·理 T6)已知 x,y 满足约束条件 + ≤ 2,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( )
x + y ≥ 0,
A.-1 B.1 C.10 D.12
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角
形 区 域 ( 包 含 边 界 ), 由 图 易 得 当 直 线 z=3x+2y 经 过 平 面 区 域 内 的 点 (2,2) 时 ,z=3x+2y 取 得 最 大 值
矩形.又 D(2,-2),C(-1,1),所以
+ -3 ≥ 0, 14.(2016·浙江·文 T4)若平面区域 2 - -3 ≤ 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间
-2 + 3 ≥ 0
的距离的最小值是( )
A.3 5
5
【答案】B
B. 2
C.3 2
2
D. 5
【解析】作出可行域,如图阴影部分所示.
【答案】B
【解析】如图,作出变量 x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形 ABC 及其内部,点 A,B,C 的坐标依次为
(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将 z=2x+5y 变形为 y=-2x+z,可知当 y=-2x+z经过点 B 时,z 取最小值 6.故选
2010高考数学试题分类汇编----不等式(有答案)
（2010福建）（7分）(3)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|.①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．答案：法一：①由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以31,35,aa=⎧⎨+=⎩－－解得a＝2.②当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝21,3, 5,32, 21, 2.x xxx x<⎧⎪≤≤⎨⎪+>⎩－－－－所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．法二：①同解法一．②当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．（2010湖北）15．(理)设a＞0，b＞0，称2aba b+为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段______的长度是a，b的几何平均数，线段______的长度是a，b的调和平均数．答案：CD DE解析：∵△ACD∽△DCB，∴ACCD＝CDCB，CD∵Rt△ECD∽Rt△COD，∴DE＝2CDOD＝2aba b+＝2aba b+.（2010江西）3．(理)不等式|2x x-＞2x x -的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案：A 2x x-＞2x x -，∴2x x -＜0.∴0＜x ＜2. (2010全国卷新课标)24．（10分）选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|2x －4|＋1.(1)画出函数y ＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．答案： (1)由于f (x )＝⎧⎨≥⎩－2x+5,x<2,2x －3,x 2,则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a ≥12或a ＜－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像有交点．故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)． （2010山东）14．(理)若对任意x ＞0，231x x x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案： [15，＋∞) 解析：法一：当x ＞0时，211313x x x x x=++++ ∵x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)∴x＋1x＋3≥5∴113xx++≤15∴a≥1 5 .法二：原式 ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x＞0恒成立．显然a≤0时不恒成立．当a＞0时，Δ≤0或312aaa⎧<⎪⎨⎪>⎩－－，得a≥15.（2010陕西）15.A．(不等式选做题)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．答案：{x|x≥1}B.169C．(－1,1)，(1,1)解析：A.x≥2时，|x＋3|－|x－2|＝5，－3≤x＜2时，|x＋3|－|x－2|＝2x＋1≥3 x≥1，x＜－3时，|x＋3|－|x－2|＝－5，因此综上有|x＋3|－|x－2|≥3的解集为{x|x≥1}．（210四川）12．(理)设a＞b＞c＞0，则2a2＋1ab＋1()a a b-－10ac＋25c2的最小值是( )A．2 B．4C．．5答案：B 因为a＞b＞c＞0,2a2＋1ab＋1()a a b-－10ac＋25c2＝a2＋()a b bab a b-+-＋(a－5c)2＝a2＋1()b a b-＋(a－5c)2≥a2＋212b a b+-⎛⎫⎪⎝⎭＋(a－5c)2＝a2＋24a＋(a－5c)2≥4＋(a－5c)2≥4.当且仅当a2b＝5c时取等号．（2010浙江）23．（10分） (1)设正实数a，b，c，满足abc≥1.求222222 a b ca b b c c a+++++的最小值；(2)已知m∈R，解关于x的不等式：1－x≤|x－m|≤1＋x.答案：解：(1)因为(222222a b ca b b c c a+++++)[(a＋2b)＋(b＋2c)＋(c＋2a)]≥(a＋b。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。
数学十年高考真题分类汇编集合 word 版含解析
十年真题分类汇编数------集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
不等式选讲-2010-2019年高考文科数学真题专题分类汇编训练
专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲答案部分 2019年1.解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.2.解析 （1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 3.解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦„，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +…，解得3a -„或1a -…．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x等价于|||2|4++-≥x a x．而|||2||2|++-+≥x a x a，且当2=x时等号成立．故()1≤f x等价于|2|4+≥a．由|2|4+≥a可得6-≤a或2≥a，所以a的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U．3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x < 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()fx 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <， 113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„，得13x -剟.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a „时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-， 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33ab+≥a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52+．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5＜a ≤3．综上，a）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩„…或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔„或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-„在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--„在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔---剟在[1,2]上恒成立30a⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．专题十五 不等式选讲第三十五讲 不等式选讲2019年1.（2019全国II 文23）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．3.(2019全国III 文23）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11ab a b+=．(Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：常用逻辑用
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
28.(2014•陕西•理 T8)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真
假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3
18.(2016•山东•理 T6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面
α 和平面 β 相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2017•天津•理 T4)设 θ∈R,则“
π
- 12
<
π
12”是“sin
1
θ<2”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2017•浙江•理 T6)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 ( )
+ ≥ 6, 1.(2019•全国 3•文 T11)记不等式组 2 - ≥ 0 表示的平面区域为 D.命题 p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题 q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ①p∨q ②￢p∨q ③p∧￢q ④￢p∧￢q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④
十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编 专题09 立体几何与空间向量选择填空题 理(含解析)
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06单选题2016空间向量在立体几何中的应用2016年新课标1理科11单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)A．8πB．4πC．2πD．π【解答】解：如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长,交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是PA,AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为D．半径为，则球O的体积为．故选：D．2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（)A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2,直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中，最短路径的长度：2．故选:B．3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6．故选：A．4．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2×(2+4）＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，故选：B．5．【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是,则它的表面积是( ）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得:,R＝2．它的表面积是：4π•2217π．故选：A．6．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n,可知：n∥CD1，m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r，故米堆的体积为π×（）2×5，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴1。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题08 数列 考试版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.。
十年高考真题分类汇编2010-2019数学专题19不等式选讲Word版含解析
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲（含解析）1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+ca abc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x≤-1, 2x,-1 縰 1, 2,x≥1.故不等式f(x)>1的解集为x x(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a,所以2a≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2x +4,x ≤-1,2,-1 縰≤2,-2x +6,x 2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x ,x -12,x +2,-12≤x 1,3x ,x ≥1.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+172.所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=-3,x -1,2x-1,-1≤x≤2, 3,x 2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b )24(a+b)=2+3(a+b )34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在题图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)f(x)=x -4,x ≤-1,3x -2,-1 縰≤32,-x +4,x 32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为x x 13或x 5.所以|f(x)|>1的解集为x x 13或1 縰 3或x 5.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(分类讨论)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=x+x+为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f(x)=-2x,x≤-12, 1,-12 縰 12, 2x,x≥12.当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x 縰 2.(2)由题设可得f(x)=x -1-2a ,x -1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x .所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞).14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则a +b c +d ;(2)a +b c +d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解析】证明(1)因为(a +b )2=a+b+2ab ,(c +d )2=c+d+2cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd 得(a +b )2>(c +d )2.因此a +b c +d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a +b c +d .②若a +b c +d ,则(a +b )2>(c +d )2,即a+b+2ab >c+d+2cd .因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a +b c +d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b,证明:(1)a+b≥2;(2)a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.【解析】证明由a+b=1a +1b =a+b ab ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab =2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由ab=1a+1b≥ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥2a3b3≥42,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=x+a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=x+x+1a-(x-a)=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)=3+当a>3时,f(3)=a+1a,由f(3)<5,得当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)<5,得1+52<a≤3.综上,a18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.【解析】(1)解f(x)=3x-3,x∈[1,+∞),1-x,x∈(-∞,1),当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=x0≤x≤(2)证明由g(x)=16x2-8x+1≤4,得16x≤4,解得-14≤x≤34.因此N=x-14≤x≤故M∩N=x0≤x≤当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14−x≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈-a2a的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x 12,-x-2,12≤x≤1,3x-6,x 1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈-a2f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈-a2故-a2≥a-2,即a≤43.从而a的取值范围是-120.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤13;(2)a2b+b2c+c2a≥1.【解析】证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.所以a2b+b2c+c2a≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.【解析】(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2, 1,2 縰 3, 2x-5,x≥3.当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a 的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组x ≥a ,x -a +3x ≤0或x ≤a ,a -x +3x ≤0,即x ≥a ,x ≤a 4或x ≤a ,x ≤-a 2.因为a>0,所以不等式组的解集为x x ≤由题设可得-a 2=-1,故a=2.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.【解析】(1)由于f(x)=-2x +5,x 2,2x -3,x ≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)(图象应用)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a+∞.。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：函数
49.(2016•全国 1•T9)函数 y=2x -e 在[-2,2]的图象大致为( )
2
50.(2016•浙江•文 T3)函数 y=sin x 的图象是( )
x
51.(2016•浙江•文 T7)已知函数 f(x)满足:f(x)≥|x|,且 f(x)≥2 ,x∈R.( )
b
A.若 f(a)≤|b|,则 a≤b B.若 f(a)≤2 ,则 a≤b
cc
A.a <b
cc
B.ab <ba
C.alogbc<blogac
D.logac<logbc
9
46.(2016•全国 3•理 T6)已知 a=2 ,b=4:,c=25 ,则( )
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
9
47.(2016•全国 3•文 T7)已知 a=2 ,b=3 ,c=25 ,则( )
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35.(2017•全国 1•文 T8)函数 y= 的部分图象大致为( )
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36.(2017•全国 3•文 T7)函数 y=1+x+ 的部分图象大致为( )
5
37.(2017•山东•理
T10)已知当
x∈[0,1]时,函数
2
y=(mx-1)
的图象与
y=√x+m
的图象有且只有一个交点,则正
③f(x)在[-π,π]有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④
C.①④
D.①③
6.(2019•全国 3•理 T11 文 T12)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )
2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析
2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用2019年1.（2019天津文13）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[- 4．（2015福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．（2015湖南）若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为 AB ．2C ．D ．46．（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+ 7．（2013福建）若122=+yx ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞8．（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．3 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为A ．0B ．98 C ．2 D ．9410．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245 B ．285C ．5D ．6 11．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则 A ．a v ab <<B ．v abC ab <v <2a b + D ．v =2a b+12．（2012湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为 A ．2 B.82 C.384 D. 34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<<B ．2a ba ab b +<<< C ．2a b a ab b +<<< D 2a bab a b +<<<14．（2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B．a b +≥ C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 ． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（2017天津）若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．18．（2017山东）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ． 20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________． 21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．22．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．23．（2015重庆）设,0a b >，5a b +=________．24．(2015山东)定义运算“⊗”：22x y x y xy-⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >，0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为 ．25．（2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__； 26．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ． 27．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 ． 28．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++． （Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时． 29．（2013天津）设a + b = 2，b >0， 则当a = 时， 1||2||a a b+取得最小值. 30．（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 31．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____． 32．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为 ． 33．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤；； ③222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥． 答案部分 2019年1.解析0x >，0y >，24x y +=，而()()1212212552x y xy x y xy xy xy xyxy ++++++===+.由基本不等式有42x y =+…所以02xy <<（当且仅当22x y ==时，即2x =，1y =时，等号成立）.所以552xy…，5592222xy ++=…，所以()()121x y xy++的最小值为92.2010-2018年1．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x +=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2x f x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．4．C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b +=，所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2．又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号)，所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号)．解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b +=，所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号)．5．C 【解析】解法一由已知122b aa b ab ++==0,0a b >>，∴2b a =+≥ab ≥解法二 由题意知0,0a b >>，∴12a b =+≥ab ≥6．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b += (0,0a b >>)，43()()a b a b a b +=++=4377b aa b +++≥． 当且仅当43b aa b =时取等号． 7．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 8．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y yx =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =z xy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ，故选B.9．C 【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xy xy xy xy +=-≥=-=，当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy 有最小值1，将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C.10．C 【解析】Q 35x y xy +=，135y x +=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S，则22211S ab v S S a b a ba b===<=+++∵ a b <,∴ 2222ab a v aa b a =>=+,∴a v <<选A.12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x=图像如下图，由2log x= m ，得122,2m mx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mm m m mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ，min()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab ，因为22)()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b ；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a bb +<，综上可得2a b a ab b +<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4ab =，52a b +=，所以2a ba ab b+<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时222a b ab +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b ab +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >，∴0b a >，0ba >，∴22b a b a a b a b +⋅=≥，D 正确．15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824a b b b --+=+=⨯=≥，当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立．16．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤；当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥． 综上，a 的取值范围是1[,2]8．17．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =，24b =时取等号. 18．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥．当且仅当4b a a b =，即4b =，2a =时等号成立． 19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立．20．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题，由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <，因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题．21．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x +∈①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去）②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则 |4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞． 22．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN 上，由2225050x yx y-+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M，(5,5)N--，所以P点横坐标的取值范围为[-．23．【解析】24a b=+++92+≤9418a b=+++=．当且仅当13a b+=+且5a b+=，即73,22a b==时等号成立．24．【解析】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为00x y>>，，所以，22222242(2)222x y y x x yx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=，当且仅当x=时，(2)x y y x⊗+⊗．25．【解析】由0a b c++=得，a b c=--，则2222()2a b c b c bc=--=++()2222222b c b c b c+++=+≤，又2221a b c++=，所以232a≤，解得a，故a的最大值为．26．－1【解析】设|2|a b+最大，则必须,a b同号，因为22224463()2a ba b ab c ab c+++=++≤，故有2(2)4a b c+≤，22()2a bc+≥，当且仅当2a b=时取等号，此时2c b=，所以124a b c++=2244114()112b b b+=+--≥．27．－2【解析】设2a b t+=，则2a t b=-，因为224240a ab b c-+-=，所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ，当2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c =222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立．28．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v ==⨯++，当且仅当11v = 时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v ==⨯++，当且仅当10v =时等号成立． 20001900100-=．29．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b ++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b +取得最小值时，2a =-．30．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+≥=， 当且仅当4a x x =，即3x ==，解得36a =．31．【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤，∴24()3x y +≤，3x y +≤． 32．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x ++≥+=．33．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥⇒≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab ++==≥，命题⑤正确．。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题08 数列 Word版原卷版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T 10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =ann .(1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n2,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{an 2n }的前n 项和. 49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{a n n }是等差数列;(2)设b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n . 51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.(1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{12n -12n+1}的前n 项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13.(1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-an 2;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。
十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)
专题09立体几何历年考题细目表质17解答题2013垂直关系的判定与性质2013年北京文科17解答题2012垂直关系的判定与性质2012年北京文科16解答题2011空间角与空间距离2011年北京文科17解答题2010垂直关系的判定与性质2010年北京文科17历年高考真题汇编1．【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC,CD，PC＝3，PD＝2,可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知:该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD,PD．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．4．【2013年北京文科08】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有（)A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长｜AB｜＝3,则A（3,0，0），B（3，3，0），C（0,3,0），D（0,0，0），A1（3，0，3），B1（3，3,3）,C1（0,3,3）,D1（0，0,3)，∴（﹣3，﹣3，3），设P（x,y,z)，∵(﹣1，﹣1,1）,∴（2，2,1）．∴｜PA|＝｜PC|＝|PB1|，｜PD｜＝｜PA1|＝｜PC1｜，|PB｜，|PD1｜．故P到各顶点的距离的不同取值有,3,，共4个．故选：B．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4,底边长为5，如图，所以S底10，S后,S右10，S左6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故选：B．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16,棱锥的高为2,故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：4,故棱锥的表面积为：16+16,故选：B．7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧(左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为( )A．B．C．D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选:C．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点,动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零）,则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关,与x无关【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D 的距离,此距离只与x有关，因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l,那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V．故答案为：40．10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α,l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解:由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S(1+2）×1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE ⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中,BD，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°,求证:平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形,∴BD⊥PA,BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°,∴AB⊥AE，PA⊥AE,∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解:（Ⅲ)棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下:取AB中点G,连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G,AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E,F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD,E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD,在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD,即有AB⊥PA,PA⊥PG;同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC,由DE∥BC，DE BC,可得DE＝FH,DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形,EF⊄平面PCD,DH⊂平面PCD,即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD;（2)求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2)证明：由AB＝BC,D为线段AC的中点,由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点,可得E为PC的中点，且DE PA＝1,由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,可得S△BDC S△ABC2×2＝1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC1×1．17．【2016年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明:∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC,∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC;（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C,∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O,M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证:平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O,M分别为AB,VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC;（2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC,∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB,∴V C﹣VAB•S△VAB，∴V V﹣ABC＝V C﹣VAB．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1,E、F分别为A1C1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：(1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1,∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC,∴AB，∴V E﹣ABC S△ABC•AA1（1)×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F 分别是CD和PC的中点,求证：(Ⅰ）PA⊥底面ABCD;(Ⅱ)BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC 的中点，故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD．(Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中,∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD,如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D,E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC,又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC,∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图,分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC,∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C,又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．22．【2011年北京文科17】如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC,BC,PB的中点．(Ⅰ）求证:DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形;(Ⅲ)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：(Ⅰ）∵D,E分别为AP,AC的中点，∴DE∥PC,∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E,F,G分别为AP，AC，BC,PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形,∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．(Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q,且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE＝EF＝1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE;(Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1,AG AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．(Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG,EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC,所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积,空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质,立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离)等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在正方体中, 1AD与BD所成的角为( ）A．45?B．90C．60D．120【答案】C【解析】如图,连结BC1、BD和DC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面 去截正方体,在截面边数最多时的所有多边形中,多边形截面的面积为S，周长为l，则( ）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值【答案】C【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：与面1A BD平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得2EF=，2∴六边形的周长l为定值32．∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形,周长与面积不变，故S与l均为定值，故选C.3．在四面体P ABC-中，ABCPA=,4∆为等边三角形，边长为3，3PC=，PB=，5则四面体P ABC-的体积为（）A．3B．23C．11D．10【答案】C【解析】如图,延长CA至D，使得3AD=，连接,DB PD，因为，故ADB∆为等腰三角形，又，故，所以即,故CB DB⊥，因为，所以，所以CB PB⊥，因，DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD,所以，因A为DC的中点，所以，因为，故PDC∆为直角三角形,所以,又，而4∆为直角三角形，PB=,故即PBD所以,所以，故选C。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：不等式
A.-15 B.-9
C.1 D.9
3x + 2y-6 ≤ 0,
8.(2017·全国 3·文 T5)设 x,y 满足约束条件 x ≥ 0,
则 z=x-y 的取值范围是( )
y ≥ 0,
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3] x + 3y ≤ 3,
9.(2017·全国 1·文 T7)设 x,y 满足约束条件 x-y ≥ 1, 则 z=x+y 的最大值为( ) y ≥ 0,
A.对任意实数 a,(2,1)∈A
B.对任意实数 a,(2,1)∉A
C.当且仅当 a<0 时,(2,1)∉A
D.当且仅当 a≤ 时,(2,1)∉A
1
2x + 3y-3 ≤ 0,
7.(2017·全国 2·理 T5 文 T7)设 x,y 满足约束条件 2x-3y + 3 ≥ 0,则 z=2x+y 的最小值是( ) y + 3 ≥ 0,
十年（2010—2019）数学高考真题分类汇编
不等式
1.(2019·全国 1·理 T4 文 T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之
√5-1 √5-1
比是 2 （ 2 ≈0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽
√5-1
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖
A.√2 B.2 C.2√2 D.4
x + y-2 ≤ 0, 19.(2015·重庆·文 T10)若不等式组 x + 2y-2 ≥ 0,表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则 m 的值为
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题09 不等式
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题09不等式1.(2019·全国1·理T4文T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12（√5-12≈0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm【答案】B【解析】设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,则26x≈√5-12,得x≈42.07,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B. 2.(2019·全国2·理T6)若a>b,则( ) A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a 3-b 3>0 D.|a|>|b|【答案】C【解析】取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除A;∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除B;∵y=x 3是增函数,a>b,∴a 3>b 3,故C 正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C.3.(2019·天津·理T2文T2)设变量x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -y +2≥0,x ≥-1,y ≥-1,则目标函数z=-4x+y 的最大值为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C【解析】由{x =-1,x -y +2=0,得A(-1,1).∴z max =-4×(-1)+1=5.故选C.4.(2019·浙江·T 3)若实数x,y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12【答案】C【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y 经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y 取得最大值z max =3×2+2×2=10.5.(2018·天津·理T2文T2)设变量x,y 满足约束条件{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为 ( )A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】作出不等式组{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示.由{x +y =5,-x +y =1,解得点A 的坐标为(2,3). 由z=3x+5y,得y=-3x+z .由图可知,当直线y=-35x+z 5过点A 时,z 5最大,即z 最大.所以z 的最大值z max =3×2+5×3=21. 6.(2018·北京·理T8文T8)设集合A={(x,y)|x-y ≥1,ax+y>4,x-ay ≤2},则( ) A.对任意实数a,(2,1)∈A B.对任意实数a,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤ 时,(2,1)∉A【答案】D【解析】若(2,1)∈A,则有{2-1≥1,2a +1>4,2-a ≤2,化简得{a >32,a ≥0.即a>32. 所以当且仅当a≤32时,(2,1)∉A,故选D.7.(2017·全国2·理T5文T7)设x,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.9 【答案】A【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y 的几何意义,可得z 在点B(-6,-3)处取得最小值,即z min =-12-3=-15,故选A.8.(2017·全国3·文T5)设x,y 满足约束条件 {3x +2y -6≤0,x ≥0,y ≥0,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.9.(2017·全国1·文T7)设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A(3,0),故z max=3+0=3.10.(2016·北京·理T2)若x,y满足{2x-y≤0,x+y≤3,x≥0,则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.由{2x -y =0,x +y =3,可得P 点坐标为(1,2),故z max =2×1+2=4. 11.(2016·天津·理T2)设变量x,y 满足约束条件{x -y +2≥0,2x +3y -6≥0,3x +2y -9≤0,则目标函数z=2x+5y 的最小值为 ( )A.-4B.6C.10D.17【答案】B【解析】如图,作出变量x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC 及其内部,点A,B,C 的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y 变形为y=-25x+z5,可知当y=-25x+z5经过点B 时,z 取最小值6.故选B.12.(2016·山东·理T4文T4)若变量x,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12 【答案】C【解析】如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x 2+y 2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.13.(2016·浙江·理T3)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域{x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )A.2√2B.4C.3√2D.6【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形.又D(2,-2),C(-1,1),所以14.(2016·浙江·文T4)若平面区域{x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.3√55B.√2 C.3√22D.√5【答案】B【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. ∵两平行直线的斜率为1,∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直.∴两平行线间的最短距离是AB的长度.由{x +y -3=0,x -2y +3=0,得A(1,2), 由{x +y -3=0,2x -y -3=0,得B(2,1). ∴|AB|=√(1-2)2+(2-1)2=√2,故选B.15.(2015·浙江·文T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 【答案】B【解析】不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6, 选项A,ax+by+cz=4+10+18=32; 选项B,az+by+cx=12+10+6=28; 选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29; 选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B.16.(2015·陕西·理T9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab ),q=f (a+b2),r=12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q【答案】B【解析】因为0<a<b,所以a+b2>√ab . 又因为f(x)=ln x 在(0,+∞)上单调递增, 所以f (a+b2)>f(√ab ),即p<q.而r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b) =12ln(ab)=ln √ab , 所以r=p,故p=r<q.选B.17.(2015·福建·理T5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C【解析】∵直线x a +y b =1过点(1,1),∴1a +1b =1.又a,b 均大于0,∴a+b=(a+b)(1a +1b )=1+1+b a +a b ≥2+2√b a ·ab =2+2=4.故选C.18.(2015·湖南·文T7)若实数a,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( ) A.√2B.2C.2√2D.4【答案】C【解析】由已知1a+2b=√ab ,可知a,b 同号,且均大于0. 由√ab =1+2≥2√2,得ab≥2√2.即当且仅当1a =2b ,即b=2a 时等号成立,故选C.19.(2015·重庆·文T10)若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.-3B.1C. 43D.3【答案】B【解析】如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m ≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC. 由{x +y -2=0,x +2y -2=0,解得{x =2,y =0,则A(2,0).由{x +y -2=0,x -y +2m =0,解得{x =1-m ,y =1+m ,则B(1-m,1+m). 同理C (2-4m3,2+2m3),M(-2m,0).因为S △ABC =S △ABM -S △ACM =12·(2+2m)·[(1+m )-2+2m3]=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).20.(2015·山东·理T6)已知x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-3【答案】B【解析】由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示. 线性目标函数z=ax+y, 即y=-ax+z. 设直线l 0:ax+y=0.当-a ≥1,即a ≤-1时,l 0过O(0,0)时,z 取得最大值,z max =0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a ≤0时,l 0过B(1,1)时,z 取得最大值,z max =a+1=4,∴a=3(舍去); 当-1<-a<0时,即0<a<1时,l 0过B(1,1)时,z 取得最大值,z max =2a+1=4,∴a=32(舍去); 当-a ≤-1,即a ≥1时,l 0过A(2,0)时,z 取得最大值,z max =2a+0=4,∴a=2. 综上,a=2符合题意.21.(2015·福建·文T10)变量x,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -2y +2≥0,mx -y ≤0,若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于( ) A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】作出可行域,如图所示.作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2), 由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.22.(2015·陕西·理T10文T11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,获利z 元.则由题意知{3x +2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值. 由{3x +2y =12,x +2y =8,解得{x =2,y =3.得点B(2,3).故利润函数的最大值为z max =3×2+4×3=18(万元).故选D.23.(2014·全国1·理T9)不等式组{x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D,有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y ≥-2,p 2:∃(x,y)∈D,x+2y ≥2, p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1, 其中的真命题是( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 1,p 4 D.p 1,p 3【答案】B【解析】画出可行域如图阴影部分所示.作直线l 0:y=-12x,平移l 0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y 取最小值,此时(x+2y)min =0.故p 1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p 2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.24.(2014·全国1·文T11)设x,y 满足约束条件{x +y ≥a ,x -y ≤-1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-3【答案】B【解析】当a=0时显然不满足题意.当a ≥1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),又z=x+ay,所以y=-1a x+1a z,因此当直线y=-1a x+1a z 经过可行域中的A (a -12,a+12)时,z 取最小值,于是a -12+a·a+12=7,解得a=3(a=-5舍去);当0<a<1时,画出可行域(如图(2)所示的阴影部分),显然直线y=-1a x+1a z 在y 轴上的截距没有最小值,不合题意;当a<0时,画出可行域(如图(3)所示的阴影部分), 又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,显然直线y=-1ax+1az 在y 轴上的截距没有最大值,即z 没有最小值,不合题意.综上,a 的值为3,故选B.25.(2014·北京·理T6)若x,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( )A.2B.-2C.12D.-12【答案】D【解析】如图,作出{x +y -2≥0,y ≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时,对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z 的几何意义为,目标图(3)函数对应直线x-y+z=0在x 轴上的截距的相反数,故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.26.(2014·重庆·文T9)若log 4(3a+4b)=log 2√ab ,则a+b 的最小值是( ) A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3【答案】D【解析】由log 4(3a+4b)=log 2√ab ,得1log 2(3a+4b)=1log 2(ab),所以3a+4b=ab,即3+4=1.所以a+b=(a+b)(3b +4a )=3a b +4b a +7≥4√3+7,当且仅当3a b =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D.27.(2014·福建·文T9)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 【答案】C【解析】设容器的底长x m,宽y m,则xy=4. 所以y=4x,则总造价为f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x +20x =20(x +4x )+80,x ∈(0,+∞).所以f(x)≥20×2√x ·4+80=160, 当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立, 所以最低总造价是160元.故选C.28.(2014·四川·理T4)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.ac >bdB.a c <bdC.a d >bcD.a d <bc【答案】D【解析】∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<1-c <1-d , 即1-d>1-c >0.又∵a>b>0,∴a -d>b -c .∴ad<bc.29.(2014·大纲全国·文T3)不等式组{x (x +2)>0,|x |<1的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1} 【答案】C【解析】由{x (x +2)>0,|x |<1,得{x <-2或x >0,-1<x <1,所以0<x<1.因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.30.(2014·浙江·文T7)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c>9【答案】C【解析】由于f(-1)=f(-2)=f(-3),所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c. 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得3a-b=7,由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c, 整理得5a-b=19,由{3a -b =7,5a -b =19,解得{a =6,b =11.于是f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6, 又因为0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3, 因此0<c-6≤3,解得6<c ≤9,故选C.31.(2014·全国2·理T9)设x,y 满足约束条件{x +y -7≤0,x -3y +1≤0,3x -y -5≥0,则z=2x-y 的最大值为( )A.10B.8C.3D.2【答案】B【解析】线性目标函数z=2x-y 满足的可行域如图所示.将直线l 0:y=2x 平行移动,当直线l 0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z 在y 轴上的截距最小,也就是z 取最大值,此时z max =2×5-2=8.32.(2014·全国2·文T9)设x,y 满足约束条件{x +y -1≥0,x -y -1≤0,x -3y +3≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.8B.7C.2D.1 【答案】B【解析】画出可行域如图所示, 作直线l 0:y=-12x,平移直线l 0,当直线过点A(3,2)时,使得z 最大,此时,z max =3+2×2=7.故选B.33.(2013·重庆·文T7)关于x 的不等式x 2-2ax-8a 2<0(a>0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a=( ) A.52 B.72C.154D.152【答案】A【解析】∵由x 2-2ax-8a 2<0(a>0), 得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a, ∴x 1=-2a,x 2=4a.∵x 2-x 1=4a-(-2a)=6a=15, ∴a=156=52.故选A.34.(2013·全国2·文T3)设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-3【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分所示.由z=2x-3y,得y=23x-13z,作直线l 0:y=23x,平移直线l 0,数形结合知直线过点C(3,4)时,z 取最小值,z min =2×3-3×4=-6.35.(2013·全国2·理T9)已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】由题意作出{x ≥1,x +y ≤3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1), 结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.36.(2013·湖北·文T9)某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 【答案】C【解析】设需A,B 型车分别为x,y 辆(x,y ∈N),则x,y 需满足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z,则z=1 600x+2400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36 800,故选C.37.(2012·全国·文T5)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1-√3,2) B.(0,2) C.(√3-1,2) D.(0,1+√3)【答案】A【解析】由顶点C 在第一象限且与A,B 构成正三角形可求得点C 坐标为(1+√3,2),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z 过点C 时z 取到最小值,此时z min =1-√3,当y=x+z 过点B 时z 取到最大值,此时z max =2,综合可知z 的取值范围为(1-√3,2).38.(2010·全国·文T11)已知▱ABCD 的三个顶点为A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在▱ABCD 的内部,则z=2x-5y 的取值范围是( ) A.(-14,16) B.(-14,20) C.(-12,18) D.(-12,20) 【答案】B【解析】画出可行域及直线y=25x,当直线y=2x5−z5经过点(3,4)时,z 最小,z min =-14,当直线y=2x5−z5经过点(0,-4)时,z 最大,z max =20,因此z 的取值范围是(-14,20).39.(2019·天津·文T10)设x ∈R,使不等式3x 2+x-2<0成立的x 的取值范围为_____________. 【答案】（-1,23）【解析】由3x 2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.解得-1<x<23.满足题意的x 的取值范围是（-1,23）.40.(2019·天津·文T13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为_____________.【答案】92【解析】(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy =2+5xy. ∵x+2y=4,∴4≥2√2xy , ∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy ≥2+52=92.41.(2019·天津·理T13)设x>0,y>0,x+2y=5,则xy的最小值为____________.【答案】4√3 【解析】xy=xy=xy =2√xy xy≥2·√2√xy ·6xy=4√3.当且仅当√xy =xy,即xy=3时等号成立.42.(2019·全国2·文T13)若变量x,y 满足约束条件{2x +3y -6≥0,x +y -3≤0,y -2≤0,则z=3x-y 的最大值是 .【答案】9【解析】画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y 表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z 取得最大值9.43.(2018·天津·理T13文T13)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b 的最小值为_____________.【答案】14【解析】∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a +18b =2a +2-3b≥2√2a ·2-3b=2√2a -3b =2-6=2×2-3=14,当且仅当{a =-3b ,a -3b +6=0,即{a =-3,b =1时等号成立.44.(2018·江苏·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 . 【答案】9【解析】由题意可知,S △ABC =S △ABD +S △BCD .由角平分线的性质和三角形面积公式得12acsin 120°=12a×1×sin 60°+1c×1×sin 60°,化简得ac=a+c,1+1=1.因此4a+c=(4a+c)(1+1)=5+c+4a≥5+2√c·4a=9, 当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c 的最小值为9.45.(2018·全国1·理T13文T14)若x,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y 的最大值为 .【答案】6【解析】作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z, 作直线y=-32x 并向上平移,显然l 过点B(2,0)时,z 取最大值,z max =3×2+0=6.46.(2018·全国2·理T14文T14)若x,y 满足约束条件{x +2y -5≥0,x -2y +3≥0,x -5≤0.则z=x+y 的最大值为 .【答案】9【解析】由题意,作出可行域如图.要使z=x+y 取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,z max =9.47.(2018·全国3·文T15)若变量x,y 满足约束条件 {2x +y +3≥0,x -2y +4≥0,x -2≤0,则z=x+13y 的最大值是 .【答案】3【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示. 又z=x+13y ⇒y=-3x+3z,∴当过点B(2,3)时,z max =2+13×3=3.48.(2018·北京·理T12文T13)若x,y 满足x+1≤y ≤2x,则2y-x 的最小值是 . 【答案】3【解析】由条件得{x +1≤y ,y ≤2x ,x +1≤2x ,即{x +1≤y ,y ≤2x ,x ≥1.作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示. 由{x +1=y ,y =2x ,得A(1,2). 令z=2y-x,即y=12x+12z.平移直线y=12x,当直线过A(1,2)时,12z 最小, ∴z min =2×2-1=3.49.(2018·浙江·T12)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .【答案】-2 8【解析】画出可行域,如图阴影部分所示. 由z=x+3y,可知y=-13x+z 3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点C 时,z 取得最小值. 由{y =x ,2x +y =6,得{x =2,y =2,即B(2,2),此时z 最大=2+3×2=8,由{2x +y =6,x +y =2,得{x =4,y =-2,即C(4,-2),此时z 最小=4+3×(-2)=-2.50.(2017·全国3·理T13)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥0,则z=3x-4y 的最小值为 .【答案】-1【解析】画出不等式组表示的可行域,如图,由z=3x-4y,得y=34x-14z,平移直线y=34x,易知经过A(1,1)时,z 有最小值,z min =3×1-4×1=-1.51.(2017·全国1·理T14)设x,y 满足约束条件 {x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为 .【答案】-5【解析】不等式组{x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0表示的平面区域如图所示.由z=3x-2y,得y=32x-z 2.数形结合知当直线y=32x-z2过图中 点A 时,纵截距最大.由{2x +y =-1,x +2y =1,解得A 点坐标为(-1,1), 此时z 取得最小值为3×(-1)-2×1=-5.52.(2017·江苏·T10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x ×6=4(x +900x )≥4×2√900=240,当且仅当x=900x ,即x=30时等号成立.53.(2017·天津·理T12文T13)若a,b ∈R,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.【答案】4【解析】∵a,b ∈R,且ab>0,∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥4, 当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=√22,b 2=√24时取等号. 54.(2017·山东·文T12)若直线xa +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . 【答案】8【解析】∵直线x a +y b =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a +2b )=4+(ba +4ab )≥4+2√ba ·4ab =8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.55.(2016·全国3·理T13)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为______________.【答案】32【解析】作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.因为z=x+y,所以y=-x+z.作直线y=-x 并平移,由图知,当直线经过点A (1,12)时,直线在y 轴上的截距最大,即z 取得最大值. 故z max =1+12=32.56.(2016·全国2·文T14)若x,y 满足约束条件 {x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为 .【答案】-5【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. 由z=x-2y,得y=1x-1z,故当直线y=1x-1z 过点A 时,-12z 最大,z 最小. 由{x -y +1=0,x =3,得A(3,4), 所以z 的最小值为3-2×4=-5.57.(2016·全国3·文T13)设x,y 满足约束条件 {2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x ≤1,则z=2x+3y-5的最小值为 .【答案】-10【解析】满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).∵z=2x+3y-5,∴y=-2x3+5+z3. 作直线y=-23x,并在可行域内移动, 当直线经过点B 时,直线在y 轴上的 截距最小,即z 最小.故z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10.58.(2016·全国1·理T16文T16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000【解析】设生产产品A x 件,生产产品B y 件, 由题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N .目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示), 作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z 取最大值, 由{5x +3y =600,10x +3y =900,解得{x =60,y =100,所以z max =2 100×60+900×100=216 000.59.(2015·全国2·理T14)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为_______________.【答案】32【解析】由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x -2y =0,x +2y -2=0,得B (1,12).∴z max =12+1=32.60.(2015·全国2·文T14)若x,y 满足约束条件{x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则z=2x+y 的最大值为 .【答案】8【解析】如图所示,可行域为阴影部分.由可行域可知,目标函数z=2x+y 过点B 取得最大值.联立{x +y -5=0,x -2y +1=0,解得{x =3,y =2,则B(3,2),故z max =6+2=8.61.(2015·全国1·文T15)若x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .【答案】4【解析】画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由 {x -2y +1=0,x +y -2=0解得{x =1,y =1,即点A 的坐标为(1,1). 由z=3x+y,得y=-3x+z. 作出直线l 0:y=-3x,并平移,当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大.所以z max =3×1+1=4.62.(2015·重庆·文T14)设a,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为________________. 【答案】3√2【解析】因为a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y ,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y)=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 63.(2015·江苏·理T7)不等式2x 2-x<4的解集为 .【答案】{x|-1<x<2}(或(-1,2))【解析】2x 2-x<4,即2x2-x<22,所以x 2-x<2,即x 2-x-2<0,解得-1<x<2,故不等式的解集为{x|-1<x<2}(或(-1,2)).64.(2015·广东·文T11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 【答案】(-4,1)【解析】不等式可化为x 2+3x-4<0,解得-4<x<1.65.(2015·全国1·理T15)若x,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .【答案】3【解析】画出约束条件对应的平面区域(如图),点A 为(1,3),要使y x 最大,则y -0x -0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A 时,(yx )max=3-01-0=3.66.(2014·安徽·文T13)不等式组{x +y -2≥0,x +2y -4≤0,x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为 .【答案】4【解析】画出可行域,如图阴影区域△ABC(包括边界),易得B(2,0),C(0,2),D(4,0),由{x +3y -2=0,x +2y -4=0,解得A(8,-2), ∴S △ABC =S △CBD +S △ABD =12×2×2+12×2×2=4.67.(2014·江苏·理T10)已知函数f(x)=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围是 .【答案】-√22<m<0 【解析】根据题意,得{f (m )=m 2+m 2-1<0,f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)-1<0,∴{m 2<12,2m 2+3m <0.∴{-√22<m <√22,-32<m <0.解得-√22<m<0.68.(2014·湖南·文T13)若关于x 的不等式|ax-2|<3的解集 为{x |-53<x <13},则a= . 【答案】-3【解析】由|ax-2|<3,得-1<ax<5.若a≥0,显然不符合题意,当a<0时,解得5a <x<-1a ,故-1a =13,5a =-53,解得a=-3. 69.(2013·广东·理T9)不等式x 2+x-2<0的解集为 . 【答案】{x|-2<x<1}【解析】x 2+x-2<0即(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故原不等式的解集为{x|-2<x<1}.70.(2013·全国1·文T14)设x,y 满足约束条件 {1≤x ≤3,-1≤x -y ≤0,则z=2x-y 的最大值为 .【答案】3【解析】画出可行域如图所示.画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z 取最大值,且最大 值为z=2×3-3=3.71.(2012·全国·理T14)设x,y 满足约束条件{x -y ≥-1,x +y ≤3,x ≥0,y ≥0,则z=x-2y 的取值范围为 .【答案】[-3,3]【解析】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x-2y=0,在可行域内平移知过点A 时,z=x-2y 取得最大值,过点B 时,z=x-2y 取得最小值.由{x -y +1=0,x +y -3=0,得B 点坐标为(1,2), 由{y =0,x +y -3=0,得A 点坐标为(3,0). ∴z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3. ∴z ∈[-3,3].72.(2011·全国·文T14)若变量x,y 满足约束条件{3≤2x +y ≤9,6≤x -y ≤9,则z=x+2y 的最小值为 .【答案】-6【解析】由约束条件作出可行域如图所示,知z=x+2y 在点A 处取得最小值.由{2x +y =3,x -y =9,解得{x =4,y =-5.∴z min =4-10=-6.。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：三角函数
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
43.(2014·大纲全国·文 T2)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( )
4
3
3
4
A.5
B.5
C.-5
D.-5
44.(2014·全国 1·理 T8)设 α∈
0,
π 2
,β∈
0,
π 2
,且 tan
1+sin2
段上,角 α 以 Ox 为始边,OP 为终边.若 tan α<cosα<sin α,则 P 所在的圆弧是( )
A.
B. C. D.
8.(2018·全国 1·文 T11)已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点
2
A(1,a),B(2,b),且 cos 2α=3,则|a-b|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1
1
37.(2015·重庆·文 T6)若 tan α=3,tan(α+β)=2,则 tan β=( )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D.6
2π
38.(2015·安徽·理 T10)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π,当 x= 3
5π
11π
18.(2017·天津·T7)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ|<π,若 f 8 =2,f 8 =0,且 f(x)
的最小正周期大于 2π,则( )
2
π
2
(2010-2019)高考数学真题分类汇编 集合 理(含解析)
历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|x}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴A∩B＝{x|2＜x或x＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x＝5时，y＝1，2，3，4，x＝4时，y＝1，2，3，x＝3时，y＝1，2，x＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{x∈R||x|≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{x∈R||x|≤2，}＝{x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C. 3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =（ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3)D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]UA =-∞，所以()U A B =(]1,2，故选B.5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2yx 有2个交点，故A B ⋂的子集有4个.6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1RM x x =≤-或3}x ≥又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B =( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-.故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R（ ） A ．{}1,0- B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x1|2R C Bx x即(){1,0}R A C B故选A 。
2010-2019“十年高考”数学真题 不等式选讲专题(附详细答案解析 可下载)
2010-2019“十年高考”数学真题不等式选讲专题（附详细答案解析）1.（2019全国II 文23）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.（2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----.所以，a 的取值范围是[1,)+∞.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3)≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.3.（2019全国III 文23）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．4.（2018全国卷Ⅰ）[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立，等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．5.（2018全国卷Ⅱ）[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．（1）当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；（2）若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】（1）当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．（2）()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由42≥+a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．6.（2018全国卷Ⅲ）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．7.（2018江苏）[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．8.（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -<≤．所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．9.（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．10.（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】（1）()22113123>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x ,,x ,x f ，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤.当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．。
2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx
A．1
B．2
C．3
D．4
31（. 2017Ⅲ理 1）已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ，B = (x, y) y = x ，则 A I B 中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
32.（2018Ⅰ文 1）已知集合 A = 0，2 ， B = -2，-1，0，1，2 ，则 A I B = ( )
A．（-14，16）
B．（-14，20）
C．（-12，18）
D．（-12，20）
x-3 2.（2010Ⅱ文 2）不等式 0 的解集为( )
x+2
A．{x｜-2< x<3} B．{ x｜x<-2}
C．{ x｜x<-2,或 x>3} D．{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5
理
3）若变量
x，y
1.集合
1.（2010Ⅰ文理 1）已知集合 A = x | x 2，x R，B = x | x 4，x Z ,则 A I B ＝( )
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2.（2010Ⅱ文 1）设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则 CU A U B ＝( )
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．{0，1，2}
20.（2016Ⅰ文 1）设集合 A={1，3，5，7}，B＝{x| 2 x 5}，则 A∩B=( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
21.（2016Ⅰ理 1）设集合 A＝{x|x2－4x+3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则 A I B = ( )
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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题09不等式1.(2019·全国1·理T4文T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12（√5-12≈0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm2.(2019·全国2·理T6)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|3.(2019·天津·理T2文T2)设变量x,y满足约束条件{x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.64.(2019·浙江·T3)若实数x,y满足约束条件{x-3y+4≥0,3x-y-4≤0,x+y≥0,则z=3x+2y的最大值是( )A.-1B.1C.10D.125.(2018·天津·理T2文T2)设变量x,y满足约束条件{x+y≤5,2x-y≤4,-x+y≤1,y≥0,则目标函数z=3x+5y的最大值为 ( )A.6B.19C.21D.456.(2018·北京·理T8文T8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤ 时,(2,1)∉A7.(2017·全国2·理T5文T7)设x,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.98.(2017·全国3·文T5)设x,y 满足约束条件 {3x +2y -6≤0,x ≥0,y ≥0,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]9.(2017·全国1·文T7)设x,y 满足约束条件{x +3y ≤3,x -y ≥1,y ≥0,则z=x+y 的最大值为( )A.0B.1C.2D.310.(2016·北京·理T2)若x,y 满足{2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则2x+y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.511.(2016·天津·理T2)设变量x,y 满足约束条件{x -y +2≥0,2x +3y -6≥0,3x +2y -9≤0,则目标函数z=2x+5y 的最小值为 ( )A.-4B.6C.10D.1712.(2016·山东·理T4文T4)若变量x,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.1213.(2016·浙江·理T3)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影,由区域{x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( ) A.2√2B.4C.3√2D.614.(2016·浙江·文T4)若平面区域{x +y -3≥0,2x -y -3≤0,x -2y +3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.3√55 B.√2C.3√22D.√515.(2015·浙江·文T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz16.(2015·陕西·理T9)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(√ab ),q=f (a+b 2),r=12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>pD.p=r>q17.(2015·福建·理T5)若直线x a+y b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.518.(2015·湖南·文T7)若实数a,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( ) A.√2B.2C.2√2D.419.(2015·重庆·文T10)若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.-3B.1C. 43D.320.(2015·山东·理T6)已知x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-321.(2015·福建·文T10)变量x,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -2y +2≥0,mx -y ≤0,若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于( ) A.-2B.-1C.1D.222.(2015·陕西·理T10文T11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )B(吨)1 2 8A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元23.(2014·全国1·理T9)不等式组{x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D,有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y ≥-2,p 2:∃(x,y)∈D,x+2y ≥2, p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3,p 4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1, 其中的真命题是( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 1,p 4D.p 1,p 324.(2014·全国1·文T11)设x,y 满足约束条件{x +y ≥a ,x -y ≤-1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-325.(2014·北京·理T6)若x,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( )A.2B.-2C.12D.-1226.(2014·重庆·文T9)若log 4(3a+4b)=log 2√ab ,则a+b 的最小值是( ) A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3D.7+4√327.(2014·福建·文T9)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元28.(2014·四川·理T4)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.ac >bdB.a c <bdC.a d >bcD.a d <bc29.(2014·大纲全国·文T3)不等式组{x (x +2)>0,|x |<1的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}30.(2014·浙江·文T7)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c>931.(2014·全国2·理T9)设x,y 满足约束条件{x +y -7≤0,x -3y +1≤0,3x -y -5≥0,则z=2x-y 的最大值为( )A.10B.8C.3D.232.(2014·全国2·文T9)设x,y 满足约束条件{x +y -1≥0,x -y -1≤0,x -3y +3≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.8B.7C.2D.133.(2013·重庆·文T7)关于x 的不等式x 2-2ax-8a 2<0(a>0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a=( ) A.52B.72C.154D.15234.(2013·全国2·文T3)设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-335.(2013·全国2·理T9)已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.236.(2013·湖北·文T9)某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元37.(2012·全国·文T5)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1-√3,2) B.(0,2) C.(√3-1,2)D.(0,1+√3)38.(2010·全国·文T11)已知▱ABCD 的三个顶点为A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在▱ABCD 的内部,则z=2x-5y 的取值范围是( ) A.(-14,16) B.(-14,20) C.(-12,18) D.(-12,20)39.(2019·天津·文T10)设x ∈R,使不等式3x 2+x-2<0成立的x 的取值范围为_____________. 40.(2019·天津·文T13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为_____________.41.(2019·天津·理T13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为____________.42.(2019·全国2·文T13)若变量x,y 满足约束条件{2x +3y -6≥0,x +y -3≤0,y -2≤0,则z=3x-y 的最大值是.43.(2018·天津·理T13文T13)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b 的最小值为_____________.44.(2018·江苏·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 .45.(2018·全国1·理T13文T14)若x,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y 的最大值为.46.(2018·全国2·理T14文T14)若x,y 满足约束条件{x +2y -5≥0,x -2y +3≥0,x -5≤0.则z=x+y 的最大值为.47.(2018·全国3·文T15)若变量x,y 满足约束条件 {2x +y +3≥0,x -2y +4≥0,x -2≤0,则z=x+13y 的最大值是.48.(2018·北京·理T12文T13)若x,y 满足x+1≤y ≤2x,则2y-x 的最小值是 .49.(2018·浙江·T12)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .50.(2017·全国3·理T13)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥0,则z=3x-4y 的最小值为.51.(2017·全国1·理T14)设x,y 满足约束条件 {x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为.52.(2017·江苏·T10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 53.(2017·天津·理T12文T13)若a,b ∈R,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为 .54.(2017·山东·文T12)若直线x a+y b=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .55.(2016·全国3·理T13)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为______________.56.(2016·全国2·文T14)若x,y 满足约束条件 {x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为.57.(2016·全国3·文T13)设x,y 满足约束条件 {2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x ≤1,则z=2x+3y-5的最小值为.58.(2016·全国1·理T16文T16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 59.(2015·全国2·理T14)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为_______________.60.(2015·全国2·文T14)若x,y 满足约束条件{x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则z=2x+y 的最大值为.61.(2015·全国1·文T15)若x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为.62.(2015·重庆·文T14)设a,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为________________. 63.(2015·江苏·理T7)不等式2x2-x<4的解集为 .64.(2015·广东·文T11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示)65.(2015·全国1·理T15)若x,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx 的最大值为 .66.(2014·安徽·文T13)不等式组{x +y -2≥0,x +2y -4≤0,x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为 .67.(2014·江苏·理T10)已知函数f(x)=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围是 .68.(2014·湖南·文T13)若关于x 的不等式|ax-2|<3的解集 为{x |-53<x <13},则a=.69.(2013·广东·理T9)不等式x 2+x-2<0的解集为 .70.(2013·全国1·文T14)设x,y 满足约束条件 {1≤x ≤3,-1≤x -y ≤0,则z=2x-y 的最大值为.71.(2012·全国·理T14)设x,y 满足约束条件{x -y ≥-1,x +y ≤3,x ≥0,y ≥0,则z=x-2y 的取值范围为.72.(2011·全国·文T14)若变量x,y 满足约束条件{3≤2x +y ≤9,6≤x -y ≤9,则z=x+2y 的最小值为.。