第2节〓与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第2讲与圆有关的位置关系一、【教学目标】1. 熟悉点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系，能够将半径与到圆心的距离与之对应．2. 了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念．3. 了解切线相关的概念，掌握切线长及切线长定理．二、【教学重难点】1.教学重点：直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、切线及切线长定理2.教学难点：灵活应用切线及切线长定理，易错题中对位置关系的全面分析三、【考点聚焦】考点一. 点和直线与圆的位置关系1．点与圆的位置关系(1).点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)不在同一直线上的三个点确定一个圆．（圆心怎么找）注意：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．(3).经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形（三角形三条边的垂直平分线的交点）.2．直线与圆的位置关系(1) r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：考点二. 切线及切线长定理3．圆的切线(1)定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点．(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．切线长定理(1)切线长定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．注意：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．注意：三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．6．三角形外心、内心有关知识比较考点三. 圆与圆的位置关系7．圆与圆的位置关系(其中R 、r 为两圆的半径，d 为圆心距)四、【典例分析】 题型1 点与圆的位置关系【示例一】如图，已知等边△ABC 的边长为cm 32，下列以A 为圆心的各圆中，半径是3cm 的圆是( )变式1 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，则⊙0的半径是______．题型2 切线（直线与圆的位置关系）【示例二】 如图，AB 为的⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，试说明：AC 平分∠DAB ．变式1 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，那么∠ACB ＝__________． 变式4 如图，PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是上任意一点，过C 作⊙O 的切线交PA 及PB 于D 、E 两点，若PA ＝PB ＝5cm ，则△PDE 的周长为________cm ．变式2 已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．试说明DC 是⊙O 的切线．变式3 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于C ．如果PA ＝4cm ，PD ＝2cm ，求半径OA 的长． 变式4 如图，D 是⊙O 直径AB 延长线上一点，PD 是⊙O 的切线，P 是切点，∠D ＝30°，线段PA 与PD 相等吗为什么 题型3圆与圆的位置关系【示例四】如图，两圆同心，半径分别为9cm 和5cm ，另有一个圆与这两圆都相切，则此圆半径为___________A ．2cmB ．7cmC ．2cm 或7cmD ．4cm变式1 两圆半径长分别是R 和r (R>r )，圆心距为d ，若关于x 的方程0)d R (rx 2x 22=-+-有两相等的实数根，则两圆的位置关系是_________A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切变式2 如图，施工工地的水平面上，有三根直径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．C．D．变式3 点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．变式4 若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．五、【课后习题】1.如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，下列结论：①BD＝CD＝DO；②∠ACO＝∠ABO；③∠BOD＝∠COD；④∠AOB＝∠CBO；⑤DO2=DF?DA；⑥OA＝OB＝OC．其中正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个2.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状．并说明理由．3. 如图,要在一个直角三角形的铁片上裁剪下一个图片，已知AB＝60cm，BC＝80cm，为了充分地利用这块铁片，使剪裁下来的图片的直径尽量大一些，应该怎样裁剪这个圆的最大直径是多少。
初二数学圆与圆的位置关系与性质
初二数学圆与圆的位置关系与性质初二数学：圆与圆的位置关系与性质圆是数学中的重要概念之一，而研究圆与圆之间的位置关系与性质，可以帮助我们更好地理解几何学中的基本概念和定理。
本文将介绍一些常见的圆与圆的位置关系，并解析它们的性质。
1. 相交关系圆与圆之间最常见的位置关系就是相交。
当两个圆相交时，它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。
我们可以分为两种情况来讨论：1.1 两个圆相交于两个点当两个圆相交于两个点时，我们称之为相交圆。
这两个点叫做相交圆的交点，要注意的是，相交圆的交点与圆心连线垂直。
1.2 一个圆包含另一个圆当一个圆完全包含另一个圆时，我们称之为内切圆。
此时，内切圆的圆心与外切圆的圆心与交点在一条直线上，而内切圆的半径小于外切圆的半径。
2. 相离关系除了相交关系，两个圆也可以相离，即它们的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
在这种情况下，我们称这两个圆为相离圆。
3. 共切关系当两个圆外切于一点时，我们称之为外切圆。
此时，外切圆的圆心与两个圆的圆心与交点在一条直线上，而外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
类似地，当两个圆内切于一点时，我们称之为内切圆。
此时，内切圆的圆心与两个圆的圆心与交点在一条直线上，而内切圆的半径等于两个圆的半径之差。
4. 同心圆当两个圆的圆心重合时，我们称这两个圆为同心圆。
此时，两个圆的半径可以不同，但半径越小的圆位于半径较大的圆内部。
通过研究圆与圆的位置关系，我们可以得出一些重要的性质：- 外切圆与相切圆的切点与圆心连线垂直；- 内切圆的半径小于外切圆的半径；- 内切圆的半径等于两个圆的半径之差；- 外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
总结起来，圆与圆的位置关系涉及相交、相离、内切、外切和同心等情况。
在解决相关问题时，我们可以根据这些位置关系和性质，运用相关定理，进行几何推导和计算。
初中数学中的几何学是数学的重要组成部分，圆与圆的位置关系与性质又是其中的重要内容。
通过深入研究与实践，可以提升我们的几何思维能力，并应用于实际问题中。
第1部分 第6章 第2节 与圆有关的位置关系
解点与圆、直线与圆的位置关系的问题时，未充
分考虑多种情况，出现漏解现象
一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为 9cm，则该
圆的半径为(
)
A．1.5cm
B．7.5cm
C．1.5cm 或 7.5cm
D．3cm 或 15cm
【错解】 A 【错因剖析】 对于这样的无图题，容易忽视多种情况，只画出 一个相应的图形，造成漏解． 【正解】 C
圆与圆的位置关系(拓展) 1．圆与圆位置关系的判断 设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 O1O2＝d.两圆外离⇔d＞R＋r； 两圆外切⇔d＝R＋r；两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r(R≥r)；两圆内切⇔d ＝R－r(R＞r)；两圆内含⇔0≤d＜R－r(R＞r)． 2．两圆相切、相交的有关性质 (1)相切两圆的连心线必经过⑯ 切点 ． (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
点与圆、直线与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系：如图，如果圆的半径是 r， 点到圆心的距离为 d，那么点在圆外⇔① d>r ，如点 A；点在圆上⇔② d＝r ，如点 B；点在圆内⇔③ d<r ， 如点 C.
2．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
示意图
d 与 r 的关系 d④ > r
交点的个数
没有交点
D．8 步
【解析】根据勾股定理得：斜边为 82＋152＝17，则该直角三角形 能容纳的圆形(内切圆)半径 r＝8＋152－17＝3(步)．
点与圆、直线与圆的位置关系(冷考) (注：安徽中考近五年未单独考查)
切线的判定与性质(常考) 1．(2018 安徽，12，5 分)如图，菱形 ABOC 的边 AB，
【解析】A 项：∵弦 PB 是⊙O 的直径时最长，此时∠BCP＝∠BAP ＝90°，∴∠ACP＝∠CAP＝30°，∴△APC 是等腰三角形．B 项： 若点 P 与点 B 不重合，当△APC 是等腰三角形时，△BPA≌△BPC， ∴∠BAP＝∠BCP＝90°，∠BPA＝∠BPC，∴PB 是⊙O 的直径，又 ∵∠BPA＝∠BPC 且 AP＝CP，∴PB⊥AC，即 PO⊥AC，若点 P 与点 B 重合，由于△ABC 是等边三角形，∴BO⊥AC，即 PO⊥AC.C 项： 当点 P 与点 B 重合时满足 PO⊥AC，但此时∠ACP＝60°.D 项：当 ∠ACP＝30°时，则∠BCP＝90°或∠PBC＝90°，∴△BPC 一定是 直角三角形．
与圆有关的位置关系
一、点和圆的位置关系1、如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．锐角三角形的外心在三角形内直角三角形的外心在斜边的中点钝角三角形的外心在三角形外4、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．直角三角形的内心公式：r＝（a＋b－c）/2（a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边）三角形的内心公式：r＝2s/l（s为三角形的面积，l为三角形的周长5、反证法(1)定义：从命题结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明命题成立，这种方法叫做反证法．(2)反证法证明命题的一般步骤①反设：作出与结论相反的假设；②归谬：由假设出发，利用学过的公理、定理推出矛盾；③作结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．二、直线和圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．3、切线切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．三、圆和圆的位置关系1)图示定义法(交点数)①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：(Ⅰ)没有公共点：(Ⅱ)有惟一公共点：(Ⅲ)有两个公共点：相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R和r(R＞r)，圆心距为d，则：(1)两圆外离d＞R＋r；(2)两圆外切d=R＋r；(3)两圆相交R－r＜d＜R＋r；(4)两圆内切d=R－r；(5)两圆内含d＜R－r．二、重难点知识归纳与圆有关的位置关系的判断是重点，切线的判定和性质是重点也是难点．三、典型例题剖析例1、如图，已知矩形ABCD中，AB=3cm AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，求⊙A的半径r的取值范围．解：∵矩形ABCD中，∠B=90°，AB=3cm，BC=AD=4cm，∴AC=5cm，其中点B到点A的距离最小，点C到点A的距离最大．若以AB为半径作圆，则没有点在⊙A内；若以AC为半径作圆，则没有点在⊙A外．故⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm．点拨：这里是由点与圆的位置确定半径r的大小．本例还要注意“至少”一词的理解．例2、阅读下列文字：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC．证明：假设AC=BC．∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B．∴AC≠BC，这与题设矛盾，∴AC≠BC．上面的证明有没有错误，若没有错误，指出其证明方法是什么？若有错误，请给予指正．解：有错误．改正如下：假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾．∴AC=BC不成立．∴AC≠BC．点拨：运用反证法证题应从“假设”出发，即把假设当作已知条件，一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论，从而判定“假设”不成立，进一步肯定命题的结论．例3、如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？解：以AB为直径的圆与CD是相切关系．理由如下：如图，过E作EF⊥CD，垂足为F．∵∠A=∠B=90°，∴EA⊥AD，EB⊥BC.∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴．∴以AB为直径的圆的圆心为E，且，∴以AB为直径的圆与边CD相切．点拨：在证明直线与圆的位置关系时，常过圆心向直线作垂线段，再比较垂线段与半径的大小即可．例4、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD(如图)．求证：DC是⊙O的切线．证明：连结OD．．．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°．∴OD⊥DC.∴DC是⊙O的切线．点拨：已知点B是切点，连结OB得OB⊥BC，要证CD是切线，也要连结OD，证OD ⊥CD，再沟通已知与未知的联系即可．例5、如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，DO、AE相交于点F，CO、BE相交于点G．求证：(1)CO⊥DO；(2)四边形EFOG是矩形．分析：(1)欲证CO⊥DO，只需证明∠ODC＋∠OCD=90°．根据切线长定理，得．再由切线的性质定理，不难得AD∥BC，从而∠ADC＋∠BCD=180°，(1)获证．(2)仍由切线长定理，可证AE⊥DO，BE⊥CO．而∠AEB=90°，(2)获证．证明：(1) ∵AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB．∴AD∥BC．∴∠ADC＋∠BCD=180°．又由切线长定理，得．∴∠ODC＋∠OCD=90°，即∠DOC=90°．故CO⊥DO．(2)∵DA、DE与⊙O相切于点A、E，∴DA=DE．∴AE⊥DO．∴∠EFO=90°．同理，∠EGO=90°．又∠DOC=90°，∴四边形EFOG是矩形．点评：在有关圆的问题，切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．例6、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，且R≥r，r是方程x2－6x＋3=0的两根．设O1O2=d，那么：①若d=7，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；②若，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；③若d=5，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；④若两圆相切，求d的值．解：∵R、r是方程x2－6x＋3=0的两根，∴R＋r=6，R·r=3．∴．(1)∵d=7，即d＞R＋r，∴两圆外离．(2)∵，即d＜R－r，∴两圆内含．(3)∵d=5，即R－r＜d＜R＋r，∴两圆相交．(4)要使⊙O1与⊙O2相切，则d=R＋r或d=R－r，∴d=6或时，两圆相切．点拨：由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知，应先分别求出R＋r、R－r，然后再比较d与R＋r、R－r的大小从而作出判断．例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上．(1)如图（1），AD是⊙O2的直径，连结DB，并延长交⊙O1于C．求证：CO2⊥AD．(2)如图（2），如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在的直线是否与AD垂直？证明你的结论．证明：(1)连结AB，则有∠AO2C=∠ABC=180°－∠ABD=90°，∴CO2⊥AD．(2)作直径AD1交⊙O2于D1，连结D1B并延长交⊙O1于C1．由第(1)问知：∠AO2C1=90°，∴∠AD1B＋∠BC1O2=90°．在⊙O2中，∠AD1B=∠ADB；在⊙O1中，∠BC1O2=∠BCO2．∴∠ADB＋∠BCO2=90°．∴CE⊥AD．点拨：解决此类问题，关键是要找出一般与特殊的关系，在图形变换中，要找出不变量四、圆内接多边形内接多边形：多边形的所有定点都在圆上内接四边形：在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形1、圆内接四边形的对角互补2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
2020-03-19 15:59:36
圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判断方法
一、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：
1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d＜R-r 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
5、d＜R+r 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：
1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
人教版中考数学考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
【分层分析】第一步，连接 OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠∠CACD，
进而得到B︵D＝BC︵DC；第二步：根据垂径定理得到
AD OD⊥BBCC；第三步：根据
平行线的性质得到 OD⊥DDFF，即可得到 DF 与⊙O 相切．
证明：连接 OD.∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD，∴B︵D＝
求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方 面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形． 若题中含有 30°，45°，60°或者三角函数值时，常考虑用三角函数求 解，若不含，常考虑用相似三角形求解．
解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC， ∴AABE＝BEDC，∴126 3＝4BD7，∴BD＝2 321.
55
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F. 求证：EF 是⊙O 的切线．
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
证明：由(1)知∠ADE＝∠PAE＝30°， ∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°. ∵∠AED＝∠PAE＋∠APE， ∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE.
(3)若 PE＝4，CD＝6，求 CE 的长．
以点 B 为圆心，BA 长为半径作⊙B，交 BD 于点 E. (1)试判断 CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由； 【分层分析】过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，由 AD∥BC 可得∠ADB＝∠∠CCBBDD， 由 CB＝CD 可得∠CDB＝∠∠CCBBDD，∴∠ADB＝∠∠C CDDB，B 因而利用角平分线性 质可得证，也可证△BDA≌△BDF 得出结论．
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
2-第二节 与圆有关的位置关系
度数为
(B )
A．50°
B.55°
C.60°
D.65°
上一页
目录
下一页
2021版 甘肃 数学
3. (2020·省卷第 26 题 8 分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，其切线 AE 与直径 BD 的延长线相交于点 E，且 AE＝AB. (1)求∠ACB 的度数； (2)若 DE＝2，求⊙O 的半径．
2 ∵OC⊥AB，∴△ACO 为直角三角形， ∴OA＝ OC2＋AC2＝ 22＋22＝2 2.
上一页
目录
下一页
2021版 甘肃 数学
5．(2018·省卷第 27 题 10 分)如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE＝EF. (1)求证：∠C＝90°； (2)当 BC＝3，sin A＝35时，求 AF 的长．
上一页
目录
下一页
2021版 甘肃 数学
(2)延长 DO 交 BC 于点 H，连接 OC，∵DE⊥AC 于点 E，∴∠DEA＝90°. ∵AB 绕点 A 旋转得到 AD，∴AB＝AD. 在△DEA 与△ABC 中， ∠DEA＝∠ACB， ∠DAE＝∠ABC，∴△DEA≌△ACB(AAS)， DA＝AB， ∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，∴AD＝AB＝ AC2＋BC2＝ 5. ∵O 为 AB 中点，∴AO＝12AB＝ 25，
∴△FGO∽△BGF，∴FG＝GO，∴FG2＝GO·GB. BG GF
上一页
目录
下一页
2021版 甘肃 数学
7．(2016·省卷第 27 题 10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 BC 上， BD＝DC，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，⊙O 经过 A，B，D 三点． (1)求证：AB 是⊙O 的直径； (2)判断 DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明； (3)若⊙O 的半径为 3，∠BAC＝60°，求 DE 的长．
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】对应训练考点二：切线的判定考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定例4 （攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切对应训练3．（黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A．内含B．内切C．相交D．外切【聚焦中考】1．（青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥62．（烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5.（滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．6．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．7．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB 与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．12．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．124．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含5．（重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm6．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径7．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC8．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND 的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题10．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．11．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．12．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．13．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．A=30°，AB=43．若动点D在线段18．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．三、解答题19．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．20．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．。
第2讲 与圆有关的位置关系
第2讲 与圆有关的位置关系模块一 点和圆的位置关系一、 点和圆的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.二、确定圆的条件：1. 经过已知一个点A 的圆有无数个，且圆心排列无规律。
2. 经过已知两个点A,B 的圆也有无数个，且圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上。
3. 经过不在同一条直线上的已知三个点A,B,C 的圆有且只有一个，圆心是连接任意两条线段的垂直平分线的交点。
三、三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．OA OB OC == 注意：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.OCB A例题1（1）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．练习：一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为．例题2小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块B．C．第③块D．第④块例题3若△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝24cm，则它的外接圆的直径．模块二直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：二、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一三、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．四、切线的判定方法1、定义法：圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2、距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3、定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．定义法 距离法 定理法五、切线长和切线长定理切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,PA PB OPA OPB =∠=∠六、三角形的内切圆三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的的内心。
圆与圆的位置关系是怎样的？
圆与圆的位置关系是怎样的？圆与圆的位置关系是怎样的，又有几种关系呢？不清楚的考生赶紧看过来，下面由小编为你精心准备了“圆与圆的位置关系是怎样的?”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!圆与圆的位置关系是怎样的?圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
一、圆与圆的位置关系的判断方法1、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d<R-R p 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
<>5、d<R+R p 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
<>2、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
二、扩展资料1、点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO>r。
②P在圆O上，则 PO=r。
③P在圆O内，则 PO<R。
< p>反之亦然。
平面内，点P(x0,y0)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系判断一般方法是：①如果(x0-a)²+(y0-b)²<R²，则P在圆内。
< p>②如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，则P在圆上。
③如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，则P在圆外。
2、直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
与圆有关的位置关系
第五章 圆第2节 与圆有关的位置关系课标导读1.探索并了解点与圆的位置关系，了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线；2.探索并证明切线长定理；3.知道三角形的内心和外心.课标解读典例1 【2016 宜昌】在公园的O 处附近有E 、F 、G 、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E ，F ，G ，H 四棵树中需要被移除的为（ ）A ．E 、F 、GB ．F 、G 、HC ．G 、H 、ED ．H 、E 、F【分析】 根据网格中两点间的距离分别求出，OE ，OF ，OG ，OH 然后和OA 比较大小．最后得到哪些树需要移除．此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内． 【解答】 解：∵OA=5212=+ ∴OE=2＜OA ，所以点E 在⊙O 内，OF=2＜OA ，所以点E 在⊙O 内， OG=1＜OA ，所以点E 在⊙O 内，OH=222222=+＞OA ，所以点E 在⊙O 外， 故选A.典例2【2018 宜昌】如图，直线AB 是⊙O 的切线，C 为切点， OD ⊙AB 交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，连接OC ，EC ，ED ， 则∠CED 的度数为（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45°【分析】 由切线的性质知∠OCB =90°，再根据平行线的性质得⊙COD =90°，最后由圆周角定理可得答案．本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．【解答】 解：∵直线AB 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴∠OCB =90°，∵OD ⊙AB ，∴∠COD =90°， ∴∠CED =12∠COD =45°，故选：D ． 典例3【2019仙桃】如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD ⊙OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接BD ．下列结论：⊙CD 是⊙O 的切线；⊙CO ⊙DB ；⊙⊙EDA ⊙⊙EBD ；⊙ED •BC ＝BO •BE ．其中正确结论的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】解：连结DO ．⊙AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，⊙⊙CBO ＝90°， ⊙AD ⊙OC ，⊙⊙DAO ＝⊙COB ，⊙ADO ＝⊙COD ． 又⊙OA ＝OD ，⊙⊙DAO ＝⊙ADO ，⊙⊙COD ＝⊙COB ．在⊙COD 和⊙COB 中，{CO =DO∠COD =∠COB OD =OB ，⊙⊙COD ⊙⊙COB （SAS ），⊙⊙CDO ＝⊙CBO ＝90°．又⊙点D 在⊙O 上，⊙CD 是⊙O 的切线；故⊙正确，⊙⊙COD ⊙⊙COB ，⊙CD ＝CB ，⊙OD ＝OB ， ⊙CO 垂直平分DB ，即CO ⊙DB ，故⊙正确； ⊙AB 为⊙O 的直径，DC 为⊙O 的切线，⊙⊙EDO ＝⊙ADB ＝90°，⊙⊙EDA +⊙ADO ＝⊙BDO +⊙ADO ＝90°， ⊙⊙ADE ＝⊙BDO ，⊙OD ＝OB ，⊙⊙ODB ＝⊙OBD ，⊙⊙EDA ＝⊙DBE ，⊙⊙E ＝⊙E ，⊙⊙EDA ⊙⊙EBD ，故⊙正确； ⊙⊙EDO ＝⊙EBC ＝90°，⊙E ＝⊙E ，⊙⊙EOD ⊙⊙ECB ， ⊙ED BE=OD BC，⊙OD ＝OB ，⊙ED •BC ＝BO •BE ，故⊙正确；【解答】A典例4【2018 舟山】 如图，量角器的O 度刻度线为AB ．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A 、D ，量得AD ＝10cm ，点D 在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为 cm ．【分析】 根据题意，抽象出数学图形，连接OC ，利用垂径定理解答即可. 【解答】 解：连接OC ，∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD ， ∵AD =10，∠DOB =60°，∴∠DAO =30°， ∴OE=335，OA =3310，∴CE=OC ﹣OE=OA ﹣OE =335， 故答案为：335.典例5【2019 南京】如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A +∠C ＝ ．【分析】 根据等腰三角形的性质得到B∠P AB ＝∠PBA ，由圆内接四边形的性质得到∠DAB +∠C ＝180°，于是得到结论． 【解答】 解：连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ， ∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12（180°﹣102°）＝39°， ∵∠DAB +∠C ＝180°，∴∠P AD +∠C ＝∠P AB +∠DAB+∠C ＝180°+39°＝219°， 故答案为：219°．典例6【2017 宜昌】已知，四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE =EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于点D ．B 点在⊙O 上，连接OB ． （1）求证：DE =OE ；（2）若CD ⊙AB ，求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】（1）根据切线的性质先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=⊙2即可得出结论； （2）先判断出△ABO ⊙△CDE 得出AB =CD ，即可判断出四边形ABCD 是平行四边形，最后得出CD =AD 即可．【解答】解：（1）如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ， ∴∠2+⊙3=⊙1+⊙COD =90°，⊙DE =EC ，⊙⊙1=⊙2，∴∠3=∠COD ， ∴DE =OE ；（2）∵OD =OE ，∴OD =DE =OE ，∴∠3=∠COD =∠DEO =60°，∴∠2=∠1=30°， ∵OA=OB =OE ，OE=DE=EC ， ∴OA=OB=DE=EC ， ∵AB ⊙CD ，∴∠4=⊙1， ⊙⊙1=⊙2=⊙4=⊙OBA =30°，∴△ABO ⊙△CDE ，∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAE =21∠DOE =30°，∴∠1=∠DAE ，∴CD =AD ， ∴▱ABCD 是菱形．典例7【2019 山东】 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是弧AC 的中点，E 为OD 延长线上一点，⊙CAE ＝2⊙C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若DH ＝9，tan C ＝34，求直径AB 的长．【分析】通过等弧得到相等的弦，接着得到相等的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，通过等量代换得到角度之间的关系，从而证明出切线；通过三角函数求得直角三角形的边，用勾股定理求出直径． 【解答】解：（1）∵D 是弧AC 的中点， ⊙AD ＝CD ⊙⊙DAC ＝⊙C⊙⊙CAE ＝⊙EAD ＋⊙DAC ，⊙CAE ＝2⊙C ， ⊙⊙EAD ＝⊙C ，⊙⊙C ＝⊙B ，⊙⊙B ＝⊙EAD ，⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ADB ＝90°，⊙⊙DAB ＋⊙B ＝90°， ⊙⊙EAD ＋⊙DAB ＝90°，⊙⊙EAO ＝90°，⊙AE 是⊙O 的切线； （2）在⊙ADH 中⊙ADH ＝90°， DH ＝9，⊙DAH ＝⊙C ，⊙tan⊙DAH ＝34DH AD =， ⊙934BD =，⊙AD ＝12， 在⊙BAD 中⊙ADB ＝90°，AD ＝12， ⊙tan⊙B ＝ tan⊙C ＝34，⊙tan⊙B ＝34AD BD =，⊙BD ＝16， ⊙⊙ADB ＝90°，⊙AB ＝2222121620AD BD +=+=．典例8【2018长沙】 如图，在⊙ABC 中，AD 是边BC 上的中线，⊙BAD ＝⊙CAD ，CE //AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BC ＝8，AD ＝3. （1）求CE 的长；（2）求证：⊙ABC 为等腰三角形；（3）求⊙ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离.C D H AEOBF【分析】（1）根据点A为BE中点，AD⊙CE，由平行线分线段成比例定理，可得AD＝2CE ＝6；（2）由⊙BAD＝⊙CAD，CE//AD可得⊙ACE＝⊙E，所以AC＝AE，又AB＝AE，所以AB＝AC；（3）连BP、P A，根据垂径定理求出外接圆半径R＝256，继而求出PD＝76，再根据等面积法，求出内切圆半径QD＝43，所以可得⊙ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5 2 .【解答】解：（1）⊙点D为BC中点，AD⊙CE⊙A为BE中点，⊙AD＝12 CE⊙AD＝3⊙CE＝6（2）⊙⊙BAD＝⊙CAD，CE//AD ，⊙⊙BAD＝⊙E，⊙ACE＝⊙CAD ⊙⊙ACE＝⊙E，⊙在⊙ACE中AC＝AE⊙AB＝AE，⊙AB＝AC，⊙⊙ABC为等腰三角形.（3）如图，连BP、P A，⊙AB＝AC＝5⊙P A⊙BC，BD＝CD＝4设⊙P半径为R，⊙Q半径为r在Rt⊙BDP中，R2－(R－3)2＝42⊙R＝256，⊙PD＝256－3＝76在⊙ABC中用等面积法，连BQ、CQ1 2BC·AD＝12AB·r＋12AC·r＋12BC·r⊙r内＝43，⊙QD＝43，⊙PQ＝43＋76＝52.课标达成1.（2018福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若⊙ACB＝50°，则⊙BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】⊙ABC＝90°，⊙⊙A＝40°，⊙DOB＝2⊙A＝80°.【解答】D.2.（2018哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，⊙P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为( )A．3 B．33C．6 D．9【分析】利用切线性质可知⊙OAP＝90°，⊙P＝30°，OA＝OB＝3，利用三角函数易知BP＝6－3＝3.【解答】A3. (2019浙江)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则⊙O的半径为( )-A.23B.3C.4D.43【分析】⊙⊙O与AB,AC相切，⊙OD⊙AB，OE⊙AC，又⊙OD＝OE，⊙⊙DAO＝⊙EAO，又⊙AB＝AC，⊙BO＝CO，⊙⊙DAO＝30°，BO＝4，⊙OD＝OA tan⊙DAO＝3OA，在Rt⊙AOB中，2243=-=，⊙OD＝23.AO AB OB【解答】A4. (2019 泰安) 如图,⊙ABC是O的内接三角形，⊙A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则⊙P的度数为（）A.32°B.31°C.29°D.61°【分析】连接CO ，CF ，⊙⊙A ＝119°，⊙⊙BF C ＝61°, ⊙⊙BOC ＝122°，⊙∠COP ＝58°，⊙CP 与圆相切于点C ， ⊙OC ⊙CP ，⊙在Rt⊙OCP 中，⊙P ＝90°－⊙COP ＝32°. 【解答】A5. （2019泸州）如图，等腰⊙ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是（ ）A ．3√1010B ．3√105C ．3√55D ．6√55【分析】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，⊙等腰⊙ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ， ⊙OA 平分⊙BAC ，OE ⊙BC ，OD ⊙AB ，BE ＝BD ， ⊙AB ＝AC ，⊙AO ⊙BC ，⊙点A 、O 、E 共线， 即AE ⊙BC ，⊙BE ＝CE ＝3，在Rt⊙ABE 中，AE =√52−32=4， ⊙BD ＝BE ＝3，⊙AD ＝2，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，AO ＝4﹣r ， 在Rt⊙AOD 中，r 2+22＝（4﹣r ）2，解得r=23， 在Rt⊙BOE 中，OB=25323322=⎪⎭⎫⎝⎛+，⊙BE ＝BD ，OE ＝OD ，⊙OB 垂直平分DE ，⊙DH ＝EH ，OB ⊙DE ，⊙21HE •OB=21OE •BE ， ⊙553253233=⨯=⋅=OB BE OE HE ，⊙DE ＝2EH=556． 【解答】D6.（2019荆州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，E 为弦AC 的中点，AD ＝10，BD ＝6，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当⊙AEP 是直角三角形时，AP 的长为 ．【分析】⊙过B 点的切线交AC 的延长线于点D ， ⊙AB ⊙BD ，⊙AB =√AD 2−BD 2=√102−62=8， 当⊙AEP ＝90°时，⊙AE ＝EC ， ⊙EP 经过圆心O ，⊙AP ＝AO ＝4； 当⊙APE ＝90°时，则EP ⊙BD ，⊙ADAEAB AP =, ⊙DB 2＝CD •AD ， ⊙6.310362===AD BD CD ，⊙AC ＝10﹣3.6＝6.4，⊙AE ＝3.2， ⊙102.38=AP ,⊙AP ＝2.56． 综上：AP 的长为4和2.56． 【解答】4和2.567. （2019山东）如图，直线y =−34x ﹣3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是 ．【分析】解：⊙直线343--=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ⊙令x ＝0，得y ＝﹣3，令y ＝0，得x ＝﹣4， ⊙A （﹣4，0），B （0．﹣3）， ⊙OA ＝4，OB ＝3，⊙AB ＝5， 设⊙P 与直线AB 相切于D ， 连接PD ，则PD ⊙AB ，PD ＝1，⊙⊙ADP ＝⊙AOB ＝90°，⊙P AD ＝⊙BAO ，⊙⊙APD ⊙⊙ABO ，⊙ABAPOB PD =， ⊙531AP =，⊙AP=35，⊙OP=37或OP=317，⊙P （37-，0）或P （317-，0）， 【解答】P （37-，0）或P （317-，0）．8.（2019四川）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若OB =BF ，EF =4，求 AD 的长.【分析】（1）连接OD .先根据直径所对圆周角为直角证⊙CDB =90°，再证ED =EB 得出⊙EDB =⊙EBD ，转化得到⊙ODF =90°从而得出结论；（2）先利用锐角三角函数求⊙F ，再证⊙ODB 是等边三角形，得出AD 、BD 的关系，最后借助锐角三角函数与勾股定理求得DB 的长从而得出结论.【解答】解：（1）证明：连接OD .⊙⊙O 的切线，⊙BC ⊙OB ，⊙⊙OBC =90°. ⊙AB 为⊙O 直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙ADB +⊙CDB =180°，⊙⊙CDB =90°. ⊙E 是BC 的中点，⊙ED =EB =21BC ， ⊙⊙EDB =⊙EBD .⊙OD =OB ，⊙⊙ODB =⊙OBD ，⊙⊙ODF =⊙OBC =90°,⊙DF ⊙OD ，⊙DF 是⊙O 的切线； （2）由（1）知⊙ODB =90°，⊙OD =OB =BF ，⊙sin⊙F =21=OF OD ，⊙⊙F =30°， ⊙⊙DOB +⊙F =90°，⊙⊙DOB =60°，⊙⊙ODB 是等边三角形，⊙⊙OBD =60°，⊙tan⊙OBD =BDAD=3， ⊙AD =3BD . ⊙BC ⊙AF ，⊙=BF BE sin⊙F =21, ⊙EF =4，⊙BE =2，⊙BF =22BE EF -=23=OB =DB ， ⊙AD =3BD =6.9.点C 是线段OA 上一点，以O 为圆心，以OC 为半径作圆，过点A 作⊙O 的切线AD ，切点为点D ，过点A 作OA 的垂线，交DC 的延长线于点B ，过点B 作AD 的平行线交⊙O 于点G ，F ，连接OF ，DF ，GC . （1）求证：AD ＝AB ；（2）如果点O ，F ，C 在同一直线上.求证：四边形ABGD是菱形.【解答】（1）连接OD ∵AD 切⊙O 于点D ∴OD ⊥AD ∴090ODCADB ∠+∠=⊙OC=OD ∴ODC OCD ∠=∠ 又ACB OCD ∠=∠∴090ACB ADB ∠+∠=又OA ⊥AB∴在Rt △CAB 中，090ACB ABC ∠+∠=∴ADB ABC ∠=∠，∴AB =AD（2）∵O ,F ,C 三点共线∴FC 是⊙O 的直径，∴090FGC ∠=∴090BGC BAC ∠=∠=∵BG ∥AD ，∴GBC ADB ∠=∠又∵ADB ABC ∠=∠，∴GBC ABC ∠=∠在△GBC 和△ABC 中 BGC BAC GBC ABC BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBC ⊙△ABC∴BG=BA ，∵BA=DA∴BG=DA ，又BG ∥DA∴四边形ABGD 是平行四边形又∵BA=DA ，∴四边形ABGD 是菱形.10.（2019孝感）如图，点I 是⊙ABC 的内心，BI 的延长线与⊙ABC 的外接圆⊙O 交于点D ，与AC 交于点E ，延长CD 、BA 相交于点F ，⊙ADF 的平分线交AF 于点G ．（1）求证：DG ⊙CA ；（2）求证：AD ＝ID ；（3）若DE ＝4，BE ＝5，求BI 的长．FG D CB AO H【分析】（1）根据三角形内心的性质得⊙2＝⊙7，再利用圆内接四边形的性质得⊙ADF ＝⊙ABC ，则⊙1＝⊙2，从而得到⊙1＝⊙3，则可判断DG ⊙AC ；（2）根据三角形内心的性质得⊙5＝⊙6，然后证明⊙4＝⊙DAI 得到DA ＝DI ；（3）证明⊙DAE ⊙⊙DBA ，利用相似比得到AD ＝6，则DI ＝6，然后计算BD ﹣DI 即可．【解答】解：（1）证明：⊙点I 是⊙ABC 的内心，⊙⊙2＝⊙7，⊙DG 平分⊙ADF ，⊙⊙1=12⊙ADF ，⊙⊙ADF ＝⊙ABC ，⊙⊙1＝⊙2，⊙⊙3＝⊙2，⊙⊙1＝⊙3，⊙DG ⊙AC ；（2）证明：⊙点I 是⊙ABC 的内心，⊙⊙5＝⊙6，⊙⊙4＝⊙7+⊙5＝⊙3+⊙6，即⊙4＝⊙DAI ，⊙DA ＝DI ；（3）⊙⊙3＝⊙7，⊙ADE ＝⊙BAD ，⊙⊙DAE ⊙⊙DBA ，⊙AD ：DB ＝DE ：DA ，即AD ：9＝4：AD ，⊙AD ＝6，⊙DI ＝6，⊙BI ＝BD ﹣DI ＝9﹣6＝3．11.（2019桂林）如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形；（2）求证：2:OA OE DC =（3）求tan ACD ∠的值．【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得90ACB ABM ∠=∠=︒，由角平分线的性质可得45CAB CBA ∠=∠=︒；（2）通过证明EDO ODC ∆∆∽，可得OD DE DC DO=，即可得结论； （3）连接BD ，AD ，DO ，作BAF DBA ∠=∠，交BD 于点F ，由外角的性质可得453CAB CDB EDO ODB ODB ∠=∠=︒=∠+∠=∠，可求15ODB OBD ∠=︒=∠，由直角三角形的性质可得2BD DF BF AD =++，即可求tan ACD ∠的值．【解答】解：（1）BM 是以AB 为直径的O 的切线，90ABM ∴∠=︒，BC 平分ABM ∠，1452ABC ABM ∴∠=∠=︒AB 是直径90ACB ∴∠=︒，45CAB CBA ∴∠=∠=︒ AC BC ∴=ACB ∴∆是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD ，OCDE EO =，DO CO =EDO EOD ∴∠=∠，EDO OCD ∠=∠ EDO EDO ∴∠=∠，EOD OCD ∠=∠ EDO ODC ∴∆∆∽ ∴OD DE DC DO =2OD DE DC ∴= 2OA DE DC EO DC ∴==（2）如图，连接BD ，AD ，DO ，作BAF DBA ∠=∠，交BD 于点F ， DO BO = ，ODB OBD ∴∠=∠，2AOD ODB EDO ∴∠=∠=∠，453CAB CDB EDO ODB ODB ∠=∠=︒=∠+∠=∠， 15ODB OBD ∴∠=︒=∠15BAF DBA ∠=∠=︒AF BF ∴=，30AFD ∠=︒AB 是直径，90ADB ∴∠=︒2AF AD ∴=，3DF AD =，32BD DF BF AD AD ∴=+=+ tan tan 2323AD ACD ABD BD ∴∠=∠===-+。