八年级上册数学 期末试卷模拟训练(Word版 含解析)

八年级上册数学期末试卷模拟训练（Word版含解析）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．

（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求

2HK+EF的值．

【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8

【解析】

【分析】

（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,

根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；

（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得

OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．

【详解】

解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0

∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0

∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0

∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0

∴a＝b＝4

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM

∴OA平分∠MON

即OA是第一象限的角平分线

（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H

∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°

∵BM ⊥AE

∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中

OAE ABH OA AB

AOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩

， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）

∴AH ＝OE

在△ONE 和△AMH 中

OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩

＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）

∴∠AMH ＝∠ONE

设BM 与NE 交于K

∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA

∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°

（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于

M 、N

可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）

∴FM ＝FN

同理：NE ＝EK

∴OE+OF ﹣EF ＝2HK

过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q

可证：△APF ≌△AQE （SAS ）

∴PF ＝EQ

∴OE+OF ＝2OP ＝8

∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8

【点睛】

本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.

2．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．

（1）求∠AFE 的度数；

（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；

（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =

29CP ，求PF AF

的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ） 【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）

75

【解析】

【分析】

（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；

（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；

（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)

【详解】

（1）解：如图1中．

∵ABC 为等边三角形，

∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，

在BCE 和CAD 中，

60

BE CD

CBE ACD

BC CA

=

⎧

⎪

∠=∠=︒

⎨

⎪=

⎩

，

∴BCE CAD

≌（SAS），

∴∠BCE=∠DAC，

∵∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠DAC+∠ACE=60°，

∴∠AFE=60°．

（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，

∴∠AHF=90°，

在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，

∴∠FAH=30°，

∴AF=2FH，

∵EBC DCA

≌，

∴EC=AD，

∵AD=AF+DF=2FH+DF，

∴2FH+DF=EC．

（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，

∵∠AFK=60°，AF=KF，

∴△AFK为等边三角形，

∴∠KAF=60°，

∴∠KAB=∠FAC，

在ABK和ACF中，

AB AC

KAB ACF

AK AF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴ABK ACF

≌(SAS)，BK CF

=

∴∠AKB=∠AFC=120°，

∴∠BKE=120°﹣60°=60°，

∵∠BPC=30°，

∴∠PBK=30°，