一类二阶微分方程奇摄动问题

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一阶与二阶微分方程的解法与应用

一阶与二阶微分方程的解法与应用微分方程是数学中的重要内容，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

本文将重点介绍一阶和二阶微分方程的解法以及其在实际应用中的重要性。

一、一阶微分方程的解法一阶微分方程是指涉及一阶导数的方程。

常见的一阶微分方程形式多种多样，例如求解形如dy/dx = f(x)的微分方程可以使用分离变量法。

具体步骤如下：1. 将方程表达式中的dy和dx分离，形成f(x)dx = dy；2. 对方程两边同时积分，得到∫f(x)dx = ∫dy；3. 求出右边的积分得到y的表达式，即可得到原方程的解。

除了分离变量法，还有其他一阶微分方程的求解方法，例如齐次微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法等。

齐次微分方程可以通过引入新的变量转化为分离变量的形式，而一阶线性微分方程可以利用积分因子法求解。

二、二阶微分方程的解法二阶微分方程涉及到二阶导数的方程。

解二阶微分方程的方法较为复杂，但常见的二阶线性齐次微分方程可以使用特征方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 将方程形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0转化为特征方程r² + pr + q = 0；2. 求解特征方程，得到两个特征根r₁和r₂；3. 根据特征根的情况，分为三种情况进行求解：a. 当r₁和r₂为不相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)；b. 当r₁和r₂为复数共轭时，方程的通解为y = e^(ax)(C₁cos(bx) + C₂sin(bx))；c. 当r₁和r₂为相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) +C₂xe^(r₁x)，其中C₁、C₂为常数。

三、微分方程在实际应用中的重要性微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个典型的应用领域：1. 物理学中的应用：微分方程可用于描述物理系统的运动规律，例如牛顿第二定律的微分方程形式为F = ma，其中a是加速度，F是力，m是质量。

奇异摄动

摄动问题的分类
• 如果令 ε＝0，Γε的表达式可化为Γ0，而且是一致有效的，就称这个摄动问题是正则摄动问题。 • 如果在Sε中令ε＝0会导致问题无解或多解，或者虽然当ε＝0时Sε能化为s0并有解Γ0，但表达式Γε不一致有效，则称这个摄动问题为奇异摄动问题。
求解方法
• 正则摄动问题比较简单，也易于处理。常用的方法有幂级数展开法（不包含ε的负幂次）、参数微分法、迭代法等。 • 奇异摄动问题则复杂得多，当ε 趋于0时系统Sε 的行为或结构往往发生本质的或剧烈的改变，出现各种复杂的现象。奇异摄动问题的研究已发展为控制理论的一个重要分支。其中常用的方法有伸缩坐标法、匹配渐近展开法、复合展开法、参数变易法、平均法、多重尺度法等。
摄动问题
• 把系统参数或者结构做了微小扰动时，来研究其运动过程的数学方法
• 最早用于天体运动研究，小天体，大天体运动轨迹影响。后用于物理学和力学 • 是一种数学方法，也是控制理论研究中的一种工具
Байду номын сангаас
摄动法基本思路
• 如果一个系统Sε中包含有一个难以精确确定或作缓慢变化的参数ε，就可以令＝0，使系统Sε退化为s0（暂时忽略ε ），而把系统 Sε看作是s0受到（由于ε≠0而引起的）摄动而形成的受扰系统。 • 问题因而简化为：在求解S0的基础上（因为ε并不等于0）来找出系统Sε的运动表达式。 • 这样做可以简化数学处理。
多项式求解实例
微分方程求解实例
求解近似解的方法很多：伸缩坐标法、匹配渐近展开法、复合展开法、参数变易法、平均法、多重尺度法。
总结
• 在对实际系统建模时，因为电容，电感等器件，使得系统模型阶数过高，这类问题的求解，如果总是忽略高阶量，结果往往不准确

数学中的奇异摄动理论

数学中的奇异摄动理论数学一直以来都是人们追求的一个领域，它的应用涉及到许多不同的领域，包括科学、工程、金融等等。

在数学中，奇异摄动理论是一个引人注目的研究方向，它研究的是一类具有特殊形式的微分方程中的奇异摄动项。

在本文中，我们将深入探讨奇异摄动理论的基本原理、应用场景以及相关的研究成果。

一、奇异摄动理论的基本原理奇异摄动理论是一种研究在微分方程中存在的奇异摄动项的理论框架。

在传统的微分方程中，我们通常假设各项系数都是平滑的，并且它们对时间和空间都是光滑的函数。

然而，在某些实际问题中，这些系数可能会在某些特定时刻或空间点上出现极值或发生突变。

这种情况下，传统的微分方程理论无法有效描述问题的行为。

奇异摄动理论通过引入奇异摄动项，对这类问题进行分析。

奇异摄动项是系数中的一个小参数，它在微分方程中起到一个调制的作用。

当参数很小的时候，奇异摄动项在微分方程中的影响也很小，传统的解析方法可以有效逼近问题的解。

而当参数很大的时候，奇异摄动项的影响变得显著，远远超过了其他项的影响。

这时候，传统的解析方法就无法给出准确的解了。

二、奇异摄动理论的应用场景奇异摄动理论在许多科学和工程领域都有广泛的应用。

下面简要介绍几个典型的应用场景。

1. 化学动力学化学反应中经常会出现反应速率突变的情况，这时候就需要考虑奇异摄动理论。

通过引入奇异摄动项，可以更准确地描述反应的动力学行为，提供更精确的预测和控制方法。

2. 天体力学天体力学中的行星轨道问题也可以通过奇异摄动理论进行分析。

由于行星系统中存在多个天体相互作用，轨道的演化会受到很多因素的影响，包括引力、摄动等。

奇异摄动理论可以提供一种有效的方式来处理这些复杂的轨道问题。

3. 电路设计在电路设计中，电流变化可能会导致电路参数发生突变。

奇异摄动理论可以帮助我们更好地理解电路中突变参数对电流的影响，并提供更准确的电路设计方法。

三、奇异摄动理论的研究成果奇异摄动理论是一个具有挑战性和潜力的研究领域，许多学者和研究机构都在积极探索这个领域，并取得了一些重要的研究成果。

二阶椭圆型方程奇摄动边值问题的渐近解

＝
如一
即可（ｆ，Ｙ）满足
ａ ∈ ２塑Ｏｙ
一
０
，
一＞０；
可（，０）一０，
∈ ０；
可（Ｏ，Ｙ）＝（），利用虿（０）：０，（０）＝０，得
Ｏｙ２一ｅ一
三。（）昙＋６（）Ｇｑ２＋ｃ（）器舢）＋ｅ（训）南圳
其中系数０，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，，都是有界区域ＱＣＲ上的连续函数且ａ（ｘ，Ｙ）＞０，／（ｘ，Ｙ）０．若存在两次连续可微函数（，Ｙ）和ｑＹ（ｘ，Ｙ）使得ｌ（）Ｉ［一皿］，Ｖ（ｘ，Ｙ） ∈Ｑ，
本文在文f71的基础上进一步讨论一类二阶线性椭圆型方程的奇摄动边值问题利用边界层函数法89构造出问题的零次形式近似并应用椭圆型算子的最大值原理作出解的渐近估计
第４６卷第１期２０１３年３月
数学研究
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｔｕｄｙ
式近似，并应用椭圆型算子的最大值原理对问题的解作出渐近估计．
关键词奇摄动；椭圆型方程；边值问题；边界层函数法；最大值原理Ｏ１７５．２５文献标识号Ａ
中图分类号
１引言
１９５０年，Ｌｅｖｍｓｏｎ［１】首先研究了一类二阶椭圆型方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题，在构造形式近似式的基础上，应用椭圆型方程的极值原理给出精确解的渐近估计．随后涌现出大批研究偏微分方程奇摄动边值问题的论文［２－６］．１９９６年，ＤｅＪａｇｅｒ和江福汝【７】综合阐述了奇异摄动理论和方法，并对二阶和高阶偏微分方程的奇摄动问题作了系统的研究．本文在文【７］的基础上进一步讨论一类二阶线性椭圆型方程的奇摄动边值问题，利用边界层函数法【８，９ｊ构造出问题的零次形式近似，并应用椭圆型算子的最大值原理作出解的渐近估计．引理１【７Ｊ（椭圆型算子的最大值原理）设

高考数学应试技巧之奇异摄动理论

高考数学应试技巧之奇异摄动理论在高中数学学习过程中，很多同学都会遇到数学难题，尤其是在高考中，数学难度大、题目种类多，难免会让学生有些心慌。

面对高考数学，除了平时广泛学习、刻苦钻研外，还要了解并熟悉数学应试的技巧和方法。

其中，奇异摄动理论的应用是高考数学应试技巧的一种，下面就来详细了解一下这种技巧的应用。

1. 奇异摄动理论的基本介绍奇异摄动理论是一种研究微积分中极限过程的一种理论。

研究的对象主要是一些高维空间中不规则现象的极限。

在微积分的学习中，我们常常用极限来描述某些函数在某点的趋势问题。

奇异摄动理论主要是针对一些函数在极限被振荡的情形进行研究，它的核心思想是通过变量的变换来使定积分的计算更加简便。

在高考数学中，奇异摄动理论主要是应用于计算一些比较复杂的积分或极限，可以通过一些变量变换的方法来使计算更加简单，从而减少复杂度。

同时，对于一些题目，我们可以选择用奇异摄动理论来解题，这样可以大大减少解题的难度，从而提高我们应试的成功率。

2. 奇异摄动理论在高考数学中的应用在高考数学中，奇异摄动理论主要应用于以下几个方面：a. 计算任意阶导数在求某些函数的任意阶导数时，常常需要进行很多次运算，比较繁琐。

而如果我们选择用奇异摄动理论来解题，可以简化计算的复杂度。

例如，当我们需要求$f(x)=e^{x^2}$ 的$n$阶导数时，用通常的方法要计算$n$次，而如果用奇异摄动理论，只需要进行3次计算就可以了，从而有效提高了计算效率和速度。

b. 高维空间积分的计算对于一些多元函数的积分计算，常常需要对每个变量分别积分，这样会增加计算的难度和复杂度。

而如果我们利用奇异摄动理论，可以将它们融合在一起，从而将计算复杂度大大降低。

例如，如果我们需要计算三维空间中的球体积分，通常需要先分别计算出$x$、$y$、$z$的积分，然后再通过一系列运算来获得积分结果。

而如果我们用奇异摄动理论，只需要进行一次计算就可以得出积分的结果，计算效率显著提升。

N维超球域上一类具有转向点的二阶线性椭圆方程的奇异摄动

Ｉ２ＹＯＯｓ０ｓ０…ｓ０一，＝ＣＳｌｎ２ｎ３ｉ ”ｌ２３ｉｉｎ
ｌ３＝ｒｉＯｓ０…ｓ０一，２３ｓ２ｉ３ｉ１ｎｎｎ
【Ｉ‘ ’ ．
ｚｎ一１＝ｒｏＯ一ｓｎＯ一，ｃｓｎ２ｉＨ１
ｌ：ｒｉ０一．ｚｓｎ１
：０，ｆ
１ ±１＜十。．（）ｆ。
（）６
（）连带Ｌｎｅｄｅ程，征值２＝￡（２１，２＝０１ … ．４为ｅｇｎｒ方特２ｚ＋）ｚ，，类似做法，可得（）一（）５６特征值３＝ｆ（３） … ，一３￡＋２，ｌ：￡一（１１￡一＋竹一２，：０ｌ… ，３）￡，，ｉ＝，
１：ｚ，１Ｉｆｏ／０＋１ｎ１１ｌ＝０１…，｝声，＝以１ｓ１１ｓ／０，ｌ，，ｆｃｉ
令３２ｃｓｉ（）＝（（Ｏ￣）ｉ＝２３ … ，＝ｏ０，０ｚ）＝ＣＳｉ，，，咒一１贝，０
，２
（～Ｘ）， —２２一１２，＋（２２
＋ｎ－２ＣＳｎ１Ｏ０＿
…
＋
磊砒＋焘
ｕ２Ｏ
则为１＋１１＋＋一１＋＝』。＃。。１１）ｃ一１＋ｕ磊（』１２２．ＤＯ一０。Ｏ．Ｉｕ｝２，．１ —
声１ｌ１＝０＋声，
，、
１具有高阶转向点的二阶线性常微分方程的两点边值问题
（）７是具有奇性的高阶转点二阶线性常微分方程的两点边值问题，ｒ：０既是奇点，又是三阶转点．由文

常微分方程中的一些简单例子和方法

常微分方程中的一些简单例子和方法常微分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到很多实际问题的数学模型解析和数值求解。

常微分方程可以用于描述很多自然现象，比如物理、生物、经济和工程学等领域。

它是应用数学中的一部分，也是数学中比较重要的一部分，今天我们就来介绍一下常微分方程中的一些简单例子和方法。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程形如: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。

这种方程的解就是y(x)。

下面我们来看几个例子。

1. 求解方程$y'=3x^2$。

对方程两边求积分，得到$y=\int3x^2dx=x^3+C$。

其中C是常数，可以通过初始条件来确定。

比如，如果y(x)在x=0处等于2，则$y(0)=2$，代入求解得到$C=2$，所以完整的解为$y=x^3+2$。

2. 求解方程$y'=2xy$。

对方程两边分离变量，得到$\frac{dy}{y}=2xdx$，对两边求积分，得到$\ln|y|=x^2+C$。

移项得到$y=Ce^{x^2}$，其中C是常数。

3. 求解方程$y'+2xy=x$。

这是一个非齐次线性微分方程，首先求解它的齐次方程$y'+2xy=0$，这个方程的解是$y=Ce^{-x^2}$。

然后我们要找到一个特殊解，这个特殊解满足非齐次方程。

我们可以猜测特殊解为$y=A+Bx$，代入非齐次方程得到$B=1$，$A=-\frac{1}{2}$，因此特殊解为$y=-\frac{1}{2}+x$。

因为非齐次方程的通解等于它的齐次解加上特殊解，所以得到通解为$y=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}+x$。

二、二阶常微分方程二阶常微分方程形如：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$。

其中y是未知函数，x是自变量，f(x)、p(x)和q(x)都是已知函数。

这种方程的解是y(x)。

奇异摄动法在微分方程中的应用

奇异摄动法在微分方程中的应用微分方程是数学中极为重要的一种工具，应用范围涉及物理、化学、生物、工程等领域。

奇异摄动法，也称为渐进展开法，是解决微分方程的一种有效方法。

它是一种基于渐进分析的近似解法，通过将微分方程中的解展开成一系列的渐近级数，来求解微分方程。

奇异摄动法是微分方程理论中的一个重要分支，其应用极为广泛。

一、奇异摄动法的基本概念奇异摄动法是一种基于渐进分析的方法，它是一种将解函数分解为一个正常的函数和一个渐近级数的方法。

其基本思想是通过对解函数进行分解，将其转化为一个可求解的问题。

奇异摄动法的具体实现方法是：对于一个微分方程，设其解为y=y(x)，当解在某个点x0处存在一个奇异点（即y(x)会发生突变或者发散）时，我们可以将解函数y(x)分解为一个正常函数和一个渐近展开函数。

具体过程是：在奇异点附近，将解y(x)指定为一个未知函数u(t)，然后通过一系列近似代入来计算u(t)，并将其代入原方程中。

在这个过程中，我们可以将解分解成两个部分，一个是奇异部分，另一个则是正常的部分。

二、奇异摄动法的应用奇异摄动法是求解某些复杂微分方程的一种有效方法，由于其具有一定的灵活性和精确性，被广泛应用于理论物理、力学、天文、生物、化学等领域。

下面，我们分别就这些领域中奇异摄动法的应用进行讨论。

1、理论物理奇异摄动法在理论物理中的应用，主要体现在量子力学和广义相对论等领域。

其中，量子力学中的手征摄动和角动量摄动就是奇异摄动法的两个典型应用。

此外，在广义相对论中，对于黑洞事件视界的研究也需要借助奇异摄动法等数学工具，来对从黑洞中传出的信号进行研究。

2、力学在力学领域，奇异摄动法主要应用于研究非线性振动问题，如变参数系统中的稳定性问题、自激振动等。

在这些领域中，奇异摄动法通常被用于求解非线性常微分方程、偏微分方程和差分方程等问题。

3、天文在天文学中，奇异摄动法被广泛应用于研究天体运动的不稳定性问题。

例如，人们可以借助奇异摄动法来分析彗星轨道的发散性和非对称性等问题，从而为彗星的运动研究提供了重要的理论支持。

一类两参数奇异摄动拟线性微分方程组的边值问题渐近解

（５）（６）
６１２
工
程
数
学
学
报
第３０卷
其中￡１，Ｃ２为正的小参数，Ｋ：２＝（Ｅ１），ｎ是大于１的自然数，０１ ≠０，ｎ１，０２，ｎ３是常
数，，，是正常数．我们这里只讨论礼＝２的情况，其它情况可类似得到
文章编号：１００５ — ３０８５（２０１３）０４０６１１ — ０８
一
类两参数奇异摄动拟线性微分方程组的
边值问题渐近解术
葛志新
ｆ安徽工业大学数理学院，马鞍山２４３００２）
摘
要：为了研究一类含三个因变量的两参数奇异摄动拟线性微分方程组边值问题的渐近解，首先在一定的条件下构造了问题的包含外层解、中间层解与内部层解的幂级数形式合成解；然后利用原问题的退化形式先求出外部解；再利用不同的伸长变量，依据中间层与内部层特有的性质，分别计算出该边值问题的中间层解和内部层解，从而得到原问题渐近解．
：
＾（）＋，２（），＝ｇｌ（）＋９２（）＋９３（），
（１）（２）（３）
（４）
ｄｙ
Ｅ
￡。
塞（咖（，
ａｌｘ（１）＋ａ２ｙ（１）＋ａａｚ（１）＝，
为了研究方便，现作如下假设：
．
［Ｈ１】：，ｈｉ（ｉ＝１，２）和ｇｉ（ｉ＝ｌ，２，３）关于其变元在所考虑的区域内无限次可微；［Ｈ２］：＿９１（）＜０，ｈ２（ｘ）＜０，，２（）＞０，九１ｘ）＞０；［Ｈ３］：ｇｌ（ｘ）ｈ２（ｘ）一ｇ２（ｘ）ｈ１（Ｘ）＞０；

一类出现在化学反应器理论中的奇摄动边值问题

（＞；￡０）［］足非线性方程Ｈ２Ｘ满
＋ｋ０ｂ＝（）４
人们的兴趣在于当正参数于零时求问题的趋渐近解。在物理上，是指Ｐｃｔ变得很大，如这ｅｌ数ｅ例当扩散系数变小时即得。问题的数学方面已被
第１第５期３卷２１０１年１０月
黄山学院学报
ＪｕｎｌｏａｇｈｎｏｒａｆＨｕｎｓａＵｎｖｒｉｉｅｓｔｙ
Ｖｏ１１ＮＯ．．５
０ｃ．０ｔ１２ｌ
一
类出现在化学反应器理论中的奇摄动边值问题
ｊ＝ｏｊ＝Ｏ
进而可知，任给常数０有对
一
而＝为伸长变量，每个ｑ一０‘ ＋。（）（一 ∞）先将ｕ（８代入方程（和边界条件（，比较ｔ），１）３并）
ｅ的同次幂系数可得
－
（Ｏｅｐ１６ｔ＝（ｘ一（— ）ｌ
，
在具有轴向扩散的绝热的管状化学连续反应器的研究中．出现下列形式的边值问题
考虑如下形式的边值问题
８＂ｆｔ苫￡Ｏｔｌｙ＋（ｙ＝（＜＜），，
）（，）ａ（，＝，０占一ｙＯ）ＡＹ（，一ｙ１ｓ：１）ｂ（，）
于是我们构造出问题（一３的形式渐近解１（））
即入是方程（）４的单根。３化问题】退
ｕ＝，ｕ１＝ｆ，（）

一类Tikhonov方程组的奇异奇摄动边值问题

第６期
童爱华：一类Ｔｋｏｏ方程组的奇异奇摄动边值问题ｉｎｖｈ
对于系统（，１我们假设：Ｊ
（ｉ）化方程退
，
０￡：，）０
（）３
有对其变量充分光滑的解族
三（，，ｔ）
其中为ｋｋｏ维的任意向量；＜而且ｍｋ阶矩阵钆（，）ｘ。￡ｃ０有秩ｋ；ｏ
ＰｅｔｂｅｋｎｏｕａｉｎｓｒｕｒｄＴｉｈｏｖＥｑｔｏ
ＴＯＮＧＡ－ｕｉｈａ
（ｔｅａｃｈｓｓｎｆｍｔｎＳｉｃｏｌｅｆｈｊｎｃａｎｖｒｉ，ｈｕｈｎ０４ＣｉａＭａｍｔｓＰｙｉｄＩｏａｉｃｎｅｌｇｅｉｇＯｅｎＵｉｅｓｙＺｏｓａ３０，ｈｎ）ｈｉｃａｎｒｏｅＣａｏＺａｔ１６
在半导体、燃烧理论的数学模型中，常遇到临界的奇摄动边值问题【；经如果系统中还含有慢变量，那么就成为由０’ ｌｙ在１７Ｍａｌｅ９８年提出的奇异奇摄动问题［３１文考虑如下一类的奇异奇摄动问题：。本
数法，在适当条件下成功构造了所论问题解的一致有效的渐近展开式，并得到了渐近解的误差估计。关键词：边界函数；奇摄动；渐近解；一致有效
中图分类号：１５１０７．４文献标识码：Ａ
ＢｏｎａｙＶａｕｏｌｍｓｏＣｌｓｆＳｎｕａａｉｇｌｒｙｕｄｒｌｅＰｒｂｅｆＡａｓｏｉｇｌｌｒＳｎｕａｌ

一类二阶半线性系统的奇摄动边值问题

量，：得
利用边界函数法（文【］首先构造了问题（．，见５）１１）（．）１的形式渐近解，后证明了这个问题解的存在２然
唯一性及形式渐近解的一致有效性。
２形式渐近解的构造
设Ｚ＼ｙ，－／则问题（．，１）１）（２可化为如下等价１．
Ｊｎ２０ｕ．０７
一
类二阶半线性系统的奇摄动边值问题
汤小松
（冈山学院数理学院，江西吉安３３０）井４０９
【要】利用边界函数法研究了一类二阶半线性系统的奇摄动边值问题，证明了这个问题解的存在唯一性，同摘时给出了它的一致有效渐近解。【键词】半线性；奇摄动；边界函数法；形式渐近解；－致有效性关二．
维普资讯
第２８卷第６期２ｏ０７年６月
井冈山学院学报（自然科学）
Ｖ０．．１２８Ｎｏ６
ＪｒａｏＪｇａｇｈｎＵｉｒｔＮｔａＳｉｃｓｏｎｌｆｉｇｎｓａｎｖｓｙａｒｌｃｎｅ）ｕｎｅｉ（ｕｅ
形式渐近解：
题时有一定的局限性如条件限制得比较强。本文研
究如下一类二阶半线性系统的奇摄动边值问题：
【，０ ≤１￡， ≤￡，，，）ｙ０１００＋，１０（，＋，（，），＝＝（
０即得退化方程组：

在子区间上奇异摄动的一类边值问题解的渐近分析

ｐｅｔｂａｉｎｏａｓｒｕｒｔｏｎｕｂｉｅｖｌｎｔｒａ
ＸｔｅｔｆｐｌｄＭａｈｍａｉ，ｏｇｕｎｖｒｔ，ｈｎｈｉ０６０Ｃｉ）ＤｐｒｍｎｐｉｔｅｔｓＤｎｈａｉｓｙＳａｇａ２１２，ｈｎｏＡｅｃＵｅｉａ（ｏｍｕｉｔｄｂＩｎ－ａｇＣｍｎｃｅｙＮｇｋｎ）ａＭｉ
ＣｈｉｎｅｓｂｒｙｌｓｉｃｔｏｎＯ５１ｅＬｉａｒＣａｓｆａｉｉ１．７
０引言
考虑奇异摄动边值问题Ａｙｅ＝ｈｘＹ（，）
０１１＿５收稿日期：２１ — ９３；修订日期：２１— １００１０ — ０基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（２００）上海市自１Ｄ１９７；然科学基金资助项目
（）１
一Ｅ３０）（０Ｒ１０１０上海市教委上海高校计算科学Ｅ研究院项目资助项目（００４１Ｚ４００）
— ｉ：ｘｅｈ．ｄ．ｎ通信作者：谢峰，研究方向为常微分方程和动力系统．Ｅｍａｌｆｉ＠ｄｕｅｕｃ
２
应用数学与计算数学学报
ｔｅｍｅｈｏｆｔｅｂｏｎｄｒａｅｕｔｏｔｏｍａｓｈｔｄｏｈｕａｙｌｙｒｆｎｃｉｎ．ｈｅｆｒｌａｙｍｐｏｉｏｕｔｏｓｃｎｔｔｃｓｌｉｎｉｏ。ｓｒｔｄ，ａｄｉｓｕｆｒｌａｉｔｓｐｏｅｂｓｎｈｈｏｙｏｆｒｎｉｌｔｕｃｅｎｔｎｉｍｙｖｌｙｉｒｖｄｙｕｉｇｔｅｔｅｒｆｄｉｅｅｔａｏｄｉ

几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究

几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究摘要：奇异摄动问题是指在数值计算中，当传统方法难以精确解决某些具有特殊性质的摄动问题时，采用高精度数值方法进行求解。

本文主要研究了几类常见的奇异摄动问题，并提出了高精度数值方法。

首先，介绍了奇异摄动问题的定义和特点。

随后，针对不同类型的奇异摄动问题，分别提出了相应的数值方法，并进行了算例分析与对比。

结果表明，所提出的高精度数值方法能够有效地求解各类奇异摄动问题，并取得了较好的精度和稳定性。

1. 引言奇异摄动问题是科学计算领域中的重要问题，广泛应用于物理学、力学、化学、工程学等各个学科。

奇异摄动问题的特点是在问题求解过程中，存在某种特殊性质的摄动项，导致传统数值方法无法获得满意的解。

因此，研究奇异摄动问题的高精度数值方法具有重要的理论和应用价值。

2. 奇异摄动问题的定义和特点奇异摄动问题通常由一阶或高阶微分方程组成。

其特点是在问题求解区域的某些点存在奇异性，即导数在奇异点附近出现无穷大或不存在。

这种奇异性的存在使得传统的数值方法无法处理问题，需要采用高精度数值方法来求解。

3. 类型一：边界层内的奇异摄动问题边界层内的奇异摄动问题是指在边界层内部分摄动项较大，导致问题解在边界层区域变化剧烈。

针对这类问题，可以采用改进的有限差分方法，如上下文诱导的有限差分方法（CIFDM），将奇异项的影响考虑进去，并利用边界层内较小的步长进行数值求解。

4. 类型二：奇异摄动问题的快速多极算法奇异摄动问题的快速多极算法是一种基于分解的高效数值方法。

该算法通过将问题分解为多个小问题，并利用多极展开公式将远距离的相互作用准确地计算出来。

这种方法能够提高计算效率，并保持较高的数值精度。

5. 类型三：具有时间依赖性的奇异摄动问题具有时间依赖性的奇异摄动问题在数值计算中十分常见。

其中，较为典型的是具有快速振荡摄动项的问题。

针对这类问题，可以采用高精度的时步算法，如四阶Runge-Kutta方法，来求解微分方程组。

临界情况下一类二阶拟线性方程组边值问题的奇摄动

第２２卷
第２期
甘肃科学学报
ＪｕｎｌｏｌＳｃｅｃｓｏｒａｆＧｆＵＳｉｎｅＮ
Ｖｏ．２Ｎｏ２【２．
２１０Ｏ年６月
Ｊｎ２１ｕ．００
临界情况下一类二阶拟线性方程组边值问题的奇摄动
（）对于ＶｔＥ，３存在着方阵（ｔＯ的对应于ｋ个恒为０的特征值的ｋ个线性无关的特征向Ｂ ∈ ｏＴ，，，）
量．则称问题（）是临界情况下的奇摄动问题．１
２边值问题
倪明康等研究了以下系统］
（Ａ）对于Ｖｔ∈ Ｅ，］特征值满足０Ｔ，
收稿日期：０９０ — ４２０ — ９０
１０
甘肃科学学报
２１００年第２期
（）三０（￡ｉ＝１，，ｋ＜）， … 愚，Ｒｆ￡（）＜ｏ，ｉ— ｋ＋１，， … ｍ．
非线性边值问题来源于应用数学和物理等学科中的多个分支，描述了应用数学领域内的许多问题，它在
非线性扩散、气体热点燃、物化学领域均有很高的应用价值，目前分析数学中研究较为活跃的领域之生是Biblioteka Ａｂｔａｔｓｒｃ：
Ｔｈｅｓｎｉｇｕｌｒｐｅｔｂａｉｎｐｒｂｌｍｆａｋｉｄｏｗｏｏｄｅｕａｉｌｎｅｒｅｕａｉｓｗｉｈｂｎｄｒａｒｕｒｔｏｏｅｏｎｆｔ — ｒｒｑｓ—ｉａｑｔｏｎｔｏｕａｙ

伴有边界摄动的Volterra型积分微分方程组的奇摄动

Ｗ。ｒ，≥０将在下文给出．（）ｒｋ￡￡ ∈Ｃ＋［０１０ ×［０１０ ×［，０．且ｋ￡，）ｅ幂展开时前若干（，） Ⅳ 一ｅ，＋ｅ，］一ｅ，＋ｅ］０ｅ］（，ｅ按
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收稿日期：０４１— ６２０ —０２
基金项目：京工程学院基金（Ｊ４９）南ＫＸ００３
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高校应用数学学报Ａ辑
２０２（）２Ｏ２６０７，２２：１一１
Ａｐ１ｐ．Ｍａｈ．ｉｅｅＵｎｖｅ．ｔ．ＪＣｈｎｓｉ．ＳｒＡ
伴有边界摄动的Ｖｏｔｒａ型积分ｌｒｅ微分方程组的奇摄动
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பைடு நூலகம்
首先构造出（）（）式展开式，后借助于对角化方法，明了解的存在性并给出解１一２形然证的一致有效的余项估计．文中恒假设下列条件成立：
吴钦宽：有边界摄动的Ｖｏｔｒａ型积分微分方程组的奇摄动伴ｌｒｅ

一类具有对称性二阶微分方程的异宿轨道(图文)

一类具有对称性二阶微分方程的异宿轨道(图文)证明设是问题(2.2)在的解.把它延拓到区间的解为,这说明问题(2.1)的解是一奇函数,再由引理1知问题(2.1)的解是一增函数. 唯一性同引理1可得.其中是其上解, 是其下解. 3 定理1的证明证明取一序列,在区间上考虑问题(2.1),即考虑下列问题(2.4) 由引理2知问题(2.4)有唯一解. 因为,所以有如下一致估计,(其中c为常数). (2.5)又因为是单调的,所以估计(2.5)式暗含(其中c为常数) .(2.6) 因为如果在某点变大,由(2.5)式知将在一个长的区间上保持变大,这与完全变分后等于2的结果矛盾. 用对角线方法[3]可知,存在函数在有一子序列在有界区间上一致收敛, (2.7) 其中为问题(1.1)的一解. 我们可以推导出存在常数使得对任意的都有(2.8) 事实上,对(即),引入能量函数由(3.2)式知所以由(2.8)式知不恒等于0,再由(2.7)式知).既然,说明存在.又因为在增大时一定减小,所以唯一的可能是.又因为是非减的,说明.事实上, 是严格增函数,否则,能找到一点使得.把问题(1.1)中的方程在区间上积分,可得出矛盾. 下面证明唯一性. 设为问题(1.1)的另一解,则有四种可能. 情况一：和在区间上至少相交两次.即能找到使得,,.由引理1可得(2.9) 因为所以(2.9)式不可能成立. 情况二：和在区间上仅相交一次. 设交点为,在区间上积分,由得出矛盾. 情况三: 和有唯一的负交点. 由(1.1)式的解为奇函数知和仍是(1.1)式的解,则把这种情况转化成为了前面两种情况. 情况四: 和无交点. 在区间上积分,使,显然也矛盾. 唯一性得证,整个定理的证明完毕.【参考文献】 [1] C. C.Conley and J. A. Smoller, Viscosity matrices for two-dimensional nonlinear hyperbolicsystem[J].Comm. Pure Appl.Math.,1970,23：867-884. [2]高普云,非线性动力学[M].长沙:国防科技大学出版社,2005. [3] M.R.GrossinhoF.Minhos and S.Tersian, Positive homoclinic solutions for a class of second orderdifferentialequations [J].Math.Anal.Appl., 1999,240:163-173. [4]P.H.Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications todifferential equations [J].CBMS Regional Conf Series in Math.AMS,1986, 65. [5] S. Carl andD. Motreanu, Extremal solutions of quasilinear parabolic inclusions with generalizedClarke’s gradient [J]. Differential Equations 2003, 191:206–233.。

奇异摄动问题的若干数值方法的开题报告

奇异摄动问题的若干数值方法的开题报告
题目：奇异摄动问题的若干数值方法
一、研究背景
奇异摄动问题是指一类微分方程系统，在某些特定时刻出现与传统方法不同的突变现象，因此需要采用特殊的数值方法进行求解。

奇异摄动问题涉及到很多领域，如物理、生态学、金融等，是一类重要的实际问题。

二、研究目的
本文旨在研究奇异摄动问题的若干数值方法，包括：
1. 奇异扰动法：该方法是将奇异摄动问题转化为非奇异摄动问题，然后应用常规的数值方法求解。

2. 阻尼点法：该方法通过在奇异点附近添加一系列阻尼点，将奇异点上的解离散化，再应用常规的数值方法求解。

3. 伪谱方法：该方法将奇异摄动问题转化为一般的不连续微分方程问题，然后应用伪谱方法求解。

三、研究方法
本文将分别对上述三种数值方法进行详细介绍，并比较它们在求解奇异摄动问题中的优缺点。

同时，我们将通过具体实例验证这些数值方法的有效性和可行性。

四、研究意义
本文的研究对于解决实际问题中出现的奇异摄动问题具有一定的指导意义。

同时，本文的成果也可以为其他相关领域的研究提供参考。

五、预期成果
本文预期能够归纳总结奇异摄动问题的若干数值方法，并比较它们的优缺点。

同时，我们将通过具体实例证明这些数值方法的可行性和有效性，为解决实际问题中的奇异摄动问题提供参考。

微分方程的阶

微分方程的阶微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述自然现象和工程问题的数学模型。

微分方程的阶是指方程中最高阶导数的阶数。

在本文中，我们将探讨微分方程的阶及其应用。

一阶微分方程一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程。

一阶微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$f(x,y)$是已知函数。

一阶微分方程可以用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法求解。

二阶微分方程二阶微分方程是指方程中最高阶导数为二阶的微分方程。

二阶微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$p(x)$、$q(x)$、$f(x)$是已知函数。

二阶微分方程可以用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法、变系数齐次线性微分方程法、变系数非齐次线性微分方程法等方法求解。

三阶微分方程三阶微分方程是指方程中最高阶导数为三阶的微分方程。

三阶微分方程的一般形式为：$$\frac{d^3y}{dx^3}+p(x)\frac{d^2y}{dx^2}+q(x)\frac{dy}{dx}+r(x)y=f(x)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$p(x)$、$q(x)$、$r(x)$、$f(x)$是已知函数。

三阶微分方程可以用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法、变系数齐次线性微分方程法、变系数非齐次线性微分方程法等方法求解。

高阶微分方程高阶微分方程是指方程中最高阶导数为高于三阶的微分方程。

高阶微分方程的求解方法比较复杂，需要根据具体情况选择不同的方法。

常见的高阶微分方程有四阶微分方程、五阶微分方程、六阶微分方程等。

微分方程的应用微分方程在自然科学和工程技术中有广泛的应用。

例如，牛顿第二定律可以用微分方程表示为：$$F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}$$其中，$F$是物体所受合力，$m$是物体的质量，$a$是物体的加速度，$x$是物体的位移，$t$是时间。